Algebra Seria 10, sem I 2014.Materia de examen prezentata pana acum la curs.=============================================Notatii. = cu demonstratie = fara demonstratie = schita a demonstratieiRELATII DE ECHIVALENTADefinitie, clasa de echivalenta, multime factor. Legatura relatie de echivalenta partitie. Relatia de congruenta modulo n pe Z. Notiunea de "buna-definire". MONOIZIDefinitia monoidului, submonoid, exemple.Teorema de asociativitate generalizata. Reguli de calcul intr-un monoid. Unitatile monoidului multiplicativ Z_n. Morfisme de monoizi, proprietati. Exemple de monoizi (ne)izomorfi. Monoidul liber si proprietatea sa de universalitate. GRUPURIDefinitia grupului, subgrup, criteriul xy^(-1), exemple. Grupul de simetrie al unei figuri plane, grupul diedral D_n. Morfisme de grupuri, proprietati. Exemple de grupuri (ne)izomorfe. Imagini directe/inverse de subgrupuri prin morfisme de grupuri. Subgrupurile lui (Z,+). Formulele aZ+bZ=(a,b)Z si aZ /\ bZ=[a,b]Z. O intersectie de subgrupuri este subgrup. Subgrupul generat de o multime, proprietati, cazul abelian, cazul ciclic. Congruente intr-un grup modulo un subgrup. Indicele unui subgrup intr-un grup finit. Teorema lui Lagrange. Ordinul unui element intr-un grup, proprietati. Teorema lui Euler si Mica Teorema a lui Fermat. Subgrupuri normale, proprietati. Grupul factor, teorema fundamentala de izomorfism. Orice grup ciclic este izomorf cu Z sau Z_n. Lema chineza a resturilor: (m,n)=1 implica Z_mn izomorf cu Z_m x Z_n. Orice permutare se scrie unic ca produs de cicluri disjuncte. Orice permutare se scrie ca produs de transpozitii. Ordinul unei permutari. Signatura unei permutari: definitie, proprietati. Prezentari de grupuri: definitie, proprietati, exemple.

INELEInel: definitie, reguli de calcul, exemple. Inelul de matrice peste un inel dat. Elemente speciale intr-un inel (inversabile, zero-divizori, idempotente, nilpotente): definitie, exemple.Subinel, ideal: definitie, exemple.Idealele lui Z. Idealul generat de o multime: definitie, exemple, proprietati. Morfism de inele: definitie, exemple, proprietati. (Pre-)imaginea unui ideal/subinel printr-un morfism de inele. Constructia inelului factor, teorema fundamentala de izomorfism. Lema chineza a resturilor pentru inele. CORPURICorp: definitie, exemple.Caracteristica unui inel (corp), morfismul lui Frobenius. Constructia corpului cuaternionilor. INELUL DE POLINOAMEConstructia inelului de polinoame intr-o nedeterminata. Gradul unui polinom: definitie, proprietati. Inelul A domeniu implica A[X] domeniu.