7/25/2019 XII 2012-13 1 Primitive

1/4

SUPORT DE CURS XII / I. Primitive/P a g e | 1

I. Primitive

COMPETENE SPECIFICE

1. Identificareaunor date i relaii matematice si corelarea lor nfuncie de contextul n care au fost definite2. Prelucrareadatelor de tip cantitativ, calitativ, structural saucontextual cuprinse n enunuri matematice3. Utilizareaalgoritmilor si a conceptelor matematice pentrucaracterizarea local sau global a unei situaii concrete4. Exprimareacaracteristicilor matematice cantitative sau calitativeale unei situaii concrete si a algoritmilor de prelucrare a acestora5. Analizasi interpretareacaracteristicilor matematice ale uneisituaii problem n scopul gsirii de strategii pentru optimizareasoluiilor6. Modelareamatematic a unor contexte problematice, prin

integrarea cunostinelor din diferite domeniiCONINUTURI Primitivele unei funcii .Integrala nedefinit a unei funcii continue

, proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. Primitiveuzuale

BIBLIOGRAFIE BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT2, programa M2 Mircea Ganga MATEMATIC-Manual pentru clasa a XII-a , profil

M2 , Editura MATHPRESS Marius Burtea , Georgeta Burtea Clasa a XII-a , Culegere deexerciii i probleme , MATEMATIC M2 ,Editura CAMPION .

SUPORT DE CURS XII / I. Primitive/P a g e | 2

1.Primitivele unei funcii; Integrala nedefinita a unei funciicontinue

BREVIAR TEORETICDEFINIIE

Fie :g I , I interval . Funcia g admite primitivepe I dacexist :G I cu proprietile :

1) G este derivabil pe I ;2) ( ) ( )G x g x , ( )x I .

DEFINIIEFie :g I , I interval o funcie care admite primitive pe I .

Mulimea primitivelor lui gse numete integrala nedefinita lui gi

se noteaz prin g x dx .Operaia de determinare a primitivelor unei funcii se numete

integrare.

TEOREMFie :g I , I interval din .

1) Dac1 2, :G G I sunt dou primitive ale lui gpe I , atunci

1 2( ) ( )G x G x c , ( )x I , c constant real .

2) Dac G este o primitiv a lui g pe I , atunci orice alt primitiv

a lui geste de forma G c , c

7/25/2019 XII 2012-13 1 Primitive

2/4

SUPORT DE CURS XII / I. Primitive/P a g e | 3

EXERCIII PROPUSE

1) Se consider funciile , : 0,f g , ln x

f xx

i

2 ln 2g x x x . Demonstrai c funcia g este o primitiv afunciei f .

2) Se consider funcia :f , 2 10f x x . Demonstrai corice primitiv F a funciei f este cresctoare pe mulimea .

3) Pentru n se consider funciile : 0,nf ,

lnnnf x x x . Demonstrai c primitivele funciei 1f sunt convexe pe

intervalul1

,e

.

4) Se consider funcia :f , 23 2 1f x x x . Artai c

orice primitiv a funciei f este concav pe intervalul 1;3

.

5) Se consider funciile , :f F , xf x xe i

1 xF x x e . S se verifice c funcia F este o primitiv afunciei f .

6) Se consider funcia :f , 2 1xf x x e . S se arate corice primitiv a funciei f este cresctoare pe .

7) Se consider funcia : 1;f ,

1

1 ln

f x

x x

. S se

arate c orice primitiv a funciei f este cresctoare pe 1; .

8) Se consider funcia : (0, )f , lnf x x x . S se

demonstreze c orice primitiv F a funciei f este concav pe 1; .

SUPORT DE CURS XII / I. Primitive/P a g e | 4

2.Primitive uzualeBREVIAR TEORETIC

Tabel de integrale nedefinite

1) adx ax C ; 2)1

1

nn xx dx

n

C ; 3) lndx

xx

C ;

4) ln

x

x aa dx a C ; 5)x xe dx e C ;

6)2 2

1ln

2

dx x a

a x ax a

C ; 7) 2 2

1dx xarctg

a ax a

C ;

8)2 2

arcsindx x

aa x

C ; 9) 2 22 2 ln

dxx x a

x a

C

10) 2 22 2

lndx

x x ax a

C ; 11) sin cosxdx x C ;

12) cos sinxdx x C

; 13) 2cos

dx

tgxx C

;

14)2sin

dxctgx

x C ; 15) ln costgxdx x C ;

16) ln sinctgxdx x C ;

7/25/2019 XII 2012-13 1 Primitive

3/4

SUPORT DE CURS XII / I. Primitive/P a g e | 5

EXERCIII PROPUSE

1) S se determine primitivele funciilor :f D :

a) 2 11f x x , x ; b) 23 8f x x x , x ;

c) 3 44 5 sinf x x x x , x ; d) 1 xf x ex

, 0,x

2) S se calculeze integrala nedefinit a funciilor :f D :a)

2

1

9dx

x , x ; b) 2

1

9dx

x , 2,2x ; c) 2

1

4dx

x ,

3,x ; d)2

1

4 16dx

x ,x ;

3) S se calculeze primitivele urmtoarelor funcii :

a) 3 23 2 1f x x x x , x ; b) 22 4

2

xf x

x x , 0x ;

c) 31

3 33f x x x

, 0x

; d) 2

2

x

f x x

, x

;

e) 2

x xe ef x

, x ; f) 2

2

4f x

x

, x ;

g) 21

4f x

x

, 2,2x ; h)

2

1

9f x

x

, x ;

4) S se calculeze integralele nedefinite :

a) 5dx ; b) xdx ; c)2x dx ; d)

3x dx ; e)10x dx ; f)

1dx

x, 0x

g) 1 dxx , 0x ; h) 2xdx ; i) 5

xdx ; j)xe dx ;

k)2 1

dx

x ; l) 2 4

dx

x ; m) 2 9

dx

x ; n) 2 1

dx

x ; o) 2 4

dx

x ;

p)2 16

dx

x ; q)

21

dx

x ; r) 29

dx

x ; s)

225

dx

x ;

SUPORT DE CURS XII / I. Primitive/P a g e | 6

3.Proprieti ale integralei nedefinite

BREVIAR TEORETICTEOREM

Orice funcie continu :f I , I interval , admite primitive peI .OBSERVAIE

Aadar , o modalitate de a stabili dac o funcie admite primitive peun interval este de a-i studia continuitatea . Dac funcia estecontinu , atunci ea admite primitive .TEOREM

Operaii algebrice cu funcii care admit primitiveFie , :f g I , I interval , dou funcii care admit primitive pe

I i . Atunci :1) f g admite primitive pe I i

f x g x dx f x dx g x dx ( Integrala sumei esteegal cu suma integralelor )

2) f admite primitive pe I i f x dx f x dx ( Constantaiese de sub integral )

7/25/2019 XII 2012-13 1 Primitive

4/4

SUPORT DE CURS XII / I. Primitive/P a g e | 7

EXERCIII PROPUSE

1) S se arate c :g , , 0

1 , 0

xe xg x

x x

, admite primitive

pe . S se determine o astfel de primitiv .

2) Se consider funcia :f ,

2 , 0

1 , 0

xx e xf x

x x

. S se

arate c funcia f admite primitive pe .

3) Se consider funcia :f , , 1

2 , 1

xe e xf x

x x

. S se

arate c funcia f admite primitive pe .

4) S se determine o primitiv pe a funciei :f ,

2 2sin 3 xf x x x e .

5) S se determine o primitiv pe 0, a funciei : 0,f ,

5

2f x x x x

;

6) Fie :g , , 0

, 0

xe xg x

ax b x

, ,a b . S se determine

,a b astfel nct g s aib primitive pe .

7) Se consider funcia :f dat prin 2 , 0

1 , 0xx x

f xe x

.

S se arate c funcia f admite primitive pe .

8) Se consider funcia :f , 1 , 0

1, 0

1

x x

f xx x

x

. S

se demonstreze c funcia f admite primitive pe .

SUPORT DE CURS XII / I. Primitive/P a g e | 8

EXERCIII PROPUSE

S se calculeze integralele urmtoare :

a) 21

2x x dx x

, 0x ; b) 53x

dxx

, 0x ;

c) 3 4x x x dx , 0x ; d) 32 3

dx

x x

, 0x ;

e)24 1

dx

x , x ; f) 29 4

dx

x ,

2 2,

3 3x

; g)216 9

dx

x ,

4 4,

3 3x

; h)2 2

2 3

1 1dx

x x

, 1,1x ;

i) 2 3x xe dx , x ; j) 2 2 3x x dx , x ;

k)5

x dxx

, 0x ; l)3

2x x dx x

, 0x ;

m) 2

1 x dx , 0x ; n)1

dxx x

, 0x ;

o)2

3 5x dx

x x

, 0x ; p) 43 5x x x dx , 0x ;

r)3

1xdx

x

, 0x ; s) 3x x x dx , 0x ;

t)3

3x xdx

x

, 0x ; u) 3 xx e dx , x ;

v)2

1 12 3x x dx

x x

, 0x ; x) 21

4dx

x , 2x ;

z)2

2 4

xdx

x , 2x ;