UNIVERSITATEABABE BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEADE MATEMATIC - INFORMATIC LUCRAREMETODICO-TIINIFIC PENTRUOBINEREA GRADULUI DIDACTIC I CONDUCTORTIINIFIC : REALIZATOR:CONF.UNIV. CRISTINABLAGAPROF.DANIELA MUREAN 20101 UNIVERSITATEABABE BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEADE MATEMATIC - INFORMATIC TEOREMECLASICEDESPREDREAPTICERC CONDUCTORTIINIFIC : REALIZATOR:CONF.UNIV. CRISTINABLAGAPROF.DANIELA MUREAN 2010

2CUPRINSINTRODUCEREI Cteva teoreme clasice despre dreapt i cerc teoreme 1.1.Diviziunea armonic101.2.Relaii metrice141.2.1.Definiii 14 1.2.2.Asemnarea triunghiurilor191.2.3.Relaii metrice n triunghiul dreptunghic 231.3.Transversale 271.4.Ceviene concurente291.5.Triunghiuri omologice 341.6.Triunghiuri ortologice 371.7.Cercul401.7.1.Definiii 401.7.2.Unghi la centru. Arce de cerc . 421.7.3.Poziiile relative ale unei drepte fa de un cerc 461.7.4.Unghi nscris n cerc471.7.5.Unghi cu vrful n interiorul cercului481.7.6.Unghi cu vrful n exteriorul cercului 451.7.7.Poziiile relative a dou cercuri46 1.7.8.Lungimea cercului i aria discului491.8.Fascicole de cercuri 511.9.Ortocentrul551.10.Triunghiul podar 591.11.Patrulatere 631.11.1.Patrulaterul complet631.11.2.Patrulaterul inscriptibil 661.11.3.Patrulaterul circumscriptibil72IICercuriremarcabile2.1.Cercul celor nou puncte(Cercul lui Euler) 75 2.2.Teorema lui ieica 78 2.3.Cercurile lui Lemoine 82 2.4.Cercurile lui Tucker88 III Aspecte metodologice generale ale procesului instructiv-educativ 3.1.Caracterizarea general a procesului de predare-nvare 3.2.Evaluarea n procesul de predare-nvare93 3.3.Rolul i locul temei n programa colar98 3.4.Proiectul unitii de nvare Relaii metrice n triunghiul dreptunghic101 3.5.Proiecte didactice1043 3.6.Teste de evaluare 110 3.7.Miniculegere de probleme114BIBLIOGRAFIE119 INTRODUCERE4n procesul instructiv-educativ ce se desfoar la nivel preuniversitar un rol fundamental l ocup predarea matematicii. Leciile de matematic au un rol informativ, n sensul cnarmeazelevii cucunotinedebazdindomeniul matematicii, necesaren problema cunoaterii i a posibilitii abordrii altor tiine cum ar fi fizica, chimia etc. i un rol formativ n sensul c deprinde elevii cu modele de raionamente logice.nvmntul are misiunea de a asigura nsuirea de ctre tinerele generaii a cunotinelor tiinifice, tehnice i culturale, a deprinderilor necesare exercitrii unor profesii utile societii.Caracterul metodelortrebuiesimprimetineretului studioscontiinansuitcu convingere i interes c matematica este cu att mai util societii cu ct este asimilat ntr-un cadru mai corespunztor, unde calitile estetice ale raionamentelor se mbin armonios cu eficiena lor.Obiectivele generale ale predrii matematicii ngimanaziu i liceu, cuprinse n programele colare prevd:-familiarizarea elevilor cu utilizarea i aplicarea n diferite contexte a unor tehnici i metode de operare n domeniul matematicii;-formarea unor deprinderi de rezolvare a problemelor utiliznd strategii algoritmice, euristice sau euristico-algoritmice;-consolidarea i dezvoltarea raionamentului prin formarea deprinderii de a analiza o problemdati deaselectateoriamatematicii convenabilnrezolvareaei, sesiznd restriciile ce se impun sau posibilitile de generalizare, de a problematiza o situaie dat sau de a modela n limbaj matematic un fenomen ntlnit n studiul matematicii sau a celorlalte discipline de specialitate.Matematica zilelor noastre evolueaz dinamic subraport cantitativ i, mai ales, calitativ. Cercetri i descoperiri contemporane redimensioneaz permanent domeniile ei i impunexigene deosebite fundamentelor sale. nvmntul nupoate rmne nafara 5acestorfrmntri; el arederezolvat problemenoi referitoarelaexpunereancoala bazelor unor tiine n continu transformare.n cadrul disciplinelor matematice care se predau n nvmntul preuniversitar un rol deosebitl aregeometria. nultimul deceniu, naranoastr, geometriacaobiect de studiu n coal, a beneficiat de modificri spectaculoase. Este vorba de creterea ponderii raionamentului deductiv, abstract, fapt cu implicaii majore n formarea tinerei generaii.Geometria pornete de la studiul unor figuri concrete ce exprim trsturi eseniale ale realitii obiective i elaboreaz propoziii abstracte. Geometria mpletete organic gndirea concret cu cea abstract, n consecin un rol primordial n formarea i dezvoltarea capacitii deductive.Asimilarea geometriei urmrete o spiral ce pornete de la intuirea vie a realitii obiective; pe acest spiral se pun n acord cu intuiia un numr crescnd de propoziii din cencemai abstracte; acestepropoziii devintemeliilepecareseconstruiescedificiile teoriilor abstracte. Anumite poriuni dinspiralaasimilrii geometriei sunt parcurse n nvmntul precolar, altele n clasele primare i mai multe n gimnaziu i liceu.Formarea conceptelor geometrice, spre deosebire de altele, ridic probleme de ordin psihologic i pedagogic deosebite.Un concept geometric nu se poate crea spontan, el se formeaz n cursul unui proces psihic cruia i pune amprenta imaginaia, creativitatea, puterea de generalizare i abstractizarea.Unconceptgeometricpoateaveaungradmai maredegeneralitate, iaraltul mai restrns.Ocaracteristicaconceptelorgeometriceconstnaceeaceleformeazsisteme ierarhice i c nu sunt entitile mintale izolate.Operaiile cu conceptele geometrice se realizeaz ntotdeauna pe plan mintal.Figura geometric apare pentru elev n dou ipostaze:ca refectare idealizat a unor proprieti spaiale pure i ca posibilitate de concretizare a unor concepte.Deci figura geometric apare att n procesul de trecere de la concret la abstract, ct i n procesul de trecere de la concept la imagine, de la concept la ceea ce se numete concept 6figural. n cursul rezolvrii problemelor nu ne putem dispensa de aportul figurii geometrice, ci ne folosim de ea pentru a reprezenta simplificat unele operaii mentale.n predarea geometriei o atenie deosebit trebuie s se dea i simbolurilor, notaiilor, conveniilor de desen, de reprezentare, de redactare simbolic a unui raionament.nnsuireatemeinic acunotinelordegeometrie, unlocnsemnat l ocupi rezolvrile de probleme.G. Polyaartac: ,,arezolvaoproblemnseamnagsi ocaledeaocoli un obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil. A gsi soluia unei probleme esteoperfomanspecificinteligenei, iarinteligenaesteapanajul distinctival speciei umane, se poate spune c dintre ndelemnicirile omeneti cea de rezolvare a problemelor este cea mai caracteristic.Problemele degeometrie constituie antrenamentul necesar nsuirii disciplinei n gndire, a spiritului de rigoare necesar astzi pe o scar din ce n ce mai larg n viaa de toate zilele.Raionamentul geometricpresupuneanalizaamnunitatuturorconcluziilorce deriv din anumite date, a cadrului de validitate a diferenelor rezultate. El nu permite nici o neglijen n gndire, nici o concluzie pripit, superficial, insuficient fundamentat logic.Rezolvarea problemelor de geometrie l ajut pe elev s disting adevrul tiinific de neadevr, s-l demonstreze: antreneazorganizarealogicagndirii, ordonareaideilor, recunoaterea ipotezelor i a consecinelor, l nva pe elev s disting diversele aspecte ale unei situaii, s deosebeasc esenialul de neesenial, formeaz capacitile ateniei, antreneaz memoria logic, exerseaz analiza i sinteza, favorizeaz dezvoltarea imaginaiei creatoare, l ajuts-i formeze sim critic i constructiv, i formeaz spiritul tiinific exprimat prin obiectivitate, precizie, gustul cercetrii.Subaspect estetic, rezolvarea problemelor de geometrie trezete gustul fa de frumuseile matematicii exprimate prin relaii, formule, figuri, demonstraii.n lucrarea de fa se abordeaz aspecte ale metodicii predrii n cadrul geometriei, a problemelor referitoare la cerc i dreapt.Problemele referitoare la noiunile de dreapt i cerc ocup un locdeseamn dezvoltarea gndirii creatoare a elevilor,deoarece pentru 7rezolvarealorestenecesarsseutiliezediferitecunotinedobnditeanteriori sse deprind noi proprieti ale figurilor geometrice. Motivarea alegerii temeiPornind de la ideea c matematica a devenit n zilele noastre un instrument esenial de lucru pentru totalitatea tiinelor i domeniilor tehnice , este firesc ca n centru preocuprilor actuale ale colii romneti s se situeze cultivare accentuat a gndirii elevilor , prinevidenarelaiilormatematice , prinfundamentareatiinificaconceptelor,prin introducerea progresiv , gradat a limbajului matematic modern . Alegerea acestei teme este motivat de importana deosebit a nelegerii noiunilor de dreapti cerc .Activitatealaclasmi-aoferit posibilitateasconstat cuneori elevii dinciclul gimnazialntmpin greuti n nsuirea noiunilor despre dreapt i cerc . Am constatat c pentru a oferi posibilitatea de nsuire de ctre toi elevi a unui minim de cunotine i tehnici utile de lucru este necesar s se in seama de urmtoarele aspecte: -n toate formele de predare s se respecte etapele dezvoltrii psihopedagogice ale copilului ;-trezirea interesului pentru aplicarea n practic a cunotinelor dobndite .Pentru a-i nva pe elevi s nvee, pentru realizarea unui nvmnt activ formativ al matematicii, stilul de lucru,metodele i procedeele au o importan deosebit .Scopul activitii matematice este dea-i exersacopilului intelectul, procesele de cunoatere, dea-l faceapt sdescopererelaii abstractepebazasituaiilorntlniten activitatea obinuit .Alegerea temei a fost determinat i de ntrebarea : Ce metode putem folosi pentru a uura nelegerea noiunilor privind predarea-nvarea geometriei? Lucrarea de fa este compus din trei capitole.Capitolul I,,Cteva teoreme clasice despre dreapt i cerc, cel mai amplu capitol al lucrii, constituie o introducere n lumea minunat a dreptelor celebre , a geometriei triunghiului patrulaterului i cercului .Capitolul II ,,Cercuri remarcabileprezintntr-o manier unitarcercul celor nou puncte, teorema piesei de 5 lei a lui ieica, cercurile lui Lemoine, 8respectiv Tucker.Capitolul III ,,Aspecte metodologice generale ale procesului instructive-educativ conineocaracterizare generalaprocesului depredare- nvare-evaluare, proiectul unitii Relaii metrice ntriunghiul dreptunghic, ctevatestedeevaluare precum i o miniculegere de probleme.Mulumescpeaceastcaled-nei conf. univ. CristinaBlagapentruncredereai sprijinul acordat n elaborarea acestei lucrri.9CAPITOLUL I CTEVA TEOREMECLASICEDESPREDREAPT ICERC1.1.DIVIZIUNEA ARMONIC1.1.1.Fie puncteleA, Bpe o dreaptaifieC i D dou puncte care divid segmentul AB nrapoarte opuse.Utiliznd segmentela orientate putem scrie:(1) CA_DACBDBSpunem c punctele C i D sunt conjugate n raport cu A i B.Relaia (1) poate fiscrisi sub forma :AC _BC , deci reciproc, punctele A i B sunt conjugate n raport cu C i D.AD BDDecipuncteleA,B,CiD formeaz odiviziune armonic, adic o mprire armonic a dreptei, iar punctele unei diviziuni armoniceconstituie dou perechi deroluri simetrice. Diviziunea armonic este cunoscut din coala lui Pitagora (sec.5 ,.e.n).1.1.2.Lum o origine arbitrar pe dreapt i considerm segmentele orientate.Vom nota:OA=aOB=bOC=cOD=d, atunci prin nlocuire , relaia (1) devine urmtoarea: a c _a d, sau: b c b d (2) (a + b)(c + d) = 2(ab + cd). Aceast relaie este condiia care trebuie s-o ndeplineasc abscisele a patru puncte ca s formeze o diviziune armonic.1.1.3.In relaia(2) originea este arbitar. Dac lum originea O n punctul Aatunci a=0 i relaia (2) devine :(3)2 1 +1, adic b c d(4)2 1 +1(Maclaurin , 1748). ABAC AD10 Observm c numrul b , dat de relaia (3) este media armonic a numerelor c i d. Atunci relaia (4) care exprim segmentul AB este media armonic ntre segmentele AC i AD. Aceast relaie , (4) , esteechivalent cu relaia (2) i este caracteristic pentru punctele unei diviziuni armonice. Daclum origineanmijloculI al segmentului AB , adicb= - a , relaia (2) devine: (5) a2 = cd

, adic (6) IA2 =ICID(Poncelet , 1822).Inrelaia(6) , segmentl IA este media geometric a segmentelor IC i ID. Aceastrelaie esteechivalent cu relaia(2) i este caracteristic pentru punctele unei diviziuni armonice.1.1.4.Se pot obine i alte relaii metrice echivalente. Dac lum punctul J mijlocul segmentului CD , obinem relaia:(7)4IJ2= AB 2+CD2Dac alegem punctulI , originea segmentului , relaia (7) devine : (c + d) 2=4a2+ (c d)2 , evidentdeoarece a2=cd.1.1.5.Patru drepte formeaz un fascicolarmonic, dac sunt tiate de o dreapt n raport armonic. FieO punctulcomun,a , b, c , ddreptele date ale fascicolului iar l secanta pentru carepuncteledeintersecieA,B,Ci Dformeazodiviziunearmonic, adicomind semnul avem relaia: CA DA. CBDB Ducem din punctul B o paralel la raza OA care taie razele OC i OD n punctele U respectiv V.Avem : BUCB DB BV , deci OACA DA OA(8)BU = BV.OVACB Dl UReciprocarezult din aceeai construcie.11Dac BU = BV atunci punctele A,B,C,D formeaz o diviziune armonic.Fie lo alt secant care taie razele fascicolului n punctele A , B ,C , D. Ducnd paralela dinB la OAdeterminm punctele U i V . Atunci avem:OUV ~OUV=> OB median i n OUV , adic BU=BV => diviziuneaA,B,C,D estearmonic.Un fascicol armonic este tiat de o secant arbitrar ntr-o diviziune armonic.Secantal nujoacunrol deosebit. Spunemcdrepteleci dsuntconjugate armonic n raport cu dreptele a i bi reciproc.Dinrelaia(8) rezultc:osecant paralel cuuna dintre razele unui fascicolarmonic determin segmente egale ntre celelalte raze.Exemple:1)Inparalelogramul ABCD o secant dus din vrful A taie diagonala DB i laturile BC i CD n punctele E,F i G.Avem relaia:1 1 +1, adicAE AFAG

D C GF H O EA B

Demonstraie: Construimparalela din Cla diagonala DBcare taie secanta n H. Fascicolul C(AFHG) estearmonicdeoarecetiat cusecantaDBparalelacuoraz, intercepteaz segmente egale.Punctul H este conjugatul punctului A n raport cu punctele F i G.Atunci=>2 1+1, dar AH=2AE=>1 1 +1. AE AFAG AE AFAG d 3 . ..A n-1 C n-1 A nC nB n-1 B n122)Raza cercului circumscris unui pentagon regulat este media armonicntre apotema lui i apotema pentagonului regulat stelat corespunztor. A E G B

O J DFCIDemonstraie:ABCDE pentagon regulatO- centrul cercului circumscris pentagonuluiAODC={ F }AOEB={ G }ABDC={ I}AEDC={ J }Trebuie demonstrat c diviziunea (AGOF) este armonic.Punctele E,O,Iaparin bisectoareiunghiului I.E(BIFJ) este fascicol armonic pentru c secanta DC|| EB , intercepteaz segmente egale. Dac tiem cu secanta AO , determinm pe ea o diviziune armonic. Deci: 2 1 + 1 , ceea ce demonstreaz teorema.OA OF OG1.2.RELAIIMETRICE d 3 . ..A n-1 C n-1 A nC nB n-1 B n13A3A4 B1 B4

C2B 2C3 B3 1.2.1.DefiniiDefiniia1.2.1.1:Prin raportul a dou segmente nelegemraportul lungimilor lor.Observaia1.2.1.2:Lungimilesegmentelortrebuie exprimate prin aceleaiunitai de msur.Definiia1.2.1.3:irurilede numere i (a1 , a2,..) , (b1 , b2 ,) sunt proporionale daca1 a2 a3 .k .Raportul constant k se numete factor de proporionalitate.b1 b2 b3Definiia1.2.1.4:irurile de segmente ( [AB] , [CD] , [EF] .i ( [A1B1] , CD ] ,[1 1F E ] .) se numesc proporionale dac irurile lungimilor lor sunt proporionale.Definiia1.2.1.5:Trei sau mai multe drepte paralele situate la distane egale se numesc paralele echidistante.Teorema1.2.1.6:(paralelelor echidistante): Dac mai multe drepte paralele determin peosecantsegmentecongruente, atunci eledeterminpeoricealtsecantsegmentecongruente.

Demonstraie Fie [A1C2] || g,[ A2C3] || g, ,[ An-1Cn] || g=> A1A2C2 A2A3C3 .An-1AnCn (U.L.U.) => [ A1C2] [ A2C3]. [ An-1Cn]Dar A 1B 1B 2C2 , .. , A n-1B n-1B nCn paralelograme =>d 1d 2 d 3 . ..d n-1d n-1d gA 1A 2 C2A 3 C3A n-1 C n-1 A nC nB 1B 2B 3B n-1 B n14A3A4 B1 B4

C2B 2C3 B3 [B1B2] [ B2B3] . [ Bn-1Bn]Teorema1.2.1.7:(THALES):O paraleldus la una din laturile unui triunghi determin pecelelalte dou laturi segmente proporionale.Thales din Milet (Greac: ) (c. 635 .Hr. c. 543 .Hr.) a fost un filozof grec presocratic, care a contribuit la dezvoltarea matematicii, astronomiei, filozofiei. Este considerat printele tiinelor Herodot, primul autor care-l menioneaz pe Thales, afirm c strmoii lui Thales erau fenicieni, dar Diogenes Laertios adaug c cei mai muli scriitori l prezint ca aparinnd unei vechi familii milesiene.Thales a murit la o vrst naintat, n timpul unor manifestri sportive, din cauza unor clduri excesive. Pe mormntul su este o inscripiecarespune:"Aici,ntr-un mormnt strmt zacemarele Thales; totuirenumitasa nelepciunea ajuns la ceruri". Dei nici una dintre scrierile lui nu a fost gsit, cunoatem munca sa din scrierile altora. n domeniu matematicii, Thales a adus geometria n Grecia, familiarizndu-se cu ea n timpul cltoriilor sale n Egipti dezvoltnd-o ulterior. Teoremele geometrice elaborate de el au constituit temelia matematicii greceti.Thales a demonstrat c:1. un cerc este mprit n dou pri egale de diametru;2. unghiurile bazei unui triunghi isoscel sunt egale;3. unghiurile opuse la vrf sunt egale;4. un triunghi este determinat dac sunt date o latur i unghiurile adiacente ei;5. unghiul nscris ntr-un semicerc este unghi drept.Atribuireaprimelorpatruteoremelui ThalesprovinedelaProclos, caresebazapeoafirmaiealui Eudemos. Ceade-a cinceateorem estecitatdin DiogenesdinPamphila,din secolul I.Teoremapatrueste asociat cu realizarea practic a msurrii distanei dintre vasele de pe mare.Hieronymusdin Rhodosne povestete cum a msurat Thales piramidele din Egipt, folosind umbrele (a determinat momentul zilei n care umbra noastr este egal cu nlimea).Diogenius Laertius, n cartea "Vieile i opiniile marilor filozofi" ne spune c "Thales a fost primul care a determinat cursa Soarelui de la un solstiiu la cellalt i a declarat c mrimea Soarelui ar fi a 720a parte din cerculsolar,i mrimea Luniiarfi aceeai fraciedin cercullunar.Se spunecel adescoperit cele patru anotimpuri ale anului i l-a mprit n 365 de zile".AD1 E1

D2 E2

DE D4 E4

BC DemonstraieConsiderm cazul cnd raportulAD esteraional.DB Presupunemc AD 3 .mprimsegmentul [AB] n 5 pri congruente ; DB215d 1d 2d 3d 4a bA 1A2A3A4 B1 B4

C2B 2C3 B3 Al treilea punct de diviziune este D; notm punctele de diviziune cu D1 , D2 , D4 => [AD1][D1D2][D2D][DD4][D4B].Prin D1, D2, D4ducem paralele la BC i notmpunctele lor de intersecie cu latura [AC]respective prinE1 , E2 , E4. Conform teoremei paralelelor echidistante => [AE1][E1E2][E2E][EE4][E4C]=> AE 3=> AD AE .EC 2DB EC Dac raportulAD este un numrraional oarecare AD m , m,n N* , DBDBnraionamentul este acelai ; segmental [AB] se mparte n m+n pri congruente. Teorema1.2.1.8:(paralelelorneechidistante):Mai multedrepteparaleledeterminpe dou secante oarecare segmente proporionale.Ipotez :d1||d2||d3||d4

ad1={A1} , ad2={A2} , ad3={A3}, ad4={A4}bd1={B1} , bd2={B2} , bd3={B3} , bd4={B4}Concluzie:A1A2 A2A3 A3A4B1B2B2B3 B3B4 Demonstraie Ducem prin B1paralela la dreapta a . Aplicnd teorema lui Thales n B1C3B3 i folosind faptulcA1B1C2A2 , A2C2C3A3 sunt paralelograme , deducem A1A2 B1B2 , adic A1A2A2A3 .A2A3 B2B3 B1B2

B2B3 =>Analog , ducndparalela prin B2 la a se deducecA2A3A3A4 B2B3 B3B4=> A1A2 A2A3 A3A4B1B2B2B3 B3B4Reciproca teoremei lui THALES: Dac o dreaptdetermin pe dou laturi ale unuitriunghi segmente proporionale , atunci ea este paralel cu a treia latur.16Ipotez :AMAN ABAC Concluzie:MN||BCANNM B CDemonstraiePresupunem prin absurd c MNBC ; atunci ducem prin M paralela la BC i notm cu N punctul ei de intersecie cu AC , NNAplicmteorema lui Thales : MN || BC => :AMAN . ABAC=> ANAN => DinipotezAMAN. ACACABAC AN = AN=> N=N contradicie => MN||BCTeorema1.2.1.9:(bisectoarei):Bisectoareaunui unghi al unui triunghi determinpe opus segmente proporionale cu laturile unghiului.Ipotez: [AD bisectoareaBAC Concluzie: DBABDCACV17 A BD CDemonstraie: Ducem prin C paralela la AD, CE||AD , unde E este punctul de intersecie al paralelei construite cu dreapta AB.n BCEaplicmteorema lui Thales => DB AB (1)DCAEDemonstrmc[AE] [AC].AD||CEAC secant=> DAC ACE ( alterne-interne)=>ACEAEC =>AD||CE=>ACE isoscel =>AB secant => BAD AEC ( corespondente) => [AC][AE] (2)Din(1) i (2) => DB AB . DCAC1.2.2. Asemnarea triunghiurilorExist figuri geometrice care seamn , dar care prin suprapunere nu coincid (din cauza mrimii lor).18 NABCMNPFigurile de mai jos se numesc asemenea.Fie triunghiurile ABC si MNP

Aceste triunghiurisunt asemenea.Ele au :A MB NC P=> ABC MNPAB BC ACMN NPMPDacntre dou triunghiuri exist o asemnare spunem csunt asemenea i scriem ABC MNPPerechile de unghiuri (A, P), (B, M), (C, N) i perechile delaturi ( AB, MN), (BC, NP), (AC, MP) se numesc corespondente sau omoloage .Raportul lungimilor laturilor se numete raport de asemnare.Dac triunghiurile sunt congruenteatunci raportul de asemnare este 1.Proprieti: Relaia de asemnare ntre dou triunghiuri este:reflexiv: ABC ABCsimetric: ABC MNP MNP ABC;tranzitiv: ABC MNP i ABC QRS ABC QRS.2. Dou triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche deunghiuri ascuite congruente.3. Dou triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche deunghiuri congruente.19 NTeorema 1.2.2.1:( fundamentalaasemnrii) : Oparalellaunadinlaturileunuitriunghi, formeaz cu celelalte dou laturi,sau cu prelungirile lor, un triunghi asemenea cu cel dat. Ipotez. ABC Concluzie:.MAB, N AC ABC AMN MNBC Demonstraie:a)M(AB)Din MNBC i AB,AC-secante AMNABCANMACB (corespondente) (1), iar conform reflexivitii => MANBACn ABC, MNBC .ACANABAMMNPB-paralelogram [MN][BP]Fie NPAB, P(BC) BCPBACAN BCMNACAN=>=>(2)BCMNACANABAM Din (1) i (2) AMN ABC.b) B(AM) Demonstraia rmne aceeai, construind CDAM.20ACM NBPc) DAB astfel nct A(DB)Fie M (AB) astfel nct [AM][AD] ,N(AC) astfel nct [AN][AE],NMDE, AMNADE (L.U.L.)Analog cu punctul (a) => AMNABC =>ADEABC ED AMN BCDefiniia1.2.2.2: Dac dou triunghiuri sunt asemenea,atunci raportul ariilor lor este egalcu ptratul raportului de asemanare.- Deci, dacA`B`C` ~ ABC Observaie: Se numesc triunghiuri echivalente, triunghiurile care au aceeai arie.Criteriile de asemnare :212'2'2 2 2 2'' ' ' ' ' '

,_

,_

,_

,_

,_

,_

RRrrmmllhhaaAAaaaaaaABCC B ACazul 1(UU):Dou triunghiuri sunt asemenea dac au dou unghiuri respectiv congruente.Demonstraie: A A MNB CB CFie M(AB astfel nct AB=AB. Construim MN||BC, N(AC. MN||BC ,=> AMN ABC (corespondente)=>AMN ABCAB secant din ip. => ABCABC[AM][AB]=>MANBAC AMNABC (U.L.U.) =>ABCABCAMNABC (T.F.A.)Cazul 2 (LUL):Dou triunghiuri sunt asemenea dac au dou laturi respectiv proporionale i unghiurile dintre laturile proporionale sunt congruente.Cazul 3 (LLL):Dou triunghiuri sunt asemenea dac au laturile respectivproporionale. 1.2.3. Relaii metrice n triunghiuldreptunghic22AAxBbbCDCc DEFE dFMNPeadeABDC

Definiia1.2.3.1:Proiecia ortogonal a unui punct pe o dreapt este piciorulperpendicularei duse din acel punct pe dreapt.

aa) Proiecia punctului A este tot un punct, A1.b) Proiecia punctului B care se afl chiar pe dreapta de proiecie este tot punctul B.c) Proiecia segmentului CD este tot un segment, segmentulC1D.d) Proiecia segmentului EF care este paralel cu dreapta deproiecie. este un segment egal cu segmentul iniial.e) ProieciasegmentuluiMN care este perpendicular pe dreapta de proiecie,este un punct, P.Teorema1.2.3.2(nlimii):ntr-untriunghi dreptunghic , nlimeacorespunztoare ipotenuzei este media geometric a proieciilor catetelor pe ipotenuz. Ipotez:ABC , m(BAC) =900 ADBC , D (BC) Concluzie: AD2=BDDC

Demonstraie: 23ABCDABDADBCDA (fiind unghiuri drepte) CADBADACD(au acelai complement , CAD) => ABD~CAD=> AD BD AB => AD2=BDDC CDADACReciprocele teoremei nlimii:1) Dacn ABC,BAC=900 iAD2=BDDC atunci AD BC2) Dacn ABC, AD BC iAD2=BDDC, atunciBAC=900Teorema 1.2.3.3(catetei):ntr-un triunghi dreptunghic,lungimea unei catete este media geometrica lungimii proieciei sale pe ipotenuz i ipotenuz.Ipotez:ABC , m(BAC) =900 ADBC , D (BC Concluzie:AB2 =BDBC Demonstraie: ADBADBCAB (unghiuri drepte)CABBADBCA(au acelai complement , B)=>=> ADB~CAB=> AB BD AD => AB2=BDBC BCABACAnalog , din asemnareatriunghiurilor CAD i CBA=> AC2=DCBCReciprocele teoremei catetei:1.Dacntr-un triunghi ABC, AD BC i AB2=BDBC =>m(BAC)=900.2.Dac ntr-un triunghi ABC m(BAC)=900 i AB2=BDBC =>AD BC.24ABCDTeorema1.2.3.4(PITAGORA):ntr-un triunghi dreptunghic, ptratul lungimiiipotenuzei este egal cu suma patratelor lungimilor catetelor.Pitagora(c.580 .Hr.- c.500 .Hr.) a fost un filozofimatematiciangrec, originar din insula Samos, ntemeietorulpitagorismului, carepunealabazantregiirealiti teorianumereloriaarmoniei. Afosti conductorul partidului aristocratic din Crotone (sudul Italiei). Pitagora a fost un mare educator i nvtor al spiritului grecesc i se spune c a fost i un atlet puternic, aa cum sttea bine atunci poeilor, filosofilor (de exemplu, Platon nsui) i comandanilor militari etc.Pitagora pare s nu fi scris nimic. Doctrina filosofic a pitagorismului ne este totui destul de bine cunoscut din lucrrile lui Aristotel i Sextus Empiricus, precum i din lucrri ale pitagoricienilor de mai trziu. Totui, nu se poate stabili cu precizie ce aparine lui Pitagora i ce au adugat pitagoricienii ulteriori. Celebreletexte"pitagoriciene" Versurilede auraleluiPitagoraiLegile morale i politice ale luiPitagora, existente i n traduceri romneti, aparin unei epoci ulterioare.Tradiiai atribuiedescoperireateoremei carei poartnumelei atablei denmulire. Ideilei descoperirile lui nu pot fi deosebite cu certitudine de cele ale discipolilor apropiai Ipotez:ABC , m(BAC) =900 ADBC , D (BC) Concluzie:BC2=AB2+AC2Demonstraien ABC aplicm de dou ori teorema catetei:AC2=DCBCAB2=BDBC Adunm relaiile:AC2 2AB +=DCBC+BDBC= =BC(DC+BD)=BCBC

BC2+AB2=BC2

Teorema reciproc.Dac ntr-un triunghi suma ptratelor lungimilor a dou laturieste egal cu ptratul lungimii laturii a treia, atunci triunghiul este dreptunghic.

Ipoteza:nABC se tie c AB2 + AC2 = BC2 .25Concluzia: m(BAC) = 900 B A A C

Demonstratie Presupunem cm(A)900 ;ConstruimBA ACipresupunemcA(AC).Aplicmteorema luiPitagora n triunghiurile BAC i BAA dreptunghice n A.=>BC2= AB2 + AC2AB2= AB2 AA2=> BC2 = AB2 AA2 + AC2Din ipotez => BC2=AB2 + AC2=> AC2=AC2 AA2(1)Dar AC =AC AA => AC2 =AC2 2ACAA + AA2 (2)Din (1) i (2) => AC2 = AC2 2ACAA + AA2 => 2AC AA = 0Cum AC 0 => AA = 0 =>=> A = A , contradicie cu A (AC)=> presupunerea fcut este fals =>=> BA AC => m(BAC)= 900. 1.3.TRANSVERSALETeorema1.3.1( MENELAUS,sec. 2)Dac o dreapt taie laturile unui triunghi ABC n punctele A(BC), B(AC), C(AB), avem relaia:(1) AB B C C A 1ACBA CB CP26A BCABDemonstraie:Construimprin C o paralel la dreapta AB care intersecteaz dreapta AB n punctul P.Din T.F.A.=> CPA~ BCA =>CPA Csau CPBC A C BCAB AB Tot din T.F.A. => CPB~ ACB =>CPC B sau CPAC CB

ACBABA => BC A CAC CB , de unde=> AB B C C A 1AB BA ACBA CB Reciproca teoremei lui Menelaus :Dac trei puncte situate pe laturile unui triunghi satisfac relaia (1) , atunci ele sunt coliniare. Demonstraie:Fie punctul{A }=BCBC.Conform teoremei directe =>A B B C C A 1ACBA CBPunctele A i A divid segmentul BC n acelai raport (i semn) , deci A=A.Teorema1.3.2:Picioarele bisectoarelor exterioare unui triunghisunt coliniare.Demonstraie: Fie A , B , C picioarele bisectoarelor exterioare ale ABC , de laturi a,b,c =>=>A B c i analoagele, obinute prin permutarea literelor. AC b=> relaia (1) , deci coliniaritateapunctelor.Observai a1.3.3 : Nu este necesar s verificm relaia i n semn deoarece punctele A , B , C sunt toate exterioare laturilor.27M 2)Dac o dreapt d1 taie laturile unui ABC n punctele A , B , C i punctele A , B, C sunt simetricele punctelor A , B , C n raport cu mijloacele laturilor , atunci punctele A , B, C sunt situate pe dreapta d2. Demonstraie:Din ipotezavem relaia : A B A C i analoagele care prin nmulire ne conduc la

ACABrelaia A B B C C A 1 ceea ce justific enunul dat.ACBA CBTeorema 1.3.4:(Carnot ,1803):Tangentele lacercul circumscris unui triunghi n vrfurile lui taie laturile opuse n puncte coliniare.Nicolas Lonard Sadi Carnot (1 iunie 1796 - 24 august 1832) a fost un fizician i inginer militar francez care, nlucrarealui din1824Reflecii asupraputerii motriceafocului, adatprimadescrieredesuccesa motoarelor termice, descriere cunoscut azi sub numele de ciclul Carnot, punnd astfel bazele pentru a doua lege a termodinamicii.Nu i-a publicat lucrarea ntr-o revist academic, ci sub forma unei mici cri. El este primul fizician care s-a ocupat de termodinamic, avnd meritul definirii unor concepte ca randamentul termic Carnot,ciclultermic Carnot i formulrii teoremei lui Carnot etc. n opera sa menionat anterior face referire prin denumirea putere motrice la conceptul denumit ulterior de Gaspard-Gustave Coriolis lucru (al forei) i azi lucru mecanic.Demonstraie: Fie ABCi A , B , C interseciile tangentelor cu laturile opuse. AAB A-unghi comunAAB ~ AACA BAB A A AACAABACA AA AC AC A B A A AB 2 A BAB 2 AA AC AC2ACAC2 Inmulindcurelaiile analoage , produsul rapoartelordinprimaparteesteegal cu1 conform teoremei lui Menelaus , punctele A , B , C sunt coliniare i dreapta A B C este dreapta lui Lemoine a ABC. 1.4.CEVIENECONCURENTE Teorema 1.4.1.(Ceva, 1678)Fie M un punct n planul ABC.Notnd cu A,B, C interseciile dreptelor AM , BM i CM cu laturile opuse avem relaia :28M (1)AB B C C A 1 ACBA CB: Giovanni Ceva (n. 7 decembrie 1647 - d. 15 iunie 1734) a fost matematician italian, cunoscut mai ales pentruteoremacarei poartnumeledingeometrie. Fratelesu, TommasoCeva, afostdeasemeneaun matematician prestigios. Ceva s-a nscut la Milano. Dup ce a urmat colegiul iezuit din oraul natal, apoi la Universitatea din Pisa, obine, n 1686, un post de profesor de matematic la Universitatea din Mantova, unde rmne pn la sfritul vieii. Geometria a fost domeniul de care s-a ocupat cu predilecie. A mai studiat i unele chestiuni de mecanic (cum ar fi oscilaia pendulului), hidraulic, aplicaii ale matematicii n economie. Teorema lui Ceva este o propoziie din geometria triunghiului, cu aplicaii n geometria proiectiv. A fost formulat i a fost demonstrat n1678nlucrareaDe lineis rectis se invicemsecantibus statica constructio.Separecaceastteoremeracunoscut, cumultesecolenainte(secolul alXI-lea), ideunii matematicieni arabi (Yusuf Al-Mu'taman ibn Hud).

AC

BBA CFig.1 Demonstraie:Fie - BBC. Aplicm teorema lui Menelaus pentru punctelecoliniare A , M , A ABB.. Aplicm teorema lui Menelaus pentru punctelecoliniare C , M , C. AB B CC A 1i BM BA CA 1 AC BA CBMB AC BAPrin nmulirea celor dou egaliti se obine relaia cerut.Spunem c dreptele AM , BM , CM sunt cevienele punctului M.Reciproca teoremei lui Ceva :Dac puncteleA ,B , C situate pe laturile ABC satisfac relaia AB B C C A 1, atunci dreptele AA , BB, CC sunt concurente.ACBA CB Demonstraie:Fie BBCC ={M}, AM BC={A}. Conform teoremei directe AB B C C A 1 A=A29M ACBA CBForma trigonometric a teoremei lui Ceva:Fie ABC .Notm cu , , unghiurile pe care dreptele AM , BM , CM le formeaz cu laturile AB , BC , CA .Aplicnd teorema sinusului n AMBMBsin,MAsin , MCsin MA sin(B-) MC sin(A-) MBsin(C-)Inmulind relaiile sin sin sin 1 sin(A-) sin(B-) sin(C- ) Aceastrelaie este o nouform a teoremei lui Ceva.Teorema 1.4.2.(GERGONNE, sec.19) Dreptele care unesc punctele de contact ale cercului nscris unui triunghi cu vrfurile opuse sunt concurente.Demonstraie:Fie D,E,F punctele de tangen dintre cerc i laturile triunghiului ABCAE=AFBF=BDDBEC EA1 CD=CE DC EA FB Punctele D,E,F sunt interioare laturilor , deci nu este necesar s orientm segmentele.Punctul de concuren poart numele lui Gergonne. A EF B DD C

E F30

Fig.2Observaia 1.4.3: Dac n locul cercului nscris considerm un cerc exnscris , teorema rmne valabil pentru contactele lui D , E , F cu laturile.Obinem astfel nctrei puncte ,pentru fiecare cerc exnscris , numite adjunctele cercului Gergonne.T eorema1.4.4:(NEUBERG, 1886) DacA, B, Csunt picioareleatrei ceviene concurentei A,B,Csimtetricelepunctelor A, B, Cnraport cumijlocelelaturilorrespectiv, i dreptele A A, B B,CC sunt concurente. Demonstraie:Conform relaieiA BA Ci analoagele rezult c relaia Ceva rmne valabili ACABpentru puncteleA,B,C. Spunem c punctele de concuren corespunztoare M1, M2 sunt reciproce.Relaia este simetric. Seobinemastfelotransformarecareasociazunui punctM1unpunctM2i reciproc, unei drepted1odreaptd2i reciproc. Centrul degreutateGi punctelede interseciealeparalelelordusedinvrfuri lalaturi suntpunctedublealetransformrii , adic puncte care coincid cu transformatele lor.Vrfuriletriunghiului suntpunctesingularealetransformrii , adicdacpunctul M1 tinde ctre vrful A , punctul M2 este nedeterminat pe latura BC. In fig.2 , punctele D, D sunt simetrice fa de mijlocul laturii BC.Din cauza tangentelor dintr-un punct la cerc AB + BD= AB + CD = pAC + CD1= AB + BD1=pp fiind semiperimetrultriunghiului. dreptele AD1 i analoagele sunt concurente . De aici rezult urmtoarea teorem:T eorema1.4.5 :Simetricele fa de bisectoarele unghiurilor unui triunghi a trei ceviene concurente sunt de asemenea concurente.Demonstraie:Propoziia rezult din reciproca teoremei lui Ceva.31

Numim drepteizogonale , cevienele unui vrf , simetrice fa de bisectoarea unghiului i puncte inverse punctele de concuren , puse n legtur pe aceast cale. Astfel ortocentrul i centrul cercului circumscris sunt puncte inverse. Relaia este simetric.Obinem astfel o transformare punctual n raport cu un triunghi. Centrul cercului nscris i centrelecercurilorexnscrisesunt punctedublealetransformrii iarvrfurile triunghiului sunt puncte singulare. Teorema 1.4.6(BELTRAMI, 1862): Inversele punctelor cercului circumscris unuitriunghi sunt puncte la infinit.Eugenio Beltrami (n.16 noiembrie1835 d.4 iunie1900) a fost un matematician italiancunoscut pentrustudiiledindomeniul geometriei non-euclidiene, electricitii imagnetismului. S-aocupatcuteoria suprafeelor i cu formele difereniale(forme legate mai ales de fizica matematic).BAA M

MA B CDemonstraie:Fie M un punct situat pe cercul circumscris ABC.AA , BB-izogonalele cevienelor AM , BM pentru c: AAB =MAC=MBC=ABBAA||BB .Analog i izogonala cevienei CM este paralel cu ele.32

1.5.TRIUNGHIURIOMOLOGICEDefiniia1.5.1: Triunghiurile ABC i ABC se numesc omologice, dac dreptele AA, BB,CC sunt concurente. Punctul de concuren al acestor drepte, se numete centru de omologie al triunghiurilor ABC i ABC.ABCCBAO33Teorema1.5.2( DESARGUES ): Dac dou triunghiuri ABCi ABC sunt astfelsituatenct drepteleAA,BB, CCsuntconcurente,atuncilaturile corespunzatoare BC iBC, CA i CA, AB i AB se intersecteazn puncte coliniare.Grard Desargues (n. 21 februarie 1591 - d. octombrie 1662) a fost un matematician i inginer francez, considerat unul dintre fondatoriigeometriei proiective, supranumit Monge al secolului al XVII-lea.Acesta inea la Paris lecii publice gratuite , lecii pe care unii la porecleau Lecii de umbre(Leons des tnbres).N-a fost neles de contemporani. I se respinge prima lucrare de perspectiv. A doua Ciorn de abordare a fenomenelor produse de intersecia conului cu un plan s-a pierdut. n 1845 Michael Chasles(1793-1880) gsete o copie a acesteia.DemonstraieAplicnd teorema lui Menelaus n triunghiurile OBCi transversala BC, OCAi transversala AC i OAB cu transversala AB se obin pe rnd:coliniare P N, M,Menelaus, lui teoremei reciprocei conform deci ; 1 obtine se membru cu membrurelatii trei cele inmultind ; 1''''; 1''''; 1'''' PBPANANCMCMBAAO AO BBBPBPACCO CO AAANANCBBO BO CCCMCMBComentariu: 1.Dreapta care conine punctele M, N, Pse numete axa de omologie a celor dou triunghiuri.2.Dac dreptele AA, BB, CC sunt necoplanare i toate trei se ntlnesc ntr-un punct O, astfel nct laturile triunghiurilor ABC si ABC snu fie respectiv paralele, atunci dreptele BC i BC, CA i CA, AB i AB se intersecteazn puncte coliniare.34ABCBACMNPO DemonstraiePunctele A,C,A,C sunt situate pe dreptele concurente AA i CC, deci sunt coplanareDreptele AC i AC nu sunt paralele deci sunt concurente. Fie punctul lor de intersecie M. Analog AB i AB se intlnescn N i BC i BC sunt concurente n P. Dar punctele M,N,P aparin pe de o parte planului ABC dar i planului ABC, deci sunt situate pe dreapta de intersectie a celor doua plane. Rezulta coliniaritatea punctelor M,N,P.Observaia 1.5.3: Dac dou din laturile triunghiurilor sunt paralele de exemplu BC iBC, restul enunului rmnnd acelai, se dovedete uor c BC || NM|| BCObservaia 1.5.4: DaclaturiletriunghiurilorABCiABC sunt respectivparalele,deci (ABC) || (ABC) i convenind c dou drepte paralele au un punct comun la infinit,respectiv dou plane paralele auo dreapt comun la infinit, nenunul teoremei luiDesargues nu mai este nevoie de specificaia ca laturile triunghiurilor ABC i ABC nu suntrespectiv paralele.Enunulse simplific,dar n acelai timp capt un plus de ncrctura prin generalizare.Observaia 1.5.5: Teorema lui Desargues nplan mai poate fi demonstrat i prin metoda proieciei.Aceasta metod permite rezolvarea unor probleme de geometrie plan cu ajutorul geometriei n spaiu.35CBCBA1A1abAAcOP1DemonstraieFiea,b,ctrei dreptenplan, concurentenOi triunghiurileABCi ABC au vrfurile respectiv pe aceste drepte, laturile corespunztoare nefiind paralele. Notnd cu planul dreptelor a,b,c i planul perpendicular pe care trece prin O i printr-o dreapt a, careseproiecteazpeplanuldupdreaptaa. FieprA1=Ai prA1=A. Laturile triunghiurilor A1BC i A1BC care ndeplinesc condiia teoremei lui Desargues n spatiu, se intersecteaz n punctele coliniare M1,N1,P1 care se vor proiecta n M,N,P pe planul . Cum proiecia unei drepte pe un plan esteo dreapt, sau un punct- ns n acest caz cum M1N1 nu este perpendicular pe , proiecia nu poate fi un punct atunci ea este o dreapt, deci M,N,P coliniare.Reciprocateoremei lui Desargues:FietriunghiurileABCi ABC. Daclaturile corespunztoare BC i BC,AC i AC,AB i AB se intersecteaz n puncte colineare,atunci triunghiurile ABC i ABC sunt omologice.1.6.TRIUNGHIURIORTOLOGICETeorema1.6.1(CARNOT , 1803) Dac proiectm un punct M pe laturile unui ABC n punctele A, B ,C atunci avem relaia:(1)AB2 - AC2 +BC2 - BA2+CA2 - CB2 = 0 Demonstraie: Relaia este evident deoarece :AB2 - AC2 = MB2 MC2.Reciprocateoremei lui Carnot:Dac A, B ,C sunt trei punctepe laturile unui ABC care satisfac relaia (1) , atunci perpendicularele n A, B ,C pe laturi sunt concurente.36 Demonstraie: Fie Mintersecia perpendicularelor n B ,C i A proiecia lui M pe latura BC.Din (1) AB2 AC2 +BC2 - BA2+CA2 - CB2 = 0AB2 - AC2 = AB2 AC2 A= ATeorema1.6.2(SOONS ,1886):Considerm un triunghi ABC i o dreapt d; proiectm vrfurile A , B , C pe dreapta d n A, B ,C. Perpendicularele duse din A, B ,C pe laturile BC , CA, ABsunt concurente. Demonstraie: C

C A Bd A B B A C Fie A, B ,C proieciile punctelor A, B ,C pe laturi AB2 AC2= AB2 - AC2=AB 2 AC 2 BB 2 + CC 2 relaia (1) este verificat. Spunem c punctul de concuren este ortopolul dreptei d.Fie O un punct n planul ABC .Trei perpendicularepe AO , BO , CO formeaz un ABC.Relaia dintreABC iABCeste astfel nct perpendicularele din vrfurile ABC pe laturile ABC sunt concurente. B A B CC O O

C B

37 AArtm c aceast relaie este simetric.Fiepunctul Aproieciavrfului ApelaturaBCiarB, Cpuncteanaloage. Conform construciei avem :( AB 2 -AC 2 ) = 0dar: AB 2 -AC 2 = AB 2 AC 2. Relaia devine : AB 2 AC 2 + BC 2 BA 2 + CA 2 CB 2 = 0 (2)In concluzie , pentru ca perpendicularele din vrfurile ABC pe laturile ABC s fie concurente este necesar i suficient s fie satisfcut relaia (2). De aici rezult urmtoarea teorem:Teorema1.6.3( STEINER, 1828) :Dac perpendicularele duse din vrfurile unui triunghi pe laturile altui triunghi suntconcurente atunci proprietatea este simetric.JacobSteiner(n.18martie1796-d.1aprilie1863)afostunmatematicianelveiancareaadus contribuii importantendomeniulgeometrieii almecanicii. Astfel i sunt atribuiteteoremalui Steiner, teorema PonceletSteiner, suprafaa lui Steiner i problema lui Steiner. Remarcat de marele pedagog elveian Pestalozzi , Jacob Steiner , fiu de ran , cioban pn la vrsta de 19 ani , la 22 de ani devine student n matematici la Heidelberg , se dedic geometriei i ajunge profesorla Universitatea din Berlin. Preocupatmai ales de configuraiile i construciile geometrice , n 1833 public la Berlin Geometrische Konstruktionen , unde, printrealtele, demonstreazcoriceconstruciecuriglai compasul sepoateefectuacuriglai compasul rigid(fix). Se mai spune c la 14 ani Steiner era , nc analfabet. Teorema Steiner-Lehmus (Triunghiul cu dou bisectoare egale este isoscel) , formulat de Lehmus n 1840 , este demonstrat de Steiner prin exprimarea bisectoarelor n funcie de laturi. Spunemctriunghiurilecare auaceastproprietatesuntortologiceiar punctele de concurenO , O sunt centrele de ortologie.Teorema1.6.4:Dou triunghiuri simetrice n raport cu o dreapt sunt ortologice. Demonstraie:FieABCiABC,punctul A- proiecia punctului A pe BC, iar Bi Cpuncte analoage AB 2 -AC 2 = AB 2 AC 2 , darAB = ABi relaia (2) este verificat.38OrrACBMN 1.7.CERCUL1.7.1.DefiniiiDefiniia1.7.1.1:Cercul cu centrul n O i de raza r este mulimea tuturor punctelor din plan situate la distana r fata de O. Se noteaz C(O,r). Definiia1.7.1.2: Dac A este un punct al cercului, distanadintre punctul A i O este raza cercului.

39OrOrA BdDefiniia1.7.1.3:DacMi Nsunt doupunctealeunui cerc, segmentul [ ] MN se numete coard.Definiia1.7.1.4:O coard ce conine centrul cercului se numete diametru.n figura 1,[ ] AC ,[ ] MNsunt coarde, iar[ ] ABeste diametru. Definiia1.7.1.5:Cercurile care au raze egale se numesc cercuri congruente.Definiia1.7.1.6:Dac dou cercuri au acelai centru i aceeai raza,ele coincid.Definiia1.7.1.7:Cercurile care au acelai centru se numesc cercuri concentrice. Definiia1.7.1.8:Fiind dat cercul C(O,r), mulimea punctelor M din plan pentru care OM < r se numete interiorul cercului i se noteaza: IntC(O,r).Definiia1.7.1.9:Mulimea punctelor Ndinplanpentrucare ON>r, se numete exteriorul cercului i se noteaza:ExtC(O,r).Definiia1.7.1.10:Se numete discdecentruOi razar, r >0, mulimea C(O,r) IntC(O,r) i se noteaz D(O,r).Propoziia1.7.1.11:Fiind date dou puncte distincte Asi B, exist oinfinitate de cercuri ce conin punctele A i B . 40Fie d mediatoarea segmentului [ ] AB . Punctele mediatoarei d au proprietatea c sunt egal deprtate de capetele segmentului [ ] AB . Atunci orice cerc care are centrul pe mediatoarea segmentului[ ] ABconine punctele A si B.Propoziia1.7.1.12:Oricare trei puncte distincte ale unui cerc sunt necoliniare.Propoziia1.7.1.13:Prin trei puncte necoliniare trece un cerc.Propoziia1.7.1.14:Dac A, B, C sunt trei puncte distincte ale unui cerc, atunci centrulcercului se afl la intersecia mediatoarelor triunghiului ABC.Propoziia1.7.1.15:Dac doucercuri au trei puncte distincte comune, atunci ele coincid.EXERCIII1)S se construiasca triunghiul ABC i apoi cercul circumscris triunghiului.1. AB=7cm; AC=8cm; BC=9cm;2. AB=AC=6cm; BC=10cm3. AB=6cm; AC=8cm;BAC=0904. AB=AC=BC=8cm2)Se dau punctele A i B asfel inct AB=5cm.Exist cercuri de raza 2cm care sa conina punctele A i B? Dar de 2,5cm? Cte cercuri de raza 4cm trec prin punctele A i B? 1.7.2.Unghi la centru. Arce de cerc Definiia1.7.2.1:Ununghi carearevrful ncentrul cercului senumeteunghi la centru.41COABOADBCDefiniia1.7.2.2: Mulimea punctelor de pe cerc situate n interiorul unghiului AOB reunite cu A i B se numeste arc mic i se noteazaAB.Definiia1.7.2.3:Mulimea punctelor de pe cerc situate inexteriorul unghiuluiAOB, reunite cu A i B se numete arc mare i noteaz ACB, undeAOB Int C .Punctele A i B se numesc capetele arcelor.Definiia1.7.2.4:Dac A i B sunt capetele unui diametru, arcele se numesc semicercuri.Definiia1.7.2.5: Msura arcului mic este egala cu 0a ; masura arcului mare este egala cu 0 0360 a ; masura unui semicerc este 0180 .Definiia1.7.2.6:Dou arce sunt congruente dac au aceeai masur.

Teorema1.7.2.7: La arce congruente corespund coarde congruente(in acelai cerc sau n cercuri congruente). Demonstraie:Se dau arcele AB si CD congruente.42OABCDMNAMBABCOMNCOD AOB cazul LUL[ ] [ ][ ] [ ]' COD AOBDO BOCO AO=>[ ] [ ] CD ABReciproca.Lacoarde congruente corespund arce mici congruente( nacelai cerc sauncercuricongruente)Teorema 1.7.2.8:Dac A i B sunt doupuncte distincte ale unui cerc, atuncidiametrul perpendicular pe coarda AB mparte coarda i arcele n doupricongruente. Demonstraie:Diametrul [ ] MN esteperpendicular pe coarda[ ] AB . AOB este isoscel, [ ] OA i [ ] OB fiind raze.OC face parte din diametrul cercului, deci este nlime n triunghi. Rezult c OC este i median, deci [ ] [ ] CB AC . Dar [ ] OC esteibisectoare, deci COB AOC deunde rezult c i arcele sunt egale.Teorema1.7.2.9:Dacdoucoarde ale unui cerc sunt congruente, atunci distanele de la centru la coarde sunt egale.43A BCDMN Demonstraie:COD AOB avnd toate laturile congruente , rezult c i nlimile[ ] ONsi[ ] OMsunt congruente.Teorema1.7.2.10: Dac A i B sunt doupuncte distincte ale unui cerc i punctul M aparine arcului determinat de ele, atunci msura arcului AB este egal cu msura arcului AM plus msura arcului MB.Teorema1.7.2.11:Dac[ ] ABi[ ] CDsunt doucoardeparalelealeunui cerc, iarpunctele A i C sunt situate de aceeai parte a diametrului perpendicular pe coarde atunci:arcele mici AC i BD sunt congruente ; coardele AC i BD sunt congruente.Demonstraie:44MN este diametrul perpendicular pe coardele[ ] ABi[ ] CD=>M este mijlocul arcului AB iar N este mijlocul arcului CD => ACiBD sunt congruente ca fiind diferene de arce congruente. Arcele fiind congruente i coardele sunt congruente.PROBLEME1. Care este masura unghiului format de acele unui ceas la ora 9 i 25 de minute? Dar la ora 9 i 15 minute?2. Se consider intr-un cerco coarda[ ] ABi diametrul[ ] MNperpendicular pe ea.Unghiul AOB este de 055 . S se afle msurile arcelor AM, AN, MB, BN.3. Se d cercul cu raza de 6cm.Punctele A i B sunt pe cerc i determin arcul AB cumasurade060 .Ssecalculezemrimeacoardei ABi distanadela punctul B la OA.4. Intr-uncerc se iaucoardele paralele [ ] AB i [ ] CD . Diametrul [ ] MN le intersecteaz n punctele P i T astfel nct[ ] [ ] OP OT . S se arate c :a) [ ] [ ] CD AB. b)Arcele AB i CD sunt congruente. c)Punctele C, O i B sunt coliniare. d)ABDC este un dreptunghi.5. Intr-un cerc de centru O coarda[ ] CDintersecteaz diametrul[ ] ABintr-un punct E astfel nct unghiul m(CEB ) = 30. Fie [ ] FG diametrul perpendicular pe CD, punctul F fiind de aceeai parte a lui CD ca i A. Dac AE=2cm si EB=6cm: a)s se calculeze distana de la O la CD; b)s se calculeze msurile arcelor mici AF, FB i BG; c)s se demonstreze c arcele mici FB i AG congruente; 1.7.3.Poziiile relative ale unei drepte fa de un cerc. 45OABO MdO Td dFig.2Fig.3 Fig.1Definiia1.7.3.1:Dreaptasecant fa de un cerc este dreapta care are dou puncte comune cu cercul: A i B.(fig.1)Definiia1.7.3.2:Dreapta tangent la cerc este dreapta care are un singur punct comun cu cercul.(fig.2)Teorema1.7.3.3:Dreapta tangent la cerc este perpendicular pe raz n punctulde intersecie al ei cu cercul.Definiia1.7.3.4:Dreapta exterioar cercului este dreapta care nu are puncte comune cu cercul.(fig.3)PROBLEME 1.Fie ABC un triunghi echilateral cu latura de 6cm, iarC un cerc cu centrul n A i raza 2cm. Stabilii poziia dreptei BC fa de C(A,2cm). 2.Fie M, N dou puncte pe dreapta d astfel nct MN=8cm, iar O un punct exterior dreptei d astfel nct OM=10cm id ON . Stabilii poziia dreptei d fa de cercul C(O,r) dac r este egal cu: a) 6cm; b) 2cm; c)8cm; d) 3cm. 1.7.4.Unghi nscris n cerc Definitia1.7.4.1: Unghiul BAC se numete unghi nscris n cercul C(o,r) dac A,B iC apartin cercului C(o,r).46O OOABCMPQSTVAOBCBACBACO OUnghiurile BAC, MPQ i STV sunt unghiuri inscrise in cerc. Arcele mici BC, MQ, respectiv SV sunt arce cuprinse ntre laturile unghiurilor nscrise.Definitia1.7.4.2:SpunemcaABCestenscrisincercdacvrfurilesaleaparin cercului.Teorema1.7.4.3:Msura unui unghi nscris n cerc este jumtate din msura arculuicuprins ntre laturile sale.In figurile de mai sus avem: ( ) ,_

BCm BAC m21( )

,_

MQm MPQ m21( ) ,_

SVm STV m21Teorema1.7.4.4:Msura unui unghi cu vrful pe cerc, avnd una din laturi secant,iarcealaltlaturtangentcercului, estejumtatedinmsuraarcului decercinclusn interiorul unghiului.47OABCDT

Cazul I: BAC este ascutit. 2) () (A B mBAC m Cazul II:BAC este obtuz.2) () (A B mBAC m Cazul III: BAC este drept. 2) () (A B mBAC m =90 1.7.5.Unghi cu vrful n interiorul cerculuiTeorema1.7.5.1:Unghiul cu vrful in interiorul cerculuiATC( care este congruent cuDTBfiind unghiuri opuse la vrf) are ca msur jumtate din suma msurilor arcelor cuprinse ntre laturile sale. ) ( ATC m2) ( ) ( B D m C A m +bAvem aceeai relaie pentruCTB ATD ( opuse la vrf)

2) ( ) () (B C m D A mATD m + 1.7.6.Unghi cu vrful n exteriorul cercului48OABCDPTeorema1.7.6.1:Unghiul cuvrful nexteriorul cercului,APBarecamsur jumtate din diferena msurilor arcelor cuprinse ntre laturile sale.

2) ( ) () (D C m B A mAPB m PROBLEME1. Punctele A,B,C,D,Ese afl n aceast ordine pe cerculC(O,r) astfel nct 060 ) ( ) ( ) ( D C m C B m B A m iar 050 ) ( D E m. a) Calculai msurile unghiurilorACB ADB AEB , ,b)Artai c (DB este bisectoareaADC .c)Artai c A, O, D sunt coliniare.2. In triunghiul ABC0100 ) ( A m iar050 ) ( B m . Fie Ocentrul cercului circumscris triunghiului ABC.a) Calculai msurile arcelor mici AC,AB,BC.b) Artai cABC Int O .c) Calculai unghiurile triunghiului AOC. d) Fie D un punct situat de aceeai parte a dreptei BCca ipunctul A astfel nct 050 ) ( DCA m . Demonstrai c DC este tangenta la cerc.3. In triunghiul ABC, m(060 ) A ), m(075 ) B . Tangenta n Ala cercul circumscris triunghiului intersecteaz BC n D. Calculai msurile unghiurilor triunghiurilui ADB.1.7.7.Poziiile relative a dou cercuri49OOMOOMBAOOAFie dou cercuri) , (1 1 1R O Ci) , (2 2 2R O C . Distana dintre centrele celor dou cercuri este 2 1O O . Avem urmatoarele cazuri:1. 2 1O O>2 1R R+; Fie ) , (2 2 2R O C M ;2 2R M O :Atunci 1 2 2 1 2 2 1 1) ( R R R R M O O O M O + > In acest caz cercurile se numesc exterioare2. 2 1 2 1R R O O +

Cercurile au un singur punct comun A. Dac ar mai avea un punct comun B, atunci:2 1 2 1R R B O B O + +i 2 1O O B , dar 2 1 2 1 2 1R R O O B O B O + > + , contradicie.Cercurile se numesc tangente exterior.3. 2 1 2 1R R O O

In acest caz cercurile sunt tottangente dar,sunt tangente interior.PuncteleA O O , ,2 1 sunt coliniare.50OOABMOOAB4.2 1 2 1 2 1R R O O R R + < < In acest caz cercurile au doupuncte comune i ele se numesc secante.5. 2 1 2 1R R O O ABCHBCAAC => A- se afl pe cercul circumscris.Teorema1.9.2:Simerticele ortocentrului unui triunghi fa de mijloacele laturilor suntsituate pe cercul circumscris , diametrale vrfurilor.Demonstraie:Fie: A1- mijlocul laturii BC A2- simetricul lui Hfa de A1BHCA2 - paralelogram=> CA2 || BH , CA2AC , BA2AB =>A A2- diametru.Fie O centrul cercului circumscris ABC => AH = 2OA1(1) =>Distana de la un vrf la ortocentru este dublul distanei de la centrul cercului circumscris la latura opus.FieAA1 OH = {G},AH || OA1 =>AG = 2GA1 =>G-centrul de greutate al .

AH = 2OA159 Atunciavem: Teorema1.9.3:ntr-un triunghi , centrul cercului circumscris , ortocentrul i centrulde greutate sunt colineare i : HG = 2GO(2)Definiia 1.9.4:Numim dreapta Euler , dreapta punctelor O ,G ,H. Din HBA HAB i analoagele => HA HA = HB HB = HC HC(3) Teorema 1.9.5: Considerm cerculo de centru O i punctul H. Dac M este un punctmobilpe cercul o , mulimea mijloacelor segmentelor HM este un cerc cu centrul n mijloculdistanei OH i de raz , jumtate din raza cerculuiO. Demonstraie:Fie R raza cercului dat 0 , O mijlocul distanei OH i N mijlocul segmentului HM => ON 1OM 1 R , punctulO este fix i O N constant , ceea ce justific enunul. 2 2 Definii a1.9.6: Numim patrupunct ortocentroidal figura format din treipuncte A , B ,C i ortocentrul H al ABC. Matematicianul Carnot(1801) a enunat cteva proprieti ale acestuipatrupunct i anume:*Oricare din punctele unui patrupunct ortocentroidal este ortocentrul triunghiului formatde celelalte trei puncte.*Cercurile circumscrise celor patru triunghiuri ale unui patrupunct ortocentroidal suntegale.*Bimedianele unui patrupunct ortocentroidal sunt egale.*Suma ptratelor laturilor opuse unui patrupunct ortocentroidal este aceeai.Definii a1.9.7 :Numim triunghiortic , triunghiulformat din picioarele nlimilor unuitriunghi dat.Teorem 1.9.8: Fie ABC un triunghi i punctele A=prBC A , B=prAC B ,C=prAB C. Atunci:i)Triunghiurile ABC , B AC , C BA sunt triunghiuri asemenea cu triunghiul ABC.ii)Semidreptele [AA, [BB , [CC sunt bisectoarele unghiurilor triunghiului ortic.60iii)Ortocentrul triunghiului ABCeste centrul cercului nscris n triunghiul ortic ABC,iar vrfurile triunghiului ABC sunt centrele cercurilor exnscrise triunghiului orticABC.iv)Tangentanpunctul Alacercul circumscris triunghiului ABCesteparalelcu dreapta BC.v)Dintre toate triunghiurile nscrise n triunghiul ABC , triunghiul ortic are perimetrulminim.(teorema lui Feuerbach). Demonstraie:i)FieABC i ABC, H ortocentrul ABC .BCBC-patrulater inscriptibil deoareceABBACC=> BCantiparalel la BC => ABCABC , ACBACB=> ABCABC.ii) Din i) =>CABBAC( BAC) => [AA bisectoarea BCA.iii)Din ii) => ortocentrul H al ABC este centrul cercului nscris n triunghiul ortic ABC.Fie B punctul n care semidreapta [AB intersecteaz cercul circumscris triunghiului => CBABBA => [BA- bisectoarea CBB => A- centrulcercului exnscris triunghiului ortic ABC tangent laturii [BC]iv)Folosind congruenele de unghiuri marcate pe figur=> tangenta n Ala cercul circumscris triunghiului ABC este paralel cu dreapta BC.v)Observmc dac Mparcurge dreapta BC => BM+ MC este minim dac BMCCMB (fig. )Fie :B1-simetricul lui B fa de BC. 61{M1}=BCCB1Oricare ar fi MBC , M M1 avem:M1C + M1B = M1C + M1B1 = CB1 < CM + MB1 = CM + MB => M1 este punctul de pe dreapta BC cu proprietatea cMC + BM este minim .CM1BB1M1C=> CM1BBM1C.BM1C B1M1CFie ABC nscris n ABC , A (BC) , B (AC) , C(AB). Fixnd dou cte dou vrfurile acestui triunghi , se obine c minimul perimetrului se atinge cnd laturile triunghiului ABC sunt egal nclinate pe laturile triunghiului ABC , deci cnd unghiurile marcate pe fig.sunt congruente. Folosind acelai raionament ca la ii) => A , B , C -centrele cercurilor exnscrise triunghiului ortic ABC =>[AA- bisectoareaBAC =>CACBAA=> AABC.Analog => BB AC , CC AB => ABC- triunghi ortic. 1.10.TRIUNGHIUL PODARDefiniia1.10.1: FieABCi punctul M(ABC). Proiectndpunctul MpelaturileABC n punctele A1 , B1 , C1 , obinem A1B1C1 numit triunghiul podar al punctului M.Teore m1.10.2: Laturiletriunghiuluipodar suntproporionale cu produsele AMBC , BMCA , CMAB.Demonstraie :Avem relaiile:m(BMC) = m(BMA1) + m (CMA1) = m(BC1A1) + m(CB1A1) = =m(B1AC1) + m(B1A1C1), sau 62(1) = A + A1 , notnd prin , , - unghiurile sub care sunt vzute laturile din punctul M.n cercul AB1C1 de diametru AM , coarda B1C1 i unghiul subntins A stau n relaia(2) B1C1=AM sin A,sau(3) B1C1 1AM BC2R Teorema 1.10.3(Pompeiu, 1936) :Cudistaeleunui punct lavrfurileunui triunghiechilateral putem s formm un triunghi.Demonstraie :Deoarece o latur a unui triunghi este cel mult egal cu suma celorlalte dou , B1C1 A1B1 + A1C1 rezult cpentru patru puncte A, B , C , M arbitrare n plan, avem relaia :(4) AMBC BM CA + CM AB. n particular , dac ABC este echilateralavem:(5) AM BM + CM Relaia (4) devine o egalitate dac punctele A1 , B1 , C1 sunt coliniare , deci m(A)=0 i atunci din relaia (1), = A ,adic punctul M este situat pe cercul circumscris.Teorema 1.10.4(Simson) :Proieciile ortogonale ale unui punct Mde pe cerculcircumscris triunghiului ABC pe laturile acestuiasunt coliniare.Spunem c A1B1C1estedreapta Simson a punctului M, n raport cuABC.Demonstraie:63Fie : A1 = prBCM , B1 = prACM, C1 = prABM.AB1MC1 ,MB1A1C,ABCM patrulatere inscriptibile.Unim A1 cu B1 i B1 cu C1 =>m(A1B1C) = m (A1MC) = 900 m (A1CM) = 900 m(C1AM) = = m(C1MA) = m(C1B1A)=> C1B1AA1B1C =>=> A1, B1, C1 sunt situate pe aceeai dreaptReciproca teoremei lui Simson:Fie M un punct exterior ABC i fie A1 = prBCM , B1 = prACM,C1 = prABM . Dac A1, B1, C1 sunt coliniare , atunci M se afl pe cercul circumscris ABC.Demonstraie :A1, B1, C1 sunt coliniare=> A1B1C AB1C1B1MC1A , MB1A1C patrulatere inscriptibile=> =>m(A1B1C) = m(A1MC) = 900 m(MCB) m(AB1C1) = m(AMC1) = 900 m(C1AM) =>MCBC1AM => dar A1B1C AB1C1=>ABCM patrulater inscriptibil => M se afl pe cercul circumscris ABCObservaia1.10 .5: Fie Mun punct pe cercul circumscris ABCi A intersecia cercului cuperpendicularadinMpelaturaBC. DreaptaAA esteparalelcudreapta Simson a punctului M.Teorema 1.10.6(Schooten): DacMesteunpunct situat pearcul BCal cerculuicircumscris triunghiului echilateral ABC , atunci existrelaia: AM = BM + CM A64B1BC

MDemonstraie :FieB1(MA) astfel nct MB1 = B1B.m(BMA) = m(BCA) = 600 => MBB1- echilateral => B1B = BM = MB1ABB1[AB] [BC]CBM[B1B] [BM] => ABB1 CBM => MC = AB1=> ABB1 MBC AM = AB1 + B1M = MC + MBTeorema 1.10.7(LALESCU): FieABCi A1B1C1doutriunghiuri nscrisencerculC(O, R). Dac dreapta lui Simson a punctului A1nraport cu triunghiul ABCeste perpendicular pedreapta B1C1 , atunci :i)aceast proprietate este adevrat pentru toate vrfurile A1B1C1.ii)DrepteleSimsonalevrfurilorABCnraport cuA1B1C1sunt perpendicularepe laturile ABC.Demonstraie:FieC(O , R ) circumscris ABC i fie B1 , C1 C(O , R ).-perpendiculara din A peB1C1 retaie cercul n A2.-perpendiculara din A2 peBC retaie cercul n A1.AA2 este paralelcu dreapta Simson a punctului A1 n raport cu ABC .65AA2 B1C1 => dreapta Simson a punctului A1 n raport cu ABC este perpendicular pe B1C1.Fie {D}=BC B1C1 =>B1DB AA2A1 => m(AA1) = m(BAB1) m(CC1).Dac se iau arcele n acelai sens , atunci: m(BAB1) = 3600 m(BCB1)Folosind ultimele dou egaliti=> m(AA1) = m(BAB1) +m(CC1) = 00(*)i)Deoarecerelaia(*)estesimetricn A1, B1, C1=>dreaptaSimsonavrfului B1este perpendicular pe A1B1 i de asemenea dreapta Simson a vrfului C1 este perpendicular pe A1B1.ii)Relaia (*) este simetric pentru ABCi A1B1C1=> dreapta Simson a vrfului A n raport cu ABC este perpendicular peBC.1.11.PATRULATERE 1.11.1.Patrulaterul complet Definiia1.11.1.1: Se numete patrulater complet ABCDEF un patrulater ABCD, unde {E}=ABCDi{F}=BCAD.Segmentele[AC] , [BD] , [EF]senumesc diagonaleale patrulaterului complet. Teorema1.11.1.2:(GAUSS , 1810):Cercuriledescrisepe diagonalele unui patrulatercomplet ca diametri fac parte dintr-un fascicol.Demonstraie :Fiepatrulaterul format de laturile unui triunghiABC i transversala A1B1C1.Ducem inlimileAA , BB , CC ale triughiului , concurente n ortocentrul H. HA HA = HB HB = HC HC => H are aceeai putere fa de cercurile descrise pe AA1 , BB1 , CC1 ca diametri.Hareaceeai puterefadeortocentreletriunghiurilorAB1C1, BC1A1, CA1B1=> cercurile (AA1) , (BB1) , (CC1)au o ax radical comun.66Teorem1.11.1.3(Dreapta lui Gauss):.Mijloacele celor trei diagonale ale unuipatrulater complet sunt coliniare. Demonstraie. FieABCDEFpatrulaterul complet i G, H, Lmijloacelediagonalelor(AC), (BD), (EF). Se cere s se demonstreze c punctele G, H, L sunt coliniare.Faptul cG, H, Lsunt mijloaceleunorsegmentenesugereazideeasfolosim cunotinele referitoare la proprietatea liniei mijlocii ntr-un triunghi, iar concluzia teoremei ne poate conduce spre utilizarea teoremei lui Menelaus i a reciprocei sale.Dinipoteztimcpunctul Gestemijlocul segmentului (AC). DucndprinGo paralel la AF, aceasta va intersecta pe (CD) n M, mijlocul lui (CD), i pe (CF) n N, mijlocul lui (CF). De aici deducem c:AD GMAP GN2121(1)Ducnd prin H, mijlocul lui (BD), o paralel la latura (BF) din triunghiul BDF, acesta vaintersecta pe(CD)npunctul M, mijlocul lui (CD), iar pe (DF) n punctul R, mijlocul segmentului (DF).De aici deducem c:67A DBCEFLG HMNRBC HMBF HR2121(2)Deoarecentriunghiul DEF punctul Restemijlocul laturii (DF)ipunctul Leste mijlocul laturii (EF), urmeazcdreaptaRLesteparalelcuDEi nacelai timpva intersecta segmentul (CF) n N, mijlocul segmentului (CF). De aici deducem:BC LMED LR21,21(3)Pe de alt parte, observmc punctele G, H, Lsunt pe prelungirile laturilor triunghiului MNR. Acest fapt conduce la concluzia c putem folosi reciproca teoremei lui MenelauspentruadovedicpuncteleG, H, Lsuntcoliniare. nacestsensvatrebui s demonstrm c este adevrat relaia:1 HRHMGMGNLNLR(4)Pentru aceasta trebuie s calculm n funcie de valorile gsite mai sus rapoartele din expresia (4). Fcnd operaiile indicate gsim:BFBCHRHMADAFGMGNECEDLNLR|,,(5)nmulind membru cu membru relaiile (5) obinemBFBCADAFECEDHRHMGMGNLNLR (6)n felul acesta am redus problema de la a dovedi existena relaiei (4) la a arta c membrul drept al relaiei (6) este egal cu 1. Aceasta se poate arta uor prelungind laturile triunghiului DCF pn intersecteaz transversala AB care potrivit teoremei lui Menelaus ne d:681 ADAFBFBCECED(7)Egalitatea(7), inndseamadeegalitatea(6) nedposibilitateasdeducemc relaia:1 HRHMGMGNLNLR(8) este adevrat.Deci potrivit reciprocei teoremei lui Menelaus, punctele G, H, L sunt coliniare. Dreapta determinat de aceste trei puncte se numete dreapta Newton-Gauss a patrulaterului complet ABCDEF.Teorema1.11.1.4(BROCARD):Fie ABC i A1, B1 , C1puncte oarecare pe laturile [BC], [AC], respectiv[ AB]. Atuncicercurile circumscrise triunghiurilor AB1C1, BC1A1,CA1B1 au un punct comun (numit primul punct al lui Brocard).Demonstraie:Se considercercurile circumscrise AB1C1 , BC1A1care se intersecteaz n M.AB1MC1 patrulater inscriptibil => AB1M MC1BBA1MC1 patrulater inscriptibil => MC1B MA1C =>

69=> MA1CB1- patrulater inscriptibil => cercul care trece prin punctele A1 , C i B1 trece i prin punctul M de intersecie al celorlaltedou cercuri. 1.11.2.Patrulaterul inscriptibilDefiniie 1.11.2.1;Patru puncte (sau mai multe) se numesc puncte concilice dac exist un cerc cruia s-i aparintoate cele patru puncte.Definiie 1.11.2.2:Unpatrulater se numete inscriptibildac cele patru vrfuriale sale sunt puncte conciclice.AB ODCPropoziia1.11.2.3:ntr-un patrulater inscriptibil, unghiurile opuse sunt suplementare.Propoziia1.11.2.4:Unghiurile formate de diagonale cu dou laturi opuse suntcongruente.Demonstraia acestor afirmaii este imediat folosind mrimea arcelor subntinse de aceste unghiuri.Propoziia1.11.2 . 5:Un patrulater este inscriptibil dacinumai dacmediatoarele laturilor sale sunt concurente.A70B O

DC Demonstraie: => Se considerun un patrulater ABCD, care este inscriptibil, adicexist un cerc C(O,r) care conine punctele A,B,C,D. Atunci OA = OB = OC = OD = r, deci punctul O se aflpe mediatoarele segmentelor [AB], [BC], [AC], [AD].CBK ABD.Se observ ctriunghiurileABK DBC, =>=>AK ABCDBDiar ABD KBC=> CK BC DABD

Putem scrie:AK BD = AB CDCK BD = AD BCi adunnd aceste relaii obinem relaia lui Ptolemeu. Observaia1.11.2.8:Se pot deplasa punctele A,B,C,D pe cerc oricum, dar ca relaia luiPtolemeu s se verifice este necesar ca AC iBD s rmn diagonale.Observaia1.11.2.9:ncazul ncare ABCDeste dreptunghi, relaialui Ptolemeu devine teorema luiPITAGORA.Observaia1.11.2.10:TeoremaPtolemeuconineformuladeadiiuneasinuului icosinusului .

Demonstraie: Fie punctele A i C diametrale iar punctele Bi D de-o parte i de alta; lum ca unitate diametrul cercului i notm cu a =ACBi b = ACD => AB =sin a , BC =cos a , AD = sin b , CD = cos b , BD = sin( a + b )Relaia (2) devine:72sin( a + b )= sin a cos b + sin b cos a Fie punctele A i D diametrale iar punctele Bi C de aceeai partea diametrului AD.Notm : a = ADBi b = DAC => AD = 1 , AB = sin a , DC = sin b , DB = cos a, AC = cos b, BC = cos ( a + b )=> sin a sin b+ cos ( a + b ) = cos a cos b Teorema1.11.2.11 (ADOUATEOREMALUI PTOLEMEU) :ntr-un patrulater inscriptibil , raportul diagonaleloresteegal curaportul sumelorproduselorlaturilordela capetele fiecrei diagonale.Demonstraie:Cu lungimile AB = a , BC = b , CD = c , DA = dformm trei patrulatere nscrise diferite , n ordinea abcd cu diagonalele l , m ; acdb cu digonalele l , n ; adbc cu digonalele n, m.Scriem pentru fiecare patrulater teorema lui Ptolemeu :ac + bd = lm , ad + bc = ln , ab + cd = mn, mprind ultimele dou relaii=> ab + bc l, ab + cdmsau (3) ABAD + CBCD AC.BA BC + CD CA BDObservaia 1.11.2.12 :Dei aceast teorem poarta numele de adoua teorem aluiPtolemeu , ea nu-i aparine. Aaprut prima oar nopera lui Brahmagupta , iar demonstraia este dat dup Hadamard.Teorema1.11.2.13:Dintre toate patrulaterele convexe de laturi date , patrulaterulinscriptibil are aria maxim.Demonstraie:A x ab73Bdy c DC

FieAB =a , AD = b ,CD =c , CB = d, care satisfac condiiile :a 0 , p b > 0 , p c > 0 , p d > 0Aplicm teorema lui Pitagora generalizatn : BAD => BD2 =AB2+ AD2 -2ABADcos( BAD) BD2 = a2 +b2-2 ab cosx(*) BCD => BD2 =BC2+ CD2 2BCCDcos(BCD) BD2 = d2 +c2-2dc cosy(**)Egalnd relaiile (*) , (**) => (6) a2 +b2-2 ab cosx = d2 +c2-2dc cosyAria patrulaterului se obine adunnd ariile celor dou triunghiuri :AABCD = ABAD + ABCDAABCD = 1( ab sinx +cd siny ) 2Presupunem cy este funcie de x conform relaiei (6) => AABCD este funcie numai de x. => maximul ariei va fi atins cnd derivata n raport cu x este nul:ab cos x + cd cos y = 0Pe y l scoatem din relaia (6) : ab sin x = cd sin y Eliminndu-l pe y => (7)x + y = 1800 => patrulaterul este inscriptibil.74Observaia 1.11.2.14 :Aceast teorem a fost enunat de Huygens (1675) , dar a fostdemonstrat prima oar de Cramer (1752).Teorema1.11.2.15:Ariapatrulatrului inscriptibil delaturi a, b, c, destedatde formula : (8) S=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)Demonstraie:Aa dfB e bcC DFieAB =a ,BC = b, CD =c, AD = d , BD = e , AC = f i BAD = A=>( 9) e2 = a2 + d2 2 ad cosA = b2 + c2 + 2 bc cosA =>(10)cos A a 2+ d 2 - b 2- c 2. 2( ad + bc ) => 4(ad + bc )2 (a2 + d2- b2 - c2 )2= [ (a + d)2 (b c)2] [(b + c)2 (a d)2]= =(a+d+b-c)( a+d-b+c)(b+c+a-d)(b+c-a+d)Notnd :a +b + c + d = 2p=>=> sin A 2 (p-a)(p-b)(p-c)(p-d) ad + bc => S =(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)Dar AABCD = ABAD + ABCD 1 ad sinA +1bc sin A 2 2 Observaia 1.9.2.15 :Formulaapareprimadatnoperalui Brahmaguptadareste datorat probabil lui Arhimede. 75 1.11.3.Patrulaterul circumscriptibil Definiia1.11 .3.1: Un patrulater care are cele patru laturi tangente unui cerc senumete patrulater circumscris cercului.Definiia1.11 .3.2: Un patrulater spunemc este circumscriptibil dac poate ficircumscris unui cerc.Nu putem spune c orice patrulater este circumscriptibil.Teorema 1.11.3.3 :Unpatrulater poatefi circumscris unui cercdaci numai dac bisectoarele unghiurilor sale sunt concurente.Demonstraie: ADB O C=>ConsidermunpatrulaterABCDcircumscris unui cerc,adiclaturilesale [AB], [BC], [AC], [AD] sunt tangente la un cerc C(O, r). => d(O,AB) = d(O,BC) = d(O,CD) = d(O,AD) = r => deci punctul O se aflpe bisectoarele unghiurilor A,B,C,D.AB + CD = AM + MB + DP + CP = AQ + BN + DQ + CN = AD + BC.Observaia 1.11.3.5: Dac cercul este exnscris patrulaterului , atunci diferena a dou laturi este egal cu diferena celorlalte dou. Teorema 1.11.3.6 (NEWTON , 1687): Dreapta care unete mijloacele diagonalelor unuipatrulater circumscris unui cerc trece prin centrul cercului.A B M O NC DFie M-mijlocul lui AC , N- mijlocul lui BDAvem relaiile areolare : (MAB) + (MCD) 1 (ABC) +1 (ACD) 1(ABCD)2 22 (NAB) + (NCD)1 (ABC) +1 (ACD) 1(ABCD).2 22Mulimea punctelor P pentru care (PAB) + (PCD)= constant este o dreapt. Artm c i centrul O satisface aceste relaii. Notm cu r raza cercului => (OAB) + (OCD) 1rABC +1rCD 1(AB + CD) 2 22AQ M D B P NC77Dar AB + CD = BC + AD=> (ABCD) 1r(AB + BC +CD +DA) = r(AB + CD) =>2=> (OAB) + (OCD) = 1 (ABCD) 2 CAPITOLUL IICERCURIREMARCABILE2.1.CERCULCELORNOUPUNCTE(CERCUL LUI EULER)L eonhard Euler (n. 15 aprilie 1707, Basel, Elveia - d. 18 septembrie 1783, Sankt Petersburg, Rusia) a fost un matematician i fizician elveian. Leonhard Euler este considerat a fi fost fora dominant a matematicii secolului al 18-lea i unul dintre cei mai remarcabili matematicieni i savani multilaterali ai omenirii. Alturi de influenaconsiderabilpe care aexercitat-oasupramatematiciiimatematizrii tiinelorstauatt calitateai profunzimea, cti prolificitateaextraordinarascrierilorsale, operasa exhausiv (dac ar fi publicat vreodat) putnd cu uurin umple 70 - 80 de volume de dimensiuni standard. n 1720,la numai 13 ani Euler intr la Universitatea din Basel, unde studiaz filosofia. Curios este ca aceast Universitate i-a refuzat mai trziu postul de profesor.n aceast perioad primete lecii de matematic de la Johann Bernoulli, care i descoperise talentul remarcabil i l convinse pe tatl su s l orienteze spre cariera matematic. n 1726 i lu doctoratul cu un subiect privitor la propagarea sunetului. n1727i seacordMarele Premiual Academiei Francezedetiineprinrezolvareproblemei referitoare la dispunerea optim a catargelor unei nave. Mediul politico-social nefavorabil l oblig pe Euler s prseascRusia. n1741acceptpropunerealuiFredericcelMarealPrusieideaveni laAcademiadin Berlin.Aicivalocuiurmtorii25deanidinvia,perioadfoarteprolific, ncarevascriepeste380de articole, 200 de scrisori pe teme tiinifice i va publica dou din crile sale referitoare la analiza matematic. O mare nenorocire l lovete n anul 1735: i pierde complet vederea la un ochi. n 1766 s-a rentors n Rusia, dar orbete complet. Totui, chiar i n aceast situaie el continu s dea lucrri de o excepional valoare tiinific..Dup ntoarcerea n Rusia n 1766,lucreaz i mai ndrjit.Revistele Academiei din Petersburg nu-i mai puteausatisface productivitatea. Euler alucrat naproape toate ramurile matematicii printre care geometrie, calcul, trigonometrie, algebri teorianumerelor. El este ofigur reprezentativ nistoria matematicii, iar operele sale,multe dintre ele de interes fundamental, dac ar fi tiprite ar ocupa ntre 60 si 80 volume. Numele lui Euler este asociat cu numeroase subiecte. A cercetat i a adus n atenia lumii tiinifice operamatematicianuluii enciclopedistuluiarabMuhammedIbnAhmedAbuRaihamAl Biruni. Eulera introdus i a popularizat cteva convenii de notare n numeroasele sale manuale. El a introdus noiunea de funcie i a fost primul care a notat f(x) pentru aplicarea funciei f elementului x. De asemenea, el a introdus notaiamodernpentrufunciile trigonometrice, literaepentrubazalogaritmului natural (cunoscut n prezent drept numrul lui Euler), literagreceascapentrusumi literai pentruunitateaimaginar. Folosirea literei greceti pentru raportul dintre circumferina unui cerc si diametrul su a fost de asemenea popularizat de Euler, chiar dac ideea nu a pornit de la el. Dezvoltarea calculului a fost cea care a iniiat cercetarea nmatematic nsecolul 18, iar familia Bernoullis, prieteni de familie ai lui Euler, aufost responsabili pentru progresul n acest domeniu. Datorit influenei lor, calculului a devenit obiectul de studiu principal al lui Euler. 78Chiar dac unele teorii ale lui Euler nu sunt acceptate de standardele moderne ale matematicii, ideile sale au condus la mari progrese. El este foarte cunoscut n analiza matematic pentru utilizarea frecvent a seriilor puterii: exprimarea unor funcii cu ajutorul unor sume.Teorema2.1.1.Fie triunghiul oarecare ABCi punctul Hortocentrul su.Atuncimijloacele laturilor , picioarelenlimilor i mijloacele segmentelor [AH] , [BH] , [CH]sunt nou puncte conciclice.(fig 1) Demonstraie :Fie: A1 mijlocul lui [BC]B1 mijlocullui [CA]C1 mijlocullui [AB]A2 , B2 , C2 picioarele nlimilor din A , B , CA3 - mijlocul lui[AH]B3 - mijlocul lui[BH]C3 - mijlocul lui[CH]=>A1B1C1A2 trapez isosceldeoarece : B1C1||BC B1C1||A1A2( B1C1 linie mijlocie n ABC)A1B1 1 AB (A1B1 linie mijlocie n ABC) 2A2C1 1 AB (A2C1 mediana corespunztoare ipotenuzei n AA2B- dreptunghic )2=> A1B1C1A2 patrulater inscriptibil => A2 cercului circumscris A1B1C1.79Analog=> B2 , C2 se afl pe acelai cercA1B1A3C1-inscriptibil deoarece : A1B1 ||AB (A1B1 linie mijlocie n ABC)B1A3 || CC2 (B1A3 linie mijlocie n AHC)CC2 AB => B1A3 A1B1 => m(A1B1A3) = 90.Analog => m(A1C1A3) = 90 =>A3 cercului circumscris A1B1C1Analog i punctele B3 i C3 sunt situate pe acelai cerc. MediatoarelesegmentelorA1A2, B1B2, C1C2trec prin mijlocul segmentului OH , deci cercul celor nou puncte are centrul n mijlocul al lui OH i raza r9 1 R2Teorema2.1.2:Punctele O , G , H sunt situate pe o dreapt ( dreapta lui Euler) i HG = 2GO (fig 1).Demonstraie:FieAA1 median , AA1OH = {G}AHGA1OG=> conform T.F.A.AH G A 2=> G = G( centrul de greutate al OA1GA1triunghiului)802.2.TEOREMALUI IEICA Gheorghe ieica(n. 4/17 octombrie1873,Drobeta Turnu-Severin- d.5 februarie1939,Bucureti), matematician i pedagog romn. Profesor la Universitatea din Bucureti i la coala Politehnic din Bucureti. Membru alAcademieiRomneialmai multoracademii straine, doctorhonoris causaalUniversitiidin Varovia.S-a ocupat n special cu studiul reelelor din spaiul cu ndimenisuni, definite printr-o ecuaie a lui Laplace. Creator al unor capitole din geometria diferenial proiectiv i afin, unde a introdus noi clase de suprafee, curbe i reele care ii poarta numele. Prin numeroasele lucrri de matematic elementar i de popularizare a tiinei, pe care le-a publicat de-a lungul ntregii sale viei, a contribuit la ridicarea nivelului nvamntului matematic din Romnia.mpreun cu Ion Ionescu, A. Ioachimescu i V. Cristescu, a nfiinat revista Gazeta matematic, iar cuG.G. LonginescupublicaiaNaturapentrurspndireatiinelor. CuD. Pompeiuaeditat revista Mathematica.Teorema 2.2.1Trei cercuri congruente au un punct comun P i se mai intersecteaz dou cte dou n punctele A , B , C. Cercul circumscris triunghiului ABC este congruent cu cele trei cercuri. Demonstraie:ABCO1O 2O3deoarece : O1O 2 BC pentru c O2BPO3 , O2B || PO3 , PO3O1C, PO3||O1C( romburi ) => O2BCO1-paralelogram i analog. O1O 2O3 are centrul cercului circumscris n P, raza R= PO1 =PO2= PO3 .Teorema 2.2.2.(o generalizare a teoremei lui ieica): Trei cercuri de raze R1, R2 , R381au un punct comun P i se mai intersecteaz dou cte dou n punctele A , B i C. Razacercului circumscris ABC esteR= R1 R2 R3 , unde P este puterea punctului P fa |P|de cercul circumscris O1O 2O3 determinat de centrele cercurilor date. ABCO3 O1O2 , raportul lor de asemnare fiind de 1. 2 O3 O1O2 se numete triunghiul podar al punctului P fa de ABC.Lema2.2.3:Fie ABC , M un punct din planul su i A1, B1, C1picioarele perpendicularelor din M pe laturileBC , CA , AB. Atunci [A1B1C1]|M|, undeM=OM2 R2 este puterea punctului M fade cercul[ABC] 4R2 C(O,R) circumscrisO1O2O3.Demonstraie:A1B1C1-triunghi podarABC triunghi circumpedalA1B1C1 ABCMAMA = MBMB = MC MC=|M|A B MA =>AB AB MA MA AB | M| ( MAB MBA ) AB MBMA MBMAMBAnalog =>BC BC | M| iCA CA| M|. MB MC MC MAMC-diametrul cerculuicircumscrisA1B1C i aplicnd teorema sinusului n acelai triunghi => A1B1 = MC sinC MC AB (1) =>2R82 MC AB A1B1 2R MA MB MC ,ABAB | M|2 R| M| MA MBi analoagele.A1B1 B1 C1A1C1 AB BC CA=>[A1B1C1] MA 2 MB 2 MC 2 [ABC]4R2 2 Mdar [ABC] AB BC C A | 3 M | => [ABC] ABBC CA MA2 MB2MC2=> [A1B1C1] | M| => conform lemei 3.2.3. , [ABC] 4R2 [O 1O 2O 3] |P|, under raza cercului circumscris O1O2O3 => [O1O2O3] 4r2=>O 1O 2O 2O 3O 3 O 14r |P|, r raza cercului circumscris O1O2O3. O1O2O2O3O 3 O14r2 4rDar O 1O 2 PO3 , adic relaia(1) cu alte notaii. =>O1O22r=>PO1 PO 2 PO 3.r |P|=> R1 R 2 R 32r R 8r3 r 4r2|P| Consecine:1)Dac R1 = R2 = R3 = r atunci P este centrul cercului circumscris O1O2O3 deci P=r2=> R r 3 r (Problema lui ieica ). r2 2)Dac P coincide cu I (centrul cercului circumscris O1O2O3= este centrulcercului circumscris ABC) avem : 2rIO1 IO 2 IO 3. innd cont c IO1 r i R2 OI2 sinO1 2sinO1 . sinO2. sinO3r =>R2 OI2 = 2Rr (Euler).2 22 4R 3)DacPcoincidecu H ortocentrul O1O2O3 => 2. R HO1 HO 2 HO 3,dar 2 R2 OH283O1H = 2 R cos O1=> OH2 = R2 ( 1 8 cosO1 cosO2 cosO3 ) , unde r i R suntraza cerculuinscris respectivcircumscris O1O2O3.Teorema2.2.4.(Salmon).Pe un cerc se consider punctele A , B , C i P . Cercurile de diameterePA ,PB , PC se ntlnesc dou cte dou n trei puncte coliniare. Demonstraie:Cele trei puncte ncare seintersecteaz diametrele , PB, PCsunt picioarele perpendicularelor din P pe laturile triunghiului => teorema lui Salmon este echivalent cu teorema lui Wallace (dreapta lui Simson).Teorema lui Salmon este o completare la limit a teoremei 3.2.2.FiecercurileC(O1, R1),C(O2,R2),C (O3,R3) de diametre PA, PB,PC => PO1O2O3 patrulater inscriptibilfiind omoteticul patrulaterului PABC => puterea punctului P fa de cercul circumscris O1O2O3este 0 => raza cercului care trece prin cele trei puncte de intersecie este infinit => cercul devine dreapta lui Simson.84 2.3.CERCURILE LUI LEMOINE mileMichel HyacintheLemoine(n.22noiembrie1840,Quimper,Franad.21februarie1912, Paris) afost uninginer i matematicianfrancez, profesorlacolePolytechnique. Acestaesteconsiderat printele geometriei triunghiularemodernei adevenit celebruprindemosntrareaexistenei unuipunct Lemoine n cadrul unui triunghi.Teorema 2.3.1(STEINER): Fie triunghiuloarecare ABCi AA1 ,AA2 ceviene izogonale.Atunci: A1B. A2B AB 2 A1C A2CAC2 Demonstraie:A C2 B2 CBA1 A2 B1 C2Fiepunctele: B1 proiecia punctului B pe AA1C1 - proiecia punctului C pe AA1 B2 proiecia punctului B pe AA2 C1 proiecia punctului B pe AA2A1BB1 A1CC1 ( triunghiuridreptunghice) => A1B BB1A1CCC1A2BB2 A2CC2 ( triunghiuridreptunghice) => A2B BB2A2CCC2Inmulind cele dou egaliti , avem :85A1B . A2BBB1. BB2(1)A1C A2CCC1 CC2ABB2 ACC2 ( triunghiuridreptunghice , m(BAB2) =m(CAC1) ) => BB2 AB(2) CC1ACBAB1 CAC2 ( triunghiuridreptunghice , m(BAB1) =m(CAC2) ) => BB2 AB(3) CC2ACDin (1) , (2) , (3) =>A1B. A2B AB 2( teorema lui Steiner ). A1C A2CAC2Defini ia2.3.2:Izogonala medianei se numete simedian.Observaia2.3.3 :DacM este piciorul simedianei atunci:BM AB2 (pentrucBN 1 ) CMAC2 NCObservaia2.3.4 :Simedienele sunt concurente . Punctul lor de concuren se noteaz cu K i se numete punctul lui Lemoine.Teorema2 .3.5: Simedianele mpart antiparalelele la laturi n pri congruente.A YMXXP BAC Demonstraie:Fie XY antiparalel la BC86AA simediana din AAA XY = { M } Prin X ducemo paralel la BC care intersecteazpe AA n P i pe AC n X.Aplicm teorema lui Menelaus n XXY , transversala fiind AMP =>AY. PX . MX 1, darAYX AXXdeoarece :A unghi comun=>AXPXMYAXYAXX=>AY AX = AX2 AY AX 2 AX AX2DarAX 2 AB 2 ( din teorema lui Thales ) A B PX . => AY PX MX 1 => AX2 AC2 AC PX AXPX MY=> MX 1 MX = MYMYTeorema 2.3.6.AntiparalelaXY la latura BC este perpendicular pe raza OA a ceculuicircumscris ABC.Demonstraie:Fie: AD- diametrul cerculuiAE-nlime, E (BC)AD ,AE ceviene izogonalepentru c m(BAE)= m(CAD) = 90 - m(B).XY antiparalel la BC , m(XYA) = m(B) => m(AFX) = 90- m(B) + m(B)= 90.87Teorema2.3.6(PRIMUL CERC AL LUI LEMOINE):Paralelele duse prin punctul K allui Lemoine la laturile ABC intersecteaz laturile triunghului n ase puncte conciclice.Demonstraie:Fie A1 , A2 BC , B1 , B2 AC , C1 , C2 AB astfel nct B1C2 || BC , A1B2 || AB , C1A2 || AC => AC1KB2 paralelogram, AKC1B2={ M } AK-simedian => C1B2-antiparalel la BCAnalog,A1C2-antiparalel la ACB1A2-antiparalel la ABA1B2C1C2- trapez isoscel pentru cm(AC1B2)= m(BCA)= m(BC2A1) => A1 , B2 ,C1 , C2 sunt pe acelai cerc.C1C2A1A2 patrulater inscriptibil pentruc C1A2|| AC=>m(BC2A1)=m(BA2C1) (=m(BCA)A1A2B1C2 - patrulater inscriptibil fiind trapez isoscel => punctele A1 , A2, B1, B2, C1, C2 sunt pe un cerc numit primul cerc al lui Lemoine.Fie L-mijlocul lui OK, C1B2 antiparalel , OA razC1B2OA LM- linie mijlocie n AKO => LM- mediatoarea segmentului C1B2Analog, mediatoarea segmentului A1C2 trece prin L => L este centrul primului cerc al lui Lemoine.Observaia2.3.7 : AntiparaleleleA2B1 ,B2C1 , C2A1 sunt paralele.88Observaia2.3.8 : A1B1C1C2A2B2 , A1B1C1C2A2B2ABCm(A1B1C1)=m(C2A2B2)=m(C) pentru c m(A1C1)=m(B2C2) i C1A1 B2C2i A1B1 C2A2Teorema2.3.9 (ALDOILEACERCALLUI LEMOINE): Antiparalelele duse prin punctul K al lui Lemoine la laturile triunghiuluiABC , intersecteaz laturile triughiului n ase puncte conciclice.Demonstraie:Fie A1, A2 BC , B1, B2 AC , C1, C2AB astfel nct C2B1, A2C1i B2A1 antiparalele la laturile BC , CA , AB.KA1A2 isoscel pentru c m(KA1A2)=m(KA2A1)=m(BAC)=> KA1 KA2KB1B2 isoscel pentru c m(KB1B2)=m(KB2B1)=m(ABC)=> KB1 KB2KC1C2 isoscel pentru c m(KC1C2)=m(KC2C1) = m(ACB)=> KC1 KC2, dar KA1 KB2 , KB1 KC2 , KC1 KA2 pentru cK punctul de intersecie al simedianelor este mijlocul celor trei segmente =>A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 aparin unui cerccu centrul n K , numit al doilea cerc al lui Lemoine.Observaia 2.3.10: Antiparalelele A1B2 B1C2 C1A2(fiind diametre n al doilea cerc allui Lemoine).Observaia 2.3.11: A1B1C1i A2B2C2aulaturile perpendiculare pelaturile ABC (pentru c A1B2 , C1A2 , B1C2 sunt diametre).Observaia 2.3.12: A1B1C1 B2C2A2i sunt asemenea cu CAB89A1B1 B2C2pentru c A1B1B2C2 paralelogram (diagonalele se njumtesc) nscris , deci este un dreptunghi.m(C1A1B1) = m(C) = m(A2B2C2) (fiind unghiuri cu laturile perpendiculare).Observaia 2.3.13 : A1A2 B1B2 C1C2. cosAcosB cosCn KA1A2 isoscel ,m(KA1A2)=m(KA2A1)= m(BAC) =>=> A1A2 cosA=>A1A2 2 KA1 2KA1 cosAnKB1B2 isoscel , m(KB1B2)=m(KB2B1)=m(ABC)=>=> B1B2 cosB =>B1B22KB1. 2KB1cosB n KC1C2 isoscel,m(KC1C2)=m(KC2C1) =m(ACB) =>=> C1C2cosC => C1C22KC1 2KC1cosCDar KA1 = KB1 = KC1 => A1A2 B1B2 C1C2.cosAcosB cosC 2.4.CERCURILE LUI TUCKER 90Teorema 2.4.1.Trei antiparalele congruente intersecteaz laturile triunghiului ABC , n ase puncte conciclice. Demonstraie:Fie A1 , A2 BC , B1 , B2 AC , C1 , C2 AB astfel nct: A2B1 antiparalel la AB B2C1 antiparalel la BC C2A1 antiparalel la CAiA2B1 B2C1 C2A1B2C1C2A1- trapez isoscel , pentru c : B2C1 C2A1 m(B2C1C2) = m(A1C2C1)= 180- m(C) =>=>B2C1C2 A1C2C1 (L.U.L.) B2C2A1 A1C1B2(L.U.L.)=> m(C2A1B2) = m(C1B2A1) => m(C2A1B2) + m(A1C2C1) = m(A2B2C1) + m(B2C1C2) = 180.Analog , C2A1A2B1 , A2B1B2C1 trapeze isoscele => sunt inscriptibile C1C2A1A2 patrulater inscriptibil deoarece C2A1 antiparalel la CA => C2A1 antiparalel laC1A2 (C1A2||AC)=> A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 aparinunui cercnumit cercul lui TUCKER.Fie A0- mijlocul segmentului B2C1 , A0 AK B0 - mijlocul segmentului C2A1 , B0 BKC0 - mijlocul segmentului A2B1, C0 CK91A0B0, B0C0, C0A0linii mijlocii ntrapeze=>A0B0ComoteticcuABC, centrul omotetiei fiind Kiar raportul de omotetie A0B0 k.ABMediatoarea segmentuluiB2C1KO = { T }nAKO,A0T || AO ( AO B2C1)=> KTKA0 A0B0 k .KOKA ABAnalog , mediatoarele segmentelor C2A1 , A2B1 trec prin acelai punct T pentru care KT k . Deci , centrul cercului lui Tucker este semidreapta (KO. KOObservai a2.4.2 : A1B1C1 C2A2B2i sunt asemenea cu ABC.Observaia2.4.3 :Cele dou cercuri ale lui Lemoine sunt cazuri particulare de cercuriTucker. CAPITOLUL IIIASPECTE METODOLOGICE GENERALE ALE PROCESULUI INSTRUCTIV-EDUCATIV3.1.CARACTERIZAREA GENERALAPROCESULUI DEPREDARE NVARE92Ca orice aciune care s duc la o schimbare radical i rapid , reforma nvmntului nu se vrea un scop n sine ,ci este ghidat de o viziune de ansamblu asupra finalitaii spre care tinde: un nvmnt apt de a face fa dinamicii continue a societii contemporaneprinprodusulsu, absolventul. Aceastreformimpunereconsiderri eseniale anumitor componente ale activitii instructiv-educative.Porninddelanoileorientri alepsihologiei, onoudidactici croietedrum, o didactic a metodelor active, participative, n careelevul nu mai este un simplu receptor de informaie, ci subiect al cunoaterii i aciunii. Acesta este specificul didacticii moderne.naceastabordaremodern, tehnologia instruirii semnific un mod sistematic de proiectare, realizare i evaluare a ntregului proces de nvare i predare, n concordan cu obiectivele pedagogice asumate, antrenndnstructura saprincipalele componente ale procesului de instruire. Considerat n procesualitatea sa , nvmntul reprezint o alternan continu de activiti de predare i nvare , care alctuiesc o unitate organic.Dintreprincipalelecomponentealeprocesului deinstruire,obiectivelepedagogice prezint un interes cu totul deosaebit.Ele corespund unor opiuni i prioriti sociale majore cu privire la informaia i deprinderile pe caretrebuie s le dobndeasc elevii , cu privire la judecile de valoare i comportarea acestora.Ca orice activitate , obiectivele se prefigureaz lanceputul aciunii, dardobndescexpresiepalpabil lancheiere,rezultatelefiindcele care atest atingerea obiectivelor.De mare importan pentru lecia propriu-zis, ca entitate de instruire , sunt obiectivele operaionale, care descriu comportamente concrete pe care elevii le dobndesc n fiecare secven a procesului instructiv-educativ.O poziie cheie n ansamblul celorlalte componente ocupconinutul leciei, reprezentnd principalul mijloc de realizare a obiectivelor propuse, dnd sens efortului de nvare.n proiectarea unei lecii, determinarea coninutului specific, stabilirea unei concordane depline ntre coninut i obiective, constituie urmtoarea problem de rezolvat dup stabilirea obiectivelor.93Dei programa prevede clar materia de predat i manualul continu s rmn un punct de pornire pentru elaborarea oricrei lecii, totui coninutul acestuia trebuie prelucrat dectre profesorpentrua-l face transmisibil, inteligibil, uori temeinic de asimilat.Prelucrarea coninutului manualului privitor la unitile de nvare tratate n cadrul experimentului pedagogic efectuat conformsituaiei pedagogice concrete n care se desfoar activitatea didactic este de mare importan pentru sporirea eficienei nvrii, nsuirii sistemului de lecii.Dozarea informaiei pe care o ofer manualul, documentaia suplimentar, trebuie fcutcumareatenie, densitateaei trebuindreglatnfuncie detimpul afectat, de capaciatatea i ritmul de lucru al elevilor.Unalt aspect esenial naceastprobleml constituierigurozitateatiinificaa informaiei, asigurarea acurateei tiinifice a coninutului, precum i concentrarea asupra esenialului, scoaterea n eviden a celor mai importante i semnificative concepte. Structura conceptual a secvenelor de nvare se aaz pe ideea de baz a coninutului de idei.Avndnvederenoileachiziiidin didacticageneral,strategiiledidacticesepot defini casistemedemetode, procedee, mijloacei formedeorganizareaactivitiide instruire/autoinstruire, integratenstructuri operaionale, caresuntmenitesasigureo nvareactivicreatoareacunotineloriabilitilor, sasigureonvareactivi creatoare a cunotinelor i abilitilor i sraionalizeze procesul instruirii.Strategia didactic ofer o baz de trecere de la concepie la aciune. Adoptarea unei strategiididactice echivaleaz cu adoptarea unui program al instruirii la nivelul leciei, a unei structuri metodice propriu-zise . Deci, strategia ofer soluii de ordinstructural-procesual, dar i metodic, determinnd o anumit ordine de continuare a diferitelor metode, procedee,mijloace iforme de grupare a elevilor.Strategia arat ce face profesorul i ce face elevul, punnd n eviden capacitatea cadrului didactic de a aciona eficient i de a-i face i pe elevi s acioneze n virtutea aceluiai el.Pstrndu-i i n prezent valoarea deosebit pentru atingerea obiectivelor educaionale, leciarmne modalitatea principalde organizare a activitii didactice, prin 94intermediul creia se realizeaz n acelai timp informare i formare, instruire i educare. Astzi, ea este neleas ca un dialog ntre profesor i elevi, subordonat obiectivelor generale i specifice ale procesului de nvmnt, operaionalizate la nivelul colectivului de elevi. Mai mult, lecia modern se constituie ntr-un program didactic, respectivun sistem de procedee de lucru i aciuni comune ale profesorului i ale elevilor, structurate i organizate n vederea atingerii obiectivelorinstructiveducativepropusei nvedereaactivizrii elevilorn procesul didactic.n cadrul procesului instructiv educativ,metodologia didactic, respectiv sistemul de metode i procedee didactice care asigur atingerea obiectivelor propuse, ocup poziia central. n didactica modern, metoda de nvmnt este neleasca un mod de aciune,care tinde s plaseze elevul ntr-osituaie de nvare, mai mult sau mai puin dirijat, care s se apropiepnlaidentificarecuunadecercetaretiinific, deurmrireidescoperirea adevrului i de legare a lui de aspecte practice ale vieii.Valoarea unei metode este apreciat n raport cu sarcinile care trebuie realizate prin intermediul ei. nalegereasistemului demetodei procedeeproprii fiecrei lecii din cadrul unitilor de nvare am avut n vedere faptul c aparatul metodic trebuie s asigure nelegerea profund a problemelor tratate i s acioneze n aa fel nct s asigure pe tot parcursul leciei participarea activ a elevilor, efortul lor propriu n dobndirea informaiilor, naplicareacunotintelor, nelaborareadeprinderilor, nformareaunor caliti intelectuale i de personalitate.nsenslarg, prin mijloacede nvmntnelegem totalitatea resurselor materiale special concepute i realizate pentru a fi utilizate de profesor n activitatea de predare i de elevi n cea de nvare . Integrarea lor n procesul de nvmnt trebuie s rspund unei finaliti pedagogice,s contribuie la realizarea obiectivelor urmrite.ncontextul modernizrii i perfecionrii nvmntului contemporanapareca necesar i obiectiv introducerea calculatorului n coal i valorificarea lui n instrucie i autoinstrucie, ndeosebi prinsistemul educaional modernnumit instruireaasistatde calculator(I.A.C). Acest sistem bazat pe I.A.C. va realiza trecerea de la nvarea indus bazat pe nelegere la nvarea interactiv bazat pe dialogul inteligent cu calculatorul, 95carepoateamplificacapacitateadeprelucrarei asimilareainformaiilor, poatespori performanele intelectuale. 3.2.EVALUAREANPROCESUL DEPREDARE NVARE Evaluareaesteocomponentesenialaaprocesului instructive/educativ, atriadei instruire-predare-evaluare, avndcascopcunoatereaefecteloractivitii desfuraten vedereaoptimizarii ei, pebazacolectrii, organizrii iinterpretrii rezultatelorobinute prin intermediul instrumentelor de evaluare.De asemenea rolul ei este s depisteze limitele 96nvrii, greeli, lacune, nivel preasczut decunotine, dificulti ninterpretareai aplicarea cunotinelor , pentru depirea acestora i realizarea progresului colar. Funcii principale i specifice ale evalurii Funcia diagnostic - ce vizeaz depistarea lacunelor, greelilor i nlturarea acestora ; Funcia prognostic-care anticipeaza performanele viitoare ale elevilor; Funcia de selecie- permite clasificarea i ierarhizarea elevilor ; Funcia de certificare-care relev competenele i cunotine