Masterand :Petcu Nicoleta MihaelaAn I, Matematica Didactica

Teorema lui Menelaus Teorema lui Menelaus este una din teoremele clasice ale geometriei. De-a lungul anilor ea a fost demonstrata prin diverse metode folosind rezultatele din geometria sintetica, dar si cu metoda analitica, cu metoda vectoriala si cu ajutorul transformarilor geometrice, al omotetiei.

Enunt: Fie triunghiul ABC şi punctele A (BC), B (CA) şi C (AB). Daca punctele A’, B’, C’ sunt coliniare, atunci are loc egalitatea :

Demonstratie:

Fiind vorba de rapoarte şi legăturile ce trebuiesc stabilite între ele, apare necesitatea de a utiliza asemănarea triunghiurilor. Ne fiind triunghiuri asemenea, trebuie să le construim.

În acest sens ducem CD║ AB, unde D CA.Din asemănarea triunghiurilor, obţinem:

Din ABC ACD

iar din BCD BAC

Înmulţind cele două relaţii, obţinem că:

de unde:

Reciproca teoremei lui MenelausEnunt:

Considerăm un triunghi ABC şi punctele A (BC), B (CA) şi C(AB). Se presupune că două dintre puncte sunt situate pe două laturi ale

triunghiului şi unul este situat pe prelungire celei de-a treia latură (sau că punctele A’, B’, C’ sunt situate pe prelungirile laturilor triunghiului).

Dacă are loc egalitatea: (1)

atunci punctele A’, B’, C’ sunt coliniare.

Demonstraţie:

Presupunem că două dintre puncte sunt situate pe două laturi ale triunghiului şi unul este situat pe prelungire celei de-a treia latură.

Presupunem că punctele A’, B’, C’ nu sunt coliniare.Atunci dreapta A’B’ ar intersecta latura AB într-un punct C” diferit de

C’.Aplicând teorema lui Menelaus pentru punctele coliniare A’, B’, C”

obţinem:

(2)

Din relaţiile (1) şi (2) rezultă că:

Ar însemna că segmentul [AB] este împărţit de punctele interioare C’ şi C” în acelaşi raport – contradicţie, eliminând presupunerea făcută ajungem la concluzia că punctele A’, B’, C’ sunt coliniare.

Aplicatii :

I. Fie un triunghi şi trei puncte , şi , diferite de vârfurile triunghiului. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

a) Punctele sunt coliniare.

b) Avem relaţia: .

Demonstraţie

Notăm , , .

1) Demonstrăm implicaţia .Presupunem că şi vom arăta că sunt coliniare.

Avem , deci .

Vom exprima în funcţie de , iar în funcţie de . Avem:

, deoarece .

, deoarece .Obţinem:

.

Cum , avem . În adevăr

.În concluzie există , cu şi , deci punctele

sunt coliniare.

2) Demonstrăm implicaţia .

Presupunem, prin absurd, că există punctele care sunt coliniare şi totuşi .

Notăm , deci şi . Construim unicul punct astfel încât

. Din rezultă că sunt coliniare, iar din

rezultă că . Prin urmare dreptele şi au în comun două puncte distincte, şi , deci ele coincid, ceea ce este fals.

II. Fie un triunghi şi trei puncte coliniare astfel ca ,

şi . Să se arate că: .

Demonstraţie

Se duce prin o paralelă la care intersectează dreapta în . Din

teorema fundamentală a asemănării rezultă: şi deci sau

.

Tot din teorema fundamentală a asemănării rezultă şi , de unde

se obţine şi .

Aşadar , de unde rezultă .