0calcululunorsumeingimnaziu
-
Upload
serghei-urban -
Category
Education
-
view
797 -
download
0
description
Transcript of 0calcululunorsumeingimnaziu
Calculul unor sume in gimnaziu
Exercitii in care se cere calcularea unei sume de mai multi termeni sunt intalnite chiar in manualele de clasa a-IV-a sau a-V-a.Am considerat necesara demonstrarea unor formule de calcul pentru acestea ,altele decat cele ce folosesc inductia matematica sau o pseudo-inductie matematica,in ideea de a le folosi in rezolvarea unor probleme propuse pentru diferite concursuri.
Calculul unor sume de numere
1. S= 1 +2 +3 + …+(n-2) +(n-1) +n S=n +(n-1)+(n-2)+… + 3 + 2 + 1 2S=n+1+n+1+n+1+…+n+1+n+1+n+1 2S=n(n+1)
S=
2. S=1 + 3 + 5 +…..+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1) S=(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+…+ 5 + 3 + 1 2S=2n + 2n +2n +…+ 2n + 2n + 2n 2S=2n.n
S=
3. S=1 + + +…+ + +
Sx=
Sx-S =
S(x-1) =
S=( -1)/( -1)
4. S= + + +…+
Folosind suma primelor n numere naturale impare putem scrie:
1
=1
=1+3
=1+3+5
…………………………….
=1+3+5+…+(2k-1)
…………;…………………..
=1+3+5+…+(2k-1)+…+(2n-1)
Adunand membru cu membru obtinem: S=n.1+(n-1).3+(n-2).5+…+(n-k+1).(2k-1)+…+2.(2n-3)+(2n-1) Termenul general are forma:(2k-1).(n-k+1) si poate fi scris:
(2k-1).(n-k+1)=(n+1).(2k-1)-2 +k,atunci:
S=(n+1).(1+3+5+…+2n-1)-2( + + +…+ )+(1+2+3+
…+n)
3S=(n+1). +n(n+1)/2
6S=2.(n+1). +n.(n+1)
6S=n(n+1)(2n+1)
S=
5. S= + + +…+
Se demonstreaza usor ca: = -
S= - + - +…+ - = - =
Generalizare: = -
Aplicatii:a) Calculati suma cifrelor numarului:x=9+99+999+…+99..99,unde ultimul termen are 2008 cifre.Numarul x se mai poate scrie:
x=10-1+ -1+ -1+…+ -1=(10+ + +…+ -1=
=(10+ + +…+ )-2008=10(1+10+ +…+ )-2008=
=10. -2008=10. -2008=10.111…11-2008=111…1109102.In rezultat
apare de 2004 ori,deci suma cifrelor va fi :2016.
2
Generalizare: Pentru a calcula: S=a+ + +…+ se calculeaza:
(9+99+999+…+99…9)
b)Calculati: S= + + +…+
Se foloseste relatia: = - si avem:
S= - + - + - +…+ - = c)Sa se
calculeze:
S= + + +…+
Se observa ca diferenta dintre factorii de la numitor este k,deci vom inmulti cu k si obtinem:
Sk= + + +…+
=
= - + - + - +…+ - =
= - = = ,de unde:S= .
d)Aratati ca numarul :
N=1+2+ + +…+ nu este patrat perfect.
Calculand N obtinem: N= -1
U( -1)=U(U( )-1)=7.Cum nici un patrat perfect nu se termina in 2,3,7,8
rezulta N nu este patrat perfect.e)Sa se calculeze suma:
S= + + +…+
Se porneste de la =4. -4.n+1 avem:
=4. -4.1+1
=4. -4.2+1
=4. -4.3+1
…………………….
3
=4. -4n+1
Adunand membru cu membru obtinem:
S=4( + + +…+ )-4(1+2+3+…+n)+n=
= 4. -4. +n= -2n(n+1)+n=
= =
= = .
f) Calculati:
S= + + +…+ .Suma mai poate fi scrisa:
S= + + +…+ = . + . +
. +…+
+ . = ( + + +…+ )= =
=1004.670.2009.
g) Calculati: S= + + +…+ .Suma se mai scrie:
S= + + +…+
= . + . + …+ + . =4( + +…+
)= =
= = =4.1004.669.2009
h) S=1+ + +…+ =
=1+ + +…+ =
=1+ + +…+ =1+2( +…+ )=
=1+2( - + - +…+ - )=1+2( - )=1+ = .
i) S=1+ + + +…+ . Suma se mai poate scrie:
4
S= =
Aratati ca numarul:
x= - -…- este patrat perfect.
Numarul poate fi scris: x= - -…- =
= ( - -…- )= )[ - (1+ + +…+ )]=
= ( - . )= ( )= . =patr
at perfect. j) Calculati :S=3+7+11+…+8035. Se observa ca diferenta intre factori este 4,ne gandim la teorema impartirii cu rest si constatam:3=4.0+37=4.1+311=4.2+3……………….8035=4.2008+3 S=4.0+3+4.1+3+4.2+3+…+4.2008+3=4(1+2+3+….+2008)+
+2009.3= +6027=4016.2009+6027=2009.4019
Concluzionand in calculul unei sume de mai multi termeni sunt necesare parcurgerea urmatoarelor etape: _stabilirea numarului de termeni ai sumei; _identificarea termenului general sau a regulii dupa care sunt construiti termenii sumei; _identificarea formulei sau lucru pe termenul general si repetarea pe fiecare termen in parte Prof. Glaje Nicolae Scoala Generla Polovragi
5
6