1.TRANSFORMARI GEOMETRICE 2D

7/22/2019 1.TRANSFORMARI GEOMETRICE 2D

1/18

Trans ormariTrans ormariTrans ormariTrans ormariTrans ormariTrans ormariTrans ormariTrans ormari EOMETRICE 2DEOMETRICE 2DEOMETRICE 2DEOMETRICE 2DEOMETRICE 2DEOMETRICE 2DEOMETRICE 2DEOMETRICE 2D

1

Prof. univ. dr. ing. Florica MoldoveanuProf. univ. dr. ing. Florica MoldoveanuProf. univ. dr. ing. Florica MoldoveanuProf. univ. dr. ing. Florica Moldoveanu


2/18

TransformariTransformari GEOMETRICE(1)GEOMETRICE(1)

Obiectele 2D/3D sunt reprezentate prin:

Coordonatele varfurilor, raportate la un sistem de coordonate

carteziene 2D sau 3D;

Atribute to olo ice laturi ciclul de laturi al unei fete s.a.

2

Atribute de aspect: culoare, tipul de interior pentru suprafete 2D,

atribute de material(ex.: reflexia/refractia luminii de catre suprafata),

texturi, s.a.

Transformarile geometrice se aplica (coordonatelor) varfurilorobiectului si nu afecteaza atributele sale!

EGCEGCEGCEGC Transformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2D


3/18

TransformariTransformari GEOMETRICE(2)GEOMETRICE(2)

- Sunt operatii fundamentale in sinteza imaginilor

- Folosite entru:

3

- Redarea desenelor la diferite marimi

- Compunerea desenelor sau a scenelor 3D

- Realizarea animatiei

- Transformarea obiectelor dintr-un spatiu logic, in care sunt

definite, in spatiul fizic de afisare

- Etc.



4/18

1 .1 . T R A N S F O R M A R IT R A N S F O R M A R I G E O M E T R I C EG E O M E T R I C E E L E M E N T A R EE L E M E N T A R E

TransformariTransformari GEOMETRICE 2D(1)GEOMETRICE 2D(1)

4

Translatia Scalarea fata de origine

Rotatia fata de origine

Forfecarea fata de origine Oglindiri fata de axele principale, fata de origine



5/18

TransformariTransformari geometricegeometrice 2D2D elementareelementare(1)(1)

Translatia

Este definita printr-un vector, T[tx,ty].

5

Se doreste o reprezentare matriciala a transformarilor, necesara pentrucompunerea lor.

P(x,y) [x,y] si P(x, y) [x,y]Se doreste: [x, y] = [x, y] * M Nu exista o matrice de 2x2 pt exprimarea

translatiei in coordonate cartezieneEGCEGCEGCEGC Transformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2DTransformari geometrice 2D


6/18


Scalarea fata de origine

Este definita prin 2 numere reale, de regula pozitive:

- sx - scalarea de-a lungul axei OX

- - -

6

Efecte:..

sx = sy , scalare uniforma



7/18


Rotatia fata de origine

Relatia dintre coordonatele carteziene sicoordonatele polare ale unui punct

7



8/18

TransformariTransformari geometricegeometrice 2D2D fatafata de unde un punctpunct oarecareoarecare

din plan(1)din plan(1)

Scalarea fata de un punct oarecare din plan

- Punctul fix al transformarii este un punct oarecare F(xf,yf) coordonatele sale nu semodifica prin aplicarea transformarii.

- Scalarea se aplica vectorului FP:x xf = sx*(x-xf)

8

y yf = sy*(y yf)

Rezulta:x = x*sx + xf xf*sxy = y*sy + yf yf*sy

Nu poate fi exprimata printr-o matrice de 2x2!



9/18

TransformariTransformari geometricegeometrice 2D2D fatafata de unde un punctpunct oarecareoarecaredin plan(2)din plan(2)

Rotatia fata de un punct oarecare din plan

Punctul fix al transformarii este F(xf,yf)

Rotatia se aplica vectorului FP, in jurul punctului F:

x xf = (x-xf)* cos(u) - (y yf) * sin(u)

9

y yf = (x-xf)* sin(u) + (y yf) * cos(u)

Rezulta:x = x*cos(u) y*sin(u) + xf xf*cos(u) + yf*sin(u)y = x*sin(u) + y*cos(u) + yf xf*sin(u) yf*cos(u)

Nu poate fi exprimata printr-o matrice de 2x2!



10/18

CompunereaCompunerea transformarilortransformarilor geometricegeometrice 2D2DDe ce este necesara?

- Pentru a aplica o singura transformare care inglobeaza o secventa de transformari elementare,

in locul aplicarii in secventa a transformarilor elementare; de ex., se aplica tuturor varfurilor o

transformare care inglobeaza scalare, rotatie si translatie in loc sa se aplice fiecarui varf secventa

de transformari elementare.

- Matricea unei transformari compuse se obtine prin inmultirea matricilor transformarilor

10

e emen are. xemp u:

RS = R*S =

SR = S*R =

- Translatia fata de origine nu poate fi reprezentata printr-o matrice de 2x2!

- Aceasta impune reprezentarea transformarilor in coordonate omogene:

RS # SR



11/18

ReprezentareaReprezentarea transformarilortransformarilor geometricegeometrice 2D in2D incoordonatecoordonate omogeneomogene(1)(1)

Coordonate omogene:

11



12/18

ReprezentareaReprezentarea transformarilortransformarilor elementareelementare 2D in2D incoordonatecoordonate omogeneomogene(2)(2)

12



13/18

TransformarileTransformarile inverse aleinverse ale transformarilortransformarilorelementareelementare

T(tx, ty): matricea translatiei, in coordonate omogene

S(0, 0, sx, sy): matricea scalarii fata de origine, in coordonate omogene

R(0,0,u): matricea rotatiei fata de origine, in coordonate omogene

13



14/18

TransformariTransformari geometricegeometrice 2D2D compusecompuse(1)(1)

Exemple de transformari compuse:

Expresiile matematice ale scalrii i rotaiei fa de un

punct oarecare din plan se pot obine prin compunerea urmtoarelor

transformri:

14

Translaia prin care punctul fix al transformrii ajunge n origine: T(-xf, -yf);

Scalarea / rotaia fa de origine: S(0,0,sx,sy)/R(0,0,u);

Translaia invers celei de la punctul 1: T(xf, yf).



15/18

TransformariTransformari geometricegeometrice 2D2Dcompusecompuse(2)(2)

15



16/18

AlteAlte transformaritransformari geometricegeometrice 2D(1)2D(1)

Oglindirea

Fata de axa OX

Fata de axa OY

16

Fata de origine

Fata de dreapta x=y



17/18


Oglindirea fa de o dreapt oarecare

Se exprima ca transformare compusa prin inmultirea matricilor care exprima urmatoarele

transformari:

1. O translaie, astfel nct dreapta sa treaca prin origine.

2. O rotaie fa de origine, a.. dreapta s se suprapun peste una dintre axele principale.

17

3. Oglindirea fa de axa principal peste care a fost suprapus dreapta.

4. Rotaia invers celei de la punctul 2.

5. Translaia invers celei de la punctul 1.

n notaie matricial:M = T * R* O* R-1 *T-1 (folosind vectori linie) sau M = T-1 * R-1 *O *R *T (folosind vectori coloana)

Deduceti T, R, O, atunci cand dreapta este data printr-un punct, (xd, yd) si o directie, D[a, b].



18/18


Forfecarea

Este definita prin 2 numere reale:

Fx: factorul de forfecare pe axa OX

18

Deduceti formele matriciale aletransformarilor de forfecare:

1. Translatie prin care punctul (xf, yf) ajunge in origine2. Forfecarea fata de origine3. Translatia inversa celei de la pasul 1

Forfecarea fata de un punct oarecare din plan, (xf,yf) , exprimata ca transformare compusa:


1.TRANSFORMARI GEOMETRICE 2D

Documents

Transcript of 1.TRANSFORMARI GEOMETRICE 2D