vibratiile_sistemelor_mecanice

8/4/2019 vibratiile_sistemelor_mecanice

1/251

Liviu BERETEU

VIBRAIILE SISTEMELORMECANICE

2009


2/251

2

PREFA

Dintre toate disciplinele fa de care inginerul rmne profund ndatorat, deaproape un secol, datorit succeselor aciunilor sale, Vibraiile Sitemelor Mecanice ocupun loc de prim rang.

Cunoaterea i utilizarea noiunilor de vibraii mecanice au devenit necesiti

fundamentale pentru o larg serie de specialiti: fizicieni, ingineri, arhiteci, etc. De lageofizicieni la constructori i pn la medici a crescut interesul pentru aceast disciplin.

Protecia mpotriva vibraiilor excesive este preocuparea principal a inginerilorproiectani. Proiectarea i construcia unor maini vibratoare este, adesea, dorinainginerilor mecanici i a inginerilor de sunet. Msurarea i interpretarea vibraiilormecanice sunt sarcini importante n activitatea de ntreinere predictiv a mainilor.

Datorit progreselor din analiza numerici a instrumentelor de msur care suntastzi la ndemna specialistului: programe sofisticate de elemente finite sau elemente defrontier, echipamente de analiz digital a semnalelor etc, acesta se gsete n posesiaunui ansamblu complet de mijloace pentru studiul i descrierea micrilor vibratorii.

Scopul principal al acestei cri este de a da noiuni de baz n mecanicavibraiilor, tocmai pentru a putea fi util studenilor de la diferite specializri. Bazat pe odocumentaie la zi, nu ne ndoim c ea va fi de un real folos. Pentru a ntri deprinderilepractice ale studenilor, este dat un numr mare de probleme rezolvate.


3/251

3

CUPRINS

1. VIBRAIILE LINIARE ALE SISTEMELOR MECANICE CU UN GRAD DELIBERTATE1.1.Stabilirea ecuaiilor difereniale ale vibraiilor..............................................................

1.1.1.Caracteristici elastice i de amortizate. Legarea n serie i n paralel a elementelorelastice..............................................................................................................................................

1.1.2.Modelul mecanic de translaie pentru vibraiile liniare ale sistemelor materiale.....1.1.3.Modelul mecanic de torsiune pentru vibraiile liniare ale sistemelor materiale.......1.1.4.Stabilirea ecuaiei difereniale a micrii sistemelor materiale cu un grad de libertate

cu ajutorul ecuaiei lui Lagrange de spea a II-a.............................................................................1.1.5.Fore perturbatoare....................................................................................................

1.2.Rspunsul sistemelor mecanice liniare cu un grad de libertate la diferite excitaii.....1.2.1.Vibraii libere neamortizate......................................................................................1.2.2.Vibraii libere cu amortizare vscoas......................................................................1.2.3.Vibraii libere cu amortizare uscat..........................................................................1.2.4.Rspunsul sistemelor vibrante liniare cu un grad de libertate la excitaia impuls....1.2.5.Vibraii forate neamortizate cu for perturbatoare oarecare..................................1.2.6.Vibraii forate cu amortizare vscoasi for perturbatoare oarecare...................1.2.7.Vibraii forate neamortizate cu for perturbatoare armonic.................................1.2.8. Vibraii forate cu amortizare vscoasi for perturbatoare armonic.................1.2.9. Rspunsul complex n frecven..............................................................................1.2.10. Vibraii forate cu amortizare vscoasi for perturbatoare periodic...............1.2.11. Aspecte energetice n studiul vibraiilor liniare. Amortizare structural...............

1.3.Probleme......................................................................................................................

2. VIBRAIILE SISTEMELOR LINIARE CU MAI MULTE GRADE DE

LIBERTATE2.1.Stabilirea ecuaiilor difereniale ale micrii cu ajutorul ecuaiilor lui Lagrange despea a II-a..........................................................................................................................2.2.Ecuaiile micilor oscilaii.............................................................................................

2.3.Vibraii n sisteme cu caracteristici liniare...................................................................2.4.Vibraii libere neamortizate.........................................................................................2.4.1.Pulsaii proprii, vectori proprii. Determinarea legilor de micare............................2.4.2.Ortogonalitatea modurilor proprii.............................................................................2.4.3.Coordonate normale. Rspunsul sistemului la excitaie iniial...............................2.4.4.Sisteme cu moduri de corp rigid...............................................................................

2.5.Vibraii libere cu amortizare vscoas.........................................................................2.5.1.Determinarea legilor de micare...............................................................................2.5.2.Vibraii libere cu amortizare proporional...............................................................

2.6.Vibraii forate neamortizate........................................................................................2.6.1.Vibraii forate neamortizate cu fore perturbatoare oarecare...................................


4/251

4

2.6.2.Vibraii forate neamortizate cu fore perturbatoare armonice de aceeai pulsaie...2.7.Vibraii forate amortizate............................................................................................

2.7.1.Vibraii forate amortizate cu fore perturbatoare oarecare.......................................

2.7.2.Vibraii forate cu amortizare vscoas i fore perturbatoare armonice de aceeaipulsaie............................................................................................................................................2.8.Probleme......................................................................................................................3. APLCAII TEHNICE ALE TEORIEI VIBRAIILOR3.1.Consideraii generale................................................................................................3.2.Turaii critice ale vibraiilor de torsiune ale unui arbore elastic cu mai mulivolani.............................................................................................................................3.3.Turaii critice ale vibraiilor de ncovoiere ale unui arbore elastic cu mai mulivolani..............................................................................................................................3.4.Izolarea vibraiilor.....................................................................................................3.5.Amortizorul dinamic simplu.....................................................................................

3.6.Aparate mecanice pentru msurarea vibraiilor........................................................3.7.Aparate electrice pentru msurarea vibraiilor..........................................................3.8.Msurtori de vibraii i prelucrarea semnalelor.......................................................

4. VIBRAII NELINIARE I PARAMETRICE4.1.Consideraii generale................................................................................................4.2.Studiul n planul fazelor al vibraiilor neliniare........................................................4.3.Puncte singulare i traiectorii de faz pentru sisteme liniare....................................4.4.Metoda exact pentru studiul vibraiilor neliniare pentru sisteme conservative.......4.5.Metoda liniarizrii echivalente..................................................................................

4.6.Metoda variaiei lente a amplitudinii i a fazei iniiale.............................................4.7.Metoda parametrului mic..........................................................................................4.8.Metoda balanei armonice.........................................................................................4.9.Metoda lui Ritz..........................................................................................................4.10.Autovibraii produse de frecarea uscat..................................................................4.11.Ecuaia lui Duffing..................................................................................................4.12.Vibraii parametrice.................................................................................................4.13.Probleme..................................................................................................................

5. VIBRAIILE SISTEMELOR CONTINUE

5.1.Vibraiile longitudinale ale barelor drepte.................................................................5.1.1.Deducerea ecuaiei de micare...............................................................................5.1.2.Condiii iniiale i la limit....................................................................................5.1.3.Vibraii longitudinale libere. Metoda separrii variabilelor..................................5.1.4.Relaii de ortogonalitate.........................................................................................5.1.5.Vibraii longitudinale amortizate ale barei............................................................5.1.6.Vibraii longitudinale forate ale barei...................................................................

5.2.Vibraii de rsucire ale barelor..................................................................................5.3.Vibraii transversale ale barelor.................................................................................

5.3.1.Deducerea ecuaiei vibraiilor transversale.............................................................5.3.2.Condiii iniiale i la limit.....................................................................................5.3.3.Vibraii libere transversale ale barelor...................................................................


5/251

5

5.3.4.Relaii de ortogonalitate.........................................................................................5.4.Probleme....................................................................................................................

6. METODE NUMERICE I APROXIMATIVE6.1.Evaluarea numeric a rspunsului sistemului cu un grad de libertate.......................

6.1.1.Soluia numeric bazat pe interpolarea forei perturbatoare.................................6.1.2.Integrarea numeric pas cu pas...............................................................................

6.2.Evaluarea numeric a rspunsului sistemelor liniare cu mai multe grade delibertate............................................................................................................................

6.2.1.Metoda diferenelor finite.......................................................................................6.2.2.Metoda Newmark....................................................................................................

6.3.Metode analitice aproximative...................................................................................

6.3.1.Calculul energiei cinetice i poteniale pentru sisteme continue............................6.3.2.Aplicarea ecuaiilor lui Lagrange pentru sistemele continue n metoda modurilorpresupuse.......................................................................................................................................

6.3.3.Metoda Rayleigh.....................................................................................................6.3.4.Metoda Rayleigh Ritz..........................................................................................6.3.5.Metoda Galerkin.....................................................................................................

6.4.Evaluarea numeric a pulsaiilor proprii i a vectorilor proprii.................................6.4.1.Metoda puterii folosind matricea de eliminare.......................................................6.4.2.Metoda raportului Rayleigh....................................................................................6.4.3.Metoda matricelor de transfer.................................................................................

6.5.Probleme....................................................................................................................

BIBLIOGRAFIE............................................................................................................


6/251

6

1. VIBRAIILE LINIARE ALE SISTEMELORMECANICE CU UN GRAD DE LIBERTATE

1.1. Stabilirea ecuaiilor difereniale ale vibraiilor

1.1.1. Caracteristici elastice i de amortizare. Legarea n serie i n paralel aelementelor elastice

n studiul vibraiilor sistemelor mecanice se fac diferite ipoteze simplificatorii,care reduc sistemul real la un model analitic (model mecanic). Modelele mecanice suntde dou tipuri: modelul sistemului continuu i modelul sistemului cu parametrii discrei.Numrul parametrilor geometrici independeni, care precizeaz poziia unui sistem,reprezint numrul gradelor de libertate. Chiari n cazul sistemelor cu mai multe gradede libertate, studiul micrii se reduce la folosirea a dou modele mecanice: modelul detranslaie i modelul de rotaie.

Odat ales modelul mecanic se poate trece la aplicarea metodelor de obinere aecuaiilor difereniale. Aceste ecuaii difereniale constituie modelul matematic alsistemului.

Componentele, care constituie modelul cu parametrii discrei ai unui sistem, suntacelea care dau legtura ntre fore, deplasri, viteze i acceleraii sau ntre momente,unghiuri, viteze unghiulare i acceleraii unghiulare.

Componenta care leag fora de deplasare este arcul, care n mod obinuit seconsider fr mas i pentru care se consider o relaie liniar ntre for i elongaie(deformaie). Constanta elastic poate fi determinat msurnd deformaia produs de ofor constant cunoscutF.

sty

Fk= (1.1)

n cazul unui arc elicoidal, asupra cruia acioneaz foraF, acesta va avea o deformaie

static:

4

38

Gd

FnDyst =

(1.2)unde n reprezint numrul de spire, D este diametrul de nfurare al spirelor, d estediametrul spirei, iarG este modulul de elasticitate transversal. Constanta elastic a arculuielicoidal este:

3

4

8nD

Gd

y

Fk

st

== (1.3)


7/251

7

Pentru un cablu supus la ntindere (fig. 1.1.) costanta elastic este:

l

EA

Yst

Fk == (1.4)

pentru o bar ncastrat la un capt, supus la ncovoiere (fig. 1.2.), costanta elastic este:

3

3

l

IE

y

Fk z

st

== (1.5)

iar pentru o bar elastic ncastrat la un capt i supus la rsucire printr-un momentaplicat la cellalt capt (fig. 1.3.), constanta elastic la torsiune este:

l

GIM

k

p

st == (1.6)

Fig. 1.1. Fig. 1.2. Fig. 1.3.

n acest caz, legtura este ntre un moment i unghiul de rsucire.Componenta care d legatura ntre fori vitez este amortizorul.Dac se consider forele de frecare, ntre elementele sistemului, proporionale cu

vitezele relative, aceast amortizare este cunoscut sub numele de amortizare vscoas.Dac forele de rezisten se consider constante i de semn neschimbat de-a

lungul unei semiperioade, aceast amortizare este cunoscut ca amortizare uscat (frecareuscat).

n diagrama efort-deformaie, trasat pentru un ciclu de ncrcare descrcare seconstat apariia unei bucle de histerez. Aria acestei bucle reprezint energia disipat peciclu, iar acest tip de amortizare este numit amortizare intern. Aceasta este numitamortizare vscoelastic, dac energia disipat depinde de amplitudine i frecven,respectiv amortizare histeretic, cnd energia disipat depinde numai de amplitudine.

n sfrit, legtura dintre fori acceleraie sau moment i acceleraie unghiulareste dat prin mas, respectiv prin moment de inerie.

Uneori, pentru legarea maselor rigide ntre ele sau pentru rezemarea lor sefolosesc mai multe elemente elastice. Aceste elemente elastice pot fi legate n serie sau nparalel. n cazul legrii n paralel a dou elemente elastice, de constante 1k, 2k , se pune


8/251

8

problema gsirii unui element elastic echivalent de constant ek. n ambele cazuri o for

Fva produce aceiai deformaie. Pentru arcurile legate n paralel se scrie:

xkkxkxkF )( 2121 +=+= (1.7)

Pentru cel echivalent se poate scrie:

xkF e= (1.8)

Din cele dou relaii se obine:

21 kkke += (1.9)

Fig. 1.4.

n general, pentru un numr de n arcuri legate n paralel se gsete o constant

echivalent

=

=n

i

ie kk1

(1.10)

La elementele elastice legate n serie, fig. 1.5, deformaia total a celor dou arcuri va fisuma deformaiilori trebuie s fie egal cu deformaia arcului echivalent.Deci, se poate scrie:

2121

k

F

k

Fxx +=+ (1.11)

ek

F

x=

(1.12)

de unde:21

111

kkke+= (1.13)


9/251

9

Fig. 1.5.

n general, n cazul legrii n serie a mai multor arcuri se gsete constantaechivalent din relaia:

=

=n

i ie kk 1

11(1.14)

1.1.2. Modelul mecanic de translaie pentru vibraiile liniare ale sistemelormateriale

Se consider modelul mecanic din fig. 1.6. format dintr-o masm aflat n micare detranslaie.

Fig. 1.6.

Fora elastic ce acioneaz asupra masei este dat de elementul elastic deconstantk. Elementul care introduce amortizarea este reprezentat printr-un cilindru fixn care se poate mica ntr-un mediu vscos un piston legat de masa m.

Din exterior acioneaz o for dependent numai de timp )(tF , numit for

perturbatoare.Tot din exterior acionez n ghidaje fore de rezisten de valoare constant i

sens constant pe o semiperioad, numite fore de amortizare uscat.Rezultanta acestor fore de rezisten are valoarea constantR.Se folosete principiul lui d'Alembert, proiectnd pe axay, corespunztoare

micrii, prima ecuaie a principiului:

0=++ Ild RRR

(1.15)

Pentru studiul micrii se alege originea la captul arcului nedeformat. Cu y senoteaz deplasarea masei m fa de originea aleas.


10/251

10

Ecuaia de echilibru dinamic este:0sgn)( =+ yRkyycymmgtF

(1.16)

unde:

=

0,,1

0,,0

0,,1

sgn

ydaca

ydaca

ydaca

y

(1.17)

sau ordonnd necunoscutele n partea stng a ecuaiei:( ) yRmgtFkyycym sgn+=++ (1.18)

Funcia ysgn nu este liniar, dect pe poriuni, n intervalul de timp n care viteza are

acelai sens.Dac se alege originea de msurare a deplasrii masei m n poziia deechilibruluistatic, ecuaia diferenial devine mai simpl. Notnd cux noua deplasare, se poate scrie:

xyy st += (1.19)

undesty este deformaia static a arcului, i deci:

mgkyst = (1.20)

Derivnd relaia (1.19) i nlocuind n ecuaia (1.18) se obine:( ) xRmgtFkykxxcxm st sgn+=+++ (1.21)

sau ( ) xRtFkxxcxm sgn=++ (1.22)

n aceast ecuaie nu mai apar forele ce determin poziia de echilibru static. n lipsafrecrii uscate ecuaia (1.22) este liniar.

1.1.3. Modelul mecanic de torsiune pentru vibraiile liniare ale sistemelor materiale

Pentru studiul vibraiilor de rsucire ale arborilor nu se mai poate folosi modelul precedent, datorit tipului diferit de micare. n aceast situaie se va folosi un modelformat dintr-un disc omogen articulat printr-o articulaie cilindric n centrul su i avndun moment de inerieJ. De obicei acest disc se numete volant.

Elementul elastic (arborele elastic) este simbolizat printr-un arc spiral cu un captlegat de articulaie i cellalt capt fixat de disc. Constanta elastic a acestui element esteK. Se mai consider un element de amortizare, format dintr-un cilindru curb, care este fixi prin care se poate mica un piston cu tij circular legat la cellalt capt de disc.Pentru caracterizarea forelor de amortizare se consider coeficientul de amortizarevscoas la rotire C (fig.1.7.).

Asupra discului mai acioneaz un moment perturbatorM(t).


11/251

11

Parametrul de poziie se consider un unghi msurat din poziia n care arcul estenedeformat.

Fig. 1.7.

Pentru deducerea ecuaiei de micare se va folosi cea de-a doua ecuaie dinprincipiul lui d'Alrmbert:

0000 =++Ild

MMM

(1.23)

Aceasta se proiecteaz pe axa fix perpendicular n O pe disc. Neglijnd frecrile, necuaia de momente nu intervin reaciunile:d

zz MJ = (1.24)

Arcul spiral introduce un moment elastic, iar amortizorul un moment de amortizare.Ecuaia (1.24) devine:

( ) KCtMJz = (1.25)

Ecuaia diferenial corespunztoare modelului de rotaie este liniar i cucoeficieni constani. De obicei momentul perturbator este o funcie periodic

( ) ( )tMTtM =+ .

Ca form ecuaia diferenial a modelului de rotaie este identic cu cea amodelului de translaie, cnd lipsete fora de amortizare uscat.

1.1.4. Stabilirea ecuaiei difereniale a micrii sistemelor materiale cu un grad de

libertate cu ajutorul ecuaiei lui Lagrange de spaa a II-a

Considernd q parametrul de poziie al sistemului material, ecuaia lui Lagrange este:

Qq

E

q

E

dt

d cc =

(1.26)

unde Q reprezint fora generalizati se calculez pentru fiecare categorie de fore ceacioneaz asupra sistemului:

( )tQQQQ pncc ++= (1.27)Cele trei categorii de fore generalizate reprezint n ordine: fora generalizatconservativ ce deriv din fore care depind de poziia sistemului (greuti, fore elastice);fora generalizat ce deriv din forele de frecare dintre sistem i exterior sau dintrecomponentele sistemului; fora generalizat perturbatoare ce deriv din foreleperturbatoare exterioare ce acioneaz asupra sistemului.

Se consider un sistem format dinNpuncte materiale. Energia cinetic va fi:


12/251

12

=

=N

i

ii

c

vmE

1

2

2(1.28)

unde

qq

r

dt

rdv iii

==

11 (1.29)

Poziia fiecrui punct din sistem depinznd de coordonata q ( )

=

qrr ii 11 , n

cazul sistemelor olonom scleronome, relaia (1.28) devine:

( ) 222

1

1 2

1

2

1qqmq

q

rmE

iN

i

ic =

=

= (1.30)

Coeficientul

( )

2

1

1

=

=

q

rmqm

iN

i

i

(1.31)este funcie de coordonata generalizat.

Funcia de for din care deriv fora conservativ depinde numai de coordonatageneralizat ( )qUU= . Fr a diminua generalitatea problemei, se va considera poziiade echilibru stabil ca origine de msurare a coordonatei generalizate. Deci, n poziia de

echilibru, 0=q . Dezvoltnd nserie Mac Lauren, dup puterile lui q, se obine:

( ) ( ) ...2

10 2

02

2

0

+

+

+=

==

qq

Uq

q

UUqU

qq

(1.32)

De la studiul stabilitii echilibrului se tie c, 00

=

=qq

U.

n poziia de echilibru valoarea funciei de for (sau constantei pn la care estedeterminat energia potenial) se poate lua zero. Limitnd dezvoltarea n serie la primiitrei termeni, va rezulta pentru funcia de for

2

02

2

2

1q

q

UU

q=

= (1.33)

n care:

kq

U

q

=

=02

2

(1.34)

este o constant, kfiind pozitiv.Pentru deducerea foeei generalizate de amortizare vscoas se va calcula lucrul

mecanic virtual al forelor de frecare vscoas.

+=

= = =

jiN

i

N

i

N

j

jiijiii

a rrvvcrvcL 111 1 1

1 (1.35)


13/251

13

unde

qq

rr

ii

=

11

(1.36)iar din ecuaia (1.29) se poate scrie:

q

r

q

v ii

=

1

(1.37)

Relaia (1.29) devine:

qqq

r

q

rc

q

rc

q

q

vv

qc

v

qcL

jiN

ji

ij

iN

i

i

jiN

ji

iji

N

i

i

a

+

=

+

=

=

=

==

2

2

11

1,

2

1

1

2

1,

2

1

2

1

22

(1.38)

Se noteaz:

( ) 221

2

11

1

2

1

1 2

1

2

1qqcq

q

r

q

rc

q

rcE

N

i

jiN

j

ij

iN

i

id =

+

=

=

=

=

(1.39)

energia de disipare, cunoscuti sub numele de funcia lui Rayleigh, unde ( )qc este uncoeficient funcie de coordonata generalizat.

Pe de alt parte, lucrul mecanic virtual se poate scrie:qQL aa = (1.40)

de unde

q

EQ da

= (1.41)

Pentru fora perturbatoare generalizat se aplic metoda general de calcul alforelor generalizate:

( )q

LtQ

pp

= (1.42)

nlocuind n ecuaia lui Lagrange expresiile (1.30), (1.32) i (1.41) se obine oecuaie diferenial de ordinul doi, n general neliniar. Dac se dezvolt n serie de puterin jurul poziiei de echilibru, pentru coeficienii ( )qm i ( )qc , se obine:

( ) ( ) ...2

10 2

02

2

0

+

+

+=

==

qq

mq

q

mmqm

qq

(1.43)


14/251

14

( ) ( ) ...2

10 2

02

2

0

+

+

+=

==

qq

cq

q

ccqc

qq

(1.44)

Presupunnd oscilaii mici, fa de poziia de echilibru, se pstreaz numaicoeficieni constani ai dezvoltrilor (1.43) i (1.44). n acest caz ecuaia lui Lagrangedevine:

( )tQkqqcqm p=++ (1.45)adic o ecuaie diferenial liniar cu coeficieni constani.

1.1.5. Fore perturbatoare

Forele perturbatoare sunt acele fore exterioare, n general periodice, care depindde timp. Exist multe surse de fore perturbatoare. n acest paragraf sunt artate numaicele de natur mecanic.

Sursele cele mai importante de fore perturbatoare sunt forele de inerie ale unormase neechilibrate i micarea suportului elementului elastic i/sau a elementului deamortizare.

n primul caz se consider modelul de translaie (fig.1.8.).

Fig. 1.8. Fig. 1.9.

O mas om din sistem, excentric cu excentricitatea 1r, se afl n micare circular

uniform cu viteza unghiular .Fora de inerie care apare datorit micrii masei excentrice se transmite asupraaxului, deci asupra masei m (n masa totalm este inclusi

om ).

Fora centrifug se descompune n dou componente. Componenta perpendicular pe ghidaj este anhilat de reaciunea ghidajului, iar cealalt component este foraperturbatoare:

tmrFp sin2= ; 1r

m

mr o= (1.46)


15/251

15

Acest model are un incovenient, datorat componentei normale pe ghidaj, care duce la

uzura acestuia. Pentru eliminarea acestei solicitri variabile, se consider dou mase

2

om ,

care se rotesc, n sensuri contrare, cu aceiai vitez unghilar (fig. 1.9.). n acest caz,componentele normale pe ghidaj se echilibreaz, iar celelalte componente se nsumeazidau fora (1.46).

Cealalt surs de producere a forelor perturbatoare o constituie micareasuportului elementului elastic i/sau elementului amortizor. Se consider modelul detranslaie din fig. 1.10. i se presupune c suportul comun se mic dup o lege ( )tf .

Fig. 1.10.

Din poziia de echilibru static, y msoar deplasarea masei m fa de un reper fix,corespunzator poziiei pentru 0=f . Aplicndprincipiul lui d'Alembert, se obine:

( ) ( ) 0=++ fykfycym (1.47)respectiv prin ordonarea ecuaiei (1.47)

( )tFkyycym =++ (1.48)unde ( )tF este dat de formula:

( ) kffctF += (1.49)Presupunnd c suportul are o micare armonic de forma:

( ) trtf sin= (1.50)fora perturbatoare este:

( ) +=+= tFtcrtkrFp sincossin 0 (1.51)

Amplitudinea i faza iniial se pot determina prin reprezentare vectorial (fig.1.11.).


16/251

16

Fig. 1.11

( ) ( )22

0 rckrF += (1.52)

k

crtg

= (1.53)

Deci, n micarea absolut datorit micrii armonice a suportului, apare o for perturbatoare armonic. n unele aplicaii, cum ar fi studiul aparatelor pentru msurareavibraiilor, intereseaz n mod deosebit deplasarea relativ a masei m fa de suport. naceast situaie, ( )tf va reprezenta deplasarea de transport, ( )tx deplasarea relativ, iar

( )ty deplasarea absolut. Deci, se poate scrie:fxy +=

(1.54) nlocuind (1.54) n (1.48), se obine:

( ) ( ) ( ) kffcfxkfxcfxm +=+++++ (1.55)sau

fmkxxcxm =++ (1.56)Se observ c fora perturbatoare n acest caz este:

( ) fmtF = (1.57)Dac micarea suportului este dup legea (1.50), atunci fora perturbatoare:

( ) trmtF sin2= (1.58)este o for armonici n faz cu micarea suportului.

1.2. Rspunsul sistemelor mecanice liniare cu un grad de libertate ladiferite excitaii

1.2.1. Vibraiile libere neamortizate

nainte de a discuta soluia general a ecuaiei (1.22), se vor considera ctevacazuri particulare. n primul rnd se neglijeaz frecrile, iar fora perturbatoare ( )tF se

consider nul.


17/251

17

Fig. 1.12.

n aceste condiii ecuaia diferenial a micrii modelului din fig 1.12 se reducela:

0=+ kxxm (1.59)sau

02 =+ xx n ,m

kxn =

2 (1.60)

unden este cunoscut sub numele de pulsaie natural sau pulsaie proprie. Soluia se

caut de forma tcex = . Se obine ecuaia caracteristic:022 =+ n (1.61)

de unden

i =2,1

Soluia ecuaiei (1.60) va fi de forma:titi nn eCeCx

+= 21 (1.62)sau

( ) tCCitCCx nn sincos)( 2121 ++= (1.63)

unde 1C i 2C trebuie s fie constante complex conjungate pentru ca soluia (1.63) sreprezinte o micare real. Deci:

tAtAx nn sincos 21 += (1.64)

Constantele 1A i 2A se determin din condiiile iniiale ( ) 00 xx = i ( ) 00 vx = . Cuacestea, soluia (1.64) devine:

( )

+=+= tAtxtvx nnnn

sincossin 00 (1.65)

unde A i se por determina din condiiile iniiale sau prin nsumarea vectorial a celordou componente (fig.1.13.).

Fig.1.13

2

202

0n

vxA

+= (1.66)

00

vxtg n

= (1.67)


18/251

18

n concluzie, n cazul vibraiilor libere i neamortizate, micarea este armonic cupulsaia proprie, ce nu depinde de condiiile iniiale. Amplitudinea micrii i faza iniialdepind de condiiile iniiale.

Pentru modelul de rotaie se va obine o lege de micare identic cu (1.65), unde:

J

Kn= (1.68)

1.2.2. Vibraii libere cu amortizare vscoas

n cazul n care este prezent amortizarea vscoas, amortizarea uscat seneglijeaz i n lipsa forei perturbatoare, ecuaia diferenial a micrii modelului dinfig.1.14. este:

0=++ kxxcxm (1.69)

Soluia ecuaiei (1.69) este de forma:tCex =

(1.70)

unde Ci sunt constante ce trebuie determinate. Impunnd soluiei (1.70) s verificeecuaia diferenial (1.69), se ajunge la ecuaia caracteristic:

02 =++ kcm (1.71)ale crei rdcini sunt:

m

k

m

c

m

c

=

2

2,1 22

(1.72)

Fig. 1.14.

Valoarea coeficientului de amortizare pentru care se anuleaz radicalul din relaia(1.72) se numete coeficient critic de amortizare:

nc

m

k

m

c==

2(1.73)

sau kmmc nc 22 == , unde n este pulsaia natural a sistemului fr amortizare.


19/251

19

Introducnd raportul de amortizarecc

c= , rdcinile ecuaiei caracteristice pot fi

scrise astfel: ) n 122,1 = (1.74)n funcie de raportul de amortizare sistemele se clasific astfel:

a) amortizare supracritic, dac 1> b) amortizare critic, dac 1= c) amortizare subcritic, dac 1


20/251

20

( ) ( )[ ] ( ) ( ) +=+=++= ptAeptAptAeptCCiptCCex ttt sinsincossincos 212121

(1.79)Constantele de integrare 1A i 2A sau Ai se determin din condiiile iniiale. Dac pentru primele dou cazuri sistemul nu are micare vibratorie, pentru cazul c) sistemulare o micare vibratorie amortizat. Micarea lui se stinge n timp pentru c dac t ,

( ) 0tx . Fig. 1.16. ilustreaz rspunsul n domeniul timp pentru cele trei cazuri.

Fig.1.16.Folosind condiiile iniiale ( ) 00 xx = , ( ) 00 vx = se pot determina constantele 1A i

2A , i rezult c:

+

+= ptxpt

p

xvex t cossin 0

00 (1.80)

i din reprezentarea vectorial se obine:2

0020

2

++=

p

xvxA

(1.81)

i

00

0

xv

pxtg

+= (1.82)

Aa cum rezult din relaia (1.79) raportul de amortizare joac un rol important ndescreterea exponenial a vibraiei. n paragraful 1.1.1., s-a artat cum poate fideterminat constanta elastic a unui sistem simplu cu un grad de libertate.

Pentru determinarea raportului de amortizare se folosete metodadecrementului logaritmic.

Logaritmul natural al raportului a dou amplitudini succesive se numetedecrement logaritmic al amortizrii.

( )T

AeAe

xx

nTt

t

i

i

n

n

=== +

+

lnln2

(1.83)

unde Treprezint pseudoperioada vibraiei amortizate:

21

22

==

np

T (1.84)

Din ecuaiile (1.83) i (1.84) se obine:

22 1

2

1

2

=

=

n

n (1.85)

sau pentru sisteme slab amortizate ( )2,0


21/251

21

2= (1.86)deci, poate fi acceptat un raport de amortizare:

2

ln2

1

+

=i

i

x

x

(1.87)

Pe baza definiiei raportului de amortizare, se poate determina coeficientul deamortizare:

kmc 2= (1.88)

1.2.3. Vibraii libere cu amortizare uscat

Frecarea coulombian sau frecarea uscat intervine cnd un corp alunec pe osuprafa rugoas. Pentru ca micarea s nceap, trebuie nvins fora de frecare.Fora de frecare este n opoziie cu sensul vitezei i, deci este constant pe

poriunile pe care viteza are semn constant.Folosind modelul de translaie (fig. 1.17.) i notnd cuR fora de frecare maxim,

ecuaia de micare poate scris n forma:xRsignkxxm =+ (1.89)

Fig. 1.17.

Notnd cuk

Rxst = , aceasta are semnificaia de sgeat static a elementului elastic

produs de o for ce are valoarea forei de amortizare uscat. Dac se considerintervalul de timp n care viteza are semn constant i se nlocuiete:

stxkR =

(1.90)ecuaia (1.89) se scrie:

( ) 0=++ xsignxxkxm st (1.91)Fcnd schimbarea de variabil

xsignxxx st +=1 (1.92)

ecuaia (1.91) devine:011 =+ kxxm

(1.93)i are soluia:

tAtAx nn cossin 211 += (1.94)

n carem

kn =2 , iar soluia (1.94) este valabil ntr-un interval de timp n care viteza i

pstreaz semnul, deci ntre dou momente de timp consecutive n care viteza este nul.


22/251


23/251

23

Fig. 1.18.

Micarea se oprete cnd fora elastic nu poate nvinge fora de frecare. Acestlucru are loc la sfritul semiperioadei pentru care ( ) stnst xtxx . Deoarece, pentru afi ndeplinit aceast condiie, este necesar ca amplitudinea componentei armonice pentru

[ ]nn ttt ,1 s fie pozitiv, se poate concluziona cn este cel mai mare ntreg ce satisfaceinecuaia:

( ) 0120 > stxnx (1.102)

1.2.4. Rspunsul sistemelor vibrante liniare cu un grad de libertate la excitaia

impuls

O form special de excitaie este impulsul de scurt durat, frecvent utilizat ndeterminarea rspunsului unui sistem supus unei fore perturbatoare oarecare.

Conceptul de impuls unitar sau funcia lui Dirac, are urmtoarea definiiematematic:

( ) 0= at pentru at

( )

= 1dtat (1.103)

Prin definiie intervalul de timp n care funcia este diferit de zero este foarte mic, adiceste , la limit se apropie de zero, i amplitudinea funciei este nedefinit, dar aria de

sub curb este egal cu unitatea (fig. 1.19.).

Fig. 1.19.

Este clar c aria, deci valoarea integralei (1.103), este adimensional.Un impuls unitar aplicat la at= se noteaz ( )at . Atunci o for impuls de

mrime 0F aplicat la timpul at= se va scrie:

( ) ( )atFtF = 0 (1.104)


24/251

24

Rspunsul sistemului la un impuls unitate aplicat la , se va nota ( )th , iarrspunsul la un impuls unitate aplicat la at= se va nota ( )ath .

Se consider sistemul amortizat cu un grad de libertate cruia i se aplic o forimpuls( )tFkxxcxm 0=++ (1.105)

Pentru c durata este foarte scurt, 0 , se va considera cazul n care condiiileiniiale sunt nule, ( ) ( ) 000 == xx , i prin integrarea ecuaiei (1.105), n intervalul =t ,se poate scrie:

( ) ( ) ==++

0 0

0000

limlim FtFdtkxxcxm

(1.106)

unde

( ) ( )[ ] ( )+

=== 00limlimlim000 00

xmxxmxmdtxm

(1.107)

( ) ( )[ ] 000 00

limlim ==

xxcdtxc

=

00

0lim kxdt

Notaia ( )+0x arat c n timpul =t , se schimb viteza, dar nu exist oschimbare instantanee n deplasare. Din (1.106) i (1.107) se obine c:

( )m

Fx o=+0 (1.108)

ceea ce arat c, aplicarea unei fore impuls este echivalent cu condiia iniial ( ) 00 =x

i ( )m

Fvx 000 == .

n concluzie, rspunsul unui sistem amortizat la o for impuls se obine din (1.80)

( ) ptemp

Ftx

tn sin0 = , 21 = np , 0>t

( ) 0=tx , 0t

( ) 0=th , 0


25/251

25

( ) tm

th nn

sin1

= (1.111)

1.2.5. Vibraii forate neamortizate cu for perturbatoare oarecare

Un caz particular important de studiu al vibraiilor forate este acela cnd fora deexcitaie este arbitrar, iar forele de amortizare sunt neglijabile. Se consider modelulmecanic de translaie din fig. 1.20.

Fig. 1.20.

Ecuaia diferenial a micrii este:( )tFkxxm =+ (1.112)

Soluia general a acestei ecuaii este o suprapunere dintre ecuaia omogen 0x io soluie particular px , a ecuaiei neomogene.

pxxx += 0 (1.113)

Soluia ecuaiei omogene este dat de (1.64).Soluia particular a ecuaiei neomogene este numiti soluie sau vibraie forat.

Pentru determinarea ei exist mai multe metode. Una dintre cele mai folosite metode estemetoda variaiei constantelor. Se presupune c soluia este de forma:

tAtAx nnp cossin 21 +=

(1.114)

unde constantele 1A i 2A sunt funcii de timp ce urmeaz a fi determinate. Prin derivareasoluiei (1.114) se obine:( ) tAtAtAtAx nnnnnp cossinsincos 2121 ++= (1.115)

Pentru determinarea constantelor 1A i 2A se pune condiia:

0cossin 21 =+ tAtA nn (1.116)

Se deriveaz nc odat relaia (1.115) i rezult:( ) tAtAtsAtAx nnnnnnp sincoscossin 2121

2 ++= (1.117)

Ecuaia (1.112) se mai poate scrie:


26/251

26

( )tFm

xx n12 =+ ,

m

kn =2 (1.118)

nlocuind n ecuaia (1.118) solu

ia (1.114)

i (1.117) se ob

ine:

( )tFm

tAtAn

nn

1

sincos 21 = (1.119)

i mpreun cu ecuaia (1.116) constituie un sistem din care rezult:

( )

( )

=

=

ttFm

A

ttFm

A

n

n

n

n

sin1

cos1

2

1

(1.120)

sau prin integrare

( )

( )

=

=

t

n

n

t

n

n

tdttFm

A

tdttFm

A

0

2

0

1

sin1

cos1

(1.121)

Aceste constante se nlocuiesc n soluia (1.114) i se determin soluia particular:

( ) ( ) =t

nn

n

t

nn

n

p tdttFtm

dtttFtm

x00

sincos1

cossin1

(1.122)

Notnd variabila, n raport cu care se integreaz, cu , soluia se poate scrie:

( ) ( ) dtFmxt

n

n

p = 0 sin1 (1.123)i reprezint rspunsul sistemului la o excitaie cu for perturbatoare oarecare, n condiiiiniiale nule. n cazul general, dac sistemul nu are condiii iniiale nule, soluiasistemului neamortizat va fi:

( ) ( ) ( ) tv

txdtFm

tx nn

n

t

n

n

sincossin1 0

0

0

++= (1.124)

O alt metod, frecvent utilizat, este integrala de convoluie (Duhamel), n carefora ( )tF poate fi privit ca un tren de impulsuri cu amplitudine variabil (fig. 1.21.).

Fig. 1.21.


27/251

27

La un moment arbitrar =t , unui interval de timp foarte scurt , i corespunde

un impuls de mrime ( ) F , respectiv expresia matematic a impulsului( ) ( ) tF . Deoarece rspunsul sistemului la impuls unitar aplicat la momentul

=t este ( )th , contribuia impulsului ( ) ( ) tF la rspuns va fi:( ) ( ) ( ) = thFtx , (1.125)

aa c rspunsul total este:( ) ( ) ( ) = thFtx

(1.126)Fcnd pe 0 , se obine o sum integral, i deci:

( ) ( ) ( ) dthFtxt

= 0

(1.127)

care reprezint integrala de convoluie, unde ( )th se obine din (1.110) sau (1.111).Deci pentru sisteme neamortizate i condiii iniiale nenule, soluia general este dat derelaia (1.124).

1.2.6. Vibraii forate cu amortizare vscoasi for perturbatoare oarecare

Se consider cazul general cnd asupra sistemului, avnd modelul din fig. 1.22.acioneaz o for perturbatoare oarecare ( )tF i a crui ecuaie diferenial este:

( )tFkxxcxm =++ (1.128)

Fig. 1.22.Soluia general a acestei ecuaii se compune din soluia ecuaiei omogene 0x i o

soluie particular px , numiti vibraie forat.

Soluia ecuaiei omogene, numiti vibraie tranzitorie este de forma (1.79).Soluia particular a ecuaiei (1.128) se va lua de forma:

( )tux np = exp ,rc

c= ,

m

kn =2 (1.129)


28/251

28

unde ( )tuu = este o funcie particular de timp ce urmeaz a fi determinat din condiiaimpus soluiei (1.129) de a verifica ecuaia (1.128).

Prin impunerea acestei condiii se obine ecuaia:( ) ( ) ( )tFtukum n exp1 2 =+ (1.130)sau

( ) ( ) ( )tFtm

uu nn exp1

1 22 =+ (1.131)

a crei soluie va fi de forma (1.123), adic:

( ) ( ) ( ) ( )

dtFm

tut

nn

n

=0

2

21sinexp

1

1(1.132)

Soluia particular va fi:

( )[ ] ( ) ( ) dtFtmx

t

nn

n

p

= 02

2 1sinexp1

1

(1.133)

sau folosind notaia pentru pseudoperioad 21 = np , presupunnd sistemul

amortizat subcritic ( )1


29/251

29

2

0

20

0

1

=

=

n

k

F

mk

Fx

(1.137)

Notnd stxk

F=0 , reprezentnd sgeata static a elementului elastic sub aciunea unei

fore constante egale cu amplitudinea forei perturbatoare. Astfel, formula (1.137) sepoate scrie sub forma unui raport adimensional.

( )2

0

1

1

==

n

stx

xH

(1.138)

numit funcie de rspuns n frecven. Vibraia armonic forat va fi:t

xx

n

stp

sin

12

= (1.139)

Funcia de rspuns n frecven ( )H d amplitudinea i faza iniial arspunsului staionar al unui sistem neamortizat supus la o excitaie armonic.

Modulul funciei ( )H se numete factor de amplificare. n fig. 1.23. este

reprezentat grafic variaia sa n funcie de raportuln

.

Fig. 1.23.

Se constat c pentru ( )1,0n

, factorul de amplificare crete pn la infinit, iar

valoarea 0x este pozitiv, reprezentnd chiar amplitudinea vibraiei forate i artnd c

fora ( )tF i micarea sunt n faz. Dac raportul ( )00,1n

, atunci valoarea 0x este

negativ. n aceste caz fora perturbatoare i vibraia forat sunt n opoziie, iaramplitudinea acesteia din urm este 0x . Vibraia forat va fi:

( ) == txtxxp sinsin 00 (1.140)


30/251

30

Pentru cazul n care n = , ecuaia diferenial a micrii (1.135) devine:

t

m

Fxx nn sin

02 =+ (1.141)

Soluia particular a acestei ecuaii este de forma:ttxx np cos0= (1.142)

Derivnd i nlocuind n ecuaia (1.135) se obine:

nm

Fx

20

0 =

(1.143)Vibraia forat a sistemului este:

==

2sin

2cos

200

tm

tFt

m

tFx n

n

n

n

p (1.144)

Se constat (fig. 1.24.) c vibraia forat este modulat liniar n amplitudine i c

este defazat cu2

(un sfert de perioad) fa de fora perturbatoare. Crescnd

amplitudinea vibraiei forate, cresc i forele din elementul elastic, pn cnd acesteadepesc valoarea limit de rezisten, urmnd distrugerea acestuia. Acest fenomenpoart numele de rezonan i trebuie evitat. Aceast evitare poate fi fcut din proiectare, fie prin schimbarea pulsaiei forei perturbatoare, fie prin modificristructurale, modificnd mi k. n acele acionri n care turaia de regim este dincolo decea la care poate avea loc rezonana, se va trece rapid prin rezonan.

Fig. 1.24.

Soluia general a ecuaiei (1.135) este:( ) txtAx n sinsin 0++= (1.145)

unde A i sunt constante ce se determin din condiiile iniiale impuse soluiei (1.145).Dac pulsaia forei perturbatoare este n apropierea rezonanei, adic

n ,

micarea dat de (1.145) i reprezentarea n fig. 1.25. prezint fenomenul de bti.


31/251

31

Fig. 1.25.

n aceast vibraie amplitudinea variaz n timp, deci micarea este o vibraiemodulat n amplitudine.

Un alt caz, de for perturbatoare, frecvent ntlnit, este cel n care amplitudineaeste proporional cu ptratul pulsaiei. Aa se ntmpl n cazul micrii relative a maseim fa de suport, cnd acesta are o lege de micare amornic:

( ) trmtF sin2= (1.146)Factorul de amplificare este:

2

2

0

1

=

n

n

r

x

(1.147)

Diagrama de rezonan este dat n fig. 1.26.

Fig. 1.26.

Rspunsul total pentru excitarea sistemului cu o for perturbatoare (1.146) este:

( ) t

r

tAx

n

n

n

sin

1

sin2

2

++= (1.148)

unde constantele i se determin din condiiile iniiale impuse soluiei (1.148).

1.2.8. Vibraii forate cu amortizare vscoas cu for perturbatoare armonic

Se consider sistemul mecanic din fig. 1.22., asupra cruia acioneaz o forarmonic: ( ) tFtF sin0= .

Ecuaia diferenial a micrii sistemului este:tFkxxcxm sin0=++ (1.149)

a crei soluie general este compus din soluia ecuaiei omogene 0x i o soluie

particular px de forma membrului drept al ecuaiei (1.149).

Soluia ecuaiei omogene pentru cazul 1


32/251

32

( ) += ptAex tn sin0 (1.150)

se stinge n timp, fiind numiti vibraie tranzitorie.Soluia particular:( ) = txxp sin0 (1.151)

unde 0x este amplitudinea vibraiei forate, iar este defazajul dintre fora perturbatoare

i micare. O metod pentru determinarea acestor constante este nlocuirea soluiei(1.151) n ecuaia diferenial a micrii i identificarea termenilor. Se folosete ireprezentarea prin numere complexe.

Ecuaia de micare (1.149) se poate scrie n forma:0sin0 = ppp kxxcxmtF (1.152)

pentru care se poate utiliza reprezentarea vectorial ca n fig. 1.27.

Fig. 1.27.

Suma vectorial a vectorilor ce sunt reprezentai n fig.1.27. trebuie s fie nul.Proiectnd pe axele xO i yO , se obin ecuaiile:

0cos 002

0 =+ kxxmF

(1.153)0sin 00 = xcF (1.154)

Rezolvnd ecuaiile (1.153) i (1.154) se obine:

( ) ( ) 2222220

0

21

+

=+

=

ncn

st

c

c

x

cmk

Fx

(1.155)

i

2

1

2

=

n

ncc

c

tg

(1.156)

sau punnd n eviden factorul de amplificare,


33/251

33

222

0

21

1

+

=

nn

stx

x

(1.157)

i

2

1

2

=

n

ntg

(1.158)

n fig. 1.28. este reprezentat factorul de amplificare n funcie de raportuln

, avnd

parametru raportul de amortizare . Acestea se numesc diagrame de rezonan.Valorile maxime ale factorului de amplificare se obin pentru:

221

=

REZn

(1.159)

pentru care:

2

0

12

1

=

MAXstx

x(1.160)

Fig. 1.28. Fig. 1.29.

n fig. 1.29. se prezint variaia unghiului de defazaj n funcie de raportuln

pentru diferite valori ale raportului de amortizare, care se numesc diagrame de faz.

Se constat c pentru raportul 10 n

, fora i micarea sunt n opoziie.


34/251

34

Pentru cazul n care fora perturbatoare este: ( ) trmtF sin2= , se obineamplitudinea vibraiei forate,

( ) ( )2222

0

cmk

mrx

+= (1.161)

respectiv, factorul de amplificare:

222

2

0

21

+

=

nn

n

r

x

(1.162)

defazajul are aceiai expresie ca i n cazul precedent. Factorul de amplificare este

reprezentat grafic n funcie de raportuln

, avnd parametru raportul de amortizare n

fig. 1.30.

Fig. 1.30.

n ambele cazuri, soluia general este de forma:( ) ( ) ++= txptAex tn sinsin 0 (1.163)

unde i se determin din condiiile iniiale impuse soluiei (1.163), iar amplitudineavibraiei forate 0x este dat n primul caz de (1.155), respectiv n al doilea caz de

(1.161).n al doilea caz maximele factorului de amplificare se obin pentru:

221

1

=

REZn

(1.164)

avnd valorile:

2

0

12

1

=

MAXr

x(1.165)

1.2.9. Rspunsul complex n frecven


35/251

35

n paragraful precedent amplitudinea 0x i unghiul de faz, , ale variaiei

forate, s-au determinat prin proiecia pe axe a vectorilor rotitori ce corespund ecuaiei(1.152), din condiia ca suma acestor vectori s fie nul.Reprezentnd fora excitatoare n forma complex:

( ) tieFtF 0= (1.166)se nelege c excitaia va fi dat n forma (1.149) de partea imaginar din (1.166). Deasemenea, rspunsul ( )tx va fi partea imaginar a funciei ( )tx , unde ( )tx este soluiaecuaiei:

tieFxkxcxm

0=++ (1.167)

Soluia ecuaiei (1.167) poate fi presupus a avea forma:tieXx

0= (1.168)

unde 0X este amplitudinea complexi poate fi scris:ieXX = 00 (1.169)

unde amplitudinea 0X i defazajul sunt cele introduse n soluia (1.151). nlocuind

(1.168) n (1.167) se obine:

( ) icmkF

X+

=20

0 (1.170)

care poate fi scrisi n forma:

( )

nn

st

i

Hx

X

21

12

0

+

== (1.171)

unde ( )H este numit rspunsul complex n frecven i conine informaii asuprafactorului de amplificare i a unghiului de faz. ntr-adevr:

( )222

0

21

1

+

==

nn

stx

XH

(1.172)

i

2

1

2

=

n

ntg

(1.173)

Amndou informaiile se pot obine prin reprezentarea rspunsului complex nfrecven, n planul complex, numitdiagrama Nyquist. ntr-adevr:


36/251

36

( ) 222

2

21

1

+

=

nn

n

e HR

(1.174)

( )222

21

2

+

=

nn

n

m HI

(1.175)

astfel nct afixele numrului complex ( )H pentru ( ) ,0 sunt punctele din planulcomplex situat pe cercul:

( ) ( )2

2

2

4

1

4

1

=

++

nn

me HIHR

(1.176)

n fig. 1.31. se d aceast diagram pentru un sistem cu amortizare vscoas. Aceastdiagram este foarte util n examinarea rezultatelor experimentale.

Fig. 1.31.

1.2.10. Vibraii forate cu amortizare vscoasi for perturbatoare periodic

Funcia complex de rspuns n frecven ( )H este folosit n reprezentarearspunsului unui sistem amortizat supus la o excitaie armonic. n studiul vibraiilor sentlnesc frecvent fore perturbatoare care nu sunt armonice, dar sunt periodice. Oricefuncie periodic poate fi reprezentat printr-o serie de funcii armonice a cror frecvene

sunt multipli ntregi ai frecvenei fundamentale0

0

1

Tf = , unde 0T este perioada excitaiei.

O astfel de serie, cunoscut caserie Fourier, poate fi scris n forma:

( ) ( )

=

++=1

000 sincos2

1

n

nn tnbtnaatF ,0

0

2

T

=

(1.177)


37/251

37

unde n este un numr ntreg.Coeficienii seriei sunt dai de formulele:

( )

=2

2

00

0

0

cos2

T

T

n tdtntFT

a ,...2,1,0=n (1.178)

( )

=2

2

00

0

0

sin2

T

T

n tdtntFT

b ,...2,1=n

(1.179)

i reprezint o msur a participrii fiecrei armonice la funcia ( )tF , iar 021

a constituie

valoarea medie a cestei funcii.Seria Fourier (1.177)corespunztoare funciei ( )tF se poate prezenta i subform complex:

( )

=

++

+=

1

0

222 n

tinnntinnn nn eiba

eibaa

tF (1.180)

unde s-a inut cont de formulele:

2cos

00

0

tintinee

tn

+

= ;2

sin00

0

tintinee

tn

=

(1.181)Din relaiile (1.178) i (1.179) se constat c:

nn aa = ; nn bb = (1.182)i, deci relaia (1.180) devine:

( )

=

=

=

+=1

0 00

22 n n

tin

n

tinnn eceibaa

tF (1.183)

unde

20

0

ac = ;

2nn

n

ibac

= ; ( )

=2

2

0

0

0

01

T

T

tin

n dtetFT

c (1.184)

Relaia (1.183) reprezint forma comlex aseriei Fourier.

Deoarece rspunsul n frecven al unui sistem cu un grad de libertate, excitatarmonic, este (1.171)( ) tieFHx 0= (1.185)

Pentru o for periodic se poate folosi seria complex Fourier (1.183), fiind valabilprincipiul suprapunerii efectelor, n acest caz rspunsul complex va fi:

( )

=

=n

tin

neXtx0 (1.186)

Notnd, n ecuaia (1.185), ( )HFX 00 = , atunci se vede c:( )

nCnHi

nnnnn eCHCHX +

== (1.187)


38/251

38

unde

( )

nn

n

nin

H

0

2

0 21

1

+

= (1.188)

Din (1.188) se poate observa c dac o armonic 0n este apropiat de pulsaia

natural a sistemului, atunci va avea o contribuie mare n rspunsul sistemului, mai alesdac sistemul este slab amortizat. n cazul sistemelor neamortizate sunt create condiii derezonan pentru o armonic oarecare, dac nn =0 .

1.2.11. Aspecte energetice n studiul vibraiilor liniare. Amortizare structural

Dac se consider vibraiile libere ale unui sitem neamortizat i se nmulete prindtx termenii ecuaiei difereniale a micrii (1.59), se obine:

0=+ dtxkxdtxxm (1.189)Prin integrare se poate scrie:

=

=

t t

cc EEdtxmdt

ddtxxm

0 0

2

02

1 (1.190)

respectiv

=

==

x

x

x

x

pp

x

x

EEdxkx

dx

ddxkxdtxkx

0 0

0

0

2

2

(1.191)

Integrnd ecuaia (1.189) i innd cont de (1.190) i (1.191) se poate scrie:

mpcpc EconstEEEE ==+=+ 00 (1.192)

Deci, n cazul vibraiilor libere i neamortizate energia mecanic se conserv. De aceeaderivnd n raport cu timpul ecuaia (1.192) se obine:

0=dt

dEm (1.193)

care poate fi folosit n deducerea ecuaiei de micare a sistemului.n cazul sistemelor forate i amortizate cu amortizare vscoas se definesc

urmtoarele energii:a) Energia total a sistemului n vibraie, egal cu energia acumulat n

elementul elastic, cnd acesta are deformaoa maxim:202

1kXEp = (1.194)

Ea reprezint energia potenial maxim sau energia de deformaie maxim. b) Energia introdus n sistem, n decursul unei perioade, de ctre fora

perturbatoare armonic:

( ) ====T T T

F XFdtttXFdtxFFdxE0 0 0

0000 sincossin (1.195)


39/251

39

c) Energia disipat pe ciclu prin frecare vscoas, egal cu lucrul mecanic al foreide frecare:

( ) =====T T TT

dd XcdttcXdtxcdtxxcdxFE0 0 0

202220

0

2 cos (1.196)

din care rezult c energia disipat pe ciclu este proporional cu coeficientul deamortizare c, pulsaia forei perturbatoare i ptratul amplitudinii micrii.

Experiena arat c energia se disip n toate sistemele reale, chiari-n acelea ncare modelul mecanic nu conine amortizorul cu frecare vscoas, deoarece energia sedisip n elementul elastic, datorit frecrilor interne.

Frecarea intern, spre deosebire de frecarea vscoas, nu este proporional cuviteza. Experiena arat c pentru o categorie mare de materiale energia disipat pe ciclu,prin frecri interne, este proporional cu amplitudinea deplasrii:

20XEd = (1.197)

unde este o constant ce depinde de frecvena oscilaiilor armonice.Acest tip de amortizare, numit amortizare structural, este caracteristic

sistemelor cu ciclu de histerez (fig. 1.32.).

Fig. 1.32.

Comparnd ecuaiile (1.196) i (1.197) se poate deduce c un sistem care are amortizarestructurali este supus unei excitaii armonice este analog cu un sistem cu amortizarevscoas a crui coeficient de amortizare este:

=ec

(1.198)Cu aceast echivalare ecuaia (1.149) devine:

tFkxxxm

sin0=++ (1.199)

Folosind reprezentarea prin numere complexe, fora perturbatoare tF sin0 va fi

( )tim eFI 0 , legea de micarex va fi zIm , unde tiZez = este soluia ecuaiei:tieFkzzzm

0=++

(1.200)Deoarece tiz = , ecuaia (1.200) se poate scrie:

( ) tieFzikzm 01 =++ (1.201)


40/251

40

undeR

= se numete factor de amortizare structural, iar ( )ik +1 se numete

rigiditate complex.

nlocuind soluia complex n ecuaia (1.201) se obine:

ikmk

FZ

+=

20 (1.202)

unde Z se poate pune sub forma: ii eXeZZ == 0 (1.203)

Pe baza relaiilor (1.202) i (1.203), se obin factorul de amplificare i unghiul de faz

2

22

0

1

1

+

=

n

stx

X(1.204)

2

1

=

n

tg

(1.205)

Comparnd relaia (1.204) cu relaia (1.157) se constat c:

n

2= (1.206)

1.3. Probleme

1.3.1. Masa m din fig. 1.33. este aezat ntre dou arcuri elicoidale, avnd acelaidiametru dal spirei i acelai diametruD de nfurare. SumaNa numrului de spire alecelor dou arcuri este constant. S se exprime pulsaia proprie a sistemului n funcie denumrul de spire ale celor dou arce. n ce caz pulsaia este minim?

Fig. 1.33.

Rezolvare:Arcurile sunt legate n paralel, deci 21 kkk += , de unde:


41/251

41

+=

+=

113

4

213

4 11

8

11

8 NNND

Gd

NND

Gdk

Pulsaia proprie a sistemului este:

( )113

4

8 NNN

N

mD

Gd

m

kP

==

Pentru ca pulsaia s fie minim, trebuie ca numitorul s fie maxim, ceea ce are loc pentru

221N

NN == , adic:

mND

GdPm 3

4

2=

1.3.2. S se determine constantele elastice echivalente pentru sistemele oscilante din fig.1.34. n fig. 1.34. ai b, masa m este rigid legat de bara AB, considerat fr mas, iarn fig. 1.34. c, legtura se realizeaz prin articulaia O.

a b cFig. 1.34

Rezolvare:Arcurile 1k i arcurile 2k din fig. 1.34.a sunt legate n paralel. Arcurile

echivalente lor sunt legate n serie. Deci, se poate scrie:

21 2

1

2

11

kkk+= ,

de unde21

212kk

kkk

+=

n fig. 1.34. b toate cele trei arcuri sunt legate n paralel, deci:

321 kkkk ++=

Datorit legrii masei m de bara AB prin articulaia O, cele trei arcuri din fig.1.34. c au deformaii diferite, deci nu sunt legate n paralel. Se calculeaz constantaechivalent pentru primele dou arcuri. Din ecuaia de momente fa de O, se obine

222111 axkaxk = , iar din asemnarea triunghiurilor AOO' i ABB' rezult:


42/251

42

21

12

2

1

aa

xx

a

xx

+

=

obinndu-se deformaiile:( )x

akak

aaakx

222

211

21221

+

+= ;

( )x

akak

aaakx

222

211

21112

+

+= ,

respectiv constanta echivalent celor dou arcuri:

( )222

211

221212211

akak

aakk

x

xkxkke

+

+=

+=

Constanta echivalent a sistemului va fi:

( )32

22211

22121

3 kakak

aakkkkk e +

+

+=+=

Dac 21 aa = ,

321

214 kkk

kkk +

+=

iar dac 321 kkk == , rezult: 13kk=

1.3.3. Un cilindru din lemn, avnd densitatea , aria seciunii Si nlimea h, pluteten ap, parial scufundat, cum se arat n fig. 1.35.

Fa de poziia de echilibru acesta este deplasat cu 0x . S se deduc ecuaia

diferenial a micrii, pulsaia i legea micrii cilindrului. Se neglijeaz frecrile.

Fig. 1.35.

Rezolvare:n poziia de echilibru fora gravitaional i fora arhimedic i fac echilibru.

ntr-o poziie n care cilindrul este deplasat cux fa de poziia iniial se poate scrie:Sgxxm 0= sau 00 =+ SgxxSh

de unde 00 =+ xh

gx

i rezult:

0

h

gn = ; txx ncos0=


43/251

43

1.3.4. S se determine pulsaia proprie a oscilaiilor unei coloane de lichid, avndlungimea l, ntr-un tub manometric n form de U. (fig. 1.36.)

Fig. 1.36.

Rezolvare:Masa lichidului n micare este lSm = , iar fora care produce micarea esteSxgF 2= .Ecuaia de micare este:

02 =+ SxgxSl , sau 02

=+ xl

gx ,

de undel

gn

2=

1.3.5. S se determine ecuaia de micare i perioada pendulului simplu din fig. 1.37.,scufundat ntr-un lichid de densitate ( )00 > . Forele de rezisten se neglijeaz.

Fig. 1.37.

Rezolvare:

Legea lui Newton AFGTam

++= , unde AF este fora lui Arhimede, seproiecteaz pe direcia tangentei

sinsin AFmgml += sau ( ) 0sin0 =++ gVVVl de unde

( )0sin0 =

+

l

g

n cazul micilor oscilaii, se obine:


44/251

44

00 =

+

l

g

i( )g

lT0

2

=

1.3.6. Un corp de mas M, avnd o ax de simetrie ( ) ce trece prin centrul su demas, este suspendat prin trei fire simetric aezate fa de aceast ax. Se scoate corpuldin poziia de echilibru, prin rotire n jurul axei ( ) cu un unghi mic (fig. 1.38.). S sedetermine ecuaia diferenial a micilor oscilaii i s se stabileasc o metod pentrudeterminarea momentului de inerie al corpului n raport cu axa ( ) .

Fig. 1.38.

Rezolvare:n general trei fire asigur o bun stabilitate, dar formula ce se deduce n

continuare este independent de numrul de fire. n cazul suspendrii prin trei fire, pentru

unghiuri mici se poate scrie lR = i fora din fiecare fir3

gMT = . De asemenea, fora

tangenial, de readucere, va fi MgTF == sin33 .Aplicnd teorema momentului cinetic fa de axa ( ) , se poate scrie:

RFJ = 3 sau l

RMgJ

2

=

adic:

02

=+

lJ

MgR

de unde

=lJ

MgR

n

22

respectiv22

2

=

T

l

MgRJ

unde Teste perioada micilor oscilaii, care se msoar experimental.

1.3.7. Un cilindru de mas m i raz r se rostogolete fr s alunece pe o suprafacilindric de razR (fig. 1.39.). S se determine perioada micilor oscilaii fa de poziia


45/251

45

de echilibru. Care este perioada micilor oscilaii dac cilindrul se nlocuiete cu o sfermi razr?

Fig. 1.39.

Rezolvare:Folosind metoda energetic, se calculeaz energia cinetic a discului aflat n

micare plan, considernd axa Oz perpendicular pe planul micrii:22

21

21 zc JmvE += ,

unde

( )rRv = , r

rR

r

v == , 2

2

1mrJz =

Astfel, energia cinetic devine:

( ) ( ) 2222

22

4

3

2

1

2

1

2

1 rRm

r

rRmrrRmEc =

+=

Energia potenial este:( )( )cos1= rRmgEp

iar energia mecanic:

( ) ( )( ) cos14

3 22 +=+= rRmgrRmEEE pcm

Sistemul fiind conservativ, se poate scrie:

( ) ( ) 0sin2

3 2 =+= rRmgrRmdt

dEm

mprind cu , se obine ecuaia diferenial:

( )0sin

3

2=

+

rR

g

n cazul micilor oscilaii sin , ecuaia devine liniar:

( )0

3

2=

+

rR

g ,

i micarea este armonic cu perioada:

( )g

rRT

n 2

32

2 ==

Pentru sfer, se ine cont c 25

2mrJz = i se obine:


46/251

46

( )

g

rRT

5

72

=

1.3.8. S se determine ecuaia diferenial a micrii i perioada acesteia pentru modelulde translaie din fig. 1.40., presupunnd c arcul are masa m, uniform distribuit.

Fig. 1.40.

Rezolvare:Se consider un element dz din arc. Energia lui cinetic este

( )2

2

1

= x

L

zldzdEc , deoarece deplasarea elementului dzla cotazva fi x

L

z.

Energia cinetic a ntregului arc este:

22

002

322

2

6

1

32

1

32

1

2

1xmx

l

L

zxdzx

L

zlE

LL

L

carc ===

=

Energia cinetic total va fi:

226

1

2

1xmxMEc +=

iar energia potenial:2

2

1kxEp =

Energia mecanic a sistemului este:222

2

1

6

1

2

1kxxmxMEEE pcm ++=+= ,

de unde, aplicnd metoda energetic (1.193) i mprind cu x , se poate scrie ecuaia demicare:

03 =+

+ kxx

m

M ,respectiv perioada micrii:

k

mM

T 32+

=


47/251

47

1.3.9. Se consider sistemul vibrant din fig. 1.41., format din corpuri omogene, legatentre ele prin fibre flexibile i inextensibile. Dac n poziia de echilibru static corpului degreutate GQ 2= i se imprim viteza 0v , se cer:

a) ecuaia diferenial a micrii i legea de micare a corpului Q ;b) tensiunile din fire;c) valorile extreme ale tensiunilori valoarea maxim a vitezei 0v , astfel ca n tot

timpul micrii, firele s fie ntinse.

Fig. 1.41.

Rezolvare:Se aplicecuaia lui Lagrange

x

E

x

E

x

E

dt

d pcc

=

unde coordonata generalizatx reprezint deplasarea corpului Q din poziia de echilibrustatic.

Deoarece corpul Q are micare de translaie, scripetele fix 1O are micare de

rotaie cu axa fix, iar scripetele mobil 2O are micare plan, energia cinetic asistemului este:

2222

2

222

16

23

222

1

22

1

22

1

2

1x

g

G

R

xR

g

Gx

g

G

R

xR

g

Gx

g

QEc

=

+

+

+= ,

iar energia potenial este:

22

8

1

22

1kx

xkEp =

=

nlocuind n ecuaia lui Lagrange, se obine:

041

823 =+ kxx

g

G sau 02 =+ xx n

undeG

kgn 23

22 =

Soluia ecuaiei difereniale este de forma:tAtAx nn sincos 21 +=

iar n condiiile iniiale date ( ) 00 =x ; ( ) 00 vx = , legea de micare rezult:


48/251

48

tv

x nn

sin0=

Pentru determinarea tensiunilor din fire se separ corpurile ca n fig. 1.42. i seaplicprincipiul lui d'Alembert, obinndu-se urmtoarele ecuaii:

022

1 = Gxg

GT ,

+= t

g

vGT n

n

sin12 01

02

2

21 =R

xR

g

GRTRT

,

+= t

g

vGT n

n

sin2

52 02

022

2

32 =R

xR

g

GRTRT

,

+= t

g

vGT n

n

sin4

112 03

Fig. 1.42.

Valorile extreme ale acestor tensiuni sunt:

=

g

vGT n

e

0

112

=

g

vGT ne

02 2

52

=

g

vGT ne

03 4

112

Pentru ca firele s fie tot timpul micrii ntinse, trebuie ca tensiunile minime s fiepozitive, condiie din care rezult:

n

gv

11

80 <

1.3.10. S se deduc ecuaia diferenial a micrii sistemului din fig. 1.43., presupunndc bara OB de masm este orizontal n poziia de echilibru static i c efectueaz micioscilaii n jurul acestei poziii, sub aciunea forelor perturbatoare distribuite.


49/251

49

Fig. 1.43.

Rezolvare:Deplasarea vertical a punctului de pe bar situat la distana x de captul 0 va fi

( ) xtgtx =, , iar fiind un unghi mic, se poate scrie:( ) ( )txtx =,

Forele rezultante sunt:

klFe = , cLFa = , ( )dxtfL

xPdFP 0=

Aplicnd ecuaia de momente din principiul lui d'Alembertfa de axa fix 1Oz perpendicular pe planul micrii, se obine:

( ) ( ) ( )tfLPklcLmL

=++

33

2

022

2

1.3.11. O plac dreptunghiular de masmi suprafaA este legat la captul unui arcde constant k (fig. 1.44.). Dac perioada oscilaiilor plcii n aer este 1T, iarpseudoperioada oscilaiilor cnd placa este suspendat ntr-un vas cu un lichid vscos este

2T , s se deduc formula de calcul al coeficientului de amortizare i al coeficientuluidinamic de vscozitate.

Fig. 1.44.

Rezolvare:Aplicnd principiul lui d'Alembertpentru oscilaiile masei m n lichid, neglijnd

fora arhimedic, se obine:( ) 0=+++ mgxxkxcxm st ,

undex se msoar din poziia de echilibru static, deci:

stkxmg= ,2n

st m

k

x

g==

Ecuaia se poate scrie:02 2 =++ xxx n

unde


50/251

50

crc

c= , kmccr 2= ,

1

2

Tm

kn

== ,

iar pseudopulsaia este: 21 = np De aici,

( )22

1

2

2

122

=

TT

adic:

22

21

222

T

TT =

sau innd cont i de relaiile precedente se obine:

( )21

21

22

2

2

1

2

242

TT

TTm

T

x

TTgm

cst =

=

De asemenea, innd cont de definiia coeficientului dinamic de vscozitate, rezult:

ttt

a

A

c

xA

xc

xA

F===

undetA este aria suprafeei totale n contact cu lichidul. Ca urmare, se obine:

21

22

21

2TT

ATT

m

=

1.3.12. O elice de masm=2kg, avnd raza de giraie fa de axa sa de simetrie i=100mm,este suspendat printr-un fir de oel de diametru d=1,5mm i modul de elasticitate

transversal 291080 mNG = . Elicea are oscilaii de rotaie n aer, cu rezistena aerului

neglijabil, avnd perioada sT 21 = .a) S se determine lungimeaL a firului.

Dac se scufund elicea n ap, se constat o scdere a amplitudinii oscilaiilor n fiecareciclu cu 63%.

b) S se calculeze raportul de amortizare , pseudoperioada 2T i momentul deinerie aparent al elicei.

Rezolvare:a) Ecuaia diferenial a oscilaiilor de rsucire este:

0=+ kJ , undeL

GIk=

G fiind modulul de elasticitate transversal, Ip mometul de inerie (geometric) polar, alseciunii firului, iarL lungimea firului.Perioada oscilaiilor este:


51/251

51

GI

JLT

p

21 = , iar2miJ =

de unde

mJ

GTIL

p 2,024

21

==

b) Decrementul logaritmic este: 137

100lnln

2

===+j

j

, unde j este valoarea

extrem de ordinulj a lui , pentru care raportul de amortizare este:

16,028,6

1

2===

Pseudoperioada oscilaiilor se calculeaz din formula:21 = np

adic

sT

T 026,21 2

12 =

=

Momentul de inerie mecanic se poate calcula n aer din formula perioadei T1.Deoarece

L

GITJ

p

2

21

4=

prin analogie, se obine pentru momentul de inerie aparent n ap:

L

GITJ

p

apa 2

22

4=

Fcnd raportul i innd cont de relaia dintre T1i T2, se obine:

221

22

1

1

==

T

T

J

Japa

deci,

22

2

0205.01

mkgmi

Japa =

=

Ca urmare, datorit antrenrii apei i frecrii vscoase, aparent se produce o cretere a

momentului de inerie.

1.3.13. Se d sistemul vibrant din fig. 1.45., format din corpuri omogene legate ntre ele prin fire flexibile i inextensibile, iar frecrile sunt neglijabile. n poziia de echilibrustatic a sistemului cnd suportul inferior al arcului elicoidal este fixat (f=0), toateeforturile din fire au valoarea T0=6G. La un moment dat suportul ncepe s vibreze dup

legea: ( ) trtf 0sin = , undek

g=0 . S se determine:


52/251

52

a) Deformaiile statice ale arcurilor, ecuaia diferenial a micrii sistemului ipulsaia sa proprie;

b) Legea micrii forate a centrului C al scripetelui mobil;c) Eforturile din fire i valoarea maxim a lui rpentru ca acestea s fie ntinse tot

timpul micrii.

Fig. 1.45.

Rezolvare:Din condiia de echilibru static al scripetelui mobil se obine:

01000 =+ stkxGTT

6

2 R

k

Gxst ==

iar din condiia de echilibru static al troliului se obine:02 000 =+ stkRTRT

radk

GR

st 6

118

0==

Pentru deducerea ecuaiei difereniale a micrii se va folosi ecuaia lui Lagrange.Scripetele mobil are micare plan, iar scripetele fix i troliul au micare de rotaie. Sepot scrie urmtoarele relaii cinematice:

RVA 23= ; RVB 3= ; RIBAB 2==

R

x

311 == ;

3

2xVB

= ;

3

4xVA

= ;

R

x

3

23

= ;R

x

3

22

=

Energia cinetic a sistemului este:

2222

22222

2

15

3

2

2

44

2

2

2

1

32

22

21

3210

2110

21

xg

G

R

xR

g

GR

g

G

R

xR

g

G

R

xR

g

Gxg

GEc

=

++

+

+

+=

Energia potenial, fa de poziia de echilibru static, este:

( ) ( ) 22232 246

2

1

2

1x

R

Gfx

R

GkfxkEp +=+=

Se nlocuiete n ecuaia lui Lagrange:


53/251

53

x

E

x

E

x

E

dt

d pcc

=

,

i se obine:

tgR

rx

R

gx 0sin5

44 =+ ,

R

gn = 2

Soluia acestei ecuaii difereniale este:

pxxx += 0 ,

unde ( ) += tAx nsin0 ,

iar vibraia forat este de forma: txxp 00 sin=

Impunnd soluiei particulare s verifice ecuaia diferenial, se obine:2

02

020

5

nn

rXX =+ ,

de unde amplitudinea vibraiei forate devine:

( )r

rX

n

n

15

4

5 202

2

0 =

=

,

deci

trxp 0sin15

4=

Pentru determinarea eforturilor se separ corpurile 1 i 2 i se aplic principiul luid'Alembert(fig. 1.46.).

Fig. 1.46.

Se obin urmtoarele ecuaii:

( ) 010

1012 =++ fxxkxg

GGTT st

03

521 = Rx

g

GRTRT

03

223 = Rx

g

GRTRT

de unde

trR

GGT 01 sin45

2686 = ; r

R

GGTm 45

26861 =


54/251

54

trR

GGT 02 sin45

2486 = ; r

R

GGTm 45

24862 =

trRGGT 03 sin3166 = ; rRGGTm 31663 =

Pentru ca firele s fie ntinse, trebuie ndeplinit condiia:Rr 01,1<

1.3.14. Un motor electric de greutate G=12.000N cu turaia nominal n=1500rot/min,este montat la mijlocul unui suport, format din dou grinzi II6 coliniare, simplu rezematela capete, de lungime l=200cm. Rotorul motorului de greutate P=2000N, are oexcentricitate e=0,1mm. S se determine turaia critic a motorului, amplitudineavibraiilor de ncovoiere i forele dinamice transmise la reazeme.

Rezolvare:Pentru II6 din tabele rezult: Iz=935cm

4, cu care constanta electric a celor dougrinzi devine:

cmNIE

k z /235620200

9352101,248

3

2483

7

=

=

=

Pulsaia proprie i turaia critic se obin astfel:

18,13812000

981235620 =

=== sG

kg

m

kn , 30

crn

n =

de unde

min/13258,1383030 rotn ncr ===

Pentru determinarea amplitudinii vibraiei forate, se scrie ecuaia diferenial de micare:

teg

Pkxx

g

G sin2=+

Vibraia forat este de forma:tXxp sin0=

Impunnd condiia ca aceast soluie particular s verifice ecuaia diferenial, se obineamplitudinea vibraiei forate:

mmG

PeX

n

n 077,0113,1

13,1

12000

1,02000

1

2

2

2

2

0 =

=

=

unde

13,1==ncrn

n

Pulsaia forei perturbatoare este:


55/251

55

115730

1500

30=

=

= s

n

micarea avnd loc dincolo de rezonan

.

n lagre se transmite fora dinamic:

NXk

FD 9072

0077,0235620

20 =

=

=

1.3.15. Un vehicol avnd masa M=400kg (fig. 1.47.) se deplaseaz cu viteza v pe undrum denivelat, al crui profil poate fi aproximat prin legea trf sin= , avnd lungimeade und a denivelrii L=10m. S se determine factorul de amplificare la vitezelev1=24km/h, v2=96km/h i valoarea vitezei critice de mers, dac suspensia elastic areconstanta k=40N/mm.

Fig. 1. 47.

Rezolvare:

Ecuaia diferenial a micrii vehicolului este:( )fykyM = sau tryy nn sin22 =+

Vibraia forat a acestei micri este:

tr

tYy

n

p

sin

1

sin20

==

undeM

kn =2 . Deci, factorul de amplificare este:

( )2

0

1

1

==

n

r

YH

Lungimea de und a denivelrii fiind

2== vTvL

Factorul de amplificare devine:

( )( ) 22

0

21

1

Lk

Mv

r

YH

==


56/251

56

La v1=24km/h( )

21,1418,01

12

0 =

=r

Y

La v2=96km/h( )

82,1672,11

12

0 =

=r

Y

Rezonana are loc dac n = , adic:

hkmsmM

kLvcr /3,57/2

100

400

1040

14,32

10

2

3

==

==

1.3.16. O for perturbatoare periodic este aplicat unui sistem vibrant prin intermediulunui element elastic i a unui amortizor, al cror suport comun este pus n micare de o

cam, care se rotete cu viteza unghiular constant 0 (fig. 1.48.). S se determine legeamicrii forate a mesei m.

Fig. 1.48.

Rezolvare:O micare periodic poate fi reprezentat printr-o serie Fourier n forma:

( ) ( )

=

++=1

000 sincos2

1

n

nn tnbtnaatf

unde

( ) =

==0 0

0 0000 2

11T T

o

hdt

T

th

Tdttf

Ta

( ) =

==0 0

0 0

0

0

0

0

0cos2

cos2

T T

o

n tdtn

T

th

T

tdtntf

T

a

( ) =

==0 0

0 0

00

00

sin2

sin2

T T

o

nn

htdtn

T

th

Ttdtntf

Tb

deci

( )

=

=1

0sin

2 n n

tnhhtf

Ecuaia diferenial a micrii masei m este:

( ) ( ) xkfxkfxcxm22

= sau fk

fckxxcxm2

+=++


57/251

57

unde

=

=

1

00 cos

n

tnh

f

Cu aceasta ecuaia diferenial a micrii devine:

=

+=++

10

00 cossin24 n

tnch

tnn

khkhkxxcxm

,

sau restrngerea membrului drept, folosind reprezentarea vectorial,

( )

=

++=++1

022

022 sin4

2

1

4 nntnnck

n

hkhkxxcxm

unde

knctg n

02

= i, ncm

kn =2 ,

nm

c

2=

deci

( )

=

+

+=++

10

2

02

22 sin2412

1

42

n

n

n

n

nnn tnnn

hhxxx

Legea micrii masei m este:

( )

=

+

+

+

=1

02

0

22

0

2

0

sin

21

241

2

1

4 nn

nn

n

p tn

nn

n

n

hhx

unde

n

n

nn

n

n

arctg

=2

0

0

1

2

1.3.17. Sistemul din fig.1.49. reprezint modelul unui vibrator, a crui mas nerotitoareeste M-m i care este fixat de o fundaie printr-un arc de constant k i un amortizoravnd coeficientul de amortizare c. Dou mase 2m au micri de rotaie de sensuricontrare, cu aceiai vitez unghiular , i aceiai excentricitate e. S se determineecuaia de micare a sistemului, amplitudinea vibraiei forate a vibratorului iamplitudinea forei transmis la fundaie.


58/251

58

Fig. 1.49.

Rspuns:Ecuaia de micare este:

tmekxxcxM sin2=++ ,amplitudinea vibraiei forate a vibratorului este:

( ) ( )222

2

0

cMk

meX

+= ,

iar amplitudinea forei transmis la fundaie rezult:

( ) ( )222222

2

cMk

ckmeFt

+

+=

1.3.18.Se consider sistemul din fig. 1.50., avnd amortizare structural. Folosindmetoda punctelor de semiputere, s se determine din reprezentarea diagramei Nayquistfactorul de amortizare structural, constanta elastici masa sistemului.

Fig. 1.50.

Rezolvare:Folosind reprezentarea n complex pentru rezolvarea ecuaiei de micare:

( ) tFxikxm cos1 0=++

se obine receptana mecanic (1.202)ivu

kimkF

z+=

+=

20

1

2

22

2

1

11

+

=

n

n

ku


59/251

59

2

22

1

1

+

=

n

kv

Aceste relaii dau cercul:22

2

2

1

2

1

=

++

kkvu

Punctele din diagrama de rezonan pentru care corespunde o pierdere de energie egalcu jumtate din cea corespunztoare rezonanei se numesc puncte de semiputere (fig.1.51.).

Fig. 1.51. Fig. 1.52.

Din (1.196) rezult amplitudinea: ( )n

X=0

2

1

Folosind ecuaia (1.204) se obine: ( ) kFX o

n ==0 , i

2

22

1

1

2

1

+

=

n

adic

+=

1

2

2

n

=

1

2

1

n

Pentru 1


60/251

60

Rk 21= i 2n

km

=

1.3.19. O main de mas M este fixat elastic de o fundaie. Pulsaia proprie estenecunoscut. Pentru determinarea acesteia se fixeaz rigid de masa M un vibrator demas m i frecven variabil, care realizeaz rezonan la pulsaia . Se cere pulsaianaturaln.Aplicaie numeric: M=10.000kg, m=1.500kg, =31,4s-1

Rspuns:

161,33 =+

= sM

mMn

1.3.20 - 1.3.22. Pentru sistemele mecanice din fig. 1.53., 1.54. i 1.55., s se determineecuaiile difereniale ale micrii i pulsaiile proprii.

Fig. 1.53. Fig. 1.54. Fig. 1.55.

Rspuns:

1.3.20. ( ) 022 =++ kxxMm m

kn

+=

2

22

1.3.21. ( ) 0832 =++ kxxMm

m

k

n 32

82

+=

1.3.22. ( ) 0238 =++ kxxMm m

kn 38

22+

=

1.3.23.- 1.3.25. Pentru sistemele mecanice din fig. 1.56., 1.57. i 1.58., s se determineecuaiile difereniale ale micrii i condiiile de stabilitate ale micilor oscilaii.


61/251

61

Fig. 1.56. Fig. 1.57. Fig. 1.58.

Rspuns:

1.3.23. 0cos2sin2 22 =+ lkmglml sau

022 =

+ g

m

lk

mglk >

1.3.24. 0sin2

cos3

22

=+ l

mgklml sau

036 =

+ g

m

lk

2

mglk >

1.3.25. ( ) 02sin 22 =+ alkmglml sau

012

2

=

+

l

g

l

a

m

k

l

g

l

a

m

k>

2

12

1.3.26. O elice, cu numr par de pale, este suspendat printr-un fir i are oscilaiile de

rotaie n jurul axei sale de simetrie, n aer, cu perioada T1. Dac se aeaz simetric fade axa de rotaie la distane degale dou corpuri (magnei) de mas egalm, oscilaiile auperioada T2. S se determine momentul de inerie al elicei fa de axa sa de simetrie (fig.1.59.).

Fig. 1.59.


62/251

62

Rspuns:

21

22

21

22

TT

TmdJ

=

1.3.27. Un corp de rotaie al crui moment de inerie J fa de axa sa de simetrie estecunoscut, este suspendat printr-un fir. Perioada oscilaiilor de rsucire n aer este T1, iar nulei T2. S se determine coeficientul de vscozitate al uleiului.

Rspuns:

21

21

224

TT

TTJc

=

1.3.28. S se determine rspunsul unui sistem cu un grad de libertate supus unei excitaiitreaptF0, n condiiile iniiale nule.

Rezolvare:Considernd sistemul neamortizat, rspunsul la impuls unitar este:

( ) tm

th nn

sin1

=

nlocuind n (1.127) se obine:

( ) ( ) ( )tk

FdtmFtx n

t

n

n

cos1s

vibratiile_sistemelor_mecanice

Documents

Transcript of vibratiile_sistemelor_mecanice