1

CONCEPTE FUNDAMENTALE UTILE N EXERCITAREA PROFESIEI DE INGINER. SUPORT TEORETIC PENTRU

SUSINEREA EXAMENULUI DE LICEN SECIA TCM

2

CUPRINS

1. Desen tehnic.........................................3

2. Mecanic.............................................................................................................20

3. Rezistena Materialelor.....................................................................................32

4.Mecanisme.........................................................................................................104

5. Mecanica fluidelor i maini hidraulice.........................................................108

6. Organe de maini.............................................................................................120

7. Termotehnic...................................................................................................134

8. Studiul materialelor.........................................................................................149

9. Tehnologia materialelor..................................................................................157

10. Tolerane........................................................................................................167

11. Bazele achierii i bazele generrii suprafeelor pe maini-unelte.....................................................................................................................178

12. Maini-unelte..................................................................................................188

13. Automatizarea proceselor i sistemelor de producie................................198

14. Proiectarea i construcia dispozitivelor.....................................................209

15. Proiectarea sculelor speciale.........................................................................225

16. Tehnologia fabricrii produselor.................................................................239

17. Tratamente termice.......................................................................................251

18. Scule achietoare............................................................................................254

3

1. DESEN TEHNIC

1.1 GENERALITI 1.1.1. SCURTA ISTORIE

Arta descrierii prin folosirea liniilor dateaza practic de cand a aparut omul. Arheologii au descoperit hieroglife pe pereti si pietre ca un martor mut al capacitatii omului de a desena. Gradual imaginile descrise de omul preistoric in simboluri aveau capacitatea de a spune o poveste.

Imaginea, in coordonate spatiale si temporale, in micro- si macro-universul oricaruia dintre noi, este prezenta mereu si aproape peste tot. Comunicam prin imagini tot timpul si oriunde. Mintala sau reala, virtuala sau materiala, digitala sau analogica, tehnica sau artistica, imaginea este unul din simbolurile fiintei umane.

Oamenii si-au facut viata mai buna si mai comoda folosind imagini, abilitatea de a desena a omului a aparut inaintea celei de a scrie. Minti creatoare si ingenioase au descoperit ca, pentru a construi produse utile cum ar fi automobile, televizoare, mobilier, motoare, tomografe, amfiteatre si apartamente, roboti si jucarii, stadioane, vapoare si microcipuri, trebuie sa le desenam. Cat mai fidel si mai complet, pentru ca multi altii dupa aceea sa le poata realiza dupa desenele noastre, desigur.

Civilizatii la rand si-au exprimat si continua sa isi exprime ideile si conceptiile de progres tehnic prin imagini.

Leodardo da Vinci, marele artist si inginer care a trait n ultima jumatate a secolului al XV-lea si nceputul secolului al XVI-lea a fost numit parintele desenului modern. El a practicat si a nvatat o metoda dscriptiva grafica care a conceput si nregistrat idei privind ingineria mecanica.

Spre sfarsitul secolului al XVIII-lea, Gaspard Monge, un matematician francez a introdus doua planuri de proiectie la un unghi drept pentru investigarea grafica a problemelor geometriei solide.

Fiecare se naste cu abilitatea de a vizualiza. Copiii prescolari, de exemplu, pretind a vedea n multe feluri, dar odata ce n scoala sunt criticati pentru pentru aceasta vedere sau visare a lor apare ca rezultat o atrofiere a acestei vizualizari odata cu trecerea timpului. n schimb abilitatea de a vizualiza ar trebui dezvoltata prin linii din moment ce o gandire clara include folosirea imaginilor mentale. Un vorbitor, descriind un fenomen, va ntreba adesea "Vezi? Vezi imaginea?" Un profesor spunea ca majoritatea studentilor care au picat examenul de Geometrie Descriptiva au facut-o datorita faptului ca nu erau n stare sa vada n trei dimensiuni. O persoana pregatita tehnic trebuie sa fie capabila sa conceapa, sa verifice si sa descrie ideile sale si prin urmare trebuie sa si dezvolte abilitatea sa gandeasca vizual. El trebuie sa fie apt sa formeze imagini mentale. Trebuie sa fie pregatit sa formeze imagini mentale ale pieselor nefacute, ori idei considerate a fi posibile solutii la problemele luate n considerare. S-a descoperit ca liderii n multe domenii au o abilitate remarcabila de a vizualiza. Albert Einstein descria frecvent analogii si imagini mentale pe care le folosea pentru a descrie teorii. Nicolai Tesla probabil este cazul cel mai elocvent prin modalitatea sa neobisnuita de a vizualiza anumite obiecte. El frecvent concepea diferite aparate n mintea sa si le construia si le testa saptamani ntregi, iar apoi examina prototipul vizual de defectiuni si stabilea metode de a le mbunatati.

Odata cu evolutia cunoasterii spre tehnica si stiinta, s-a conturat si apoi s-a impus necesitatea unei descrieri sintetice, clare si neambigue a formei si dimensiunilor obiectelor din lumea reala, precum si a obiectelor pe care mintea omului le-a conceput si pe care omul si-a propus sa le fabrice pentru comoditatea vietii lui.

4

Cantitatea de informatie nglobata ntr-o reprezentare grafica este mare. Aceeasi informatie ar necesita multe cuvinte si fraze, pentru a fi redata textual. n plus, timpul de receptare a informatiei vizuale este redus, n comparatie cu cel necesar citirii unui text.

Stocarea informatiei si a cunostintelor n format grafic este avantajoasa, din punct de vedere al spatiului si al compactizarii, atat n memoria omului, cat si pe suporturi fizice de stocare: hartie, discuri magnetice, discuri optice, filme, panza etc. Capacitatea omului de a regasi si a recunoaste informatia grafica este remarcabila.

Pentru ca imaginile sa transmita clar si coerent anumite concepte, s-au ales reguli precise de exprimare. S-a definit astfel un limbaj grafic. S-a stabilit un "vocabular", format din linii, forme geometrice, simboluri, culori, o semantica a acestora, adica o semnificatie pe care o au, si o sintaxa, un mod de combinare a elementelor in reprezentari complexe, care sa descrie unitar si neambiguu creatia mintii noastre.

Inginerii si arhitectii au adoptat acest limbaj pentru a-si reprezenta proiectele. Informaticienii i-au adaugat noi valente, invatand calculatorul sa deseneze. Nu neaparat in locul omului, ci impreuna cu el. Asa s-a dezvoltat proiectarea asistata de calculator. Modelele virtuale ale proiectelor ingineresti, in doua, trei sau chiar in patru dimensiuni sunt in plina evolutie.

Relatia biunivoca spatiu-plan pentru corpurile geometrice reale (materializate) sau fictive (existente n imaginatia omului de conceptie si ceruta de creativitatea tehnica, latura esentiala a profesionalismului tehnic) impune cunostinte teoretice si exercitii aplicative substantiale n domeniul reprezentarilor grafice.

Scopul esential al creatiei tehnice, ntr-o viziune sintetica, l reprezinta transpunerea plana a imaginilor spatiale (reale sau imaginate) urmata de materializarea acestora cu ajutorul unui sistem tehnologic adecvat.

Grafica inginereasca poate fi considerata ca fiind alcatuita din trei parti, comunicare, analiza problemei si designul creativ.

Tehnica a impus definirea si utilizarea unui limbaj de comunicare bazat pe simtul vizual, avand o larga independenta fata de limba vorbita si scrisa, si anume, desenul tehnic. S-au stabilit reguli si norme specifice de reprezentare, desenul tehnic impunandu-se ca limbaj esential de comunicare n domeniul tehnic.

1.1.2. OBIECTUL DISCIPLINEI

Desenul tehnic este un limbaj grafic universal, utilizat n domeniul tehnic pentru a realiza comunicarea ntre proiectantii, producatorii si beneficiarii produselor din acest domeniu.

Pentru a scrie si a vorbi acest limbaj un inginer trebuie sa aiba cunostiinte despre alfabet, vocabular, gramatica si compozitie. Inginerul trebuie sa nteleaga simbolurile grafice, sa poata sa le citeasca si sa le scrie lizibil. Studentul, invatand sa reprezinte puncte, linii, planuri si obiecte solide n diferite proiectii va continuand sa lucreze cu instrumente si sa schiteze pana cand se va familiariza cu simbolurile, conventiile si abrevierile acestui limbaj. Dependenta inginerului de desen ca mijloc de comunicare este pusa n evidenta de un vechi proverb chinezesc conform caruia un desen valoreaza cat o mie de cuvinte". Desenul este de ajutor pentru o interpretare facila a unui obiect sau constructii stabilind astfel o mai buna comunicare ntre inginer si conducere, ntre designer si producator, ntre vanzator si consumator.

1.1.3. LINII UTILIZATE IN DESENUL TEHNIC INDUSTRIAL

Reprezentarea obiectelor se realizeaza printr-un ansamblu de tipuri de linii fiecare linie avand o specificatie bine definita. Liniile utilizate n desenul tehnic industrial sunt cuprinse n SR EN ISO 128-20:2002.

Partea 20 a ISO 128 stabileste tipurile de linii, notarea, forma si grosimea acestora si de asemenea regulile generale de reprezentare a liniilor utilizate n desenul tehnic, de exemplu la diagrame, planuri sau harti.

5

1.1.3.1. LINII FRECVENT UTILIZATE IN DESENUL TEHNIC INDUSTRIAL

Sunt cuprinse in SR EN ISO 128-20:2002.si clasificate functie de grosime si forma. Grosimea liniei se noteaza cu b si se alege din urmatorul sir de valori: 0,18; 0,25; 0,35; 0,50; 0,70; 1,0; 1,4; 2,0. Linia subtire are grosimea de aproximativ b/3.

Tipurile de linii sunt: -linie continua groasa - tip A - cu grosimea b utilizata la reprezentarea de contururi, muchii reale vizibile, sectiuni intercalate, varful filetului, chenarul formatului, etc. -linie continua subtire - tip B - cu grosimea b/3 utilizata la reprezentarea de muchii fictive, linii de cota, linii ajutatoare, linii de indicatie, hasuri, rupturi, conturul sectiunilor suprapuse, linia de fund a filetului, etc. -linie continua subtire ondulata - tip C - cu grosimea b/3 utilizata pentru reprezentarea rupturilor in materiale de orice fel. -linia continua subtire in zig-zag - tip D -cu grosimea b/3 utilizata la reprezentarea rupturilor executate cu aparate automate. -linia intrerupta subtire - tip E - cu grosimea b/3 utilizata la reprezentarea contururilor acoperite si a muchiilor acoperite. -linia intrerupta groasa - tip F - cu grosimea b utilizata tot la reprezentarea contururilor si muchiilor acoperite. -linia punct subtire - tip G - cu grosimea b/3 utilizata la reprezentarea liniilor de axa, suprafetelor de rostogolire a rotilor dintate. -linia punct mixta - tip H - cu grosimea b, b/3 utilizata la indicarea traseelor de sectionare. -linia punct groasa - tip J - cu grosimea b utilizata la reprezentarea liniilor si suprafetelor cu prescriptii speciale. -linia doua puncte subtire - tip K - cu grosimea b/3 utilizata la reprezentarea conturului pieselor invecinate, pozitii intermediare si extreme de miscare a pieselor mobile.

1.1.4. FORMATE

Formatul reprezinta suportul material pe care se realizeaza desenul. Desenele tehnice din toate domeniile tehnice se reprezinta pe planse de desen preimprimate sau nu pe formate specifice care sunt standardizate prin SR ISO 5457-94 avandu-se in vedere satisfacerea cerintelor atat traditionale de multiplicare si folosire cat si mijloacele actuale de micrografiere si modelare automata. Referitor la formate, standardul precizeaza regulile si elementele grafice cu privire la:

6

- pozitia si dimensiunile indicatorului; - margini si chenar; - repere de centrare; - repere de orientare; - gradatia metrica de referinta; - sistem de coordonate; - unghi de decupare. Prevederile de mai sus se aplica desenelor originale precum si reproducerilor. Pentru executarea desenelor se alege un format avand cele mai mici dimensiuni care sa permita o claritate si precizie corespunzatoare. Formatele se aleg din seriile preferentiale prezentate in tabele.

Formate seria A FORMAT DIMENSIUNI

(mm) A0 841 x 1189 A1 594 x 841 A2 420 x 594 A3 297 x 420 A4 210 x 297

Formate alungite speciale FORMAT DIMENSIUNI

(mm) A3x3 420 x 891 A3x4 420 x 1189 A4x3 297 x 630 A4x4 297 x 841 A4x5 297 x 1051

Pentru formatele mai alungite se foloseste unul din formatele obtinute prin modificarea dimensiunii mici a unui format din seria A si cu lungimea egala cu un multiplu al dimensiunii mici a formatului de baza ales.

Formate alungite exceptionale FORMAT DIMENSIUNI

(mm) A0x2 1189 x 1682 A0x3 1189 x 2523 A1x3 841 x 1783 A1x4 841 x 2376 A2x3 594 x 1261 A2x4 594 x 1682 A2x5 594 x 2102 A3x5 420 x 1486 A3x6 420 x 1783 A3x7 420 x 2080 A4x6 297 x 1261 A4x7 297 x 1471 A4x8 297 x 1682 A4x9 297 x 1892

7

1.2. REGULI GENERALE DE REPREZENTARE N DESENULTEHNIC 1.2.1 SISTEME DE REPREZENTARE

Reprezentarea unui obiect pe un plan de proiectie se face prin metoda proiectiilor. A proiecta un obiect oarecare pe un plan inseamna a duce prin punctele lui caracteristice

linii, iar la intersectia acestora cu planul se vor determina proiectiile acestor puncte care unite in ordinea lor fireasca vor determina imaginea obiectului pe acel plan.

Planul pe care se face proiectia se numeste plan de proiectie. Liniile care unesc punctele din spatiu cu proiectiile lor se numesc proiectante. Metodele de proiectie utilizate n desenul tehnic au la baza standardele SR EN ISO 5456-

1, SR EN ISO 5456-2, SR EN ISO 5456-3, SR EN ISO 5456-4, corespondentele seriei ISO 5456.

n domeniul activitatilor tehnice sunt utilizate diferite metode de proiectie pentru reprezentarea obiectelor. Toate aceste metode au fiecare avantajele si dezavantajele lor.

Desenul tehnic normal este adesea o proiectie ortogonala n care sunt utilizare reprezentarile mai multor vederi (ISO 5456-2) pentru desenarea si definirea completa a tuturor obiectelor cu ajutorul vederilor si sectiunilor alese cu atentie.

Totusi, executia unor astfel de reprezentari bidimensionale necesita ntelegerea atat a metodei de proiectie cat si a interpretarii acesteia, astfel ncat un observator sa poata, plecand de la vederi individuale sa vizualizeze obiectul n cele trei dimensiuni. Pentru multe domenii tehnice si nivelurile lor de dezvoltare este totusi, necesar sa se realizeze desene care sa dea observatorilor o imagine care sa fie nteleasa usor. Astfel de desene, denumite reprezentari n perspectiva, furnizeaza o vedere tridimensionala a unui obiect asa cum va aparea observatorului. Pentru citirea reprezentarilor n perspectiva nu este necesara o instruire tehnica speciala.

Reprezentarile n perspectiva pot fi prezentate singure sau pot completa reprezentarile ortogonale. Cresterea permanenta a interconexiunilor tehnice la nivel global precum si evolutia metodelor de proiectie si de desen asistat de calculator cu diferitele lor tipuri de reprezentari tridimensionale impun necesitatea clarificarii acestei probleme de catre comisiile ISO/TC 10.

Se recomanda ca regulile conventiilor stabilite n ISO 5456 sa fie utilizate conform ISO 128, pentru toate tipurile de desen tehnic si n toate domeniile de activitati tehnice precum: - desene mecanice si de constructii; - manuale si manuale de instructiuni; - vederi n transparenta; - vederi expandate.

Metodele de proiectie sunt definite prin: - tipul liniilor de proiectie, care pot fi paralele sau convergente; - pozitia planului de proiectie fata de liniile de proiectie, care poate fi ortogonal sau oblic; - pozitia obiectului (caracteristica sa principala), care poate fi paralela/ortogonala sau oblica pe planul de proiectie.

1.2.2. REPREZENTARILE AXONOMETRICE

Reprezentarile axonometrice sunt reprezentari n perspectiva simple obtinute prin proiectarea obiectului de reprezentat de la un punct pozitionat la o distanta infinita (centrul de proiectie), pe un plan de proiectie unic (perpendicular pe desen). Acest tip de proiectie paralela asigura o aproximatie suficienta pentru vederile ndepartate. Reprezentarea rezultanta depinde de forma obiectului si de pozitiile relative ale centrului de proiectie, a planului de proiectie si a obiectului nsusi. Printre posibilitatile infinite de reprezentare axonometrica, doar cateva tipuri sunt recomandate pentru desenele tehnice din toate domeniile de activitate tehnice (mecanice, electrice, de constructii etc).

Reprezentarile axonometrice nu sunt utilizate atat de mult pe desenele tehnice precum reprezentarile ortogonale.

8

La reprezentarile axonometrice trebuie avut in vedere ca pozitia axelor de coordonate sa fie aleasa. prin conventie, astfel ncat una dintre axele de coordinate (axa Z) sa fie verticala. Obiectul de reprezentat este pozitionat cu fetele sale principale, axele si muchiile paralele cu planurile de coordonate. Obiectul trebuie orientat pentru a pune n evidenta vederea principala si alte vederi care se aleg de preferinta atunci cand obiectul este reprezentat n proiectii ortogonale. Axele si liniile planurilor de simetrie ale obiectului nu trebuie sa fie desenate decat daca este necesar. Contururile si muchiile ascunse este preferabil sa fie omise.

Hasurile utilizate pentru punerea n evidenta a unei sectiuni trebuie desenate de preferat la un unghi de 45, tinand seama de axele si contururile sectiunii (figura 1.1).

Fig. 1.1 Hasurile utilizate pentru punerea n evidenta a planurilor paralele cu planurile de

coordonate trebuie desenate paralel cu axa de coordonate proiectata, asa cum este reprezentat n figura 1.2.

Fig. 1.2.

Cotarea pe reprezentarile axonometrice este n mod normal evitata. Daca, din motive speciale, se considera necesara cotarea, trebuie utilizate aceleasi reguli stabilite pentru proiectiile ortogonale (ISO 129 si ISO 3098-1).

Reprezentarile axonometrice recomandate pentru desenele tehnice sunt: - reprezentare axonometrica izometrica; - reprezentare axonometrica dimetrica; - reprezentare axonometrica oblica.

Axele de coordonate X, Y, Z trebuie indicate cu majuscule. Daca alte elemente (de exemplu cote) trebuie indicate ntr-un tabel sau pe desen, trebuie utilizate minusculele x, y, z pentru o mai buna diferentiere (ISO 6412-2).

1.2.2.1. REPREZENTARE AXONOMETRICA IZOMETRICA

Reprezentarea axonometrica izometrica este reprezentarea axonometrica ortogonala n care planul de proiectie formeaza trei unghiuri egale cu cele trei axe de coordonate X, Y si Z.

Trei segmente ale unitatii de lungime ux, uy si uz pe cele trei axe de coordonate X, Y si Z sunt respectiv proiectate ortogonal pe un plan de proiectie n trei segmente egale ux', uy ' si uz ' pe axele proiectate X', Y' si Z' ale caror lungimi sunt:

9

ux ' = uy ' = uz ' = (2/3)1/2 = 0,816

Proiectia X', Y' si Z' a celor trei axe de coordonate X, Y si Z pe planul de proiectie (suprafata desenului) este reprezentata n figura 1.3.

Fig. 1.3.

n practica de desen, segmentele de lungime de unitate proiectate pe axele X', Y' si Z' sunt considerate ca ux''= uy'' = uz'' = 1, ceea ce corespunde unei reprezentari grafice a obiectului marit cu un coeficient (3/2)1/2 = 1,225.

1.3. REPREZENTAREA VEDERILOR

Vederea, conform SR ISO 128-30:2008, SR ISO 128-34:2008, ISO 128-40, este reprezentarea n proiectie ortogonala pe un plan a unei piese nesectionate. Cuprinde conturul aparent al piesei reprezentate, format din conturul fiecarei forme geometrice simple, precum si muchiile si liniile de intersectie vizibile din directia de proiectare.

1.3.1. CLASIFICAREA VEDERILOR

1) Dupa directia de proiectie: a) vedere obisnuita - este vederea obtinuta dupa una din directiile de proiectie conform SR EN ISO 5456-2 sau ISO 5456 si dispusa conform acestuia (cubul de proiectie - metoda europeana E sau metoda americana A- figura 1.4., 1.5.). Obiectul este considerat situat in interiorul unui cub iar proiectiile laterale se reprezinta, pentru metoda europeana vederea din stanga se reprezinta in dreapta, cea din dreapta in stanga. Pentru metoda americana vederea se reprezinta in aceeasi parte de unde este privita piesa. Nu se noteaza (figura 6.a.).

Fig. 1.4.

10

Fig. 1.5.

b) vedere particulara (nclinata) este vederea obtinuta dupa alta directie de proiectie decat conform SR EN ISO 5456-2 sau dupa directiile de proiectie conform SR EN ISO 5456-2, dar dispusa n alta pozitie. Acest tip de vedere se noteaza (figura 1.6.b, c, d).

Fig.1.6.

2) Dupa proportia n care se face reprezentarea obiectului: a) vedere completa - n proiectia respectiva obiectul este reprezentat n ntregime n vedere (figura 6.a). b) vedere partiala - n proiectia respectiva numai o parte a obiectului este reprezentata, limitata prin linie de ruptura. c) vedere locala - n vederea respectiva numai un element simetric al obiectului este reprezentat n vedere, fara linii de ruptura (figura 1.7, 1.8, 1.9.).

La reprezentarea vederilor locale nu trebuie sa existe riscul de ambiguitate. Vederile locale se reprezinta totdeauna utilizand metoda de proiectie A, conform SR EN ISO 5456-2, indiferent de metoda de proiectie utilizata pe desen.

11

Fig. 1.7.

Fig. 1.8.

Fig. 1.9.

La reprezentarea vederilor trebuie sa se tina seama de urmatoarele reguli: - Vederea principala este situata totdeauna pe planul vertical de proiectie si contine cele mai multe detalii ale obiectului ; - Liniile de contur vizibile si muchiile de intersectie vizibile se reprezinta cu liniecontinua groasa. - Muchiile fictive, daca sunt necesare pentru claritatea desenului si daca nu se confunda cu linii de contur, se reprezinta cu linie continua subtire care nu trebuie sa atinga liniile de contur, muchiile reale de intersectie sau alte muchii fictive (figura 1.10.).

12

Fig. 1.10.

Muchia fictiva este intersectia dintre doua suprafete neperpendiculare racordate printr-o rotunjire (figura 1.11.).

Fig. 1.11.

De regula muchiile fictive corespunzatoare unor racordari foarte fine nu se reprezinta (figura 1.12.).

Fig. 1.12.

Daca o linie de contur sau alta muchie fictiva trece printr-o muchie fictiva, aceasta trecere se reprezinta printr-o ntrerupere de 1...2 mm (figura 1.13.).

Daca prin proiectia unei suprafete nclinate rezulta doua muchii fictive concentrice sau paralele foarte apropiate, se reprezinta numai una dintre cele doua muchii, si anume, cea corespuzatoare grosimii mai mici a piesei (figura 1.13, 1.14).

13

Fig. 1.13. Fig. 1.14.

nclinarea sau conicitatea foarte mica a unor suprafete poate fi marita conventional, pentru a fi posibila reprezentarea ei (figura 1.15.).

Liniile de contur si muchiile de intersectie acoperite vederii se reprezinta cu linie ntrerupta subtire sau groasa, nsa numai daca sunt necesare pentru ntelegerea formei obiectului reprezentat (figura 1.15.).

Fig. 1.15.

1.4. REPREZENTAREA SECTIUNILOR

Sectiunea - reprezentarea n proiectie ortogonala pe un plan a obiectului dupa intersectarea acestuia cu o suprafata fictiva de sectionare si ndepartarea imaginara a partii obiectului aflata ntre ochiul observatorului si suprafata respectiva.

14

Fig. 1.16.

In scopul reprezentarii obiectului ntr-un numar minim de proiectii, rezulta necesitatea de a alege suprafetele de sectionare cele mai potrivite, pentru ca intersectarea sa se faca pe locurile care redau clar cele mai multe detalii ale formei interioare a acestuia.

1.4.1. CLASIFICAREA SECTIUNILOR

1) Dupa modul de reprezentare: a) sectiune propriu-zisa, daca se reprezinta numai figura rezultata prin intersectarea obiectului cu suprafata de sectionare (figura 1.17.b.).

Fig. 1.17.

b) sectiune cu vedere, daca se reprezinta atat sectiunea propriu-zisa cat si, n vedere, partea obiectului aflata n spatele suprafetei de sectionare (figura 1.18.c) 2) Dupa pozitia suprafetei de sectionare fata de planul orizontal de proiectie: a) sectiune orizontala - suprafata de sectionare este paralela cu planul orizontal de proiectie (figura 1.18.b). b) sectiune verticala - suprafata de sectionare este perpendiculara pe planul orizontal de proiectie (figura 1.18.a). c) sectiune particulara (nclinata) - suprafata de sectionare are o pozitie oarecare fata de planul orizontal de proiectie (figura 1.18.c).

15

a b Fig. 1.18.

Sectiunile orizontale, verticale sau particulare pot fi: - longitudinale, daca suprafata de sectionare contine sau este paralela cu axa principala a obiectului. - transversale, daca suprafata de sectionare este perpendiculara pe axa principala a obiectului.

n sectiune longitudinala, niturile, piulitele, stifturile, suruburile, arborii, osiile, penele, bielele, manerele, tijele, spitele rotilor, etc. se reprezinta nesectionate si ca urmare nu se hasureaza. Configuratia lor interioara poate fi reprezentata printr-o sectiune partiala.

Aripile, nervurile si tablele se reprezinta sectionat numai n cazul sectiunilor transversale prin ele. 3) Dupa forma suprafetei de sectionare: a) sectiune plana - daca suprafata de sectionare este un plan (figura 1.17.b, 1.17.c). b) sectiune franta - daca suprafata de sectionare este formata din doua sau mai multe plane consecutiv concurente sub un unghi diferit de 90 de grade (figura 1.18.b). c) sectiune n trepte - daca suprafata de sectionare este formata din doua sau mai multe plane paralele (figura 1.18.b). d) sectiune cilindrica - daca suprafata de sectionare este cilindrica, iar sectiunea este desfasurata pe unul din planele de proiectie (figura 1.19.).

Fig. 1.19.

16

Notarea sectiunii este urmata de semnul conventional care are naltimea egala cu naltimea nominala de nscriere a literelor.

Pozitia semnului este aceeasi indiferent de sensul de desfasurare. Sectiunile frante se proiecteaza pe un plan de proiectie orizontal, vertical sau lateral dupa

cum suprafata de sectionare cuprinde plane orizontale, verticale sau laterale.

5) Sectiunile propriu-zise, dupa pozitia lor pe desen fata de proiectia obiectului a carui sectiune o reprezinta, pot fi: a) sectiune obisnuita - daca sectiunea se reprezinta n afara conturului proiectiei si este dispusa conform SR EN ISO 5456-2. b) sectiune suprapusa - daca sectiunea se reprezinta peste vederea propriu-zisa. Se reprezinta cu linie continua subtire (figura 1.20, 1.21, 1.22).

Fig. 1.20.

Fig. 1.21. Fig. 1.22.

c) sectiune deplasata - daca sectiunea se reprezinta deplasata de-a lungul traseului de sectionare, n afara conturului obiectului (figura 1.23, 1.24.) sau se reprezinta n alta pozitie (figura 1.25).

Fig. 1.23. Fig. 1.24.

d) sectiune intercalata - daca sectiunea se reprezinta n intervalul de ruptura dintre cele doua parti ale aceleiasi vederi a obiectului (figura 2.88.).

Fig. 1.25.

17

Sectiunile suprapuse, deplasate sau intercalate se reprezinta functie de pozitia traseului de sectionare, n proiectie din stanga si de sus. Nu se admite reprezentarea rotita a unor astfel de sectiuni.

1.4.2. REPREZENTAREA RUPTURILOR

Ruptura este ndepartarea unei parti dintr-un obiect printr-o suprafata de ruptura n scopul: - reprezentarii unor vederi sau sectiuni partiale; - reducerii spatiului ocupat de reprezentarea pe desen, fara sa fie afectata claritatea si precizia acesteia.

Linia de ruptura reprezinta urma suprafetei de ruptura pe planul de proiectie. Se executa cu linie continua subtire cu forma ondulata pentru rupturi n piese de orice forma si de orice material, n zig-zag pentru desene realizate automat.

Linia de ruptura nu trebuie sa coincida cu o muchie sau cu o linie de contur a obiectului sau sa fie trasata n continuarea acestora (figura 1.26.).

Fig. 1.26.

Daca ruptura se face de-a lungul axei obiectului, linia de ruptura nu se traseaza, ea fiind reprezentata prin linia de axa respectiva.

1.5. REPREZENTAREA, COTAREA SI NOTAREA FILETELOR 1.5.1.GENERALITATI

Filetul este o nervura elicoidala realizata pe o suprafata de rotatie, cilindrica sau conica, exterioara sau interioara, nervura ce poate avea profil triunghiular, patrat, trapezoidal, rotund etc. Cand se executa pe o suprafata exterioara se numeste filet exterior (fig. 1.27), iar cand se executa pe o suprafata interioara se numeste filet interior.

Elicea cilindrica (conica) este o curba generata de un punct care executa o miscare de translatie de-a lungul generatoarei unui cilindru circular drept (con circular drept) care executa n acelasi timp o rotatie uniforma n jurul axei sale (figura 1.27).

Fig.1.27.

18

Filetele au o mare aplicare n executarea unor elemente de asamblare (suruburi, piulite etc.) sau a altor piese din constructia de masini, fiind cele mai utilizate pentru realizarea asamblarilor demontabile.

Elementele caracteristice ale filetului sunt: profilul filetului , naltimea filetului, unghiul filetului, pasul filetului, diametrul exterior, mediu si interior.

Profilul de baza este profilul teoretic al filetului, ntr-un plan axial, definit prin dimensiuni si unghiuri teoretice comune pentru filetele exterioare si interioare. Poate fi: triunghiular, patrat, trapezoidal, rotund etc.

Profilul generator este profilul de la care pleaca forma si dimensiunile profilului de baza. Pasul filetului, p: distanta ntre punctele medii a doua flancuri nvecinate , situate ntr-un

plan axial, de aceeasi parte a filetului. Cilindrul primitiv: cilindrul fictiv al carui suprafata exterioara ntretaie filetul astfel ncat

latimea plinului si latimea golului sunt egale. Linia primitiva: generatoarea cilindrului primitiv. Diametrul exterior: diametrul unei suprafete cilindrice fictive tangenta la varfuri pentru

un filet exterior (d) si la funduri pentru un filet interior (D).

5.2. REPREZENTAREA FILETELOR Se face conform normelor prevazute n SR ISO 6410-2002. Filetele exterioare si interioare pot fi cu iesire, cu trecere sau cu degajare (figura 1.28).

Iesirea si degajarea filetului se indica prin notare conform STAS 3508-80.

Fig.1.28.

Filetul se indica pe diametrul exterior pentru filetul respectiv; n cazul filetelor conice, notarea se indica pe proiectia longitudinala, aproximativ la jumatatea lungimii filetului. Reguli:

In desenul tehnic reprezentarea elementelor filetate se face prin conventii simplificate si numai in anumite cazuri detaliat.

Filetul exterior se reprezinta cu linie continua groasa pe diametrul exterior (varful filetului) si cu linie continua subtire pe diametrul interior (fundul filetului) (figura 1.29, 1.30).

Fig.1.29.a. Fig.1.29.b.

19

Fig.1.30.

Filetul interior (figura 1.31) se reprezinta cu linie continua subtire pe diametrul exterior (fundul filetului) si cu linie continua groasa pe diametrul interior (varful filetului).

Distanta dintre liniile care reprezinta varful si fundul filetului este recomandat sa fie egala cu inaltimea filetului, insa nu trebuie sa fie mai mica decat de doua ori grosimea liniei groase sau 0,7 mm. Pentru desenele executate pe calculator, pentru diametrul nominal d>8 mm se recomanda o distanta de 1,5 mm.

Fig.1.31.

Fig.1.32.

In proiectie transversala (laterala), linia care reprezinta fundul filetului se traseaza printr-un arc de cerc executat cu linie continua subtire avand lungimea de aproximativ 3/4 din circumferinta, de preferat in cadranul superior din dreapta astfel incat sa nu inceapa si sa nu se termine pe liniile de axa.

20

2. MECANIC

2.1. MOMENTUL UNUI VECTOR (FORE) N RAPORT CU UN PUNCT I N RAPORT CU O AX. CUPLUL DE VECTORI (FORE).

Momentul unui vector legat vr

, avnd punctul de aplicaie n A n raport cu punctul O, se definete ca fiind produsul vectorial dintre vectorul de poziie AOr

r

r

= al punctului de aplicaie al vectorului i vector, adic:

vrMO

rr

r

=

Elementele caracteristice ale momentului OMr

sunt: - punctul de aplicaie este chiar punctul de referin O; - direcia este perpendicular pe planul determinat de vectorii r

r

i vr

; - sensul este determinat de regula burghiului drept; - mrimea este: ( ) dvsinrvv,rsinvrM

O===

rr

Dac vectorul vr

este fora Fr

, atunci momentul forei Fr

are ca unitate de msur n SI (Sistemul Internaional) Nm.

Prin exprimarea analitic a vectorilor rr i vr , raportai la sistemul xOzy se obine: kzjyixAOrrrrr

r

++== , kvjvivvzyx

rrr

r

++=

( ) ( ) ( )kyvxvjxvzvizvyvvvv

zyx

kji

vxrkMjMiMM xyzxyz

zyx

OzOyOxO

rrr

rrr

rr

rrrr

++===++=

cu xyOzzxOyyzOx yvxvM,xvzvM,zvyvM === .

Momentul unui vector vr

legat sau alunector n raport cu o ax () orientat prin versorul u

r

, se definete ca fiind proiecia pe axa () a momentului vectorului vr calculat n raport cu un punct arbitrar O al axei, adic: uMM

O

r

r

= .

Dac dreapta () face unghiurile , , cu axele sistemului xOzy atunci, kcosjcosicosurrr

r

++= , situaie n care:

r

r

O

d

x

z

y

A(x,y,z

)

()

OMv

u

r

vr

21

++== cosMcosMcosMuMM OzOyOxOr

r

.

Cuplul de vectori se definete ca fiind un sistem de doi vectori )v,v(21

rr

cu suporturile paralele i rezultanta R

r

nul, adic: 0vvR21

r

rr

r

=+= .

Momentul cuplului este:

2211OvOAvOAMrr

r

+=

Cu vvv21

rrr

== se obine:

=+= )v(OAvOAM 21Orr

r

( ) == vOAOA 21 r )v(xAAvAA

2112

rr

==

Se constat c vectorul moment al cuplului este un vector liniar, adic nu depinde de punctul n raport cu care se calculeaz.

Mrimea momentului unui cuplu este: MO=M=v1d=v2d=vd,

unde: d- reprezint distana dintre axele 1 i 2 (braul cuplului)

2.2. TORSORUL DE REDUCERE AL UNUI SISTEM DE VECTORI

Torsorul de reducere al unui sistem de vectori iv

r

cu punctele de aplicaie Ai, n,1i = n raport cu punctul O este format din: - Rezultanta R

r

a sistemului de vectori care se calculeaz cu relaia:

=

=

n

1i

ivRr

r

;

- Momentul rezultant O

Mr

al sistemului de vectori care se calculeaz cu relaia:

=

=n

1i

iiOvOAMr

r

Prin exprimarea analitic a mrimilor vectoriale fa de sistemul xOyz se obine: kZjYiXviiii

rrr

v

++= , kzjyixOAiiii

rrr

++=

kZjYiXvkZjYiXRn

1i

i

n

1i

i

n

1i

n

1i

ii

rrr

r

rrrr

+

+

==++=

=== =

cu

===

===

n

1i

i

n

1i

i

n

1i

iZZ,YY,XX , care reprezint proieciile rezultantei R

r

pe axele

sistemului xOyz;

k)XyYx(j)ZxXz(

i)YzZy(

ZYX

zyx

kji

vOAkMjMiMM

iiii

n

1i

iiii

n

1i

iiii

n

1i

n

1i

iii

iiii

n

1i

iOzOyOxO

rr

r

rrr

r

rrrr

++

+===++=

==

===

A1

A2

O

d

(1)

(2)

1v

r

2v

r

OM

r

22

cu:

)YzZy(Miiii

n

1i

Ox=

=

; )ZxXz(M iiiin

1i

Oy = =

; )XyYx(M iiiin

1i

Oz = =

, care

reprezint proieciile momentului rezultant OM

r

pe axele sistemului xOyz.

2.3. MOMENTUL UNUI VECTOR vr N RAPORT CU UN PUNCT O ESTE DEFINIT CA:

a) Produsul scalar dintre vector i braul vectorului ( )bv rr ; b) Produsul vectorial dintre vector i vitez; c) Produsul vectorial dintre vector i vectorul de poziie al punctului de aplicaie al vectorului n raport cu punctul O, adic vrM

O

rr

r

= ; d) O mrime scalar egal cu braul vectorului; e) O mrime scalar care se msoar n kilograme. Rspuns corect : c.

2.4. MOMENTE DE INERIE MECANICE PENTRU SISTEME DE PUNCTE MATERIALE. DEFINIII I RELAII NTRE ELE. VARIAIA MOMENTELOR DE INERIE N RAPORT CU AXE PARALELE (FORMULELE LUI STEINER HUYGHENS)

Momentele de inerie mecanice arat modul n care este distribuit masa unui sistem de puncte materiale fa de diferite elemente geometrice de referin: plan, ax, punct.

Fa de sistemul xOyz se pot defini urmtoarele momente de inerie: - momente de inerie planare:

2

i

n

1i

iyOz

2

i

n

1i

ixOz

2

i

n

1i

ixOy xmJ;ymJ;zmJ ===

===

- momente de inerie axiale:

)zx(mJ);zx(mJ);zy(mJ 2i

n

1i

2

iizz

2

i

n

1i

2

iiyy

2

i

n

1i

2

iixx ===

+=+=+=

- moment de inerie polar:

)zyx(mJ 2i

n

1i

2

i

2

iiO =

++=

- momente de inerie centrifugale:

x

xi

z

y

yi

zi

Mi(xi, yi, zi) (mi)

O

ir

r

23

= ==

===

n

1i

n

1i

iiiyziiixz

n

1i

iiixy zymJ;zxmJ;yxmJ

n SI (Sistemul Internaional) toate momentele de inerie au ca unitate de msur kgm2. ntre momentele de inerie ase pot stabili urmtoarele relaii:

xxzzyyyOzyyzzxxxOzzzyyxxxOy

yOzxOzzzyOzxOyyyxOzxOyxx

zzyOzyyxOzzzxOyO

yOzxOzxOyO

zzyyxx

O

JJJJ2;JJJJ2;JJJJ2

JJJ;JJJ;JJJ

JJJJJJJ

;JJJJ;2

JJJJ

+=+=+=

+=+=+=

+=+=+=

++=++

=

Se consider sistemul de puncte materiale raportat la sistemele de referin xOyz i x'Cy'z', C fiind centrul de mas al sistemului de puncte materiale, iar axele celor dou sisteme de referin sunt paralele.

ntre momentele de inerie, n raport cu cele dou sisteme de referin se pot stabili urmtoarele relaii (formulele Steiner):

- pentru momentele de inerie planare: 2 2 2

xOy x 'Cy ' C xOz x 'Cz ' C yOz y 'Cz ' CJ J M z ; J J M y ; J J M x= + = + = + .

- pentru momente de inerie axiale: 2 2 2

xx x 'x ' xx ' x 'x ' C C

2 2 2

yy y 'y ' yy ' y 'y ' C C

2 2 2

zz z 'z ' zz ' z 'z ' C C

J J M d J M (y z );

J J M d J M (x z )

J J M d J M (x y )

= + = + +

= + = + +

= + = + +

- pentru momentul de inerie polar: 2 2 2 2

O C c C C C CJ J mr J M(x y z )= + = + + +

- pentru momentele de inerie centrifugale: xy x 'y ' C C xz x 'z ' C C yz y 'z ' C CJ J M x y ; J J M x z ; J J M y z= + = + = +

C(x,y,z)

O

x

y

z

x'

y'

z'

'

i

'

i

'

i

iii

iz,y,x

z,y,xM

(mi)

dxx'

dyy'

dzz'

xC yC

Cr

r

zC

ir

r

ir

r

24

2.5 STATICA PUNCTULUI MATERIAL LIBER

Condiia necesar i suficient ca un punct material liber M s fie n echilibru, este ca rezultanta R

r

a forelor care actioneaz asupra sa, s fie nul, adic: R X i Yj Zk 0= + + =

r rr r r

Prin proiectarea acestei ecuaii pe axele reperului cartezian xOyz se obine: n n n

i i i

i 1 i 1 i 1

X X 0, Y Y 0, Z Z 0= = =

= = = = = = .

Aceste ecuaii de echilibru permit determinarea coordonatelor (x, y, z) ale poziiei de echilibru a punctului material.

2.6 STATICA SOLIDULUI RIGID LIBER SUPUS LA LEGTURI

Rigidul liber este rigidul care poate ocupa orice poziie n spaiu sub aciunea sistemului de fore care acioneaz asupra sa.

Condiia necesar i suficient ca un rigid liber s fie n echilibru ntr-o poziie oarecare este ca torsorul de reducere al forelor

iF, i 1,n=r

, care acioneaz asupra sa n raport cu un punct oarecare O s fie nul, adic:

OR 0, M 0= =r r

innd seama de expresiile analitice ale elementelor torsorului de reducere i proiectnd ecuaiile anterioare pe axele reperului cartezian xOyz se obine:

n n n

i i ii 1 i 1 i 1

n n n

Ox i i i i Oy i i i i Oz i i i ii 1 i 1 i 1

X X 0; Y Y 0; Z Z 0;

M (yZ z Y) 0; M (zX xZ ) 0;M (x Y yX ) 0

= = =

= = =

= = = = = =

= = = = = =

Aceste ase ecuaii permit determinarea celor ase parametri scalari independeni care determina poziia de echilibru a rigidului.

n cazul rigidului supus la legturi, unele micri ale acestuia sunt mpiedicate. Pentru studiul echilibrului acestuia se aplic axiomele legturilor pe baza creia legtura este ndeprtat i nlocuit cu elemente mecanice corespunztoare (fore sau/i momente) care exprim efectul mecanic al legturii.

n aceste condiii asupra rigidului acioneaz dou sisteme de fore: unul al forelor exterioare cunoscute, respectiv al forelor de legtur (reaciuni) necunoscute.

Prin reducerea acestor sisteme de fore n raport cu un punct O, se obine un torsor de reducere al forelor exterioare format din rezultanta R '

r

i momentul rezultant O

M 'r

.

Pentru echilibrul rigidului trebuie satisfcute condiiile:

0 0R R ' 0, M M ' 0+ = + =

r rr r r r

,

care proiectate pe axele reperului cartezian xOyz conduc la ase ecuaii scalare de echilibru.

Din aceste ecuaii de echilibru se pot determina forele de legtur i dac este cazul i poziia de echilibru. Dac numrul necunoscut este mai mare dect 6, problema este static nedeterminat.

Dac toate forele exterioare sunt n plan, numrul ecuaiilor scalare ce se obin sunt 3. Deci problema este static determinat, dac are 3 necunoscute.

Legturile rigidului sunt:

25

- reazemul simplu care introduce o necunoscut (reaciunea normal); - articulaia care introduce trei necunoscute; - ncastrarea care introduce ase necunoscute; - legtura cu fir care introduce o singur necunoscut, valoarea efortului din fir, direcia

fiind n lungul firului. n cazul forelor plane articulaia introduce 2 necunoscute, iar ncastrarea 3 necunoscute.

2.7 TRAIECTORIA. VITEZ. ACCELERAIE

Traiectoria reprezint locul geometric al poziiilor succesive ocupate n timp de un punct material mobil n spaiu. Fie r r(t) OM= =

uuur

r r

vectorul de poziie al punctului material M. Ecuaia vectorial a traiectoriei are forma:

0 1r r(t), t t , t= r r

Se admite n general c funcia r r(t)=r r

este continu, uniform i derivabil pe intervalul [t0, t1], deoarece discontinuitile traiectoriei nu au sens fizic.

Viteza medie a punctului material M n intervalul [t, t=t+t] se definete prin relaia vectorial:

m

r(t ') r(t) rv

t ' t t

= =

r r r

r

Viteza instantanee a punctului material M la momentul t se definete prin relaia vectorial:

mt ' t t 0

r(t ') r(t) drv v(t) lim lim v r(t)

t ' t dt

= = = = =

r r rr r r r&

Acceleraia medie a punctului material M n intervalul [t, t=t+t] se definete prin relaia vectorial:

m

v(t ') v(t) va

t ' t t

= =

r r r

r

Acceleraia instantanee a punctului material M la momentul t se definete prin relaia vectorial:

2

m 2t ' t t 0

v(t ') v(t) dv d ra a(t) lim lim a v(t) r(t)

t ' t dt dt

= = = = = = =

r r r rr r r r r& &&

n SI (Sistemul Internaional) viteaza are ca unitate de msur ms-1, iar acceleraia ms-2.

rr

O

M

M

MO ()

r(t)r

r(t ')r

v(t)r

v(t ')r

26

2.8 CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL N SISTEMUL DE COORDONATE CARTEZIENE FIX (XOYZ)

Poziia punctului material M pe traiectoria () la momentul t este determinat de vectorul de poziie r

r

dat de relaia: r r(t) OM x(t)i y(t)j z(t)k= = = + +

uuur rr rr r

,

unde: x=x(t), y=y(t), z=z(t), reprezint

ecuaiile parametrice ale traiectoriei punctului material.

Prin eliminarea timpului t din aceste ecuaii se obine ecuaia traiectoriei n sistemul cartezian care este

curba de intersecie a dou suprafee de ecuaii: 1 2(x,y,z) 0; (x,y,z) 0 = =

Viteza vr

a punctului material este:

x y zv v i v j v k r(t) x i yj zk= + + = = + +

r rr r r rr r& & & &

cu x y z

v x,v y,v z= = =& & & care reprezint proieciile vitezei punctului pe axele sistemului cartezian.

Mrimea vitezei este dat de relaia: 2 2 2 2 2 2

x y zv v v v x y z= + + = + +r

& & &

Acceleraia punctului material este:

x y za a i a j a k v(t) r(t) x i yj zk= + + = = = + +

r rr r r rr r r& && && && &&

cu x y z

a x,a y,a z= = =&& && && , care reprezint proieciile acceleraiei pe axele sistemului cartezian.

Mrimea acceleraiei este dat de relaia: 2 2 2 2 2 2

x y za a a a x y z= + + = + +r

&& && &&

2.9 GRADE DE LIBERTATE PENTRU SOLIDUL RIGID

Un solid rigid liber are n spaiu ase grade de libertate, care se pot intoduce ca:

- fie trei translaii i trei rotaii n lungul i n jurul axelor reperului (T0);

jr

X

Z

Y O

M(x,y,z)

()

ir

kr

rr

1jr

ir

1ir

or

r

1jr

Xo

Zo

Yo O1

M

(T1)

1ir

1kr

O

z

Z1

y

Y1

x

X1

jrk

r

1kr

rr

1r

r

(T0)

(S.R)

27

- fie trei rotaii i trei translaii n jurul i n lungul axelor reperului (T0); 2.9 DISTRIBUIA (CMPUL) VITEZELOR I ACCELERAIILOR PENTRU SOLIDUL RIGID

Distribuia vitezelor pentru un solid rigid este dat de relaia:

M 0v v r, M S.R, r OM= + =

uuur

r r r rr

,

cunoscut sub numele de formula Euler, unde: Mv

r

- viteza punctului MS.R;

0vr

- viteza originii O a reperului mobil (T); r

- viteza unghiular absolut, instantanee a solidului rigid; r OM=

uuur

r

- vectorul de poziie al punctului M fa de reperul mobil (T). Distribuia de acceleraii pentru solidul rigid este dat de relaia:

M 0a a r ( r), M S.R= + + r r r r

r r r

cunoscut sub numele de formula Rivals, unde: Mar

- acceleraia punctului MS.R;

0ar

- viteza originii O a reperului mobil (T); r

- acceleraia unghiular absolut, instantanee a solidului rigid;

2.10 CINEMATICA (MICAREA) SOLIDULUI RIGID CU AX FIX. LEGEA DE MICARE. DISTRIBUIA DE VITEZE I ACCELERAII

Un solid rigid execut o micare de rotaie cu ax fix, atunci cnd n tot timpul micrii dou puncte ale sale rmn fixe n spaiu. Dreapta care unete cele dou puncte este axa de rotaie a solidului rigid.

Prin raportarea rigidului la cele dou repere astfel ca axa Ox=On (linia nodurilor), gradul de libertate al rigidului este unghiul de precesie Euler dat de relaia: (t) = , care reprezint i legea de micare a rigidului cu ax fix.

Viteza unghiular are direcia axei de rotaie i expresia dat de relaia:

1 1(t) k k (t)k (t)k = = = = =

r r r rr r& &

adic este derivat n raport cu timpul a legii de micare a rigidului. Mrimea vitezei unghiulare este: = = r &

Viteza punctului MS.R. se determin cu relaia:

M x y z 0v v i v j v k v r= + + = +

rr r

r r rr

innd seama de faptul c: (t) =

r r

, 0v 0=r (deoarece punctul O

este fix), r x i yj zk= + +rr r

r

, relaia anterioar devine:

M(x,y,z)

O=O1

Z1=z

X1

O

S.R

y

Y1 1jr

1k k=r r

jr

r

rr

ir

1ir

r

d

28

M x y z

i j k

v v i v j v k r 0 0 y i x j

x y z

= + + = = = +

rr r

rr r r r

r rr

Rezult: vx=-y, vy=x, vz=0, care reprezint proieciile vitezei punctului M pe axele reperului mobil (ataat rigidului).

Mrimea vitezei punctului M este dat de relaia: 2 2 2 2 2

M x y zv v v v x y d= + + = + = r

, unde: d reprezint raza cercului descris de punctul M n micare de rotaie.

Pe baza relaiilor anterioare se poate concluziona c viteza oricrui punct ce aparine rigidului n micare de rotaie este situat ntr-un plan perpendicular pe axa de rotaie.

Acceleraia unghiular a rigidului are direcia axei de rotaie i expresia data de relaia:

1 1 1(t) k k (t)k (t)k (t)k k = = = = = = =

r r r r r rr& & && && ,

adic este derivata n raport cu timpul a vitezei unghiulare sau derivata a doua n raport cu timpul a legii de micare a rigidului. Mrimea acceleraiei unghiulare este:

= = = r & && Acceleraia punctului MS.R. se determin cu relaia:

M x y z 0a a i a j a k a r ( r)= + + = + +

rr rr r r r

r r r

innd seama de faptul c:

0a 0=

r

r

(deoarece punctul O este fix), k, k = = r r

r r

r x i yj zk= + +rr r

r

, relaia anterioar devine:

M x y z

2 2

i j k i j k

a a i a j a k r ( r) 0 0 0 0

x y z y x 0

( y x )i (x y )j

= + + = + = + =

+

r rr r r r

rr rr r r

r r r

r r

Rezult: 2 2

x y za y x ;a x y ;a 0= = = ,

care reprezint proieciile acceleraiei punctului M pe axele reperului mobil (ataat rigidului). Mrimea acceleraiei punctului M este dat de relaia:

2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4

M x y za a a a (x y ) (x y ) d= + + = + + + = + r

Pe baza relaiilor anterioare se poate concluziona c acceleraia oricrui punct ce aparine rigidului aflat n micare de rotaie este coninut ntr-un plan perpendicular pe axa de rotaie. Obsertvaie

Punctele de vitez i acceleraie nul se gsesc pe axa de rotaie a rigidului.

2.12 LUCRUL MECANIC ELEMENTAR CORESPUNZTOR UNEI FORE F

r

CE ACIONEAZ ASUPRA UNUI PUNCT MATERIAL M I DEPLASRII ELEMENTARE drr A ACESTUIA. DEFINIIE, RELAII DE CALCUL, UNITI DE MSUR.

29

Lucrul mecanic elementar corespunztor fortei Fr

ce acioneaz asupra punctului M i deplasrii elementare dr

r

a acestuia, se definete ca fiind produsul scalar dintre fora Fr

i deplasarea elementar dr

r

, adic: dL F dr=

r

r

innd seama de faptul c: dr v dt= r r

,

relaia anterioar devine: dL F v dt=

r

r

.

Cu expresiile analitice ale forei Fr

i deplasrii elementare drr

fa de reperul cartezian x0yz date de relaiile:

x y zF F i F j F k= + +

rr r r

; dr dx i dy j dz k,= + + rr r

r

expresia lucrului mecanic elementar devine:

x y zdl F dr F dx F dy F dz= = + +

r

r

Lucrul mecanic este o mrime scalar care are ca unitate de msur n Sistemul Internaional, Joule.

SIL J= .

2.13. PUTERE. DEFINIIE. RELAII DE CALCUL. UNITATE DE MSUR

Puterea se definete ca fiind lucrul mecanic efectuat n unitatea de timp. Atunci cnd fora sau momentul sunt constante n timp relaia de calcul este:

LP

t= ,

iar atunci cnd fora sau momentul sunt variabile n timp, relaia de calcul este: dL

Pdt

=

innd seama de expresia lucrului mecanic elementar, se obine: F dr

P F vdt

= =

r

r

r

r

,

Respectiv: M d

P Mdt

= =

r r

r

r

n Sistemul Internaional, puterea are ca unitate de msur wattul. SI

P W=

2.14. ENERGIA CINETIC. DEFINIIE. RELAIE DE CALCUL. UNITATE DE MSUR

Energia cinetic este o mrime scalar strict pozitiv care caracterizeaz starea de micare a punctului material la un moment dat.

Pentru un punct material M de mas m i vitez vr

, energia cinetic se definete prin relaia:

30

21T mv

2=

r

.

n Sistemul Internaional, energia cinetic are ca unitate de msur joule: SI

T J= .

2.15. IMPULSUL. MOMENTUL CINETIC. RELAII DE CALCUL. UNITI DE MSUR

Un punct material M de mas m se deplaseaz pe traiectoria (), avnd la momentul t viteza v

r

.

Vectorul Hr

coliniar cu viteza vr

definit prin relaia: H mv=r

r

,

se numete impulsul punctului material M.

Unitatea de msur este: 1

SIH kg m s =

Momentul cinetic al punctului material n raport cu punctul O se definete ca fiind un vector

0kr

dat de relaia:

0k r H r mv= = r r

r r r

, care

reprezint momentul vectorului impuls Hr

n raport cu punctul O. Unitatea de msur este:

2 1

0 SIK kg m s =

2.16. TEOREMA ENERGIEI CINETICE. ENUN

Variaia energiei cinetice n intervalul elementar de timp dt este egal cu lucrul mecanic elementar efectuat n acelai interval de timp, de ctre rezultanta forelor care acioneaz asupra punctului material studiat, adic:

dt=L. Prin integrarea acestei relaii se obine teorema energiei cinetice sub form finit care

are expresia: T1-T0=L01, adic diferena dintre energia cinetic n poziia final i energia cinetic n poziia

iniial, este egal cu lucrul mecanic efectuat de forele care acioneaz asupra punctului material ntre cele dou poziii.

2.17. ECUAIILE DIFERENIALE ALE PUNCTULUI MATERIAL

Ecuaia fundamental a dinamicii punctului material (ecuaia Newton) are forma: ma F=

rr

.

Ecuaia diferenial a micrii punctului material scris sub form vectorial este:

z

M(x,y,z)

() y

x

r

r

v

r

Hr

0kr

m

31

mr F(t,r,r)=rr r r&& &

Prin proiectarea acestei ecuaii pe axele reperului cartezian se obin ecuaiile difereniale sub form scalar ale micrii punctului material care au forma:

x x y y z zma F , ma F , ma F= = =

sau

x y zmx F , my F , mz F= = =&& && &&

unde:

x y zF , F , F - reprezint proieciile pe axele reperului cartezian ale rezultantei F

r

a forelor care acioneaz asupra punctului material.

32

3. REZISTENA MATERIALELOR

3.1 ELEMENTE GENERALE

Dac se ia n consideraie, conform fig.3.1, o poriune din seciunea prin pies A i fora-efort corespunztoare acestei poriuni F (numit ,,efort elementar) se definete tensiunea vectorial medie ,, p m astfel:

p m=F / A. Cnd elementul de arie A se reduce treptat, tinznd ctre centrul su, tensiunea medie tinde ctre fora interioar din acel punct, denumit ,,tensiune (efort unitar) astfel:

p =0

limA F / A=d F /dA.

Aceast mrime are aceeai direcie ca i fora elementar d F . Mrimea ei este determinat att de mrimea forei d F ct i de orientarea pe care suprafaa

A o are fa de direcia forei. n consecin, efortul unitar ,,p este o mrime ,,tensorial. Avnd o direcie oarecare, tensiunea se poate descompune:

ntr-o component pe direcia normal la seciune, care se numete tensiune normal i se noteaz cu ;

ntr-o component n planul seciunii, care se numete tensiune tangenial i se noteaz cu (conform fig.3.1). Tensiunea normal () are efect de ntindere sau compresiune, exercitat de partea de

corp nlturat asupra celei rmase. Tensiunea tangenial () are efect de tiere forfecare sau alunecare transversal.

Unitatea de msur a tensiunilor (p, , ) este: N/mm2 sau N/m2. Unitatea de msur n Sistemul Internaional de Uniti este:

= 1 N/m2 = 1 Pa (PaPascal). ntre cele trei tipuri de tensiuni exist relaia:

p = + , respectiv p2 = 2 + 2. Sub efectul forelor

exterioare sau a unor factori cu efect analog (variaii de temperatur) corpurile se deformeaz iar particulele interioare componente se deplaseaz. innd seama de modul n care se deformeaz un corp, se deosebesc dou cazuri distincte: deplasri i deformaii liniare i unghiulare.

Vom defini deplasrile i deformaiile

Fig. 3.1

Fig. 3.2

33

folosind schema din fig.3.2. Pe corpul liber (nencrcat) se definesc trei puncte (A, B, C), se noteaz lungimea segmentului AB cu ,,l0 i unghiul din A cu ,,0. Corpul este ncrcat cu un sistem de fore care produc deformaia sa; n situaia deformat, cele trei puncte vor ocupa poziiile A1, B1, C1. Segmentul A1B1 are acum lungimea ,,l1 iar unghiul din A1 este ,,1.

Deplasrile punctelor de pe un corp ce se deformeaz sunt: deplasare liniar: lungimea segmentului BB1; deplasare unghiular: unghiul dintre segmentul AB i A1B1.

Deformaiile absolute sunt: deformaii liniare: diferena dintre lungimea final a segmentului A1B1 (de pe

corpul deformat) i lungimea iniial AB, astfel: l = l1 l0;

deformaii unghiulare: diferena dintre unghiul final ,, 1 de pe corpul n stare deformat i unghiul iniial ,,0, astfel:

= 1 0. Deformaiile specifice se definesc astfel:

deformaia liniar specific: = l / l0 = (l1 l0) / l0 (%);

deformaia unghiular specific: - este unghiul cu care se modific un unghi iniial (de pe corpul nedeformat) de 900.

Alturi de deformaiile definite anterior se mai poate pune n eviden deformaia transversal care const n modificarea dimensiunii corpului pe direcie perpendicular pe suportul forelor exterioare (ce produc deformaiile). Conform schiei din fig.3.3, corpul nencrcat are grosimea iniial ,,l0 iar n urma solicitrii la ntindere cu forele ,,F grosimea scade la valoarea ,,l. Se definete contracia transversal specific ,,t astfel:

t = (l l0) / l0 = . S-a notat cu ,, alungirea specific (longitudinal sau pe direcia ncrcrilor) i cu ,,

coeficientul de contracie transversal al materialului respectiv (coeficientul Poisson). Coeficientul de contracie transversal este o caracteristic a materialului i s-a constatat c pentru metale este 0,2 ... 0,3.

Sub aciunea forelor exterioare corpurile se deformeaz, concomitent aprnd tensiuni n interiorul lor. Supuse la aceeai sarcin, materialele se comport diferit. Pentru un material, ntre tensiuni i deformaii specifice, exist o legtur exprimat printr-o funcie = (). Graficul acestei funcii este numit ,,curba caracteristic a materialului. Ea se determin experimental, prin ncercarea la ntindere a materialului. n fig.1.6 este trasat curba caracteristic pentru un oel tenace. Pe aceast curb se pot pune n eviden domeniile caracterizate n continuare.

Domeniul de proporionalitate (poriunea OA) este caracterizat printr-o linie dreapt, deci tensiunile sunt proporionate cu deformaiile specifice conform legii lui HOOKE

= E, unde am notat cu E modulul de elasticitate longitudinal al materialului (este panta

dreptei OA i se msoar n Pa). Valoarea modulului de elasticitate ,,E arat comportarea materialului sub aciunea ncrcrilor, cu ct este mai mare cu att deformaiile sunt mai mici (materialul este mai rigid).

Modulul de elasticitate este determinat de forele de legtur interatomice (adic de natura materialului) i este puin influenat de tratamentele termice sau adaosuri de aliere. Este ns puternic influenat de temperatur, scznd o dat cu creterea acesteia. Valoarea tensiunii n punctul A al curbei este notat cu ,,p i se numete ,,limit de proporionalitate a materialului. Domeniul de elasticitate (poriunea AB) n care nu se mai respect cu strictee proporionalitatea ntre tensiuni i deformaii. Totui materialul solicitat n acest domeniu se

Fig. 3.3

34

comport elastic, adic dup anularea ncrcrilor, deformaiile se anuleaz. Valoarea tensiunii n punctul B se noteaz cu ,,, numindu-se ,,limit de elasticitate. Domeniul plastic (poriunea B-C-K)n care, pentru creteri mici ale tensiunii, deformaiile cresc foarte mult comparativ cu domeniile anterioare. Dup nlturarea sarcinii, materialul nu mai revine la dimensiunile iniiale, aprnd o deformaie remanent. Tensiunea corespunztoare deformaiilor mari, numite ,,de curgere, se noteaz cu ,,c i se numete ,,tensiune de curgere.

Domeniul deformaiilor mari (poriunea K-D-H) n care deformaiile cresc foarte mult o dat cu creterea tensiunii. Tensiunea maxim, corespunztoare punctului D, se noteaz cu ,,r i se numete ,,rezisten de rupere. Pn la limita de rupere (punctul D) fiecare element al materialului se alungete aproximativ identic iar peste tensiunea de rupere deformaia barei se concentreaz ntr-un singur loc, aici aprnd gtuirea materialului i ruperea. Se definesc,,alungirea la rupere (Z) i ,,gtuirea la rupere () astfel:

Z = (L L0) / L0, = (S0 S) / S0 100 (%), unde s-a notat: L lungimea final a barei supuse la ncercare, L0 lungimea iniial a barei nencrcate, S0 seciunea iniial a barei ncercate, S seciunea barei n zona gtuit, de rupere. Analiznd curba ,,caracteristic a materialelor se evideniaz mai multe tipuri de materiale:

materialele tenace: au proprietatea de a se deforma foarte mult nainte de rupere (absorb mult energie nainte de rupere); exemplificm cu oel slab aliat, cupru, aluminiu i alijele sale;

materialele fragile: au rezisten relativ mic la solicitarea de ntindere sau solicitare variabil i prezint deformaii foarte mici nainte de rupere; au rezisten superioar la solicitarea de compresiune; exemplificm cu font, oel cu coninut ridicat de carbon. Caracterul fragil sau tenace al materialelor se refer numai la comportarea acestora la

temperatur obinuit. La temperaturi joase sau ridicate acestea i pot pierde tenacitatea i pot deveni fragile (exemplu: oelul la temperaturi joase).

Ecruisarea materialului se manifest prin creterea rezistenei materialului dup limita de curgere. Dac n urma ncrcrii materialului se ajunge n punctul M al curbei (fig.3.4) i se produce descrcarea, se observ c revenirea nu se mai face dup curba caracteristic de ncrcare ci dup dreapta MN, paralel cu poriunea de proporionalitate, prezentnd o deformaie remanent ,,r. Dup depirea limitei de curgere se constat micorareaseciunii transversale a probei (epruvetei) folosite (micorarea estefoarte mare dup atingerea tensiunii maxim r, dup care gtuireace apare micoreaz accentuat seciunea, curba devenind descendentnainte de rupere). n practica experimental este dificils se in seama de aceste contracii transversale, considerndu-se c seciunea rmne constant. Aceast ipotez simplificatoareface ca, dup apariia curgerii, curba trasat s fie convenional.Dac s-ar ine seama de contracieatunci ar

Fig. 3.4

35

rezulta o curb continuucresctoare, pn la rupere (curbapunctat din fig.B.4).Se pot trasa i alte curbe caracteristice, dac epruvetele suntsupuse la alte solicitri. Astfel sepoate completa curba determinatprin ntindere cu cea de compresiunea materialului, rezul- tnd curba dincadranul III, fig.3.5 (se poateremarca faptul c pentru un materialtenace este dificil de pus n eviden ruperea, materialul scurtndu-se foartemult fr s se distrug). Dac epruveta este solicitat la rsucire atunci se poatetrasa curba caracteristic ce aratdependena tensiunii tangen- iale delunecarea specific =(); aceast curba caracteristic este prezentat n fig.3.6.

Se pot evidenia toate limitele artate la solicitarea de ntindere (p,e, c, r) i "modulul de elasticitate transversal" G care estepanta poriunii liniare, poriune pe care se poate aplica legeaHOOKE la rsucire: = G .ntruct nu se poate defini o valoare net a tensiunii limitde elasticitate i a tensiunii de curgere s-au stabilit valoriconvenionale, numite "limite tehnice". Limita de elasticitatetehnic (notat cu 0,02) este acea tensiune care o dat atins iapoi descrcat epru- veta se nregistreaz o deformaie specificremanent de 0,02%. Limita de curgere tehnic este tensiuneacare indus n epruvet i apoi anulat (piesa se descarc) conducela o deformaie specific remanent de 0,2% (notat cu s0,2). Materiale care nu respect legea lui HOOKE n afar de oel i lemn, celelalte materialenu au poriune liniar. Aliaje ca font, cupru,aluminiu au o curb caracteristic de forma celeidin figura 3.7, iar materialele organice (fibretexti- le, piele) se conport conform curbei din fig.3.8. n aceste situaii legea HOOKE se poateaplica numai pe intervale mici, modulul deelasticitate (E) fiind panta tangentei la curb npunctul definit de tensiunea/deformaia respeciv sau de panta corzii ce aproxi- meazcurba pe un interval ct mai mic. n cazul materialelor ce nu respect legea HOOKE se poate folosi o form analitic a curbei caracteristice, de exemplu:

Fig. 3.5 Fig. 3.6

36

Influene asupra curbei caracteristice Forma curbei caracteristice i valorile para- metrilor mecanici definii pe aceasta sunt

variate, depinznd, pentru acelai material, de muli factori, cei mai importani fiind trecui n revist n continuare.Se cunoate c depirea limitei decurgere duce la o "ntrire" a materialului(ecruisarea). La unele metale acest lucrueste evident; pe lng exemplul dat cuoelurile se poate remarca situaiacuprului, conform fig.3.9, materialulneecruisat (curba 1) comportndu-se netdiferit fa de cel ecruisat (curba 2).Ecruisarea este consecin comun atehnologiilor de deformare la rece.Tipul solicitrii poate influena, la unelemateriale, curba caracteristic. Semnalmn acest sens cel mai cunoscut caz, cel alfontei, care are rezistena la rupere maimare atunci cnd este solicitat lacompresiune, conform fig.B.10; un alt material des ntlnit, careare rezisten mult mai mare la compresiune, este betonul.Modul de realizare a ncercrii in- flueneaz curbacaracteristic. Astfel, dac se modific parametrii epruvetei(diametru, lungime) i viteza de aplicare a ncrcrii se vorinfluena valorile carac- teristicilor mecanice. Dac diametrul nueste foarte mic carcteristicile nu sunt influenate de acesta;excepie notabil este cea a srmelor, cnd rezistena crete o datcu micorarea diametrului.Lungimea epruvetei influeneaz alungirea la rupere, aceasta fiind mai mare pe epruvete scurte. Viteza de cretere a sar- cinii n timpul ncrcrii influeneaz carac- teristicile mecanice, viteza mic scade rezistena la rupere i mrete alungirea; de aceea se recomand ca pn la limita de curgere ncercarea s se fac cu vitez max. 10 MPa/s iar dup aceast limit viteza de deformaie s fie de 30%/min (pentru epruvete obinuite ncercarea trebuie s dureze ntre 1 i 6 min.).Temperatura materialului este un parametru cu o puternicinfluen asupra curbei caracteristice (variaii de min. 30-400). Se poate exemplifica aceasta cu un oel tenace de mic rezisten care prezint o cretere a rezistenei pn la 200-3000C dup care scade accentuat; de asemenea modulul de elasticitate, limitele de curgere i limitele de proporionalitate sunt influenate de temperatur, scznd continuu o dat cu creterea acesteia. La scderea tempe- raturii sub 00C oelurile sufer o cretere a rezistenei la rupere i a modulului de elasticitate,

transformndu-se din materiale tenace n fragile (deformaiile plastice se diminueaz foarte mult).Timpul n care epruveta este n stare ncrcat influeneaz curba caracteristic (dac timpul este suficient de lung). Se poate spune c, n general, metalele i micoreaz caracteristicile mecanice iar deformaiile cresc mult. Acest fenomen (comportament reologic) este cunoscut sub numele de "fluaj".

3.2 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SUPRAFEELOR PLANE

Fig. 3.7 Fig. 3.8 Fig. 3.9

37

Valoarea i modul de distribuie a tensiunilor ce se produc ntr-o pies solicitat depinde de eforturi dar i de seciunea transversal prin pies (form i mrime). Necesitatea parametrilor, definii n continuare, va fi pus n eviden, mai ales, la analiza solicitrilor de ncovoiere i rsucire.

Momentul static

Momentul static al unei suprafee plane este, prin definiie, produsul dintre arie i distana la un punct sau la o ax (distana se msoar de la centrul de greutate al seciunii). Pentru o suprafa oarecare, momentul static fa de o ax () este: ==

A

AbdAS

unde am notat: distana la ax a elementului infinit mic de suprafa, dA suprafaa elementar, A- aria ntregii suprafee, b-distana de la ax la centrul de greutate (punctul C) al seciunii; notaiile sunt fcute conform figurii 4.1. Momentul static fa de axele de coordonate sunt, prin definiie, conform condiiilor urmtoare:

==

==

Acz

Acy

yAydAS

zAzdAS

Notaiile din relaii se refer la figura 3.11. n cazul particular al axei care trece prin centrul de greutate al seciunii, distana la aceasta fiind nul, este evident c i momentul static fa de respectiva ax este nul.

Momente de inerie

Momentul de inerie axial:

Schematizarea este dat n figura 3.11. Momentele de inerie fa de axele de coordonate, prin definiie, sunt: =

Ay dAzI

2, =

Az dAyI

2.

Fig. 3.10

Fig. 3.11 Fig. 3.12

38

Momentele de inerie se numesc centrala dac sistemul de axe are originea n centrul de greutate al seciunii (punctul C).

Momente de inerie centrifugale: Se folosete schematizarea din figura 3.11. Aceste momente sunt, prin definiie: =

Ayz dAzyI

Dac mcar una din axe este de simetrie, momentul centrifugal fa de acestea este nul.

Momente de inerie polare: Schematizarea este dat de figura 3.11, momentul de inerie polar fiind, prin definiie: +=+==

A Ayz IIdAzydArI )( 2220

Dup cum se observ, momentul de inerie fa de un punct (pol) este egal cu suma momentelor de inerie fa de dou axe rectangulare, centrate n acel pol.

Momente de inerie pentru suprafee simple: DREPTUNGHI: conform schemei prezentate n fig.3.11, momentul de inerie fa de axa

Oy va fi: 2

2

2

2

322

3)(

h

hA

h

hy

zbdzbzdAzI

=== ,

Iy=(bh3)/12. CERC: conform schemei din figura 3.12,

momentul de inerie, plecnd de la relaia de definiie, va fi:

64,

42)cos(sin

4

,cos)()cos(

442

00

4

0

2

0

2322

DIRrI

IddrrdrdrrdAzI

y

R

y

A A

R

zy

==+

=

====

pipi

pi

pi

Momentul de inerie polar este: I0 = Iz + Iy = D4/(64) + D4/64 = D4/32. Pentru alte forme geometrice simple se dau relaiile de calcul ale momentelor de inerie n ANEXA din finalul capitolului.

Variaia momentelor de inerie n raport cu axe translatate

n esen, problema este c, dac se cunosc momentul de inerie fa de o ax (Oy) Iy, aria seciunii A i distana d fa de o nou ax (O1y1), se caut s se determine momentul de inerie Iy1 fa de noua ax. Pentru a se deduce relaia de calcul a noului moment de inerie, se va folosi schema din figura 3.13. Plecnd de la definiia momentului de inerie axial i cunoscndu-se

Fig. 3.12

Fig. 3.13

39

deplasarea dz a noii axe O1y1 fa de axa Oy, vom avea:

=+==A A A

zy dzdAdzdAzI222

11 )( . Iy1 = Iy + 2dzSy + A dz2.

Relaia de mai sus este cunoscut i ca teorema Steiner. S-au fcut notaiile: Sy-momentul static al seciunii fa de axa iniial Oy, A-aria seciunii. Dac axele sunt centrale, atunci Sy=0 i relaia devine: Iy1=Iy + A dz2. Similar, se deduce pentru axa (Oz): Iz1=Iz + 2dySz + Ady2, Iz1=Iz + Ady2 (pentru axe centrate Sz=0). Relaia de calcul a momentului de inerie centrifugal fa de noile axe se demonstreaz

similar, astfel:

=++==A A

zyzy dAdzdydAzyI ))((1111

=+++= A

zyA

yA

z

A

dAdddAzddAydyzdA

=Iyz + dz Sz + dy Sy + dy dz A. Dac axele iniiale sunt centrale,

vom avea relaia: Iy1z1 = Iyz + dy dz A. Notaiile folosite au

semnificaie: Iyz-moment de inerie centrifugal fa de axele iniiale, Iy1z1-momentul fa de noile axe, dy i dz distanele ntre axe, A-aria suprafeei.

Variaia momentelor de inerie cu rotaia axelor

Pentru determinarea funciilor de transfer fa de axele rotite, se va folosi schematizarea din figura 4.6. Se urmrete determinarea

relaiei ntre momentele de inerie fa de axe rotite funcie de momentele de inerie definite fa de axele iniiale i funcie de unghiul de rotire al axelor. Relaiile ntre coordonatele din noul sistem i din sistemul iniial de axe sunt: y1 = y cos + z sin , z1 = z cos + y sin . Momentele de inerie fa de noile axe (rotite) Iy1, Iz1 i Iy1z1 se calculeaz dup cum urmeaz: Iy1 = ( ) +==

A A A A A

dAyyzdAdAzdAyzdAz 2222221 sincossin2cossincos ,

Iy1 = Iy cos2 + Iz sin2 Iyz sin2 . Procednd similar pentru celelalte dou momente, se va obine: Iz1 = Iy sin2 + Iz cos2 + Iyz sin2 , Iy1z1 = Iyz cos2 + 0,5 (Iy - Iz) sin2 . Se observ c suma momentelor de inerie fa de axe rotite este un invariant, adic: Iy + Iz = Iy1 + Iz1 .

Fig. 3.14

40

Valori extreme ale momentelor de inerie

Vom numi n continuare momentele de inerie principale momentele ce au valori extreme (max. i min.). Se rescriu relaiile determinate anterior funcie de unghiul dublu folosindu-se relaiile: cos2 = (1 + cos2), sin2 = (1 cos2) . Prin nlocuirea n ecuaiile determinate iniial i efectundu-se operaiile algebrice adecvate, se obin momentele de inerie fa de axe rotite ce variaz funcie de unghiul de rotaie a acestora, dup cum urmeaz: Iy1 = (Iy + Iz) + (Iy - Iz) cos2 Iyz sin2 , Iz1 = (Iy + Iz) (Iy - Iz) cos2 + Iyz sin2 . Se va determina unghiul axelor fa de care momentele de inerie vor lua valori extreme; acest unghi se determin punnd condiia ca prima derivat a momentului s se anuleze, adic:

)2(1

ddI y

= - (Iy - Iz) sin2 - Iyz cos2 = 0 , i rezult relaia urmtoare: tg2 = Iyz /(Iz - Iy) . Unghiul ce satisface relaia de mai sus este cel al axelor fa de care momentele de inerie iau valori extreme; aceste axe, asociate suprafeei respective, se numesc axe principale de inerie. Se urmrete n continuare determinarea relaiilor de calcul a momentelor de inerie principale (extreme). Se vor folosi relaiile trigonometrice pentru unghiul dublu:

2112cos

2tg+

= ,

21222sin2tg

tg+

= ,

i nlocuind relaia tangentei determinat din condiia de extrem, vom obine urmtoarele relaii:

22 4)(2

2sinyzyz

yz

III

I

+

= ,

22 4)()(2

2cosyzyz

yz

III

II

+

= .

Se nlocuiesc funciile trigonometrice astfel definite n relaiile de calcul ale momentelor funcie de unghiul de rotire al axelor, rezultnd: I1,2 = (Iy + Iz) 22 4)( yzyz III + .

Relaia de mai sus definete valoarea maxim i minim a momentelor de inerie axiale (principale). Axele principale de inerie sunt ortogonale ntre ele. Dac suprafaa are o ax de simetrie, aceasta va fi i axa principal, iar momentul de inerie fa de aceasta va fi principal (maxim sau minim); axa ortogonal pe axa de simetrie este a doua ax principal. Pentru a se determina poziia axelor pentru care momentele de inerie centrifugale iau valori extreme, se procedeaz similar, anulndu-se prima derivat a funciei Iyz(). Se constat c direcia acestor axe face un unghi de 45 cu axele principale definite anterior. Momentele de inerie centrifugale extreme (principale) se calculeaz cu relaia: Iyz max, min = 22 4)( yzyz III + . Raz de inerie. Modul de rezisten

Prin definiie, raza de inerie este: AI

i yy = , AIi zz = ,

Fig. 3.15

41

unde cu A s-a notat aria seciunii. Semnificaia fizic a razei de inerie este distana la care ar trebui s se concentreze suprafaa pentru a avea acelai moment de inerie ca i suprafaa real. Pentru definirea modulelor de rezisten se va folosi desenul din figura 3.15. a) Modulul de rezisten axial: prin definiie Wy = Iy /zmax , Wz = Iz/ymax , unde ymax i zmax sunt distanele de la axele de coordonate (fa de care se calculeaz momentele de inerie) la punctele cele mai deprtate ale seciunii. b) Modulul de rezisten polar: prin definiie este Wp = Ip /rmax , unde am notat cu rm distana de la pol la punctul cel mai deprtat al seciunii. Modulele de rezisten pentru cele trei suprafee particulare studiate sunt:

3.3 SOLICITAREA AXIAL

Definirea solicitrii: aceast solictare simpl se prduce atunci cnd fora ce acioneaz este coaxial cu piesa, adic atunci cnd exist efort axial N n pies (conform figurii 5.1: a-ntindere, b-compresiune).

Starea de tensiuni la solicitare axial

Dac se traseaz pe suprafaa unei bare supuse la ntindere sau compresiune, o reea de drepte care delimiteaz elemente dreptunghiulare (fig.3.16), n urma solicitrii i deformrii acesteia, elementele dreptunghiulare i modific dimensiunile laturilor dar nu i schimb forma. Acest fapt experimental, ilustrat n figura 3.16 atest c n bar se produc numai tensiuni normale (existena tensiunilor tangeniale ar transforma dreptunghiurile n paralelograme). Distribuia tensiunilor pe seciune se consider uniform. ntre tensiunea normal care se produce ntr-o seciune a piesei , efortul axial N n acea seciune i aria seciunii A, exist deci relaia: =N/A.

Calculul de rezisten

Se fae analiza rezistenei pieselor solicitate de un efort axial. Acest calcul se poate aplica, cu o bun precizie, numai pentru piese care au seciune constant n lungul lor i al cror material este omogen. Se bazeaz pe relaia de determinare a tensiunii definit mai sus. Exist trei tipuri de calcul la solicitarea axial i anume:

a) Calcul de verificare: - se cunosc: eforturile axiale (din diagrama de efort) i aria

seciunii transversale; - se determin: tensiunea normal efectiv maxim n

seciunea de calcul; - se impune condiia ca tensiunea efectiv s fie mai mic dect tensiunea

admisibil (maxim) pentru a se ndeplini condiia de rezisten impus: ef=Nmax/Aef a .

b) Calculul de dimensionare: - se cunosc: eforturile axiale (din diagram) i tensiunea admisibil impus

materialului; - se determin: aria necesar a seciunii (indiferent de forma ei) cu relaia:

Anec=Nmax/a .

Fig. 3.16

42

c) Calculul capacitii portante: - se cunosc: aria seciunii i tensiunea admisibil impus materialului; - se determin: fora axial maxim admisibil: Nad=Aefa .

Tensiunea n seciuni cu concentratori:

Concentratorii sunt guri, crestturi, variaii brute de seciune, etc. Existena acestor anomalii dimensionale ce apar n lungul barei, conduce la creterea tensiunii produse de efort

n seciunile prin concentratori. Tensiunea n seciunea ce conine concentratorul nu mai poate fi considerat uniform distribuit, tinznd s creasc n apropierea concentratorului (conform fig.3.17); calculul se face n seciunea net (cu tensiune uniform) dar se va ine seama de concentrator prin creterea coeficientului de siguran impus. Efectul concentratorilor, dac se ine seama de material,

const n: - materialul tenace: influen mai puternic; - materialul fragil: efect puternic de concentrare a tensiunilor.

Deformaii la ntindere-compresiune

Ecuaia deformaiei barei ce suport efort axial constant se determin acceptnd ca adevrat legea lui HOOKE, din care se obine alungirea: =E, N/A=El/l => l=Nl/(EA) , notaiile avnd semnificaia: l lungimea tronsonului pe care efortul axial este constant, EA rigiditatea axial, E modulul de elasticitate longitudinal al materialului, A aria seciunii transversale (considerat constant n

lungul barei). Dac efortul axial variaz n lungul barei conform fig. 3.18, se vor calcula alungirile pe fiecare tronson n parte, alungirea total fiind suma acestora, astfel: ltot=N1l1/(EA)+N2l2/(EA)+N3l3/(EA) . Relaia stabilit se poate aplica numai pe tronsoane cu efort axial i seciune constante; efortul axial se introduce cu semnul pe care l are n diagram, semnul + al deformaiei totale ne va arta c piesa se lungete. Dac efortul nu mai este constant (de exemplu, n cazul deformaiei barei cu greutate proprie) trebuie s calculm deformaia prin integrare, astfel:

( )EAlGFdx

EAxlAFdx

EAxNl

ll

+=+

== 2/)]([)(

00

,

unde am notat cu G greutatea barei. Dac se va ine seama de deformaia piesei supuse la solicitare axial, spunem c se va face un calcul de rigiditate. n acest caz, se impune deformaia admisibil a piesei, existnd urmtoarele variante de analiz:

o calculul de verificare: se cunosc eforturile axiale i deformaia admisibil i se determin deformaia efectiv, care trebuie s fie mai mic sau egal cu deformaia admisibil, adic: lef=(Nl)/(EA)la .

Fig. 3.17

Fig. 3.18

43

o calculul de dimensionare: se cunosc eforturile axiale (diagrama) i deformaia admisibil; se calculeaz aria transversal necesar (indiferent de forma seciunii) Anec=(Nl)/(Ela) .

o capacitatea portant: se cunosc aria seciunii transversale i deformaia admisibil; se calculeaz efortul axial maxim admisibil Nad=(EAla)/l . Calculul la rigiditate se face mult mai rar dect cel de rezisten, fiind aplicat numai n

cazuri speciale. Dimensiunile rezultate din condiia de rigiditate sunt, de obicei, mult mai mari dect cele obinute din condiia de rezisten.

Deformaia unui element de bar de lungime infinit mic este: d(x)=Ndx/(EA).

Lucrul mecanic elementar dL efectuat de efortul axial N la deformarea elementului de bar de lungime dx este:

dL=Nd(x)=(EA)/(x)xd(x), iar prin integrare se obine lcrul mecanic efectuat la deformarea unei poriuni de bar de lungime x care este numeri egal cu energia potenial de deformaie elastic a barei W, astfel:

EAxN

EANx

x

EAxx

EAxdx

x

EALxx

222)(

22

0

2

0

=

=

==

.

Dac fora axial N i aria seciunii A nu sunt constante n lungul barei, energia de deformaie se obine prin integrare:

dxEA

NWl

= 0

2

2 .

Starea liniar de tensiuni

Se vor analiza tensiunile peo seciune oarecare a unei baresolicitate axial. Se tie c dac seciuneaeste ortogonal pe ax, pe aceasta existnumai tensiu- nea normal calculatconform teoriei prezentate ante- rior. Dacseciunea este nclinat cu un- ghiul ""atunci pe aceata exist o tensiue "p"orientat axial; tensiunea "p" se proiec- teaz pe normal(obinndu-se tensiunea ) i tangent (obinndu-se tensiunea ),conform fig.3.19. Dac se izoleaz elementul prismatic din barasolicitat axial (fig.3.19), acesta trebuie s stea n echilibru; dincondiiile de echilibru ale proieciilor forelor pe direcia normal(Cn) la direcia BD i pe direcia BD, se obin tensiunile pe o suprafa oarecare vor fi:

Ecuaiile tensiunilor se pot scrie i funcie de unghiul dublu astfel:

relaii ce se pot pune i sub forma:

Dac se ridic la ptrat relaiile i se adun se va obine ecuaia unui cerc n coordonate (,), astfel:

Din ecuaie se constat c centrul cercului are coordonatele C(0,5x,0) i raza r=0,5x. Acest cerc este cunoscut sub numele "cercul lui MOHR" sau "cercul tensiunilor" i este trasat n fig.3.20. Pentru a se calcula tensiunile ( i ) pe o seciune nclinat cu unghiul "" se va duce diametrul MK nclinat fa de orizontal cu unghiul "2". Proieiile punctului M pe cele 2 axe vor fi tensiunile pe seciunea nclinat cu unghiul "" (seciunea BD din fig.3.21). Proieciile punctului K pe axe vor fi tensiunile pe o seciune perpendicular pe seciunea anterioar (seciunea LH, fig.B.3.21). Se observ c tensiunile tangeniale sunt egale iar cele normale, prin nsumare, dau o constant.

44

Pe cerc se remarc punctele diametral opuse pe vertical care corespund seciunilor la 450, n care tensiunea tangenial este maxim.

3.4 SOLICITAREA LA FORFECARE

Definiie

Aceast solicitare este mai rar ntlnit i se produce atunci cnd forele exterioare acioneaz asemenea unui foarfece (suportul forelor transversale pe pies sunt paralele i foarte

apropiate, teoretic putnd fi considerate coaxiale). Definiia solicitrii: acioneaz ncrcri transversale pe bar, iar suporturile forelor sunt infinit apropiate. Schema solicitrii este dat n figura 3.22. n plus, aria transversal a piesei trebuie s fie foarte mic comparativ cu lungimea (sau poate s fie de asemenea foarte subire).

Exemple de cazuri de forfecare pur: asamblri cu nituri sau uruburi nestrnse, asamblri prin sudur sau cu boluri, tierea tablelor prin

forfecare. Solicitarea de forfecare pur este ntotdeauna nsoit de solicitri secundare axiale sau de

ncovoiere, dar acestea produc tensiuni foarte mici i deci, efectul lor poate fi neglijat. Adesea, ncrcrile ce produc forfecarea pur se aplic pe suprafee relativ mici ale piesei, n acest caz

Fig. 3.19 Fig. 3.20

Fig. 3.21

Fig. 3.22

45

aprnd o presiune mare pe acea suprafa, efect ce nu mai poate fi neglijat. Solicitarea superficial a piesei forfecate se manifest ca tensiune de contact.

Tensiuni i deformaii la forfecare pur

Tensiuni la forfecare pur

Fenomenul real permite s se fac ipoteza simplificatoare i anume c tensiunea tangenial produs de efortul tietor este uniform distribuit pe seciune. Deci, se poate defini relaia de calcul a tensiunii:

=T/A, notaiile fiind: T fora tietoare, A aria seciunii transversale a piesei. Pe baza relaiei de mai sus se poate face calculul de rezisten la forfecare, dup cum

urmeaz: a) calculul de verificare: este necesar ca tensiunea efectiv s fie mai mic dect

tensiunea admisibil, adic: ef=Tef/Aef a ; b) calculul de dimensionare: se determin aria necesar Anec funcie de fora tietoare

maxim T i tensiunea tangenial admisibil a materialului (indiferent de forma seciunii): Anec=Tmax/a ;

c) calculul de capacitate portant: se determin fora maxim (capabil) ce are voie s se produc n pies pentru a se ndeplini condiia de rezisten: Tcap=Aef a .

Deformaii la forfecare pur

Vom considera o bar supus la forfecare, conform figurii 3.23. Se izoleaz un element de arie infinit mic dA din zona n care se produce efectiv forfecarea i se analizeaz deformaia acestuia. Se aplic legea HOOKE, adic avem relaia: =G .

Lunecarea liniar, conform figurii 6.2, este:

ds=dl=dl/G=dl(T/A)/G , ds=(Tdl)/(GA).

Se constat existena unor solicitri secundare i anume: strivirea: ntre corpul ce foarfec i material; ncovoierea: datorit necoaxialitii forelor tietoare, momentul ncovoietor produs este

M=Td, unde d este distana ntre suporturile forelor tietoare. Deformaiile la forfecare pur nu au importan n

calculul practic, de rezisten.

Exemple de cazuri de forfecare pur

6.3.1. Asamblri cu nituri:

Se aplic la asamblarea tablelor. n figura 3.24 este dat schema de studiu a acestui caz.

Dimensionarea niturilor const n determinarea diametrului. n schema de calcul din fig.3.24, s-a luat n consideraie un singur nit; dac exist mai multe nituri, efortul de forfecare este T=F/N (N numrul de nituri); diametrul este: Anec=T/a=(d2)/4, )/()4( NnFd a = pi ,

unde am notat: n numrul planelor de forfecare, N numrul niturilor.

Fig. 3.23

Fig. 3.24

46

Strivirea ntre urub i pereii gurii trebuie analizat, existnd pericolul ptrunderii tablei n tija nitului (tabla acioneaz ca o foarfec). Tensiunea efectiv maxim de strivire este dat de relaia: s=F/As, As=ds . unde am notat: s tensiunea de strivire (contact), As aria de strivire, s grosimea tablei. Trebuie ndeplinit condiia de rezisten, adic tensiunea efectiv calculat trebuie s fie mai mic dect cea admisibil impus.

Asamblri cu tifturi sau boluri:

Schem