Funcţiile trigonometrice directe
Funcţia sinus
Fie funcția : RR, . Fiind periodică de perioadă principală , va fi
suficientă studierea funcției sinus pe intervalul .
Semnul și zerourile funcției sinus pe se pot observa în tabelul de mai jos.
Cu ajutorul unui tabel de variație al funcției pe intervalul constatăm:
Dacă argumentul „crește” de la 0 la , atunci valorile corespunzătoare
„cresc” de la 0 la 1:
Dacă argumentul „crește” de la la , atunci valorile corespunzătoare
„scad” de la 1 la -1:
Dacă argumentul „crește” de la la , atunci valorile corespunzătoare
cresc” de la -1 la 0:
Teorema: Funcția sinus este strict crescătoare pe intervalele si și
strict descrescătoare pe intervalul .
Graficul funcției sinus se obține astfel:
1) graficul pe intervalul se obține unind printr-o continuă punctele
graficului din tabelul de variație (fig.1);
Fig.1
2) graficul pe intervalele , , se obține din graficul pe
, prin mișcare de translație, de mărime T, 2T, ... după direcția axei
, în sens pozitiv (fig. 2);
3) graficul pe intervalul este simetricul graficului pe intervalul
în raport cu originea O, deoarece funcția sinus este impară (fig. 2).
Fig. 2
Graficul funcției sinus este o curbă numită sinusoidă.
Propoziție. Funcția sinus este strict crescătoare pe .
Observație. Datorită proprietății de periodicitate, rezultă că funcția sinus este strict
crescătoare pe , și strict decsrescătoare pe
, .
Funcţia cosinus
Fie funcția : RR, . Fiind periodică de perioadă principală , va
fi suficientă studierea funcției cosinus pe intervalul .
Semnul și zerourile funcției sinus pe se pot observa în tabelul de mai jos.
Cu ajutorul unui tabel de variație al funcției pe intervalul constatăm:
Dacă argumentul „crește” de la 0 la , atunci valorile corespunzătoare
„scad” de la 1 la :
Dacă argumentul „crește” de la la , atunci valorile corespunzătoare
„cresc” de la la 1:
Teoremă: Funcția cosinus este strict descrescătoare pe intervalele și strict
crescătoare pe intervalul .
Observație. Datorită proprietății de periodicitate, rezultă că funcția cosinus este strict
descrescătoare pe , și strict crescătoare pe ,
.
Graficul funcției cosinus se obține astfel:
1) graficul pe intervalul se obține unind printr-o continuă punctele
graficului din tabelul de variație anterior (fig.3);
Fig.3
4) graficul pe intervalele , , se obține din graficul pe
, prin miscare de translație, de mărime T, 2T, ... după directia axei
, in sens pozitiv (fig. 4);
5) graficul pe intervalul este simetricul graficului pe intervalul
în raport cu axa Oy, deoarece funcția cosinus este pară (fig. 4).
Fig. 4
Funcţia tangentă
Fie R, , unde R este o reuniune de intervale,
anume
Fiind periodică de perioadă principală , va fi suficientă studierea funcției tangentă
pe intervalul .
Semnul și zerourile funcției tangentă pe se pot observa în tabelul de mai jos.
În jurul punctelor si funcția tangentă are un comportament special. Dacă se
apropie de prin valori mai mici decît , constatăm, cu ajutorul axei tangentelor , că
are valori din ce in ce mai mari. Vom marca acest lucru scriind langa bara din
dreptul lui și vom spune că „ tinde la daca tinde la prin valori mai mici
decat ” iar dreapta este asimptotă verticală pentru graficul funcției tangentă.
Analog „ tinde la dacă tinde la prin valori mai mari decât ” iar
dreapta este asimptotă verticală pentru graficul funcției tangentă cu ajutorul
tabelului:
Să studiem sensul de variație a funcției tangentă cu ajutorul tabelului:
Dacă argumentul „crește” de la la , atunci valorile corespunzătoare
„cresc” (de la la ).
Teoremă. Funcția tangentă este strict crescătoare pe intervalul . Cu alte
cuvinte, avem: , .
Observație. Datorită proprietății de periodicitate, funcția tangentă este strict
crescătoare pe , .
Graficul funcției tangentă se obține astfel:
a) se trasează graficul pe intervalul unind printr-o curbă continua
punctele graficului din tabelul de variație anterior (fig. 5)
b) graficul pe intervalul , se obține din
graficul pe
intervalul prin translație de mărime după direcția axei , in sens pozitiv
pentru sau in sens negativ pentru (fig. 6)
Fig.5 Fig.6
Funcţia cotangentă
Fie funcția f: R R, ;
Se notează ctg: R R.
Graficul funcției cotangentă se obtine astfel:
1) Graficul este format dintr-o infinitate
de curbe disjuncte, admițînd ca
asimptote verticale dreptele de
ecuații , unde .
2) Funcția cotangentă este periodică,
având perioada principală .
3) Funcția cotangentă nu este injectivă,
dar este surjectivă.
4) Restricția funcției tangentă la intervalul (0; ) este bijectivă , inversa acesteia
fiind funcția arccotangentă.
Top Related