Liceul de Informatic Spiru-Haret Suceava

Elev : Alexevici Ctlin Profesor coordonator: Oanea Clin1CUPRINS1. MATRICI pg. 11.1. Despre matrici1.2. Operaii cu matrici1.2.1. Egalitatea a dou matrici1.2.2. Adunarea matricilor1.2.3. nmulirea cu scalari a matricilor1.2.4. nmulirea matricilor2. DETERMINANI . pg. 52.1. Definiia determinantului de ordin n42.2. Definiia determinantului de ordin n2.3. Proprietile determinanilor2.4. Calculul inversei unei matrici2.5. Ecuaii matriciale3. APLICAII pg. 12Adres de e-mail: alexey @mail2grandpa.com CopyrightC2003 Alexey2MATRICI I DETERMINANIMATRICI1.1. Despre matriciAcest concept l-amntalnit ncadinprimul andeliceu, atunci cnds-apus problema rexolvarii unui sistem de dou ecuaii cu dou necunoscute x, y, de forma ' + +' ' 'c y b x ac by ax.Acestuisistemi-amasociatunteblouptratic,care coninecoeficieniinecunoscutelor(n prima linie sunt coeficienii lui x, y din prima ecuaie, iar in a doua linie figureaz coeficienii lui x, y din ecuaia a doua):

,_

' ' b ab a.Am numit acest tablou matrice ptratic (sau matricea sistemului). Pe cele dou coloane ale matricei figureaz coeficienii lui x (pe prima coloan a,'a ) i respectiv coeficienii lui y (pe a doua coloan b, 'b ).Definiie. Se numete matrice cu m linii i n coloane (sau de tip n m) un tablou cu m linii i n coloane

,_

mn m mnna a aa a aa a a......... ............2 12 22 211 12 11ale crui elemente ija sunt numere complexe.Uneori aceast matrice se noteaz i( )j ia A unde m i , 1 i n j , 1 . Pentru elementulija, indicele i arat linia pe care se afl elementul, iar al doilea indice j indic pe ce coloan este situat.Mulimea matricilor de tip n mcu elemente numere reale se noteaz prin ( ) Rn m,. Aceleai semnificaii au i mulimile ( ) Zn m,,( ) Qn m,,( ) Cn m,.Cazuri particulare1) O matrice de tipuln 1 (deci cu o linie i n coloane) se numete matrice linie i are forma( )na a a A ...2 1.2) O matrice de tipul1 m (cu m linii i o coloan) se numete matrice coloan i are forma3

,_

maaaB...21.3) O matrice de tipn mse numete nul (zero) dac toate elementele ei sunt zero. Se noteaz cu O

,_

0 ... 0 0... .........0 ... 0 00 ... 0 0O.4) Dac numrul de linii este egal cu numrul de coloane, atunci matricea se numete ptratic.

,_

nn n nnna a aa a aa a aA......... ............2 12 22 211 12 11.Sistemul deelemente( )nna a a ... 22 11reprezintdiagonalaprincipalamatriciiA, iar suma acestor elementenna a a...22 11+ + +se numeteurma matriciiAnotatTr(A)nii ia1 . Sistemul de elemente ( )1 1 2 1... n n na a a reprezint diagonala secundar a matricii A.Mulimea acestor matrici se noteaz( ) Cn. Printre aceste matrici una este foarte important aceasta fiind

,_

1 ... 0 0...... ......0 ... 1 00 ... 0 1nI i se numete matricea unitate(pe diagonala principal are toate elementele egale cu 1, iar n rest sunt egale cu 0).1.2. Operaii cu matrici1.2.1. Egalitatea a dou matriciDefiniie. Fie( )j ia A ,( )j ib B ( ) Cn m,. Spunem c matricile A,Bsunt egale i scriem A = B dac j ia =j ib ,( ) m i , 1 , ( ) n j , 1 .Exemplu: S se determine numerele reale x, y astfel nct s avem egalitatea de matrici

,_

,_

+ +xxy xy x x2 901 22 0 1.R. Matricile sunt egale dac elementele corespunztoare sunt egale, adic:' + +. 2 9 20 012 1x y xx y xxRezolvnd acest sistem gsim soluia x = 1, y = -3.1.2.2. Adunarea matricilor4Definiie.Fie( )j ia A ,( )j ib B ,( )j ic C ( ) Cn m,. MatriceaCse numetesuma matricilor A, B dac:j ic =j ia +j ib ,( ) m i , 1 , ( ) n j , 1 .Observaii1) Dou matrici se pot aduna dac sunt de acelai tip, adic dac au acelai numr de linii i acelai numr de coloane, deci A, B ( ) Cn m,.2) Explicit adunarea matricilor A, B nseamn:

,_

mn m mnna a aa a aa a a......... ............2 12 22 211 12 11+

,_

mn m mnnb b bb b bb b b......... ............2 12 22 211 12 11=

,_

+ + ++ + ++ + +mn mn m m m mn nn nb a b a b ab a b a b ab a b a b a......... ......... ...2 2 1 12 2 22 22 21 211 1 12 12 11 11.Exemplu: S se calculeze A + B pentru:1.

,_

,_

511035 0 ,1 0 3211B A;2. .0110 ,1111

,_

,_

B AR. 1.Avem

,_

,_

+ + ++ +

,_

+

,_

+61 131 4 15 1 1 010 33 - 25 1 - 0 1511035 01 0 3211B A2. Avem

,_

,_

+ + + +

,_

+

,_

+10210 11 11 1 0 1 .01101111 B A.Proprieti ale adunrii matricilor1A(Asociativitatea adunrii). Adunarea matricilor este asociativ, adic:( ) ( ) C B A C B A + + + + ,( ) A, B, C ( ) Cn m,.2A(Comutativitatea adunrii). Adunarea matricilor este comutativ, adic:A B B A + + ,( ) A, B ( ) Cn m,.3A (Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nul ca element neutru, adicn mO, ( ) Cn m, astfel nctA +n mO,= A, ( ) A ( ) Cn m, .4A(Elemente opuse). Orice matrice A ( ) Cn m, are un opus, notat A , astfel nct ( )n mO A A, +.1.2.3. nmulirea cu scalari a matricilorDefiniie.Fie CiA =( )j ia ( ) Cn m,. Se numete produsul dintre scalarul Ci matricea A, matricea notatA ( ) Cn m, definit prinA =( )j ia .Obs.: A nmuli o matrice cu un scalar revine la a nmuli toate elementele matricii cu acest scalar.5DeciA =

,_

mn m mnna a aa a aa a a ......... ............2 12 22 211 12 11.Exemplu Fie

,_

1 32 05 321A. Atunci 6A =

,_

6 4 030 18 3.Proprieti ale nmulirii matricilor cu scalari1S ( ) ( ) A A ,( ) , C, ( ) A ( ) Cn m,;2S ( ) B A B A + + , ( ) C, ( ) A, B ( ) Cn m,;3S( ) A A A + + , ( ) , C, ( ) A ( ) Cn m,;4SA A 1 ,1C, ( ) A ( ) Cn m,;1.2.4. nmulirea matricilorDefiniie. Fie A =( )i ka ( ) Rn m,, B =( )j ib ( ) Rp n,. Produsul dintre matricile A i B (n aceasta ordine), notat AB este matricea C =( )j kc ( ) Rp m, definit prin nij i i k j kb a c1 ,( ) m k , 1 , ( ) n j , 1 .Observaii1) Produsul AB a dou matrici nu se poate efectua ntotdeauna dect dac A ( ) Rn m,, B ( ) Rp n,, adic numrul de coloane ale lui A este egal cu numrul de linii ale lui B, cnd se obine o matrice C = AB ( ) Rp m,.2) Dac matricile sunt ptratice A,B ( ) Rnatunci are sens ntotdeauna attABct iBA, iar, n general, AB BA adic nmulirea matricilor nu este comutativ.Proprieti ale nmulirii matricilor1I(Asociativitatea nmulirii). nmulirea matricilor este asociativ, adic ( ) ( ) BC A C AB , ( ) A ( ) Cn m,, ( ) B ( ) Cp n,, ( ) C ( ) Cs p,.2I (Distributivitatea nmulirii n raport cu adunarea). nmulirea matricilor este distributiv n raport cu adunarea matricilor, adic( ) ( ) ,, CB CA B A C BC AC C B A + + + + ( ) A,B,Cmatricipentrucare au sens operaiile de adunare i nmulire.3I Dac nI ( ) Cn este matricea unitate, atunci , A AI A In n ( ) A ( ) Cn.Se spune c nI este element neutru n raport cu operaia de nmulire a matricilor.1.2.5. Puterile unei matrici6Definiie. Fie A ( ) Cn. AtunciA A 1, A A A 2, A A A 2 3, , A A An n 1, ( ) n*N. (Convenim 20I A ).TEOREMACayleyHamilton.OricematriceA ( ) Cni verificpolinomul caracteristic( ) 0 det I A .Pentru n = 2.

,_

d cb aA

bc add cb aA

det

,_

,_

,_

d cb ad cb aI A

1 00 1

.( ) ( ) ( ) + + 0 0 0

0 det2bc d a ad bc d ad cb aI A ( ) 02 + + bc ad d a polinom caracteristicGeneralizat. ( ) ( ) 0 det Tr1 + nn nI A A A A1. DETERMINANI2.1. Definiia determinantului de ordin n4Fie A=( )j ia ( ) Cno matrice ptratic. Vom asocia acestei matrici un numr notat det(A) numit determinantul matricii A. Definiie. Dac A=( )11a ( ) Cn este o matrice ptratic de ordinul nti, atunci det(A) =11a .Definiie. Determinantul matricii

,_

22 2112 11

a aa aA este numrul( )21 12 22 11det a a a a A 22 2112 11

a aa ai senumetedeterminant deordin2. Termenii22 11a a ,21 12a a senumesctermenii dezvoltrii determinantului de ordin 2.Definiie. Determinantul matricii

,_

33 32 3123 22 2113 12 11

a a aa a aa a aAeste numrul32 23 11 33 21 12 31 22 13 31 23 12 32 21 13 33 22 11) det( a a a a a a a a a a a a a a a a a a A + + i se numete determinant de ordin 3. Termenii care apar n formul se numesc termenii dezvoltrii determinantului.7Pentru calculul determinantului de ordin trei se utilizeaz trei tehnici simple:Regula lui SarrusFiedeterminantul deordin3,.3 , 1 , j ij ia dPentruacalculaunastfel dedeterminant se utilizeaz tabelul de mai jos.(am scris sub determinantprimele dou linii)Se faceprodusul elementelor depediagonale. Produsul elementelor depeodiagonal descendent este cu semnul plus. Avem treiastfel de produse: 31 23 12 32 21 13 33 22 11, , a a a a a a a a a. Produsul elementelor depeodiagonalascendentestecusemnul minus. Avemtrei astfel de produse: 32 23 11 33 21 12 31 22 13, , a a a a a a a a a .Suma celor ase produse d valoarea determinantului d de ordin 3. Acest procedeu de calcul se numete regula lui Sarrus.Regula triunghiuluiAm vzut c determinantul de ordin trei are n dezvoltarea sa ase termeni, trei cu semnul plus i ali trei cu semnul minus.Primul termen cu plus se gsete nmulind elementele de pe diagonala principal, iar ceilali doi, nmulind elementele situate n vrfurile celor dou triunghiuri care au o latur paralel cu cu diagonala principal.Dup aceeai regul, referitoare la diagonala secundar, se obin termenii cu minus.Obs.: Att regula lui Sarrus ct i regula triunghiului se aplic numai determinanilor de ordin 3.Exemplu. S se calculeze prin cele dou metode de mai sus determinantul0 1 3 12 0 1 0 3 dR. Regula lui Sarrus.[ ] ( ) 9 0 3 6 0 0 0 0 0 0 ) 1 ( 1 ) 3 ( 1 2 3 ) 1 ( 0 3 1 1 0 0 2 3 + + + + + + + + d Regula triunghiului[ ] ( ) 9 0 3 6 0 0 0 0 0 0 ) 1 ( 1 ) 3 ( 1 2 3 1 1 0 3 ) 1 ( 0 0 2 3 + + + + + + + + dRecurent (sau dezvoltare dup o linie sau o coloan)Determinantul de ordin 3 are 6 ( = 3!) termeni dintre care trei sunt cu semnul plus, iar ceilali cu semnul minus.Are loc urmtoarea proprietate:32 3122 21133 133 3123 21122 133 3223 22111 1) 1 ( ) 1 (

) 1 ( ) det(a aa aaa aa aaa aa aa A+ + + + + ,(1)= 23 2213 12311 333 3213 12211 233 3223 22111 1) 1 ( ) 1 (

) 1 (a aa aaa aa aaa aa aa+ + + + + .(2)Observaii1)Egalitatea(1) semai numetedezvoltareadeterminantului dupelementeleliniei nti, iar egalitatea (2) se numete dezvoltarea determinantului dup elementele coloanei nti.823 22 2113 12 1133 32 3123 22 2113 12 11

a a aa a aa a aa a aa a a2)Formulele (1) i (2) sunt relaii de recuren, deoarece determinantul de ordin 3 se exprim cu ajutorul unor deteminani de ordin inferior (2).2.2. Definiia determinantului de ordin nVoi defini n continuare determinantul de ordin n prin recuren cu ajutorul determinanilor de ordin n 1. Pentru aceasta sunt necesare unele precizri.Fie A=( )j ia ( ) Cn.Definiie1. Se numete minor asociat elementului j ia determinantul matricii ptraticej iA de ordin n 1 obinut prin suprimarea liniei i i coloanei j din matricea A. Se noteaz acest minor prin ( )j iA det sau j iD .Definiie2.Se numetecomplement algebrical elementuluij ia numrul ( ) ( )j ij iA det 1+ . Exponentul j i +al lui (1) este suma dintre numrul liniei i i coloanei j pe care se afl j ia .Definiie.DeterminantulmatriciiA=( )j ia deordinnestesumaproduselorelementelordin prima linie cu complemenii lor algebrici adic ( ) ( )n nnD a D a D a D a A1 1113 13 12 12 11 111 ... det+ + + + .Observaii1)Elementelor, liniilori coloanelor matriciiAlevomspunedeasemeneaelementele, liniilei coloanele determinantuluinn n nnna a aa a aa a aA......... ............) det(2 12 22 211 12 11.2)Formuladindefiniiespunemcreprezintdezvoltareadeterminantului deordinndup elementele primei linii.3) Definiia determinantului de mai sus este nc puin eficient (o voi ilustra mai jos pentru n = 4). De aceea se impune stabilirea unor proprieti ale determinanilor care s fie comode att din punct de vedereal teoriei i dinpunct devederecalculatoriu. Acesteproprieti leprezint nparagraful urmtor.4) Continund cu explicitarea determinanilor de ordin n 1 din definiie ( )nD D D1 12 11,..., , se obine pentru ) det( Aosum deproduse de elemente din determinant, fiecare produs coninnd elemente situate pe linii i coloane diferite.5) Determinantul este o funcie ( ) C Cn : det.Exemplu S se calculeze determinantul de ordin 4:001 11 1 1 00 02 121 01 d.R.Aplicm definiia dat mai sus pentru n= 4 i dezvoltm determinantul dup elementele liniei nti. Avem:( )01 11 1 002 1201 11 1 00 2 1100 111000 100 011 11 0 021 + d== 1 2 1 0 0 + ,9unde determinanii de ordin 3 i-am calculat prin una din metodele prezentate la determinanii de ordin 3.2.3.Proprietile determinanilor.1P Determinantul unei matrici coincide cu determinantul matricii transpuse, adic dac A( ) Cn, atunci( ) ( ) A Atdet det .Demonstraie. Fie

,_

d cb aA

i

,_

d bc aAt

.Atunci( ) bc ad A det , iar( ) bc ad At det . Prin urmare( ) ( ) A Atdet det ..2P Dac toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricii este nul.Demonstraie. Avem 0 0 0 00 c dd c i 0 0 000 b ddb..3PDac ntr-o matrice schimbm dou linii (sau dou coloane) ntre ele obinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricii iniiale.Demonstraie. Prin schimbarea liniilor s art c avem egalitatea d cb ab ad c

. Avem evident( ) bc ad ad bc ..4PDac o matrice are dou linii (sau coloane) identice, atunci determinantul su este nul.Demonstraie. Verific pentru linii (i tot odat pentru coloane). Avem:0

b a b ab ab a..5P Dac toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrici sunt nmulite cu un numr , obinem o matrice al crei determinant este egal cu nmulit cu determinantul matricii iniiale.Demonstraie. Verificm pentru linii proprietatea.( )d cb abc ad c b d ad cb a

..6PDacelementeleadou linii(saucoloane) ale uneimatrici sunt proporionale,atunci determinantul este nul.Demonstraie. Verificm pentru linii.( ) 0

ab abb ab ab ab a ..7PDac linia i a unei matrici A este suma a doi vectori, atunci determinantul ei este egal cu suma a doi determinani corespunztori matricelor care au aceleai linii ca A, cu excepia liniei i unde au cte unul din cei doi vectori.10nn nin innn nin innn nin in i ina ab ba aa aa aa aa ab a b aa a............ ...... ...... ... .. . ... ... ...... ... ... ... ... ......... ...... ...... ... ...111 11111 1111 11 11+ + +.Demonstraie. Am de artat c:d cb ad cb ad cb b a a

' ' ' '+ + +.ntr-adevr membrul stng este egal cu( ) ( ) c b bc d a ad b b c d a a' ' ' ' + + + . Membrul drept este c b d a bc ad' ' + i egalitatea se verific.Obs.: O proprietate analog are loc i pentru coloane..8P Dac o linie (o coloan) a unei matrici ptratice este o combinaie liniar de celelalte linii (coloane), atunci determinantul matricii este zero..9P Dac la o linie (o coloan) a matricii A adunm elementele altei linii (coloane) nmulite cu acelai numr, atunci aceast matrice are acelai determinant ca i matricea A.Demonstraie. Voi aduna la linia nti1Llinia a doua nmulit cu . Vom nota acest fapt prin 2 1L L + . Avem:1 1 1 1 1 11 11 1 1 11 1

0

b ab ab ab ab ab ab ab ab ab b a a + ++ +6 7P P ..10P ( ) 1 det nI.11P ( ) ( ), det det A An A ( ) Cn..12P Dac A=( )j ia este o matrice triunghiular (sau diagonal), atunci( )nna a a A ... det22 11. (Valoarea determinantului este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principal)..13P Dac A, B ( ) Cn, atunci( ) ( ) ( ) B A AB det det det (Determinantul produsului a dou matrici ptratice este egal cu produsul determinanilor acelor matrici).n particular( ) ( ) ( ) , det detn nA A n*N .Teorem.Determinantul unei matriciA ( ) Cneste egal cu suma produselor dintre elementele unei liniiiL( ) n i , 1 i complemenii lor algebrici, adic( ) ( ) ( ) ( ) ( )inn iin iii iii iiiD a D a D a D a A+ + + + + + + 1 ... 1 1 1 det333 222 111.(Formula lui( ) A detd dezvoltarea determinantului dup elementele liniei i).Aceastteorempermitescalculmdeterminantul unei matrici duporicarelinie. Seva alege acea linie care are mai multe zerouri sau pe care se pot realiza (ct mai uor) mai multe zerouri.Observaie:innd seama de proprietatea 1P teorema precedent are loc i pentru coloane sub forma:( ) ( ) ( ) ( ) ( )njj nnj jjj jjj jjjD a D a D a D a A+ + + + + + + 1 ... 1 1 1 det333 222 111.2.4. Calculul inversei unei matrici11Definiie.FieA ( ) Cn. MatriceaAsenumeteinversabildac exist matriceaB( ) Cn cu proprietatea c nI A B B A , nI fiind matricea unitate.Matricea B din definiie se numete inversa matricii A i se noteaz 1 A B. Deci nI A A A A 1 1.Teorem. Matricea A ( ) Cn este inversabil dac i numai dac( ) . 0 det AO astfel de matrice se numete nesingular.Construcia lui 1 A presupune urmtorii pai:Pasul 1. (Construcia transpusei) Dac

,_

nn n nnna a aa a aa a aA......... ............2 12 22 211 12 11, atunci construim transpusa lui A

,_

nn n nnnta a aa a aa a aA......... ............2 12 22 121 12 11.Pasul 2. (Construcia adjunctei) Matricea ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

,_

+ + ++ + ++ + +nnn nnnnnnnnnD D DD D DD D DA1 ... 1 1... ... ... ...1 ... 1 11 ...1 1221122222 2211 211122 1111 1*obinut din At, inlocuin fiecare element cu complementul su algebric se numete adjuncta matricii A.Pasul 3. (Construcia inversei) Se ine cont de teorema precedent i se gsete c:, ...0 0 0... ...... ... ...0 ... 0 00 ... 0 0* *

,_

dddA A A Aiar de aici .1 1* *nI AdA A Ad

,_

,_

Ultimele egaliti arat c 2.5. Ecuaii matricialeVoi prezenta n continuare o tehnic de rezolvare a unor ecuaii de formaC AX ,C XA , C AXB ,undeA,B,Csuntmatrici cunoscute,iarXeste matricea de aflat.Astfel de ecuaiise numesc ecuaii matriciale.Astfel de ecuaii se pot rezolva numai atunci cnd A, B sunt matrici ptratice inversabile.Pentru rezolvarea ecuaieiC AX nmulim la stnga egalitatea cu 1 A i avem:( )* 1det1AAA 12( ) ( ) C A X C A IX C A X A A C A AX A1 1 1 1 1 1 .Deci soluia ecuaiei date esteC A X1 .Pentru determinarea soluiei ecuaiei C XA vom nmuli la dreapta cu 1 Ai analog vom gsi 1 CA X , soluia ecuaiei matriciale.Pentru gsirea soluiei ecuaieiC AXB nmulim egalitatea la stanga cu 1 A i la dreapta cu 1 B i obinem 1 1 CB A X .13APLICAII1. Manualpg. 67 S se determine numerele reale x, y, z astfel nct s aib loc egalitatea de matrici, n cazurile1)

,_

,_

+ 0 191110 6 73 21x yy xy x' + + + 0 02 20 10 57 18 28 77 19 6311 47 19 6 7311 411 4 3 11 3 21 1y y y y yyy xyx y x x y y x1311 82 dar 311 4 ;x xyyx2)

,_

+

,_

+yy yx y xy x x45 832 732' + + + y x y xy xy y xy y y y y x2 4 25 78 31 3 3 3 2 2 3 221 dar 2 ;xyy x3)

,_

+

,_

+63 113132xx yx y'+ + + + + +x y x yx x x x x x x y6 63 31 10 5 4 1 3 6 1 32 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 5 0 1 5 0 5 5 0 5 5 0 5 412 2 + + + x x x x x x x x x x x12 xI. dac5 x , atunci 11 y14II. dac1 x , atunci 5 y4)

,_

,_

+ zyxzzx yx yzxy40 53 0( )( )( )y x yy xz y x z zy zxx y y xy x xy xyy xx y z x y yx yzz y x xz xy4 4 330 3 343430 4 40 00 5 52 22+ +'+ + +

,_

++ +

,_

++ + + + + pg. 71 1. S se calculezeB A+n cazurile:1)

,_

4031A,

,_

3542 B.

,_

+

,_

+ ++ + +1513 ) 3 ( 4) 5 ( 04 32 1 B A B A2)

,_

+i ii i iA 103 1,

,_

++ i i ii iB1 1 23 1

,_

+ +

,_

+ + + ++ + + + + +0 0 1 3 2 2) ( 1 1 0 1 32) 3 1 ( 1ii iB Ai i i i ii i i i iB A2. Se consider matricile

,_

112 1025 2 1 4222mmA,

,_

065 13 60411 m nB,

,_

1 6 5210 1 14 1pm C.S se determine m, n, p astfel nctC B A + .' + + +1 1 26 22 4 2 43 1 2p pm mm m m mn n. Deci ' 123pmnpg. 75 1. Se consider matricile ) ( ,3 , 2C B A .

,_

iiA3 2011,

,_

+1 1 0 1i iiB.S se calculeze:iB A 2 3 ,B iA 2 + .

,_

+

,_

+

,_

,_

+

,_

2 7 8 23 12 2 220 2296033 31 1 0 123 20113 2 3i iii iiiii iiiiiiB A15

,_

,_

++

,_

,_

++

,_

+1 24 2 12 2 22 0 2232 011 1 0 123 20112i ii ii iiii ii iiiii B iApg. 87 1. Calculai produsele de matriciB A , undea)

,_

1 0 31 1 2A i

,_

0 11 21 3B

,_

,_

+ + + ++ + + +3 103 90 0 3 1 0 90 1 2 1 2 6ABb)

,_

312A i( ) 3 2 1 B

,_

9 6 33 2 16 4 2ABc)

,_

0 21iiA i

,_

1 03i iB

( )

,_

,_

+ + + + 6 221 0 3 2 0 0 21 1 30 1i ii i i ii i i iABd)

,_

7 2 56 4 31 2 4A i

,_

542B

,_

33525ABe)

,_

5 3 56 1 59 4 3A i

,_

3 5 47 9 84 6 5B

,_

26 32 2917 27 2213 9 11AB2. S se calculeze( ) A f , dac:

,_

1211A; 227 5 ) ( I X X X f + 16

,_

,_

,_

1421121112112A A A

,_

,_

+

,_

,_

+

,_

+

,_

,_

+

,_

,_

1 63 1 7 00 76 636 7 00 7510551421 1 00 17121151421) ( A f3.Fie

,_

1011A . S se calculeze nA, *N n .

,_

,_

,_

1021101110112A A A

,_

,_

,_

1031101110212 3A A A

,_

10 1 nAnInducie matematic ) 1 ( ) ( + k P k P

,_

++101 11nAn

,_

+

,_

,_

+101 11 01 11 011n nA A An n (A)Deci

,_

10 1 nAn.pg. 120 1.Calculai determinanii de ordinul doi:1) 5 2 3 2 ) 1 ( 3 13 211 + 2) 1 3 2 3 1 ) 2 ( ) 1 (231 1 3) ( ) 0 3 3 1 ) 3 ( 3 33313 + 2. Calculai determinanii de ordinul trei:171) [ ]

3 6 ) 1 ( 5 1 2 4 ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( 5 6 4 1 ) 1 ( 3 ) 1 ( 23 541 16212 + + + + 70] 18 10 8 [ 60 4 6 + 2) [ ] + + + + 6 5 0 4 3 2 0 3 ) 5 ( ) 5 ( 4 5 0 3 0 6 3 264 03 3 550 2

8824 64] 0 24 0 [ 100 0 36 + + + 3) [ ] + + + + 3 2 1 3 2 1 ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 3 ( 3 3 ) 2 ( 2 2 1 ) 1 ( 11 3 22 13 32 1

426 36] 6 6 6 [ 27 8 1 + + 3. Calculai determinanii urmtori:1) 0 0 01 1 1

1 1 11 1 1

11 1

1 1 1

1 11

+ + + + + +d c b a d c b ac b ac b ad d dc b ac b ac b ad c d b d a2) 0 0 0 1

1

+ + + + + +a a ac c cb b ba c cc b bb a aa a ac c cb b ba c cc b bb a aa c a a cc b c c bb a b b a4. S se rezolve ecuaiile:1)011 1x xx xx x + + + + + +0 11

1 10 1) 1 (1

) 1 (1 1) 1 ( 13 1 2 1 1 1x xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx x x x x x x x + 1 0 ) ( ) ( 12 2 2 + + + 0 1 3 2 02 3 2 3 3 2 2x x x x x x + + 0 ) 1 )( 1 ( ) 1 ( 2 0 ) 1 ( ) 1 ( 2 0 1 2 22 2 2 2 2 3x x x x x x x x x x1 0 ) 1 ( 0 ) 1 2 )( 1 (12 x x x x x

21 1 9 8 1 0 1 2322 + xx x xDeci ;' 1 ,21x.185. S se rezolve ecuaiile:1) 00 1110 1110 110xxxx + + + + + + +0110 110 ) 1 (0 111 110 ) 1 ( 10 110111 ) 1 ( 10 110 110) 1 ( 04 1 3 1 2 1 1 1xxxx xxxxxx + 0 110 110 0111 11 0 0 110111 0xxxx xxxx[ ] [ ] + + + + + + + + + ) 1 0 0 1 1 1 1 ( 1 1 1 1 1 0 0 ) 1 1 0 1 1 0 1 ( ) 1 1 1 1 1 0 0 ( 0 x x x x x x x x[ ] + + + + 0 ) 0 1 0 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 0 0 ( x x x x x x x + + + 0 ) 1 ( ) 2 1 ( ) 1 (3 2x x x x x x + + 0 1 2 12 4 2x x x x x x + + 0 4 2 0 4 22 4 2 4x x x x x0 4 2 0 0 ) 4 2 (313 + + x xx x x x6.Fie) ( ,3R B A pentru care0 ) det( ) det( ) det( ) det( + B A B A B A.S se arate c 0 ) det( + yB xA, R y x , ) (.0 ) , ( ) det(44232231 + + + + y xy y x x y x P yB xA Pentru x = 0 i y = 10 0 ) det( ) 1 , 0 (4 B PPentru x = 1 i y = 00 0 ) det( ) 0 , 1 (1 A PPentru x = 1 i y = 10 0 ) det( ) 1 , 1 (3 2 + + B A PPentru x = 1 i y 1 0 0 ) det( ) 1 , 1 (3 2 B A P03 2 Deci 0 ) det( + yB xA2. Bacalaureatpg. 94 1. S se determine matricea X din ecuaia

,_

+

,_

,_

+03 3963624731 23221323X

,_

,_

+

,_

32213203 396312481462 3X19

,_

+

,_

3221 3212 111 512 13X

,_

15 39 6 15 33X

,_

5 13 25 1X2. a) Gsii matricea X ) (2R astfel nct

,_

,_

+

,_

132133 1 21021X b) S se determine m R astfel nct sistemul urmtor s fie compatibil i apoi rezolvai-l:' + +m y xy xy x31 21a)

,_

,_

+

,_

132133 1 21021X

,_

+

,_

,_

,_

,_

,_

3 312 1321102133 1 213211021X X

,_

,_

++

,_

,_

+ + + + ;

,_

,_

,_

401 32 22 401 31 20 21 2 0 1 401 31021t z zy x xt z t zy x y xt zy xXX' + + + 4 4 25 1 6 1 20 0 23t t zy y y xz zxDeci

,_

4 053X.b) ' + +m y xy xy x31 21y x y x + 1 1322 3 1 2 1 1 2 y y y y y x

31321 1 x y x3532132313 3 + + + m m m m y x203. a) Fie matricea A ) (2R ;

,_

10 1 aA,0 a . S se calculeze 2A i 3A i apoi s se determinenA, *N n n funcie de n.b) S se afle, , , , v u y x numere reale astfel nct

,_

,_

,_

1101

1011v uy xa)

,_

,_

+ + + +

,_

,_

10210 1 1 1 0 1 01 10 1 110 110 12aaa a a a aA A A

,_

,_

+ + + +

,_

,_

10310 1 11 0 1 01 2 10 2 1 110 110212 3aaa a a a aA A A

,_

10 1 naAnInducie matematic ) 1 ( ) ( + k P k P

,_

++10) 1 ( 11a nAn

,_

+

,_

+ + + +

,_

,_

+10) 1 (10 1 1 1 0 1 01 10 1 110 110 11a nana a na a naA A An n (A)Deci

,_

10 1 naAn.b) ' + +

,_

,_

+ +

,_

,_

,_

111 00 11101

1101

1011vuy v yx u xv uv y u xv uy xDeci

,_

,_

111 0

v uy x.4. a) S se determine, , , , v u y x astfel nct:

,_

,_

,_

+28132 13

1 u vx yv uy xb) S se detrmine matricea A astfel nct:.42142 51151121117312651042

,_

+

,_

,_

+ Aa)

,_

,_

+

,_

+

,_

,_

,_

+28131 23

1 28132 13

1 u vx yv uy xu vx yv uy x' + + + +

,_

,_

+ + 2 1 28 1 313 3 ) (28131 2 3 1 v uv ux yy x y xu v v ux y y x21'' ' + ' 1234 21 3313xyy xyy yy xx yy x'' + ' + + 0321 7 3 ) 9 3 ( 29 32 1 28 1 3uvv v v v uv uv ub)

,_

+

,_

,_

+42142 51151121117312651042A

,_

+

,_

,_

,_

3126510419 221613 4823126510419 221613 482 A A

,_

,_

11 559 3 222 10 108 1 6 42 A A.pg. 1471. S se rezolve ecuaia:0

x a a aa x a aa a x aa a a x + 0 0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0 00 0 00 0 00 0 00

a xa xa xa xa a a aa a a aa a a aa a a aa xa xa xa xx a a aa x a aa a x aa a a x[ ] a x a x a x a xa xa xa xa x +4 , 3 , 2 , 14 3 1 10 ) ( 0 0 ) ( ) ( 0 0 00 00 0) 1 ( ) (2.Dac3 2 1, , x x xsunt rdcinile ecuaiei 0 17 2 22 3 + + x x x s secalculeze determinantul 2 1 31 3 23 2 1

x x xx x xx x xd .' + + + + + + 17220 17 2 23 2 13 2 3 1 2 13 2 12 3x x xx x x x x xx x xx x x) ( 3

333231 3 2 12 1 31 3 23 2 1x x x x x xx x xx x xx x x+ + 22 + + ;+ + + + + + + + + + + ++ + + + + + + 51 2 2 ) 2 2 ( 2) ( 2 ) (51 ) ( 2 ) ( 2) ( 0 17 2 20 17 2 20 17 2 23332313 2 3 1 2 123 2 12322213 2 1232221333231323332223212131x x xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x xx x xx x xx x x55333231 + + x x x4 55 ) 17 ( 3 ) ( 3333231 3 2 1 + + + d x x x x x x dBIBLIOGRAFIE1.Mircea Ganga, Manual de Matematic, Elemente de Algebr liniar, i geometrie analitic, clasa a XI-a, Editura Mathpress, 20032. Gh. Andrei, D. Brbosu, Gh. Boroica,Admitereannvmntul superior, Editura Gil, 20013. DanBrnzei, SorinUlmeanu,Matematicanconcursurilecolare,Editura Paralela 45,20004.C. Nstsescu, C. Ni, Culegere de probleme pentru liceu, Algebra,Editura Rotech Pro, 19995. Caiet de notie23