01 Recapitulare MF1

download 01 Recapitulare MF1

of 60

  • date post

    18-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    390
  • download

    0

Embed Size (px)

description

NOTIUNI INTRODUCTIVE1. INTRODUCEREDupa cum si denumirea sugereaza, mecanica fluidelor este una din cele trei ramuri ale Mecanicii, cea mai veche dintre stiintele fundamentale ale naturii: 1. Mecanica generala studiaza legile universale ale mecanicii si aplicatiile lor la studiul corpurilor solide rigide; 2. Mecanica solidelor deformabile 3. Mecanica fluidelor studiaza legile universale ale deformatiilor pe care le sufera corpurile solide datorita fortelor care actioneaza asupra lor; are ca ob

Transcript of 01 Recapitulare MF1

NOTIUNI INTRODUCTIVE 1 1.INTRODUCERE Dupacumsidenumireasugereaza,mecanicafluideloresteunadinceletreiramuriale Mecanicii, cea mai veche dintre stiintele fundamentale ale naturii: 1. Mecanica generalastudiazalegileuniversalealemecaniciisiaplicatiilelorlastudiulcorpurilor solide rigide; 2. Mecanica solidelor deformabile studiazalegileuniversalealedeformatiilorpecarelesufera corpurilesolide datorita fortelor care actioneaza asupra lor; 3. Mecanica fluidelorare ca obiect studiul fluidelor, precum si interactiunea dintre acestea si solidele cu care vin n contact. Larndulei,mecanicafluidelorsemparte,conventional,ntreimariparti,dupacum urmeaza: 3.1 Statica fluidelorstudiazarepausulfluidelorsiactiunileexercitatedeacesteaasupra corpurilor solide cu care vin n contact. 3.2 Cinematica fluidelor studiazamiscareafluidelor,faraaluanconsiderarefortelecare determina, sau modifica, starea de miscare. 3.3 Dinamica fluidelorstudiazamiscarefluidelorlundnconsideraresifortelecare determinasaumodificastareademiscare,precumsitransformarile energetice produse n timpul miscarii. 2. APLICATII ALE MECANICII FLUIDELOR Principalele aplicatii ale staticii fluidelor constau n: studierea instrumentelor de masurare a presiunii fluidelor; studierea fortelor hidrostatice cu care fluidele actioneaza asupra corpurilor solide cu care vin n contact; studiul corpurilor plutitoare; studiul atmosferei, considerata n repaus. ngeneral,aplicatiiledinamiciifluidelorseclasificadupaconditiilelafrontieraimpuse miscarii. Astfel, se disting doua mari categorii de aplicatii: Dinamica fluidelor, externa: studiul curgerii fluidelor n jurul unor corpuri solide, considerate izolate n interiorul fluidului. Din aceasta categorie fac parte: studiul constructiilor supuse actiunii vntului; curgereaaeruluinjurulvehiculeloraflatenmiscare (trenuri, automobile, avioane etc.); - Fenomene aerodinamice MECANICA FLUIDELOR 2curgerea apei n jurul vehiculelor aflate n miscare n interiorul acesteia (submarine, vehicule amfibii etc.); - Fenomene hidrodinamice Laacestefenomenesestudiazaputereanecesaranvingeriifortelorderezistentala naintare,iarncazulfenomeneloraerodinamicesifortadesustentatiegenerata,precumn exemplul urmator: Gforta de greutate; P fortadesustentatie(deportanta) generata de aripa avionului; T forta de tractiune; R forta de rezistenta la naintare. Fig. 1 Principalele forte care actioneaza asupra unui avion n timpul zborului ncazulmiscariloruniforme,putereaconsumatapentrunvingereaforteiderezistentala naintare se poate calcula cu relatia: aer Rv Rtx RtLP (1.1) Dinamica fluidelor,interna:miscarea fluidelor este delimitata de frontiere solide: canalizari nchise, conducte, ai caror pereti sunt n general imobili. Se disting: miscarea gazelor n canalizari, conducte; miscarea gazelor n masini pneumatice; - Fenomene gazodinamice miscarea lichidelor n canalizari, conducte; miscarea lichidelor n masini hidraulice; - Fenomene hidraulice Fig. 2 Aspectul curgerii printr-o conducta de sectiune variabila Observatie:Pentru toate aceste cazuri se studiaza, nu numai transportul propriu-zis al fluidelor, ci n special transportul de energie: - hidraulica, n cazul lichidelor, NOTIUNI INTRODUCTIVE 3- pneumatica, n cazul gazelor, deoarece,exceptiefacnd energianucleara,aproapetoataenergiautilizatadeomenireeste,launmoment dat, transportata de fluide n miscare: energia mecanica a apei, a aerului comprimat sau a vaporilor; energia termica a apei calde sau a aburului; energiachimicaapetrolului(siaderivatelorsale),sauagazelorcombustibile etc. 3. DEFINITIA FLUIDULUI. PARTICULA FLUIDA Fizicadistingepentrucorpurilemateriale,nconditiiobisnuite,treistari, numitesistaride agregare: solida, lichida, gazoasa. Observatie:nconditiispecialeexistasioapatrastare,numitaplasma.Plasmaesteosubstanta gazoasa,puternicsaucompletionizata,alecareiproprietatisuntdeterminatedeexistenta ionilor si electronilor n stare libera. Mecanica distinge doua mari categorii de corpuri: Solide- rigide; - deformabile; Fluide- lichide; - gaze. Dacauncorpsolid,nconditiiobisnuite,areformasivolumfix,adicadistanteledintre punctelesalepuncteramnconstante(sausemodificafoarteputin)subactiuneauneiforte exterioare, fluidele (lichidele si gazele) pot capata deformatii orict de mari sub actiunea unor forte relativmici.Acestlucruesteposibildatoritafortelormicidecoeziunedintremoleculelefluidelor. Astfel: -lichideleiauformavaselorcarelecontin(casigazeledealtfel),decinuauforma proprie,darauvolumconstant,ct Vlichide decisidensitateconstantactlichide ; datorita acestui fapt lichidele se considera ca fiind fluide incompresibile; -gazele ocupa ntregul volum al recipientelor ce le contin, deci nu au un volum constant, ct Vgaze ,nconsecintasidensitatealorestevariabilactgaze .Asadarpotfi comprimate. Astfel, gazele se considera ca fiind fluide compresibile. Aceste proprietati, enuntate anterior, definesc fluiditatea lichidelor si gazelor, adica usurinta de deplasare a particulelor din care sunt formate, de unde si denumirea generala de fluide. MECANICA FLUIDELOR 43.1 CONCEPTUL DE MEDIU CONTINUU nmecanica fluidele sunt consideratesianalizatecafiindmediicontinue,adicaocupa un spatiuncaredistributiamarimilorfizicecelecaracterizeaza(presiune,densitate,temperatura etc.) este continua, cu exceptia unor puncte, linii sau suprafete, numite si de discontinuitate. Un astfel de exemplu, de suprafata de discontinuitate, este prezentat n exemplul urmator: formareaundelordesocpearipaunuiavioncarezboaracuovitezamaimicadectceaa sunetului, dar apropiata de aceasta. Pe suprafata undei de soc viteza particulelor de aer atingevitezasunetului:c vaer (celeritate); Fenomenulsenumestedetrecereabarierei sonice. km/h 1228 c (341.1m/s)lanivelulmarii ( mmHg 760 paer ) si temperaturaC 15 taer . Fig. 3 Formarea undei de soc (suprafata de discontinuitate) pe o aripa de avion Ipotezageneralaacontinuitatiiunuifluidseexprimaprinfaptulcanfiecarepunct apartinnd fluidului) z , y , x ( P , la orice moment datt , se pot determina: - presiunep definita de functia) t , z , y , x ( p p , - densitatedefinita de functia) t , z , y , x ( , - temperatura T definita de functia) t , z , y , x ( T T , - vitezavdefinita de functia) t , z , y , x ( v v si aceste functii sunt continue, deci derivabile. Practic,cuctliberulparcursalmoleculelorceformeazaunfluid(distantamediedintre doua ciocniri consecutive intre particulele mediului) este mai mic (numar ct mai mare de molecule n unitatea de volum), cu att fluidul poate fi considerat un mediu continuu. NOTIUNI INTRODUCTIVE 5Exemplu: Marimea liberului parcursal moleculelor de aer n functie de altitudine: Tab. 1.1 H- Altitudine [km]050100120160180220 - Liberul parcurs [m]8,610-8 7,810-59,510-21.336100870 Pentruaapreciadacaunmediufluidpoateficonsideratcontinuusecalculeazanumarul Knudsen,Kn(dupa numele fizicianului danez Martin Knudsen, 18711949): xPP LKn ,(1.2) unde: liberul parcurs al particulelor mediului; L o dimensiune caracteristica fenomenului studiat; P parametru caracteristic fenomenului studiat; x1PPvariatia relativa a parametrului studiat pe unitatea de lungime. Astfel, se considera ca pentru: 1kn mediulesteconsideratrarefiat;sefoloseteteoriacinetico-moleculara. 1kn mediulmaipastreazadincaracteristicilemediuluicontinuu,nsan anumite regiuni propietatea se pierde (zone de discontinuitate). Exemplu: Lacurgereaaeruluiatmosfericnjuruluneiaripideavion,vezifigura4,lungimea caracteristicaL depindedevitezacucaresedeplaseazaavionul(sauvitezaaerului,relativala aeronava): ttxt v Laer (1.3) unde:t intervalul (mediu) de timp n care aripa ntlneste particule de aer, la o viteza de zbor data;n acest cazt reprezinta parametrul caracteristic fenomenului de curgere a aerului peste o structura aeromecanica. Astfel, pentru o aripa de coardam 1 c (distanta dintre punctele extreme ale profilului aripii), care se deplaseaza cu vitezas / m 50 vavion , n functie de lungimea caracteristica pe unitatea de timp, aerul poate fi considerat: MECANICA FLUIDELOR 6 mediu omogen daca altitudinea de zbor estekm 100H < ; mediu neomogen pentru altitudinikm 100H >(vezi tabelul 1.1). Fig. 4 Curgerea aerului n jurul unei aripi de avion 3.2 CONCEPTUL DE MEDIU OMOGEN Unmediufluidcontinuuesteconsideratsiomogendacalaotemperaturasipresiune, constante, densitatea sa este constanta. ct ct T , p . 3.2 CONCEPTUL DE MEDIU IZOTROP Unmediufluidesteconsideratizotropdacaprezintaaceleasiproprietatintoatedirectiile din jurul unui punct. Sintetiznd cele enuntate anterior, se poate da urmatoarea definitie pentru fluide: Definitie:Fluidulseconsidera ca fiind un mediu continuu, omogensiizotrop,lipsitdeforma proprie,ncare,nstarederepaus,pesuprafeteledecontactalediferitelor particule, se exercita numai eforturi normale*. *Asuprastariideeforturiceactioneazaasuprafluidelorsevareveniulterior(veziProprietatile fluidelor Vscozitatea). Definitie:Particula fluida este o portiune de fluid, de forma oarecare si de dimensiuni arbitrar demici,carepastreazacaracteristiciledemediucontinuusinraportcucarese studiaza repausul sau miscarea fluidului. Limitainferioaraadimensiunilorparticuleiesteimpusadeconditianeglijariiinfluentei miscarilor proprii ale moleculelor, sau a miscarii brown-iene. Aceasta trebuie sa fie mai mare dect lungimea liberului parcurs molecular. Limita superioara este determinata de conditiile aplicarii calculului infinitezimal. Observatie:Omogenitatea si izotropia unui fluidpermit ca relatiile stabilite pentru o particula sa fie valabile pentru ntregul fluid . NOTIUNI INTRODUCTIVE 7 4. MODELE DE FLUID Definitie:Prinmodeldefluidsentelegeoschemasimplificatadefluid,acestafiind consideratunmediucontinuu,caruiaiseatribuieprincipaleleproprietati macroscopice (masurabile) ale fluidului real (compresibil si vscos). Necesitateaelaborariiunormodelesimplificatedestudiualefenomenelornaturale(reale) sedatoreazacomplexitatiimiscariifluidelor.Neglijndanumiteprocesesecundarefenomenului real, deci simplificndu-l, devine posibila construirea unui model. Astfel, se pot acceptat modele de fluid, precum: - fluid usor:se neglijeaza greutatea proprie; este valabil pentru gaze; - fluid ideal:lipsit de vscozitate; se neglijeaza efectul fortelor de frecare ce apar ntre straturile de fluid modelul Euler; - fluid incompresibil:modeluldefluidlacarevolumuluneimasedeterminatenuse modificaodatacuvariatiapresiunii;valabilpentrulichidemodelul Pascal; - fluid newtonian:fluide care se supun legilor mecanicii clasice, newtoniene; - fluid ne-newtonian:fluideacarorcomportamentnusesupunelegilormecanicii newtoniene, precum solutiilecoloidale(uleiuldeungererecirculatn masinicontineimpuritatinstaredesuspensie),materialele plastice macromoleculare n stare lichida etc. Comportamentul fluidelor ne-newtoniene constituie obiectul de studiu al stiintei reologiei. 5. METODE DE STUDIU N MECANICA FLUIDELOR Fiind ostiinta a naturii, mecanica fluidelor foloseste n cercetare att metode teoretice, ct si metode experimentale, de cele mai multe ori in strnsa colaborare. Metodele teoretice constau n aplicarea principiilor, legilorsi teoremelor mecanicii generale lastudiulrepausuluisimiscariifluidelor.Acestlucruesteposibilprinreprezentareafluiduluica mediu continuu. Metodeleexperimentaleseaplica,fienscopulstabiliriiunorlegigeneralealeunor fenomene, a verificarii unor concluzii teoretice, fie ca metoda de rezolvare directa a unor probleme complexe, ce nu pot fi solutionate pe cale teoretica. Metodele mixte rezulta prin mbinarea primelor doua. 8 MECANICA FLUIDELOR PARAMETRII SI PROPRIETATILE CARE DEFINESC STAREA UNUI FLUID 1.Proprietati fizice comune lichidelor si gazelor 2.Proprietati fizice specifice lichidelor 3.Proprietati fizice specifice gazelor DefinitieOproprietateesteocaracteristicaauneimateriicareesteinvarianta(constanta) atuncicndrespectivamaterieseaflaintr-oanumitastaredeechilibru.Conditiile caredeterminaaceastastaresuntunicesidescrise(caracterizate)deproprietatile materiei. 1. PROPRIETATI FIZICE COMUNE LICHIDELOR SI GAZELOR 1.1 PRESIUNEA,p Presiuneaesteunuldinceimaiimportantiparametricecaracterizeazastareaunuifluid. Prindefinitie,presiuneantr-unfluidnrepausesteraportuldintrefortanormalasiariasuprafetei pe care se exercita aceasta forta. ntr-unpunctdintr-unfluidnrepaus,sedefinestecafiindlimitareportuluidintreforta normalasiariasuprafeteipecareseexercitaaceastaforta,cndariatindecatrezero,njurul punctului respectiv. Matematic se exprima conform relatiei: dAdFAFlim p0 A , (2.1) n forma diferentiala, sau simplu: AFp (2.2) Observatie:Dacafortanuarfinormala(perpendiculara)pesuprafatapecareactioneaza,ar trebuisaadmitemipotezaexistenteiunoreforturitangentialenfluid,ceeacear contrazice faptul ca acesta este considerat n repaus. De asemenea, ntr-un fluid n echilibru, presiunea este functie de punctul n care se determina,) z , y , x ( M M , cu alte cuvinte este o marime scalara. ) t , z , y , x ( f p) z , y , x ( M M) t , M ( f pMM ; 9 Totodata, pentru un fluid, presiunea poate fi interpretata ca o masura a energiei acestuia pe unitatea de volum: Volum(Energie) mecanic Lucru Ld Ad FAFp V(2.3) Unitatea de masura n Sistemul International este 2m / N , denumita ncepnd cu 1971 si PascalPa , dupa numele omului de stiinta Blaise Pascal, matematician, fizician, filozof, de origine franceza (1623 1662). 2mN1 Pa 1 .(2.4) Deoarece aceasta este o unitate foarte mica n comparatie cu presiunile uzuale ntlnite n instalatiileindustriale,sauchiarcupresiuneaatmosfericadinzonelelocuitealePamntului,se folosesc multiplii pascalului: kilopascalul,Pa 10 kPa 13 ,denumit si piez si megapascalul,Pa 10 MPa 16 . Des utilizat, cu precadere n aplicatiile tehnice, este barul, prescurtatbar . Aceasta unitate, desi nu apartine Sistemului International, este tolerata datorita utilizarii ei ntr-unnumarnsemnat de tari, printre care si a noastra:Pa 10 bar 15 . O alta unitate de masura utilizata n tehnica este atmosfera tehnica, prescurtataat , definita de raportul: Pa 10 80665 . 9cmf kg1 at 142 (2.5) Pentrudefinireastariifizicenormaleseutilizeazaatmosferafizica,prescurtataAt ,sau atm. A fost pusa n evidenta si calculata pentru prima data de E. Torricelli, vezi figura 1 (presiunea hidrostatica exercitata de coloana de mercur la baza ei pe aria sectiuniiSeste egala cu presiunea atmosferica de pe suprafata libera a mercurului). (torr) mmHg At 760 1 Presiunea atmosferica este n acelasi loc o marime variabila n timp. De asemenea variaza de la un loc la altul, functie si de valoarea acceleratiei gravitationale locale. Astfel se defineste: presiuneafizicanormala 0p cafiindceaexercitatadeocoloanade mercur de 760 mm la nivelul marii. Rezolutia 4 a celei de a X-a Conferinte Generale de Masuri si Unitati, 1954, stabileste ca, valoric, presiunea fizica normala este egala cu: (torr) mmHg Pa At 760 101325 1 10 npractica,pentrumasurareaunorpresiunimiciseutilizeazaaparateacarorfunctionare se bazeaza pe principiul determinarii presiunii hidrostatice exercitate de o coloana de lichid (vezi figura 2). Astfel, se utilizeaza frecvent unitati de masura ce reprezinta naltimi ale unor coloane de lichid, precum: 232 332mN81 . 9 m 10sm81 . 9mkg10 O mmH 1 232 3mN875 . 7 m 10sm81 . 9mkg803 alc mm 1 ] lp [mm h g p plp 0 , (2.6) unde: lp densitatea lichidului piezometric. Celementionateanterior,referitorlaunitatiledemasurautilizatesia bazei lor de calcul, ne dau posibilitatea definirii a doua tipuri de presiuni. Astfel, nfunctiedevaloareapresiuniiutilizatacabazademasurare(dereferinta),se disting: presiuneaabsoluta:presiuneacarearecaniveldereferintapresiuneaviduluiabsolut, zero; astfel, ca marime absoluta presiunea este o marime ntotdeauna pozitiva; presiunearelativa:presiuneacarearecaniveldereferintapeceaatmosfericanloculn care se efectueaza masurarea. Relatia de legatura dintre cele doua presiuni este: rel 0 absp p p + (2.7) ncazulncare 0 absp p < presiunearelativasemainumestesivacuummetrica,dupa numeleaparatuluiutilizatlamasurareaei.Semainumestesidepresiuneiarcavaloareeste negativa, fapt evidentiat si de aparatul de masura (vacuummetru). n cazul n care 0 absp p presiunea relativa se mai numeste si manometrica, caz n care este o suprapresiune si are o valoare pozitiva. Manometrele industriale se gradeaza avnd ca zero presiunea atmosferica normala. Observatie:Deoarecenproblemeletehnicecurentefortelecaresedezvoltaininstalatiile hidraulice(pneumatice)suntrezultatuldiferenteidintrepresiunea(absoluta)din interiorulinstalatieisipresiuneaatmosfericaexterioara,nMecanicaFluidelorse utilizeaza, n general, presiunea relativa. Pentruuncurentdefluid,presiuneantr-unpunctdininteriorulacestuiaesterezultatul actiunii presiunii statice si a presiunii dinamice: din st totp p p + (2.8) 11unde: totp presiunea totala; stp presiunea statica (presiunea care se exercita n planul de separatie a doua mase de fluid);ngeneral,presiuneastaticanuvariazansectiuneaunuicurent,exceptie facnd cazurile n care liniile de curent sunt curbate; dinp presiunea dinamica; se calculeaza cu relatia: 2vp2din (2.9) unde:v viteza curentului de fluid (n punctul de masurare). densitatea fluidului. 1.2 DENSITATEA, Definitie:Densitatea ntr-unpunctdininteriorulunuifluidsedefinestecafiindlimita raportului dintre masam a unui element de volum din jurul punctului considerat si volumul elementuluiV , cnd acesta tinde catre zero: V V V ddm mlim0P (2.10) ncazulunuifluidomogen,densitateaesteegalaraportuldintremasaunuivolum determinatdefluidsirespectivulvolum(masaunitatiidevolum)siareaceeasivaloarenorice punct al fluidului: Vm (2.11) Relatiaanterioaraesteutilizatasincazuldefiniriidensitatiimediiaunuifluid.Termenii sinonimiaidensitatiisunt:masaspecifica,saumasavolumica.UnitateademasuranSistemul International este: 3SImkg] [] m [] [ V Inversul densitatii, volumul ocupat de unitatea de masa, se numeste volum specific: 1 v11]1

kgm3 (2.12) Observatie:n general, densitatea unui fluid este functie de pozitia punctului de masurare, de presiuneap si de temperaturat [C] la momentul efectuarii masuratorii. Aceastaobservatieestevalabilacuprecaderencazulgazelor(fluidecompresibile),a carordensitatedepindedetemperaturasipresiune;sepoatedeterminadinecuatiadestare, aplicata pentru doua stari, dintre care una cunoscuta: 12 TTpp000 , (2.13) unde:termenii cu indice" 0 "sunt parametrii gazului n starea de referinta. Pentrulichidesepoateconsideracadensitateanudepindedepresiune,eavariind nesemnificativ n functie de temperatura (fluide de densitate constanta, incompresibile). Densitateadefinitaconformrelatiei(2.11)senumestesidensitateabsoluta.npractica, pentruausuramasurareadensitatiifluidelorseutilizeazauneoridensitatearelativa,definitade raportuldintredensitateafluiduluiconsideratsidensitateaunuifluiddereferintanconditii standard: . reffluidr fluid) ( (2.14) Pentrugaze,fluiduldereferintaesteaerulnstarenormala: 3aer 0kg/m 293 . 1 ,la presiuneaatmosfericanormala 2aer 0N/m 101325 p ( mmHg 760 paer 0 )sitemperatura C 0 taer 0 ,( K 15 . 273 Taer 0 ).Pentrulichide,fluiduldereferintaesteapadistilata: 3apakg/m 1000 la presiunea atmosferica normala si temperaturaC 4 tapa . 1.3 Greutatea specifica, Legat de densitatea unui fluid se defineste greutatea specifica (greutatea unitatii de volum). Definitie:Greutateaspecifica ntr-unpunctdininteriorulunuifluidsedefinestecafiind limitaraportuluidintregreutateaG aunuielementdevolumdinjurulpunctului considerat si volumul elementuluiV , cnd acesta tinde catre zero: V V V ddG Glim0P (2.15) ncazulunuifluidomogen,greutateaspecificaesteegalaraportuldintregreutateaunui volumdeterminatdefluidsirespectivulvolum(masaunitatiidevolum)siareaceeasivaloaren orice punct al fluidului: VG (2.16) Termenulsinonimalgreutatiispecificeestegreutatevolumica.Unitateademasuran Sistemul International este: 3SImN] [] G [] [ V Greutatea specifica este legata de densitate prin relatia: g (2.17) 131.4 Compresibilitatea izoterma, Definitie:Compresibilitatea izoterma este proprietatea unui fluid de a-si modifica volumul sub actiunea variatiei de presiune, la o temperatura constanta. Dupacumseobservadinfigura3,variatiadevolumV afluiduluidincilindrueste proportionala cu variatiap a presiunii acestuia. Relatia care exprima aceasta dependenta este: Fig. 3 Variatia presiunii ntr-un cilindru la modificarea volumului p VV(2.18) unde:Vvolumul initial al fluidului; V V variatia relativa a volumului; coeficientul de evaluare cantitativa a compresibilitatii fluidului; poarta denumirea de modul de compresibilitate izoterma, notat si cuk . Observatie:Semnul,,-dinrelatiaanterioaraaratafaptulcauneicresteridepresiunei corespunde o scadere de volum. Pentru variatii infinitezimale, relatia anterioara se rescrie astfel: dpd VV(2.19) Unitatea de masura n Sistemul International pentru modulul de compresibilitate este: Nm] p [1] [2SI Inversul modulului de compresibilitate este modulul de elasticitate, notat cu . 1[N/m2] (2.20) Casincazuldensitatii,valorile si depinddetemperaturasinudepindpracticde valoareapresiunii.Tinndcontcamasaunuifluidesteconstanta,prindiferentierearelatiei ct m V obtinem: 14 d dd d 0 d d dm + VVV V V V(2.21) Din relatiile (2.19) si (2.21) rezulta ca: ' ddpdpd 1ddp(2.22) Pentrufluidelegrele(lichidele)raportul0 ) dp d ( ,asadar0 (suntpractic incompresibile).Pentrugazelecomune,precumoxigenul,modululdeelasticitatedepindede natura procesului. Astfel: p , pentru procese izotermice;(2.23) p pentru procese adiabatice; (2.24) unde: v pc / c exponentuladiabatic;raportuldintrecaldurilespecificelapresiune constanta si la volum constant; p presiunea absoluta. Legatdeacestidoiparametricaredefinescstareaunuifluidsepoatedefiniunaltulsi anume celeritatea. 1.5 Celeritatea,c Celeritateasauvitezadepropagareasunetuluireprezintaunuldintreparametriicare descriu propagareasunetului printr-un mediu. Aceastaviteza depinde de proprietatile mediului de propagare, n particular de elasticitatea si densitatea acestuia. ntr-un mediu fluid este definita de relatia lui Newton: 1ddpc[m/s].(2.25) n aer si alte gaze viteza sunetului depinde n primul rnd de temperatura. Presiunea are un efect mic, iar umiditatea nu are aproape nici un efect asupra vitezei. De exemplu: la C 0t m/s 331,5 c la C 02 t m/s 343,4 c nlichidevitezadepropagareasunetuluiestemaimaredectngaze,pentruca,desi densitateaestemaimare(ceeacearnsemnaoinertiemaimare,deciovitezainferioara), compresibilitatealichidelorestemultmaimicadectagazelor,ceeacefacecaoperturbatiea presiunii ntr-un punct sa se propage rapid la punctele vecine. Astfel, n apa viteza de propagare a sunetului este de 1400-1500 m/s. Cunoasterea precisa a vitezei sunetului n apa este importanta 15 ntr-oseriededomeniiprecumcartografiereaacusticaafunduluioceanic,aplicatiialesonarului subacvatic, comunicatii etc. 1.6 Numarul Mach,M NumarulMach(dupanumelefizicianuluiaustriacErnstMach)esteounitatedemasura folosita pentru a exprima viteza unui corp care se deplaseaza ntr-un fluid.cvMa [-](2.26) unde:v viteza (relativa) de miscare a fluidului. Astfel, numarul lui Mach este o marime adimensionala care arata de cte ori este mai mare viteza unui mobil dect viteza sunetului n acel mediu. Pentru Mach 1, viteza este egala cu viteza sunetuluinfluidulrespectiv.nconditiileatmosfereistandard,pentruMach1,viteza(relativa)a aeruluiesteegalacu1228km/h.ValorilesubunitarealenumaruluiluiMachnseamnaviteze subsonice (mai mici dect viteza sunetului), iar valorile supraunitare nseamna viteze supersonice. O clasificare mai detaliata defineste urmatoarele regimuri de miscare a fluidelor: -pentru25 . 0 Ma < :miscarea este subsonica, incompresibila; -pentru8 . 0 Ma 25 . 0 < :miscarea este subsonica, compresibila; -pentru2 . 1 Ma 8 . 0 < :miscarea este transonica; are loc formarea undelor de soc; -pentru1 Ma :miscarea este sonica; -pentru5 Ma 2 . 1 :miscarea supersonica; are loc stabilizarea undelor de soc formate anterior; -pentru5 Ma :miscare hipersonica. 1.7 Adeziunea la suprafetele solide Esteunfenomendeaceeasinaturacucoeziuneacarese manifestaprinaparitiafortelordeatractiedintreparticulelevecine, ale unui fluid si ale unui solid aflate n contact . Fortadeadeziunedepindedenaturasuprafetei,denatura fluidului,detemperatura.S-adoveditexperimentalcanjurul corpurilorsolideaflatencontactcufluideexistaunstratdefluid aderent,numitsistratlimita,acaruigrosimeestedeordinul 210 mm. n stratul limita se manifesta intens fortele de frecare vscoasa caredeterminaomodificareaprofiluluidevitezeaparticulelorde fluid(variatiagradientuluidevitezapedirectianormalacurgerii dy / dv , vezi figura 4). Fig. 4 - Profilul de viteze n startul limita 16 1.7 Vscozitatea - , . Vscozitatea reprezinta proprietatea fluidelor de a se opune deformatiilor atunci cnd sunt supuse la lunecare relativa a straturilor suprapuse (de aopune rezistenta la schimbarea formei). Aceasta proprietate se manifesta numai la fluidele n miscare prin aparitia unor eforturi tangentiale datorita frecarii dintre straturile alaturate de fluid care se deplaseaza unele fata de altele. Sta la baza mecanismului de transmitere amiscarii ntr-un fluid. Constatarea a fost facuta de Newton (1687) pe baza experimentului ilustrat n figura 5. Tot el a stabilit si expresia efortului tangential unitar de vscozitate. Fig 5 Descrierea mecanismului de curgere a unui fluid ntre doua placi plane Astfel, miscarea unui lichid ntre doua placi plane, paralele, dintre care una fixa si cealalta mobilapoateficaracterizataconformurmatoruluimecanism:presupunemcavolumuldelichid dintre cele doua placi este format din mai multe straturi paralele; primul strat adera la placa mobila sisevadeplasacuaceeasivitezacaaplacii,v ;dupaunscurtintervaldetimpsevapunen miscare si cel de al doilea strat, dar cu o viteza mai mica,dv v , ; ultimul strat de fluid, aderent la placa fixa, va avea viteza egala cu zero. Astfel, ntre straturile de fluid se dezvolta eforturi tangentiale definite de relatia: AF [N/m2],(2.27) unde:A aria placii mobile; F forta care actioneaza asupra placii mobile. Experimentals-aconstatatcavaloareaeforturilortangentialecareseexercitantre straturiledefluidestedirectproportionalacuvitezadedeplasareaplaciimobilesiinvers proportionala cu distanta dintre placi, prin intermediul unui coeficient de proportionalitate, conform relatiei: hv sau y v (Legea lui Newton), (2.28) unde: y v gradientul vitezei dupa directiay(variatia vitezei pe unitatea de lungime a normalei la directia de miscare a fluidului). 17 Marimea caracterizeaza proprietatea de vscozitate a fluidului. Se numeste coeficient de vscozitatedinamica,sauvscozitatedinamica.Sensulfizicalacesteimarimiesteacelade tensiune tangentialacare se dezvolta n interiorul unui fluid omogen cnd gradientul vitezei este unitar.Unitateademasuraavscozitatiidinamicensistemulinternationaleste[Ns/m2]sau [kg/ms]. Pentrualegavscozitateadenaturafluiduluis-aintrodusnotiuneadevscozitate cinematica, , definita de relatia: , (2.29) unde: densitatea fluidului. Unitateademasuraavscozitatiicinematicensistemulinternationaleste[m2/s].n sistemul tehnic, unitatile de masura ale celor doua tipuri de vscozitate se exprima astfel: ) poise ( P 1] s cm [] gram [1 ] [ST , (Stokes) St 1] [] [] [ scmST21 . Vscozitatiledinamicasicinematicadepinddeparametriidestareaimediului.Astfel, vscozitateadinamicadepindnumaidetemperaturasinudepindedepresiune,ntimpce vscozitatea cinematica depinde si de presiune. La cresterea temperaturii se mareste vscozitatea gazelor si vaporilor, iar vscozitatea lichidelor se micsoreaza. Dependenta vscozitatii gazelor de temperatura poate fi exprimata cu o buna aproximatie utiliznd formula lui Sutherland:

,_

,_

++23000TTC TC T 1]1

s mkg, (2.30) unde: 0 vscozitateadinamicanconditiifizicenormaledepresiunesitemperatura: 0p , respectiv0T ; C constanta de variatie a vscozitatii dinamice cu temperatura pentru gaze. Pentru aerskg/m 1,71210-5aer 0 , respectivK 111 C .Pentru apa, vscozitatea cinematica se poate calcula cu relatia lui Poiseuille: 26t 00022 . 0 t 0337 . 0 110 78 . 1 + +11]1

sm2, (2.31) unde:t temperatura apei n grade Celsius. n functie de dependenta

,_

dydv , materialele se pot clasifica astfel (vezi figura 6): 18 1-fluide ideale (lipsite de vscozitate), deci0 ; 2-soliderigide(nuexistadeplasarintrediferitelepunctecare definescsolidul,subactiuneaunoreforturitangentiale,sau normale); 3-fluidenewtoniene(valoareatensiunilortangentialeeste proportionala cu gradientul de viteza); 4-fluideledilatante(suspensiilefoarteconcentrate,ncarefaza lichidaocupapracticdoarspatiuldintreparticulelesolide;fluide nenewtoniene; 5-materiale pseudoplastice; 6-materiale plastice de tip Bingham ideale (fluide vscoplastice; au prag de curgere). Pentru fluidele nenewtoiene, legea de variatie a tensiunilor tangentiale de frecare are expresia: Rdydvdydvkdydvka1

,_

,_

(2.32) unde:k indice de consistenta al fluidului; index de comportare al curgerii. a vscozitate dinamica aparenta. 3. PROPRIETATI FIZICE SPECIFICE GAZELOR Proprietatilefizicespecificegazelorsepotclasificanproprietatimecanicesiproprietati termice.Celemecanicesuntlegatedecomportareaacestoracafluideusoaresicompresibile. Gazelesivaporiisuntdenumitesifluideusoaredeoarecenmajoritateacazurilorgreutatea acestorapoatefineglijatanraportcuforteleuzualedepresiunecucareacesteaactioneaza asupra solidelor cu care vin n contact. De asemenea, variatiile de volum pe care le sufera acestea sub actiunea fortelor de presiunesunt nsemnate valoric. Demareimportantanstudiulfluidelorusoaresuntproprietatiletermodinamice,acestea tinndcontdefaptulcamiscareagazelorestensotitainevitabildeprocesetermice.Marimilede starealeunuigaz:presiuneap,densitatea ,sitemperaturaT suntinterdependente.Ecuatia care defineste aceasta interdependenta, pentru gazele perfecte, este Ecuatia de stare denumita si Ecuatia Clapeyron-Mendeleev: TMR pT RpT R m V pM (2.36) unde:[J/kgK] R constanta caracteristica a gazului studiat; J/kmolK 8314.3RMconstanta universala a gazelor; ] kg [ m masa gazului; 19[kg/kmol] M masa molara a gazului. n studiul repausului sau miscarii unui gaz perfect (fara frecari sau soc) se deosebesc urmatoarele legi de variatie a densitatii n functie de presiune: 3.1.1 Variatie izocora (la volum constant): 0ct .(2.37) 3.1.2 Variatie izoterma (la temperatura constanta): 00pctp . (2.38) 3.1.3 Variatie adiabatica (fara schimb de caldura cu mediul exterior): k00pctp .(2.39) unde: exponentul transformarii adiabatice (exponentul adiabatic). 3.1.4 Variatie politropica (transformare generala): n0n0npctp (2.40) unde:n exponentul transformarii politropice (exponentul politropic). 3.2 Caldura specifica,c Pentruosubstanta(omogena)calduraspecificareprezintacalduranecesaraunitatiidemasadin acea substanta pentru a-si mari temperatura cu un grad, fara modificarea starii fizice sau chimice. Sedeterminaexperimentalsaupoateficalculatautilizndteoriacinetico-moleculara(ncazul gazelor).

,_

dTdQm1c[J/kg K].(2.41) Pentrugazesivapori,calduraspecificadepindenaturaprocesuluitermodinamic.Astfelse definesc: Vc caldura specifica la volum constant (proces izocor, sau izodens) pc caldura specifica la presiune constanta (proces izobar) Legatura dintre Vcsi pceste data relatia (R. Mayer): R c cv p+ [J/kg K]. (2.42) unde: R[J/kg K]: constanta caracteristica a gazului studiat; 20 Raportul dintre pcsi Vcdefineste exponentul adiabatic : vpcc.(2.43) Astfel: R1cp; 1Rcv.(2.44) 3.3 Energia interna specifica,u Energiainternaspecificaesteenergiatermicaaunuisubstante,raportatalaunitateademasa. Pentru gazele perfecte se calculeaza cu relatia: dT c duv [J/kg].(2.45) 3.4 Entalpia specifica,h Reprezintasumadintreenergiainternaspecificasienergiapotentialadepresiunespecifica (unitatii de masa): pu h + [J/kg]. (2.46) Pentru un gaz perfect entalpia depinde doar de temperatura si se calculeaza cu relatia: dT cpu d dhp

,_

+ .(2.47) 21 5. DINAMICA FLUIDELOR IDEALE 5.1 NOTIUNI GENERALE DE CINEMATICA FLUIDELOR Cinematica fluidelor studiaza miscarea acestora fara a lua n considerare: fortele care determina, sau modifica, starea de miscare, transformarile energetice carensotesc miscarea fluidelor. Astfel, deoarece sunt luate n calcul doar proprietatile geometrice ale miscarii fluidelor, rezultatele cinematicii fluidelor sunt valabile att pentru fluide ideale, ct si pentru fluidele reale. 5.1.1METODE DE STUDIU ALE MISCARII FLUIDELOR Existadouametodedestudiualemiscariifluidelor(determinariitraiectoriilor,vitezelorsi acceleratiilor): metoda Lagrange, respectiv metoda Euler. Metoda Lagrange studiaza miscarea unei particule de fluid n aceeasi maniera ca la miscarea unui punct material n mecanica clasica. Lund ca referinta pozitia particulei,) , , (0 0 0 0z y x rv, la momentul initial, 0t , miscarea ei(ecuatiiletraiectoriei)estecunoscutadacasestabilesclegiledevariatien timp ale coordonatelor de pozitie ale particulei '.,,0 0 00 0 00 0 0, t) , z , y z (x z, t) , z , y y (x y, t) , z , y x (x x(5.1) Necunoscutelesistemului(5.1),coordonatelez y x , , ,suntfunctiidevariabileleindependente 0 0 0, , z y x (variabileleluiLagrange).Dinecuatiiletraiectorieisededuccomponentelevitezei,) , , ( v vz y xv v vr r , corespunzator momentelorit ,dupa cum este ilustrat n figura 5.1, ,dd,dd,ddtzvtyvtxvz y x (5.2) si componentele acceleratiei) , , ( a az y xa a ar r 222222dddd,dddd,ddddtztvvtytvvtxtvazzyyxx .(5.3) Pentru a descrie miscarea anparticule ce alcatuiesc o masa de fluid sunt necesarensisteme de ecuatiialemiscarii,cusolutiicarenecesitauntimpndelungatderezolvaresiresursedecalcul semnificative.Dinpunctdevederepractic,multmaicomodaesteutilizareaceleideadoua metode. 22 Fig. 5.1 Descrierea miscarii particulelor unui fluid prin metoda Lagrange MetodaEulerstudiazacmpuldevitezenpunctefixealespatiuluiocupatdefluid.Practic,se determinalamomentele jt componentelevitezeinpunctencareseamplaseazasondede viteza. Astfel, cunoscnd componentele vitezei ca functii de coordonate si timp, ) ( v v) () () (x, y, z, tx, y, z, t v vx, y, z, t v vx, y, z, t v vz zy yx xr r ;,(5.4) sedeterminatraiectoriileprinintegrareasistemuluideecuatii(5.2),respectiv,sedetermina componentele acceleratiei, derivnd componentele vitezei, ecuatiile (5.3). Metoda este ilustrata n figura 5.2. Fig. 5.2 Descrierea miscarii unui fluid prin metoda Euler 5.1.2CALCULUL ACCELERATIEI UNEI PARTICULE FLUIDE Conform relatiilor (5.4), componentele vitezei sunt functii de coordonate si timp, coordonatele fiind la rndul lor functii de timp. n consecinta, diferentiala totala a componentei vitezei dupa directiaxse exprima conform relatiei zzvyyvxxvttvvx x x xxd d d d d+++ , (5.5) 23iar componenta dupa directiaxa acceleratiei, relatia (5.3), devine: zxyxxx x x x x x xvzvvyvvxvtvtz vty vtx vtttvtva++++++ ddz ddy ddx ddddx (5.6) Similar, componentele acceleratiei dupa directiilex , respectivy , sunt zyyyxy yvzvvyvvxvtva+++y, zzyzxz zvzvvyvvxvtva+++z.(5.7) Astfel, z y xv v vtk a j a i azvyvxv vaz y x+++ + + r r r rr r rr. (5.8) Din relatia anterioara se constata ca acceleratia are doua componente:acceleratialocala,) t v ( r,cerezultadinvariatiantimpavitezeindiferitelepuncteale spatiului ocupat de fluid siacceleratia convectiva (sau de antrenare), z y xvzvyvx ++ v v vr r r, rezultat al vitezelor diferite n punctele fluidului. Observatii: 1.Miscarile fluidelor pentru care0vtr se numesc permanente: ntr-un punct din interiorul spatiului ocupat de fluid, viteza este constanta n timp. Cele pentru care0vtr se numesc nepermanente: n acelasi punct, viteza variaza (fluctueaza, n jurul unei valori medii) n timp. 2.Acceleratiaconvectivaestenulancazurilecmpurilordevitezaomogene,ncarevitezaeste aceeasi n toate punctele mediului fluid: miscare uniforma. 3.Utiliznd teoria cmpurilor, relatia (5.11) poate fi pusa si sub forma: ( ) +

,_

+++ v vvvv v r rrrr rrtvzvyvx t dtdaz y x v v rot2vgradvv v2v v2 2r rrr rrr + + + +t ta (5.9) nrelatia(5.12)s-apusnevidentaparteapotentialaaacceleratieiconvective, 2vgrad2

,_

2v 2sau , precum si partea rotationala a acesteia,v v rot r r ( ) v vr r sau . Miscarile pentru care 0 v rot r se numesc irotationale. 245.1.3REPREZENTAREA GRAFICA A MISCARII UNUI FLUID. MARIMI CARACTERISTICE MISCARII FLUIDELOR O metoda utilizata n studiul fenomenelor de dinamica fluidelor este aceea a reprezentarii grafice a miscarii particulelor. Se definesc urmatoarele notiuni/marimi referitoare la miscarea fluidelor: Curentul de fluid reprezinta o masa de fluid aflata n miscare. Liniadecurentestecurbatangentalavectoriivitezaaiparticulelorcarelaunmoment,t ,se gasesc pe aceasta curba (figura 5.3). n general, forma linilor de curent se modifica n timp:cazul miscarilornepermanente,ncareparametriifluiduluivariazantimp,nacelasipunct.Elesi pastreaza forma n cazul miscarilor permanente. Fig. 5.3 Liniile de curent n jurul unui profil aerodinamic Prezinta doua proprietati importante si anume: liniile de curent nu se intersecteaza, cu exceptia unor puncte, numite puncte critice, n care viteza este nula sau infinita (printr-un punct al spatiului ocupat de un fluid nu poate trece la un moment dat dect o singuralinie de curent, deoarece ntru-un punct nu pot exista simultan mai multe particule cu viteze diferite; n consecinta, o particula printr-un tub de curent se misca pe o aceeasi linie de curent; liniile de curent umplu n ntregime spatiul ocupat de curentul de fluid. Ecuatiadiferentialaaliniilordecurent,subformavectoriala,seobtinedinconditia de tangenta a vitezeilaliniadecurent,cazncarevectorulviteza) v , v , v (z y xvrareaceeasidirectiecuvariatia vectorului de pozitie) d , d , d ( d z y x rr (pentru variatii mici alerrd ). Astfel,r ||r rd v , sau: 0 rr rd v (5.10) La momentultsistemul ecuatiilor diferentiale al liniilor de curent este: ) , , , (d) , , , (d) , , , (dt z y x vzt z y x vyt z y x vxz y x (5.11) Traiectoriauneiparticuledefluidreprezintadrumulparcursdeaceastanmiscareasa. Traiectoriilepotfivizualizataexperimental,dupacumesteprezentatnfigura5.4.ncazul 25miscarilor permanente traiectoria coincide cu linia de curent, lucru care nu mai este valabil n cazul miscarilor nepermanente. Fig. 5.4 Vizualizarea curgerii n jurul unui profil aerodinamic Ecuatia diferentiala a traiectoriei este data de relatia: t r d v d r r.(5.12) La momentult , raportnd miscarea la sistemul triortogonal de axexOyz ,relatiaanterioaraeste echivalenta cu sistemul: tt z y x vzt z y x vyt z y x vxz y xd) , , , (d) , , , (d) , , , (d (5.13) Suprafatadecurentestesuprafataformatadintoateliniiledecurentcaresesprijinalaun moment dat pe o curba de forma oarecare. Daca respectiva curba este una nchisa, simpla, atunci suprafatade curent este una tubulara, formnd un tub de curent (figura 5.5). Fig. 5.5 Tub de curent ObservatieDeoarece viteza este tangenta la peretii tubului de curent, rezulta ca prin suprafata acestuia nu se face schimb da masa. Untubdecurentdesectiunesuficientdemica,astfelnctsaputemadmitepeeaodistributie uniformaaparametrilordastareaifluidului(vitezesipresiuni),poartadenumireadetub elementar de curent (figura 5.8). Fluiduldininteriorulunuitubelementardecurentformeazaunfirdefluid.Dacasectiunea transversalaatubuluielementardecurenttindecatrezero,njurulunuipunct,atuncifirulde curent reprezinta materializarea liniei de curent care trece prin acel punct. 26Sectiuneatransversalaaunuitubdecurent,numitasisectiunevie,reprezintasuprafata normalapeliniiledecurentcareostrabat.Esteosuprafataplanadacaliniiledecurentsunt paralele, 1Ssi 3S n figura 5.6,sau curba n caz contrar, precum 2S . Fig. 5.6 Sectiuni vii ntr-un tub de curent Perimetruludat, uP ,reprezintalungimeaconturuluisectiuniitransversaleaunuitubdecurent, marginita de pereti solizi. Raza hidraulica, hr , reprezinta raportul dintre aria sectiunii curentului si perimetruludat.Diametrulhidraulic, hd ,sauechivalenthidraulic,reprezintaunparametru utilizat n cazurile n care sectiunea de curgere nu este circulara. Se determina cu relatia udat Perimetrulcurentului sectiunii Aria4PA4 r 4 dusch h [m]. (5.14) nfigura5.7suntprezentatedouasituatiidecalculalediametruluihidraulic,frecventntlniten practica.Astfel,pentrucazulcurgeriiunuifluidprintr-oconductacircularasubpresiune(fluidul ocupa ntreg spatiul interior al conductei), figura 5.7(a), perimetrul udat ested Pu , iar diametrul hidraulicd dh .Asadar,ncazulconductelorcircularediametrulhidrauliccoincidecudiametrul geometric. Fig. 5.7 Perimetrul udat si diametrul hidraulic pentru cazul curgerii unui fluid printr-o conducta circulara sub presiune, respectiv printr-un canal dreptunghiular n cazul curgerii unui lichid printr-un canal dreptunghiular de latimeb , figura 5.7(b), perimetrul udat sidiametrulhidraulicsunth 2 b Pu+ ,respectiv h 2 bbh4 dh+ ,undeh reprezintacotade adncime a lichiduluin canal. 27Debitul unui curent de fluid reprezinta cantitatea de fluid care trece printr-o sectiune n unitatea de timp. n functie de modul de exprimare al cantitatii de fluid, poate fi: debitvolumic(sauvolumetric), VQ(sau simpluQ ),reprezinta volumul de fluid care trece printr-o sectiune transversala n unitatea de timp, tQt VV0lim ] /s [m3; (5.15) debit masic, mQ(saum& ), reprezinta masa de fluid corespunzatoare debitului volumic VQ ; pentru un fluid omogen (de densitate constanta,. ct ), VQ Qm . [kg/s] ; (5.16) debitgravific(saugravimetric), GQ (sauG&),reprezintagreutateacorespunzatoare debitului volumic VQ ; pentru un fluid omogen V VQ gQ QG . [kg/s] . (5.17) nformaintegrala,debitulunuicurentdefluidprintr-osuprafataS reprezintafluxulvectorului vitezavr prin respectiva suprafata SS v d n Qr rV, SGS v d n Qr r , (5.18) undenreste versorul normalei la suprafata elementaraS d . Prin definitie, fluxul printr-o suprafata reprezinta cantitatea de materie (fluid) care trece n unitatea de timp prin respectiva suprafata. Vrtejul, sau turbionul unei particule de fluid este vectorulr, definit de relatia (5.19) si reprezinta viteza unghiulara medie de rotatie a particulei n jurul unei axe ce trece prin centrul ei de greutate. rr r2121v rot (5.19) unde reste vectorul ce defineste rotorul vitezei, kyvxvjxvzvizvyvv v vz y xk j ixyz xyzz y xr r rr r rr rr

,_

+ ,_

+

,_

v v rot .(5.20) Datorita modului asemanator de definire vectorilorr sirsipentrur se mai utilizeaza, uneori, tot denumirea de vrtej (turbion). Componentele scalare ale vrtejului sunt

,_

zvyv yzx21 ,,_

xvzvz xy21 ,

,_

yvxvxyz21 .(5.21) Liniadevrtej,suprafatadevrtejsitubuldevrtejsuntdefinitesimilarcaliniadecurent, suprafata de curent, respectiv tubul de curent. 28Astfel, linia de vrtej reprezinta curba tangenta la vectorii vrtej ai particulelor care la un moment dat se gasesc n punctele de pe aceasta curba. Ecuatiile diferentiale ale liniilor de vrtej se obtin tinnd cont de faptul ca, pentru variatii mici ale vectorului de pozitie, vectoriirrdsir sunt coliniari, decir r|| r d , sau: 0 r rr d , (5.22) n forma vectoriala, sau n forma scalara: yvxvzxvzvyzvyvx z y xxy z x yz z y x d d d d d d . (5.23) Suprafata de vrtej este suprafata formata de liniile de vrtej care la un moment dat se sprijina pe ocurbaoarecare.ncazulncarecurbaesteunanchisasimpla,atuncisuprafatadevrtej formeazauntubdevrtej.Fluiduldininteriorulunuitubelementardevrtejsenumestefirde vrtejsireprezintamaterializarealinieidevrtejcetreceprintr-unpunct,atuncicndsectiunea transversala tinde spre zero n jurul punctului. Prin definitie,intensitateaunuitubdevrtejestefluxuldevrtejuricaretraverseazasectiunea unui tub de vrtej: SS ndrr, (5.24) undenr este versorul normalei la suprafata elementaraS da sectiunii tubului de vrtej; 5.2 ECUATIILE DE MISCARE ALE FLUIDELOR 5.2.1ECUATIA DE CONTINUITATE (DE CONSERVARE A MASEI) Dupa cum am precizat anterior, din definitia liniilor de curent rezulta ca particulele de fluid nu pot traversa suprafetele de curent. Daca densitatea este invarianta n timp, atunci masa de fluid nu se concentreaza n diferite puncte, deci: Variatia masei n timp (debitul masic) este constanta n orice sectiune a unui tub de curent. Aceastaesteformulareaprincipiuluicontinuitatii,saudeconservareamaseiaplicataunuifluid dintr-un tub de curent. Pentru un tub elementar de curent, precum n figura 5.8, volumul de fluid ce traverseaza sectiunea de arieA d , n timpult d , se poate exprima cu relatia: Fig. 5.8 Tub elementar de curent A t A l d d v d d d V .(5.25) 29undev este viteza fluidului (constanta la nivelul unei sectiuni normale a tubului de curent). Astfel, masa elementara de fluid este A t m d d v d d V , (5.26) iar variatia acesteia n timpt m Qmd d d : A Qmd v d .(5.27) Debitul masic instantaneu, n fiecare sectiune de curgere, se obtine prin integrare A A QAmv d v , (5.28) undeA este aria sectiunii vii de curgere (pe directia normala la curentul de fluid). Tinnd cont de principiul conservarii masei, n mA A A Q ) v ( ... ) v ( ) v ( constant 2 1.(5.29) Pentrufluideincompresibile,. ct ,seutilizeazacuprecaderedebitulvolumic,Q ,iarecuatia continuitatii devine: constant v ... v v2 2 1 1 n nA A A Q .(5.30) unde n 2 1v ..., , v , vsunt vitezele medii ale fluidului n sectiunile n 2 1A ..., , A , A . Astfel, viteza medie ntr-o sectiune de curgere este definita de ecuatia AQ v .(5.31) Relatiile(5.29)si(5.30)suntformeparticularealeecuatieicontinuitatii.Eleexprimaprincipiul conservarii unei mase de fluid omogen n miscare permanenta, prin tuburi de curent cu forma fixa (peretirigizi),precumnmultedintrecazuriledeinterestehnicdecurgereafluidelorcese realizeaza n tuburi de curent, simple sau ramificate: conducte. Pentrumiscarinepermanente,ncaredensitateafluiduluisiforma(sectiunile)tubuluidecurent variaza n timp, ecuatia continuitatii are forma 0 +l tS S) v ( ) (.(5.32) Formageneralaaecuatieidecontinuitatepentruunvolumoarecaredefluidsepoatededuce pornind de la un volum de control,V, fix n raport cu sistemul de referinta, delimitat de o suprafata, S , perfect permeabila, figura 5.9. Fig. 5.9 Volum de control 30Astfel,variatia n unitatea de timp a masei de fluidcontinuta n volumul de control este egala cu masa care traverseaza suprafata acestuia S ntd d Sv r rVV, (5.33) sau,transformndintegraladubla(desuprafata)ntr-unatripla(devolum),formulaGauss-Ostrogradski, 0 + VV Vd vrt. (5.34) n cazul unui volum care tinde catre zero,0 V , 0 +vrt.(5.35) Pentru miscari permanente, primul termen este nul, deci 0 vr ,(5.36) iar pentru fluide incompresibile,. ct , 0 0 ++ zvyvxvzyxvr.(5.37) 5.2.2ECUATIA LUI EULER DE MISCARE A FLUIDELOR. CONSERVAREA ENERGIEI EcuatiademiscareafluideloridealesedeterminadinlegeafundamentalaaMecanicii,aplicata unei mase de fluidm si volumV, marginit de suprafataS , precum n figura 5.9: p m extF F F a mr r rr+ .(5.38) unde: extFrreprezintasumafortelorexterioareceactioneazaasupramaseidefluid, respectiv fortele masice mFr si de presiune pFr. Pentru o masa elementara de fluid: VV V V dv da ddv dd a d adtmtmrrrr r (5.39) VV V d d d d f F f m f Fm m m m mr r r r r (5.40) VV d d d dpS n pF S n pFSp prrrr (5.41) unde: mfrestefortamasicaunitara;aredimensiuneauneiacceleratiisiseexprimasub forma: k f j f i f fz m m y x m mr r r r + + .(5.42) 31n general: xUfm x ; yUfm y ; zUfm z U fmgrad r U estepotentialulfortelormasice.ntr-unpunct,reprezintaenergiapotentialamasicaafluidului. Cnd m xf , m yfsi m zfsunt cunoscute: ( ) dz f dy f dx f U(x, y, z)m z m y m x + + (5.43) nlocuind (5.39), (5.40) si (5.341) n ecuatia (5.38), aceasta devine: V V VV V Vp d d f ddtd?mrrv (5.44) n cazul unui volum care tinde catre zero,0 V , relatia (5.44) se poate scrie sub forma: p ftp ftm m 1dv ddv d rrrr (5.45) Ecuatia(5.45)esteEcuatialuiEulerdemiscareafluidelorideale,nformavectorialasiexprima faptul ca un fluid n miscare se afla n echilibru sub actiunea fortelor inertiale) v t d d (-r, masice mfr si de presiune / ) p ( . Tinndcontdeexpresia(5.9)aacceleratieiuneimasedefluid,ecuatiaanterioaradevine (formulare H. Helmholtz): p ftmgrad rot grad122 + +rr rrv vv v(5.46) n cazul fluidelor pentru care: fortele masice deriva dintr-un potentialU fmgrad r, densitatea este o functie cunoscuta de presiune dpgrad p grad1 ecuatia (5.46) se rescrie n forma: 02222 +

,_

+ + + + +v vv vv vv vr rrr rrUdptpU rot trot graddgrad grad grad(5.47) Aceasta este ecuatia de miscare a fluidelor ideale (formulareI. S. Gromeka si H. Lamb). 5.2.3 Ecuatia lui Bernoulli Rezolvarea ecuatiei de miscare (5.47) depinde de conditiile concrete de integrare. Astfel: pentru curgeri permanente, termenul tranzitoriu este nul0tvr, daca miscarea este irotationala, sau pe o linie de curentv vr r rot , atunci: 3202vgrad2

,_

+ +Udp(5.48) Termeniidininteriorulparantezeloraudimensiunideenergiispecificeunitatiidemasa.Sumalor senoteazacue siexprimafaptulcaenergiaunitatiidemasareprezintasumadintreenergia cinetica, energia potentiala de presiune si energia potentiala de pozitie. Expresia: e Udp v + + 22 se numeste functia lui Bernoulli. nmultind ecuatia (5.48) cu deplasarea elementararrd , atunci:

,_

+ +

,_

+ + 02022 2Upr Up dd ddgradv v r .vct Up + + d22(5.49) 5.2.3.1Ecuatia lui Bernoulli pentru fluide incompresibile Pentru: fluideincompresibile,. ct ,lichidesigazendomeniulsubsonicincompresibil (conventional, gaze a caror viteza medie nu depasestem/s 50 ) n cmp gravitational,0 m y m xf fr r,g fm z r, deci: ct g z z -g z f Um z+ d d , ecuatia (5.49) devine: . ct z gp2v2 + +(5.50) Aceasta este ecuatia lui Bernoulli. Pentru doua puncte de pe o linie de curent aceasta se scrie: . z gp2vz gp2v22221121+ + + + (5.50) n aceasta forma, toti termenii reprezinta energii specifice unitatii de masa: energie cinetica 2v21; energie potentiala de presiune p; energie potentiala de pozitiez g . Ecuatia lui Bernoulli se poate exprima si sub alte doua forme. Daca termenii din ecuatia (5.50) se mpart cug : [ ] m H zgpg 2vzgpg 2v22221121 + + + + (5.51) 33 Se observa ca fiecare dintre termeni are dimensiunea unei lungimi. Acest fapt permite urmatoarea reprezentare grafica a ntregii expresii, pe o linie de curent (vezi figura 5.10): cota (naltime) de pozitiez , cota (naltime) piezometrica pgp , cota (naltime) cinetica g 2v2. Fig. 5.10 Reprezentarea grafica a ecuatiei lui Bernoulli Pe o linie de curent, parametrii unui fluid variaza astfel nct nivelul energeticHramne constant. A treia forma a ecuatie lui Bernoulli se obtine daca nmultim termenii ecuatiei (5.50) cu : 2 2221 121z g p2vz g p2v+ + + +1]1

2mN(5.52) In aceasta forma termenii au dimensiuni de presiune: presiune dinamica 2v2; presiune staticap; presiune de pozitiez g . Suma dintre presiunea statica si cea dinamica reprezinta presiunea totala a unui fluid, tp : . p2vp2t+ (5.53) 345.2.3.2Ecuatia lui Bernoulli pentru fluide compresibile Pentrufluidecompresibile,. ct (gazeacarorvitezamediedepasestem/s 50 ),ncmp gravitational, rezolvarea ecuatiei (5.49) depinde de caracterul transformarii pe care o sufera fluidul: izoterma, adiabatica, politropica. Astfel, pentru o transformare generala. ctpn cu exponentul politropicn , potentialul fortelor de presiune pentru doua stari succesive este:

,_

112221p p1 nn dp , (5.54) iar ecuatia lui Bernoulli: 22221121z gp1 nn2vz gp1 nn2v++ ++ .(5.55) Pentrutransformareaadiabatica. ctp,ecuatialuiBernoulliareoformasimilaracu(5.55),n careexponentuladiabaticn senlocuiestecucelpolitropic .ncazulunuiprocesizoterm . ctp, ecuatia lui Bernoulli devine: 2 222221 11121z g p lnp2vz g p lnp2v+ + + + .(5.56) 5.2.4TEOREMA IMPULSULUI n Mecanica generala impulsul unui punct material de masam care se deplaseaza cu viteza?r se defineste ca fiind produsulv mr . Pentru un sistem de puncte materiale, impulsul total are expresia: i iv m Irr.(5.57) Teorema Impulsului: ext i iF v mdtdrr(5.58) exprima faptul ca derivata n raport cu timpul aimpulsuluiunuisistemdepunctemateriale esteegalacurezultantafortelorexterioare care actioneaza asupra respectivului sistem. Pentruatranspuneaceastateoreman domeniulMecaniciiFluidelor,seconsidera unfluidincompresibildedensitate n miscarepermanentaprintr-untubdecurent, carelaunmomentdatocupaunvolum Fig. 5.11 35(numit volum de control) marginit de o suprafata ABCDS(vezi figura5.11). Sectiunile laterale 1S , 2S suntperpendicularepedirectiadecurgere.Masadefluidcontinutanaceastasuprafatava ocupaladouamomentesuccesive 1t si 2t pozitiileABCD,respectivABCD.VariatiaI dra impulsului n intervalul de timpdtse poate exprima prin diferenta impulsului masei de fluid la cele doua momente 1tsi 2t : 1 2I I I dr r r . Deoareceamconsideratcamiscareaestepermanenta,impulsulmaseidefluidcontinutantre sectiunile AB si CD ramne constant n timp. Asadar, variatia impulsului n intervaluldteste data de diferenta dintre impulsul masei de fluid continuta n suprafata ' A ' ABBSsi impulsul masei de fluid continuta n suprafata ' C ' CDDS : 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2v dt v S v dt v S v V v V v m v m I I I dr r r r r rr r r ) v v Q(dtI d1 2r rr extF ) v v Q(rr r1 2 (5.59) unde:Q[m3/s]debitul de fluid; 2 1,v [ m/s ]vitezele medii ale fluidului prin cele doua sectiuni de calcul 1S , 2S . extFrreprezintasumafortelorexterioarecareactioneazaasupramaseidefluiddinvolumulde control considerat: slfslp 2 p 1 p extF F F F G Fr r r r r r+ + + + (5.60) unde: Gr

forta de greutate exercitata de masa de fluid din volumul de control; 2 p 1 pF , Fr r

fortele de presiune cu care fluidul ramas n tubul de curent, n afara volumului decontrol,actioneazaasuprafluiduluidininteriorulacestuiaprinintermediul suprafeteideintrare 1S ,respectivalsuprafeteideiesire 2S (normalepe aceste suprafete si orientate spre fluidul din interiorul volumului de control); slpFr fortacucarepereteletubuluidecurentcarefacepartedinsuprafatade control actioneaza asupra fluidului din interiorul acesteia; slfFr

fortadefrecarecareseexercitantrefluidsisuprafatalateralainterioaraa tubului de curent nlocuind relatia (5.50) n (5.59) se obtine: slfslp p pF F F F G ) v v Q(r r r r rr r+ + + + 2 1 1 2 (5.61) Observatii:1Pentru aplicarea Teoremei Impulsului este suficienta cunoasterea fenomenelor care au loc pe suprafata de control, nu si a celor care se petrec n interiorul ei. Concret, este vorba de cunoasterea presiunilor sivitezelor pe aceasta suprafata. 2 Pentru aplicatiile practice, rezolvarea ecuatiei vectoriale (5.61) implica raportarea sistemului studiat la un reper triortogonal drept, convenabil ales. 36 4. CONSECINTE SI APLICATII ALE TEOREMEI CONSERVARII ENERGIEI 4.1 Parametrii frnati ai fluidelor 4.2 Aparate de masura a vitezelor si debitelor bazate pe ecuatia lui Bernoulli 4.1. PARAMETRII FRNATI AI FLUIDELOR Fie un corp solid (considerat fix) plasat ntr-un curent de fluid (vezi figura4.1), miscarea acestuia fiind una permanenta (stationara), irotationala: Fig. 4.1 Parametriifluiduluilaodistantasuficientdemaredesolid,undecurgereanuesteinfluentata (perturbata)deprezentaacestuia(teoreticlainfinit)senoteazacuindice sisenumesc parametrineperturbati: v , p , T , .Ceicaredefinescfluidulnpunctuldestagnare,unde viteza particulelor este nula, se numesc parametri frnati. Fie acestia notati cu indice :0 v* , * p ,* T ,* . n procesul de curgere a fluidului peste solid liniile de curent vor ocoli corpul cu exceptia uneia care sevaoprintr-unpunct,denumitpunctdeimpact,saudestagnare.Estepunctulpentrucare valoarea* p estemaxima: stagnare maxp p * p .Ecuatiaconservariienergieintre siare urmatoarea forma ( ct z ): 0dp2vd21]1

+

,_

(4.1) Relatia(4.1)semainumestesiecuatiadefrnareafluiduluiiarrezolvareaeidepindede caracterulprocesuluidefrnare(izodens,izoterm,adiabaticetc.)adicadedependentadintre presiunea si densitatea fluidului:) p ( . 37 4.1.1 Frnare izodensa nacestcazdensitateafluiduluiesteconstantact :lichidesigazeacarorviteza (conventional) nu depaseste valoarea50 vm/s. Relatia (4.1) devine: 2vp p 0dp2v2 2 + + (4.2) din2p2v reprezinta presiunea dinamica a fluidului neperturbat; stp p reprezinta presiunea statica a fluidului neperturbat; totp p reprezinta presiunea totala a fluidului. 4.1.2 Frnare izoterma n cazul fluidelor compresibile (a gazelor a caror viteza depaseste valoarea de50m/s) frnarea se poate face n doua moduri: adiabatic0 dQ ,esteofrnarerapidancareparticuleledefluidnuautimpsa schimbeenergiecuexteriorul,iarenergiacineticaaacestoraeliberataprinfrnare duce la modificarea adiabatica a presiunii, densitatii si temperaturii; izotermicct T T T ,procesuldefrnareesteunullentiarenergiacinetica eliberata modifica doar presiunea si densitatea fluidului; n acest caz: T R ctp p ,,_

pT R 1(4.3) iar ecuatia (4.1) devine: +

,_

11]1

+

,_

0pdpT R12vd 0?dp2vd2 2 a2e p p 0 p lnT R12v + , unde T 2Rva2 (4.4) Asadar presiunea frnata variaza exponential cu viteza neperturbata. Observatie: Similar, se calculeaza presiunea fluidului frnat n conditii adiabatice, pentru care: ctp pk k (4.5) 38 4.2. APARATE DE MASURA A VITEZELOR SI DEBITELOR BAZATE PE ECUATIA LUI BERNOULLI 4.2.1 Tuburi piezometrice Sunt dispozitive cu ajutorul carora se pot determina (masura) presiuni statice stp(presiuni care se exercitalanivelulplanuluideseparatieadouastraturidefluidnmiscare)devalorirelativmici. Sunttuburideschiselaunuldincapete,celalaltfiindracordatlaconducta(recipientul)ncarese masoarapresiunea(vezifigura4.2).Racordareasefaceprinintermediuluneiprizedepresiune statica. st lp sth p (4.6) Indicelelp din relatia anterioara se refera la lichidul piezometric (utilizat la masurarea presiunii). La determinarea presiunilor n lichide, lichidul piezometric poate fi tocmai cel a carui presiune statica urmeaza a fi determinata, caz n care lp iar tubul se numeste piezometric direct.4.2.2 Tuburi Pitt (sonde de presiune totala) Suntdispozitivecuajutorulcarorasepotdetermina(masura)presiunitotale totp (presiunila nivelulpunctelordestagnare).Poartadenumireaceluicarele-ainventat.Celmaiadeseasunt tuburi n forma deLcu unul din capete plasat in lungul curentului de fluid, ca n figura 4.2, celalalt fiind racordat la un piezometru. Fig. 4.2 tot lp tot lp toth h g p (4.7) 4.2.3 Sonde de presiune dinamica. Tubul Pitt Prandtl. Tubul Venturi Sunt dispozitive cu ajutorul carora se pot determina (masura) presiuni dinamice dinpobtinute prin cuplareauneisondedepresiunestaticacuunadepresiunetotalalaacelasipiezometru (diferential). din lp din lp st tot dinh h g p p p (4.8) Avndnvedererelatiadecalcula dinp ,seobservacasondeledepresiunedinamicapotfi utilizate la determinarea vitezei locale a unui fluid de densitate cunoscuta. 39 Aparatele construite special pentru determinareavitezelor locale a fluidelor poarta de numirea de tuburiPittPrandtl,dupanumelecelorcareauavutocontributiedecisivalarealizarealor. Schemaconstructivaaunuiastfeldeaparatesteprezentatnfigura4.3.Estecompusdindoua tuburi concentrice n forma deL , avnd aceeasi priza de presiune totala. La nivelul tubului exterior se gasesc prizele de presiune statica, pozitionate, pe axa tuburilor, la o distanta fata de priza de presiune totala ded ) 6 4 ( . Fig. 4.3 h 1 g 2 v h g p2 vlplp din2

,_

(4.9) Pentru determinarea vitezei medii a unui fluid incompresibil printr-o conducta, implicit si a debitului acestuia, se pot utiliza tuburile Venturi (vezi figura 4.4). Fig. 4.4 40 Suntalcatuitedintr-unansambludetuburiconice,primulconvergent(confuzor)urmatdeunul divergent(difuzor)racordatlaconductapecareurmeazaaseefectuamasuratori.Esteprevazut cu prize de presiune n zona de sectiune maxima 1S(sectiunea de intrare nconfuzor, egala cu sectiunea conductei) si zona de sectiune minima 2S . Notnd cu 1v , 2vvitezele medii ale fluidului n cele doua sectiuni, scriind relatia lui Bernoulli ntre sectiunile1si2obtinem: 222 121p2g v p2g v+ + (4.10) Dar conform ecuatiei continuitatii: 1212 2 2 1 1vSSv S v S v ct Q (4.11) nlocuind relatia (4.11) n (4.10) se obtine urmatoarea relatie de calcul a vitezei medii a fluidului n conducta de sectiune 1S : 2 12121222121 121p p1SS2gvpSS2g v p2g v

,_

+

,_

+(4.12) Avnd n vedere ca practic: hp p2 1 si notnd cuK (constanta aparatului): 1SSg 2K212

,_

(4.13) Relatia (4.12) se poate rescrie sub forma: h K v1 (4.14) Astfeldeaparate,custrangularecontrolataasectiuniicurentuluisuntutilizatefrecventla determinareadebitelorpeconducte.DispozitivelesimilarecaprincipiutubuluiVenturisunt diafragma,utilizatapentrudeterminareadebitelorpeconducteacarordiametruinteriorestemai mare de50mm si ajutajul, figura 4.6. Principiul de lucru al acestora se poate observa n figura4.5.Lastrangulareasectiuniicurentului apareodiferentadepresiunentresectiuneadinamontesiceadinavaldediafragma,care depinde de viteza medie a curentului, deci si de debit. Astfel, debitul se poate exprima n functie de aceastadiferentadepresiune(caderedepresiunepediafragma).Relatiadecalculadebitului masurat cu ajutorul diafragmelor, conform normelor n vigoare, STAS 7347-83, este: 41 ( )II I2p p24d pa e Q (4.15) unde: 4d pSe22 raportul dintre aria sectiunii minime a curentului si aria sectiunii diafragmei, numit si coeficient de contractie; coeficientul de debit al diafragmei. Fig. 4.5 - Diafragma Fig. 4.6 Ajutajul 4.3. EJECTOARE SUBSONICE Ejectoarele sunt aparate hidraulice statice utilizate pentru antrenarea fluidelor (fluide antrenate sau secundare)folosindenergiaunuicurentdefluid(fluidmotorsauprimar).Dinacestpunctde vedere ejectoarele pot fi considerate pompe cu jet. n tehnica ejectoarele se folosesc la evacuarea apelor aflate la cote joase, la amorsarea pompelor, depresionarea conductelor de evacuare a turbinelor, ca trompa de vid, la vopsire etc.Schema de principiu a unui ejector este prezentat n figura4.7. Din punct de vedere functional se disting trei zone: 42 apdlolclmpampavmv amv2 3 4QmQaQamFig. 471 zona(convergenta)dedestinderea fluidelormotorsiantrenat(ntre punctele1si2),caracterizatade lungimea dl ;peaceastaportiune, datoritamicsorariisectiuniidecurgere, vitezafluiduluimotor mv cresteiar presiunea mp scade,ceeace determinaodestindereafluidului antrenat, deci o scadere a presiunii appnalaovaloareegalacuceaa fluiduluimotornpunctul1siimplicito crestere a vitezei av ; zona de omogenizare a amestecului de fluide (ntre punctele 2 si 3), de lungime ol ; aceasta parteestenecesarapentruanularea diferentelor de viteze ce pot aparea pe prima portiune si realizarea unui amestec cu parametri omogeni n toata masa; zona(divergenta)deconversieaenergieicineticeaamesteculuinenergiepotentialade presiune (ntre punctele3si4), de lungime cl ; valoarea presiunii amestecului de fluide ampeste superioara fluidului antrenat, dar mai mica ca a fluidului motor. Ecuatiile de calcul ale ejectoarelor sunt cele ale amestecului de fluide. Astfel: bilantul masic al amestecului este: am m a m m m) Q ( ) Q ( ) Q ( + (4.16) unde: mQ debitul masic al amestecului, fluidului motor, respectiv al celui antrenat. bilantulenergetic(deputere)seobtineprinaplicareaecuatieiluiBernoulli;estefunctiede natura fluidelor si modul de amestecare; pentru fluide incompresibile: am2ma2mm2mz gp2vQ z gp2vQ z gp2vQ

,_

,_

+ +

,_

,_

+ + +

,_

,_

+ + (4.17) Prin raportare la m m) Q ( , ecuatia anterioara se poate rescrie astfel: am2a2m2z gp2v) u 1 ( z gp2vu z gp2v

,_

+ + +

,_

+ + +

,_

+ + (4.18) unde:u coeficientul de amestec al ejectorului, definit de raportul dintre debitul fluidului antrenat si debitul fluidului motor: 43 m ma m) Q () Q (u (4.19) Randamentulejectoruluisedefinestecaraportntreputereacurentuluiantrenat aP siputerea curentului motor mP ; maPP (4.20) 5.APLICATII ALE PRIMEI TEOREME A IMPULSULUI 5.1 Forte aero- hidrodinamice pe suprafete plane Una din aplicatiile primei teoreme a impulsului se refera la calculul fortelor cu care curentii de fluid actioneaza asupra suprafetelor solide cu care vin n contact, numite si forte de impact, sau simplu forte hidrodinamice. n exemplul urmatoresteprezentatcazulactiuniidinamiceaunuijetdefluid de sectiune circulara asupra unei placi plane. Se considera ca jetul loveste placa sub unghiulsi de asemenea, ca suprafata placii este mult mai mare ca cea a sectiunii jetului. Fig. 5.1 Actiunea unui jet asupra unei suprafete plane de mari dimensiuni Dupa cum se poate observa si din figura 7.1, jetul este deflectat radial de suprafata plana, fata de punctul de impact. Neglijnd efectele gravitationale se poate considera ca sectiunea de iesire este una cilindrica. Pentru a aplica prima teorema a impulsului, se alege un volum de control delimitat de sectiunile1 1 (intrare) si2 2 (iesire) astfel nct n sectiunea de intrare curgerea jetului nu esteperturbatadeprezentaplacii( ct v1 ),iarnsectiuneadeiesiretraiectoriileparticulelorde fluiddevinparalelecusuprafataplacii( ct v2 ).Pentrufluiduldinvolumuldecontrolconsiderat, prima teorema a impulsului se scrieastfel: Deoareceactiuneaarelocntr-unmediuavndpresiuneaconstantantoatepunctele(n atmosfera),rezultantafortelordepresiuneceactioneazaasuprafluiduldinvolumuldecontrol considerat este nula. De asemenea, rezultanta fortelor de frecare dintre jet si suprafata placii este nula,datoritadezvoltariiradialeajetului,cuct v2 .Astfel,pentruacestcaz,primateoremaa impulsului se scrieastfel: 44 h 1 2F G ) v v ( Qr rr v (5.1) unde: densitatea fluidului; Qdebitul de fluid; 2 1v , v vitezele jetului n sectiunile de intrare, respectiv de iesire, ale volumului de control; Ggreutatea fluidului din volumul de control; hF forta cu care jetul actioneaza asupra placii; Forta hidrodinamica hFse determina proiectnd aceasta relatie pe axele unui sistem de referinta, convenabil ales. Neglijnd greutatea fluidului din volumul de control, situatie valabila pentru jeturi de fluide usoare, de mici dimensiuni, pentru cazul prezentat n figura 5.1 rezulta ca: sinv Q F1 h .(5.2) Exprimnd debitul de fluid n functie de viteza initiala a jetului si de aria sectiunii jetului, 12v4 dQ ,(5.3) se obtine: sin v4212 d Fh, sau sin422 dQFh.(5.4) Daca aria sectiunii jetului este comparabila cu cea a placii, situatia prezentata n figura5.2, forta hidrodinamica se calculeaza cu relatia: ) cos 1 (42 2 v d Fh.(5.5) undeeste unghiul sub care este deviat jetul. Fig. 5.2 - Actiunea unui jet asupra unei suprafete plane de mici dimensiuni Ecuatia (5.5) este valabila si pentru alte tipuri de suprafete, plane sau curbe. 45 5.2 Forte hidrodinamice n ajutaje Se considera cazul unui fluid care parcurge un ajutaj convergent, precum este prezentat n figura 5.3.Datoritacontractiei,fluidulvaactionaasupraajutajuluicuofortahidrodinamica hF .Orice sistemsaupersoana(deexempluunpompier)carefixeazaajutajultrebuiesafiesuficientde robust ca sa echilibreze aceasta forta. Fig. 5.3 Pentru aplicarea primei teoreme a impulsului, se alege un volum de control raportat launsistem dereferinta,precumnfiguraprecedenta.Pentru acest caz, prima teorema a impulsului se scrieastfel: h 1 1 2F G ) v v ( Qr v r vr r + + plf pF F (5.6) unde: 1 pFvforta de presiune n sectiunea1 1 ; 1 pFvforta de presiune n sectiunea. Neglijndgreutateafluiduluidinvolumuldecontrolsifortadefrecaredintrefluidsiajutaj,prima teorema a impulsului se scrie pe axaox : h1p 1 2F F ) v (v Q (5.7) Astfel, forta indusa n ajutaj se calculeaza cu relatia:

,_

1 221 1 1 21p hS1S1Q S p ) v (v Q F F .(5.8) Presiunea(relativa) 1p sepoateexprimadinrelatialuiBernoulliaplicatantresectiunile1 1 si 2 2 : +g 2 v?pg 2 v22 121(5.9) ( )

,_

212222122 2S1S12Qv v2p .(5.10) n final:

,_

,_

1 22212212hS1S1QS1S1 2S QF (5.11) xyS, vo1 1S, v2 2 46 6. DINAMICA FLUIDELOR REALE ndinamicafluidelorrealeintervineproprietateadevscozitate,caresemanifestaprinaparitia unoreforturitangentialedefrecarentrestraturilealaturatedefluid,precumsintrefluidsi suprafetele solide cu care acesta vine n contact. Astfel,existentaeforturilortangentialedininteriorulfluidelorrealearecaefectmodificarea mobilitatii particulelor si implicit a profilului de viteze. Fig. 6.1 Profilul de viteze la curgerea unui fluid peste o suprafata solida Fig. 6.2 Profilul de vitezentr-un fluid ideal 6.1. CURGERI LAMINARE SI TURBULENTE. EXPERIMENTELE LUI REYNOLDS Curgereafluidelorrealesepoateproducendouaregimuridistinctedemiscaredinpunctulde vederealstructuriifiziceaacestora.Existentaacestordouaregimuriafostpusanevidentade fizicianul O. Reynolds, cu ajutorul instalatiei experimentale prezentata n figura 6.3. Fig. 6.3 Aparatul Reynolds AparatulluiReynoldsconstadintr-unrezervor de nivel constant caruiaiseataseazaoconducta orizontala de golire, din sticla, prevazuta cu un robinet. 47nconductadegolireesteintrodustubsubtireprincarecurgeunlichidcolorat,dintr-unrecipient aflat n partea superioara. Experimentele au relevat faptul ca; -lavitezemicidegolire,curgereafiruluidelichidcoloratnuesteperturbatadecurgerea lichidului din rezervor (figura 4) curgere laminara-la viteze mari cele doua lichide se amesteca turbulent (figura 5) curgere turbulenta Fig. 6.4 Curgere laminaraFig. 6.5 Curgere turbulenta Trecerea de la un regim de curgere la altul se face pentru aceeasi valoare a raportului: Red vd v , (6.1) denumit numarul Reynolds, unde: este densitatea lichidului; este vscozitatea dinamica a lichidului; este vscozitatea cinematica a lichidului; veste viteza de curgere; deste diametrul conductei de golire. Pentru2320 Re regimul este turbulent. PentrunumereReynoldsnintervalul2320si5000regimuldecurgereesteunuldetranzitie. Pentru valori mai mari de 5000, curgerea este turbulenta complet dezvoltata 6.2. PROFILUL VITEZELOR N MISCARE LAMINARA SI TURBULENTA Pentru miscarile laminare profilul vitezelor (legea de repartitie a vitezelor) este unul parabolic, ca n figura6.6.Vitezantr-unpunctdininterioruluneiconductederazaReste,ladistantardeaxa conductei, data de relatia:11]1

,_

2maxRr1 v v ,(6.2) Unde maxveste viteza maxima, n axa conductei. Ca valoare, viteza medievreprezinta jumatate din valoarea vitezei maxime. 2vvmax , 48 Fig. 6.6 Profilul de viteze n miscare laminara nmiscareaturbulentaprofiluldevitezeseaplatiseazaodatacucrestereanumaruluiReynolds, dupa cum este prezentat n figura 6.7. Fig. 6.7 - Profilul de viteze n miscare turbulenta Profiluldevitezeeste,aproximativ,unullogaritmic.Pebazaunordeterminariexperimentale, LudwigPrandlsiJohannNikuradzeaustabilitcaprofiluldevitezentr-oconductapoatefi determinat cu relatia:n1maxRyv v ,_

, (6.3) undeyeste distanta pe directie radiala, masurata de la perete (vezi figura 8). Pentruexponentuln s-audeterminatdiferitevalori,caredepinddenumarulReynolds.Pentru domeniul 410 5 Re < Nikuradzeaindicat7 n ,motivpentrucarerelatia(6.3)maieste cunoscutasicalegeaunupesapte.Pentru 5 410 2 Re 10 5 < < afostdeterminatavaloarea 8 n ,iarpentru 510 2 Re > 10 n .nprimaaproximatie,sepoateconsideracavitezamedie ntr-un regim de curgere turbulenta reprezinta 0.84 din valoarea vitezei maxime. Vitezamedientimp,ntr-unpunct,estedatademediavitezelorinstantanee.Marimeaacestor fluctuatiidupaceletreidirectiialesistemuluidereferinta, v , v , v'z'y'xalevitezeimedii,este caracterizata de gradul de turbulenta al fluidului T , definit de relatia: v' v1003' v ' v ' vv100T22z2y2x+ +[%]. (6.4) 49 Fig. 6.8 Variatiile locale n timp ale vitezei Fig. 6.9 Variatia n timp a vitezei instantanee 6.3. PIERDERI ENERGETICE LA CURGEREAFORTATA A FLUIDELOR N REGIM PERMANENT 6.3.1. NOTIUNI TEORETICE Caoricefenomenfizicrealsitransportulfluidelorprinconducteserealizeazacupierderide energie, n acest caz fiind vorba de energie hidraulica. Calculul acestor pierderi se face pornind de laecuatiaconservariienergieincazulmiscariipermanenteafluidelorincompresibile,ncmp gravitational, scrisa pentru doua sectiuni de calcul: > + + + + +21222211212v2vrh zpgzpg (6.5) 2 12 12221212v vz zp pghr ++ [m col. fluid],(6.6) unde: 2 1v , vvitezele medii ale fluidului prin sectiunile de calcul; 2 1,p p presiunile statice ale fluidului pentru aceleasi sectiuni; 2 1z , z cotele de nivel ale celor doua sectiuni de calcul fata de un plan de referinta. Termenul 21rh din ecuatia anterioara reprezinta tocmai pierderile energetice (denumite si pierderi hidraulice sau pierderi de sarcina), care apar la curgerea fluidului ntre sectiunile 1 si2 . 50Desi din punct de vedere fizic, pierderile hidraulice n orice element al unei retele sunt indivizibile, pentru usurinta calculelor, acestea sunt adesea mpartite, conventional, pentru aceeasi sectiune de calcul, n: pierderi liniare, numite si distribuite, linh ; pierderi locale, loch . Ambeletipuridepierderisensumeazadupaprincipiulsuprapuneriipierderilor,pentrucareseia suma aritmetica a pierderilor distribuite si a pierderilor locale: loc lin rh h h + [m col. fluid].(6.7) Practic, valoarea linhtrebuie luata n considerare numai pentru componentele de lungime relativ mare sau atunci cnd este apropiata ca valoare de loch . ncalculelemodernealeretelelorhidrauliceseopereazacucoeficientiadimensionaliai rezistentelorhidraulice.Estemultmaiconvenabil,deoarecencurentiidinamicasemenea, pentrucareserespectaasemanareageometricaasectoarelorsiegalitateanumerelor Reynolds(siaaltorcriteriidesimilitudine,dacaelesuntimportante),valoareaacestor coeficientiesteindependentadenaturafluidului,devitezacurentului,precumside dimensiunilesectoarelorcalculate.ngeneralpierderiledeenergiehidraulicaseexpriman raport cu termenul cinetic, utiliznd viteza medie pe sectiune, sub forma generala: gvhr22 [m col. fluid],(6.8) unde:[-]coeficientulpierderilorenergetice(denumitsicoeficientulpierderilor hidraulice,coeficientulpierderilordesarcinasaucoeficientderezistenta hidraulica). n functie de coeficientii adimensionali caracteristici, relatia (6.7) se poate scrie astfel: g 2vg 2v) ( h2tot2loc lin r + [m col. fluid],(6.9) unde: lin[-]coeficientul de rezistenta liniara; loc[-] coeficientul de rezistenta locala. ObservatiePrincipiul nsumarii pierderilor se aplica nu numai la calculul unui element separat al uneiretelehidraulice,darsilacalcululhidraulicalntreguluiansamblu,adicasumaaritmeticaa pierderilorndiferiteleelementedepetraseudarezistentatotalaaretelei.nacestcazseiaun considerare influentele reciproce ale elementelor ce compun reteaua hidraulica, situate la distante mici unele fata de altele. 516.3.2 Pierderile liniare (distribuite) de sarcina Pierderile distribuite sunt provocate de vscozitatea (att moleculara, ct si turbulenta) fluidului de lucrusiconstituierezultatulschimbuluidecantitatedemiscarentremolecule(ncazulmiscarii laminare),precumsintreparticuleleaflatenstraturinvecinatealefluidului,caresemiscacu vitezediferite(ncazulmiscariiturbulente).Valoareaacestoraesteproportionalaculungimea traseului parcurs. Conform H. P. G. Darcy, relatia de calcul a acestor pierderi este: gvdlhHlin22 [m col. fluid],(6.10) unde:[ - ]coeficientul Darcy-Weissbach de frecare vscoasa; l [m]lungimea traseului parcurs ntre sectiunile 1 si2 ; Hd[m]diametrul hidraulic; udat Perimetrulcurentului a vii sectiunii Aria4PA4 R 4 duscH H [m]. (6.11) n figura 6.10sunt prezentate doua situatii de calcul ale diametrului hidraulic, frecvent ntlnite n practica.Dupacumseobserva,ncazulconductelorcircularediametrulhidrauliccoincidecu diametrul geometric. Fig. 6.10 Situatii de calcul ale diametrului hidraulic Coeficientulrezistenteidistribuitepentruunelementconsideratseexprimanfunctiede coeficientul lui Darcy, dupa cum urmeaza: Hlindl [-]. (6.12) Cndraportul Hd l esteconstantsifluidulesteincompresibil,coeficientiiderezistenta , respectiv lindepind de numarulResi de rugozitatea relativaka peretilor elementului calculat: Hdkk[-], (6.13) 52unde: k rugozitatea peretilor elementului hidraulic calculat, definita conform figurii 6.11. Fig. 6.11 Definirea rugozitatii Inversul rugozitatii se numeste netezime. 6.3.3 Pierderile locale de sarcina Pierderile locale de presiune apar pe portiuni scurte ale curgerii (numite singularitati) unde are loc operturbareacurgeriinormale(ovariatieavectoruluivitezamedie,camodulsi/saudirectie). Apar n locurile cu schimbari ale configuratiei traseului (difuzoare, confuzoare, coturi, filtre, armaturi etc.),lantlnireasiocolireaobstacolelorsauladesprindereacurentuluideperetiiretelei. Formareavrtejurilorsiamestecareaturbulentaintensivaacurentuluiintensificaschimbulde cantitatedemiscare(eforturiletangentialedefrnare),marinddisipareadeenergie.Relatiade calcul a acestora este de forma: gvhloc 22[m col. fluid],(6.14) unde: [ - ]coeficientul pierderilor locale; se determina n majoritatea cazurilor pe cale experimentala. Coeficientul rezistentei locale locdepinde n special de caracteristicile geometrice ale elementului considerat, precum si de ctiva parametri ai miscarii, precum: Caracterul distributiei vitezei la intrarea fluidului n elementul examinat; la rndul ei, distributia de viteze depinde de regimul de curgere, de forma intrarii n element, de lungimea portiunii drepte ce precede intrarea, de distanta pna la diferitele parti prelucrate ale tronsonului sau obstacole etc.; Numarul Reynolds: Numarul MachM (pentru curgeri cu variatii ale densitatii). 6.3.4 Calculul coeficientului lui Darcy 1.Pentrucurgerilaminare,Re 5000 neinfluentate de rugozitatea relativaa conductei 00008 . 0 k< ,se calculeaza cu relatia lui Blasius: 25 . 0Re3164 . 0 [-] (6.16) 3.Pentrucurgeriturbulentecompletdezvoltate5000 Re > ,nconducterugoase 0125 . 0 k 00008 . 0 < < ,se poate calcula cu una din relatiile:25 . 0HRe68dk11 . 0

,_

+ [-] (stabilita de Idelcik)(6.17) 2Hkdlg 2 74 . 111]1

+ [-] (stabilita de Nikuradze) (6.18) Valoarea numarului Reynolds, kRe , de la care rugozitatea ncepe sa influenteze curgerea, deci si valoarea , se poate aproxima cu relatia lui Pecornik:

,_

kd1 . 0 lgkdReH Hk.(6.19) 4.Pentru regimurile de tranzitie se poate utiliza relatia lui Moody: kdRe260H [-].(6.20) 54Fig. 6.12 Diagrama Colebrooke White nfigura6.12suntprezentategraficsituatiiledecalculale ,reprezentarecunoscutasisub denumirea de diagrama Colebrooke White. 6.4 MISCARI NEPERMANENTE N CONDUCTE SUB PRESIUNE. LOVITURA DE BERBEC Regimurilenepermanentedemiscarealefluidelor(caracterizatedeexistentavariatiilorlocaleale vitezeisiimplicitalepresiunii)suntcazurifrecventntlnitenfunctionareainstalatiilorhidraulice. Apar la pornirea sau oprirea instalatiilor, la schimbarea regimului de functionare datorita modificarii unor factori externi precum necesarul de fluid de lucru sau de energie, sau la aparitia unei avarii. Miscarilenepermanentealefluidelornconductesepotrealizanconductesubpresiune,cade exemplulovituradeberbec,saunconductecusuprafatalacapatulsuperior,precumoscilatiile ntr-uncasteldeechilibru.Dintremiscarilenepermanentenconductesubpresiunecelemai importante din punctul de vedere al aplicatiilor practice sunt miscarile nepermanente ale apei. Dintre miscarile nepermanente n conducte sub presiune, mai importante suntlovitura de berbec, oscilatiile n masa si miscarile sonice. Lovituradeberbecesteunfenomendemiscarerapidvariabil,caracterizatprinaparitiasi propagarea sub forma de unde a unor variatii mari de presiune n conductele prin care curg lichide, carezultatalmanevrariiorganelordenchideresicareimpuneluareanconsiderarea compresibilitatiilichidului.Astfel,ncazulnchideriicompletesaupartialeauneiconductefortate (subpresiune)seproducemaintiosuprapresiuneurmatadeodepresiunesiapoioseriede suprapresiunisidepresiunicaresepropaganlungulconductei,solicitnd-oasemeneaunor lovituriputernice,deundesidenumirea).Acestfenomenpoatefiobservatsipeconductade refulare a unei pompe. Astfel, n momentul n care se opreste pompa sau se micsoreaza turatia ei, seproducemaintiodepresiuneurmataapoideoseriedesuprapresiunisidepresiuni care se propaga n lungul conductei. Vitezaade propagare a loviturii de berbec se determina cu ecuatia lui Allievi: adE1ca + ;

,_

+dE1a, (6.21) unde:ddiametrul interior al conductei; grosimea peretelui conductei; E modulul (Young) de elasticitate al materialului conductei c viteza de propagare a sunetului n fluid modulul de elasticitate al fluidului; 55a modululdeelasticitateaparentalfluidului(careianconsideraresi elasticitatea conductei); densitatea fluidului. n cazul apei se poate utiliza formula lui Jukovski: dE11425a+(6.22) naplicatiilepractice,saltuldepresiune(pentruonchiderepartialaavaneidedebit)sepoate calcula cu relatia lui Jukovski:) v v ( a p p p2 1 1 2 .(6.23) unde: 2 1v , v vitezele fluidului la nainte si dupa nchiderea vanei de debit. Presiunea maxima se obtine pentru0 v2(la nchiderea completa a vanei de debit): 1 maxv a p .(6.24) O aplicatie importanta referitoare lamiscarea nepermanenta n conducte o reprezintacastelulde echilibru utilizat n cadrul uzinelor hidroelectrice, prezentat schematic n figura 6.13. Acesta mpiedica patrundereaundelorde presiunedinconducta fortatanconductade aductiune.Astfel,n castelaparoseriede oscilatii,camasurade protectiempotriva fenomenuluilovituriide berbec. Fig. 6.13 Schema unei amenajari hidroelectrice cu conducta fortata lunga si castel de echilibru 56 7. STRATUL LIMITA Senumestestratlimitastratuldefluidcareseformeazalanivelulsuprafetelorcorpurilorsolide aflatenmiscarerelativafatadeunfluidcuovitezadereferinta v sininteriorulcaruiaviteza fluidului xv crestedelazero(pesuprafatasolidului)lavaloareacorespunzatoarecurentuluide fluid, neperturbat de prezenta corpului, v . ntruct este greu de stabilit punctul n care viteza din stratul limita atinge valoarea v , s-a convenit sa se defineasca drept grosimea stratului limita distantadelaperetepentrucarevitezadinstratullimitadiferacu% 1 devitezacurentului neperturbat. 7.1 NOTIUNI TEORETICE Modul n care se dezvolta si se formeaza stratul limita pe o suprafata plana este prezentat n figura 7.1. Fig. 7.1 - Evolutia stratului limita pe placa plana Lanivelulsuprafeteiplacii,curgereafluidului,cuvitezaneperturbataconstanta v , debuteaza cuformarea unui strat limita laminar de grosime l , din care ulterior se dezvolta unulturbulentdegrosime t .naceastazonastratullaminaraestereduslaogrosime ltfoarte mica. Trecerea se face printr-o zona de tranzitie scurta. n studiile de aerodinamica industriala prezinta importanta stratul limita turbulent, cel laminar fiindundezideratalaplicatiilordinaviatie.Relatiadecalculagrosimiistratuluilimita turbulent, dependenta de distantaxfata de originea sa, este: 2 . 0xtRex37 . 0 ) x ( (7.1) Viteza xvn stratul limita turbulent se poate calcula cu relatia (legea unu pe sapte): 71txyv v

,_

(7.2) nunelecalculereferitoarelastratullimitasemaiutilizeazancadouamarimicaracteristice aleacestuiasianumegrosimeadedeplasare * (saugrosimeadeficituluidedebitprodus prinfrnare),definitaderelatia(7.3),respectivgrosimeadeimpuls ,definitaderelatia (7.4). y 8vxdstrat limitlaminarx 8vvldltdt 8vzontranzit deiestrat limitturbulent 57 ( ) 0x dy v v ?* d ? v ( ) 0x dy v vv1*

,_

0x dyvv1 * d(7.3) Dinecuatia(7.3) rezulta ca semnificatia lui *este aceea a distantei pedirectia normala la suprafata pentru care debitul de fluid este anulat prin prezenta stratului limita (grosimea unui stratimaginardeviteza v sidebitmasicegalcudeficituldedebitdatoritaprezentei stratului limita). Fig. 7.2 Reprezentarea grafica a grosimii de deplasared* ( ) 02 2 dy v v v vx x

,_

0x x dyvv1vv (7.4) Similar,semnificatiaceleideadouamarimiesteaceeaadistanteipedirectianormalala suprafata pentru care impulsul de fluid este anulat datorita frecarilor din stratul limita. Pentru calculul celor doua marimi se pot utiliza relatiile: 81* ; 727 (7.5) Ecuatiile anterioare reprezinta aproximari ale curgeri bidimensionale la presiune constanta. ngrosareastratuluilimitalanivelulsuprafetelorsolide,chiarsipentruungradientde presiunenul,sedatoreazacomponenteiverticaleinduse iv (pozitiva,orientatanspre exteriorul stratului limita) a vitezei curentului neperturbat v(vezi figura 7.3). Fig. 7.3 - Principalele marimi caracteristice ale statului limita Calculul componentei induse se face conform relatiei: ) x ( vdx) x ( dv) x (dx) x ( d) x ( v ) x ( vwx **x i+ + ; (7.6) v (x)ad*(x)d (x)yv (x,y)xv( , x) di-v(x)wvivxxx ( )0x dy v vyv0.99 v 8 8d*dAria =( )0x dy v v 58 ncazurilencareserealizeaza(experimental)uncontrolalstratuluilimitalanivelul suprafetelorsolide, wv estecomponentanormalaavitezeiprinacestesuprafete (consideratepermeabile),negativancazulaspiratiei,pozitivancazulncarecontrolul stratului limita se face prin ejectie. Unghiul ,pecaretangentalasuprafatastratuluilimitalfacecuorizontala(datorat componentei induse iv ) se calculeaza cu relatia: ) x ( v) x ( vtg arcxi ;(7.7) Pentrucazurilefrecvente,ncaresuprafetelesuntimpermeabilicomponenta) x ( vweste nula,valorile iv si potfievaluatesubstituindnecuatiile(7.6)si(7.7)valorile si *definite de relatiile (7.1) si (7.5). nfigura7.4esteprezentatmodulncareevolueazadistributiadevitezenstratullimitala curgerea pe o suprafata pna la desprinderea acestuia si formarea turbioanelor. Astfel,lacurgereaunuifluidpeosuprafatasolidaaparzonencarevariatiapresiunilorn sensulcurgerii) x / p ( poatesafiepozitivasaunegativa,dupacumvitezelescadsau cresc.Zonelepentrucare0 ) x / p ( < suntcelepentrucaredistributiadevitezeareun aspectnormal(zonaB A conform figurii7.4),iarcelepentrucare0 ) x / p ( > senumesc zonedeinversareasensuluidecurgere(delaB laC ).npunctulncare0xpyvx (punctulB conformfigurii7.4)seproducefenomenuldedetasareastratuluilimita,acesta numindu-sepunctdedesprindere.LiniaD B senumesteliniadedesprindere,iarlinia E B este linia nucleelor de vrtej. Fig. 7.4 Evolutia distributiei de viteze n stratul limita 7.2 PROPRIETATILE STRATULUI LIMITA 1. Viteza la perete este nula0 v pentru0 y . 2. Viteza este maxima la frontiera stratului limita v vpentru y . 0yvx>0yvx0yvx0xp0xp0yvx0yvx0xp0xp< 59 3. Gradientul vitezei este nul la frontiera stratului limita 0dydvpentru y . 4. Gradientul vitezei este constant la perete. ctdydvpentru0 y . 5. Din (4) rezulta ca:0dyv d22pentru0 y . Aplicatie Sa se calculeze grosimea de deplasare* a stratului limita laminar descris de ecuatia:

,_

2ysin v v . Solutie: 364 . 022ycos2ydy2ysin dy dy2ysin 1 dyvv1 *000 0 0 0 ,_

+ 1]1

,_

1]1

,_

,_

. 7.3 ECUATIILE DE MISCARE ALE FLUIDELOR VSCOASE INCOMPRESIBILE Deoarece n interiorul stratului limita se manifesta intens fortele de frecare acesta se mai numeste si strat de frecare. Teoria generala a frecarii dintre straturile alaturate de fluid arata ca schimbarea formeielementelorfluideconducelaaparitiaunortensiunidenaturacelorcaresentlnescn corpurileelastice,cuspecificatiacaacestetensiuninusuntproportionalecudeformatia,cicu viteza de deformatie. Sub forma vectoriala, expresia fortelor de natura vscoasa este: ) v ( v fr rr + , (7.8) unde: vfr ansamblul tensiunilor de frecare care actioneaza asupra unitatii de volum de fluid; vscozitatea dinamica a fluidului; densitatea fluidului; operatorul diferential de ordinul doi (operatorul lui Laplace); vrviteza particulelor de fluid. Astfel, tinnd cont si de fortele de frecare vscoasa, ecuatia de miscare a fluidelor reale, sub forma vectoriala, se exprima astfel: f p1fdtv dmr rr+ (7.9) unde: adtv drr acceleratia particulelor de fluid; p presiunea n interiorul fluidului; 60 mfr ansamblulfortelormasiceexterioareceactioneazaasupraunitatiide volum. Introducnd relatia (7.8) n (7.9) si proiectnd relatia obtinuta pe axele reperului triortogonal drept Oxyz , se obtine urmatorul sistem de ecuatii:

,_

+++

,_

+++ +++ywy xuxzuyuxuxp 1fzuwyuxuutu222222mx (7.91)

,_

+++

,_

+++ +++ywy xuyz y xyp 1fzwy xut222222my (7.92)

,_

+++

,_

+++ +++ywy xuzzwywxwzp 1fzwwywxwutw222222mz (7.93) unde: w , , u componentele vitezei n sistemul triortogonal de referinta; vscozitatea cinematica; Pentru fluidele incompresibile ( . ct , din ecuatiei continuitatii0 v r,) sistemul de ecuatii (7.9) se poate scrie sub forma simplificata: uxp 1fdtdumx + (7.101) yp 1fdtdmy+ (7.102) wzp 1fdtdwmz + (7.103) Ecuatiile (7.10) poarta denumirea de ecuatiile Navier-Stokes, sau ecuatiile de miscare ale fluidelor vscoaseincompresibile.Integrareaacestorecuatiiestedificilasiposibiladoarnunelecazuri particulare,ncarecomportamentulfluiduluidinpunctdevederevscoelasticesteunuldetip newtonian(miscarilaminare).Ecuatiiledemiscarealefluidelorrealeserezolvacelmaiadesea numericcuajutorultehnicilorCFD(ComputationalFluidDynamics).nfigura7.5suntprezentate rezultatele referitoare la o astfel de analiza, la curgerea aerului n jurul unei caroserii de automobil (variatia coeficientului de presiune pe caroserie si trena de vrtejuri n spatele acesteia). Fig. 7.5