I. Ecuaii difereniale ordinare

1. Ecuaii cu variabile separabile ( ) ( )ygxf'y = . Pentru rezolvare scriem ( )

( )dxxfyg

dy= i

integrm.

a. y2'xy = se scrie dxx

2

y

dy= de unde prin integrare ( ) ( ) Clnxlnyln 2 += adic 2Cxy = .

b. ( ) xy'yxx2 =+ c.

y

x'y =

2. Ecuaii omogene, )y,x(f'y = , unde ( ) ( )y,xfty,txf = . Prin schimbarea de funcie xuy = devine ecuaie n necunoscuta u, cu variabile separabile.

a. xy

yx'y

22 += devine prin y=xu, 'xuu'y += ,

( )ux

u1x'xuu

2

22 +=+ sau

x

1'uu = , de unde

= dxx1

udu sau xln2Cu += .

b. 1x

y'y =

c. xy2x

y'y

=

d. ( ) ( ) 0'yxyxyxy3 22 =+++

3. Ecuaiile reductibile la omogene

++++

=feydx

cbyaxf'y se pot rezolva n cazul 0

ed

ba

prin schimbarea 00 xxX,yyY +=+= unde ( )00 y,x este soluia sistemului

=++

=++

0feydx

0cbyax. Dac 0

ed

ba= lum byaxu += ca nou funcie necunoscut. In

ambele cazuri se obin ecuaii cu variabile separabile.

a. 7yx2

15y3x4'y

++++

=

b. yx2

xy2'y

=

c.

2

yx

1yx'y

+++

=

4. Ecuaiile liniare ( ) ( ) ( )xcyxb'yxa =+ se rezolv n doi pai : 1) ecuaia omogen ( ) ( ) 0yxb'yxa =+ este cu variabile separabile i admite soluii de forma ( )xCyy 0= ; 2)

prin variaia constantei gsim o soluie particular de forma ( ) ( ) ( )xyxxy 0p = . Soluia ecuaiei iniiale este ( ) ( ) ( )xyxCyxy p0 += . a. x2exy3'y +=+

b. x2xe2y'y = c. xsiny2'xy =+

5. Ecuaiile de tip Bernoulli sunt de forma ( ) ( ) =+ yxcy)x(b'yxa . Prin schimbarea de variabil = 1yz ecuaia devine liniar.

a. yxyx

4'y +=

b. xlnxyy'xy 2=+

c. ( ) 2xyxy2'y =

6. Ecuaiile Lagrange au forma ( ) ( )'yb'yxay += . Curba soluie se parametrizeaz cu p=y, deci de-a lungul ei vom avea pe x i y funcii de p. Derivarea ecuaiei n raport cu x

conduce la ecuaia liniar ( )( ) ( ) ( )p'bxp'adp

dxpap += de unde obinem ( )px . Inlocuind

pe x(p) n ecuaia iniial obinem i pe y(p), deci obinem soluia reprezentat

parametric. Dac ( ) 0ppa 00 = atunci exist i soluia ( )00 pbxpy += .

a. 'y

1x'y2y +=

b. ( ) 2'y'y1xy ++= c. 22 'y1'xy2y ++=

7. Ecuaiile de tip Clairaut : ( )'yb'xy'y += admit soluiile ( )CbCxy += . O alt soluie este nfurtoarea familiei de curbe ( )CbCxy += . a. 2'y'xyy +=

b. 'y

1'xyy +=

c. 2'y1'xyy ++=

8. Ecuaiile cu difereniale exacte sunt de forma ( ) ( ) 0dyy,xQdxy,xP =+ (care este o

alt scriere pentru ( ) ( ) 0'yy,xQy,xP =+ ), astfel ca x

Q

y

P

=

. In acest caz exist ( )y,xf

astfel ca ( ) ( )dyy,xQdxy,xPdyy

fdx

x

fdf +=

+

= deci ecuaia se scrie df=0 i are

soluia dat implicit f(x,y)=0.

a. 0dy)3xy6(dx)2xy2x3( 222 =+++

b. ( ) ( ) 0dyxcos2ycosedxxsiny2ysine xx =++ c. ( ) 'yxln2x6

x

y=+

9. Ecuaiile ( ) ( ) 0dyy,xQdxy,xP =+ care nu sunt cu difereniale exacte dar pentru care exist ( )y,x astfel ca ( ) ( ) ( ) ( ) 0dyy,xQy,xdxy,xPy,x =+ s aib difereniale exacte, se numesc ecuaii ce admit factor integrant. Factorul integrant ( )y,x trebuie s satisfac

ecuaia ( ) ( )

x

Q

y

P

=

. De regul se caut factori integrani simpli, de forma ( )x , ( )y ,

( )yx + etc. Dup determinarea lui ecuaia se rezolv ca la punctul 8. a. ( ) 0dyyex2ydx y =+ (admite factor integrany ( )y ) b. 0ydycosxydxsin)2x( =++ (admite factor integrant ( )x ) c. S se arate c ( ) ( ) 0'yxyxyxy3 22 =+++ admite factorii integrani ( ) xy,x = i ( )

)yx2(xy

1y,x

+= . S se verifice c n ambele cazuri se obine aceeai soluie.

10. Problema Cauchy ( )y,xf'y = , ( ) 00 yxy = are n condiii generale o soluie unic pe o vecintate a lui 0x .

a. 2

2

x

xy2y'y

+= , ( ) 11y =

b. xsiny2'xy =+ , 2)1(y =

c. 0dy)xy4(dx)1yx9( 2 =+ , y(1)=0

11. Metodele numerice se utilizeaz acolo unde este nevoie de soluie i nu am gsit

expresia analitic a ei. Mai jos se cer soluiile numerice prin Runge-Kutta de ordin 4,

Euler, i Euler perfecionat pentru problemele Cauchy urmtoare

a. ( ) 10y,yx'y 22 == pe intervalul [0,2] cu pasul h=0,2.

b. ( ) 21y,y1

xy'y

2=

++

= pe intervalul [1,4] cu pasul h=0,4.

c. ( ) 01xyx1'y 2 =+++ , y(1)=1, pe intervalul [1,4] cu pasul h=0,2.

12. Procese din natur modelate cu ecuaii difereniale.

a. S presupunem c avem o reacie chimic CBA + , unde din A i B rezult produsul C. Concentraiile iniiale ale compuilor A i B sunt a, respectiv b. Concentraia

la momentul t a produsului obinut C este x(t), ceea ce face ca A s aib la momentul t

concentraia ( )txa , iar B s aib concentraia ( )txb , cu , constante pozitive. Viteza de reacie, deci viteza de cretere a concentraiei x(t) este proporional cu

concentraiile substanelor A i B, ceea ce conduce la ecuaia

( ) ( )( ) ( )( )txbtxact'x = , unde toate constantele sunt pozitive. S se rezolve ecuaia pentru condiia iniial x(0)=0 i s se determine limita )t(xlim

t .

b. Modele de cretere a populaiei. Fie x(t) mrimea unei populaii la momentul t.

Dac viteza de cretere este proporional cu mrimea populaiei, avem

( ) ( )trxt'x = ceea ce conduce la o cretere (r>0) sau descretere (r0,

0

e. Modelul prdtor-prad. Fie x prada i y prdtorul. Prada crete ca numr proporional

cu numrul de indivizi existeni (presupunem c au hrana asigurat) i scade proporional

cu numrul de ntlniri prad-prdtor, deci bxyax'x = . Populaia de prdtori descrete proporional cu numrul de prdtori existeni (nu au hran dect prin consumul

przii) i crete proporional cu numrul de ntlniri prad-prdtor, deci dxycy'y += .

Aici a,b,c,d sunt constante pozitive. Obinem sistemul( )

+=

=

)dxc(y'y

byax'x. S se studieze

sistemul numeric, prin Runge-Kutta pentru a=1, b=0.1, c=2, d=1. S se arate c exist un

punct ( )00 y,x astfel c ( ) 0xtx = , ( ) 0yty = este soluie a sistemului. Un asemenea punct se numete punct de echilibru.