Funcţiile trigonometrice directe

Funcţia sinus

Fie funcția : RR, . Fiind periodică de perioadă principală , va fi

suficientă studierea funcției sinus pe intervalul .

Semnul și zerourile funcției sinus pe se pot observa în tabelul de mai jos.

Cu ajutorul unui tabel de variație al funcției pe intervalul constatăm:

Dacă argumentul „crește” de la 0 la , atunci valorile corespunzătoare

„cresc” de la 0 la 1:

Dacă argumentul „crește” de la la , atunci valorile corespunzătoare

„scad” de la 1 la -1:

Dacă argumentul „crește” de la la , atunci valorile corespunzătoare

cresc” de la -1 la 0:

Teorema: Funcția sinus este strict crescătoare pe intervalele si și

strict descrescătoare pe intervalul .

Graficul funcției sinus se obține astfel:

1) graficul pe intervalul se obține unind printr-o continuă punctele

graficului din tabelul de variație (fig.1);

Fig.1

2) graficul pe intervalele , , se obține din graficul pe

, prin mișcare de translație, de mărime T, 2T, ... după direcția axei

, în sens pozitiv (fig. 2);

3) graficul pe intervalul este simetricul graficului pe intervalul

în raport cu originea O, deoarece funcția sinus este impară (fig. 2).

Fig. 2

Graficul funcției sinus este o curbă numită sinusoidă.

Propoziție. Funcția sinus este strict crescătoare pe .

Observație. Datorită proprietății de periodicitate, rezultă că funcția sinus este strict

crescătoare pe , și strict decsrescătoare pe

, .

Funcţia cosinus

Fie funcția : RR, . Fiind periodică de perioadă principală , va

fi suficientă studierea funcției cosinus pe intervalul .

Semnul și zerourile funcției sinus pe se pot observa în tabelul de mai jos.

Cu ajutorul unui tabel de variație al funcției pe intervalul constatăm:

Dacă argumentul „crește” de la 0 la , atunci valorile corespunzătoare

„scad” de la 1 la :

Dacă argumentul „crește” de la la , atunci valorile corespunzătoare

„cresc” de la la 1:

Teoremă: Funcția cosinus este strict descrescătoare pe intervalele și strict

crescătoare pe intervalul .

Observație. Datorită proprietății de periodicitate, rezultă că funcția cosinus este strict

descrescătoare pe , și strict crescătoare pe ,

.

Graficul funcției cosinus se obține astfel:

1) graficul pe intervalul se obține unind printr-o continuă punctele

graficului din tabelul de variație anterior (fig.3);

Fig.3

4) graficul pe intervalele , , se obține din graficul pe

, prin miscare de translație, de mărime T, 2T, ... după directia axei

, in sens pozitiv (fig. 4);

5) graficul pe intervalul este simetricul graficului pe intervalul

în raport cu axa Oy, deoarece funcția cosinus este pară (fig. 4).

Fig. 4

Funcţia tangentă

Fie R, , unde R este o reuniune de intervale,

anume

Fiind periodică de perioadă principală , va fi suficientă studierea funcției tangentă

pe intervalul .

Semnul și zerourile funcției tangentă pe se pot observa în tabelul de mai jos.

În jurul punctelor si funcția tangentă are un comportament special. Dacă se

apropie de prin valori mai mici decît , constatăm, cu ajutorul axei tangentelor , că

are valori din ce in ce mai mari. Vom marca acest lucru scriind langa bara din

dreptul lui și vom spune că „ tinde la daca tinde la prin valori mai mici

decat ” iar dreapta este asimptotă verticală pentru graficul funcției tangentă.

Analog „ tinde la dacă tinde la prin valori mai mari decât ” iar

dreapta este asimptotă verticală pentru graficul funcției tangentă cu ajutorul

tabelului:

Să studiem sensul de variație a funcției tangentă cu ajutorul tabelului:

Dacă argumentul „crește” de la la , atunci valorile corespunzătoare

„cresc” (de la la ).

Teoremă. Funcția tangentă este strict crescătoare pe intervalul . Cu alte

cuvinte, avem: , .

Observație. Datorită proprietății de periodicitate, funcția tangentă este strict

crescătoare pe , .

Graficul funcției tangentă se obține astfel:

a) se trasează graficul pe intervalul unind printr-o curbă continua

punctele graficului din tabelul de variație anterior (fig. 5)

b) graficul pe intervalul , se obține din

graficul pe

intervalul prin translație de mărime după direcția axei , in sens pozitiv

pentru sau in sens negativ pentru (fig. 6)

Fig.5 Fig.6

Funcţia cotangentă

Fie funcția f: R R, ;

Se notează ctg: R R.

Graficul funcției cotangentă se obtine astfel:

1) Graficul este format dintr-o infinitate

de curbe disjuncte, admițînd ca

asimptote verticale dreptele de

ecuații , unde .

2) Funcția cotangentă este periodică,

având perioada principală .

3) Funcția cotangentă nu este injectivă,

dar este surjectivă.

4) Restricția funcției tangentă la intervalul (0; ) este bijectivă , inversa acesteia

fiind funcția arccotangentă.