Rolul derivatei in studiul functiilor

Convexitatea si concavitatea

Def

O functie se numeste convexă pe intervalul E daca oricare ar fii x1 şi x2 apartine lui E si oricare ar fii t apartine intervalului [0, 1] are loc inegalitatea

O functie , E un interval, se numeste concava pe intervalul E daca oricare ar fi x1 si x2 apartine lui E si oricare ar fii t apartine lui [0, 1] are loc inegalitatea

Conditia suficentă de convexitate si concavitate

Teorema

Fie f:{a, b} a<b o functie de doua ori derivabila pe [a, b]

1) Dacă atunci functia este convexa pe intervalul inchis [a, b]

2) Dacă atunci functia este concava pe [a, b]

Intervale de convexitate si de convexitate

1) Se calculeaza 2) Se rezolvă ecuatia 3) Cu ajutorul radacinei derivatei a doua se determina intervalul pe care derivata a doua

păstrează acelaş semn4) Dacă pe un interval atunci f este convexa pe acel

interval5) Dacă pe un interval atunci f este concavă pe acel

interval