Unghiul a dou drepte din spaiu. Prin unghiul a dou drepte din spaiu, nelegem orice unghi mai mic sau cel mult egal cu 90, format, n orice punct al spaiului, prin ducerea de paralele la dreptele date. Dac dreptele sunt paralele, atunci unghiul a dou drepte este egal cu 0. Perpendiculara comun a dou drepte necoplanare. Dac se dau dou drepte a i b necopanare, atunci exist o dreapt unic d, perpendicular att pe a ct i pe b, care le intersecteaz pe amndou. Adic, exist o dreapt i numai una, perpendicular pe dou drepte necoplanare i care se sprijin pe ele.

Perpendiculare i oblice. Distana de la un punct la un plan.

Perpendiculara dus dintr-un punct P exterior planului este mai scurt dect orice oblic dus

din acelai punct P la planul . Dou oblice duse din punctul P la planul sunt congruente, dac i numai dac picioarele lor sunt egal deprtate de piciorul perpendicularei coborte din punctul P.

Prin distana de la punct A la un plan , nelegem lungimea segmentului AB, unde B i este piciorul perpendicularei dus din punctul A la planul .

Prin distana ntre planele paralele i nelegem distana de la punctul P la planul care este constant, indiferent de alegerea punctului P.

Pag. 152.

Un plan este perpendicular pe planul , dac conine o dreapt d perpendicular pe acesta. Dac se dau dou plane perpendiculare, atunci perpendiculara dintr-un punct oarecare al primului

plan pe cel de al doilea este n ntregime coninut n primul plan: u , A , B i AB u

(AB .

Prin unghiul dintre planele i , nelegem valoarea comun a tuturor unghiurilor formate ntre

dou drepte d i g, unde d u , i g u .

Prin unghi diedru, nelegem figura format de dou semiplane delimitate de aceeai dreapt d,

provenit din dou plane diferite i care conin dreapta d numit muchia diedrului. Prin unghi plan al unghiului diedru, nelegem valoarea unghiului dintre dou semidrepte a i b,

ambele avnd originea n acelai punct P, P d, perpendiculare pe d i coninute respectiv n cele

dou semiplane i care formeaz unghiul diedru. Unghiul planelor i este congruent cu unghiul plan al diedrului, dac acesta nu este obtuz, i este congruent cu suplementul acestuia n caz contrar (dac este unghi obtuz).

1. Fie dou drepte paralele a i b. Ce se poate spune despre proieciilor lor pe acelai plan ? Rezolvare. DESEN a) Fie a proiecia dreptei a pe planul , iar b proiectia dreptei b pe planul . Fie planul determinat de dreptele a i

a, iar planul determinat de dreptele b i b. Avem u i u . Planele i , care sunt paralele (deoarece sunt

perpendiculare pe un acelai plan) intersecteaz planul dup dou drepte paralele, adic a t b.

b) Dac dreapta b este inclus n planul format de dreptele a i a, atunci dreptele a i b sunt confundate (suprapuse).

c) Dac a u i b u, atunci proieciile celor dou drepte sunt punctele A i respectiv B.

3. Fie triunghiul oarecare ABC, care se proiecteaz pe planul , dup triunghiul A1B1C1. S se demonstreze c:

a) mijloacele M, N, P ale laturilor AB, BC, CA se proiecteaz pe planul n punctele M1, N1, P1 care sunt mijloacele laturilor A1B1, B1C1, C1A1;

b) centrul de greutate G al triunghiului ABC se proieteaz pe planul n punctul G1 care este centrul de greutate al triunghiului A1B1C1.

a) Cum punctele A, M, B sunt coliniare (din ipotez), atunci ele se proiecteaz pe planul n punctele coliniare A1,

M1, B1, AA1tBB1tMM1, iar 1 1

1 1

A MAM

MB M B (deoarece avem trei drepte paralel intersectate de dou secante). Cum din

ipotez AM = MB, atunci 1 1 1 1 1 11 1

1A M

A M M BM B

, adic planul M1 este mijlocul segmentului [A1B1].

Analog demonstrm c: 1 1 1 1 1 11 1

1B N BN

B N N CN C NC

, adic N1 este mijlocul segmentului [B1C1];

1 11 1 1 1

1 1

1A P AP

A P PCPC PC

, adic punctul P1 este mijlocul segmentului [A1C1]..

b) Cum punctele B i P se proiecteaz pe planul n punctele B1 i P1, putem spune c mediana [BP] se proiecteaz

pe planul n mediana [B1P1]. Pentru centrul de greutate G al triunghiului ABC, avem proprietatea: 2

1

BG

GP , G

(BP). Cum punctele B1, G1, P1 sunt coliniare i

1 1

1 1

2

1

B G BG

G P GP , atunci rezult B1G1 = 2 G1P1, adic punctul G1 este centrul de greutate al triunghiului A1B1C1.

1. Dou oblice care pleac din acelai punct exterior unui plan , au lungimile de 20cm i respectiv de 16cm. Proiecia pe plan a primei oblice are lungimea de 15cm. S se calculeze

lungimea proieciei celei de a doua oblice pe acelai plan . Rezolvare. DESEN Fie punctul O, proiecia punctului A pe planul , BO i CO proieciile oblicelor AB i AC pe planul . Aplicm teorema lui Pitagora n triunghiul dreptunghic AOB, cu

90m AOB : 2 2 2 2 2 220 15 20 15 20 15 35 5 25 7 5 7cmAO AB BO AO AO .

Din triunghiul dreptunghic AOC cu 90m AOC , avem: OC2 = AC2 AO2 OC2 = 162 25 7 = 81 = 92 OC = 9cm.

2. Se consider unghiul xoy n planul i un punct M care nu aparine acestui plan. Dac punctul M este egal deprtat de laturile unghiului xOy, atunci s se demonstreze c proiecia punctul M

pe planul aparine bisectoarei unghiului xOy.

Reciproc. Dac proiecia punctul M pe planul aparine bisectoarei unghiului xoy, atunci s se demosntreze c punctul M este egal deprtat de laturile unghiului xOy. Demonstraie. DESEN Fie punctul H proiecia punctului M pe planul . Din faptul c MH u i MA u Ox, Ox , avem HA u Ox.

Din faptul c MH u i MB u Oy, Oy , avem HB u Oy. Din congruena triunghiurilor dreptunghice MHA i

MHB, care au cateta MH comun i ipotenuzele MA = MB (din ipotez), rezult c i catelele HA = HB. Cum aceste catete sunt i perpendiculare pe laturile unghiului, putem spune c triunghiurile dreptunghice HOA i HOB sunt

congruente (I.C.). Astfel am obinut c m HOA m HOB , adic (OH este bisectoarea unghiului xoy. Deci

punctul H, care este proiecia punctului M pe planul , aparine bisectoarei unghiului xoy.

S se demonstreze c ntr-o proiecie pe un plan , se pstreaz valoarea raportului a dou

segmente de pe aceeai dreapt d, neinclus n planul . Demonstraie. Fie punctele A, B, C d. Fie punctele A1, B1, C1 proieciile punctelor A, B, C pe planul unde A1, B1, C1 g.

Dreptele d i g, concurente, determin un plan , n care sunt incluse dreptele paralele AA1, BB1, CC1. Dac prin punctul A, construim o paralel h la dreapta g, atunci n planul format de dreptele d i h, teorema lui Thales rmne adevrat i avem:

2

2 2

ABAB

BC B C . Aplicm teorema care spune c paralele ntre paralele determin segmente de lungimi egale, obinem:

AB2 = A1B1, B2C2 = B1C1. Astfel 1 1

1 1

A BAB

BC B C , adic valoarea raportului este aceeai.

4. Fie triunghiul echilaterial ABC, avnd latura [BC] coninut n planul , iar punctul H este

proiecia puncutlui A pe planul . tiind c AB = a, 90m BHC , s se calculeze

tg ABH .

Triunghiurile ABH i ACH sunt congruente, deoarece AB = AC, AH catet comunc i AH u BH, AH u HC (din

ipotez H este proiecia punctului A pe planul ), astfel obine c HB = HC. Deci triunghiul BHC este dreptunghic i

isoscel ( 90m BHC din ipotez). Dac punctul D (BC) i HD u BC, atunci BD = DC deoarece ntr-un triunghi isoscel nlimea corespunztoare bazei este i median. Conform teoremei celor trei perpendiculare, avem:

AH u BC , HD u BC AD u BC. n ABC, avem: 2

aBD DC ,

3

2AD a .

n BHC, avem: BC = a, 2

aBD DC DH ,

2 2

2 2 2 22 2

2 2 4 2

a aBH BD DH a BH a

.

n tringhiul AHB, cu 90m AHB , avem 2

2 2 2 2 22 2 2

2 4 2AH AB BH a a a AH a

. Deci AH =

BH, adic triunghiul ABC este dreptunghic isoscel, iar 1AH

tg ABHBH

.

1. Pe planul unui cerc, se ridic din centrul O, perpendicular pe care se alege un punct P. S se demonstreze c dreapta care unete punctul P cu un punct A de pe cerc, este perpendicular pe tangenta dus n A la cercul de centru O. Demonstraie. DESEN Notm cu planul n care se afl cercul. Construim n punctul A, tangenta AT, care evident este perpendicular pe

raz n punctul de contact OA u AT. Aplicm teorema celor trei perpendiculare: PO u , AT , OA u AT PA

u AT.

1. De ce la teorema celor trei perpendiculare apar dou teoreme reciproce? Rspuns. Deoarece ipoteza teoremei directe este format din dou propoziii i astfel pot aprea dou teoreme reciproce.

Observaie. a) n aceast teorem avem trei propoziii de perpendicularitate astfel c primele dou o atrag pe a treia. Dar putem s schimbm aceast ordine obinnd astfel alte dou propoziii. b) Sunt situaii cnd o teorem poate s admit mai multe reciproce. Aceasta se ntmpl atunci cnd ipoteza sau concluzia teoremei date (sau ambele) conine dou sau mai multe afirmaii (propoziii). n acest caz, numim teorema reciproc a unei teoreme date, acea teorem n care ipoteza este format din concluziile teoremei date (sau numai din o parte a concluziei) i o parte din ipoteza teoremei date, iar concluzia este format din partea rmas a ipotezei teoremei date (i ceea ce a mai rmas din concluzia teoremei date). Dac reciproca unei teoremei este o propoziie fals, atunci aceast reciproc nu este o teorem i astfel teorema dat nu admite teorem reciproc. Un exemplu care ne arat c uneori concluzia unei propoziii nu este adevrat, se numete contra exemplu.

ntr-o accepiune mai larg, putem spune: dac ntr-o teorem direct se schimb ntre ele ipoteza i concluzia, atunci se obine o nou propoziie, care se numete teorem reciproc.

2. ntr-un cerc de raz R se nscrie un triunghi dreptunghic ABC, avnd 90m BAC , iar

msurile arcelor AC i AB invers proporionale cu numerele 1,(3) i 0,(6). Pe perpendiculara

ridicat n vrful A, pe planul triunghiului ABC, se alege un punct V, astfel nct 3

2AV R . S

se calculeze:

a) msurile arcelor AC i AB ; b) aria triunghiului VBC;

c) msura unghiului plan al diedrului format de planele (VBC) i (ABC).

m m m m2 m m

1 1 3 3

1, 3 0, 6 4 2

AC AB AC ABAC AB , iar 180m AB m AC . Astfel rezolvnd

sistemul format, obinem: m 120AB , iar m 60AC .

b) Arcul AB are msura de 120, deci coarda [AB] este latura triunghiului echilateral nscris n cercul de raz R, iar

3 3l R . Deci AB = 3R .

Arcul AC are msura de 60, deci coarda [AC] este latura hexagonului regulat nscris n cercul de raz R, iar l6 = R. Deci AC = R.

Construim AH u BC, H (BC), BC (ABC) i cum VA u (ABC), atunci aplicnd teorema celor trei

perpendiculare, obinem c VH u BC. Lungimea nlimii triunghiului dreptunghic ABC se determin scriind aria

triunghiului n dou moduri: 3 3

2 2 2 2

AB AC BC AH AB AC R RAH AH AH R

BC R

. n VAH,

dreptunghic n A, aplic teorema lui Pitagora: 2 2 2 2 2 2 29 3

3 34 4

VH VA AH VH R R R VH R .

22 3 32 2

VBC

BC VH R RA R

.

c) Diedrul format de planele (VBC) i (ABC) are munchia BC. Cum AH u BC, AH (ABC) i VH u BC, VH

(VBC), rezult c unghiul plan corespunztor diedrului este unghiul VHA. n triunghiul VHA, dreptunghic n A,

avem: 3

sin m 602

VAVHA VHA

VH .