Teme de Casa MECANICA
of 47
-
Upload
mihai-mosneagu -
Category
Documents
-
view
637 -
download
9
Transcript of Teme de Casa MECANICA
DUMITRU DELEANU
MECANICATeme de casa si teste recapitulative
Editura
NAUTIC A
Elaborat n conformitate cu manualele autorizate de Ministerul Educa iei i Cercet rii din anii 1999, 2000, 2001, 2002, 2003 i 2004.
Mecanic teme de cas
i teste de examen
Referent tiin ific: .
Culegere i tehnoredactare: Ing. Elena Bogdan
Editura NAUTICA, 2005 Str. Mircea cel B trn nr.104 8700 Constan a, Romnia tel.: +40-241-66.47.40 fax:+40-241-61.72.60 e-mail: [email protected]
Descrierea CIP a Bibliotecii Na ionale a Romniei:
Carp Doina Elemente de algebr , geometrie i calcul tensorial / Doina Carp, Vasilica M neanu Constanta: Nautica, 2005. ISBN ???
2
Mecanic teme de cas
i teste de examen
Introducere
3
Mecanic teme de cas
i teste de examen
CuprinsPREFATA ........................................................................................................................................................ 3 CUPRINS ......................................................................................................................................................... 4 1. TEME DE CASA ........................................................................................................................................ 5 Tema nr. 1: Reducerea sistemelor de for e .......................................................................................... 5 Tema nr. 2: Centre de mas ............................................................................................................... 10 Tema nr. 3: Echilibrul sistemelor de solide rigide ............................................................................. 15 Tema nr. 4: Cinematica mi c rii absolute a punctului material ......................................................... 19 Tema nr. 5: Cinematica mi c rii relative a punctului material .......................................................... 24 Tema nr. 6: Dinamica mi c rii absolute a punctului material ........................................................... 28 2. TESTE DE EXAMEN .............................................................................................................................. 33 Testul nr. 1 ......................................................................................................................................... 33 Testul nr. 2 ......................................................................................................................................... 33 Testul nr. 3 ......................................................................................................................................... 35 Testul nr. 4 ......................................................................................................................................... 35 Testul nr. 5 ......................................................................................................................................... 36 Testul nr. 6 ......................................................................................................................................... 37 Testul nr. 7 ......................................................................................................................................... 38 Testul nr. 8 ......................................................................................................................................... 39 Testul nr. 9 ......................................................................................................................................... 40 Testul nr. 10 ....................................................................................................................................... 41 Testul nr. 11 ....................................................................................................................................... 41 Testul nr. 12 ....................................................................................................................................... 42 Testul nr. 13 ....................................................................................................................................... 43 Testul nr. 14 ....................................................................................................................................... 44 Testul nr. 15 ....................................................................................................................................... 45 Testul nr. 16 ....................................................................................................................................... 46 BIBLIOGRAFIE ........................................................................................................................................... 47
4
Mecanic teme de cas
i teste de examen
Teme de casTema nr. 1Reducerea sistemelor de for eI 1) Asupra unui paralelipiped dreptunghic OABCDELK, reprezentat ca in figura I 1.1, ac ioneaz un sistem de trei for e i un cuplu, m rimea, direc ia i sensul lor fiind date n tabelul T 1.1. Se cere: a) Torsorul de reducere n O i reprezentarea acestui torsor; b) S se precizeze cu ce este echivalent sistemul; c) S se determine ecua iile axei centrale; d) S se determine torsorul de reducere ntr-un punct al axei centrale. Observa ie: Punctele c) i d) vor fi parcurse doar dac cazul de reducere o impune.
Breviar teoretic: B 1. Torsorul unui sistem de for e n raport cu un punct. Torsor minimal. Ax central .Fiind dat sistemul de for e F i , i ! 1, n , care ac ioneaz n punctele A i ,.i ! 1, n , de vectori de pozi iep p
r i , i ! 1, n , n raport cu punctul O, elementele torsorului de reducere sunt: for a rezultant R ! F i ;i !1 p n p
momentul rezultant M O ! r i v F i .i !1 p R p M
p
n p
p
Vom folosi nota ia: X
O
.O
Momentul rezultant are valoarea minim egal cu proiec ia vectorului moment rezultant pe direc ia for ei rezultante:p p p p
R M O p M min ! M R ! R R2Torsorul alc tuit din rezultanta R i momentul minim M min se nume te torsor minimal:p pp R p . min M
X
min
Locul geometric al punctelor n care f cnd reducerea se ob ine torsorul minimal se nume te ax central . Pe axa central vectorul moment rezultant i vectorul for rezultant sunt vectori coliniari. Ecua iile axei centrale sunt: M O y z R x xR z M Oz x R y yR x MOx y R z zR y = = , Ry Rz Rx5
Mecanic teme de casunde R R x, R y , R zp
i teste de examenecua iile unei drepte dat
i M Mp O
O x, M O y , M O z
. Ecua iile axei centrale reprezint
ca intersec ie de dou plane.
B 2. Cazurile de reducere ale unui sistem de for e oarecare.F cnd reducerea unui sistem de for e oarecare n raport cu un pol O se poate ajunge la unul din urm toarele cazuri de reducere: Cazul I: R ! 0 , M O ! 0 - Sistemul de for e se nume te echivalent cu zero, fiind echivalent cu orice sistem de for e care are torsorul nul. Cazul II: R { 0 , M O ! 0 - Sistemul de for e este echivalent cu o forpp p p p p p p p
unic , egal cu rezultanta
R , situat pe axa central , care trece prin punctul de reducere O.Cazul III: R ! 0 , M O { 0 : Sistemul de for e este echivalent cu orice cuplu de for e care ac ioneazp p p p
ntr-un plan perpendicular pe M O i al c rui moment s coincid cu M O ca sens i m rime. Cazul IV : R { 0 , M O { 0 . Se disting dou situa ii:p p p p p a) R M O ! 0 R B M O - Sistemul de for e este echivalent cu o for unic , egal cu R , ce ac ioneaz pe axa central , aceasta netrecnd prin punctul de reducere O; p p p p b) R M O { 0 R B M O - Sistemul de for e este echivalent cu torsorul minimal aplicat pe axa central .p p p p
p
p
Rezolvarea temei nr. I Varianta nr. 0 (figura I 1.2)a)p
F 1! F 1 i ! 4 i , F 2 ! F 2 k ! 6 k , F 3 ! F 3 j ! 8 j , M ! M j ! 10 j .X M
p
p
p
p
p p
p
p
p
p
p
T F 1
T F2T F3
Figura I 1.1
Figura I 1.2
6
Mecanic teme de casp p p p
i teste de examen
k p p p p p M O F 1 ! OL v F 1! 60 30 20 ! 80 j 120 k ; 4 0 0p p p
i
j
p p p M O F 2 ! OA v F 2 ! 60 0p p
i
j 0 0p
k 6p
0 ! 360 j ;
p
p p p p M O F 3 ! OB v F 3 ! 60 30 0 8
i
j
k 0
0 ! 480 k .
p
X
O
p p p p p p p R ! F 1 F 2 F 3 ! 4 i 8 j 6 k p p p p p p p p p p O ! M M O F 1 M O F 2 M O F 3 ! 430 j 360 k M
Reprezentarea torsorului Xp p p p
O
este dat n figura I 1.2.
b) R { 0 , M O { 0 , R M O ! 4 0 8 430 6 360 ! 1280 { 0 . Sistemul de for e este echivalent cu torsorul minimal (vezi punctul d). c) Ecua iile axei centrale se particularizeaz dup cum urmeaz : 0 6 y 8 z 430 4 z 6 x 360 8 x 4 y . ! ! 4 8 6 Prelucrnd aceste ecua ii se ob ine axa central ca intersec ie de dou plane: x 6 y 10 z 215 ! 0 3 . 8 x 13 y 12 z 360 ! 0 d) Torsorul ntr-un punct al axei centrale coincide cu torsorul minimal:p p p p R ! 4 i 8 j 6 k p p p . 1280 p 2560 p 1920 p R M O p 320 p ! R! R! i j k M min 29 29 29 29 R2
p p
X
min
I 2) Asupra prismei triunghiulare drepte din figura I 2.1. ac ioneaz un sistem de patru for e, m rimea, direc ia i sensul lor fiind date n tabelul T 1.2. Se cere: a) Torsorul de reducere n punctul O; b) Cu ce este echivalent sistemul de for e? c) Ecua iile axei centrale; d) Torsorul minimal. Observa ii : i) Punctele c) i d) vor fi parcurse doar dac cazul de reducere o impune; ii) Punctele F, G, H sunt alese astfel nct FE ! FB , HC ! HO, GD ! GA .
7
Mecanic teme de cas
i teste de examen
Figura I 2.1
Figura I 2.2
Rezolvare: Varianta nr. 0 (figura I 2.2)a)p p p 50 i 15 k 120 p 36 p AH F 1! F 1 ! 12 i k ! 11,494 i 3,448 k ; ! AH 109 109 50 2 15 2p p
p
p
p
p
F 2 ! F 2 j ! 16 jp
,
p
F 3 ! F 3 k ! 25 k ;p p p
p
p
p
50 i 40 j 30 k EA 45 p 36 p 27 p i j k ! !9 ! F 4 ! F 4 EA 50 50 50 50 2 402 30 2 ! 6,364 i 5,091 j 3,818 k ;p p p p p p
p p p M O F 1 ! OA v F 1! p
i 50 120 109p
j 0 0p
k 0 36 109 !
1800 109
p
j $ 172,409 j ;
p
p p
i j k p p p p M O F 2 ! OC v F 2 ! 0 0 30 ! 480 i ; 0 16 0p p p p p M O F 3 ! OD v F 3 ! 50 0 p p p p p M O F 4 ! OE v F 4 ! 0 45 50 p p p p p p p p
i
j 0 0j
k p 30 ! 1250 j ; 25p p
i
k
40 36 50
30 ! 135 2 j 180 2 k $ 190,919 j 254,558 k 27 50
p
p
p
p
b) R { 0 , M O { 0 , R M O ! 5,130 480 10,909 1268,51 25,370 254,558 ! 22758,712 { 08
Mecanic teme de cas
i teste de examen
Sistemul de for e este echivalent cu torsorul minimal (vezi punctul d); c) Prin nlocuirea elementelor torsorului de reducere n ecua iile axei centrale se ob ine: 480 25,37 y 10,909 z 1268,51 5,13 z 25,37 x 254,558 10,909 x 5,13 y ! ! 10,909 25,370 5,130 sau, dup prelucrare: ,148 x 276,761 y 145,323 z 1463,136 ! 0 130 . 55 ,963 x 669,954 y 276,761 z 10871,717 ! 0p p p p R ! 5,130 i 10,909 j 25,370 k p p p . p p p p R M O p ! R ! 28,883 R ! 148,173 i 315,091 j 732,777 k M min R2
d) X
min
Tabelul T 1.1Nr. variant Dimensiunile paralelipipedului dreptunghic(cm) a b c 60 20 40 30 20 25 30 30 15 40 40 35 70 25 60 25 30 25 20 40 20 45 20 20 25 50 30 40 10 45 60 50 20 20 30 20 10 30 40 30 40 10 120 50 30 60 20 80
T F1Modul (N) 4 8 10 10 6 9 9 11 10 7 12 8 6 9 12 10 Direc ie i sens LK OD AD EA OD OA AB OC AC BL KD EB CK AE BA CE Modul (N) 6 10 5 12 8 10 8 10 8 8 9 6 10 14 7 10
T F2Direc ie i sens AE DL BO OC BA LE BK OK KA KE OA AC BD BO LK BC Modul (N) 8 8 10 10 6 16 12 10 20 16 14 10 12 11 12 40
T F3Direc ie i sens BA KC KB CK KL KC EC DK EK DB AC CD EA KA LC BO Modul (N ) 10 9 5 8 8 6 14 30 15 30 20 25 12 25 28 20
X MDirec ie i sens DK BO DL KL DK OL DL AD EO EC BC LE OB BC DA AE
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Tabelul T 1.2Nr. variant Dimensiunile prismei dreptunghiulare(cm) a b c 50 40 70 25 60 80 25 20 30 50 30 60 35 10 40 90 40 15 30 40 60 60 15 30 45 20 40 50 45 80 15 35 30 20 10 60 10 100 40 40 20 80 50 50 25 45 60 20
T F1Modul (N) 12 10 15 14 12 4 25 10 11 8 14 10 10 9 18 4 Direc ie i sens AH CO OD GB OF BE HB CB FA EC OC CA HG BH CE GO Modul (N) 16 18 10 25 8 22 10 12 10 6 9 10 5 16 20 8
T F2Direc ie i sens CE DB BE EC AD CA CE OG BE AH CD BE GB FO BA BE Modul (N) 25 20 14 10 27 18 16 10 30 25 11 17 35 20 4 6
T F3Direc ie i sens DA DC EO AO HB FH BA EC OC AE DB OA AD BO DB CB Modul (N ) 9 15 18 6 11 17 4 9 14 10 28 6 12 14 15 30
T F4Direc ie i sens EA BA AB FC BO OA OE DA CD DF AB HF CB DC AD OF
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
9
Mecanic teme de cas
i teste de examen
Tema nr. 2Centre de masII 1) Se consider placa omogen din figura II 1.1. pentru care se dau: n n a ! 20 3 n ; b ! 10 ; P ! 0,7 ; L ! 0,2 0,1 , 10 2 unde n N * este un num r fixat iar [x] reprezint partea ntreag a num rului real x. Por iunea BC face parte dintr-o elips cu centrul n O i de semiaxe OB i OC. Pentru valoarea impus a num rului n, s se determine coordonatele centrului de mas al pl cii. Dimensiunile pl cii sunt date n cm.z
60o
R 2 ! 0,5Lb
R1 ! 0,2Lb OE Lb a60o
D
y
CAb x
B
Pb
Od
Figura II 1.1
Breviar teoretic:Pentru o plac omogen de sec iune constant centrul de mas este dat prin vectorul s u de pozi iep p
rC !
r dA dAA A
unde integralele se calculeaz pe aria A a corpului. Dac se realizeaz o mp r ire a pl cii n pl ci elementare i se noteaz cu r i , i ! 1, p , vectorul de pozi ie al centrului de mas nr. i i cu A i , i ! 1, p , aria sa, atunci vectorul de pozi ie al centrului de mas al pl cii se determin cu rela ia:p
p
Ai !1 p i !1
p
p i
rii
rC !
A Aix C!i !1 p i !1 p
iar coordonatele centrului de mas rezult prin proiec ie pe axele reperului cartezian Oxyz: xi , y C!i !1
Aip i !1
p
yi , z C!
(1 i !1 p
Aii !1
p
Q)
a
zi (*)
Ai
Ai10
Ai
Mecanic teme de casp p p p
i teste de examen
unde r i ! x i i y i j z i k . n cele ce urmeaz se prezint modul de calcul al ariei i pozi iei centrului de mas pentru pl cile elementare care compun placa din figura II 1.1.
Placa dreptunghiulary y
Placa triunghiularA3 x 3 , y 3 yC
ay C
A2 x 2 , y 2 x
b xO
O
A1 x1, y1
Figura II 1.2
Figura II 1.3 x1 ( , unde ( ! x 2 A! 2 x3 xC! y1 1 y2 1 y3 1
a b A ! a b, x C ! , y C ! 2 2
x 1 x 2 x 3 y y 2 y 3 , y C! 1 3 3
Placa n form de sector de cercy R O E E C y x
Figura II 1.4 A ! E R 2 , x C ! OC ! 2 sin E ( E in radiani) R 3 E
Placa n form de sfert de elips Coordonatele centrului de mas al pl cii plane omogene, m rginit de curbele y=f(x) i y = g(x) i dreptele verticale x ! x 1, x ! x 2 (figura II 1.5) sunt date de rela iile:x2
x f ( x) g ( x)dx,
x2
x C!
x1 x2 x1
f ( x) g ( x )dx
yC!
1 2
f 2 ( x) g 2 ( x)dx f ( x) g ( x)dxx1
x1 x2
11
Mecanic teme de casx2
i teste de examendin figura II 1.6, provenind din elipsa
iar aria sa de rela ia A ! de ecua ie x22
f ( x) g ( x )dx . n cazul sfertului de elips!1, avem f ( x) !
x1
y2 2
a b 4a T ab 4b A! , xC! , y C! . 4 3T 3Ty y ! f (x )
b a 2 x 2 , g ( x) ! 0 , a
x 1 ! 0, x 2 ! a ,
astfel
nct
y
y!yC y ! g(x ) O x1 x2 xO b
b 2 2 a x a
yC
a
x
Figura II 1.5
Figura II 1.6
Rezolvare:Placa omogen dat se mparte n 5 elemente, dintre care elementele 3, 4 i 5 se scad din elementele 1 i 2. Pentru elementele care se scad (neha urate) aria se consider cu semnul - iar pentru cele ha urate cu semnul +. Elementul nr. 1 : Placa dreptunghiular OAOD (figura II 1.7) A 1! a b , x 1!zO a A x y C1 b Od D y
a 2
,
y 1!
b 2
,
z 1! 0z2b ,5L !0
b b 3 F , 2 2
F600
y C3
y C2 O0,0 D b,0 yO D
y
Figura II 1.7
Figura II 1.8
Figura II 1.9
Elementul nr. 2 : Placa triunghiular ODF (figura II 1.8) A 2! b2 3 , 4 x 2! 0 , y 2! y O y D y F b ! , 3 2 z 2! z O z D z F b 3 ! 3 6
Elementul nr. 3 : Placa n form de sector de cerc cu centrul n F (figura II 1.9) T sin 2 6 2R2 L b , FC 3 ! R 2 ! ! T T T 3 6 x 3! 0 , y 3! b 2 ,
A 3!
T 2 T R ! L 2b 2 , 6 2 24
3 L . z 3 ! z F FC 3 ! b 2 T
12
Mecanic teme de cas
i teste de examen
Elementul nr. 4 : Placa n form de semicerc cu centrul n E (figura II 1.10) T sin 2 T 2 T 2 4 R1 4 L b EC 4 ! R 1 ! ! , A 4 ! R 1 ! L 2b 2 , T 3 3T 15 T 2 50 2 4L b x 4 ! 0 , y 4 ! y E ! L b , z 4 ! EC 4 ! . 15 TzO D C Qa y C5 Pb Od y
F
a
R1 ! 0,2L b OC4 y
A b x
B
E
D
y
Figura II 1.10
Figura II 1.11
Elementul nr. 5 : Placa n form de sfert de elipsA 5! T P Q ab 4 , 4 Q , x 5 ! a 1 3T 4P , y 5 ! b 1 3T z 5! 0
Coordonatele centrului de mas pentru placa plan omogen din figura II 1.1 sunt date de rela iile:
Aix C!i !1 5 i !1
5
xi , y C!
Ai
i !1 5
Aii !1
5
yi , z C!
Ai
i !1 5
Aii !1
5
zi
Ai
Caz particular : n = 20a ! 80 cm ; b ! 20 cm ; P ! 0,7 ; Q ! 0,3 , L ! 0,4 ;A 1! 1600 cm 2 ; x 1! 40 cm ; y 1! 10 cm ; z 1! 0 cm ;
A 2 ! 173,205 cm 2 ; x 2 ! 0 cm ; y 2 ! 10 cm ; z 1! 5,773 cm ;A 3 ! 8,377 cm 2 ; x 3 ! 0 cm ; y 3 ! 10 cm ; z 3 ! 14,772 cm ; A 4 ! 4,021 cm 2 ; x 4 ! 0 cm ; y 4 ! 8 cm ; z 4 ! 0,679 cm ;
A 5 ! 263,894 cm 2 ; x 5 ! 69,814 cm ; y 5 ! 14,058 cm ; z 5 ! 0 cm ; x C ! 30,447 cm ; y C ! 9,289 cm ; z C ! 0,583 cm . II 2) Se consider placa din figura II 2, alc tuit din trei pl ci de densit i diferite (situate n cele trei plane n de coordonate) pentru care se dau: a ! 25 5 n ; b ! 100 4 n ; E ! 0,1 0,3 ; 5 n n n ; Q ! 0,4 ; L ! 0,5 , unde n N * este un num r fixat, [x] reprezint partea F ! 0,1 100 25 10 _ ntreag a num rului real x iar {x} partea sa frac ionar xa ! x [x]. Por iunea CD face parte dintr-o elips
13
Mecanic teme de cas
i teste de examen
cu centrul n G i de semiaxe GC i GD. Pentru valoarea impus a num rului n, s se determine coordonatele centrului de mas . Observa ii; i) Dimensiunile sunt date n cm. ii) A se parcurge breviarul teoretic prezentat la rezolvarea problemei precedente. Densit ile celor trei pl ci fiind diferite, rela iile (*) se nlocuiesc prin:
V i Ai xix C!i !1 p i !1
p
V i Ai y i, yC!i !1 p
p
V i Ai z i, z C!i !1 p
p
.
V i Aiz
V i Aii !1
i !1
V i Ai
a F
Ea E
V3 ! LV O2
V1 ! V
R
2
!bO
G D b
y
R1 ! F bA
O1
B
C V2 ! QV
x
Figura II 2.
14
Mecanic teme de cas
i teste de examen
Tema nr. 3Echilibrul sistemelor de solide rigideIII.1) Se consider sistemul de bare articulate din figura III 1.1, ac ionat de un sistem de for e concentrate i n distribuite. Cunoscnd lungimile l 1 ! 2 0,1 n , l 2 ! 3,5 0,05 n , l 3 ! 2,5 0,2 , unghiul 10 n T n n E ! T , for ele concentrate P 1! 1000 , P 2 ! 3000 , for a uniform distribuit pe 20 4 4 3 n n lungime q ! 2000 i cuplul M ! 6000 , s se determine reac iunile din reazemele simple A i B, 5 6 articula iile C i D i ncastrarea E. Observa ii : i) n N * este o valoare impus fiec rui student, [x] reprezint partea ntreag a num rului real x iar {x} partea sa frac ionar . ii) Se vor folosi urm toarele unit i de m sur : m pentru lungime, daN pentru for e concentrate, daN / m pentru for a distribuit i daN m pentru cuplu. T P2 T T P1 q T M E C A B D E Q Q
l1
l2
l3
l1
l1
l3
Figura III 1.1
Breviar teoretic:Pentru rezolvarea unei probleme de echilibru a unui sistem de solide rigide se poate folosi metoda izol rii corpurilor. Ea presupune parcurgerea urm toarelor etape: a) Se elibereaz fiecare corp al sistemului de leg turile sale (exterioare sau interioare), nlocuind fiecare leg tur cu reac iunile corespunz toare ei; b) Se scriu ecua iile de echilibru i, eventual, condi iile de echilibru pentru fiecare rigid n parte; c) Se rezolv sistemul de ecua ii i inecua ii ob inut. Necunoscutele acestui sistem pot fi parametri ce definesc pozi ia de echilibru (unghiuri, distan e) i / sau reac iuni exterioare i interioare sistemului de solide rigide. Pentru leg turile (f r frecare) existente n aplica ia propus for ele de leg tur cu care acestea se nlocuiesc sunt: Reazemul simplu (figura III 1.2) Reazemul simplu oblig un punct O al solidului rigid ( C ) s r mn n permanen pe o suprafa sau pe o curb dat . Aceast leg tur suprim solidului rigid un grad de libertate i poate fi nlocuit cu o reac iune normal N dirijat dup normala comun n punctul de contact. Simbolul folosit pentru reazemul simplu este: saup
15
Mecanic teme de casNormala
i teste de examen
CPlan tangentT N
y
(C ) T Rd y T Rd xx
O
Figura III 1.2
Figura III 1.3 Articula ia plan (figura III 1.3)
Imobilizeaz un punct al rigidului. Aceast leg tur suprim solidului rigid dou grade de libertate i poate fi nlocuit cu o reac iune de direc ie necunoscut al c rui suport este situat n planul for elor. Componentele reac iunii pe axele reperului Oxy ( R' x
i R 'y ) se noteaz uneori cu H O , respectiv VO .
ncastrarea plan (figura III 1.4) Este leg tura prin care solidul rigid ( C ) este fixat (n epenit) n alt corp astfel nct nu i se mai permite acestuia nici o deplasare. n cazul for elor plane ncastrarea se nlocuie te cu o reac iune n planul for elor i cu un moment dirijat dup normala pe planul for elor. Att reac iunea R ct i momentul M pot fi date prin proiec iile lor ( R 'x , R 'y , M cartezian.y
p
p
' O
' O
sau H O ,VO , M
' O
) pe axele unui sistem de coordonate
C
y
T Rd j
T NA T Rd ix
A l1
T P 1
T M
T NB B l3 C
T Vc x T Hc
l2
Figura III 1.4
Figura III 1.5
Rezolvare:Se izoleaz barele AC, CD i DE i se scriu ecua iile de echilibru: Bara AC (figura III 1.5)
X i! H C ! 0 Y i ! N A P 1 N B V C ! 0 l M i C ! N A l 1 l 2 l 3 P 1 2 l 3 N B l 1 M ! 0
(1) (2) (3)
16
Mecanic teme de cas
i teste de examen
Bara CD (figura III 1.6)
X i ! H D P 2 cos E H C ! 0 Y i ! V D P 2 sin E V C ! 0 M i D ! V C 2 l 1 P 2 sin E l 1! 0y T HD l3 / 2 T VD
(4) (5) (6)
q l3E l3 / 2
T VC
D
T HC T ME
x
Figura III 1.6 Bara DE (figura III 1.7)
Figura III 1.7
X i! H E H D! 0 Y i ! V D q l 3 V E ! 0 M i E ! V D l 3 q l 3l3 M E! 0 2
(7) (8) (9)
Rezolvnd sistemul format din ecua iile (1- 9) ob inem: n A : N A ! n B : N B ! P 1 l 2 M 0,5 P 2 l 3 sin E ; l 1 l 2
P 1 l 1 0,5 P 2 1 l 2 l 3 sin E M l ; l 1 l 2 P n C : H C ! 0 ; V C ! 2 sin E ; 2 P n D : H D ! P 2 cos E , V D ! 2 sin E ; 2 2 P ql 3 P 2 l 3 n E : H E ! P 2 cos E , V E ! q l 3 2 sin E , M E ! sin E . 2 2 2
Caz particular : n = 11l 1 ! 3,1 m , l 2 ! 4,05 m , l 3 ! 2,7 m , E ! T ; 4 P 1! 750 daN , P 2 ! 2000 daN , q ! 400 daN / m ; M ! 5000 daN m .
Rezult :
N A ! 541,495 daN ; N B ! 2000,513 daN , H C ! 0 daN , V C ! 707,106 daN H D ! 1414,212 daN , V D ! 707,106 daN ; H E ! 1414,212 daN , V E ! 1787,106 daN , M E ! 3367,188 daN m .
17
Mecanic teme de cas
i teste de examen
III.2) Se consider sistemul de bare articulate din figura III 2, ac ionat de un sistem de for e concentrate i n n n distribuite. Cunoscnd lungimile l 1! 1,5 0,2 , l 2 ! 2 0,1 , l 3 ! 2,5 0,3 , unghiurile 3 15 5 n n T T n T T n P 1! 2000 , P 2 ! 3000 , for ele concentrate , , F ! 8 20 5 6 4 12 6 32 n n n P 3 ! 7000 , for a uniform distribuit pe lungime q ! 2500 i cuplul M ! 10000 , s se 7 10 5 determine reac iunile din reazemele simple A, C i D i articula iile B, E i F. E! Observa ie: A se parcurge breviarul teoretic prezentat la rezolvarea problemei precedente. Observa iile din enun ul problemei III.1 r mn valabile i n acest caz.T P1 T P2T MQ B
T q C l2 l1
T P3
QE
A
D
QE
F
QFl1
l2
l3
l3
l2
l2
Figura III.2
18
Mecanic teme de cas
i teste de examen
Tema nr. 4Cinematica mi c rii absolute a punctului materialIV.1) n tabelul T 3 se dau ecua iile parametrice ale mi c rii unui punct material n coordonate carteziene:
x ! x t ,
y ! y t
Se cere: a) S se determine i s se reprezinte traiectoria punctului; b) S se determine componentele vitezei i accelera iei punctului la un moment de timp arbitrar precum i modulele lor; c) S se determine raza de curbur a traiectoriei i componentele accelera iei n coordonate intrinseci la momentul de timp t 0 indicat. Tabelul T3Nr. var.
x ! xt (m) 2 cos T t 4
y ! y t 5 sin
m
t0 ( s ) 1;20,5 ; 1 1;3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2 t 2 3 4 cos 2 T t2 3
T t3 4 5t T t 3
4 sin 2
3t
2t 2 3 3 t 2 t ch 6 t T 6 sin t 2 2 6 4/t 12
T 2 sin [ t 3 2 t 1
T 6[ 3;6 1;2 0;1 0;2 0; 2 1;4 1;3 0,2 ; 2
4 5 t 2 5 t 3t6 cos T 2 t 3 6
2 3t 6t 4 cos
T t 1 3
4t 4 3 3 t 3t 2 2 T 4 sin t 3 5t
7 t 2 3 T 7 sin 2 t 5 64t
7 cos 2
T t 6
1;2 2;4 1;3 0;2
3/ t 2
4 t 1
2
3t 2 2 3t + 6 -3t
19
Mecanic teme de cas
i teste de examen
Breviar teoretic:B 1. No iuni fundamentale Mi carea unui punct material M este cunoscut dac n orice moment de timp se poate preciza pozi ia lui n raport cu un sistem de referin fix. Pozi ia punctului material poate fi dat : 1) prin vectorul de pozi ie r ! r t (vezi figura B 4.1) ; 2) prin curba ( C ) pe care se mi c punctul material i legea orar a mi c rii s ! s(t ) (vezi figura B 4.2) ;p p
M y
T rO
Figura B 4.1p p
Figura B 4.2
Ecua ia vectorial r ! r t se proiecteaz pe axele unui sistem de coordonate convenabil ales fiind echivalent cu trei ecua ii scalare ce se exprim de obicei sub form parametric (vezi B 2). Parametrul cel mai utilizat pentru descrierea mi c rii este timpul t. Traiectoria este, prin defini ie, locul geometric al pozi iilor succesive ocupate de punctul material n mi carea sa. Ea se ob ine eliminnd parametrul ntre ecua iile parametrice. Viteza instantanee (la un moment dat) se define te prin:p def
( r d r not p v ! lim ! ! r dt ( t p0 ( t
p
p
y
(4.1)
Viteza v este un vector tangent la traiectorie i are sensul mi c rii pe traiectorie. Se exprim n m /s. Accelera ia instantanee (la un moment dat) se define te prin:p def
p
( v d v not p p a ! lim ! ! r !r dt ( t p0 ( t
p
p
y
yy
(4.2)
Accelera ia a este un vector ndreptat spre interiorul (concavitatea) curbei ce reprezint traiectoria. Se exprim n m / s 2 . B 2. Studiul mi c rii punctului material n diferite sisteme de coordonate B 2.1. Sistemul de coordonate carteziene (figura B 4.3) Vectorul de pozi ie are expresia r ! x i y j z k , astfel nct ecua iile parametrice ale traiectoriei sunt:p p p p
p
x ! x t ,
y ! y t , z ! z t
(4.3)
Proiec iile vitezei pe axele acestui sistem de coordonate sunt:
v x! x , v y! y , v z! ziar modulul s u:p
y
y
y
(4.4)
y y y v ! x 2 y 2 z 2 20
(4.5)
Mecanic teme de casPentru accelera ie acelea i m rimi sunt:yy yy yy
i teste de examen
a x! x , a y! y , a z! z
,
p
yy yy yy a ! x 2 y 2 z 2
(4.6)
z
M x , y, z
T FT Xx
sy
T r
T rO
M
Oy
T R
M0
Figura B 4.3
Figura B 4.4
B 2.2. Sistemul de coordonate Frenet (figura B 4.4) Sistemul de coordonate Frenet (naturale, intrinseci) este un sistem de referin n punctul M (care efectueaz mi carea) i axele: tangenta la traiectorie (de versor X ) ; normala principal (de versor R ) ;p p p
mobil avnd originea
- binormala ( de versor F ). Mi carea punctului este cunoscuta cu ajutorul legii orare s = s(t). Componentele vitezei i accelera iei pe axele triedrului Frenet sunt: vX ! s , vR ! 0 , v F ! 0yy y
(4.7) (4.8)
aX ! s iar modulele lor:p y
s2 , aR! V
y
, aF!0
v !s ,
p
y 2 yy 2 s 2 a ! s V
(4.9)
Rezolvare : Varianta nr. 0x t ! 2 cos T t 4 , y t ! 5 sin T ' t 3 , t '0 ! 1 s, t '0 ! 2 s 4
a) Eliminnd timpul ntre cele dou ecua ii parametrice ob inem ecua ia traiectoriei: x 2 y 32 !1 4 25 care este ecua ia unei elipse cu axele paralele cu Ox i Oy, centrul n A(0, 3) i de semiaxe 2 i 5 (figura IV 1.1). Mobilul pleac din punctul B(2, 3) i parcurge elipsa n sens trigonometric.
21
Mecanic teme de casy y T [ T v T T v ax x T a A O T vy
i teste de exameny T T v ! vx D0,8 T T a ! ay Ax
O
A ,3 B2,3 0 y y
5 C 2 ;3 2 T ay
x
O
x
Figura IV 1.1
Figura IV 1.2
Figura IV 1.3
b) Componentele vitezei i accelera iei n sistemul de coordonate carteziene sunt: y y T T 5T T v x ! x ! sin t , v y ! y ! cos t 2 4 4 4 2 2 yy yy 5T T T T a x! x ! cos t , a y ! y ! sin t 8 4 16 4 iar modulele lor: v! T 4 4 21 cos 2 T t 4 , a! T2 16 4 21 sin 2 T t. 4
c) La un moment arbitrar de timp accelera ia tangen ial este dat de rela ia: T T y 21T 2 sin 4 t cos 4 t aX ! v! 16 T 4 21 cos 2 t 4 Pentru determinarea razei de curbur putem observa c : v2 v2 v2 aR ! V! ! V aR a 2 a 2X
n fine, componenta normal a accelera iei este dat de rela ia: a R ! Momente particulare de timp:t '0 ! 1 s (figura IV 1.2)
v2 . V
5 2 T 2 3 $ 6,535 m , v x ! $ 1,111 m/s , 2 4 5T 2 T2 2 T 29 v y! $ 2,766 m/s , v ! $ 2,990 m/s, a x ! $ 0,872 m / s 2 , 8 4 2 16
x ! 2 $ 1,414 m , y !
a y! aX !
T2 5T 2 2 $ 2,181 m / s 2 , a ! 32 16 21T 2 32
29 $ 2,349 m / s 2 , V ! 5,554 m , 2
2 $ 1,701 m / s 2 , a R ! 1,62 m / s 2 . 29
' t '0 ! 2 s (figura IV 1.3)
x ! 0 m , y ! 8 m , v x!
T $ 1,571 m / s , v y ! 0 m / s , v ! 1,571 m / s , a x ! 0 m / s 2 , 2
22
Mecanic teme de casa y!
i teste de examen
5T 2 $ 3,084 m / s 2 , a ! 3,084 m / s 2 , aX ! 0 m / s 2 , V ! 0,8 m, a R ! 3,084 m / s 2 . 16
IV.2) Se consider mecanismul din figura IV 2, format din culisele A i B legate prin tija ABM. Tija este antrenat prin manivela OC. tiind c : n n n T , OC ! AC ! BC ! 20 0,1 , AM ! 10 0,2 , N ! 5 t 2 6 t 3 4 10 180 s se determine vitezele i accelera iile punctelor A, B i M pentru momentul de timp t 0 ! 2 . Observa ii: I) Se vor folosi urm toarele unit i de m sur : cm pentru lungime, radiani pentru unghiuri i secunde pentru timp. ii) [x] simbolizeaz partea ntreag a num rului real x.M
O
A
y
N
CB
x
Figura IV 2.
Rezolvare:Mecanismul se raporteaz la sistemul de coordonate carteziene Oxy. Coordonatele punctelor A, B i M sunt: x A! 0 , y A ! 2 OC sin N , , x B ! 2 OC cos N , y B! 0 y M ! OC AM sin N 2
x M ! AM cos N
Derivnd succesiv de dou ori n raport cu timpul ob inem vitezele, respectiv accelera iile punctelor A, B i M pe axele reperului Oxy:y y y
v A x ! 0 , v A y ! 2 OC cos N N , v B x ! 2 OC sin N N v M x ! AM sin N N
, vB y ! 0 ,y
, v M y ! OC AM cos N N , 2
y yy a A x ! 0 , a A y ! 2 OC sin N N 2 cos N N , y yy a B x ! 2 OC cos N N 2 sin N N , a B y ! 0 , y yy y yy a M x ! AM cos N N 2 sin N N , a M y ! (2 OC AM ) sin N N 2 cos N N .
23
Mecanic teme de cas
i teste de examen
Caz particular : n = 40 OC ! AC ! BC ! 21,3 cm , AM ! 12 cm , N ! 5 t 2 24 t N ! t 12 5 Pentru t 0 ! 2 s se ob ine: R Ax = 0 cm/s, R Ay = 12,25 cm/s, R A ! R 2 R 2 ! 12,25 cm/s Ax Ax R Bx ! 15,166 cm/s, R By ! 0 cm/s, R B ! R 2 R 2 ! 15,166 cm/s Bx By R Mx ! 8,544 cm/s, R My ! 15,707 cm/s, R M ! R 2 R 2 ! 17,880 cm/s Mx My a Ax = 0 cm / s 2 , a Ax =-20,509 cm / s 2 , a A = a Bx =-16,305 cm / s 2 , a By = 0 cm / s 2 , a B =y
T 180 rad ,
T rad / s 90
yy
,
N!
T rad / s 2 . 18
a 2 a 2 = 20,509 cm / s 2 Ax Aya 2 a 2 =16,305 cm / s 2 Bx By
a Mx =4,593 cm / s 2 , a My = -17,793 cm / s 2 , a M ! a 2 a 2 ! 18,377 cm / s 2 Mx My
Tema nr. 5Cinematica mi c rii relative a punctului materialVI 1) Placa triunghiular OAB se rote te n jurul laturii OB dup legea N t ! 0,9 t 2 9 t 3 (rad). Pe latura OA se deplaseaz un mobil M dup legea st ! OM ! 16 8 cos(3T t ) (cm) 2 S se determine viteza i accelera ia absolut a punctului M dup t 1 ! s (figura V 1.1). 9
z1B N M 300 s O A
z T r1
M y T r T r0 O
y
O1 x x1
y1
Figura V 1.1
Figura B 5.1
Breviar teoretic:Se consider un sistem de referin fix O 1 x 1 y 1 z 1 , un sistem de referin mobil Oxyz care execut o mi care oarecare fa de sistemul fix i un punct M care se afl , la rndul s u, n mi care fa de cele dou sisteme de referin considerate (figura B 5.1).24
Mecanic teme de cas
i teste de examen
Mi carea punctului material M n raport cu sistemul fix se nume te mi care absolut . Viteza (respectiv accelera ia) punctului n aceast mi care se nume te vitez absolut (respectiv accelera ie absolut ) i se noteaz cu v a (respectiv a a ). Mi carea punctului material M n raport cu sistemul mobil se nume te mi care relativ . Viteza (respectiv accelera ia) punctului n aceast mi care se nume te vitez relativ (respectiv accelera ie relativ ) i se noteaz cu v r (respectiv a r ). Se nume te mi care de transport mi carea n raport cu sistemul fix a punctului solidar cu reperul mobil i care n momentul considerat coincide cu punctul a c rei mi care se studiaz . Viteza (respectiv accelera ia) punctului M n aceast mi care se nume te vitez de transport (respectiv accelera ie de transport) i se noteaz cu v t (respectiv a t ). Compunerea vitezelor se face n conformitate cu rela ia vectorial :p p p t p p p p p p
v a! v r v unde viteza relativ este dat de formula :p p
(5.1)
x r v r! xt
(5.2)
iar viteza de transport se ob ine cu rela ia lui Euler :p p p p
v t! v O [ v r Modulul vitezei absolute este : v 2 v t2 2 r p p v r v t cos v r , v t
(5.3)
v a!
(5.4)
Compunerea accelera iilor se face n conformitate cu rela ia vectorial :p p p p
a a! a r a t a C unde :p
(5.5)
x vr x2r a r! ! xt x t2
p
p
(5.6) (5.7) (5.8)p
p
p p p p p p a t ! a O I v r [ v [ v r p
a C! 2 [ v v
p
p r
Componenta a C a accelera iei absolute a a se nume te accelera ie Coriolis sau accelera ie complementar . Rezolvare: s t ! 16 8 cos 3T t . Mi carea de transport se ob ine solidariznd mobilul cu placa (adic f cnd s nceteze mi carea relativ ). Mobilul M va executa n acest caz o mi care circular , pe cercul cu centru n M (figura Mi carea relativ a mobilului M este o mi care rectilinie, pe OB, n conformitate cu legea
p
25
Mecanic teme de casV 1.2), de raz N t ! 0,9 t 2 9 t 3 . M ' M ! s sin 30 0 !
i teste de examenlegea
s , aflat ntr-un plan perpendicular pe OB, dup 2
Studiul vitezelor (figura V 1.2) Viteza absolutp
v
a
a mobilului M se ob ine din rela ia vectorial :p p p p t
v a! v r vy
Vectorul vitez relativ , v r , este dirijat n lungul dreptei OA, de la O spre A, i are modulul v r ! s ! 24 sin 3 T t . Vectorul vitez de transport, v t , este perpendicular pe raza MM, sensul s u este determinat de vectorul vitez unghiular [ (adic sensul de rota ie al pl cii) iar modulul se ob ine cu rela ia y 1 s v t ! MM ' [ . Dar MM ' ! , [ ! N ! 1,8 t 27 t 2 , astfel nct v t ! 8 cos 3T t ,8 t 27 t 2 . 16 1 2 2pp
Vectorul vitez absolut , v a , rezult prin compunerea vitezelor relativ i de transport i are 2 modulul v a ! v 2 v t2 . Pentru t ! s se ob ine: r 9 4 s ! 20 cm , [ ! rad / s , v r ! 12 3 T $ 65,2 cm/s, v t ! 9,3 cm / s, v a ! 65,9 cm / s . 15
p
B Md y T [ O T vtFigura V.1.2.
A T vr T vt T vr T va
M
T R Md a t T [ 30 0 O
B T I
A
M T ar
T ac T aX t
300 s
T aa
Figura V.1.3.
Studiul accelera iilor (figura V 1.3) Accelera ia absolut , a a , se ob ine din rela ia:p p p p p p
a a! a r a t a C Vectorul accelera ie relativ , a r , este dirijat n lungul dreptei OA, de la A spre O i are scalarul a r ! s ! 72 T 2 cos 3T t cm / syy 2
. Mi carea de transport fiind o mi care circular caracterizat prin vectorul26
Mecanic teme de casp p
i teste de examenp
vitez unghiular [ i accelera ie unghiular I nenuli, rezult c vectorul accelera ie de transport, a t , se ob ine din rela ia:p p
a t ! a tR a X t
p
p
Accelera ia de transport normal , a tR , are direc ia MM , sensul de la M la M i modulul y yy s 2 a tR ! MM ' [ 2 ! 1,8 t 27 t 2 cm / s 2 . Deoarece I ! [ ! N ! 1,8 54 t 0 , pentru t ! t 1 , rezult c 2
accelera ia de transport tangen ial , a X , este perpendicular pe raza MM , sensul s u fiind determinat de t p s vectorul I . Scalarul s u este: a X ! MM ' I ! ,8 54 t . 1 t 2 n fine, accelera ia Coriolis, a C , se ob ine cu ajutorul formulei:p p p p r
p
a C! 2 [ v v
Fiind perpendicular pe planul determinat de vectorii [ i v r , vectorul a C va fi perpendicular pe planul pl cii, sensul s u va fi cel din figura V 1.3 iar scalarul p p a C ! 2 [ v r sin [ , v r ! 2 1,8 t 27 t 2 24 T sin 3T t sin 150 0
p
p
p
Pentru t !
2 s se ob ine: 9 I ! 10,2 rad / s 2 , a r ! 355 cm / s 2 , a R ! 8,7 cm / s 2 , a X ! 10,2 cm / s 2 , a C ! 61 cm / s 2 t t i, respectiv, cele
nsumnd pe rnd componentele accelera iei absolute din planul pl cii perpendiculare pe planul pl cii se g se te c :
a a!
a
C
a X Rt a 2 2 a r a R cos 600 $ 395 cm / s 2 . a t r t2 2
?
A
n V 2) Mobilul M se deplaseaz la periferia semidiscului D de raz R dup legea s t ! AM ! T 1 t 2 10 (figura V 2). Discul este articulat n A i B cu manivelele O 1 A i O 2 B care se rotesc n jurul punctelor O 1 , respectiv O 2 , dup legea N t ! 5T 48 n 1 . S se determine viteza i accelera ia absolut a punctului M 5
n n la momentul de timp t 1! 2 . Se mai dau: O 1 A ! O 2 B ! 30 , R ! 20 . 12 8 Observa ii: i) [x] simbolizeaz partea ntreag a num rului real x iar {x} partea sa frac ionar . ii) Se vor folosi urm toarele unit i de m sur : cm pentru lungime, radiani pentru unghiuri, secunde pentru timp.
27
Mecanic teme de cas
i teste de examen
O2 N B
D R
O O1 N AFigura V 2
yMs
Tema nr. 6Dinamica mi c rii absolute a punctului materialVI 1) n interiorul unui tub de sticl sub ire (figura VI 1.1), avnd forma unei parabole de ecua ie p x , se arunc o bil de mas m cu viteza ini ial v 0 (tangent la axa tubului n O). Considernd y ! x 1 2p datele fixe: g ! 9,81 m / s 2 , m ! 0,37 kg v 0 ! 9,27 m / s , t ! 0 : M 0 | O , v ! v 0 , i datele variabile: n n p ! 1,62 , x 1! p 1 cos T n (m) 8 3 i presupunnd c mi carea are loc f r frecare, se cer: a) Proiec iile vitezei v 1 i accelera iei a 1 n punctul de abscis Oxy i pe axele triedrului Frenet; b) Reac iunea normal n punctul de abscis x 1 .p p p p
x 1 pe axele reperului cartezian
y M x, y T v0 E0 O | M0 T mg T aX T aR
y E T N T R
T T X v x y ! x1 2p
y Ax1 , y1 y
y
T X T T v1x ! v1X
T v0 E0
T T a1 y ! a1R T R x x1 ! p Figura VI 1.2 B
x
B2 p,0
y
O | M0
Figura VI 1.1
28
Mecanic teme de cas
i teste de examen
Breviar teoretic:B 1. Legea fundamental a dinamicii mi c rii absolute a punctului material
Aceast lege exprim leg tura dintre for a care solicit punctul aflat n mi care i accelera ia mi c rii acestuia, i anume:p p
m a !F unde m este masa punctului material.
(6.1)p
n cazul unui punct material liber, ac ionat de mai multe for e active F i , i ! 1, n , ecua ia fundamental a dinamicii (7.1) cap t forma: m a ! F ii !1 p p n p
(6.2) i un sistem de
Dac pe lng sistemul for elor active F i , i ! 1, n , asupra punctului mai ac ioneaz for e de leg tur rela ia vectorial : m a ! F i i !1 p p n p p
F 'j , j ! 1, p , atunci legea fundamental a dinamicii punctului material se exprim prin
F 'jj !1
p p
(6.3)
Notnd cu r t vectorul de pozi ie al punctului aflat n mi care fa de un punct fix O i observnd c for ele care ac ioneaz asupra punctului material depind, n general, de timp, pozi ia i viteza acestuia, se ob ine urm toarea form a ecua iei fundamentale: m r ! R t , r , r p yy p p p p y
(6.4)
unde R reprezint rezultanta tuturor for elor care ac ioneaz asupra punctului material. B 2. Problemele generale ale dinamicii punctului material n dinamica punctului material se studiaz dou categorii de probleme: a) Problema direct Se cunosc for ele care ac ioneaz asupra punctului material ca natur , direc ie, sens i m rime i se cere s se stabileasc mi carea punctului material. Problema se rezolv prin integrarea ecua iei (7.4) i g sirea solu iei generale sub forma:p p p p r ! r t , C 1, C 2
(6.5)
unde C 1 , C 2 sunt constante vectoriale de integrare care se determin cu ajutorul condi iilor ini iale:p p p p r 0 ! r 0, C 1, C 2 t!0 : y p p p p v 0 ! r 0, C 1, C 2 adic pe baza pozi iei i vitezei punctului material din momentul nceperii mi c rii.
p
p
(6.6)
b) Problema invers29
Mecanic teme de cas
i teste de examen
Cunoscndu-se mi carea punctului material dat prin rela ia: r ! r t (6.7) i masa m a acestuia, se cere s se determine for a sau rezultanta for elor care ac ioneaz asupra punctului. Solu ia acestei probleme, de formap p p
F ! m r t
yy p
(6.8)
este unic din punct de vedere matematic, dar n general problema nu este univoc determinat n sensul c se determin direc ia, sensul i modulul for ei nu ns i natura ei.
B 3. Ecua iile diferen iale scalare ale mi c rii punctului material n diferite sisteme de coordonateProiectnd ecua ia vectorial (7.4) pe axele unui sistem de referin convenabil ales se ob in ecua iile diferen iale scalare ale mi c rii punctului material dup cum urmeaz : a) n coordonate cartezieneyy y y y m x ! F xt , x, y, z , x, y, z yy y y y m y ! F y t , x, y , z, x, y, z yy y y y m z ! F z t , x, y, z , x, y, z
(6.9)
b) n coordonate cilindricey yy m r r U 2
! F r
yy y y , m 2 r U r U ! F U
yy
, mz!Fz
(6.10)
n sistemul de coordonate polare r , U se utilizeaz primele dou rela ii (6.10). c) n coordonate Frenety
mv!FX
, m
v2 !FR V
, 0! F
F
(6.11)
Rezolvare:a) Se va considera, pentru nceput, un studiu general al problemei i apoi rezultatele se vor particulariza pentru n = 3. x1 iar viteza (tangent la axa tubului) f cnd n punctul de abscis x 1 ordonata este y 1! x 1 1 2p x1 cu orizontala. unghiul E 1! arctg y ' x 1 ! arctg1 p Pentru determinarea scalarului vitezei se aplic teorema energiei cinetice i a lucrului mecanic ntre pozi iile M 0 t ! 0 i M 1 ! t 1 : t2 m v 1 mv 2 2 2 0
! m g y 1
(1)
p 2 Rezult v 1 ! v 0 2 g y 1 . Deoarece mas v 1, Ox ! E 1 , se ob in proiec iile: 30
Mecanic teme de casv 1x ! v 1 cos E 1 Pe axele triedrului Frenet: v 1X ! v 1 , v 1R ! 0p p p
i teste de examen(2) (3)
, v 1 y ! v 1 sin E 1
Ecua ia fundamental a dinamicii, m a ! m g N , proiectat pe axele triedrului Frenet conduce la ecua iile scalare: m a1X ! m g sin E 1 , m a1R ! N 1 m g cos E 1 (4) Din prima ecua ie (4) se determin componenta tangen ial a accelera iei mobilului: a 1X ! g sin E 1 Componenta normal a accelera iei este dat de formula a 1R ! (5)2 v1 , unde raza de curbur are V 1x 1
expresia
_ ?y ' x 1 A a 1 V 1x 1 !y '' 1 x
2 3/2
!
x1 2 1 1 p 1 p
3/ 2
. Observnd c
p
p
p
p
p
a 1! a x a 1 y ! a 1X a 1R
i
proiectnd aceast rela ie pe axele reperului Oxy g sim componentele carteziene ale accelera iei: a 1 x ! a 1X cos E 1 a 1 R sin E 1 , a 1 y ! a 1X sin E 1 a 1 R cos E 1 b) Reac iunea normal N 1 se determin din a doua rela ie (2) : N 1! m a 1 R g cos E 1p
(6)
(7)
Caz particular : n = 3 (figura VI 1.2) p ! 1,62 m , x 1 ! 1,62 m , y 1! 0,81 m, E 1! 0 , v 1 x ! 8,358 m / s , v 1 y ! 0 m / s , a 1 x ! 0 m / s 2 , a 1 y ! 43,121 m / s 2 , v 1X ! 8,358 m / s , v 1R ! 0 m / s , a 1X ! 0 m / s 2 , a 1R ! 43,121 m / s 2 , N 1! 12,325 N . VI 2) Pe un cilindru fix de raz R se deplaseaz f r frecare un punct material de mas m (figura VI 2). La nceputul mi c rii mobilul se g sea n punctul A i avea viteza ini ial orizontalp
v 0 . Considernd datele
n n fixe g ! 9,81 m / s 2 , m ! 0,25 kg i datele variabile v 0 ! 10 ( m / s) , R ! 0,5 0,1 (m), se cere: 5 4 a) S se determine legile de varia ie v ! vU , a X ! a X U i a R ! a R U pentru intervalul de timp n care mobilul se afl n contact cu cilindrul; b) Unghiul U ! E la care se produce desprinderea mobilului de pe suprafa a cilindrului; c) S se determine distan a OC ! \ , punctul C fiind punctul n care mobilul love te solul. Observa ie : [x] simbolizeaz partea ntreag a num rului real x.not not
At ! 0
y
T v0
T N y
31
y M( t )T G
yD
Mecanic teme de cas
i teste de examen
Figura VI 2.
Teste de examen32
Mecanic teme de cas
i teste de examen
Testul nr. 1I. (6 pct.)1. 2. 3. 4. (3 pct.) Momentul unei for e n raport cu un punct. Defini ie i propriet i. (1 pct.) Ce se n elege printr-o leg tur i cte tipuri de leg turi (f r frecare) cunoa te i la un rigid? (1 pct.) Defini i mi carea de rota ie a solidului rigid. (1 pct.) Enun a i teorema energiei cinetice i a lucrului mecanic n mi carea unui sistem de puncte materiale sau solid rigid fa de un punct fix.
II. (6 pct.)5. (1 pct.) S se determine coordonatele centrului de mas pentru placa plan (n func ie de a).a T P a DE
i omogen din figura 1.1
y2a 4a 2a
T p C
O
a 2a BT [
M T Q
30 0
x
A
Figura 1.1
Figura 1.2
Figura 1.3
6. (2 pct.) Se consider bara din figura 1.2, articulat n A i simplu rezemat n B. Ea este ac ionat pe latura AC de for a liniar distribuit de intensitate maxim p (N/m) i de for a concentrat P (N) n punctul E. Dimensiunile barei fiind cele din figur , s se determine reac iunile din articula ia A i reazemul B. 7. (1 pct.) Un mobil plecnd din repaus se deplaseaz pe o dreapt ntr-o mi care uniform accelerat . tiind c dup t 1! 10 s el atinge viteza v 1 ! 5 m / s , ce spa iu str b tuse el dup t 0 ! 1 s ? 8. (2 pct.) Un punct M porne te din vrful O al unui con cu unghiul la vrf 2 E i se mi c pe o generatoare a conului cu viteza u constant .. n acela i timp, conul se rote te n jurul axei sale de simetrie cu viteza unghiular constant nceputul mi c rii?pp
[ (figura 1.3). Care este viteza absolut a punctului M dup t secunde de la
Testul nr. 2I. (6 pct.)1. (3 pct.) Torsorul unui sistem de for e oarecare. Defini ie i propriet i. 2. (1 pct.) Ce se n elege prin reazem simplu ? Cte grade de libertate are un rigid cu un reazem simplu? Cu ce se nlocuie te un reazem simplu (n cazul f r frecare) ? 3. (1 pct.) Defini i mi carea de transla ie a solidului rigid. 4. (1 pct.) Enun a i teorema impulsului n mi carea unui sistem de puncte materiale sau a unui solid rigid.33
Mecanic teme de cas II. (6 pct.)
i teste de examen
5. (1 pct.) S se determine coordonatele centrului de mas pentru placa plan (dimensiunile sunt date n cm).p p
i omogen din figura 2.1
6. (2 pct.) Asupra unei bare cotite ABCD ac ioneaz for a F , de modul 100 N. S se determine momentul for ei F fa de punctul A (figura 2.2). Dimensiunile sunt date n cm.40 *1020A D z B C8
y
10
T 8 F E
4
4
4
10
10
x
Figura 2.1
Figura 2.2
7. (1 pct.) Acul unui ceas care indic minutele este de 1,5 ori mai lung dect acul care indic orele. S se calculeze raportul dintre viteza liniar a vrfului acului care indic minutele i viteza liniar a vrfului acului care indic orele. 8. (2 pct.) Un c rucior se deplaseaz pe un drum rectiliniu cu viteza constant montat un tub OA avnd forma unei parabole de ecua ie y ! cu viteza constantp p
v 1 ! u . Pe c rucior este
1 2 x (figura 2.3). n interiorul tubului se mi c 2
v 2 ! 2 u un punct material M. S se determine viteza absolut a punctului M la
momentul de timp la care acesta trece prin punctul de abscis x = 3.y 1 y ! x2 6 M O T V2 A T V1
x
20
30Figura 2.3 Figura 3.1
Testul nr. 334
Mecanic teme de cas I. (6 pct.)
i teste de examen
1. (3 pct.) Reducerea unui sistem de for e oarecare: Torsor minimal, ax central . 2. (1 pct.) Ce n elege i prin ncastrare? Cte grade de libertate are un solid rigid ncastrat ? Cu ce se nlocuie te o ncastrare? 3. (1 pct.) Defini i mi carea rectilinie a punctului material. 4. (1 pct.) Enun a i teorema momentului cinetic n mi carea unui sistem de puncte materiale sau solid rigid n raport cu un reper fix.
II. (6 pct.)5. (1 pct.) S se determine pozi ia centrului de mas pentru bara omogen din figura 3.1. Dimensiunile sunt date n cm. 6. (2 pct.) Asupra pl cii plane i omogene din figura 3.2 , de greutate G = 2000 daN, ac ioneaz for a concentrat P = 500 daN i for a uniform distribuit q = 250 dan/m. Dimensiunile sunt date n metri. S se determine reac iunile n articula ia A i reazemul B.
q P 2 2 A G B 2
30
30
r!6
!Figura 3.2 Figura 4.1
!
7. (1 pct.) Se dau ecua iile parametrice ale mi c rii unui punct material n coordonate carteziene:
x ! 3t 2 3 t 7 ,
y ! 4t 1
unde timpul t este dat n secunde iar coordonatele x i y n metri. S se determine viteza punctului material la momentul de timp t = 1s. 8. (2 pct.) O piatr este aruncat pe vertical , de la nivelul solului, cu viteza v 0 ! 10 m / s . Dup ct timp va atinge din nou p mntul?
Testul nr. 4I. (6 pct.)1. (3 pct.) Cazuri de reducere ale unui sistem de for e oarecare. 2. (1 pct.) Ce n elege i prin articula ie sferic ? Cte grade de libertate are un solid rigid ce are ca leg tur o articula ie sferic ? Cu ce se nlocuie te o astfel de leg tur ? 3. (1 pct.) Defini i mi carea circular a punctului material. 4. (1 pct.) Defini i no iunea de impuls n cazul unui punct material, al unui sistem de puncte materiale i al unui solid rigid. Preciza i i unitatea de m sur pentru impuls (in SI).
II. (6 pct.)
35
Mecanic teme de cas
i teste de examen
5. (2 pct.) S se determine coordonatele centrului de mas pentru placa plan i omogen din figura 4.1. Dimensiunile sunt date n cm. T T 6. (1 pct.) For ele care alc tuiesc cuplul F , F au modulul F = 15 daN i se g sesc la distan a d ! 3 dm una de alta. S se determine momentul acestui cuplu (n N m ). 7. (1 pct.) Un cilindru, avnd dimensiunile din figura 4.2 i greutatea G = 5000 N, este a ezat pe un plan orizontal. S se determine lucrul mecanic necesar r sturnarii cilindrului n jurul punctului A de intersec ie a unei generatoare cu planul orizontal.
1.2m C Bs O [
yM
D
h1
O T G A
1.6m
Figura 4.2
Figura 4.3
8. (2 pct.) Un disc de raz R se rote te cu viteza unghiular constant [ n jurul unei axe care trece prin centrul s u i este perpendicular pe planul discului (figura 4.3). Pe un diametru al discului se mi c , plecnd din centrul s u, un punct M dup legea s ! R sin [ t . Sa se determine viteza absolut a punctului M la momentul de timp t !
T . 2[
Testul nr. 5I. (6 pct.)1. (3 pct.) Centrul de mas al unui sistem de puncte materiale i al unui solid rigid. 2. (1 pct.) Defini i no iunea de moment al unei for e n raport cu un punct. 3. (1 pct.) Ce componente are viteza i accelera ia unui punct material ntr-un sistem de coordonate carteziene Oxyz?. 4. (1 pct.) Enun a i teorema de conservare a momentului cinetic a unui sistem de puncte materiale sau a unui solid rigid.
zG
F F2E
FO [ A
DO
C y A B
E
M
A x
F1
CFigura 5.2 Figura 5.3
B
Figura 5.1
II. (6 pct.)
36
Mecanic teme de cas
i teste de examen
5. (2 pct.) Asupra cubului OABCDEFG de latur a = 10 cm din figura 5.1 ac ioneaz un sistem de dou for e, avnd punctele de aplica ie, direc iile i sensurile din figur i modulele F 1! 5 N , F 2 ! 10 2 N . S se determine momentul rezultant al sistemului celor dou for e n raport cu punctul O. 6. (2 pct.) Asupra barei AB, de lungime l ! 3 m i greutate G ! 600 daN , ac ioneaz for a F ! 400 daN , aplicat n B perpendicular pe bar , i momentul M ! 500 daN m . Bara este ncastrat n A (figura 5.2). Stiind c E ! 60 0 , s se determine reac iunile R A, M A n ncastrarea A. 7. (1 pct.) Un mobil, plecnd din repaus, se deplaseaz pe o dreapt i n 60 s atinge viteza de 18 m/s ntro mi care uniform accelerat . Ce spa iu a str b tut n acest timp? 8. (1 pct.) Placa dreptunghiular OABC (OA = 3 dm, OC = 4 dm) se rote te n planul s u, n jurul punctului O cu viteza unghiular constant [ ! 2 rad / s (figura 5.3). Care este viteza punctului B?
T
T
Testul nr. 6I. (6 pct.)1. (3 pct.) Echilibrul solidului rigid liber (ecua ii de echilibru, num r de grade de libertate). Echilibrul solidului rigid supus la leg turi (generalit i). 2. (1 pct.) Enun a i principiile mecanicii clasice (principiul iner iei, principiul ac iunii for ei, principiul ac iunii i reac iunii). 3. (1 pct.) Ce componente are viteza i accelera ia unui punct material ntr-un sistem de coordonate Frenet (naturale) ?. 4. (1 pct.) Defini i no iunea de moment cinetic n cazul unui punct material, al unui sistem de puncte materiale i al unui solid rigid. Preciza i i unitatea de m sur pentru moment cinetic (n SI).II. (6 pct.)
5. (2 pct.) O sfer de greutate P este rezemat pe o suprafa cilindric de raz r, fiind suspendat printrun fir de punctul fix A (figura 6.1). Cunoscnd lungimea l a firului i unghiurile E i F , s se determine tensiunea din fir i reac iunea suprafe ei cilindrice. 6. (2 pct.) Trei for e de module F 1 ! F 2 ! F 3 ! P sunt aplicate asupra vrfurilor D, O i E ale unui paralelipiped dreptunghic (figura 6.2). S se reduc sistemul de for e n raport cu punctul O dac AB ! AD ! a, OA ! 2 a .z
T
T
T
A F l B E rNx F3 D
A
B
F1C
F2 OE M
y
Figura 6.1
Figura 6.2
7. (1 pct.) Ecua iile parametrice ale mi c rii unui punct material n coordonate carteziene sunt:
T x ! 5 sin 2 t , 6
T y ! 5 cos 2 t 3 6 37
Mecanic teme de cas
i teste de examen
S se determine traiectoria mobilului i viteza sa la momentul de timp t 1! 2 s . 8. (1 pct.) Un corp de mas m ! 2 kg este aruncat de pe o cl dire nalt de 25 m. S se determine lucrul mecanic efectuat de for a de greutate a corpului pn n momentul atingerii solului.
Testul nr. 7I. (6 pct.)1. (3 pct.) Echilibrul solidului rigid supus la leg turi f r frecare. Reazemul simplu, articula ia, ncastrarea. 2. (1 pct.) Ce tipuri de for e ac ioneaz pe un corp izolat dintr-un sistem de corpuri i ce principiu al mecanicii clasice trebuie respectat obligatoriu la izolarea lui? 3. (1 pct.) Defini i no iunea de traiectorie a unui punct material. 4. (1 pct.) Defini i no iunea de energie cinetic n cazul unui punct material, al unui sistem de puncte materiale i al unui solid rigid.
II. (6 pct.) T T T F 1 ! F 2 ! F 3 ! 1 daNpunctul O. 5. (2 pct.) Asupra cubului rigid de latur a = 20 cm din figura 7.1 ac ioneaz cinci for e de module i F 4 ! F 5 ! 2 daN . S se determine momentul rezultant n raport cu
T
T
zD L 6 6
F2 E F3 O A xFigura 7.1
K F5 F4 C F1 B r ! 20Figura 7.2
y
4 6
6. (1 pct.) S se determine pozi ia centrului de mas pentru placa plan i omogen din figura 7.2. Dimensiunile sunt date n cm. 7. (2 pct.) Paralelipipedul dreptunghic OABCDEFG de laturi OA = 3 dm, OB = 4 dm, OC = 5 dm se rote te uniform n jurul diagonalei sale OF, cu viteza unghiular constant [ ! 2 rad / s . S se determine vitezele vrfurilor F i A. 8. (1 pct.) Se consider un disc omogen de mas M = 2 kg i raz R = 10 cm. S se determine momentul de iner ie fa de centrul O i fa de un punct A de pe periferie.
Testul nr. 838
Mecanic teme de cas I. (6 pct.)
i teste de examen
1. (3 pct.) Echilibrul sistemelor de puncte materiale i de solide rigide. Condi ii de echilibru. Teoreme i metode utilizate pentru rezolvarea problemelor de statica sistemelor. 2. (1 pct.) Defini i no iunile de cuplu de for e i de moment al unui cuplu de for e. 3. (1 pct.) Ce componente are viteza absolut i accelera ia absolut n mi carea relativ a unui punct material? 4. (1 pct.) Da i rela iile de calcul a energiei cinetice a unui solid rigid n cazul mi c rilor de transla ie i rota ie.
II. (6 pct.)5. (2 pct.) Se consider prisma rigid din figura 8.1, asupra c reia ac ioneaz for ele F 1, F 2 ,..., F 6 orientate ca n figur i egale n m rime, F 1 ! F 2 ! ... ! F 6 ! P . S se determine for a rezultant
T T
X
T
T
T
T 6 T R ! F i .i !1
z D
F5 F4 E a F2 A F1B Figura 8.1
F3
O
C a 2ay
r R bFigura 8.2
x
6. (1 pct.) Dintr-o srm groas se construie te corpul din figura 8.2. S se determine pozi ia centrului de mas dac r = 10 cm, R = 20 cm, a = 3 cm i b = 10 cm. 7. (2 pct.) O bar OL se rote te n jurul unui punct fix O cu viteza unghiular constant [ ! 2 rad / s i mi c inelul M pe o srm fix aflat la distan a l = 10 cm de punctul O (figura 8.3). S se exprime viteza i accelera ia inelului M n func ie de distan a OM = s.
L
E
2a
F
Odl
s M G
U O
[ Q2 Q1Figura 8.3 Figura 9.1
8. (1 pct.) Cu ce vitez trebuie lansat un mobil pe un plan nclinat cu unghiul E ! 30 0 fa de orizontal pentru a urca pe plan pn la n l imea h = 1 m. Se consider g ! 10 m / s 2 i se neglijeaz frec rile.39
Mecanic teme de cas
i teste de examen
Testul nr. 9I. (6 pct.)1. (3 pct.) Cinematica mi c rii absolute a punctului accelera ie. 2. (1 pct.) Da i rela ia de calcul a vectorului de pozi ie materiale i al unui solid rigid. 3. (1 pct.) Scrie i formulele lui Euler pentru distribu ia solidului rigid. 4. (1 pct.) Defini i no iunea de lucru mecanic elementar material. No iunile de traiectorie, vitez i
al centrului de mas al unui sistem de puncte de viteze i accelera ii n mi carea general a i lucru mecanic finit al unei for e.
II. (6 pct.)5. (1 pct.) O lamp de greutate G este suspendat ntr-un punct O situat n acela i plan vertical cu punctele A i B. De dou fire fixe legate de O i trecute peste doi scripe i mici (din A i B), atrn greut ile
T
T X Q 1 i Q 2 . Pozi ia punctului O este determinat prin unghiurile E i F (figura 9.1). S se determine X T valorile greut ilor Q 1 i Q 2 astfel ca lampa s r mn n repaus n pozi ia din figur .6. (2 pct.) Se consider bara omogen de greutate neglijabil din figura 9.2. Dimensiunile sunt date n metri. Se dau: M ! 200 daN m , P ! 100 daN , q ! 50 daN / m . S se determine reac iunile n articula ia A i reazemul B. 2
yA 3M
B v2q
BP
Bd v1
30
2
AdFigura 9.3
A
x
Figura 9.2
7. (2 pct.) Dou osele se intersecteaz n punctul O sub un unghi drept (figura 9.3). Pe cele dou osele se deplaseaz dou autoturisme spre punctul O, plecnd simultan din A i B, cu vitezele constante v 1! 10 m / s, v 2 ! 20 m / s . S se afle momentul de timp t 1 cnd distan a AB dintre autoturisme este minim . Se mai cunosc AO = 20 km i B0 = 30 km. 8. (1 pct.) Un corp de mas M = 10 kg se deplaseaz astfel nct viteza centrului s u de mas r mne constant i egal cu vC ! 5 m / s. Care este impulsul sau?
Testul nr. 1040
Mecanic teme de cas I. (6 pct.)
i teste de examen
1. (3 pct.) Cinematica mi c rii absolute a solidului rigid. Mi carea general (parametrii de pozi ie, formulele lui Poisson i ale lui Euler). 2. (1 pct.) Enun a i trei propriet i ale centrului de mas al unui sistem de puncte materiale sau al unui solid rigid. 3. (1 pct.) Ce ti i despre viteza i accelera ia unui punct material ntr-o mi care circular a acestuia? 4. (1 pct.) Da i rela iile de calcul a momentului cinetic al unui solid rigid n cazul mi c rilor de transla ie i rota ie. II. (6 pct.) 5. (2 pct.) Se consider sistemul de for e F 1, F 2 , F 3 i F 4 concurente n A (figura 10.1). S se determine rezultanta lor, dac :
T X T
T
F 1! F 4 ! 100 N , F 2 ! 120 N , F 3 ! 80 N , E ! 45 0 , F ! 105 0 , K ! 60 0y
y F3 F2
B
FE K A F1 x
F
F ElA
F4
l /3
v x
Figura 10.1
Figura 10.2
Figura 10.3
6. (2 pct.) Bara omogen din figura 10.2, de greutate G ! 200 daN , este articulat n A i simplu rezemat n B. Asupra barei ac ioneaz for a F ! 100 daN nclinat cu unghiul F ! 60 0 . S se determine reac iunile din A i B dac E ! 30 0 . 7. (1 pct.) Bara AB, de lungime l, alunec cu extremit ile sale A i B dup direc iile Ox i Oy, astfel nct punctul A se deplaseaz cu viteza constant v. S se determine viteza punctului B la momentul de timp la care OA !
l (figura 10.3). 2
8. (1 pct.) Roata de curea a unui electromotor se rote te cu 1500 rot/min. Dup t 1 = 2 min curentul a fost ntrerupt i roata, rotindu-se ntr-o mi care uniform ncetinit , s-a oprit dup t 2 ! 6 s. S se determine num rul de rota ii efectuat de roat n tot timpul mi c rii.
Testul nr. 11I. (6 pct.)1. (3 pct.) Mi carea de transla ie a solidului rigid: defini ie, distribu ia de viteze i accelera ii. 2. (1 pct.) Cum apare i cum se manifest (ce introduce) frecarea de alunecare? T T T T 3. (1 pct.) Ce expresii au vectorii v O , a O , [ i I n mi carea de transla ie a solidului rigid? 4. (1 pct.) Care este ecua ia fundamental a mi c rii relative a punctului material?
II. (6 pct.)41
Mecanic teme de cas
i teste de examenp
unic , egal cu rezultanta R , i care p p ac ioneaz pe axa central a sistemului dac elementele torsorului de reducere X O R, M O n raport cu punctul arbitrar O verific condi iile: a)p p
5. (1 pct.) Un sistem de for e oarecare se reduce la o for
R { 0 , M O ! 0 ; b) R { 0 , M O { 0 , R M O ! 0 ; c) R { 0 , M O { 0 , R M O { 0 ;p
p p
p
p
p p
p p
p
p
p p
p p
p
d) R // M O . 6. (2 pct.) Se consider o bar omogen AB, de lungime l = 5 m i greutate G = 180 N, articulat n A i simplu rezemat n D (figura 11.1). De cap tul B, prin intermediul unui fir, atrn greutatea P = 360 N, firul f cnd cu direc ia barei unghiul F ! 30 0 . S se determine reac iunile din articula ia A i reazemul D, dac
E ! 30 0 i ED ! l 0 ! 1,5 m.A E
D F B
PFigura 11.1 7. (2 pct.) O plac p trat ABCD de latur l = 1 m se rote te n planul ei n jurul centrului O. S se determine i s se reprezinte vitezele i accelera iile vrfurilor A, B, C i D, tiind c viteza unghiular este constant i egal cu [ ! 4 rad / s . 8. (1 pct.) Masa unei pl ci plane i omogene de form circular este M = 1 kg iar raza sa R = 30 cm. S se determine momentul de iner ie polar fa de centrul O al pl cii.
Testul nr. 12I. (6 pct.)1. (3 pct.) Mi carea de rota ie a solidului rigid: defini ie, distribu ia de viteze i accelera ii, propriet i. 2. (1 pct.) Ce teoreme i metode pentru rezolvarea problemelor de statica sistemelor cunoa te i? 3. (1 pct.) Defini i mi carea absolut , mi carea relativ i mi carea de transport n cazul unui punct material. 4. (1 pct.) Defini i momentele de iner ie polar, axiale, planare i centrifugale n cazul unui sistem de puncte materiale.
II. (6 pct.)
42
Mecanic teme de cas
i teste de examen F 1! 10 daN , F2 ! 5 34 daNi
5. (2 pct.) Asupra unui paralelipiped dreptunghic de laturi OA = 30 cm, OC = 50 cm i OO = 40 cm ac ioneaz un sistem de trei for e ca n figura 12.1. Cunoscnd c
F 3 ! 20 2 daN , s se determine momentul rezultant n raport cu punctul O.z Od Cd
Ad F3 F1A
Bd F2
qE 3Cy
P
1
O
2 A BFigura 12.2
M
B Figura 12.1
x6. (2 pct.) Se consider bara de greutate neglijabil din figura 12.2, solicitat de momentul
M ! 150 kN m , for a P ! 100 kN i sarcina uniform distribuit q ! 50 kn / m. Stiind c E ! 60 0 i cdimensiunile sunt date n metri, s se determine reac iunile n reazemul B i articula ia A. 7. (1 pct.) Punctul M se deplaseaz n planul Oxy dup legile x ! 2 sin
T T t , y ! 3 cos t 4 , 3 3
unde coordonatele x i y sunt date n metri iar timpul t n secunde. S se determine viteza punctului la momentul de timp t 1! 3 s . 8. (1 pct.) Un proiectil este lansat oblic din vrful unui turn. Ce tip de traiectorie parcurge proiectilul?
Testul nr. 13I. (6 pct.)1. (3 pct.) Cinematica mi c rii relative a punctului material. Determinarea distribu iei de viteze i accelera ii. 2. (1 pct.) Enun a i axioma leg turilor. 3. (1 pct.) Da i trei exemple de corpuri care efectueaz o mi care de rota ie. 4. (1 pct.) Care este ecua ia fundamental a mi c rii absolute a punctului material?
II. (6 pct.)5. (1 pct.) S se determine modulul for ei F 3 astfel nct sistemul de for e F 1, F 2 , F 3 din figura 13.1 s fie n echilibru. Se cunosc F 1! F 2 ! 10 3 N . 6. (2 pct.) Se consider sistemul de trei bare din figura 13.2, ncastrate n A, articulate n B i D i simplu rezemate n C i F. Se cunosc: P 1! 12 kN , P 2 ! 12 kN , M ! 50 kN M , q ! 2 kN / m . S se determine reac iunile n A, B, C, D i E. Dimensiunile pe figur sunt date n metri.
T
T T T
43
Mecanic teme de casP 1F1
i teste de examenP2 60 E 2 2
30 30 F2
F3
A 4 4
M
q C D
B 4
4
Figura 13.1
Figura 13.2
7. (1 pct.) Punctul M se deplaseaz n planul Oxy dup legile x ! 3 t , y ! 4 t 2 1 . S se determine traiectoria punctului, precum i componentele vectorilor vitez i accelera ie la un moment oarecare de timp t. 8. (2 pct.) Mobilul M se deplaseaz la periferia discului D de raza R dup legea s ! AM ! T t 2 (figura 13.3). Discul este articulat n A i B cu manivelele O1 A i O2 B care se rotesc n jurul punctelor O1 , respectiv O2 dup
5T t 3 (radiani). Se cunosc: O1 A ! O2 B ! 20 cm, R ! 16 cm . S se 48 determine viteza absolut a punctului M la momentul de timp t ! 2 s .legea N 2 !B
N O2
y O R MA
N F Kx
AN L B
E
O1
D
Figura 13.3
Figura 14.1
Testul nr. 14I. (6 pct.)1. (3 pct.) Energia cinetic a unui sistem de puncte materiale i a unui solid rigid: defini ii, teorema energiei cinetice i a lucrului mecanic n mi carea unui sistem de puncte materiale sau a unui solid rigid fa de un reper fix. 2. (1 pct.) Cte grade de libertate are un punct material liber n spa iu? Care ar putea fi parametrii scalari independen i care s fixeze, la un moment dat, pozi ia punctului n spa iu? 3. (1 pct.) Da i trei exemple de corpuri care efectueaz o mi care de transla ie. 4. (1 pct.) Cte dintre cele 10 momente de iner ie mecanice (polar, axiale, planare, centrifugale) sunt independente? Ce rela ii exist ntre ele?
II. (6 pct.)5. (2 pct.) S se determine coordonate centrului de mas al pl cii plane omogene din figura 14.1. Se cunosc: AB = 20 cm, BD = 24 cm, ED = 10 cm, AN = 2 cm, NL = 18 cm, LK = 20 cm, FK = 8 cm.
44
Mecanic teme de cas
i teste de examen
q0 M Q aA
a
2aFigura 14.2
BFigura 14.3
C
6. (2 pct.) Se consider bara omogen CD de greutate neglijabil asupra c reia ac ioneaz for a concentrat Q, sarcina uniform distribuit q 0 i momentul M. Bara este articulat n A i simplu rezemat n B. S se determine reac iunile n A i B dac Q ! 4,6 kN , q0 ! 4 kN / m, M ! 10 kN m , a ! 1 m (figura 14.2). 7. (1 pct.) Un mobil porne te din punctul A f r vitez ini ial i se mi c uniform accelerat pe panta AB (figura 14.3), apoi uniform ncetinit pe plan orizontal pn la oprirea n punctul C. Cunoscnd lungimea AB ! x 1 , distan a BC ! x2 i timpul t n care mobilul parcurge tot parcursul ABC, s se afle accelera iile
a 1 i a 2 pe por iunile AB, respectiv BC.8. (1 pct.) Arborele unei ma ini se rote te uniform la tura ia n = 900 rot/min. Care este viteza unghiular n mi carea de rota ie a arborelui (n rad/s)?
Testul nr. 15I. (6 pct.)1. (3 pct.) Momentul cinetic al unui sistem de puncte materiale i al unui solid rigid: defini ii, teorema momentului cinetic n mi carea unui sistem de puncte materiale sau a unui solid rigid n raport cu un reper fix. 2. (1 pct.) Cte grade de libertate are un solid rigid liber n spa iu? Care ar putea fi parametrii scalari independen i care s fixeze, la un moment dat, pozi ia rigidului n spa iu? 3. (1 pct.) Da i expresia accelera iei Coriolis din mi carea relativ a punctului material. 4. (1 pct.) Preciza i, pe scurt, n ce constau cele dou probleme generale ale dinamicii i anume problema direct i problema invers .
II. (6 pct.)5. (1 pct.) Un corp de greutate G = 100 daN este suspendat prin intermediul a dou fire inextensibile, orientate ca n figura 15.1. S se determine tensiunile din fire. 6. (2 pct.) Un mobil se deplaseaz n linie dreapt dup legea x ! t 3 4 t 2 10 t 1 , unde coordonata x este exprimat n metri iar timpul t n secunde. S se afle viteza i accelera ia mobilului la momentele de timp t 1! 1 s i t 2 ! 2 s . S se construiasc diagrama vitezei (graficul v = v(t). Care este viteza minim ?
B
A
30
D
R
K
GFigura 15.145
OFigura 15.2
Mecanic teme de cas
i teste de examen
7. (2 pct.) Sa se determine coordonatele centrului de mas pentru bara omogen din figura 15.2 dac
AB ! a , BD !
a iar por iunea semircircular DKO are raza R = a. 2
8. ( 1pct.) Un corp de revolu ie, avnd momentul de iner ie fa de axa de simetrie J ! 2000 kg m 2 , efectueaz o mi care de rota ie cu tura ia constant n ! 10 rot / min n jurul acestei axe. Care este valoarea momentului cinetic?
Testul nr. 16I. (6 pct.)1. (3 pct.) Impulsul unui sistem de puncte materiale i al unui solid rigid: Defini ii, teorema impulsului, teorema mi c rii centrului de mas . 2. (1 pct.) Scrie i ecua iile axei centrale n cazul cel mai general. 3. (1 pct.) Scrie i legile mi c rii rectilinii i uniforme i rectilinii uniform variate a punctului material (legea spa iului, a vitezei i a accelera iei). 4. (1 pct.) Ce n elege i prin sistem de referin iner ial?
II. (6 pct.)5. (1 pct.) S se determine coordonatele centrului de mas pentru placa plan omogen din figura 16.1. Dimensiunile sunt date n cm. 6. ( 2 pct.) Se consider bara AB = l = 4 m de greutate G = 0,4 kN, ncastrat n A. La cap tul B al barei atrn greutatea P = 1 kN. S se determine reac iunile n ncastrarea A ( figura 16.2).15
10 30
A12
B l PFigura 16.2
30
30
Figura 16.1
7. (2 pct.) Un punct material se deplaseaz pe un cerc de raz R = 4 m dup legea s ! 4,5 t 3 , unde s este dat n metri iar timpul t n secunde. S se determine modulul accelera iei la momentul de timp la care modulul vitezei este v 1! 6 m / s . 8. (1 pct.) Fiind dat o plac plan omogen sub form p tratic , de latur l = 10 cm, s se determine momentul de iner ie polar fa de centrul geometric i fa de unul din vrfuri.
46
Mecanic teme de cas
i teste de examen
BIBLIOGRAFIE1. Brndeu L., Orgovici L., Chioreanu M., Teoremele generale ale dinamicii, Culegere de probleme, Timi oara, 1991. 2. Ceau u V., Enescu M., Ceau u F., Culegere de probleme de mecanic , Institutul Politehnic Bucure ti, 1984. 3. Dumitra cu Ghe., Deleanu D., Mecanic teoretic , Editura ExPonto, Constan a 1998. 4. Deleanu D., Mecanica, Teorie i aplica ii, Editura Crizon, Constan a, 2008. 5. Deleanu D., Dumitra cu Ghe., Seminarii de mecanic , Editura Printech, Bucure ti, 2002. 6. Deleanu D., Dumitra cu Ghe., Statica, Culegere de probleme, Editura Printech, Bucure ti, 2000. 7. Deleanu D., Dumitra cu Ghe., Cinematica, culegere de probleme, Editura Printech, Bucure ti, 2000. 8. Deleanu D., Dumitra cu Ghe., Dinamica, Culegere de probleme, Editura Printech, Bucure ti, 1999. 9. Iacob C., Mecanic teoretic , Editura Didactic i Pedagogic , Bucure ti, 1980. 10. Landau L., Lif i F., Mecanica, Editura Tehnic , Bucure ti, 1966. 11. Niculescu M, Dinculescu N., Marcus S., Analiz matematic , Editura Didactic i Pedagogic , Bucure ti, 1966. 12. Olariu V., Sima P., Achiriloaie V., Mecanic teoretic , Editura Tehnic , Bucure ti, 1982. 13. Olariu V., Analiz matematic , Editura Didactic i Pedagogic , Bucure ti, 1981. 14. Ripianu A., Popescu P., B lan B., Mecanic teoretic , Editura Didactic i Pedagogic , Bucure ti, 1979. 15. Ro ca I., Mecanic pentru ingineri, Editura MatrixRom, Bucure ti, 1998. 16. Ro cule M., Analiz matematic , Editura Didactic i Pedagogic , Bucure ti, 1983. 17. Sila M., Mecanic , Editura Didactic i Pedagogic , Bucure ti, 1968. 18. Targ S., Theoretical Mechanics, Editura Mir, Moscova, 1975. 19. Tocaci E., Mecanic , Editura Didactic i Pedagogic , Bucure ti, 1968. 20. Voinea R, Voiculescu D., Ceau u V., Mecanic , Editura Didactic i Pedagogic , Bucure ti, 1983.
47
