1

Student: Profesor:

Tusan Vlăduţ – Ionuţ Prof.Dr.Ing. Liviu MICLEA

2

Transformata Fourier

Introducere

Sistemele liniare invariante în timp sunt de departe cele mai studiate și utilizate sisteme în

prelucrarea semnalelor. Un sistem se numește liniar dacă răspunsul acestuia la suma a două

semnale este identic cu suma răspunsurilor la fiecare semnal în parte. Un sistem se numește

invariant în timp dacă răspunsul său la un semnal este același indiferent de momentul când este

aplicat semnalul respectiv la intrarea sistemului. Din teoria sistemelor, se știe că funcțiile proprii ale

sistemelor liniare invariante în timp (pe scurt, SLIT) sunt (co)sinusoidele. Altfel spus, dacă la intrarea

unui SLIT aplicăm

o cosinusoidă pură de frecvență ω0, atunci la ieșire vom avea tot o cosinusoidă pură ω0 (bineînțeles,

având altă amplitudine și fază). Acest fapt permite studierea comportamentului sistemului la un

semnal de intrare oarecare, cu condiția să putem scrie semnalul respectiv ca o sumă (fie și infinită)

de cosinusoide.

Semnalele periodice pot fi scrise ca o sumă numărabilă de componente sinusoidale ale căror

amplitudini și faze pot fi calculate cu ușurință din semnalul respectiv, acestea fiind seriile Fourier.

Transformata Fourier generalizează aceasta descompunere de semnal într-o sumă de sinusoide și

pentru semnalele neperiodice.

Să începem prin a studia forma spectrului semnalului periodic în funcție de perioada sa . Se

observă că pe măsură ce crește, componentele din spectrul semnalului se “îndesesc”. Acest lucru

este

natural, întrucât creșterea lui este echivalentă cu scăderea frecvenței fundamentale ¸ și

deci, cu scăderea intervalului de frecvență între două componente succesive. Figura 1. ilustrează

un exemplu. Evident, la limită, când T → ∞, componentele frecvențiale se “contopesc”, iar spectrulsemnalului devine de natură continuă

3

Ajungem, deci, la definiția transformatei Fourier.

Fie un semnal de modul integrabil:

Atunci, se definește transformata Fourier a semnalului ca fiind semnalul obținut după:

(1)

(2)

Semnalul original x(t) poate fi recuperat din transformata sa prin aplicarea operatorului invers: (3)

Figura 1: Forma spectrului unui semnal periodic în funcție de perioadă: (a) Semnal periodic

de perioada T. (b) Modulul coeficienților Anc pentru semnalul din figura (c) Semnal periodic

deperioada T1>T. (d) Modulul coeficienților Anc pentru semnalul din figura (c).

Este important, pentru înțelegerea noțiunilor, să observăm similitudinile și diferențele între

relațiile (2) și (3) și cele care descriu descompunerea în serie Fourier complexă

periodic:a unui semnal

4

Se observă că semnificația valorilor X(ω) este similară cu cea a coeficienților Anc, cu singura diferență

că, în cazul transformatei Fourier, numărul de cosinusoide în care se descompune semnalul devine

infinit nenumărabil. Modulul |X(ω)| ¸si faza ϕ(ω) ale cantității complexe X(ω)= |X(ω)|

exp(jϕ(ω)) sunt amplitudinea, respectiv faza cosinusoidei de frecvență ω ce intră în descompunerea

spectrală a semnalului x(t). Într-adevăr, observând că, în ipoteza unui semnal x(t) cu valori

reale, valorile

transformatei Fourier situate simetric față de 0 sunt complex conjugate:

(4)

Atunci (3) poate fi rescrisă ca:

(5)

În continuare, folosind faptul că , avem z+z* =2 {z} ¸si că

{X(ω) exp(jωt)} = {|X(ω)| exp(j(ωt + ϕ(ω)))} = |X(ω)| cos(ωt + ϕ(ω)), (5) devine:

, (6)

relație ce justifică afirmația despre semnificația modulului și fazei lui .

5

Proprietățile transformatei Fourier

Transformata Fourier este liniară.

Fie x(t) si y(t) două semnale de modul integrabil și fie a și b două constante complexe. Liniaritatea transformatei Fourier se traduce prin faptul că aceasta comută

(7)

Deplasarea în timp cu o cantitate constantă t0 a unui semnal corespunde unei deviații induse în faza

spectrului:

(8)

(9)

Deplasarea spectrului unui semnal cu o frecvență constantă ω0 corespunde înmulțirii semnalului în

timp cu o cosinusoidă complexă:

(10)

6

(11)

O contracție a semnalului cu o constantă corespunde unei relaxări a spectrului cu

aceeași constantă și vice-versa.

unde

Se aplică relația precedentă.

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

7

Transformata Fourier conservă energia semnalului.

(17)

(18)

(19)

Se folosește simetria între relațiile care dau transformata Fourier directă și inversă.

Spectrul semnalului obținut prin convoluția temporală a două semnale se obține ca produsul

spectrelor celor două semnale. Fie x(t) și y(t) două semnale de modul integrabil, și fie z(t) produsul

lor

de convoluție:

(20)

Atunci, între transformatele Fourier ale celor trei semnale ale loc relația:

(21)

8

(22)

Spectrul semnalului obținut prin produsul a două semnale se obține prin convoluția spectrelor

celor două semnale. Fie x(t) ¸si y(t) două semnale de modul integrabil, și fie z(t) semnalul obținut

prin

produsul lor:

, (23)

Atunci, între transformatele Fourier ale celor trei semnale are loc relația:

(24)

9

(25)

Transformatele Fourier ale câtorva semnale de interes

(26)

În relația de mai sus s-a folosit proprietatea impulsului Dirac:

Figura 2: Impulsul Dirac si transformata sa Fourier

(27)

1

0

Calculul transformatei Fourier a semnalului constant x(t)=1 nu poate fi făcut direct, datorită

imposibilității calculului limitei . Pentru rezolvarea problemei, se folosește

rezultatul anterior (conform căruia transformata Fourier a unui impuls Dirac este funcția constantă)

și se aplică proprietatea simetriei transformatei Fourier, care afirmă că, cu excepția unor constante și

a unei operații de simetrizare, două funcții fac pereche Fourier indiferent care din ele e exprimată

în

timp și care în frecvență. Rezultatul anterior poate fi scris compact ca:

(28)

de unde, aplicând relația (19), avem:

(29)Intr-adevăr, calculând transformata Fourier inversă a semnalului , avem

ceea ce completează demonstrația noastră.

(30)

Figura 3: Semnalul constant și transformata sa Fourier

Având în vedere semnificația transformatei Fourier a unui semnal, era normal să ne așteptăm la

acest rezultat, care se interpretează în sensul că în descompunerea unui semnal constant ca o sumă

de

sinusoide intră numai componenta de frecvență zero, adică semnalul constant!

La fel ca și în cazul semnalului constant, calculul transformatei Fourier a funcției x(t) = cos( 0t)

nu poate fi abordat în mod direct, ci tot folosind rezultate deja determinate și proprietăți ale transformatei Fourier.

1

010

Pornind de la forma complexă a descompunerii unui semnal periodic în serii Fourier:

și folosind rezultatul anterior și teorema deplasării în frecvență, avem succesiv:

Figura 4: Semnalul cosinusoidal pur și transformata sa Fourier

(31)

Transformata Fourier a semnalului x(t) = sin(ω0t) se poate deduce în mod absolut

similar pornind de la:

(32)

La fel ca în cazul transformatei Fourier a semnalului constant, rezultatul obținut mai sus este

intuitiv, întrucât arată faptul că descompunerea unui semnal cosinusoidal pur de frecvență 0 ca o

sumă de cosinusoide este compusă dintr-o singur cosinusoidă, și anume cea pe frecvența

respectivă!

1

111

Fie semnalul:

(33)

Transformata Fourier a lui x(t) se calculează direct precum:

Unde cu sinc(x) am notat funcția sinus cardinal:

(34)

(35)

Figura 5: Semnalul de tip box si transformata Fourier

Aplicând rezultatului anterior teorema simetriei și folosind faptul că funcția “box” e pară, rezultă că

transformata Fourier a unei funcții de tip sinc este o funcție box:

Rezultatul de mai sus este extrem de util în studiul filtrelor lineare.

(36)

1

212

Figura 6: Semnalul de tip sinus cardinal și transformata sa Fourier

Aplicații ale transformărilor Fourier

Transformarea Fourier a unui semnal permite analiza semnalului în raport cu frecvența, analiză

extrem de importantă în studiul ulterior al modului în care semnalul se propagă prin diverse sisteme.

Transformata Fourier Discretă (TFD) și Transformata Fourier Discretă Rapida (TFDR) sunt instrumente

care permit calculul facil al spectrului de frecvență al unei secvențe de date. Spectrul secvenței de

date realizat pe baza relației

, (37)

pentru n=0,1,2,...,N-1

reprezintă un “alter ego” al acesteia, putând fi folosit la identificare, clasificare, comparare.

Trebuie să vedem acum dacă spectrul secvenței de date este același cu spectrul semnalului din

care aceasta

s-a prelevat. Prin analogie cu teorema Fourier, care se referă la semnale periodice care au un

spectru discret, trebuie menționat că, similar în cazul TFD, dacă dispunem de un spectru discret,

înseamnă că secvența de date de la care acesta provine este periodică. Deci secvența de N date

căreia i se aplică TFD, este privită ca provenind dintr-un semnal periodic, având perioada egală cu N

Te unde Te reprezintă perioada de eșantionare. Reciproc, dacă aplicăm TFD unei secvențe de N date,

semnalul

căruia îi va corespunde spectrul rezultat se obține multiplicând prin periodicitate această secvență.

Cele menționate au consecințe importante. Să analizăm exemplul următor în care TFD este

aplicată inițial unei secvențe ce conține un număr întreg de perioade, dintr-un semnal sinusoidal,

situație reflectată fidel în spectrul său.

1

313

Figura 7: Spectrul dat de TFD pentru secvențele de date

Se observă că în al doilea caz, atunci când secvența nu conține un număr întreg de perioade, spectrul

rezultat nu este cel corect fiindcă el este în fapt spectrul semnalului rezultat prin multiplicarea prin

periodicitate a secvenței , reprezentat în figura 7.b, care nu este sinusoidă. În concluzie, dacă trebuie

determinat spectrul unui semnal folosind TFD, atunci în cazul în care semnalul este periodic,

secvența de N eșantioane “prelevată” din semnal trebuie să conțină un număr întreg de perioade.

Atunci când se preia o porțiune din N eșantioane dintr-un semnal, fără a le schimba valoarea, se zice

că se preia o . Am văzut ca prin TFD putem obține spectrul corect numai

dacă semnalul analizat este periodic și numai preluând o fereastră dreptunghiulară care conține

un număr întreg de perioade.

1

414

Figura 8: Porțiune de semnal preluată cu și fără ferestruire

În caz contrar, alterarea spectrului de frecvență se datorează cu prioritate zonelor de margine ale

ferestrei. Acestea sunt privite ca ”făcând parte din semna”, ori este evident că semnalul original

nu

are astfel de salturi, precum zonele încercuite din figura 8.a.

Soluția de înlăturare a variațiilor mari din zona de margine a unei porțiuni de semnal, o constituie

aplatizarea acestora. Acesta este obiectivul metodelor de ”ferestruire”. Algoritmul este cel descris

de

relația

(38)

1

515

Se observă că porțiunea prelevată se înmulțește cu funcția , numită ”funcție fereastră”. Așa

cum este arătat în figura 8, funcția fereastră trebuie să aibă amplitudinea unitară pe toată lungimea

porțiunii de semnal prelevate, mai puțin în zonele de capete unde ea trebuie să descrească uniform

către zero. Există mai multe funcții care au această proprietate, unele dintre ele consacrate deja în

literatura de specialitate, ca de exemplu: fereastra triunghiulară (relația 39), fereastra Welch (relația

40), fereastra Hanning (relația 41).

(39)

(40)

(41)

În exemplele date, M poate fi egal cu lungimea secvenței prelevate (N), sau poate fi mai mic decât N,

și atunci algoritmii 39, 40, 41 se ”împart în două”, câte o jumătate pentru fiecare capăt al secvenței,

așa cum este ilustrat în figura 8.

În concluzie, procedeul numeric de ferestruire se aplică secvenței numerice căreia urmează să-i fie

aplicată transformarea TFD sau altă transformare. Ferestruirea are rolul de a reduce contribuția

nefastă a porțiunilor de capăt ale secvenței prelevate, în spectrul de frecvență al semnalului. Tehnica

de ferestruire mai este folosită pentru a ajusta și alți algoritmi de procesare numerică și anume pe cei

cu rolul de filtru numeric.

Spectrul unui semnal nu oferă o informație intuitivă, sub aspectul energetic, a contribuției

fiecărei armonici la alcătuirea semnalului. Pentru aceasta se folosește o altă mărime denumită

, care arată contribuția energetică a fiecărei armonici. Prin analogie cu energia

semnalelor analogice, energia totală a unei secvențe de N eșantioane se exprimă ca fiind suma

pătratelor eșantioanelor. Energia semnalului în transformata Fourier se regăsește cu ajutorul

teoremei Parseval:

(42)

Contribuția la energia totală a semnalului, corespunzătoare fiecărei armonici rezultate prin transformarea Fourier a semnalului, este următoarea:

(43)

Unde sunt coneficienții complecși rezultați din transformarea Fourier a semnalului .