080_TEORIE SFERA

5/13/2018 080_TEORIE SFERA - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/080teorie-sfera 1/10

CURS - Capitolul 7. Con.Cilindru.Sferă. 241

7.3.6. IntersecŃia unei piramide cu un cilindru fronto-orizontal.

Fiind date, în epură, o piramida verticală cu baza pătrat şi un cilindru fronto-orizontal, dispuseca în epura din fig.7.32, se propune determinarea intersecŃiei celor două corpuri.

IntersecŃia este de tip pătrundere, deci vor rezulta două curbe de intersecŃie. Pentru a nuaglomera epura s-a prezentat modul de obŃinere a uneia dintre curbele de intersecŃie, cealaltă fiind

simetrică cu prima. În acest caz, pentru determinarea punctelor curbei de intersecŃie (compusă aici din douăporŃiuni de elipsă), planele auxiliare alese, au fost planele de nivel [N1] … [N5], trasate pringeneratoarele cilindrului, conform epurei din figura 7.32.

Vizibilitatea rezultă din epură.

Fig. 7.32. IntersecŃia unei piramide verticale cu un cilindru fronto-orizontal.

7.4. SFERA

7.4.1. DefiniŃie. Reprezentarea sferei. Punct pe suprafaŃă.

Sfera se poate defini ca fiind:• locul geometric al punctelor din spaŃiu egal depărtate de un punct fix numit centrul sferei;• suprafaŃa generată prin rotaŃia unui cerc în jurul unuia dintre diametrele sale.

În dubla proiecŃie ortogonală, sfera se reprezintă prin proiecŃiile ecuatorului şi meridianuluiprincipal (cercurile cu rază maximă). Conturul aparent orizontal reprezintă proiecŃia orizontală a

ecuatorului, iar conturul aparent vertical este proiecŃia verticală a meridianului principal.SecŃiunile în sferă cu plane de nivel poartă denumirea de paraleli de nivel), iar cele cu planede front, se numesc paraleli de front.



GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ. Curs şi aplicaŃii. 242

• Puncte pe suprafaŃă

Fiind dată sfera reprezentată în dublă proiecŃie ortogonală în fig. 7.33 şi a’ proiecŃia verticalăa unui punct A(a,a’) situat pe suprafaŃa sferei. Se cere să se determine proiecŃia orizontală a, apunctului A(a,a’). Se va trasa planul de nivel [N] prin a’, ce secŃionează sfera după paralelul denivel 1’-2’, care în proiecŃie orizontală este un cerc concentric cu ecuatorul, de diametru 1-2. Cu

ajutorul liniei de ordine se găseşte pe cercul de secŃiune, proiecŃia orizontală a punctului a ≡ a1. Seobservă că problema admite două soluŃii. În mod similar, dacă se cunoaşte proiecŃia orizontală b a unui punct de pe sferă, cu ajutorul

planului de front F şi a paralelului de front 3-4, care în proiecŃie verticală este cercul concentric cumeridianul principal de rază ω’3’ = ω’4’, se obŃin proiecŃiile căutate b’ ≡ b’1. Şi în acest caz seobŃin două soluŃii.

Fig. 7.33. Epura sferei. Puncte pe suprafaŃă.

7.4.2. Plan tangent într-un punct pe suprafaŃă

Fie punctul M(m, m’) situat pe sferă, determinat conform paragrafului anterior. Planul tangent în acest punct va fi perpendicular pe raza ce trece prin punct. Pentru determinarea urmelor planului tangent [T] se va folosi o dreaptă particulară a planului.

În fig. 7.34 s-a trasat prin M, orizontala T(t, t’), perpendiculară pe raza M(ωm, ω’m’), ceare urma verticală V(v, v’). Urma (T’) a planului tangent va trece prin v’ şi va fi perpendiculară peprelungirea ω’m’. La intersecŃia lui (T’) cu linia de pământ rezultă Tx, iar prin Tx, paralelel la t,respectiv perpendicular pe prelungirea ωm se construieşte (T). În mod analog, se poate utiliza ofrontală auxiliară.

7.4.3. SecŃiuni cu plane proiectante

Un plan secŃionează sfera după un cerc ce se proiectează pe planele de proiecŃie, în cazulcel mai general, după elipse.

În practica inginerească, întâlnim frecvent secŃiuni ale sferei cu plane situate în poziŃiiparticulare. Astfel, secŃiunile cu plane de nivel, respectiv de front sunt cercuri (numite paraleli) ce

rezultă direct, fără construcŃii speciale (vezi paragraful 7.4.1). ConstrucŃii mai interesante se obŃin




prin secŃionarea cu plane perpendiculare pe planele de proiecŃie, respectiv prin plane de capăt sauverticale.

Fig. 7.34. Plan tangent ăntr-un punct de pe suprafaŃă.

Fig. 7.35. SecŃiune plană în sferă cu un plan de capăt.

În figura 7.35 s-a reprezentat secŃiunea în sferă cu un plan de capăt ce trece prin centrul

sferei. Cercul de secŃiune se proiectează în proiecŃie verticală după segmentul a’b’, ce coincide cuurma P’ a planului. În proiecŃie orizontală, cercul de secŃiune se proiectează după o elipsă avândaxa mică ab şi axa mare cd. Axele sunt perpendiculare şi se înjumătăŃesc.




Axa mică rezultă direct, coborând proiecŃiile a’, b’ situate pe conturul aparent vertical peproiecŃia orizontală corespunzătoare, şi anume diametrul frontal. Datorită poziŃiei particulare aplanului de capăt (ce trece prin centrul sferei), axa mare rezultă direct pe cercul de contur aparentorizontal. Pentru obŃinerea unor puncte suplimentare pe conturul elipsei se duc plane auxiliare denivel ce secŃionează sfera după paraleli de nivel, iar planul de capăt după drepte de capăt, laintersecŃia cărora se obŃin puncte ale elipsei. Numărul planelor auxiliare se ia funcŃie de claritatea

desenului şi se recomandă alegerea simetrică a acestora. PorŃiunea ceafd este văzută, întrucâtpunctele se situează deasupra planului de nivel [N] ce trece prin (ω, ω’).

Fig. 7.36. SecŃiune plană în sferă cu un plan vertical.

În figura 7.36 s-a reprezentat secŃiunea în sferă cu un plan vertical. Cercul de secŃiune seproiectează în proiecŃie orizontală după segmentul ab ce coincide cu urma P a planului, iar înproiecŃie verticală după o elipsă, a cărei puncte se determină cu ajutorul planelor auxiliare de front.ConstrucŃia se obŃine prin similitudine cu cea din figura 7.27, cu observaŃia că datorită poziŃieioarecare a planului vertical, pentru determinarea axei mari a elipsei, se va duce un plan auxiliar defront prin mijlocul segmentului ab (s-a dus ωc ≡ ωd ⊥⊥⊥⊥ ab). PorŃiunea e’c’h’a’g’d’f’ este văzută întrucât se situează în direcŃia observatorului plasat la infinit, în faŃa planului de front ce trece prin(ω, ω’).

7.4.4. IntersecŃia sferei cu o dreaptă

7.4.4.1. IntersecŃia sferei cu o dreaptă ce trece prin centrul sferei

Fie sfera de centru (ω, ω’) şi rază dată şi dreapta D(d, d’) ce trece prin centrul sferei,reprezentate în figura 7.37.

Pentru a determina punctele în care dreapta înŃeapă sfera se va utiliza o rotaŃie de nivel în jurul axei verticale Z(z, z’) ce va trece prin centrul sferei. RotaŃia s-a efectuat cu ajutorul unui punctoarecare M(m, m’) de pe dreaptă. Astfel, se va transforma dreapta oarecare D(d, d’) în frontalaD1(d1, d’1) conŃinută în planul de front [F] ce trece prin (ω, ω’), plan utilizat şi pentru obŃinereameridianului principal. În modul acesta, în proiecŃie verticală rezultă direct punctele 1’1, 2’1 căutate.Revenind din rotaŃie şi aplicând cunoştinŃele de la paragraful 5.2 se obŃin proiecŃiile verticale 1’ şi2’ pe proiecŃia d’, iar apoi cu linii de ordine pe d se obŃin proiecŃiile orizontale 1 şi 2.

Pentru stabilirea vizibilităŃii dreptei se vor aplica principiile cunoscute. Între punctele 1 şi 2,

atât în proiecŃie orizontală cât şi verticală, dreapta este nevăzută. În proiecŃie orizontală, punctelesituate deasupra planului de nivel ce trece prin (ω, ω’) sunt vizibile. Astfel, punctul 2 va fi văzut şi




1 nevăzut. În proiecŃie verticală, punctele situate în faŃa planului de front ce trece prin centrul sfereivor fi văzute, deci 1’ va fi văzut şi 2’ nevăzut.

Fig. 7.37. IntersecŃia sferei cu o dreaptă ce trece prin centrul sferei.

7.4.4.2. IntersecŃia sferei cu o dreaptă ce nu trece prin centrul sferei

Problemele de acest tip se pot rezolva prin două căi: fie prin rabatere pe un plan paralel cuplanele de proiecŃie, fie prin metoda schimbării planelor de proiecŃie.

Fig. 7.38. IntersecŃia unei sfere cu o dreaptă oarecare – rezolvată prin rabatere.

În figura 7.38, se dă sfera de centru C(c, c’) şi rază cunoscută şi dreapta D(d, d’) ce nutrece prin centrul sferei. Planul format de dreaptă şi centrul sferei se rabate pe un plan de nivel cetrece, de asemeni, prin centrul sferei, aducând astfel dreapta în acelaşi plan cu ecuatorul. În acestmod rezultă direct punctele de intersecŃie.

Concret, axa de rabatere (ε, ε’) este dreapta de intersecŃie dintre planul de nivel [N] şi planulformat de dreapta D(d, d’) şi centrul C(c, c’). Rabaterea se realizează cu ajutorul unui punctoarecare B(b, b’) al dreptei, pentru care s-a construit triunghi de poziŃie. La intersecŃia drepteirabătute Do cu ecuatorul, se obŃin punctele 1o, 2o care se ridică din rabatere (perpendicular pe axa




de rabatere) rezultând proiecŃiile orizontale 1, 2 pe d şi cu linii de ordine 1’, 2’ pe d’. Vizibilitatea încele două proiecŃii se stabileşte separat, aplicând aceleaşi principii ca în cazul precedent.

Fig. 7.39. IntersecŃia unei sfere cu o dreaptă oarecare, utilizând metodaschimbării planelor de proiecŃie.

În figura 7.39 se reprezintă sfera de centru (ω, ω’) şi rază cunoscută şi dreapta D(d, d’),dată prin punctele A(a, a’) şi B(b, b’).

Vom efectua o schimbare de plan vertical atât pentru sferă cât şi pentru dreaptă, luând noualinie de pământ O1x1 paralelă cu proiecŃia orizontală d a dreptei. Dreapta D(d, d’) oarecare s-atransformat în frontala D1(d1≡ d, d’1).

În cazul în care dreapta este situată într-o poziŃie particulară faŃă de planele de proiecŃie(orizontală, frontală sau de profil), punctele de intersecŃie se obŃin utilizând unul dintre planeleparticulare paralele cu planele de proiecŃie.

Astfel, cu ajutorul planului de front [F1] trasat prin proiecŃia orizontală d ≡ d1 a dreptei, seobŃine paralelul de front ce intersectează proiecŃia d’1 în punctele 1’1 şi 2’1 căutate. Cu linii de rapelrezultă proiecŃiile orizontale 11 ≡ 1 şi 21 ≡ 2 şi în continuare proiecŃiile verticale 1’, 2’.

Vizibilitatea dreptei este dată în figura 7.39, respectând regulile enunŃate anterior.

7.4.5. Sfera utilizată ca suprafaŃă auxiliară pentru rezolvarea intersecŃiilor de corpurirotunde

Această metodă se utilizează în cazul intersecŃiei corpurilor rotunde dacă sunt îndepliniteurmătoarele condiŃii:

• secŃiunile normale pe suprafeŃe sunt circulare;•

axele celor două corpuri sunt concurente;• axele se proiectează în adevărată mărime în proiecŃia considerată.




În aceste condiŃii, curbele de intersecŃie se pot obŃine înscriind sfere concentrice – cu centrul în punctul de concurenŃă al axelor – în zona de intersecŃie.

Sferele secŃionează cele două corpuri după cercuri, la intersecŃia acestor cercuri rezultândpuncte ale curbelor de intersecŃie.

Metoda se aplică frecvent în practica lucrărilor de construcŃii şi instalaŃii, la intersecŃii deconducte, tuneluri, galerii, la realizare diferitelor confecŃii metalice, etc.

Un caz uzual din practica inginerească este dat de intersecŃia dintre doi cilindri (ex.:tronsoane de conducte, canale ) cu axe perpendiculare sau ce fac un unghi oarecare. În figura 7.40 s-a rezolvat în dublă proiecŃie ortogonală intersecŃia dintre cilindrul fronto-

orizontal I de diametru Φ1 şi cilindrul vertical II de diametru Φ2, Φ2 > Φ1. Curbele de intersecŃierezultă în proiecŃie verticală, prin înscrierea de sfere cu raze diferite, cu centrul în punctul I(i, i’).

Fig. 7.40. IntersecŃia dintre doi cilindri de diametre diferite şi axe concurente.

Sfera cea mai mică este tangentă cilindrului cu diametru maxim (Φ2), iar celelalte sfere suntconcentrice şi mai mari. Alegerea numărului de sfere utilizate se face în funcŃie de exigenŃele şimărimea desenului.

De exemplu, sfera S2 secŃionează cilindrul I după cercurile proiectate pe diametrele 7’8’ şi7’18’1, iar cilindrul II după cercurile proiectate pe diametrele 5’6’ şi 5’16’1. La intersecŃia acestorarezultă punctele f’, g’, respectiv f’1, g’1 ale curbelor de intersecŃie.

ConstrucŃiile auxiliare pentru determinarea curbelor de intersecŃie se efectuează în proiecŃieverticală, în timp ce în proiecŃie orizontală sunt deformate după cercul de bază al cilindruluivertical. De aceea, în multe cazuri se renunŃă la reprezentarea în proiecŃia nesemnificativă, cumeste în cazul de faŃă proiecŃia orizontală.

În figura 7.41,a; 7.41,b s-a reprezentat în proiecŃie verticală intersecŃia dintre un cilindrufronto-orizontal I şi vertical II, având raportul dintre diametre:

(7.41,a) Φ1 > Φ2 (7.42,b) Φ1 = Φ2




Modul de abordare este similar cazului precedent şi curbele de intersecŃie sunt reprezentate în figurile respective. Observăm că, în cazul în care diametrele sunt egale, curbele de intersecŃiedevin drepte concurente în i’.

Fig. 7.41. IntersecŃia dintre doi cilindri cu axe concurente.

În figura 7.42 s-a reprezentat în dublă proiecŃie ortogonală intersecŃia dintre un con circular drept şi un cilindru fronto-orizontal, având punctul de concurenŃă al axelor I(i, i’).

Fig. 7.42. IntersecŃia dintre un con şi un cilindru cu axe concurente.

Punctele de intersecŃie ale generatoarelor de contur aparent vertical, rezultă direct şi suntcoborâte cu linie de ordine pe generatoarele corespunzătoare în proiecŃie orizontală. Pentru

determinarea punctelor curente ale curbelor se înscriu în proiecŃie verticală sfere concentrice cucentrul în i’. Sfera S1 cea mai mică este tangentă conului şi intersectează conul după cercul




proiectat pe diametrul 1’2’, iar cilindrul după cercurile proiectate pe diametrele 3’4’ şi 3’14’1. LaintersecŃia lor rezultă punctele c’, respectiv c’1 ale curbei.

În proiecŃie orizontală, se coboară cu linie de ordine punctele c’ şi c’1 pe cercul concentric cucercul bazei conului, de rază ω1. ConstrucŃia se repetă, în cazul sferelor mai mari decât ceatangentă, rezultând mai multe puncte ale curbelor.

O aplicaŃie tehnică importantă, în special pentru domeniul instalaŃiilor este dată în figura

7.43, ce reprezintă o ramificaŃie simplă oblică între un tronson cilindric vertical (I) de diametru D1 şiun tronson cilindric frontal (II) de diametru D2, având axele concurente sub un unghi α.

Fig. 7.43. IntersecŃia dintre un cilindru vertical şi unul frontal, utilizând sfera ca suprafaŃă auxiliară.Rezolvarea intersecŃiei şi desfăşuratele cilindrilor.

RamificaŃiile pot fi simple sau duble, drepte sau oblice. S-a reprezentat, din motive enunŃateanterior, numai proiecŃia verticală. Prin înscrierea sferelor concentrice S1, S2, S3 s-a determinat




curba de intersecŃie, ce este evident simetrică. Întrucât în practică este necesar a se realizaşablonul unei astfel de piese, s-a rezolvat şi desfăşurata cilindrilor I şi II.

ConstrucŃia rezultă din figură, cu menŃiunea că adevărata mărime a generatoarelor cilindrilor o avem direct datorită poziŃiilor particulare ale cilindrilor. Pentru a avea distanŃa dintre generatoares-a construit adevărata mărime a bazelor cilindrilor. Cu linii de ordine, prin translaŃie, pegeneratoarele suport, s-au poziŃionat punctele curbei de intersecŃie. Desfăşurata cilindrului I s-a

reprezentat separat, din lipsă de spaŃiu.

7.4.6. Desfăşurarea aproximativă a sferei

SuprafaŃa sferei este nedesfăşurabilă. Există însă metode pentru construirea uneidesfăşurate aproximative a sferei.

Una dintre aceste metode constă în împărŃirea suprafeŃei în fuse sferice obŃinute prinsecŃionarea sferei cu plane verticale care trec prin centrul ei (fig.7.44).

În cazul în care este ales un număr de 12 fuse sferice lăŃimea unui fus sferic rezultă:

612

2 R R π π

= , (2)

Lungimea fusului sferic va fi:

R R

π

π

=2

2, (3)

R fiind raza sferei.

De asemenea, pentru construcŃia desfăşuratei, sfera este secŃionată şi cu plane de nivelauxiliare, rezultând paraleli de nivel (cercuri) concentrici.

Fig. 7.44. Desfăşurarea aproximativă a sferei.

080_TEORIE SFERA

Documents

Transcript of 080_TEORIE SFERA