08. Probleme Integrale Multiple .pdf

232 CAPITOLUL 7. INTEGRALE DUBLE SI TRIPLE

ii. Fie D R2 o multime compacta, fie , : D 7 R doua functii continueastfel ncat si fie

= {(x, y, z) R3 | (x, y) D, (x, y) z (x, y)}.Daca f : 7 R este o functie continua, atunci f este integrabila Lebesguepe si:

f(x, y, z)dxdydz =

D

( (x,y)(x,y)

f(x, y, z)dz

)dxdy.

In particular, volumul lui este:

() =

dxdydz =

D((x, y) (x, y)) dxdy.

Formula schimbarii de variabileFie A Rn o multime deschisa si fie : A 7 (A) Rn un difeomorfism.Pentru orice functie continua f : (A) 7 R, avem:

(A)f(x)dx =

A(f )(y)|J(y)|dy,

unde J este iacobianul difeomorfismului .

7.2 Integrale duble

1. Sa se calculeze urmatoarele integrale duble:

a.

Dxy2dxdy, unde D = [0, 1] [2, 3].

b.

Dxydxdy, unde D = {(x, y) R2 ; y [0, 1] , y2 x y}.

c.

Dydxdy , unde D = {(x, y) R2 ; (x 2)2 + y2 1}.

Solutie

a.

Dxy2dxdy =

10dx

32xy2dy =

10

193x dx =

196.

b.

Dxydxdy =

10

yy2xydx =

12

10

(y3 y5

)dy =

124.

c.

Dydxdy =

31dx

1(x2)21(x2)2

ydy = 0.Onl

y fo

r stu

dent

s

7.2. INTEGRALE DUBLE 233

2. Sa se calculeze integralele duble:

a.

D(x+3y)dxdy, D fiind multimea plana marginita de curbele de ecuatii

y = x2 + 1, y = x2, x = 1, x = 3.

b.

De|x+y|dxdy,D fiind multimea plana maginita de curbele de ecuatii

x+ y = 3, x+ y = 3, y = 0, y = 3.

c.

Dxdxdy,D fiind multimea plana marginita de curba de ecuatie

x2 + y2 = 9, x 0.

Solutii

a.

D(x+ 3y)dxdy =

31

dx

x2+1x2

(x+ 3y)dy.

b. Fie D1 = {(x, y) D ; x+ y 0} si D2 = D \D1.Atunci D = D1 D2 si:

De|x+y|dxdy =

D1

exydxdy +

D2ex+ydxdy =

= 30dy

y3y

exydx+ 30dy

3yy

ex+ydx.

c.

Dxdxdy =

33

dy

9y20

xdx.

3. Folosind coordonatele polare, sa se calculeze integralele:

a.

Dex

2+y2dxdy, D = {(x, y) R2 ; x2 + y2 1}.

b.

D

(1 +

x2 + y2

)dxdy, D = {(x, y) R2 ; x2 + y2 y 0, x 0}.

c.

Dln(1 + x2 + y2)dxdy, D fiind marginit de curbele de ecuatii

x2 + y2 = e2, y = x3, x = y

3, x 0.

SolutieCoordonatele polare sunt x = cos, y = sin, iacobianul este , iardomeniul maxim pentru coordonatele si este (, ) [0,) [0.2pi).Onl

y fo

r stu

dent

s


a. In coordonate polare domeniul de integrare este dreptunghiul(, ) [0, 2pi) [0, 1], si deci:

Dex

2+y2dxdy = 2pi0

d

10e

2d =

12

2pi0

e210d = pi(e 1).

b. Inlocuind pe x si y n conditiile ce definesc domeniul D, obtinem

sin, cos 0

si deci [0, pi

2), [0, sin].

Rezulta: D

(1 +

x2 + y2

)dxdy =

pi2

0d

sin0

(1 + )d =pi

8+29.

c. Domeniul de integrare n coordonate polare este dreptunghiul(, ) [0, e] [pi6 , pi3 ], deci:

Dln(1 + x2 + y2)dxdy =

e0d

pi3

pi6

ln(1 + 2)d =

=pi(1 + e2)

12

(ln(1 + e2) 1

)+

pi

12.

4. Sa se calculeze cu o eroare mai mica decat 102 integralele:

a.

A

dxdy

1 + xy, A = [0,

12] [0, 1].

b.

B

ln(x2 + y2)(x2 + y2 1)(x2 + y2) , dxdy, unde:

B = {(x, y) ; 1 x2 + y2 (e 1)2}.

Solutiia.

A

dxdy

1 + xy= 1

2

0dx

10

dy

1 + xy= 1

2

0

ln(1 + xy)x

10dx =

= 1

2

0

ln(1 + x)x

dx = 1

2

0

n0

(1)nn+ 1

xndx =n0

(1)n(n+ 1)22n+1

= 65144

.Onl

y fo

r stu

dent

s

7.2. INTEGRALE DUBLE 235

b. Folosim coordonatele polare: B

ln(x2 + y2)(x2 + y2 1)(x2 + y2) = 4pi

e11

ln 1d =

= 4pi e20

ln(1 + u)u

du = 4pi e20

n0

(1)nn+ 1

nd =

= 4pin0

(1)n(e 2)n+1(n+ 1)2

.

In continuare se aproximeaza suma seriei alternate obtinute.

5. Fie D R2 si fie f : D 7 [0,) o functie continua.Sa se calculeze volumul multimii

= {(x, y, z) R3 ; (x, y) D, 0 z f(x, y)},n urmatoarele cazuri:a. D = {(x, y) R2 ; x2 + y2 2y}, f(x, y) = x2 + y2.b. D = {(x, y) R2 ; x2 + y2 x, y > 0}, f(x, y) = xy.c. D = {(x, y) R2 ; x2 + y2 2x+ 2y 1}, f(x, y) = y.SolutieVolumul multimii este dat de formula

vol() =

Df(x, y)dxdy

a. Trecand la coordonate polare, se obtine:

vol() =

D(x2 + y2)dxdy =

pi0d

2 sin0

3d =32pi.

b. Cu aceeasi metoda, se obtine:

vol() =

Dxydxdy =

pi2

0d

cos0

3 cos sind =124.

c. Cu schimbarea de variabile:

x = 1 + cos, y = 1 + sin, (, ) [0, 1] [0.2pi),rezulta:

vol() =

Dydxdy =

2pi0

d

10(1 + sin)d = pi.O

nly

for s

tude

nts


6. Sa se calculeze ariile multimilor plane D marginite de curbele deecuatii:

a.x2

a2+y2

b2= 1, a si b fiind doua constante pozitive.

b.(x2 + y2

)2 = a2(x2 y2), x > 0, a fiind o constanta pozitiva.c.(x2 + y2

)2= 2a2xy, a fiind o constanta pozitiva.

Solutiia. Ecuatia elipsei n coordonate polare generalizate,x = a cos, y = b sin, este = 1 si deci obtinem:

aria(D) =

Ddxdy =

2pi0

d

10abd = piab.

b. Ecuatia curbei n coordonate polare este 2 = a2(cos2 sin2 ), sau = a

cos 2, si deci domeniul de integrare n coordonate polare este

(pi4,pi

4

), (0, acos 2).

Rezulta:

aria(D) =

Ddxdy =

pi4

pi4

d

acos 20

d =a2

2.

c. Ecuatia lemniscatei n coordonate polare este 2 = 2a2 cos sin. Dome-niul de integrare este (0, pi2 ) (pi, 3pi2 ), (0, a

sin 2); obtinem:

aria(D) =

Ddxdy = 2

pi2

0d

asin 20

d = a2.

7. Fie R si fie D discul unitate nchis. Sa se calculeze integralele:a. I =

D

dxdy

(x2 + y2)

b. J =

R2\Ddxdy

(x2 + y2).

Solutie

I = 2pi0

d

10

d

21=

{pi

1 daca < 1 daca 1

J = 2pi0

d

1

d

21=

{pi

1 daca > 1 daca 1

Onl

y fo

r stu

dent

s

7.3. INTEGRALE TRIPLE 237

7.3 Integrale triple

8. Fie multimea:

= {(x, y, z) R3 ; x2 + y2

4 1, x2 + y2 1, x 0, y 0, 0 z 5}

Sa se calculeze integrala

yzx2 + y2

dxdydz prin doua metode:

a. proiectand pe planul xoy sib. folosind coordonatele cilindrice.Solutiea. Proiectia multimii pe planul xoy este

D = {(x, y) R2 ; x [0, 1],1 x2 y 2

1 x2}

Obtinem:

yzx2 + y2

dxdydz =

Ddxdy

50

yzx2 + y2

dz =

=252

D

yx2 + y2

dxdy,

integrala care se calculeaza folosind coordonate polare.b. Coordonatele cilindrice sunt x = cos, y = sin, z = z, domeniulmaxim fiind (, , z) [0,) [0, 2pi)R, iar iacobianul J = .Pentru , domeniul de integrare n coordonate cilindrice estez [0, 5], [0, pi2 ], [1, 23 cos2 +1 ] si deci:

yzx2 + y2

dxdydz = 50dz

pi2

0d

23 cos2 +1

1

z sin

d =

=252

pi2

0

3(1 cos2 )3 cos2 + 1

sin d =2518(43pi 9).

9. Sa se calculeze integralele:

a.

(y x) dxdydz,

= {(x, y, z) R3 ; x2 + y2 + z2 1, y > 0}

b.

(1 x2 y

2

9 z

2

4

) 32

dxdydz,

= {(x, y, z) R3 ; y 0, z 0, x2 + y2

9+z2

4 1}.O

nly

for s

tude

nts


c.

z dxdydz,

= {(x, y, z) R3 ; x2 + y2 + (z 1)2 1}.SolutieCoordonatele sferice sunt

x = sin cos, y = sin sin, z = cos ,

domeniul maxim fiind:

(, , ) [0,) [0, pi] [0, 2pi),

iar iacobianul J = 2 sin .a. Pentru , domeniul n coordonate sferice este

[0, 1], [0, pi], [0, pi]

si avem: (y x)dxdydz =

= 10d

pi0d

pi03 sin2 (sin cos)d = pi

4.

b. Coordonatele sferice generalizate sunt:

x = a sin cos, y = b sin sin, z = c cos ,

avand acelasi domeniu maxim ca mai sus si iacobianul J = abc2 sin .Pentru domeniul vom lua a = 1, b = 3, c = 2, si ontinem:

(1 x2 y

2

9 z

2

4

) 32

dxdydz =

= 10d

pi2

0d

pi062

(1 2

) 32 sin d = 6pi

102(1 2) 32 d =

= 6pi pi

2

0sin2 t cos4 t dt = 6pi

0

u2

(1 + u2)4du =

= 3pi

( u

3(1 + u2)3

0

+ 0

du

3(1 + u2)3

)= pi

0

du

(1 + u2)3=

= pi

( 0

du

(1 + u2)2 0

u2

(1 + u2)3du

)=

34pi

0

du

(1 + u2)2=

316pi.O

nly

for s

tude

nts


c. Pentru , domeniul n coordonate sferice este

[0, 2pi), [0, pi2], [0, 2 cos )

si deci: zdxdydz =

2pi0

d

pi2

0d

2 cos 0

3 sin cos d =

8pi pi

2

0cos5 sin d =

43pi.

10. Fie 0 < k < R; sa se calculeze volumul multimii:

= {(x, y, z) R3 | x2 + y2 + z2 R2, z k}.

SolutieMultimea este interiorul calotei sferice situate deasupra planului z = k.Pentru a calcula volumul, trecem la coordonate sferice. Fie 0 [0, pi2 ] astfelncat R cos 0 = k, deci cos 0 = kR ; rezulta domeniul (pentru coordonatelesferice):

[0, 2pi), [0, 0], [ kcos ,R].Se obtine:

dxdydz =

2pi0

d

00

d

Rk

cos

2 sin d =

2pi3

00

(R3 k

3

cos3

)d =

2pi3

(R3 cos k

3

2 cos2

) 0

0

=

=2pi3

(R3 3

2r2k +

k3

2

).

11. Sa se calculeze volumele multimilor marginite de suprafetele deecuatii:a. 2x2 + y2 + z2 = 1, 2x2 + y2 z2 = 0, z 0.b. z = x2 + y2 1, z = 2 x2 y2.c. z = 4 x2 y2, 2z = 5 + x2 + y2.d. x2 + y2 = 1, z2 = x2 + y2, z 0.e. x2 + y2 = 4a2, x2 + y2 2ay = 0, x+ y + z = 3, x 0, z 0, a (0, 1).f. x2 + y2 + z2 = 1, y2 + z2 = x2, x 0.Onl

y fo

r stu

dent

s


Solutiea. Curba de intersectie dintre elipsoid si con este elipsa de ecuatii

4x2 + 2y2 = 1, z =12.

Proiectia pe planul xoy a lui este

D = {(x, y) ; 4x2 + 2y2 1}.

Rezulta:

vol() =

dxdydz =

Ddxdy

12x2y22x2+y2

dz =

=

D

(1 2x2 y2

2x2 + y2

)dxdy =

= 10d

2pi0

(1 1

22

122

)1

22 d =

pi

3(2 1).

b. Curba de intersectie a celor doi paraboloizi este cercul de ecuatii

x2 + y2 =32, z =

12.

Proiectia pe planul xOy a lui este

D = {(x, y) ; x2 + y2 32},

si deci obtinem:

vol() =

dxdydz =

Ddxdy

2x2y2x2+y21

dz =

= 3

2

0d

2pi0

(3 2) d.

c. Curba de intersectie dintre cei doi paraboloizi este cercul x2 + y2 = 1situat n planul z = 3. Notand cu D = {(x, y) R2 | x2 + y2 1},rezulta:

vol() =

dxdydz =

Ddxdy

4x2y212(1+x2+y2)

dz =Onl

y fo

r stu

dent

s


=

D

32(1 x2 y2) dxdy = 3

2

10d

2pi0

(1 2) d = 34pi.

d. Curba de intersectie dintre cilindru si con este cercul x2 + y2 = 1 situatn planul z = 1. Notand cu D = {(x, y) R2 | x2 + y2 1}, rezulta:

vol() =

dxdydz =

Ddxdy

1x2+y2

dz =

=

D

(1

x2 + y2

)dxdy =

10d

2pi0

(1 ) d = pi3.

e. Proiectia lui pe planul xOy este

D = {(x, y) ; x2 + y2 4a2, x2 + (y a)2 a2, x > 0},si deci obtinem:

vol() =

dxdydz =

Ddxdy

3xy0

dz =

= pi0d

2a2a sin

(3 cos sin) d.

f. Curba de intersectie dintre sfera si con este cercul y2 + z2 = 12 , situat nplanul x =

22 . Proiectia multimii pe planul yOz este discul D = {(y, z)

R2 | y2 + z2 12}; rezulta:

vol =

dxdydz =

Ddydz

22y2+z2

dx =

=

D

(22y2 + z2

)dydz =

24pi

22

0d

2pi0

2 d =2

12pi.

12. Sa se calculeze volumele multimilor marginite de suprafetele deecuatii:a.(x2 + y2 + z2

)3 = x.b.(x2 + y2

)3 = z2, z = 0, z = 8.c.

x2

a2+y2

b2=z2

c2, 0 z c, a > 0, b > 0, c > 0.

Solutiea. Folosim coordonatele sferice. Obtinem domeniul: [0, pi], [pi2 , pi2 ], [0, 5

sin cos] si deci:

vol() =

dxdydz =

pi0d

pi2

pi2

d

5sin cos0

2 sin d =Onl

y fo

r stu

dent

s


=13

pi0d

pi2

pi2

sin sin35 cos

35 d =

13

( pi0sin

85 d

) ( pi2

pi2

cos35 d

).

Calculam prima integrala; mai ntai, observam ca: pi0sin

85 d =

pi2

0sin

85 d +

pipi2

sin85 d = 2

pi2

0sin

85 d,

cu schimarea de variabila t = pi n a doua integrala. Vom calcula acumintegrala

pi2

0sin

85 d folosind functia B a lui Euler (a se vedea si exercitiul

28(a) din capitolul 5). Cu schimbarea de variabila sin2 = y, rezulta: pi2

0sin

85 d =

10

y45

2y1 y dy =

=12

10y

310 (1 y) 12 dy = 1

2B

(1310,12

).

Calculam acum integrala pi

2

pi2

cos35 d cu aceeasi metoda: fie sin2 = y;

rezulta: pi2

pi2

cos35 d = 2

pi2

0cos

35 d = 2

10

(1 y) 3102y1 y dy =

= 10(1 y) 15 y 12 dy = B

(45,12

).

In concluzie, volumul cerut este:

vol() = B(1310,12

)+B

(45,12

).

b. Folosim coordonatele cilindrice; obtinem:

vol() =

dxdydz =

80dz

2pi0

d

3z0

d = 32pi.

c. Folosim coordonate cilindrice generalizate:

x = a cos, y = b sin, z = z

si obtinem:

vol() =

dxdydz =

c0dz

2pi0

d

zc

0ab d =

pi

3abc.

Onl

y fo

r stu

dent

s

08. Probleme Integrale Multiple .pdf

Documents

Transcript of 08. Probleme Integrale Multiple .pdf