ÎNTRODUCERE

Teoria teletraficului se preocupă de problemele de evaluare a performanței și de planificare a sistemelor de telecomunicații. Termenul de teletrafic acoperă toate tipurile de trafic de telecomunicații. Însă pe parcursul acestui curs teoria mai des va fi ilustrată cu exemple din sistemele de telefonie sau transport date. În același timp se accentuează faptul ca instrumentariul dezvoltat nu depinde de tehnologie și este aplicabil și în alte domenii de activitate ca traficul de producție, de stocare și distribuție, rutier, aerian, naval, orice tip de sistem de servire stochastic.

Teoria teletraficului se ocupă cu analiza modelelor matematice care descriu funcționarea sistemelor de telecomunicații. Ea se bazează pe teoria probabilităților, teoria așteptării, statistica, analiza combinatorie.

Obiectivul teoriei teletraficului este definirea unor modele matematice astfel ca traficul să devină masurabil, deopotrivă cu posibilitatea determinarii raportului optimal dintre nivelul de calitate a serviciului și capacitatea sistemului. Astfel teoria devine un instrument de planificare judicioasă a investitiilor.

Modelul matematic al procesului de servire, care se tratează în teoria teletraficului, include patru elemente de bază: 1. Proprietățile statistice ale traficului determinate de cererile venite de la utilizatorii sistemului de telecomunicații. Descrierea proprietăților traficului este compusă din două parți:

a) procese aleatoare de sosire a cererilor de apel șib) procese aleatoare ce descriu timpii de servire.

Aceste două procese de regulă se consideră independente, durata apelului nu depinde de timpul sosirii lui. În figura î.1 se ilustrează terminologia folosită pentru procesul trafic.2. Structura sistemului de servire determinată de un șir de parametri care descriu cum partea materială (hardware) precum și ansamblul de programe (software). Descrierea detaliată a sistemelor de telecomunicații este subiectul disciplinelor tehnice.3. Strategia de operare sau disciplina de servire determină modul de utilizarea a sistemului de prelucrare în dependența de cerințele traficului. De exemplu, cu pierderea sosirilor blocate, cu așteptarea eliberării resurselor într-un șir de așteptare sau cu repetarea tentativelor de apel.4. Indicatorii calității de servire se determină in dependență de proprietățile și caracteristicile procesului de sosire, structura și parametrii sistemului de servire și strategia de operare. Este posibilă și sarcina inversă - determinarea parametrilor sistemului de servire de anumită structură în dependență de proprietățile procesului de sosire, strartegia de operare și indicatorii de calitate predefiniți.

1. PROCESE DE SOSIRE1.1. DESCRIEREA PROCESELOR PUNCT

Termenul sosire în teoria teletraficului se utilizează în general ca tentativa de a stabili o comunicație prin intermediul sistemului de servire cu scopul trasmisiunii de informație. În calitate de surse de sosiri pot servi aparatul telefonic sau calculatorul, programul de calculator, etc. Deseori în loc de sosire se spune apel, client, unitate de trafic.

Fluxul apelurilor telefonice în sistemul de comutație sau a mesagelor la un server formează un proses de sosire. Procesul de sosire este de regulă un proces stochastic. Procesele stochastice sunt modele matematice de studiu a fenomenelor aleatorii. Matematic ele se descriu ca procese stochastice punct. Cele mai importante procese punct sunt procesele Poisson care vor fi descrise detaliat mai jos. Un proces stochastic este format dintr-un șir, de obicei infinit, de variabile aleatoare dependente de parametrul timp.

La general procesul de sosire poate fi descris prin:

timpii t i de sosire a clientului/apelului

0=t0≤t1≤t2≤. ..≤ti≤t i+1≤.. .

, (1.1) intervalele de timp între două sosiri succesive

X i=t i−t i−1 , i=1,2 , .. . . (1.2)

număr de sosiri N t în intervalul semi-deschis [ 0 ,t [

În corespundere cu cele două variabile aleatoareN t și

X i procesul punct poate fi caracterizat pe două căi:

3

Reprezentarea numărN t - cînd intervalul timpt este constant și se observă variabila aleatoare

N t ca număr de apeluri sosit în acest interval.

Reprezentarea interval T i– numărul sosirilor n este constant și se observă variabila aleatoare

T i pentru intervalul timp pînă ce vor fi n sosiri ( vezi fig.1.1).

Din figura 1.1 se observă: T n=∑

i=1

n

X i. (1.3)

Relația fundamentală simplă dintre aceste două valori aleatoare este N t<n

dacă T n≥t

. Probabilitatea

ca numărul de sosiri N t în intervalul de timp t va fi mai mic ca n este egală cu probabilitatea ca intervalul

timp T n pînă vor sosi n apeluri este mai mare sau egală ca t :

p( N t<n )=p(T n≥t ) , n=1,2 ,. .. . (1.4)Această relatie este numită identitatea Feller-Jensen.

Reprezentarea număr și reprezentarea interval a procesului punct sunt echivalente. 1.2. PROPRIETĂȚILE PROCESULUI DE SOSIRE

1.2.1. Proces staționar

Staționar (omogen în timp) este procesul, caracteristicele probabilistice ale caruia nu depind de timp. Cu alte cuvinte, pentru procesul staționar probabilitatea sosirii apelurilor în intervalul t depinde doar de durata lui dar nu și de plasarea intervalului pe axa timpului.

Definiție. Pentru oricare t2>0

arbitrar și orice k≥0 probabilitatea ca în intervalul [ t1 , t1+t2 [ vor sosi k

apeluri este independentă de t1 , deci pentru orice t și k va fi adevărată egalitatea:

p¿¿. (1.5)Staționaritatea procesului de sosire poate fi definită și prin reprezentarea interval ca independența și

distribuirea identică (IID) a tuturor intervalelor de timp între sosirile succesive X i .

Procesul de sosire a apelurilor la o centrală telefonică este nestaționar. Intensitatea acestui proces, numărul mediu de apeluri pe unitățe de timp, variază în dependență de trimestrele și luna anului, de ziua săptămînii și de oră. Totuși, în decursul zilei poate fi aleasă o perioadă de una-două-trei ore, cînd procesul de sosire este aproape de cel staționar.

1.2.2. Proces cu postacțiune

Cu postacțiune este procesul, la care caracteristicile probabilistice depind de evenimentele anterioare. Cu

alte cuvinte, probabilitatea sosirii apelului în intervalul [ t1 , t2[ depinde de numărul, momentele și timpul de

servire al apelurilor venite pînă la momentul t1 .

Pentru procesul independent (fără postacțiune) probabilitatea condiționată a sosirii apelurilor în intervalul[ t1 , t2[ , calculată cu anumite presupuneri despre procesul de servire pînă la momentul

t1 , este egală cu cea necondiționată. Această proprietate poate fi exprimată prin condiția ca evoluția viitoare a procesului nu depinde de evenimentele ulterioare și depinde doar de starea actuală.

Definiție. Probabilitatea ca un număr de k sosiri va fi în intervalul [ t1 , t1+t2 [ este independentă de numărul

de sosiri pînă la momentul t1 : p¿¿. (1.6)

Dacă această proprietate se păstrează pentru orice t atunci procesul este numit proces Markov. Pentru un proces Markov evoluția viitoare a sistemului depinde doar de starea prezentă a lui și nu depinde de modul cum aceasta starea a fost obținută. Se mai spune ca procesul este fără memorie.

Dacă independența se referă numai la anumite puncte timp, spre exemplu momentele de sosire a apelurilor, atunci aceste puncte sunt numite puncte de echilibru sau puncte de regenerare. Procesul respectiv este cu

4

postacțiune limitată și este necesar de cunoscut trecutul doar pentru intervalul de pînă la ultimul punct de regenerare.

Procesul de sosire de la un grup destul de mare de surse după proprietățile sale este aproape de procesul independent cu condiția, că nu se iau în considerare tentativele repetate. Și invers, procesul de sosire generat de

un grup mic de surse are o postacțiune semnificativă. Spre exemplu, dacă numărul de abonați N=10 , atunci

probabilitatea sosirii apelurilor simțitor depinde de numărul de abonați liberi N lib . Pentru cazul, cînd toate

sursele sunt libere această probabilitate este mai mare, decît cînd N lib=5 . Numărul de surse libere, la rîndul său,

depinde de evenimentele precedente, prin ce și se manifestă postacțiunea procesului. Cu creșterea capacității grupului de surse treptat se micșorează cota surselor ocupate din numărul lor sumar. Corespunzător slăbește

postacțiunea procesului și începînd cu o oarecare valoare limită N lim ea poate fi ignorată.

Procesul cu sosiri repetate este deasemenea exemplu de proces cu postacțiune, deoarece apelul repetat apare ca rezultat la pierderea apelului precedent.

Procesele cu postacțiune se împart în două clase: cu postacțiune simplă și cu postacțiune limitată. Mai detaliat vom studia aceste clase de procese într-un paragraf aparte.

1.2.3. Proces simplu (ordinar)

Simplu este procesul, pentru care practic sunt imposibile sosiri multiple, în grupe. Definiție. Un proces punct este numit simplu sau ordinar dacă Procesul cu sosiri multiple, neordinar poate fi considerat ca o succesiune simplă a momentelor de venire a

sosirilor.

probabilitatea ca într-un interval de timp Δt , suficient de mic, să se producă două sau mai multe evenimente, este neglijabilă în raport cu probabilitatea producerii cel mult a unui singur eveniment, adică:

p {N t+Δt−N t≥2}=0 ( Δt ) . (1.7)În rețelele de telecomunicații procesurile de sosire, de regulă, sunt simple.

1.3. CARACTERISTICILE PROCESULUI DE SOSIRE Din caracteristicile principale ale procesului aleator fac parte: funcția de reînoire, parametrul și intensitatea.

Funcția de reînnoire a procesului aleator este media numărului de sosiri în intervalul [ t 1 , t2[ :

H ( t1 , t2 )=E ¿¿. (1.8)

Funcția H ( t1 , t2 ) este nenegativă, nedescrescătoare și în problemele practice ale teoriei teletraficului neîntreruptă.

Parametrul procesului se sosire λ t în momentul t este limita raportului dintre probabilitatea sosirii cel

puțin al unui apel în intervalul [ t , t+Δt [ și lungimea intervaluluiΔt , cînd Δt→0

λ t=Δt→0 limp( N t+ Δt−N t≥1¿

Δt¿

. (1.9) Parametrul procesului determină densitatea de probabilitate a momentului de apelare în punctul t . Definiția

paramerului este echivalentă presupunerii, că probabilitatea sosirii cel puțin al unui apel în intervalul

[ t , t+Δt [ cu precizia pînă la infinitezimala 0( Δt ) este proporțională lungimii intervalului Δt și paramerului

procesuluiλ t . p {N t+Δt−N t≥1}=λ t×Δt+0 ( Δt ) . (1.10)

Pentru procesul staționar probabilitatea sosirilor nu depinde de timp și relația (1.10) devine mai simplăp {N Δt≥1}=λ×Δt+0( Δt ) . (1.11)

Intensitatea instantanee a procesului μt in momentul t este derivată a funcției de reînoire in raport cu

timpul μt=Δt →0 lim

N t+ Δt−N t

Δt=N t

¿

. (1.12)

5

Intesitatea medie a procesului în intervalul este raportul [ t 1 , t2[dintre media numărului de sosiri în acest

interval și lungimea intervalului μ( t1 , t2 )=

H ( t1 ,t2 )t2−t1 . (1.13)

Noțiunile de intensitate instantanee și intensitate medie caracterizează procesul de sosire nestaționar. Intensitatea procesului staționar µ este media numărului de sosiri pe unitate de timp.

Asemănător parametrului λ t intensitatea instantanee

μt a procesului de sosire se determină pentru un oarecare moment t . Se observă însă, că dacă parametrul caracterizează procesul momentelor de apelare, atunci

intensitatea instantanee - procesul de sosire a cererilor de apel. Rezultă, că μt≥ λt , unde egalitatea e posibilă

doar pentru procesele simple, cînd fiecărui moment de apelare îi corespunde un singur apel. Clasificarea proceselor de sosire poate fi efectuată dupa gradul de postacțiune: procese independente,

procese cu postacțiune simplă și procese cu postacțiune limitată. Din prima grupă fac parte procesele: Poisson, Poisson nestaționar și Poisson neordionar. La clasa proceselor cu postacțiune simplă se referă procesele: binomial, aplatisat și cu sosiri repetate. Postacțiune limitată au procesele: de reînoire, Palm, Erlang și Poisson intermitent.

1.4. PROCES DE TIP POISSON

1.4.1. DEFINIȚIA PROCESULUI POISSON Poisson se numește procesul de sosire, care este staționar, simplui și independent. Procesul Poisson poate fi

dat cu ajutorul familiei de probabilitățiPk ( t ) apariției k (k=0,1,2 , . .. ) sosirii în intervalul de timp [ 0 ,t [ . Pentru

determinare distribuției numărului de sosiri k în intervalul de lungimea t se împarte în n intervale egale Δt=t /n . Pe baza proprietății de staționaritate a procesului se afirmă că probabilitatea apariției cel puțin a k

sosiri într-un interval de timp Δt , suficient de mic, este: Pk≥1( Δt )=λ×Δt+0 ( Δt ) . (1.14)

Dacă se admite că Δt→0 atunci se poate scrie: Pk≥1( Δt )=λ×Δt= λ× t

n . (1.15)

Probabilitatea contrară de ne apariție a sosirilor în intervalul Δt se determină ca: Pk=0( Δt )=1−λ× t

n . (1.16)Reeșind din proprietatea de independență a procesului Poisson sosirile în intervalele timp ce nu se

intersectează pot fi considerate ca încercări independente și aplicată distribuția Bernoulli:

Pk , n=Cnk( λ×t

n )k

×(1− λ×tn )

n−k

, (1.17)

unde: Pk , n este probabilitatea ca în rezultatul a n încercări în k intervale Δt vor apărea sosiri iar în n−k

intervale nu va fi nici o sosire, Cnk

numărul combinărilor de n luate cîte k .În virtutea ordinarității procesului Poisson această probabilitate este aproximativ egală cu probabilitatea

apariției k sosiri în intervalul de timp [ 0 ,t [ : Pk ,n≈Pk ( t ). (1.18)

Pentru n destul de mare, respectiv Δt suficient de mic, probabilitatea apariției a două sau mai multe sosiri

într-un interval Δt este valoare infinitezimală:Pk≥2( Δt )=0( Δt ) .

Valoarea precisă a probabilității Pk ( t ) se va obține dacă se va admite că n→∞ :

6

Pk ( t )=n→∞ lim Cnk( λ×t

n )k

×(1−λ×tn )

n−k

=

¿ n→∞ limn(n−1) .. .(n−k+1 )nk

×( λ×t )k

k !×(1−λ×t

n )n−k

=

¿( λ×t )k

k !×e−λ×t .

(1.19)

În rezultat s-a obținut distribuția Poisson, de parametrul λ

Pk ( t )=( λ×t )k

k !×e− λ×t , k=0,1,2 ,. ..

(1.20)

Pentru verificarea dacă (1.20) este tabloul/funcție de distribuție se ea suma tuturor probabilităților Pk ( t )

posibile care trebuie să fie egală cu unitatea: ∑k=0

∞Pk( t )=e−λ×t×∑

k=0

∞ ( λ×t )k

k !=1

. (1.21)

Mai sus a fost utilizată seria Maclaurin: e x=∑

k=0

∞ xk

k ! . (1.22)

Analiza evoluției distribuției Poisson în dependență de valoarea numărului de sosiri k se va efectua

folosind formula de recurență obținută din raportul a două probabilități successive Pk ( t ) și Pk−1( t ):

Pk ( t )= λ×tk

×Pk−1( t ). (1.23)

Din (1.23) se observă că probabilitatea Pk ( t ) pentru: k< λ×t crește, k> λ×t descrește.

Maximul funcției Pk ( t ) se atinge in două puncte k=λ×t−1 și k=λt , dacă λ×t este valoare integră și

într-un singur punct k=[ λ×t ] , dacă valoarea λ×t este fracționară. Prin [X] se notează partea integră a fracției X.

Paralel cu ditribuția Poisson în scopuri practice deseori se utilizează și probabilitatea comulativă Pi≤k ( t ), ca

în intervalul cu lungimea t vor apărea pînă la k sosiri. Valorile acestei probabilități sunt tabelate, de exemplu

în [3]. Utilizînd aceste tabele se poate calcula și probablitatea apariției unui număr fixat de sosiri Pk ( t )Pk ( t )=Pi≤k ( t )−Pi≤k−1( t ) . (1.24)Se poate concluziona că o mărime, care reprezintă un număr de sosiri (variabil în raport cu

timpul), este distribuită Poisson dacă satisface condiţiile:a) este un număr întreg şi pozitiv, inclusiv zero;b) într-un interval suficient de mic al domeniului de variaţie se poate produce sau o

singură sosire sau nici una (probabilitatea producerii a două sau mai multe sosiri în acest interval este nulă);

c) probabilitatea producerii apariției unei singuri sosiri într-un asemenea interval suficient de mic este proporţională cu mărimea intervalului.

1.4.2. CARACTERISTICELE DISTRIBUȚIEI POISSON

Media numărului de sosiri în intervalul [ 0 ,t [ este prin definiție dată de :

Mk=∑k=1

∞k×Pk ( t )=∑

k=1

∞k×

( λ×t )k

k !×e−λ×t=λ×t

. (1.25)

7

La deducere a fost utilizată seria Maclaurin e x=∑

k=0

∞ xk

k ! .

Dispersia (varianța) numărului de sosiri în intervalul [ 0 ,t [ a distribuției Poisson este dată de expresia:

Dk=∑k=1

∞k 2×Pk( t )−M 2 k=∑

k=1

∞[ k×(k−1 )+k ]×Pk( t )−M 2k=

¿ ( λ×t )2×∑k=0

∞ ( λ×t )k

k !×e−λ×t+λ×t−( λ×t )2=λ×t .

(1.26)

Deci pentru distribuția Poisson Mk=Dk=λ×t .Egalitatea valorii medii și dispersiei a distribuției Poisson este pe larg aplicată în practică. Pe baza acestei

egalități se poate face concluzia despre corespunderea oricărui proces real distribuției Poisson.

1.4.3. DISTRIBUȚIA INTERVALELOR INTER-SOSIRI

În conformitate cu paragraful 1.1 definirea procesului Poisson prin reprezentarea număr (1.20) este

echivalentă cu prezentarea distribuției intervalelor între sosirile consecutive, pe scurt inter-sosiri. Fie P( z<t )

funcția de distribuție a intervalulu inter-sosiri, atunci este evident că: P( z<t )=1−P ( z> t ). (1.27)

unde probabilitatea P( z>t )ca următoarea sosire va depăși valoare t este echivalentă probabilității P0 ( t )

absenței sosirii în intervalul de timp t . Pentru k=0 din (1.20) se obține P0 ( t )=e− λ×t. (1.28)

Respectiv distribuția intervalelor inter-sosiri este dată de ecuația P( z<t )=1−e−λ×t. (1.29)

Aceasta este distribuția fundamentală în teoria teletraficului, repartiția exponențială negativă. Ea este

caracterizată de un singur parametru, rata de sosiri λ . Derivata ecuației (1.29) în raport cu t este densitatea

de distribuție a intervalelor dintre sosiri: p( t )= λ×e−λ×t. (1.30)

Distribuția (1.29) este nu numai necesară, dar și suficientă pentru determinarea procesului Poisson. În analiza practică des se utilizează caracteristicile distribuției exponențiale așa ca valoarea medie,

dispersia(varianța), abaterea medie pătratică și coeficientul de variație a intervalului z :

Media

Mz=∫0

∞

t×p ( t )×dt=1λ

; (1.31)

Dispersia Dz=∫

0

∞

t2×p( t )×dt−M 2 z= 1

λ2 ; (1.32)

Abaterea medie patratică σz=√Dz=1

λ ; (1.33)

Coeficientul de variație (sau de omogenitate) ca măsură normalizată a iregularității distribuțieiCV = σz

Mz×[ 100 ]

. (1.34)

Egalitatea valorilor Mz și σz este caracteristică pentru distribuția exponentială. Această proprietate se utilizează ca criteriu pentru aprecierea inițială a ipotezei, că oricare date statistice pot fi descrise cu ajutorul distribuției exponențiale.

Proprietate importantă a distribuției exponențiale este lipsa de memorie (numită și proprietatea Markoviană). Dacă intervalul de timp dat de o distribuție exponențială a durat de acum un oarecare τ , atunci legea de distribuție a părții rămase a intervalului va fi de asemenea exponențială și nu va depinde de τ

Pentru demonstrarea acestei proprietăți, se face presupunerea că după momentul sosirii ultimului apel a trecut un timp τ . Să se determine probabilitatea, ca pînă la momentul sosirii următorului apel vor mai dura t unități de timp. Pe baza regulei înmulțirii probabilităților obținem:

P( z>τ+t )=P( z>τ )×Pτ ( z> t ), (1.35)

8

unde: P( z>τ+t ) și P( z>τ ) sunt probabilitățile ca intervalul z va fi mai mare respectiv ca τ+ t și τ ; Pτ ( z>t ) - probabilitatea condiționată ca intervalul z va fi mai mare ca t dacă deja a durat un timp τ și care trebuie determinată. Reeșind din (1.29), se va obține:

e− λ×( τ+t )=e−λ×τ×P τ ( z>t ),

Pτ ( z>t )=P( z>t )=e−λ×t. (1.36)

De unde rezultă că probabilitatea condiționată nu depinde de timpul τ deja scurs și este egală cu probabilitatea necondiționată. Astfel s-a demonstrat că timpul rezidual la fel este dat de legea exponențială și nu depinde de timpul deja scurs.

Legea exponențială este unică, care are această proprietate. Această proprietate a distribuției exponențiale este de fapt confirmarea proprietății fundamentale a procesului Poisson - lipsă de postacțiune. Utilizarea legii exponențiale simplifică considerabil deducerile matematice, in particular, legate cu, examinarea proceselor de sosire și de servire ale apelurilor.

1.4.4. SUPERPOZIȚIA ȘI DECOMPOZIȚIA PROCELOR POISSON

Superpoziția cîtorva procese Poisson independente duce la formarea procesului sumar, de asemenea Poisson, cu parametrul egal cu suma parametrilor proceselor inițiale. Decompoziția procesului Poisson cu

parametrul λ în n direcții, așa ca fiecare sosire a procesului să treacă în direcția i cu probabilitatea Pi

(evident, că ∑i=1

n

Pi=1), aduce la formarea n procese Poisson cu parametrii

λ×Pi ( i=1,2 , .. . ,n ). Aceste proprietăți ale procesului Poisson se utilizează pe larg, deoarece simplifică dimensionarea sistemelor și rețelelor de telecomunicații.

Modelul procesului Poisson are o importanță fundamentală în teoria teletraficului. Aceasta se datorează faptului, că rezultatele obținute cu ajutorul lui pot fi aflate cu ușurință. În plus, procesul Poisson suficient de bine descrie procesul de formare a apelurilor de la grupuri mari de abonați. Majoritatea rezultatelor analizei sistemelor și rețelelor de telecomunicații se obtin pe baza modelului procesului Poisson și numai o mică parte - pe baza celorlalte modele de procese de sosire.

1.7. PROCES DE SOSIRE CU POSTACȚIUNE SIMPLĂ

Caracteristica fundamentală a procesului de sosire cu postacțiune simplă este dependența parametrului procesului de starea sistemului de servire. Sistemul de servire se poate afla în una din mulțimea de stări posibile

s( t ) . Fiecare stare se deosebește de alta prin numărul de intrări-ieșiri și căi de legătură dintre intrări și ieșiri ocupate, prin numărul surselor libere, în servire sau în așteptarea servirii etc. Starea sistemului de servire la momentul t depinde de procesul de sosire și servire a apelurilor pînă la acest moment. Prin urmare, procesul, care depinde de starea sistemului de servire, este proces cu postacțiune. Așa fel de postacțiune se numește simplă, deoarece pentru calcularea parametrului procesului de sosire la momentul t este suficientă informația numai despre starea sistemului la acest moment. Modificarea parametrului în funcție de schimbarea stării sistemului aduce la nestaționaritatea procesului de sosire.

Se menționează, că acestă dependentă se evidențiază doar prin starea s( t ) . Pentru fiecare stare concretă parametrul procesului de sosiri cu postacțiune simplă are voloare constantă.

Parametrul procesului de sosire în starea sistemului s( t ) este limita raportului dintre probabilitatea

sosirii cel puțin a unui apel în intervalul [ t , t+τ [ și lungimea intervalului τ , cînd τ →0 .

λs( t)=lim

τ → 0

Pi≥1( t , t+τ )s (t )

τ . (1.39) Probabilitatea Pi≥1 ( t , t+τ )s (t ) este

condiționată, deoarece valoarea ei depinde de starea sistemului s( t ) . Reieșind din cele expuse, se poate remarca, că procesul cu postacțiune simplă poate fi numit proces simplu, parametrul căruia la momentul t depinde numai de starea sistemului de servire.

9

Modelul procesului de sosire cu posacțiune simplă este unul din cele mai generale în teoria proceselor de sosire. Practic orișice proces de sosire poate fi socotit ca proces cu postacțiune simplă. Deoarece sisitemul de servire în orecare măsură totdeauna influențează asupra procesului de sosire.

1.8. PROCES BINOMIAL

Procesul de sosire cu distribuție binomială, prescurtat proces binomial, este un proces simplu, parametrul

căruia λ i este direct proporțional numărului de surse libere

N i în starea i a sistemului de servire λ i =α N i=α ( N−i ) , (1.40)

unde: α este parametrul (intensitatea) sursei în stare liberă; N - numărul comun de surse, i - numărul surselor ocupate. Procesul binomial se mai numește proces Poisson de tipul doi (Pure Chance Traffic type Two, PCT-II). Denumirea se explică prin faptul, că procesul binomial ca și procesul Poisson este utilizat pentru descrierea procesului sosirilor primare. Modelul de proces binomial ia în considerare așa-numitul efect al numărului finit de surse, care constă în aceea, că apelurile pot sosi numai de la surse libere. Parametrul procesului binomial variază prin salturi. Valoarea maximală parametrul o atinge, cînd toate sursele sunt libere, iar cea minimală, cînd numărul de surse ocupate este maximal. Această proprietate a procesului binomial influențează procesul de servire a cererilor și semnificativ majorează capacitatea de trasmisiune a traficului de către sistemul de serviciu.

Valoarea medie a parametrului procesului binomial este λ=∑i=0

N

λ i Pi (1.41) unde Pi-probabilitatea, ca i

surse sînt ocupate. Raportul dintre valoare medie λ și numărul comun de surse N determină intensitatea medie a sursei ν=λ /N . Deosebirea dintre parametrii α și ν este esențială. Diagrama din fig.1.3. prezintă procesul sosirilor de la o singură sursă. Se presupune, că în intervalul de timp T sursa generează n cereri/sosiri. Înainte sosirea jsursa în decursul unui timp aleator t lj a fost liberă, după ce în decursul timpului t oj a fost ocupată. Atunci intensitatea sursei in stare liberă se calculează din raportul numărului de sosiri n și durata sumară a

timpului liberα=n /∑j=1

n

tlj . (1.42)

Intensitatea medie a sursei este raportul numărului de sosiri și lungimea intervalului T : ν=nT

. (1.43)

Notînd durata medie a intervalului de stare liberă prin t l=∑i

tli

n, iar a intervalului de ocupare prin t o=¿

∑i

t oi

n, se va obține: α=1/ t l ; ν=1/(t l+t o) . (1.44)

Deci intensitatea sursei în stare liberă este valoare inversă mediei timpului liber, iar intensitatea medie a sursei - mărime inversă intervalului mediu între sosiri. Este evident, că intre parametrii examinați există următoarea relație α >ν . Distribuția intervalului de stare liberă este determinată de legea exponențială

negativă cu parametrul α : P (tl< t )=1−e−αt. ( 1.45) Aceasta echivalează cu presupunerea, că sosirile de la sursă apar întîmplător și independent de momentele apariției și terminării serviciilor cererilor precedente. Modelul procesului binomial este mai general decît al procesului Poisson. Procesele binomiale sunt analogul in timp discret al proceselor Poisson. Cu creșterea numărului de surse N și micșorarea corespunzătoare a parametrului α gradul de postacțiune al procesului binomial se reduce. La limită cînd N → ∞, iar α → 0 , dar așa că produsul Nα rămîne constant și ί finit, procesul binomial trece în Poisson cu parametrul λ=Nα . Real pentru N≥ 300−500¿în dependență de parametrul α și valoarea maximă a numărului ί ) poate fi utilizat modelul mai simplu al procesului Poisson. Eroarea, la care aduce această înlocuire, nu este semnificativă.

1.11. PROCESE DE PLECARE

10

Succesiunea momentelor de terminare a servirii apelurilor, pachetelor, mesagelor formează procesul de plecare. Proprietățile procesui de plecare în general depind de proprietățile procesului de sosire oferit, de calitatea funcționării sistemului de comutație și de legea de distribuție urmată de timpul de servire. Timpul de servire al apelului poate fi determinist sau aleator. Timpul determinist este dat de succesiunea valorilor hk care caracterizează durata servirii a apelului k sau a grupului de apeluri k . Daca hk=h , timpul de servire este constant. Timpul determinist de servire se aplică, spre exemplu, la deservirea apelurilor de către unitățile de comandă și control ale centralelor de tip crossbar și celor digitale cu comanda prin program înregistrat. Totuși în mai multe cazuri practice timpul de servire este aleator. Timpul se servire aleator poate urma o lege oarecare. Cel mai des se foloseste distribuția exponențială negativă P (ξ< t )=1−e−t /h , (1.47) unde h-timpul mediu de servire. Alegerea acestei legi se explică prin importanta proprietate a distribuției exponențiale - lipsa de memorie (este demostrată anterior în punctul 1.4.3.). Cu aplicare la timpul de servire această proprietate poate fi definită în felul următor: dacă servire unui apel a durat deja un oarecare timp t , atunci legea de distribuție a părții rămase nu depinde de acest timp. Studiile distribuției timpului de servire în sistemele de comunicații arată accetabilitatea în multe cazuri a legii exponențiale. Dacă timpul de servire este constant și pierderile sînt excluse, atunci proprietățile procesui de eliberare coincide cu proprietățile procesui de sosire. Apare doar deplasarea în timp de mărimea h între momentul de sosire a apelului și momentul de terminare a servirii. În sistemele reale pot fi pierderi sau așteptări de serviciu, ceea ce influențează evident asupra procesui de eliberare. În cazul distribuției exponențile momentele de terminare a servirii apelurilor nu depind de momentele inițierii lor. De aceea proprietățile procesului de eliberare nu depind de procesul de sosire și de calitatea funcționării sistemului de comutație, dar se determină numai de numărul de sosiri în serviciu. Dacă în sistem sînt ocupate k servere ¿ surse se deservesc), atunci probabilitatea eliberării ai servere în intervalul tpoate fi determinată cai probe reușite din numărul comun de probe independente k . Această probabilitate poate fi calculată cu ajutorul distribuției Bernoulli P ( i , k , t )=C k

i pi ¿ , (1.48) undep este probabilitatea eliberării a unui server în intervalul t . Dacă timpul de servire urmează o distribuție exponențială p=P (ξ<t )=1−e−t /h. (1.49)

Atunci P ( i , k , t )=C ki [1−e−t /h]ie−( k−i) t /h. (1.50)

Probablitatea, ca în intervalult nu s-a eliberat nici unul din serverele ocupate P (0 , k , t )=e−t /h. (1.51)

Iar probabilitatea, ca cel puțin o linie s-a eliberat P (i≥ 1 , k ,t )=1−P (0 , k , t )=1−e−kt /h. (1.52)

Parametrul procesui de eliberare, dacă sunt ocupate k servere λk el= lim∆ t → 0

P ( i≥ 1 , k ,t )∆ t

.

Probabilitatea P ( i≥ 1 , k ,t )

poate fi obținută din (1.52), utilizînd seria Maclaurin e− x=∑

k=0

∞(−1)k xk

k !

P ( i≥ 1 , k ,t )=1−∑j=0

∞

(−1 ) j(¿ k ∆ th

)j

/ j != k ∆ th

+0(∆ t )¿

Atunci λk el= lim∆ t → 0 [ k

h+

0 ( ∆t )∆t ]=k /h. (1.53)

În mod similar se poate demostra că probabilitatea eliberării nu mai puțin de doua servere într-un mic interval ∆t este o mărime infinitezimală P (i≥ 2 , k ,∆ t )=0 (∆ t ) . Deci procesul de eliberare este ordinar și parametrul lui este proporțional numărului serverilor (surselor) ocupate. Drept coeficient de proporționalitate servește valoarea inversă timpului mediu de servire, care poate fi interpretată ca intensitatea sursei în stare ocupată. Urmează,că procesele de plecare dupa proprietățile sale este asemănator procesui primitiv. Dacă sistemul de comutație funcționează în așa fel,că linia,care s-a eliberat,îndată este ocupată de alt sosire,atunci procese de plecari are parametru constant v /h (unde v-numărul comun de linii în sistem) și după proprietățile sale este Poisson.În acest caz probabilitatea,că în intervalul t vor apărea i eliberări.

Pi ( t )=( vth )

i

e−vt

h / i ! . (1.54)

În teoria traficului cu scopul simplificării calculelor timpul mediu de serviciu h este considerat drept unitate condiționată de timp (u.c.t.).

11

1.12. PROCESE CU POSTACȚIUNE LIMITATĂ

1.12.2. PROCES ERLANG-n

Termenul proces Erlang-n se extinde asupra unei vaste clase de procese care se deosebesc prin distributia intervalelor intre sosiri. De exemplu dacă din procesul Poisson se exclude fiecare a doua sosire, procesul obținut se numește proces Erlang de ordinul doi. Procesul Earling de ordinul trei se realizeaza prin pastrarea fiecărei a treia sosire din procesul Poisson. La general, proces Erlang de ordin n se numește procesul format din cel Poisson, daca din ultimul se păstrează fiecare a n sosire, iar celelalte se exlud. Evident, că procesul Poisson poate fi considerat ca proces Erlang de ordinul intîi. Intervalele între sosirile procesui Erlang sînt reciproc independente și cu distribuție identică, deoarece ele sînt obținute prin adunarea unui număr standart de intervale independente a procesui Poisson. În dependență de numărul de intervale timp unite în serie se obține distribuția Erlang de anumit ordin. Unirea în serie a două intervale formează distribuția Erlang-2 și unirea respectiv a n intervale – distribuția Erlang-n. Această denumire se utilizează pentru definirea intervalului dintre sosirile procesului. În fig.1.2 sînt prezentate sosirile (k−1) și kale procesui Erlang obținut prin excluderea a (n−1) sosiri din procesul inițial Poisson. Să se determine legea de distribuție a intervalului între sosirle procesului Erlang de ordinul n. Fie pn(t ) densitatate de distribuție a lungimii intervalelor zn dintre sosiri. Atunci cu probabilitatea

pn(t )∆ t intervalului zn se plasează pe segmentul (t ,t +∆ t). Pentru aceasta este necesară producerea concomitentă a 2 evenimente: sosirea k s-a plasat în intervalul (t ,t +∆ t) (probabilitatea acestui eveniment este λ ∆ t ¿ si in intervalul de lungime t au sosit n−1 sosire al procesui inițial Poisson. Atunci, înmulțind probabilitățile acestor evenimente și raportînd la ∆t, se obține: pn ( t )=λ( λt )n−1/(n−1 )!∗e−λt. (1.59) Aceasta este densitatea de distribuție Erlang de ordinul n. Pentru n=1 formula (1.59) trece în lege exponențială negativă, care caracterizează procesul Poisson. Valoarea medie și dispersia intervalului zn pot fi obținute ca sumele valorilor corespunzătoare ale procesui inițial, dat fiind faptul că intervalele acestui proces sînt independente: M zn=nM z1=n/ λ, (1.60)

D zn=nD z1=n/ λ2. (1.61) Parametrul procesui Erlang de ordinul n este Λn=

1M zn

=λ/n. (1.62)

Deci cu majorarea ordinului n se mărește valoarea medie și dispersia intervalului zn, iar parametrul procesui se micșorează.

2. TRAFICUL ÎN REȚEAUA DE TELECOMUNICAȚII

2.1. DISCIPLINA DE SERVIRE

Disciplina de servire sau strategia de operare determină modalitate de servire a traficului, adică precizează regula, după care se dispun dispozitivele sistemului de servire. Cererile de apel pot fi servite fără pierderi sau cu pierderi. În primul caz fiecărui apel îndată i se oferă resursa solicitată, în al doilea caz o parte a apelurilor primesc refuz în servire sau sînt reținute un oarecare timp. Sistemele de comunicații reale se planifică cu pierderi.

12

Servirea cu pierderi (uneori se mai adaugă cu pierderi ”evidente”) presupune, că comunicația și apelul corespunzător ei în caz de respingere de către sistem se pierde și mai mult nu sosește în sistemul dat. Această strategie se notează prin abrevierea BCC (Blocked Calls Cleared). Sosirile blocate pleacă din sistem.

Alte două strategii de servire se manifestă prin menținerea cererii de apel în caz de congestie a sistemului într-un șir de așteptare sau apelul se repetă. În primul caz apelurile reținute se păstrează în șirurile de așteptare și sînt servite pe măsura eliberării resurselor. Strategia este notată prin abrevierea BCQ (Block Calls Queued). Cozile de așteptare pot fi comune sau individuale pentru fiecare resursă sau grupă de resurse. Disciplina de servire a apelurilor din cozi poate fi în ordinea sosirii „primul sosit, primul servit” (FIFO - First In First Out), în ordine inversă, rînd reversibil (LIFO - Last In First Out), în ordine aleatoare, rînd întîmplător (SIRO - Serve In Random Order) și cu priorităte pentru oarecare categorii de sosiri (prioritate relativă). E posibilă și prioritate absolută. Dacă cererea gasește mulțimea canalelor accesibile în întregime ocupate, atunci ea întrerupe servirea apelului cu prioritate mai inferioară și ocupă circuitul respectiv.

Servirea apelurilor repetate este o oarecare generalizare a strategiei cu așteptare. Denumirea des folosită a acestei strategii este BCR ( Block Calls Retried ). Sursele de trafic cererile cărora au fost respinse formează un rînd activ și repetă tentativele de apel peste intervale de timp întîmplătoare sau deterministe pînă reusesc să obțină serviciu solicitat. Disciplina de servire cu apeluri repetate este model matematic mai general, decît disciplinile cu pierderi și cu așteptare. Cu creșterea intensității de repetare a apelurilor intervalele între tentativele succesive se micșorează și la limită, cînd intensitatea devine infinită, toate tentativele se contopesc într-o așteptare continuă. Cu micșorarea intensității de repetare a apelurilor se șterge diferența după intensitate între sursele de sosiri primare și sosiri repetate. Dacă intensitățile se egalează, atunci caracteristicile sistemului cu apelur repetate coincid cu caracteristicile corespunzătoare ale sistemului cu pierderi. Deci toate sosirile pot fi considerate ca primare, iar apelurile reținute ca și cum se pierd evident.

Practic disciplinile de servire menținionate mai sus se utilizează ca disciplini combinate. În sistemul cu așteptare des sînt prevăzute restricții pentru timpul de așteptare sau pentru lungimea șirului de așteptare. Atunci o parte din apelurile venite sînt deservite cu așteptare, iar altă parte - cu pierdere evidentă sau după tentative suplimentare. Dacă deservirea se efectuează după sistemul cu apeluri repetate, atunci pot fi restricții la numărul surselor, care repetă tentativele sau la numărul de apeluri repetate de o sursă. Caracterul restricțiilor utilizate poate fi determinist sau aleator. În ultimul caz se determină legea de distribuție a valorilor aleatoare.

Modelul matematic cu pierderi evidente BCC este rar întîlnit în practică, totuși, în diapazonul pierderilor

mici ( p≤0 ,01 ) el destul de exact redă procesul de servire a apelurilor in sistemele reale.

2.2. TRAFICUL ȘI TIPURI DE TRAFIC

13

Pentru caracterizarea procesul de servire a sosirilor de către sistemele de telecomunicații se utilizează noțiunea de trafic.Termenul trafic semnifică încărcătura unui sistem de comunicații.

Cuvîntul trafic provine din limba italiană și înseamnă bussines [4]. Traficul este proces aleator, care corespunde numărului de sosiri aflate concomitent în servire în momentul de timp t (fig.2.1).

Figura 2.1. Traficul servit (egal cu numărul canalelor ocupate) ca funcție n(t) de timp.[4]În scopuri de dimensionare a sistemelor de telecomunicații se utilizează intensitatea

medie a traficului pe perioda de timp T. Definiția intensității traficului. Conform definiției ITU intensitatea instantanee a traficului într-un

ansamblu de resurse este numărul de resurse ocupate la momentul dat de timp [4]. În dependență de tehnologia considerată ansamblul de resurse poate fi un grup de servere, linii, circuite, canale, trunk-uri, calculatoare, etc. În teoria teletraficului cuvîntul trafic denotă de regulă intensitatea lui.

Deoarece traficul este mărime aleatoare în cercetările teoretice și calculele practice sînt utilizate momentele caracteristice ale acestei valori aleatoare. Momentele statistice, media, varianța (dispersia), deviația (abaterea)

sandard și momentele de ordin superior ale traficului pot fi calculate pentru o perioadă definită de timp T . Spre

exenplu valoarea medie a intensității traficului se determină ca Y (T )= 1

T∫0

T

n( t )dt, (2.1)

unde n( t ) este numărul resurselor ocupate în momentul t .

Traficul servit Y=Ac este traficul prelucrat de un grup de servere pe durata intervalului T (vezi fig.2.1).

În aplicații intensitatea medie a traficului servit în intervalul de tip T se determină ca numărul mediu de resurse ocupate în această perioadă.

Unitatea de măsură a intensității traficului este Erlangul, în onoarea savantului danez A.K.Erlang, cel care a aplicat primul teoria probabilităților în analiza traficului telefonic. Erlangul este unitate adimensională. ITU difinește 1 Erlang ca fiind intensitatea de trafic produs de un ansamblu de resurse cînd doar una din ele este ocupată. Corespunzător intensitatea de trafic de 2 Erl se produce de două resurse ocupate ș.a.m.d.

În fig.2.2 sînt date graficul (funcția în trepte) traficului n( t ) servit de un ansamblu cu 5 resurse în funcție

de timp, intensitatea medie a traficului servit Y ( t1 , t2 ) în intervalul [ t1 , t2) și timpul de ocupare a

fiecărei resurse τ . Integrala funcției traficului n( t ) constituie volumul de trafic, care numeric este egal cu

timpul total de ocupare a resurselor în intervalul[ t1 , t2) :

Y¿

( t1 , t2 )=∫t1

t2

n ( t )dt=∑i

τ i( t 1 ,t 2), (2.2)

14

unde τ i ( t1 , t2 ) este timpul total de ocupare a resursei i în intervalul [ t1 , t2) . Volumul de trafic se măsoară în Erlang-ore (Erl-ore) sau dacă este mai convenient spre exemplu în Erlang-secunde. Un Erl-oră este volumul de trafic servit de o resursă timp de o oră. Volumul de trafic de 2 Erl-ore este produs de 2 resurse ocupate continuu în decurs de o oră sau de o linie ocupată continuu în decurs de două ore ș.a.m.d.

Deci intensitatea medie a traficului poate fi calculată ca raportul intre volumul de trafic și lungimea

intervalului. Y ( t1 , t2 )=

Y¿

( t1 ,t2 )t2−t1 . (2.3)

Traficul servit nu poate depăși numărul de resurse. O resursă poate servi cel mult un Erlang. Paralel cu traficul servit, pentru analiza modelelor de servire, se utilizeaza abstractii matematice ale

traficului. În continuare se prezintă aceste tipuri de trafic.

Traficul oferit A este traficul servit de un sistem de comunicații în care nici o sosire nu este respinsă din motivul insuficienței de resurse. Altfel spus, dacă numărul resurselor este nelimitat. Fiind o entitate teoretică valoarea traficul oferit nu poate fi măsurată. Ea poate fi doar estimată indirect prin traficul servit. La analiza acestui trafic se operează cu doi parametri:

1) rata sosirilor λ , care este numărul mediu de sosiri pe unitate de timp și2) timpul mediu de servire s .

Traficul oferit este egal cu produsul: A=λ×s . (2.4)Parametrii trebuie aduși la aceeași unitate de timp (sosiri/oră la ore sau sosiri/secundă la secundă). Din

formulă se observă că unitatea de trafic este adimensională și nu depinde în ce unități se măsoară timpul, ore sau secunde. Intensitatea traficului oferit egală cu 1 Erl este produsă de procesul de sosiri cu intensitatea de o sosire pe durata timpului mediu de servire.

Traficul pierdut sau respins Al este diferența dintre traficul oferit și traficul servit:

Al=A−Y. (2.5)

Evident că traficul pierdut poate fi redus prin mărirea numărului de resuse ale sistemului de servire.Trafic potențial este traficul oferit unui sistem de servire unde nu sunt limitări în utilizarea serviciului de

orice gen cum ar fi costul sau accesul la sistem. Exemplu de astfel de sistem ar fi accesul la telefon nerestricționat, continuu și fără plată.

2.3. ÎNTRODUCERE ÎN GRADUL DE SERVICIU (GoS)

Sistemele de telecomunicații se planifică în ipoteza că nu toți abonații vor solicita servirea în același timp. Doar o parte dintre abonați partajază echipamentul costisitor de uz comun. Statistica arată că în jurul de 5-8% dintre abonați apelează centrala la același timp în perioada orei de trafic maximal.

Volumul de echipament este limitat din considerente economice de acea este posibil ca abonatul în unele cazuri să primească refuz în deservire sau să aștepte careva timp pînă ce apeluul va fi satisfîcut. Scopul teoriei teletraficului este să gaseasca raportul optimal dintre costul echipamentului și calitatea servirii.

În dependență de cum operează sistemul se utilizează diferiți indicatori care caracterizează gradul de calitate a servirii, performanța sistemului.

Conform recomandării E.600 ai ITU sub termenul Grade of Service (GoS) se înțelege un număr de variabile ale ingineriei traficului care asigură măsura corespunderii unui grup de resurse anumitor condiții specifice. Exemple de variabile ale GoS care determină aceste condiții specifice pot fi probabilitatea de pierdere a apelului sau probabilitatea de așteptare. Valorile parametrilor asignați în calitate de obiective pentru variabelele gradului de serviciu sunt numite standarde a gradului de serviciu.

Calitatea serviciului Quality of Service (QoS) este efectul colectiv al performanței unui serviciu care determină nivelul de satisfacție al utilizatorului acelui serviciu.

Nu este ușor de identificat acele standarde GoS necesare unui anumit nivel QoS, deoarece aceste două concepte au diferite puncte de abordare. Conceptul QoS privește situația din punct de vedere al clientului pe cînd GoS – din poziția rețelei.

GoS se referă la parametrii care pot fi verificați prin performanța rețelei. Performanța rețelei (Network Performance) este abilitatea rețelei sau a unei părți ai ei de a furniza funcțiile

legate de comunicații dintre utilizatori. Performanța rețelei este evaluată prin intermediul mai multor indicatori cum ar fi:

1. productivitatea (throughput) sau rata de servire notată cu y,

15

2. productivitatea relativă (normalized throughput) – reprezintă raportul dintre rata de servire și rata de sosire

3. dacă probabilitatea de pierdere a apelului estepa , se remarcă că y= λ(1−pa ).

În același timp indicatorii pot fi clasificați după tipul strategiei de operare. Astfel pentru fiecare disciplină de servire sînt caracteristici specifici indicatori de calitate.

În sistemul cu pierderi evidente BCC ca indicatori de calitate a servirii se utilizează probabilitatea de pierdere: a apelului sosit, de timp și de trafic.

Probabilitatea de pierdere a apelului pa ( t1 ,t 2 ) care a sosit în intervalul( t1 ,t 2 ) , este raportul dintre intensitatea medie a apelurilor pierdute și intensitatea medie a apelurilor sosite.

Probabilitatea de pierdere de timp pt ( t1 ,t 2 ) în intervalul ( t1 ,t 2 ) poate fi definită ca fracțiunea perioadei de timp cînd toate resursele sunt ocupate.

Probabilitatea de pierdere de trafic ptr ( t1 ,t 2 ) în intervalul ( t1 ,t 2 ) este raportul dintre intensitatea traficului pierdut și intensitatea traficului oferit.

În cazul unor analize teoretice indicatorii menționați pot fi definiți nu numai pentru intervalele de timp limitate, dar și pentru intervalele infinite. Cu ajutorul măsurărilor efectuate în rețelele de telecomunicații pot fi apreciate probabilitatea de pierdere a apelulului ca fracțiunea apelurilor pierdute din numărul de apeluri sosite în intervalul de examinare sau probabilitatea de pierderi de timp ca partea timpului de ocupare totală a canalelor din timpul total de observație. Aceaste formulări se bazează pe definiția clasică a probabilitătii. Pierderea de trafic este caracteristică abstractă și real nu poate fi măsurată.

În sistemul cu asteptare BCQ indicatorii de calitate sunt: probabilitatea de asteptare p(ω>0 ),

probabilitatea de așteptare de durată mai mare, decît timpul admis p(ω>ta ) pentru apelurile sosite în

intervalul ( t1 ,t2 ), precum și timpul mediiu de așteptare în raport cu toate apelurile sosite și în raport numai cu apelurile reținute. Deseori prezintă interes nu doar timpul mediu de așteptare dar și distribuția timpului de așteptare. Posibil, un timp mic de așteptare nu prezintă o inconviență pentru abonat, deaceea nu este o dependență liniară dintre inconviență și timpul de așteptare. În sistemele de telefonie mai des se vorbește despre timpul limită de așteptare acceptabil. Dacă această limită este depășită se produce eliberarea forțată a resurselor deja ocupate.

În unele cazuri se determină și alti indicatori cum ar fi lungimea medie a rîndului (numărul mediu de apeluri în șirul de așteptare) sau probabilitatea, că lungimea rîndului va fi mai mare, decît n apeluri.

În sistemul de sosiri repetate BCR în calitate de indicatorii de calitate se folosesc probabilitatea de pierdere a apelului primar, probabilitatea de pierdere a apelului repetat, probabilitatea de pierdere a oricărui apel, numărul mediu de tentative repetate în raport cu o comunicare stabilită. Posibil și probabilitatea de pierdere evidentă a comunicației, dacă în sistem sunt restricții la numărul surselor, care repetă tentativele, sau numărul de apeluri repetate de o sursă. În acest caz pot fi utilizate și probabilitățile de pierdere de timp și de trafic.

Pentru rețelele IP sunt recomandați următorii parametrii GoS: întîrzierea transmisiunii vocii, variația întîrzierii pachetelor (jitterul), rata pachetelor eronate și rata pachetelor pierdute.

În recomandarea Y.1540 se definesc parametrii care pot fi utilizați în specificarea și estimarea performanței vitezei, acurateței, fiabilității și avalabilității transferului de pachete IP pentru servicii de comunicații date:

IPTD – (IP pachet transfer delay) este diferența (t 2−t 1¿ dintre timpul de intrare a pachetului la destinație și de ieșire de la sursă;

IPDV – (IP pachet delay variation) este diferența dintre întîrzierea actuală a pachetului și careva întîrziere nominală sau de referință;

IPER – (IP pachet error ratio) este raportul pachetelor eronate la numărul de pachete transferate cu succes;IPLR – (IP pachet loss ratio) este raportul pachetelor pierdute la pachetele total transmise.În recomandarea Y.1541 sunt definite 6 clase QoS ca obiectivele performanței rețelei. Pentru fiecare

parametru de performanță a reîelei se aduc valorile normate. 2.4. VARIAȚIA ÎN TIMP A TRAFICULUI

În scopul deminsionării rețelelor de telecomunicații, analizei performanței sistemelor în exploatare, gestionării dinamice a rețelelor, prognozei traficului, estimarii ipotezelor referitoare la proprietățile calitative și cantitative ale traficului, etc, în rețelele de telecomunicații se efectuează masurări a parametrilor traficului. Parametrii supuși măsurărilor pot fi numărul de apeluri sosite la centrală, durata medie de ocupare a circuitelor,

16

numărul apelurilor blocate sau reținute, numărul apelurilor finalizate cu convorbire (cu succes), precum și alți parametri. Mai des se măsoară valoarea medie a acestor variabile, mai rar și varianța.

Datele statistice arată, că intensitatea teletraficul variază în dependență de activitățile în societate. Valoarea ei depinde de trimestrele anului, de lună, de ziua săptămînii și de anumite ore din zi. Aceasta se lămurește, în fond de faptul, că fluxurile de apeluri, care sosesc la centralele de telecomunicați, sînt nestaționare. Investigațiile variațiilor de trafic arată că ele sunt parțial de natură aleatoare, iar parțial – deteministă. Astfel, dacă cîteva zile la rînd se compară numărul de apeluri sosite la centrala telefonică atunci se observă o curbă deterministă cu variații stohastice suprapuse. Numărul mediu de apeluri pe minut înregistrat la un centru de comutație pe durata a 24 ore a 10 zile lucrătoare tipic arată ca cel din figura 2.3. Se observă că în jurul orelor 9 și 10 de dimineață numărul de apeluri este maximal.

Figura 2.3: Average number of voice calls: 10 workdays averages, taken from V.B. IversenOscilațiile traficului sunt determinate și de durata medie de servire a apelului, deși ea este mai stabilă.

Totuși, se observă că spre seară durata convorbirilor crește. În figura 2.4 se prezintă variația timpului mediu de servire pe un trunchi de linii pe parcursul a 24 ore. În orele de lucru durata ei este aproape constantă, în jurul la 3 minute. Spre seară durata convorbirilor crește peste 4 minute datorită abonaților rezidențiali. Noaptea convorbirile sunt scurte, în jurul la un minut.

Figura 2.4: Average service times for voice calls: taken from V.B. Iversen În procesul măsurărilor intensității traficului se determină cea mai încărcată oră pe durata zilei. Această oră a primit denumirea de ora de trafic maximal (busy

17

hour).Traficul maximal nu apare in aceeași oră fiecare zi. Conform recomăndării ITU se utilizează noțiunea de oră de trafic maximal fix (time consistent busy hour- TCBH) în care pe o perioadă îndelungată de timp în mediu traficul este cel mai mare. La centralele analogice în scopul determinării orei de trafic maximal și a valorii intensității traficului în această oră măsurările se recomandă să fie efectuate pe parcursul a10 zile de lucru ( fixate cu o acurateță de 15 minute), două săptămîni consecutiv, de două ori pe an și în lunile cele mai încărcate. În calitate de oră de trafic maximal se alege intervalul timp de o oră în care suma valorilor medii ale traficului în patru intervale consecutive de 15 minute este maximală.

La centralele digitale măsurările se efectuează în mod automat. Conform recomandării ITU E.500 se definesc două tipuri de valori a traficului în ora de trafic maximal-normal și ridicat. Traficul de nivelul A numit normal care se obtine ca media a traficului pe durata a 30 cele mai încărcate zile ale anului sau nivelul B (ridicat) - a 5 cele mai încărcate zile ale anului.

Pentru a asigura o calitate suficietă, normată pentru deservirea abonaților în orișicare oră din cele 24 ore calculul numărului de circuite, dispozitive necesare servirii traficului se efectuează reîeșind din valoarea intensității traficului în ora de trafic maximal.

Gradul de concentrare a traficului în ora de trafic maximal (htm) se estimează prin valoarea coeficientului de concentrare Khtm, care reprezintă raportul din traficul din ora de trafic maximal și traficul total în 24 ore:

Khtm=Y htm

∑i=1

24

Y i

. (2.6)

Valoarea coeficientului de concentrare depinde de tipul rețelei și centralei și se situează în limitele:Khtm=0.08−0.15.

2.5. TIPURI DE OCUPARE A CIRCUITELOR

Asupra valorii traficului influențează orice ocupare a circuitelor și dispozitivelor centralei de comutație. În linii generale, ocuparea circuitelor și dispozitivelor centralei se poate solda cu stabilirea legăturii solicitate (apeluri reușite) sau cu eșecuri din diferite motive (apeluri nereușite). Apelurile nereușite semnificativ și neproductiv încarcă resursele sistemului de servire. Cauzele eșecului dintre cele mai răspîndite sunt:

- abonatul solicitat este ocupat (t ¿¿o , k o)¿;- abonatul solicitat nu răspunde (t n ,k n¿;

- apeluri greșite din partea abonatului chemător (t g , k g); - pierderi de apel din cauza blocajului în sistemul de servire sau erorilor tehnice(t p , k p). În paranteze se indică notația folosită pentru timpul mediu de ocupare și cota apelurilor de tipul dat.

Utilizînd notațiile de mai sus și luînd în considerare apelurile reușite și nereușite se poate calcula valoarea medie a timpului de ocupare a circuitelor după formula:

t=¿t r ¿kr+t o∗ko+t n∗kn+t g∗kg+t p∗k p ¿, (2.7) unde:

t r - timpul mediu de ocupare a circuitelor în cazul apelurilor reușite, k r - cota apelurilor reușite. Fie c valoarea medie a numărului de apeluri, iarcr - numărul mediu de apeluri reușite, atunci cota

legăturilor reușite: k r=c /cr. (2.8) În mod similar poate fi calculat orice alt coeficient k x cu ocupare de tipul „x”. Repartiția valorilor coeficienților k x este numită spectru de ocupare. După datele statistice spectru de

ocupare pentru rețeaua de acces a rețelelor locale variază în următoarele limite: k r=0,3−0,5; k o=0,25−0.35; k n=0,12−0,35; k g=0,04−0,1; k p=0,05−0,1. Valoarile posibile ale coeficientului k r arată că maximum doar 50% dintre apeluri sunt cu succes și, de fapt,

el caracterizează randamentul centralei. Durata medie a unui apel reușit poate fi calculată din relația:t r=τ td+τ fc+τ sc+τ sa+T +τ ec, (2.9)

18

unde: τ td - timpul de ascultare a tonului de disc; τ fc - durata de formare a cifrelor numărului; τ sc - timpul de stabilire a conexsiunii; τ sa - durata, cît abonatul chemat ascultă semnalul de apel; T - durata efectivă a convorbirii; τ ec – timpul de eliberare a conexiunii. În mod similar pot fi calculate și valorile medii ale timpului de ocupare de alte tipuri, de exemplu timpul

mediu de ocupare, cînd abonatul chemat este ocupat t o=τ td+τ fc +τ sc+τ oc, (2.10) unde τ oc este durata de ascultare a semnalului de ocupat. Pentru simplificarea calculelor timpului mediu de ocupare a circuitelor luînd în considerare tot spectrul

de angajări posibil se utilizează ecuația: t=α∗t r∗kr (2.11)

unde α=1+t o∗k o+tn∗kn+t g∗k g+t p∗k p

tr∗kr

, (2.12)

Coeficientul α caracterizează majorarea intensității traficului din cauza ocupării neproductive a circuitelor și dispozitivelor centralei. Cu creșterea numărului de cifre ale adresei liniei abonatului chemat se majorează și coeficientul α. Pentru centralele de tipul „pas cu pas” coeficientul α în condiții similare este mai mare, decît pentru centralele cu coordonate. Pe baza celor expuse mai sus poate fi calculată intensitatea traficului: Y=c∗t=α∗c∗kr∗t r. (2.13)

Rezultatele măsurărilor fluxului de apeluri la centrale telefonice arată ca varianța numărului de apeluri V c este de zeci și chear sute ori mai mare decît media lor c. În același timp raportul varianței numărului de apeluri reușite V r la valoarea mediecr ¿) este de zeci de ori mai mic decît raportul respectiv dintre varianța numărului de apeluri V c și media c. Deci este evident că estimarea numărul mediu de apeluri reușite crpoate fi efectuată cu o precizie mai mare decî a numărului de apeluri c. Astfel acuratețea prognozei intensității traficului va crește dacă în formula (2.13) se va întroduce cr: Y=α∗cr∗tr. (2.14)

În final se accentueză, că toate valorile se calculă pentru ora de trafic maximal.

2.6. PROGNOZA INTENSITĂȚII TRAFICULUI

Baza proiectării rețelei de telecomunicații o constituie cerințele referitoare la trafic. Determinarea creșterii viitoare a traficului, trebuie efectuată cît se poate mai precis, deoarece dacă cerințele nu sînt prognozate corect, atunci rețeaua se realizează cu un cost mai ridicat sau de o calitate inferioară normativelor. Intensitatea traficului este funcție de numărul și componența abonaților la centrală. Componența posibilă a abonaților depinde de tipul rețelei, în care funcționează centrala dată. Așa, pentru rețelele urbane PSTN se prevăd 3 categorii de linii de abonat analogice:1) abonați rezidențiali N r;2) abonați de instituții N ¿;3) posturi publice, taxofoane N t.

Prognoza numărului și componenței abonaților ai unei centrale urbane se efectuează în dependență de sectorul instalării ei (centrul sau periferia orașului, zonă industrială sau rezidențială), densitatea telefonică existentă și componenței liniilor de abonat conectate la centralele care funcționează în condiții similare. Într-o rețea rurală prognoza numărului de abonați dupa categorii se efectuează în dependență de tipul comunei/orășelului (centru administrativ sau sat de rînd), densitatea abonaților și numărul de comune/orășele în raza de servire a centralei.

Într-o rețea urbană pentru calculul intensității traficului de plecare a liniei de abonat de categoria x se utilizează expresia (2.14), care poate fi scrisă sub forma: y x=∝x∗crx∗t rx. (2.15)

Pentru uniformitatea traficului pe grupe este rațional, ca acestea să fie alcătuite din diferite categorii de abonați.

Prin urmare, intensitatea traficului de plecare a unui grup de abonați este dat de: Y pl=∑x=1

m

N x∗ yx , (2.16)

unde: N x este numărul liniilor de abonat de categoria x;

19

m - numărul de categorii. Prognoza traficului în rețelele rurale se efectuează în conformitate cu următorul model. Pe baza datelor statistice fiecare linie de abonat de categoria x se caracterizează de trei valori de trafic de plecare y x pl, de sosire y x s și local (în cadrul centralei) y xl. Determinarea a trei valori de trafic în loc de una, ca în rețelele urbane, majorează precizia calculelor pentru rețeaua cu număr relativ mic de abonați. Pentru un grup de abonați intensitățile traficului de plecare, de sosire și local se calculează conform relațiilor:

Y pl=∑x=1

m

N x∗ yx pl,

Y s=∑x=1

m

N x∗y x s,

Y l=∑x=1

m

N x∗yx l. (2.17)

Mai sus s-a expus cazul calcului traficului cînd la centrale sunt conectate doar linii de abonat analogice. Dacă se presupune conectarea și altor tipuri de linii, spre exemplu digitale ISDN sau ADSL, atunci în mod similar se ea în calcul și aceste linii.

20