ECONOMETRIE

IAŞI-2015 -

CURS 2-3

2

Ce este econometria?Econometria este o disciplină care s-a conturat ca o sinteză între

economie, matematică şi statistică.

3

Ce este econometria?

Econometria ajută la identificarea şi măsurarea relaţiei de cauzalitate care există între variabilele economice.

Economiştii sunt interesaţi de descrierea legăturii dintre două sau mai multe variabile.

Relaţiile identificate între variabilele economice sunt folosite pentru: analiza şi predicţia fenomenelor; adoptarea deciziilor, fundamentarea unor politici, în general,

la nivel macroeconomic (monetare, fiscale).

Ce este econometria?Obiectul de studiu al econometriei Pe baza datelor din economie, econometria construieşte

modele (expresii cantitative) pentru realităţile economice studiate care au un corespondent în teoriile economice.

Econometria estimează, prin procedeele de inferenţă statistică, parametrii modelelor şi realizează predicţii asupra realităţii studiate.

Aria de studiu a econometriei este realitatea economică privită ca un ansamblu de relaţii şi intercondiţionări abordate cu preponderenţă sub aspect cantitativ.

4

Exemple Relaţia dintre rata inflaţiei şi rata şomajului poate fi

exprimată printr-un model de forma:

Relaţia dintre venituri şi consum; Relaţia dintre cerere şi preţ; Relaţia dintre producţie şi factorii de producţie; Relaţia dintre rata dobânzii şi investiţii; Modelul econometric al veniturilor – venitul este funcţie

de nivelul de educaţie, experienţa în mună, genul persoanei etc.

somajrata o

1inf_ 1

5

Ce este econometria?Metoda de lucru

Econometria studiază realităţile economice sub aspect cantitativ, cu ajutorul unui instrument specific: modelul econometric.

6

7

Modelul econometric

Modelul, în sensul larg al cuvântului, este o reprezentare teoretică şi simplificată a unui fenomen, proces sau sistem din lumea reală.

Modelul este o schemă simplificată a realităţii studiate. Modelul economic - descrierea unei economii sau a unui sector

din economie, folosind anumite ipoteze simplificatoare şi adecvate.

Modelarea economică – exprimarea, prin relaţii matematice, a dependenţelor deterministe existente între variabilele economice analizate.

8

Modelul econometric

Exemplu pentru un model economic Legea cererii – unul din factorii care determină cererea este

preţul

D – cantitatea cerută P – preţul şi constante reale, >0 şi <0

Relaţie deterministă, de tip liniar, de sens invers

0 0 1

PD 10

1

9

Modelul econometric

Modelul econometric este o ecuaţie sau un sistem de ecuaţii construit pe baza variabilelor economice.

Forma generală a unui model econometric:

În orice model econometric, se întâlnesc următoarele elemente:1) variabile observabile;2) variabilele reziduale neobservabile;3) parametrii (coeficienţii modelului).

),,,,,;,,,,( 101 kjkj XXXfY

10

Modelul econometricVariabilele observabile se clasifică în: variabile independente (exogene, explicative , factor- X) şi variabile dependente (endogene, explicate, rezultat - Y).

Variabila independentă este o entitate economică sau de altă natură inclusă în modelul econometric, cu scopul de a explica modificările unei variabile endogene.

Variabilele independente sunt numite şi variabile factoriale sau factori de influenţă care determină un anumit efect asupra variabilei rezultat.

Spre deosebire de variabila dependentă, pentru care pot fi obţinute valori estimate, prin intermediul modelului, variabila independentă este descrisă de date statistice obţinute exclusiv „din afara modelului“.

11

Modelul econometric

Variabila reziduală este o variabilă aleatoare, neobservabilă, a cărei prezenţă în modelul econometric se poate justifica prin:

alegerea neadecvată a formei funcţionale a dependenţei deterministe în modelul economic;

neincluderea în model a unor variabile exogene importante; existenţa unor posibile erori în măsurarea datelor.

12

Modelul econometric

De regulă, variabila reziduală apare în model ca sumă a tuturor influenţelor necunoscute sau care nu sunt specificate. În cercetarea econometrică, variabila eroare este o variabilă aleatoare care respectă anumite proprietăţi numite şi ipoteze clasice (ex: ipoteza de normalitate a erorilor). Se simbolizează cu .

13

Modelul econometric

Parametrii (coeficienţii) modelului sunt mărimi constante, în general, necunoscute, cu ajutorul cărora se exprimă relaţiile dintre variabile în cadrul modelului. Se simbolizează cu β.

Modelul econometricClasificarea modelelor econometrice1) După natura dependenţei dintre variabile:

a) modele de regresie deterministe: variabila dependentă este explicată în totalitate de variabila sau variabilele independente din model.

b) modele de regresie probabiliste: Y=f(x) +ε, unde ε este o variabilă numită eroare sau reziduu, care sintetizează ansamblul factorilor cu influenţă asupra variabilei Y, dar care nu pot fi comensuraţi şi care nu sunt prinşi în mod explicit în model.

14

15

Modelul econometric

Clasificarea modelelor econometrice2) După numărul variabilelor independente incluse în model: a) modele de regresie simplă (unifactoriale, univariate)- variabila Y este explicată printr-un singur factor determinant,

ceilalţi factori au o acţiune aleatoare sau nesemnificativă. Exemplu: funcţia de consum (consum-venituri).

b) modele de regresie multiplă (multivariate) - variabila Y este explicată de doi sau mai mulţi factori. Exemplu: funcţia de producţie, în care producţia depinde de

stocul de capital şi de forţa de muncă.

16

Modelul econometric

Clasificarea modelelor econometrice3) După forma legăturii dintre variabile:a) modele de regresie liniară – dacă Y este o funcţie liniară de

variabila sau variabile explicative;

b) modele de regresie neliniară

XY 10

2210 XXY

Modelul econometricClasificarea modelelor econometrice4) După timpul la care se referă datele din model:a) modele de regresie statice

- variabilele incluse în model se referă la acelaşi moment de timp sau la aceeaşi perioadă de timp.- se construiesc pe baza datelor de sondaj sau a cercetărilor de moment.

b) modele de regresie dinamice- sunt modele în care factorul timp apare explicit, ca variabilă independentă:Yt=f(t)+ε.

17

18

Demersul cercetării econometrice

a) Formularea problemei în termeni economici, plecând de la o teorie economică.

Exemplu: legea cererii care postulează dependenţa deterministă a cererii de preţ.

b) Specificarea modelului matematic al teoriei economiceExemplu: modelul economic al cererii este dat de funcţia cerere ,

unde D – cererea, P – preţul unitar, şi .

PD 10

00 01

19

Demersul cercetării econometrice

c) Specificarea modelului econometric, adică exprimarea modelului economic într-o formă testabilă empiric.

De exemplu, modelul econometric al cererii este dat de

unde, pe lângă variabilele D, P şi parametrii , din modelul economic, apare variabila reziduală .

Această variabilă trebuie să satisfacă anumite ipoteze. (ex: variabila reziduală urmează repartiţia probabilistă normală de medie zero şi varianţă ) 2

PD 10

10 ,

20

Demersul cercetării econometrice

d) Estimarea parametrilor modelului econometric- se realizează cel mai adesea prin metoda celor mai mici

pătrate (MCMMP);- altă metodă de estimare a parametrilor modelului econometric:

metoda verosimilităţii maxime.

e) Testarea ipotezelor statistice- se verifică semnificaţia statistică a parametrilor şi a modelului, precum şi îndeplinirea condiţiilor cerute de teoria economică şi de metodologia statistică.

21

Demersul cercetării econometrice

f)Testarea adecvării modelului econometric conduce la una dintre situaţiile:

1) Modelul econometric nu este adecvat, situaţie în care se reia analiza, începând cu reformularea etapei c);

2) Modelul econometric este adecvat, situaţie în care se continuă analiza cu etapele următoare.

22

Demersul cercetării econometrice

g) Interpretarea parametrilor modelului econometric în cadrul teoriei economice

De exemplu, în cazul funcţiei cerere, semnul minus al ratei marginale indică faptul că cererea scade, dacă preţul creşte.

h) Utilizarea modelului econometric estimat pentru predicţii şi luarea de decizii în politica economică

23

C3. Regresia liniară simplă

1. Modelul de regresie simplă liniară 2. Estimarea punctuală a parametrilor modelului simplu liniar3. Estimarea prin interval de încredere a parametrilor

modelului4. Estimarea indicatorilor de corelaţie (coeficientul de

corelaţie, raportul de corelaţie, raportul de determinaţie)5. Probleme specifice utilizând SPSS

24

1. Modelul de regresie simplă liniară Forma generală a unui model de regresie este: M(Y│X)=f(x). Pentru modelul de regresie liniară simplă forma modelului devine:

M(Y│X) = β0+β1X

unde: M(Y│X) – media condiţionată corespunzătoare variabilei stohastice Y β0 şi β1 – parametrii modelului.

25

1. Modelul de regresie simplă liniară

O valoare yi a variabilei condiţionate se poate scrie:ixXY /

iii xy 10

XY 10

26

1. Modelul de regresie simplă liniară

În cele mai multe cazuri, valorile reale yi diferă de valorile aşteptate (teoretice) M(Y│X=xi).

Abaterea valorilor reale faţă de valorile teoretice reprezintă valorile variabilei stohastice, ε, denumită eroare de modelare.

εi = yi - M(Y│X=xi) yi = M(Y│X=xi) + εi = β0+ β1xi + εi

Deci: yi = β0+ β1xi + εi

sau Y= β0+ β1X + ε

27

1. Modelul de regresie simplă liniară Componentele modelului de regresie liniar sunt:

1. Componenta deterministă este reprezentată de media condiţionată: M(Y│X=xi) = β0+ β1xi

2. Componenta aleatoare ε depinde de: natura fenomenului, specificarea incompletă a modelului şi erorile de măsurare.

28

1. Modelul de regresie simplă liniară Parametrii modelului de regresie liniar sunt:.

1. β0 - constanta sau termenul liber al modelului

Reprezintă valoarea medie a variabilei Y atunci când X=0.Grafic parametrul β0 reprezintă intersecţia dreptei de regresie

liniară cu axa OY (ordonata la origine, engl. intercept).

2. β1- variaţia medie a variabilei dependente, Y, la o creştere cu o unitate a variabilei independente, X.

β1 mai poartă denumirea şi de tangentă a pantei dreptei sau simplu pantă a dreptei (engl. slope) şi arată cu cât variază Y dacă X creşte cu o unitate.

XY

dXdY

1

29

1. Modelul de regresie simplă liniară

Dacă β1>0 => există o legătură directă între variabilele Y şi X, Dacă β1<0 => există o legătură inversă între variabilele Y şi X Dacă β1=0 nu există legătură între Y şi X.

La nivelul unui eşantion, modelul poate fi scris pe baza estimatorilor sau .

unde:- este estimatorul mediei condiţionate M(Y│X=xi);- este estimatorul parametrului- este estimatorul parametrului- este estimatorul erorii stohastice εi

Pentru un eşantion observat, modelul de regresie liniară simplă poate fi scris:

i

iii xy ˆˆˆ10 iii yy ̂ˆ

0̂ 0

1̂ 1

iii xy 10

ii xy 10ˆˆˆ

ii10i exbby

30

2. Estimarea punctulă a parametrilor modelului simplu liniar Estimarea parametrilor modelului de regresie poate fi făcută

utilizând metoda celor mai mici pătrate (MCMMP). Criteriul care stă la baza metodei celor mai mici pătrate

constă în minimizarea pătratelor erorii de modelare:

Rezolvarea acestei probleme de minim presupune îndeplinirea a două condiţii:

1. Anularea derivatelor parţiale de ordinul I ale lui S în raport cu

şi : şi

2. Matricea derivatelor parţiale de ordinul doi să fie pozitiv definită:

.minˆˆ)ˆˆ(ˆˆ2

1 1 1 110

2

1022

n

i

n

i

n

i

n

iiiiiiii xyxyyyS

0ˆ0

S

0̂

1̂ 01̂

S

0

ˆˆˆ

ˆˆˆdet

12

2

10

210

2

02

2

SS

SS

31

1. Anularea derivatelor parţiale de ordinul I ale lui S în raport cu şi :

2. Matricea derivatelor parţiale de ordinul doi să fie pozitiv definită:

Este pozitiv definită deoarece

2. Estimarea punctuală a parametrilor modelului simplu liniar

22 2 2i in x x n 0

n

i

n

iiii

n

ii

n

iiii

n

i

n

iii

n

iii

xyxxxxyS

yxnxyS

1 1

21

10

110

1

1 110

110

0

ˆˆ0ˆˆ2

ˆˆ01ˆˆ2ˆ

22122

2

0ˆ,ˆ

ii

iiii

ii

iiiii

xxn

yxyxn

xxn

yxxxy

2ii

i

xx

xn

0̂1̂

xy 10ˆˆ

32

2. Estimarea punctuală a parametrilor modelului liniar

Estimatorii parametrilor modelului de regresie sunt variabile de selecţie care:

-urmează o distribuţie normală: ~ , ~

- nedeplasaţi:

-convergenţi:

- eficienţi: dintre toţi estimatorii posibili pentru , are varianţa cea mai mică

0̂ 2ˆ00

,

N 1̂ 2ˆ11

,

N

1100ˆ,ˆ MM

1100ˆ,ˆ NnNn

1 1̂

33

3. Estimarea prin interval de încredere a parametrilor modelului liniar Estimarea prin interval de încredere se bazează pe distribuţiile de selecţie ale estimatorilor parametrilor β0 şi β1.

Atât pentru , cât şi pentru , intervalele de încredere se vor construi pentru un nivel de încredere de (1-α):

Pe baza datelor de la nivelul unui eşantion se vor utiliza estimaţiile parametrilor:

unde k = numărul parametrilor estimaţi în model (pentru modelul liniar k=2), n = volumul eşantionului pe baza căruia se fac estimările.

0 1

]ˆˆ[0

ˆ,2/00 knt ]ˆˆ[1̂

,2/11 knt

0

ˆ,2/00 stb kn 1̂

,2/11 stb kn

34

• Abaterile standard ale estimatorilor şi estimaţiile acestora se determină după relaţiile:

, respectiv

, respectiv ,

unde este estimatorul varianţei erorii de modelare, iar s2 este estimaţia acestuia:

, respectiv

3. Estimarea prin interval de încredere a parametrilor modelului liniar

ii xxx

nsss 2

222

ˆˆ1

00

n

ii xx

sss

1

2

22ˆˆ

)(11

n

ii xx

1

2

22ˆ

)(

ˆˆˆ

11

2̂

ii xxx

n 2

222

ˆ1ˆˆ

00

2)ˆˆ(

2ˆ

ˆ2

102

2

n

xyn

iii 2

)(2

210

22

n

xbbyn

es iii

4. Testarea parametrilor modelului liniar

1. Formularea ipotezelor pentru β0 pentru β1

H0: β0=0 H0: β1=0H1: β0#0 H1: β1#02. Fixarea pragului de semnificaţie α=0,053. Alegerea statisticii test

respectiv

4. Calcularea statisticii test

Criterii de decizie:|tcalc| ≤ tteoretic= tα/2, n-2 => se acceptă H0 cu o probabilitate de 1-α.|tcalc| > tteoretic= tα/2, n-2 => se respinge H0 cu un risc asumat α.

2 ,2/ˆ

0

ˆ

00 ~ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

0

0

0

n

H

tt

2,2/ˆ

1

ˆ

11 ~ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

1

0

1

n

H

tt

0ˆ

0

sbtcalc

1̂

1

sbtcalc

36

Exemple de modele liniare simple în teoria economică

Funcţia de consum-cererea sau consumul populaţiei în funcţie de venit: , unde parametrul 1 arată cu cât creşte consumul unui anumit produs ( ) la o creştere cu o unitate a venitului şi este de regulă pozitiv.

Legea cererii-cererea populaţiei în funcţie de preţul acestor produse: , unde parametrul 1 este de regulă negativ şi arată cu cât scade cererea la o creştere a preţului cu o unitate.

iii VC 10

iC

iii PC 10

37

5. Probleme specifice utilizând Excel Se consideră datele cu privire

la Nivelul studiilor (ani), X, şi Venitul (lei) pentru un eşantion de 5 angajaţi . Datele sunt prezentate în tabelul următor.

xi yi

1012121416

8001000120016001800

64 6400

Rezultate ExcelSUMMARY OUTPUTa

Regression Statistics

Multiple R 0,973

R Square 0,946

Adjusted R Square 0,928

Standard Error 110,940

Observations 5,000

ANOVA

df SS MS F Significance F

Regression 1 651076,9231 651076,9231 52,9 0,005364071

Residual 3 36923,07692 12307,69231

Total 4 688000

Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%

Intercept -984,615 315,291 -3,123 0,052 -1988,011 18,781

Nivelul studiilor (ani) 176,923 24,325 7,273 0,005 99,509 254,337

38

39

6. Probleme specifice utilizând SPSS Se consideră datele cu privire

la Valoarea vânzărilor şi Cheltuielile cu publicitatea pentru un eşantion de 4 firme. Datele sunt prezentate în tabelul următor.

xi yi

102050100

2500410050007500

180 19100

40

Coefficientsa

-45.163 15.015 -3.008 .095 -109.766 19.439.019 .003 .977 6.422 .023 .006 .032

(Constant)chelt_publicitate

Model1

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

StandardizedCoefficients

t Sig. Lower Bound Upper Bound95% Confidence Interval for B

Dependent Variable: Val_vanzaria.

Model Summary

.977a .954 .931 10.64486Model1

R R SquareAdjustedR Square

Std. Error ofthe Estimate

Predictors: (Constant), chelt_publicitatea.

Correlations

1 .977*.023

4 4.977* 1.023

4 4

Pearson CorrelationSig. (2-tailed)NPearson CorrelationSig. (2-tailed)N

vanzari

chelt_publ

vanzari chelt_publ

Correlation is significant at the 0.05 level (2-tailed).*.

41

7. Estimarea indicatorilor de corelaţie1.Coeficientul de corelaţie (se foloseşte doar pentru modelul liniar):

, -1≤ρ≤+1

Legătura dintre estimația coeficientului de corelație (r) și estimația coeficientului de regresie liniară (b1) se realizează prin relația:

, unde reprezintă estimațiile varianțelor variabilelor X și ,respectiv,Y.

yx

N

iyixi

yx N

yxYXYX

1

))((),cov(),(

n

ii

n

ii

n

i

n

iii

n

ii

n

ii

n

iii

yx

n

iii

yynxxn

yxyxn

sns

yyxxrYX

1

2

1

2

1 1

22

1111

])(][)([

))((),(̂

2

2

1y

x

ssbr 2

y2x s ,s

42

43

7. Estimarea indicatorilor de corelaţie

, reprezintă variaţia totală (TSS); , reprezintă variaţia explicată (ESS); , reprezintă variaţia reziduală (RSS).

Variaţia totală este egală cu suma celorlalte două variaţii componente:

VT=VE +VR (TSS = ESS + RSS)

)y - y( = V 2iT

i

2iE )y - y( =V ˆ

)y - y( =V 2iiR ˆ

7. Estimarea indicatorilor de corelaţie

44

45

7. Estimarea indicatorilor de corelaţie

2. Raportul de determinaţie:

, cu 0<η2<1

O estimaţie a raportului de determinaţie se obţine prin relaţia:

R2 măsoară ponderea variaţiei variabilei Y explicată prin variabila X.

T

R

T

E

ii

ii

VV

VV

yy

yy

1)(

)ˆ(

2

2

2

TSSRSS

TSSESS

yy

yxbb= R

ii

i

1)(

)(

2

210

2

46

7. Estimarea indicatorilor de corelaţie

3. Raportul de corelaţie:

Estimaţia raportului de corelaţie:

2 =

20 1

2

( )1

( )i

ii

b b x yESS RSSR =

y y TSS TSS

8. Testarea indicatorilor de corelaţie - Coeficientul de corelaţie (I)1. Formularea ipotezelorH0: ρ=0H1: ρ≠02. Fixarea pragului de semnificaţie α=0,053. Alegerea statisticii test

4. Calcularea statisticii test

5. Criterii de decizie:|tcalc|≤ tteoretic= tα/2, n-2 => se acceptă H0 cu o probabilitate de 1-α.|tcalc| > tteoretic= tα/2, n-2 => se respinge H0 cu un risc asumat α.

22ˆ 1

2

2ˆ1

ˆˆ

ˆ

r

nr

n

tcalc

212

r

nrtcalc

9. Testarea indicatorilor de corelaţie - Raportul de corelaţie

1. Formularea ipotezelorH0: η=0H1: η≠02. Fixarea pragului de semnificaţie α=0,053. Alegerea statisticii test

4. Calcularea statisticii test

5. Criterii de decizie:Fcalc ≤ Fα, k-1, n-k => se acceptă H0 cu o probabilitate de 1-α.Fcalc > F α, k-1, n-k => se respinge H0 cu un risc asumat α.

1ˆ1

ˆ2

2

k

knF

11 2

2

k

knR

RF

10. Testarea modelului-testul F omnibus1. Formularea ipotezelorH0: β0= 0; β1=0H1: β0≠ 0; β1≠02. Fixarea pragului de semnificaţie α=0,053. Alegerea statisticii test

4. Calcularea statisticii test

5. Criterii de decizie:Fcalc ≤ Fα, k-1, n-k => se acceptă H0 cu o probabilitate de 1-α.Fcalc > F α, k-1, n-k => se respinge H0 cu un risc asumat α.

1ˆˆ

k

knVV

FR

E

1)(

)(1

1 210

210

kkn

xbby

yxbb

knRSSkESS

kkn

RSSESSF

iii

ii

calc