I. Ecuaii difereniale ordinare
1. Ecuaii cu variabile separabile ( ) ( )ygxf'y = . Pentru rezolvare scriem ( )
( )dxxfyg
dy= i
integrm.
a. y2'xy = se scrie dxx
2
y
dy= de unde prin integrare ( ) ( ) Clnxlnyln 2 += adic 2Cxy = .
b. ( ) xy'yxx2 =+ c.
y
x'y =
2. Ecuaii omogene, )y,x(f'y = , unde ( ) ( )y,xfty,txf = . Prin schimbarea de funcie xuy = devine ecuaie n necunoscuta u, cu variabile separabile.
a. xy
yx'y
22 += devine prin y=xu, 'xuu'y += ,
( )ux
u1x'xuu
2
22 +=+ sau
x
1'uu = , de unde
= dxx1
udu sau xln2Cu += .
b. 1x
y'y =
c. xy2x
y'y
=
d. ( ) ( ) 0'yxyxyxy3 22 =+++
3. Ecuaiile reductibile la omogene
++++
=feydx
cbyaxf'y se pot rezolva n cazul 0
ed
ba
prin schimbarea 00 xxX,yyY +=+= unde ( )00 y,x este soluia sistemului
=++
=++
0feydx
0cbyax. Dac 0
ed
ba= lum byaxu += ca nou funcie necunoscut. In
ambele cazuri se obin ecuaii cu variabile separabile.
a. 7yx2
15y3x4'y
++++
=
b. yx2
xy2'y
=
c.
2
yx
1yx'y
+++
=
4. Ecuaiile liniare ( ) ( ) ( )xcyxb'yxa =+ se rezolv n doi pai : 1) ecuaia omogen ( ) ( ) 0yxb'yxa =+ este cu variabile separabile i admite soluii de forma ( )xCyy 0= ; 2)
prin variaia constantei gsim o soluie particular de forma ( ) ( ) ( )xyxxy 0p = . Soluia ecuaiei iniiale este ( ) ( ) ( )xyxCyxy p0 += . a. x2exy3'y +=+
b. x2xe2y'y = c. xsiny2'xy =+
5. Ecuaiile de tip Bernoulli sunt de forma ( ) ( ) =+ yxcy)x(b'yxa . Prin schimbarea de variabil = 1yz ecuaia devine liniar.
a. yxyx
4'y +=
b. xlnxyy'xy 2=+
c. ( ) 2xyxy2'y =
6. Ecuaiile Lagrange au forma ( ) ( )'yb'yxay += . Curba soluie se parametrizeaz cu p=y, deci de-a lungul ei vom avea pe x i y funcii de p. Derivarea ecuaiei n raport cu x
conduce la ecuaia liniar ( )( ) ( ) ( )p'bxp'adp
dxpap += de unde obinem ( )px . Inlocuind
pe x(p) n ecuaia iniial obinem i pe y(p), deci obinem soluia reprezentat
parametric. Dac ( ) 0ppa 00 = atunci exist i soluia ( )00 pbxpy += .
a. 'y
1x'y2y +=
b. ( ) 2'y'y1xy ++= c. 22 'y1'xy2y ++=
7. Ecuaiile de tip Clairaut : ( )'yb'xy'y += admit soluiile ( )CbCxy += . O alt soluie este nfurtoarea familiei de curbe ( )CbCxy += . a. 2'y'xyy +=
b. 'y
1'xyy +=
c. 2'y1'xyy ++=
8. Ecuaiile cu difereniale exacte sunt de forma ( ) ( ) 0dyy,xQdxy,xP =+ (care este o
alt scriere pentru ( ) ( ) 0'yy,xQy,xP =+ ), astfel ca x
Q
y
P
=
. In acest caz exist ( )y,xf
astfel ca ( ) ( )dyy,xQdxy,xPdyy
fdx
x
fdf +=
+
= deci ecuaia se scrie df=0 i are
soluia dat implicit f(x,y)=0.
a. 0dy)3xy6(dx)2xy2x3( 222 =+++
b. ( ) ( ) 0dyxcos2ycosedxxsiny2ysine xx =++ c. ( ) 'yxln2x6
x
y=+
9. Ecuaiile ( ) ( ) 0dyy,xQdxy,xP =+ care nu sunt cu difereniale exacte dar pentru care exist ( )y,x astfel ca ( ) ( ) ( ) ( ) 0dyy,xQy,xdxy,xPy,x =+ s aib difereniale exacte, se numesc ecuaii ce admit factor integrant. Factorul integrant ( )y,x trebuie s satisfac
ecuaia ( ) ( )
x
Q
y
P
=
. De regul se caut factori integrani simpli, de forma ( )x , ( )y ,
( )yx + etc. Dup determinarea lui ecuaia se rezolv ca la punctul 8. a. ( ) 0dyyex2ydx y =+ (admite factor integrany ( )y ) b. 0ydycosxydxsin)2x( =++ (admite factor integrant ( )x ) c. S se arate c ( ) ( ) 0'yxyxyxy3 22 =+++ admite factorii integrani ( ) xy,x = i ( )
)yx2(xy
1y,x
+= . S se verifice c n ambele cazuri se obine aceeai soluie.
10. Problema Cauchy ( )y,xf'y = , ( ) 00 yxy = are n condiii generale o soluie unic pe o vecintate a lui 0x .
a. 2
2
x
xy2y'y
+= , ( ) 11y =
b. xsiny2'xy =+ , 2)1(y =
c. 0dy)xy4(dx)1yx9( 2 =+ , y(1)=0
11. Metodele numerice se utilizeaz acolo unde este nevoie de soluie i nu am gsit
expresia analitic a ei. Mai jos se cer soluiile numerice prin Runge-Kutta de ordin 4,
Euler, i Euler perfecionat pentru problemele Cauchy urmtoare
a. ( ) 10y,yx'y 22 == pe intervalul [0,2] cu pasul h=0,2.
b. ( ) 21y,y1
xy'y
2=
++
= pe intervalul [1,4] cu pasul h=0,4.
c. ( ) 01xyx1'y 2 =+++ , y(1)=1, pe intervalul [1,4] cu pasul h=0,2.
12. Procese din natur modelate cu ecuaii difereniale.
a. S presupunem c avem o reacie chimic CBA + , unde din A i B rezult produsul C. Concentraiile iniiale ale compuilor A i B sunt a, respectiv b. Concentraia
la momentul t a produsului obinut C este x(t), ceea ce face ca A s aib la momentul t
concentraia ( )txa , iar B s aib concentraia ( )txb , cu , constante pozitive. Viteza de reacie, deci viteza de cretere a concentraiei x(t) este proporional cu
concentraiile substanelor A i B, ceea ce conduce la ecuaia
( ) ( )( ) ( )( )txbtxact'x = , unde toate constantele sunt pozitive. S se rezolve ecuaia pentru condiia iniial x(0)=0 i s se determine limita )t(xlim
t .
b. Modele de cretere a populaiei. Fie x(t) mrimea unei populaii la momentul t.
Dac viteza de cretere este proporional cu mrimea populaiei, avem
( ) ( )trxt'x = ceea ce conduce la o cretere (r>0) sau descretere (r0,
0
e. Modelul prdtor-prad. Fie x prada i y prdtorul. Prada crete ca numr proporional
cu numrul de indivizi existeni (presupunem c au hrana asigurat) i scade proporional
cu numrul de ntlniri prad-prdtor, deci bxyax'x = . Populaia de prdtori descrete proporional cu numrul de prdtori existeni (nu au hran dect prin consumul
przii) i crete proporional cu numrul de ntlniri prad-prdtor, deci dxycy'y += .
Aici a,b,c,d sunt constante pozitive. Obinem sistemul( )
+=
=
)dxc(y'y
byax'x. S se studieze
sistemul numeric, prin Runge-Kutta pentru a=1, b=0.1, c=2, d=1. S se arate c exist un
punct ( )00 y,x astfel c ( ) 0xtx = , ( ) 0yty = este soluie a sistemului. Un asemenea punct se numete punct de echilibru.
Top Related