Capitolul 4

Caracteristici geometrice ale secţiunilor barelor

4.1. Momente statice

Se consideră secţiunea unei bare (fig. 4.1) raportată la două sisteme de referinţă cu axe paralele: yCz – sistem central, adică având originea în centrul de greutate al secţiunii şi y0Oz0 – sistem necentral.

Sunt cunoscute din Mecanica teoretică formulele pentru calculul coordonatelor centrului de greutate C faţă de sistemul de axe y0Oz0 :

, , (4.1)

în care A este aria secţiunii barei, iar Sy0 şi Sz0 sunt momente statice definite prin relaţiile

, . (4.2)

Dacă se întâmplă ca sistemul de referinţă iniţial y0Oz0 să fie sistem central, atunci din (4.1) se obţine . Ca urmare, având în vedere (4.2) deducem că momentele statice în raport cu axele centrale sunt nule:

, . (4.3)

Fig. 4.1. Fig. 4.2.

4.2. Momente de inerţie axiale, polare şi centrifugale

1

Relaţiile de definiţie pentru momentele de inerţie sunt următoarele:- faţă de axele centrale

, . (4.4)

- faţă de axele necentrale

, . (4.5)

Între coordonatele în cele două sisteme de axe există relaţiile ; . (4.6)

Ca urmare

,

sau . (4.7)

Analog . (4.8)

Momentele de inerţie polar (Ip) şi centrifugal (Iyz) sunt definite prin relaţiile

. (4.9)

.

(4.10)Momentul centrifugal în raport cu axele necentrale are expresia

(4.11)

Relaţiile (4.7), (4.8) şi (4.11) sunt cunoscute ca formulele lui Steiner.Este de reţinut proprietatea conform căreia momentul centrifugal este

nul dacă cel puţin una dintre axele de referinţă este şi axă de simetrie a secţiunii. În cazul considerat (fig. 4.2), axa de simetrie Cz împarte secţiunea în două părţi de arii egale A1 =A2. Punctului M1(y,z) îi corespunde unul simetric, M2(-y,z) . Rezultă

.

(4.12)

4.3. Calculul momentelor de inerţie pentru suprafeţe simple

Dreptunghi

2

Se consideră că suprafaţa elementară este situată între două paralele duse la Cy, la distanţele z, respectiv z+dz de aceasta (fig. 4.3). Din (4.4), deducem

.

(4.13)

Fig. 4.3 Fig. 4.4

Analog se demonstrează că . De asemenea, conform (4.12)

momentul de inerţie centrifugal este nul,

Coroană circulară (fig. 4.4)Având în vedere proprietatea (4.9), şi faptul că din motive de

simetrie, cele două momente de inerţie axiale sunt egale deducem că . (4.14)

Ţinând seamă de relaţia stabilită în capitolul anterior obţinem

. (4.15)

Şi în cazul acestei secţiuni momentul centrifugal este nul.

Triunghi oarecareSe stabilesc coordonatele vârfurilor triunghiului P1 (y1 , z1) , P2 (y2 , z2) ,

P3 (y3 , z3) în raport cu sistemul central yCz (fig. 4.5) şi se aplică formulele

(4.16)

(4.17)

3

(4.18)

unde A este aria dreptunghiului

(4.19)

Fig. 4.5 Fig. 4.6

Suprafeţe compuseÎn asemenea cazuri (fig. 4.6) se aplică formulele lui Steiner, considerând

că suprafaţa secţiunii este suma algebrică a n suprafeţe simple

(4.20)

(4.21)

(4.22)

4.4. Variaţia momentelor de inerţie la rotirea axelor centrale

Se consideră cunoscute valorile mărimilor Iy , Iz , Iyz în sistemul Cyz şi sunt cerute momentele de inerţie , , faţă de axele Cy1 , Cz1 rotite cu un unghi (fig. 4.7).

4

Fig. 4.7 Fig. 4.8

Coordonatele unui punct curent în cele două sisteme sunt legate prin ecuaţia matriceală

(4.23)

echivalentă cu (4.24) (4.25)

Înlocuind (4.25) în relaţia de definiţie a momentului axial , obţinem

.

sau

. (4.26)

Analog au fost stabilite relaţiile

, (4.27)

. (4.28)

Însumând membru cu membru relaţiile (4.26) şi (4.27) rezultă , (4.29)

5

adică, la rotirea axelor în jurul centrului de greutate al secţiunii, suma momenteor de inerţie axiale rămâne constantă. De aceea, atunci când unul dintre momentele de inerţie atinge valoarea maximă, celălalt este minim.

Vor fi determinate direcţiile principale ale secţiunii, definite ca axe faţă de care momentele de inerţie axiale au valori extreme.

Cu notaţia , din (4.26) şi (4.28) rezultă

. (4.30)

Din condiţia deducem

. (4.31)

Această ecuaţie trigonometrică are în intervalul [0 , 2] două soluţii

şi (sau ).

Ca urmare, orientarea celor două direcţii principale (ortogonale) Cyp şi Czp este dată de următoarele valori ale unghiului (fig. 4.8)

, . (4.32)

Având în vedere cele de mai sus, rezultă că axele principale au două proprietăţi:

1o) momentele de inerţie principale şi au valori extreme (unul este maxim, celălalt, minim);

2o) momentul de inerţie centrifugal este nul .Ca urmare, în baza proprităţii că momentul centrifugal este nul în cazul

secţiunilor simetrice ( ), se pot formula următoarele concluzii:- la o secţiune cu două axe de simetrie, acestea sunt chiar axele principale,- la o secţiune cu o axă de simetrie, aceasta este una dintre axele principale, iar a doua este perpendiculară pe ea în centrul de greutate al secţiunii.

Înlocuind (4.31) în expresiile

, , (4.33)

şi pe acestea în (4.26), se deduc valorile extreme ale momentelor de inerţie

, (4.34)

, (4.35)

Pentru asocierea acestora cu direcţiile principale se calculează unghiul

6

. (4.36)

Pot exista mai multe situaţii:

a) dacă , atunci şi minIIpz ,

b) dacă , atunci şi .

4.5. Calculul aproximativ al caracteristicilor geometrice în cazul profilelor cu pereţi subţiri

În capitolul anterior s-a prezentat răsucirea liberă a profilelor subţiri închise sau deschise şi s-a definit caracteristica geometrică a secţiunii numită moment de inerţie polar echivalent.

Secţiunea unui profil este un ansamblu de n porţiuni drepte sau curbe. Porţiunea i are lungimea si şi grosimea constată i (fig. 4.9). Ca element de arie în secţiunea profilului se consideră . Aria totală a secţiunii se calculează aproximativ cu relaţia

.

(4.37)Momentele de inerţie axiale şi centrifugale au expresiile

, (4.38)

, (4.39)

. (4.40)

7

Fig. 4.9

Pe fiecare porţiune rectilinie integralele din expresiile anterioare vor fi calculate numeric pe baza diagramelor de coordonate y şi z (fig. 4.9, b şi c), cu formule de tip Simpson

, (4.41)

, (4.42)

, (4.43)

Exemple de calcul

4.1. Să de determine momentele de inerţie axiale şi momentul centrifugal pentru secţiunea în formă de triunghi dreptunghic, în raport cu axele centrale paralele cu catetele (fig. 4.10, a).

8

Fig. 4.10

Înlocuind coordonatele vârfurilor triunghiului

; ; ; ; ; ;

şi aria în relaţiile (4.16) – (4.18), obţinem

, (4.44)

, (4.45)

. (4.46)

Este interesant de observat că momentul de inerţie centrifugal îşi schimbă semnul dacă triunghiul este aşezat ca în figura (fig. 4.10, b).

4.2. Să de determine momentele de inerţie principale ale secţiunii cu forma şi dimensiunile din figura 4.11, a.

Suprafaţa secţiunii este rezultatul scăderii unui triunghi dreptunghic 2 (cu catete de 30 mm şi 45 mm) şi unui cerc 3 (cu diametrul de 20 mm) dintr-un dreptunghi 1 (cu laturile de 50 mm şi 60 mm).

Coordonatele centrului de greutate al secţiunii au fost determinate în raport cu axele de simetrie ale dreptunghiului (în sistemul )

9

mm,

mm .

Fig. 4.11

În calculul momentelor de inerţie axiale şi centrifugale în raport cu sistemul de axe centrale yCz (fig. 4.11,a) au fost aplicate relaţiile lui Steiner (4.20) – (4.22) şi formulele deduse pentru suprafeţele simple în formă de drepunghi, triunghi dreptunghic şi cerc

mm4

10

mm4

mm

4

Înlocuind Iy , Iz , şi Iyz în (4.34) şi (4.35) se calculează valorile momentelor de inerţie principale

mm, (4.47)

mm4 . (4.48)

Orientarea axelor principale (fig. 4.11,b) este dată de unghiul

.

Din (4.36) se obţine aceeaşi valoare pentru unghiul max

.

Ca urmare Iyp = Imax şi Izp = Imin .

4.3. Pentru o secţiune de forma literei H (fig. 4.12,a) să de determine momentele de inerţie principale, atât cu formulele exacte cât şi prin metoda aproximativă recomandată pentru profile cu pereţi subţiri.

Axele de simetrie sunt şi axe principale ale secţiunii, deci momentele de determinat sunt Iy şi Iz . În calculul exact se consideră că secţiunea este formată din trei dreptunghiuri: inima (6x84) şi tălpile (100x8).

Din formulele (4.20) şi (4.21) rezultă

mm4

mm4 .

11

Fig. 4.12

În figura 4.12,b sunt precizate dimensiunile liniei mediane a profilului. Figurile 4.12, c şi d prezintă diagramele de variaţie a coordonatelor y şi z de-a lungul liniei mediane.

Aplicând relaţiile (4.38), (4.39) şi formulele de integrare (4.42), (4.43) au fost calculate aproximativ momentele de inerţie principale

mm4 ,

mm4 .

Astfel, Iy s-a calculat cu eroare de %, iar Iz cu eroare de +2,28% .

12