Capitolul III

SPAŢII VECTORIALE

Se ştie că rezolvarea multor probleme din toate domeniile de activitate se reduce

în final la rezolvarea unor sisteme de ecuaţii liniare (de exemplu, orice ajustare

polinomială utilizată în legătură cu orice experiment din biologie revine la rezol-

varea unui sistem de ecuaţii liniare) sau la determinarea vectorilor şi valorilor

proprii ale unor operatori (de exemplu, determinarea funcţiilor de undă asociate

unui sistem de microparticule se reduce la determinarea de vectori şi valori pro-

prii). În fapt, s-a ajuns la transpunerea unor probleme concrete în cadrul algebrei

liniare. Unul dintre obiectele de bază ale algebrei liniare este spaţiul vectorial sau

liniar. Ca exemple cităm spaţiile vectoriale reale ale vectorilor liberi din spaţiu sau

din plan, spaţiile vectoriale ale componentelor atomice şi moleculare.

§1. Spaţii vectoriale

1. Definiţii. Exemple

Definiţia 1. Fie K un câmp. Se numeşte spaţiu vectorial sau spaţiu liniar

peste câmpul K orice mulţime nevidă V dotată cu o operaţie binară +:V V →

V, numită adunare şi o aplicaţie ·:K

×

( ) vuv,u rrrr+→ ×V → V, ( ) uu, rrr

⋅α→α ,

numită operaţie externă (sau lege de compoziţie externă) care satisfac axiomele:

1°. V(+) este grup abelian,

2°. 1· v = vr , ∈ V (1 este elementul neutru la înmulţirea din K), r∀ vr

3°. α ·(u +r vr) = α ·u + · , rα vr ∀α ∈ K, ∀ ur , vr ∈ V,

4°. (α + β )·u = ·u + · , rα

rβ ur ∀α, β ∈ K, ∀ ur ∈ V,

5°. α ·(β ·u ) = ( ·β )·urα

r, ∀α, β ∈ K, ∀ ur ∈ V.

Terminologie. 1°. Elementele lui V se numesc vectori iar operaţia de

adunare se numeşte adunarea vectorilor. Din motive didactice preferăm să notăm

(mai greoi) vectorii prin litere având o săgeată deasupra; aceasta permite să-i

39

distingem uşor de elementele din câmpul K. 2°. Elementele lui K se numesc

scalari iar operaţia externă se numeşte înmulţire cu scalari. 3°. Când K = , V se

numeşte spaţiu vectorial real, iar când K = , V se numeşte spaţiu vectorial

complex. 4°. Elementul neutru pentru adunare se numeşte vectorul zero şi se

notează cu 0r

; mai târziu vom nota şi vectorul zero cu 0 (la fel ca scalarul zero)

pentru că, din context, va fi totdeauna clar când este vorba de vectorul zero sau de

scalarul zero. 5°. Opusul 'vr al vectorului vr şi se va nota cu = - . v′r rv

Exemplul 1. 1°. Spaţiul vectorial peste câmpul K definit pe grupul abelian {0}

dotat cu înmulţirea cu scalari definită prin ⋅α 0 = 0 , ∀ K se numeşte

spaţiul vectorial nul.

α ∈

2°. Mulţimea 2 dotată cu operaţiile: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )212122112121 xxxxyxyxyyxx ⋅α⋅α=⋅α++=+ ,,,,,,

este spaţiu vectorial real. Într-adevăr, dacă )z(z = z , )y,y( = y , )x(x = x 212121 ,,rrr

sunt trei vectori oarecare din 2, egalităţile ( ) ( ) ( )( ) ( ) ),(,,, 222111212121 zyxzyxzzyyxxzyx ++++=++=++

rrr , rrr ( ) ( )( ) ( )222111212121 zyxzyxzzyyxxzyx ++++=++=++ ,,,),()(

asigură că adunarea este operaţie asociativă. Vectorul (0, 0) este element neutru la

adunare, iar vectorul (-x1, -x2) este opusul vectorului (x1, x2) . Comutativitatea

adunării este uşor de verificat.

Exerciţiul 1. 1°.Arătaţi că adunarea matricelor şi înmulţirea matricelor cu scalari

organizează mulţimea M ) ca spaţiu vectorial real. (nm×

2°. Arătaţi că mulţimea ς3 a vectorilor liberi din spaţiu, dotată cu operaţiile

obişnuite de adunare (definită, de exemplu, prin regula paralelogramului) şi

înmulţire cu scalari, este spaţiu vectorial real.

Exerciţiul 2. Enumeraţi regulile de calcul dintr-un spaţiu vectorial:

1°. ...............................................................................................................................

2°. ...............................................................................................................................

3°. ...............................................................................................................................

4°. ...............................................................................................................................

5°. ...............................................................................................................................

Definiţia 2. Spunem că sistemul de vectori S = { v,...,v,v m21rrr } este un sistem

liniar independent, sau că vectorii v,,...v,v m21rrr sunt liniar independenţi (sau că

40

vectorii v,,...v,v m21rrr formează un sistem liniar independent), dacă orice relaţie de

forma 0 v +... mm =µ+ v + v 2211 µµ rrr implică 0... m21 =µ==µ=µ . În caz con-

trar se va spune că vectorii (sau sistemul de vectori) sunt liniar dependenţi. Dacă

orice vector din V este combinaţie liniară a vectorilor sistemului S spunem că S

este un sistem de generatori pentru spaţiul vectorial V.

∈−= ),,( v21v 21rr

),( 00v 22 =v11 µ+µ

µ−µ−µ

2 1

1

⊂},, 321 vvvrrr

),(),, 01v1 3 =1−r

0vv2v 321 =++rrr

⊂},{ 21 vvrr

)2α, 22 vµ+

}, 21 vvrr

,{ 1 eerr

),(),,( 10e01 2 ==r

,( 1221 e µ=µ1e +µrr

),( 00ee 2211 ⇔=µ+µrr

22e1121 err

α+α α=α ),

{

vr

nn e +11 + e = vrrrr

µ n21 ,...,,µµ µµ ∈

}e,...,e,e n21rrr vr

n,...,21 , µµµ ∈

11 vv nn v... rrrµ+µ=

},{ 21 eerr

22ex21 xxvrr

= ),(

vr

Exemplul 2. Vectorii −= ),( 11 2 sunt liniar independenţi deoarece

orice relaţie , este echivalentă cu sistemul care

are numai soluţia µ

=µ+=

0

0

2

2

1=µ2=0. Dar sistemul de vectori { ú2, cu ),2−,(1v1 =r

(v 2 = este liniar dependent pentru că . Sistemul de

vectori S= ú2 este un sistem de generatori pentru 2 pentru că orice vector

( 1v α=r ∈ 2 se poate scrie: 11vv µ=

r unde µ1=-α1-α2, µ2=-2α1-α2.

Definiţia 3. Sistemul de vectori S se numeşte bază a spaţiului vectorial V dacă

r

1°. S este un sistem liniar independent,

2°. S este un sistem de generatori pentru V.

Exemplul 3. 1°.Pe baza Exemplului 2 rezultă că S={ este bază în 2.

2°. Sistemul de vectori Bc = }2 cu e1r este bază în 2. Într-

adevăr, egalitatea )2µ implică )021 =µ=µ şi v

r= ( adică Bc este şi sistem liniar independent şi sistem de

generatori în 2. Bc se numeşte baza canonică din 2.

Teorema 1 (de caracterizare a bazei). Sistemul de vectori B = }e,...,e,e n21rrr

este bază a spaţiului vectorial V dacă şi numai dacă orice vector ∈ V se scrie

în mod unic sub forma 22 ...+ e cu µ K.

Definiţie 4. Dacă B = { este bază în V şi este un vector oarecare din V

atunci scalarii K, unic determinaţi de reprezentarea

22 vr +µ+ ,

se numesc coordonatele vectorului în baza B. vr

41

Exemplul 4. Dacă Bc = este baza canonică din 2 pentru orice vector vr

∈ 2 au loc egalităţile 11exr

+= , adică componentele x1, x2 sunt chiar coordonatele de acelaşi nume ale vectorului . Din Teorema 1 rezultă că baza Bc este singura bază cu această proprietate şi de aceea poartă numele de bază canonică sau bază naturală din 2.

Exerciţiul 3. Definiţi baza canonică Bc = { }e,...,e,e n21rrr din n şi arătaţi că au loc

egalităţile nnex...2211n21 exex)x,...,x,x(vr

+++== . rrr

Rezultă că, în baza canonică din n, orice vector din n are i-componenta

(i = 1, 2,..., n) egală cu i-coordonata în baza Bc . Această bază este singura bază cu

această proprietate şi de aceea această bază se numeşte baza canonică sau baza

naturală din n.

Exerciţiul 4. Arătaţi că în spaţiul vectorial real E3 al vectorilor liberi din spaţiu,

orice sistem format din trei vectori (nenuli) necoplanari este o bază pentru E3.

Teorema 2. Din orice sistem de generatori al unui spaţiu vectorial V se poate

extrage o bază a acestui spaţiu .

Instrumentul de lucru care se poate utiliza în rezolvarea majorităţii proble-

melor de algebră liniară este aşa-numita lema substituţiei pe care o prezentăm în cele

ce urmează.

Lema substituţiei. Fie B = }e,...,e,e{ n21rrr o bază a spaţiului vectorial V, Vu∈r -

un vector fix cu u n11e n22 e...err

α++α+α=

ier

şi sistemul de vectori B* obţinut din

B înlocuind vectorul cu vectorul ur (adică B* = { ,,...,, 1i21 eee − },..., ne, 1ieur

+ ).

Au loc afirmaţiile :

rr

rrr rr

1°. B* este bază dacă şi numai dacă 0i ≠α ,

2°. dacă B* este bază a lui V, atunci coordonatele în baza

B

λλλ n*

2*

1* ,...,,

* ale unui vector se exprimă în funcţie de coordonatele V x∈r λλλ 21 ,...,, n în

baza B ale lui xr prin egalităţile = , = ii

jjj

*

i

ii* λ⋅

α

α−λλ

αλ

λ pentru j ≠ i.

Calculele care trebuiesc făcute pentru a determina coordonatele în baza B*

ale vectorilor x , u când se cunosc coordonatele acestora în baza B se organi-

zează sub forma tablourilor:

rr

42

În aceste tablouri, pe coloane se găsesc coordonatele vectorilor corespun-

zători în bazele indicate la începutul fiecărui tablou . Deoarece s-a presupus că

rezultă că putem înlocui e0i ≠α ir cu ur . Elementul iα se va numi pivot ca o

recunoaştere a rolului important pe care îl are de jucat. De obicei pivotul se

marchează punându-se într-un dreptunghi sau într-un cerculeţ (fie va fi scris cu

caractere mai îngroşate decât restul textului).

⇒ ⇒

. . r

ie . . jer

. . r

ne

1 1 . . . . iα iλ . . . . α j jλ . . . . α n nλ

. . ier

. . jer

. . ner

1ii1 . . . . 1 ii /αλ . . . . 0 ( ) jiij / ααλ−λ . . . . 0 ( ) niin / ααλ−λ

Trecerea de la tabloul B la tabloul B* se face în felul următor :

1°. elementele liniei din B* corespunzătoare liniei pivotului se obţin

împărţind la pivot toate elementele liniei pivotului,

2°. se completează coloana corespunzătoare pivotului cu 0-uri,

3°. toate elementele cu se înlocuiesc cu iλ ij ≠ α⋅αλ

λλ ji

ijj

* - = .

Trecerea de la jλ la λ se poate face formal pe baza următoarei reguli

cunoscută sub numele de regula dreptunghiului şi prezentată schematic în

desenul de mai jos:

*j

iλ

Exerciţiul 5. Cum s

vectori este o bază?

B ... ur ... xr ...

1er

λ α

jj

ii

||λ−−−−α

λ−−−−α ⇒

e poate folosi lema su

Verificaţi-vă pe baza

43

B* ... ur .... xr ...

1er

0 ( )/ ααλ−λ

ji

ij

i

0

|

1

α

|

αλ

−λ−−−−

α−−−−

bstituţiei pentru a arăta că un sistem de

manualului [1] pag.95.

Exemplul 5. Vom verifica faptul că sistemul de vectori ( )321 vvvSrrr

,,= ⊂ 3 unde

=1vr (2,3,-1), ),,(),,,( 211v101v 32 −==

rr este o bază în 3 şi vom determina coordonatele vectorului v

r =(4, 3, 0) în baza S. Construim tabelele următoare

Deoarece B3 este bază în 3, rezultă că sistemul S este bază în 3 şi că

321 vv3vvrrrr

−+= , adică 1, 3, -1 sunt coordonatele lui vr în baza S.

Exerciţiul 6. Rezolvaţi problema din Exemplul 5 pornind în primul tablou de la

pivotul din locul (3,2) şi utilizând indicaţiile din [1] pag.96, Remarca 3.

Exemplul 6. Vom stabili că sistemul de vectori { }4321 vvvvSrrrr

,,,= ⊂ 4 unde =1vr

=(2,3,-1,0), ),,,(),,,,(),,,,( 0176v1211v1101v 432 −=−−=−=rrr este liniar dependent şi

vom determina o relaţie de dependenţă liniară între vectorii sistemului.

Bc 1vr 2v

r 3vr 4v

r

1er 2 1 1 6

2er 3 0 -1 7

3er -1 1 2 -1

4er 0 -1 -1 0

B2 1vr 2v

r 3vr 4v

r

1er 2 0 0 6

2er 2 0 0 6

3vr -1 0 1 -1

2vr 1 1 0 1

Bc 1vr 2vr 3vr vr

1er

2 1 1 4

2er

2 0 -1 3

3er -1 1 2 0

B2 1vr 2vr 3vr vr

2vr 5 1 0 8

2er

-1 0 0 -1

3vr -3 0 1 -4

B1 1vr 2vr 3vr vr

2vr 2 1 1 4

2er

2 0 -1 3

3er -3 0 1 -4

B3 1vr 2vr 3vr vr

2vr 0 1 0 3

1vr 1 0 0 1

3vr 0 0 1 -1

Sistemul nu este independent deoarece

coloană rezultă 3214 vvv3v −+=rrr , adic

dependenţă liniară între vectorii sistem

B1 1vr

2vr

3vr 4v

r

1er 2 0 0 6

2er 3 0 -1 7

3er -1 0 1 -1

2vr 0 1 1 0

B3 1vr

2vr

3vr 4v

r

1er 0 0 0 0

1vr 1 0 0 3

3vr 0 0 1 -1

2vr 0 1 0 1

4vr nu poate fi introdus în bază. Din ultima

ă 0vvv 4321 =−−+v3rrr este o relaţie de

44ului.

Exerciţiul 7. Arătaţi că între vectorii sistemului { }4321 vvvvSrrrr

,,,= ⊂ 5 unde =1vr

=(2,3,-1,0,2), ),,,,(),,,,,(),,,,,( 02792v20121v11211v 432 −−−=−−=−−−=rrr există o relaţie

de dependenţă liniară. Care este numărul maxim de vectori liniar independenţi

din sistem?

Teorema 3 (a bazei). Dacă V are o bază B = { }e,...,e,e n21rrr atunci

1°. orice sistem liniar independent din V are cel mult n vectori,

2°. orice bază a lui V are n vectori.

Definiţie 5. Spunem că spaţiul vectorial V peste câmpul K are dimensiunea n

peste K şi scriem n = dimKV dacă în V există o bază formată din n vectori.

Din Exerciţiul 3 rezultă că dim n = n.

Tot pe baza lemei substituţiei se stabileşte rezultatul :

Teorema 4. Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune n peste câmpul K. Pentru

orice sistem de n vectori S = { v,...,v,v n21 } următoarele afirmaţii sunt echivalente : rrr

1°. S este bază pentru V,

2°. S este un sistem de generatori pentru V,

3°. S este un sistem liniar independent .

Exerciţiul 8. Folosind Teorema 5, verificaţi că sistemul de vectori { }321 vvvSrrr

,,=

⊂ 3 unde =1vr (1,2,-1), ),,(),,,( 302v130v 32 −==

rr este o bază în 3.

§2. Subspaţii vectoriale

1. Definiţii. Exemple Fie V un spaţiu vectorial peste câmpul K.

Definiţia 6. O submulţime nevidă L V se numeşte subspaţiu vectorial al lui V

dacă operaţiile din V induc pe L o structură de spaţiu vectorial.

⊂

Propoziţia 1. Submulţimea nevidă L a spaţiului vectorial V este subspaţiu

vectorial dacă şi numai dacă :

1°. y∀ LyxL,x ∈+⇒∈rrrr

2°. ∀ LxLx,K ∈⋅α⇒∈∀∈αrr .

2. Rangul unui sistem de vectori Fie S = { }v,...,v,v m21

rrr un sistem de vectori din spaţiul vectorial real V.

Considerăm mulţimea notată L( m21 v,...,v,v rrr ) definită prin : 45

}K,...,,,v...vvv|Vv{)v,...,v,v(L m21mm2211m21 ∈µµµµ++µ+µ=∈=rrrrrrrr .

L( v,v v,..., m21rrr ) este subspaţiu vectorial al lui V şi se numeşte subspaţiul

liniar generat de sistemul de vectori S.

Definiţia 7. Se numeşte rangul sistemului de vectori S = { }v,...,v,v m21rrr numărul

notat rang S egal prin definiţie cu dimK L( v,...,v,v m21rrr ).

Se vede că rangul sistemului de vectori S este egal cu numărul maxim de

vectori liniar independenţi din sistem.

Exemplul 8. Să determinăm rangul sistemului de vectori ⊂= },,,{ 4321 vvvvSrr 4,

unde 1vr =(1, 2, -3, -5), 2v

r =(-1, 0, 2, 7), 3vr =(1, 4, - 4, -3), 4v

r =(-1, 2, 1, 9). Construim tabelele Bc 1v

r2vr 3v

r 4vr

1er 1 -1 1 -1

2er 2 0 4 2

3er -3 2 -4 1

4er -5 7 -3 9

Rezurezul

B2 1vr

2vr 3v

r 4vr

2vr 0 1 1 2

2er 0 0 0 0

1vr 1 0 2 1

4er 0 0 0 0

3. Rangul unei matrice

Fiecărei matrice A = [ ]ija m×n îi asocie

⋅⋅⋅

a

aa

= C

m1

12

11

A1 , = CA

2

pe care îi identificăm cu elemente din

[ ]n11211A1 aaa = L .... , [ 21

A2 a =L

pe care îi identificăm în mod natural c

B1 1vr

2vr 3v

r 4vr

2vr -1 1 -1 1

2er 2 0 4 2

3er

-1 0 -2 -1

4er 2 0 4 2

ltă că rang S=2. În plus, din ultimul tabel tă că 214213 v2vvvv2v

rrrrrr+=+= , .

m vectorii coloană

,... , C

⋅⋅⋅

a

aa

2m

22

21

⋅⋅⋅

a

aa

=

mn

n2

1n

An

m şi vectorii linie

],...,n222 aa ... [ ]mn2m1mAm aaa=L ...

u elemente din n.

46

Teorema 5 (Kronecker). Pentru orice matrice A nmM ×∈ ( ) au loc egalităţile

rang { = rang { = rang A . }C,...,C,C nA

2A

1A }A

mA2

A1 L,...,L,L

Teorema lui Kronecker permite să calculăm rangul unei matrice cu

ajutorul lemei substituţiei şi anume: este suficient să calculăm, , rangul sistemului

de vectori coloană (linie).

Exemplul 9. Vom determina rangul matricei .

Vom utiliza sistemul de vectori linie. Se obţin tabelele:

−

=

25446

13223

22202

11021

A

Bc A1C A

2C A3C A

4C A5C

1er 1 2 0 1 -1

2er 2 0 2 2 2

3er 3 2 2 3 1

4er 6 4 4 5 2

Pe baza ultimului tabel putem spune că ran

Ca exerciţiu vă propunem să determinaţi ra

vectori linie.

4. Inversarea matricelor

Pentru orice matrice pătratică inver

vectori coloană este ba}{ C,...,C,C nA

2A

1A

inversă A-1 = [ ] nij M∈

CjIn

b ( ), elementele bi

coordonatele vectorului în baza { C,C1A

Procedeul practic care decurge de

primul tabel care conţine atât vectorii sistem

vectorii coloană ai matricei unitate de ordinu

47

elementele bazei iniţiale cu vectorii sistemu

lema substituţiei).

B1 A1C A

2C A3C A

4C A5C

1er 1 2 0 1 -1

A3C 1 0 1 1 1

3er 1 2 0 1 -1

4er 2 4 0 1 -2

B2 A1C A

2C A3C A

4C A5C

1er 0 0 0 0 0

A3C 0 -2 1 0 2 A4C 1 2 0 1 -1

4er 1 2 0 0 -1

g

ng

sa

zj (

2

ai

u

l n

lu

B3 A1C A

2C A3C A

4C A5C

1er 0 0 0 0 0

A3C 0 -2 1 0 2 A4C 0 0 0 1 0 A1C 1 2 0 0 -1

A =3.

ul matricei A folosind sistemul de

bilă A = [ ] nij Ma ∈ ( ) sistemul de

ă în n. În plus, pentru matricea i =1, 2,…, n) ale coloanei j sunt

⊂}C,..., nAA n.

ci este următorul : se construieşte

lui { ⊂}C,...,C,C nA

2A

1A n cât şi

după care se înlocuiesc pe rând,

i { ⊂}C,...,C,C nA

2A

1A n (utilizând

Exemplul 10. Vom determina inversa matricei . Construim

tabelele:

−

−=

1232

1143

2311

1211

A

Bc C1A C2

A C3A C4

A 4I1C 4

I2C 4

I3C 4

I4C

e1 1 1 2 1 1 0 0 0 e2 -1 1 3 2 0 1 0 0 e3 3 4 1 1 0 0 1 0 e4 2 3 2 -1 0 0 0 1

B1 C1A C2

A C3A C4

A 4I1C 4

I2C 4

I3C 4

I4C

e1 -2 -3 1 0 1 0 -1 0 e2 -7 -7 1 0 0 1 -2 0

C4A 3 4 1 1 0 0 1 0

e4 5 7 3 0 0 0 1 1

B2 C1A C2

A C3A C4

A 4I1C 4

I2C 4

I3C 4

I4C

C3A

-2 -3 1 0 1 0 -1 0 e2 -5 -4 0 0 -1 1 -1 0

C4A 5 7 0 1 -1 0 2 0

e4 11 16 0 0 -3 0 4 1

B3 C1A C2

A C3A C4

A 4I1C 4

I2C 4

I3C 4

I4C

C3A

7/4 0 1 0 7/4 -3/4 -1/4 0 C2

A 5/4 1 0 0 1/4 -1/4 1/4 0 C4

A -15/4 0 0 1 -11/4 7/4 1/4 0 e4 -9 0 0 0 -7 4 0 1

B4 C1A C2

A C3A C4

A 4I1C 4

I2C 4

I3C 4

I4C

C3A

0 0 1 0 7/18 1/36 -1/4 7/36 C2

A 0 1 0 0 -13/18 11/36 1/4 5/36 C4

A 0 0 0 1 1/6 1/12 1/4 -5/12 C1

A 1 0 0 0 7/9 -4/9 0 -1/9

Din ultimul tabel rezultă

48

−

−

−

−−

=−

125

41

121

61

367

41

361

187

365

41

3611

1813

91

94

97

1

0

A .

Exerciţiul 9. Determinaţi inversa matricei .

−

=

3122

4131

1213

1112

A

5. Calculul determinanţilor

Dacă dorim să calculăm valoarea determinantului ∆ al matricei pătratice

A = [ ]ija ∈Mn(ú) construim tabelul

după care, utilizând lema substituţiei,

vom înlocui numărul maxim posibil de

vectori ai bazei canonice cu coloane ale

matricei A; dacă acest număr este mai

mic decât n, unele coloane ale matricei A

vor fi combinaţii liniare ale celorlalte

Bc C C ... C

e1

e2

.

en

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

........…….........

an1 an2 ... ann

A1

A2

An

coloane şi deci ∆ = det A = 0. În cazul în care toţi vectorii bazei canonice se

înlocuiesc cu coloanele matricei A, înseamnă că am trecut de la matricea dată fie

la matricea unitate fie la o matrice obţinută din aceasta printr-o permutare a

coloanelor. Valoarea determinantului va fi ∆ = α1 α2 ... αn (-1)s unde s este

numărul de schimbări de coloane necesare pentru a transforma matricea finală în

matricea unitate.

De exemplu, determinantul matricei A din Exemplul 11 este

Det A = 1.1.(-4).(-9).(-1)4 = 36.

6. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare

Fie (S) un sistem de m ecuaţii cu necunoscutele x1, x2,..., xn :

(S)

=+++

=+++=+++

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

bxa...xaxa.................................................

bxa...xaxabxa...xaxa

49

unde aij, bi ∈ , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, iar xj∈ , 1 ≤ j ≤ n sunt numere reale

necunoscute . Folosind notaţiile

A=[aij] ∈Mm×n( ), b ,

=

m

2

1

b..bb

=

n

2

1

x

x

x

X..

sistemul (S) se poate pune sub forma

(S’) A·X = b .

Prin utilizarea coloanelor matricei A sistemul (S) capătă forma

(S“) C . bxC...xCx nAn2

A21

A1 =+++

Exerciţiul 10. Definiţi noţiunea de soluţie a unui sistem liniar. Ce semnificaţie

are această noţiune pentru fiecare din cele trei tipuri de forme de prezentare a

unui sistem liniar? Ce interpretare are noţiunea de soluţie a sistemului (S”)?

Pentru verificare comparaţi cu [1] pag. 109.

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

Exemplul 11. Folosind interpretarea din Exerciţiul 14 vom rezolva sistemul

=+++=+++=+++

=−−+−=−++

1x2xx2x3

1x3x2xx2

5x4x3x2x

0xxxx

6xxxx

4321

4321

4321

4321

4321

.

Construim tablourile

Bc C1A C2

A C3A C4

A b e1 1 1 1 -1 -6 e2 1 1 -1 -1 0 e3 1 2 3 4 5 e4 2 1 2 3 1 e5 3 2 1 2 1 e1 0 0 2 0 -6

C1A 1 1 -1 -1 0

e3 0 1 4 5 5 e4 0 -1 4 5 1 e5 0 -1 4 5 1 e1 0 0 2 0 -6

50

C1A 1 0 -5 -6 -5

C2A 0 1 4 5 5

e4 0 0 8 10 6 e5 0 0 8 10 6

C3A 0 0 1 0 -3

C1A 1 0 0 -6 -20

C2A 0 1 0 5 17

e4 0 0 0 10 30 e5 0 0 0 10 30

C3A 0 1 1 0 -3

C1A 1 0 0 0 -2

C2A 0 0 0 0 2

C4A 0 0 0 1 3

e5 0 0 0 0 0 Deoarece , rezultă că xA

4A3

A1

A1 C3C3C2C2b +−+−= 1=-2, x2=2, x3=3, x4=3 este

unica soluţie a sistemului (sistemul de vectori coloane este bază într-un

subspaţiu ce conţine pe b, deci b se exprimă în mod unic ca o combinaţie

liniară a elementelor bazei).

Exerciţiul 11. Scrieţi sistemul din Exemplul precedent sub formele (S’) şi (S”).

Verificaţi apoi că (-2, 2, -3, 3) este soluţie pentru sistemul prezentat sub cele

trei forme.

Exerciţiul 12. Definiţi noţiunile:

sistem compatibil..................................................................................................

sistem incompatibil...............................................................................................

sistem compatibil determinat................................................................................

sistem compatibil nedeterminat.............................................................................

Exerciţiul 13. Enunţaţi teorema Kronecker-Capelli şi teorema Rouché-Frobenius.

Exemplul 12. Vom determina soluţia generală a sistemului

=−−+++=+−+++

=++++=+−+++

−=−−+

1xx8x4x4x7x10

12xxx3x3x4x5

23x2x6x2x2x

5xx2x2x2x3x4

9xx4xx2

654321

654321

65432

654321

6521

Construim tabelele

Bc C1A C2

A C3A C4

A C5A C6

A b e1 2 1 0 0 -4 -1 -9 e2 4 3 2 2 -2 1 5 e3 0 1 2 2 6 2 23

51

e4 5 4 3 3 -1 2 12 e5 10 7 4 4 -8 -1 1

C2A 2 1 0 0 -4 -1 -9

e2 -2 0 2 2 10 4 32 e3 -2 0 2 2 10 4 32 e4 -3 0 3 3 15 6 48 e5 -4 0 4 4 20 6 64

C2A 2 1 0 0 -4 -1 -9

C3A -1 0 1 1 5 2 16

e3 0 0 0 0 0 0 0 e4 0 0 0 0 0 0 0 e5 0 0 0 0 0 0 0

Rezultă egalităţile

A3

A2

A3

A2

A6

A3

A2

A5

A3

A4

A3

A2

A1

C16C9b

C2CC

C5C4C

CC

CC2C

+−=

+−=

+−=

=

−=

⇒ X .

),,,,,(),,,,,(),,,,,(),,,,,(),,,,,(

0001690X

100210X

010540

001100X

000121X

p

4

3

2

1

−=−=−=−=

−=

Soluţia generală este X=Xp+k1X1+k2X2+k3X3+k4X4 ∀ k1, k2, k3, k4∈ , adică

46244312

354321311kxkxkk4k29x

kxk2k5kk16xkx

=−=++−−==−−++==

.

Xp este soluţie de bază nedegenerată. (De ce?) Reamintim că sistemul omogen asociat sistemului nostru este

=−−+++=+−+++

=++++=+−+++

−=−−+

1xx8x4x4x7x10

12xxx3x3x4x5

23x2x6x2x2x

5xx2x2x2x3x4

9xx4xx2

654321

654321

65432

654321

6521

;

soluţia generală a lui este X=k1X1+k2X2+k3X3+k4X4 ∀ k1, k2, k3, k4∈ , adică

46244312

354321311kxkxkk4k2x

kxk2k5kkxkx

=−=++−==−−+==

.

În exemplul următor prezentăm un sistem incompatibil.

Exerciţiul 14. Arătaţi că sistemul

=+−++−=+++−

=+−+−=++−

=+−+−

6x4x7x3xx2

3xxx3x7

1x3x3x3x

3x2xxx

4xx4x3x2x

54321

5432

5421

5432

54321

este incompatibil.

52