Www. Matrici Ac6aa

download Www.  Matrici Ac6aa

of 25

  • date post

    13-Jun-2015
  • Category

    Documents

  • view

    623
  • download

    3

Embed Size (px)

Transcript of Www. Matrici Ac6aa

Colegiul Naional de Informatic Spiru-Haret Suceava MatriciReferat la MatematicElev : Profesor : Anul colar: 2008 - 2009CUPRINS1. MATRICI pg. 31.1. Tabel matriceal. Mulimi de matrice1.2. Operaii cu matrice1.2.1. Adunarea matricelor1.2.2. nmulirea matricelor cu scalari1.2.3. nmulirea matricelor1.2.4. Puterea unei matrice ptratice1.2.5 Transpusa unei matrice2. APLICAIIpg. 103. BIBLIOGRAFIE ...pg. 232MATRICIDefiniie. Se numete matrice cu m linii i n coloane (sau de tip n m) un tablou cu m linii i n coloane

`

.|m n m mnna a aa a aa a a. . .. . . . . . . . . . . .. . .. . .2 12 2 2 2 11 1 2 1 1ale crui elementeija sunt numere complexe.1.1 . Tabel matriceal. Mulimi de matrice. S considerm urmtorul enun din domeniul economiei.Un depozit de materiale se aprovizioneaz ealonat pe o perioad de 4 luni cu un anumit produs dup urmatorul plan:- n prima lun se aprovizioneaz cu 100 de buci, la preul unitar de 3 000 uniti monetare (u.m.).- n a doua lun se aprovizioneaz cu 120 buci la preul unitar de3 500 u.m.- n luna a treia primete cu 10 buci mai puin dect n luna precedenent, cu preul pe unitate de produs de 3 200 u.m., iar n luna a patra comand o cantitate dubl fa de prima lun pltind 3 200 u.m. pe unitatea de produs.Pentru inerea unei evidene ct mai clare, aceste date pot fi ordonate i clasate n diverse moduri, astfel nct obinerea unor informaii legate de acest proces de aprovizionare s se realizeze ct mai eficient.Astfel, datele de mai sus pot fi grupate ntr-un tabel de forma:Luna 1 2 3 4Cantitate 100 120 110 200Pre unitar 3 000 3 500 3 200 3 2003ntr-un mod mai simplificat, aceste date pot fi reorganizate ntr-un tabel de forma:

`

.|3 2 0 0 0 3 2 0 0 3 5 0 0 3 0 0 02 0 0 1 1 0 1 2 0 0 0 14 3 21 sau

`

.|3 2 0 0 0 3 2 0 0 3 5 0 0 3 0 0 02 0 0 1 1 0 1 2 0 0 0 1Un astfel de tabel se numete tabel matriceal.Primul tabel matriceal este format din 3 linii i 4 coloane (este de tipul 3 x 4), iar al doilea tabel matriceal este format din 2 linii i 4 coloane (este de tipul 2 x 4). Daca se ia n considerare numai linia care conine cantitile achiyiionate lunar, se obine un tabel de forma (100 120 110 200) numit tabel matriceal linie.Dac se consider numai datele care caracterizeazfenomenul n luna a treia se obine un tabel de forma

`

.|3 2 0 01 1 03 sau

`

.|3 2 0 01 1 0, numit tabel matriceal coloan.Aadar, prin organizarea unor date legate de un fenomen n asemenea tabele matriceale, se stabilete de fapt o coresponden ntre poziia ocupat de un numr din tabel i valoarea acestuia.Poziia numrului din tabelul matriceal este uor de identificat printr-o pereche ordonat de numere naturale (i, j) care arat c numrul se aflp pe linia i i pe coloana j a tabelului.Generalizarea unei astfel de corespondene, fcndu-se abstracie de natura material a datelor folosite, conduce la introducerea unei noi noiuni matematice.Cazuri particulare1) O matrice de tipuln 1 (deci cu o linie i n coloane) se numete matrice linie i are forma( )na a a A ...2 1.42)O matrice de tipul1 m (cu m linii i o coloan) se numete matrice coloan i are forma

`

.|maaaB. . .21.3)O matrice de tipn mse numete nul (zero) dac toate elementele ei sunt zero. Se noteaz cu O

`

.|0 . . . 0 0. . . . . . . . . . . .0 . . . 0 00 . . . 0 0O.4)Dac numrul de linii este egal cu numrul de coloane, atunci matricea se numete ptratic.

`

.|n n n nnna a aa a aa a aA. . .. . . . . . . . . . . .. . .. . .2 12 2 2 2 11 1 2 1 1.Sistemul deelemente( )nna a a ... 22 11reprezintdiagonalaprincipala matricii A, iar suma acestor elementenna a a...22 11+ + +se numete urma matricii 5AnotatTr(A)nii ia1 . Sistemul de elemente( )1 1 2 1... n n na a areprezint diagonala secundar a matricii A.Sumaelementelor depediagonalaprincipalamatricei Asenumeteurma matricei A i se noteaya Tr (A).Mulimea acestor matrici se noteaz( ) Cn. Printre aceste matrici una este foarte important aceasta fiind

`

.|1 . . . 0 0. . . . . . . . . . . .0 . . . 1 00 . . . 0 1nI i se numete matricea unitate (pe diagonala principal are toate elementele egale cu 1, iar n rest sunt egale cu 0).Egalitatea matricelorFie matricele A, B ( ) Cn m,, A= (j ia ) mxn, B= mxn j ib ) (.Definiie. Matricele A i B se numesc matrice egale, dacj ia=j ib, pentru fiecare i {1,2,,m}, j{1,2,...,n}.Problem rezolvatS se determine a,b,x,y,m R astfel nct s aib loc egalitatea de matrice A=B, pentru

`

.|+ ++ +2 2 3 21 b 25 ix2x yaA,

`

.|+6 3 17m i 1B.SoluieDin egalitatea a11=b11 rezult. 1 52mi i a + + Aplicnd egalitatea a dou numere complexe se obine5 12 m i a , deci a {-1,1}, m=5.6Din egalitatea a21=b21, rezult 2b+1=7 i b=3 . Egalitile a21=b21 i a22=b22 conduc la relaiile. 6 2 2 31 3 2 + +x y xi Se obine x=2 si y=3.Observaii1. Folosind proprietile relaiei de egalitate pe mulimea C, relaia de egalitate pe mulimea ( ) Cn m,are urmtoarele proprieti: Dac A=A,A( ) Cn m,(proprietatea de reflexivitate). Dac A=B, atunci B=A,A, B ( ) Cn m, (proprietatea de simetrie). Daca A=B i B=c, atunci A=C,A,B,C ( ) Cn m, (proprietatea de tranzitivitate).2. Dac matricele A,B snu sunt egale, se scrie A B.1.2.1. Adunarea matricelorDefiniie.Fie( )j ia A ,( )j ib B ,( )j ic C ( ) Cn m,. MatriceaCse numete suma matricelor A, B dac: j ic=j ia + j ib, ( ) m i , 1 ,( ) n j , 1 .Observaii1)Dou matrici se pot aduna dac sunt de acelai tip, adic dac au acelai numr de linii i acelai numr de coloane, deci A, B ( ) Cn m,.2) Explicit adunarea matricelor A, B nseamn:7

`

.|m n m mnna a aa a aa a a. . .. . . . . . . . . . . .. . .. . .2 12 2 2 2 11 1 2 1 1+

`

.|mn m mnnb b bb b bb b b. . .. . . . . . . . . . . .. . .. . .2 12 2 2 2 11 1 2 1 1=

`

.|+ + ++ + ++ + +m n m n m m m mn nn nb a b a b ab a b a b ab a b a b a. . .. . . . . . . . . . . .. . .. . .2 2 1 12 2 2 2 2 2 2 1 2 11 1 1 2 1 2 1 1 1 1.Exemplu: S se calculeze A + B pentru:1.

`

.|

`

.|5 1 1 03 5 0,1 0 32 1 1B A;82. .0 11 0,1 11 1

`

.|

`

.| B AR. 1.Avem9

`

.|

`

.|+ + ++ +

`

.|+

`

.| +6 1 1 31 4 15 1 1 0 1 0 33 - 2 5 1 - 0 15 1 1 03 5 01 0 32 1 1B A2. Avem 10

`

.|

`

.|+ + + +

`

.|+

`

.| +1 02 10 1 1 11 1 0 1.0 11 01 11 1B A.Proprieti ale adunrii matricelor1A (Asociativitatea adunrii). Adunarea matricilor este asociativ, adic:( ) ( ) C B A C B A + + + +, ( ) A, B, C ( ) Cn m,.2A (Comutativitatea adunrii). Adunarea matricelor este comutativ, adic:A B B A + + , ( ) A, B( ) Cn m,.3A(Elementneutru).Adunareamatricelor admitematriceanulcaelement neutru, adic n mO, ( ) Cn m,astfel nctA+ n mO, =A,( ) A( ) Cn m,.4A (Elementeopuse).OricematriceA( ) Cn m,areunopus, notat A , astfel nct ( )n mO A A, +.111.2.2. nmulirea matricelor cu scalariDefiniie.Fie CiA=( )j ia ( ) Cn m,. Se numeteprodusul dintre scalarul CimatriceaA, matriceanotat A ( ) Cn m,definitprin A =( )j ia .Obs.:A nmuli o matrice cu un scalar revine la a nmuli toate elementele matricii cu acest scalar.DeciA =

`

.|m n m mnna a aa a aa a a . . .. . . . . . . . . . . .. . .. . .2 12 2 2 2 11 1 2 1 1.Exemplu Fie

`

.|13205 321A. Atunci 6A =

`

.|6 4 03 0 1 8 3.Proprieti ale nmulirii matricelor cu scalari1S( ) ( ) A A , ( ) ,C,( ) A( ) Cn m,;2S ( ) B A B A + +,( ) C,( ) A, B( ) Cn m,;3S ( ) A A A + +,( ) ,C,( ) A( ) Cn m,;4SA A 1 ,1C,( ) A( ) Cn m,;1.2.3. nmulirea matricelor12Definiie.FieA=( )i ka ( ) Rn m,,B=( )j ib ( ) Rp n,.Produsul dintre matriceleAiB(naceastaordine), notatABestematriceaC =( )j kc ( ) Rp m, definit prin nij i i k j kb a c1 , ( ) m k , 1 ,( ) n j , 1 .Observaii1) Produsul AB a dou matrici nu se poate efectua ntotdeauna dect dac A( ) Rn m,, B( ) Rp n,, adic numrul de coloane ale lui A este egal cu numrul de linii ale lui B, cnd se obine o matrice C = AB( ) Rp m,.2) Dac matricile sunt ptratice A, B( ) Rn atunci are sens ntotdeauna att AB ct i BA, iar, n general, AB BA adic nmulirea matricelor nu este comutativ.Proprieti ale nmulirii matricelor1I(Asociativitatea nmulirii). nmulirea matricelor este asociativ, adic ( ) ( ) BC A C AB ,( ) A( ) Cn m,,( ) B( ) Cp n,,( ) C( ) Cs p,.2I (Distributivitatea nmulirii n raport cu adunarea). nmulirea matricelor este distributiv n raport cu adunarea matricelor, adic( ) ( ) ,, CB CA B A C BC AC C B A + + + + ( ) A, B, C matrici pentru care au sens operaiile de adunare i nmulire.3I DacnI( ) Cn este matricea unitate, atunci , A AI A In n ( ) A( ) Cn.Se spune c nI este element neutru n raport cu operaia de nmulire a matricelor.1.2.4. Puterea unei matrice ptraticeProprietatea de asociativitate a nmulirii matricelor ptratice permite definirea puterii cu exponentnatural a unei matrice ptratice.Fie A nM(C). Definim * 2 1 0. * , , n Pentru A A A A A I An se definete puterea n a matricei A prin A A An n*1 .Exemplu:13Daca A=

`

.|1 21 1atunci : A A A *2

`

.|1 21 1*

`

.|1 21 1=

`

.| 1 42 1 A A A *2 3

`

.| 1 42 1*

`

.|1 21 1=

`

.| 5 21 5 A A A *3 4

`

.| 5 21 5*

`

.|1 21 1=

`

.| 7 84 7141.2.5 Transpusa unei matriceDefiniii: Fie matricea A= mxn ija ) (. Senumetetranspusamatricei A, matricea nxm kltb A ) ( , undelk kla b , pentru oricare k}. ,..., 2 , 1 { } ,..., 2 , 1 { m l i n Operaia prin care fiecrei marice A) (,C Mn m i se asociaz matricea transpus ) (,C M Am ntse numete operaia de tramsinere a matricelor.Observaii:1. Matricea transpusAtse obine din matricea Aprin schimbarea liniilor n coloane i a coloanelor n linii.2. Dac), ( ) ( ) ( ), ( A Tr A Tr i C M A atunci C M Atntnt undeTr(A) este urma matricei A.15APLICAII1. ManualS se determine numerele reale x, y, z astfel nct s aib loc egalitatea de matrici, n c