Tema Nr 1_econometrie

TEMA NR 1 – ECONOMETRIE – DRĂGAN DANIELA, ANUL II ID - MANAGEMENT

TEMA NR. 1

1. Un fabricant de automobile a estimat că un nou tip de maşini obţine un consum mediu de 11 litri la 100

km, dar compania care dorea să comercializeze aceste maşini pretindea că acest consum depaseşte

estimaţia producătorului. Pentru a susţine afirmatia, compania a selectat 36 de maşini şi a înregistrat

consumul. Au rezultat datele: 𝑥 =11.8 litri / 100 km; s = 3.0 litri / 100 km.

a) Dacă cei interesati doresc să arate că media consumului este mai mare de 11 litri / 100 km, care este

ipoteza nulă? Dar ipoteza alternativa?

b) Efectuati testarea pentru 𝛼 = 0.05.

Rezolvare:

a) Dacă cei interesati doresc să arate că media consumului este mai mare de 11 litri / 100 km, care

este ipoteza nulă? Dar ipoteza alternativa?

𝑛 = 36 => 𝑐ă 𝑎𝑣𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑐𝑢 𝑢𝑛 𝑒ş𝑎𝑛𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚 𝑚𝑎𝑟𝑒 (𝑛 > 30)

Ipotezele acestui test vor fi următoarele:

𝐻0: 𝜇 = 11, ipoteza nulă;

𝐻1: 𝜇 > 11 , ipoteza alternativă.

Acesta reprezintă un test unilateral de dreapta (TUD) iar testul statistic calculat este dat de următoarea

formulă:

𝑧 =𝑥 −𝜇0

𝜎𝑥 =

𝑥 −𝜇0𝜎

𝑛

=𝑥 −𝜇0

𝑠

𝑛

Regiunea critică este dată de: 𝑅𝑐 : 𝑧 > 𝑧𝛼

Regula de decizie este: respingem ipoteza nulă (𝐻0), dacă 𝑥 −𝜇0

𝜎𝑥 > 𝑧𝛼

b) Efectuati testarea pentru 𝛼 = 0.05.

𝑥 =11.8 litri / 100 km;

s = 3.0 litri / 100 km;

𝑛 = 36 ;

𝜇0 =11.0 litri / 100 km.

𝑧 =𝑥 −𝜇0

𝑠

𝑛

=11.8−11

3

36

=0.8

3

6

= 0.8 ∗ 2 = 1.6

𝑧𝛼 = 𝑧0.05 = 1.645


𝑧 < 𝑧𝛼 => se respinge 𝐻1şi se acceptă 𝐻0 . Cu o probabilitate de 95%, rezultă că nu sunt suficiente

dovezi pentru a respinge ipoteza nulă 𝐻0şi pentru a accepta ipoteza alternativă 𝐻1 , prin aceea că nivelul

mediu al consumului este mai mare de 11.0 litri / 100 km.

2. Analiza unui esantion aleator de 49 de observaţii a dus la următoarele rezultate: 𝑥 = 20.7 ; ( 𝑥𝑖 −

𝑥 )2 = 2.155

a) Testaţi ipoteza nulă μ = 20.47 , cu ipoteza alternativă: μ < 20.47 , utilizând o probabilitate de 99%.

b) Testaţi ipoteza nulă μ = 20.47 cu ipoteza alternativă μ ≠ 20.47 utilizând o probabilitate de 90%.

Rezolvare:

a) Testaţi ipoteza nulă μ = 20.47 , cu ipoteza alternativă: μ < 20.47 , utilizând o probabilitate de 99%.



𝐻0: 𝜇 = 20.47, ipoteza nulă;

𝐻1: 𝜇 < 20.47 , ipoteza alternativă.

Acesta reprezintă un test unilateral de stângă (TUS) iar testul statistic calculat este dat de următoarea

formulă:

𝑧 =𝑥 −𝜇0

𝜎𝑥 =

𝑥 −𝜇0𝜎

𝑛

=𝑥 −𝜇0

𝑠

𝑛

Regiunea critică este dată de: 𝑅𝑐 : 𝑧 < −𝑧𝛼


𝜎𝑥 < −𝑧𝛼

P = 99% => 𝛼=0.01;

𝑥 = 20.7;

( 𝑥𝑖 − 𝑥 )2 = 2.155 => 𝜎𝑥2 =

(𝑥𝑖−𝑥 )2

𝑛=

2.155

49= 0.044=> 𝑠 = 0.044 = 0.21

𝑧 =𝑥 −𝜇0

𝑠

𝑛

=20.7−20.47

0.21

49

=0.230.21

7

= 0.23 ∗7

0.21= 7.67

𝑧𝛼 = 𝑧0.01 = 2.326

𝑧 > −𝑧𝛼 => se respinge 𝐻1şi se acceptă 𝐻0 . Cu o probabilitate de 99%, rezultă că nu sunt suficiente

dovezi pentru a respinge ipoteza nulă 𝐻0 şi pentru a accepta ipoteza alternativă 𝐻1 .


b) Testaţi ipoteza nulă μ = 20.47 cu ipoteza alternativă μ ≠ 20.47 utilizând o probabilitate de 90%.




𝐻1: 𝜇 ≠ 20.47 , ipoteza alternativă.

Acesta reprezintă un test bilateral iar testul statistic calculat este dat de următoarea formulă:

𝑧 =𝑥 −𝜇0

𝜎𝑥 =

𝑥 −𝜇0𝜎

𝑛

=𝑥 −𝜇0

𝑠

𝑛

Regiunea critică este dată de: 𝑅𝑐 : 𝑧 < −𝑧𝛼/2 sau 𝑧 > 𝑧𝛼/2


𝜎𝑥 < −𝑧𝛼/2 sau

𝑥 −𝜇0

𝜎𝑥 > 𝑧𝛼/2

P = 90% => 𝛼=0.10;

𝑥 = 20.7;

( 𝑥𝑖 − 𝑥 )2 = 2.155 => 𝑠𝑥2 =

(𝑥𝑖−𝑥 )2

𝑛=

2.155

49= 0.044=> 𝑠 = 0.044 = 0.21

𝑧 =𝑥 −𝜇0

𝑠

𝑛

=20.7−20.47

0.21

49

=0.230.21

7

= 0.23 ∗7

0.21= 7.67

𝑧𝛼/2 = 𝑧0.005 = 2.576

𝑧 > 𝑧𝛼/2 => se respinge 𝐻0 şi se acceptă 𝐻1 . Cu o probabilitate de 90%, rezultă că sunt suficiente

dovezi pentru a respinge ipoteza nulă 𝐻0şi pentru a accepta ipoteza alternativă 𝐻1 .

3. Un producător de imprimante pentru calculatoare personale doreşte să estimeze media numărului de

caractere tipărite pâna când se consumă cerneala. Costul crescut al unei astfel de anchete impune

utilizarea unui eşantion de volum redus. Presupunem ca au fost testate n = 15 imprimante si s-au calculat:

𝑥 =1.13 milioane caractere, s = 0.27 milioane caractere.

a) Să se testeze cu o probabilitate de 90% intervalul de încredere pentru numărul mediu de caractere.

b) Să se testeze ipoteza nulă μ =1.00 milioane, cu ipoteza alternativa μ >1.00 milioane caractere, utilizând

o probabilitate de 95%, în ipoteza distribuţiei normale a numărului de caractere în colectivitatea generală.

Rezolvare:

a) Să se testeze cu o probabilitate de 90% intervalul de încredere pentru numărul mediu de

caractere.

𝑛 = 15 => 𝑐ă 𝑎𝑣𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑐𝑢 𝑢𝑛 𝑒ş𝑎𝑛𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑠 (𝑛 > 30)


𝑥 =1.13 milioane caractere;

s = 0.27 milioane caractere;

n = 15;

P = 90% => 𝛼=0.10.

Relaţia în baza căreia se calculează intervalul de încredere pentru medie este următoarea:

𝑥 −𝜎

𝑛∗ 𝑧1−

𝛼

2< 𝜇 < 𝑥 +

𝜎

𝑛∗ 𝑧1−

𝛼

2

1.13 −0.27

15∗ 1.64 < 𝜇 < 1.13 +

0.27

15∗ 1.64 => 1.13 −

0.27

3.87∗ 1.64 < 𝜇 < 1.13 +

0.27

3.87∗ 1,64

1.13 − 0.070 ∗ 1.64 < 𝜇 < 1.13 + 0.070 ∗ 1.64 => 1.0152 < 𝜇 < 1.2448

Rezultă că intervalul de încredere este (1.0152; 1.2448)

b) Să se testeze ipoteza nulă μ =1.00 milioane, cu ipoteza alternativa μ >1.00 milioane caractere,

utilizând o probabilitate de 95%, în ipoteza distribuţiei normale a numărului de caractere în

colectivitatea generală.

𝑥 =1.13 milioane caractere;

s = 0.27 milioane caractere;

n = 15;

P = 95% => 𝛼=0.05;

𝜇0 = 1.00 milioane caractere




𝐻1: 𝜇 > 1.00 , ipoteza alternativă.


formulă:

𝑡 =𝑥 −𝜇0

𝑠𝑥 =

𝑥 −𝜇0𝑠𝑥

𝑛

, unde 𝑠𝑥2 =

(𝑥𝑖−𝑥 )2

𝑛−1


𝑠𝑥

𝑛

> 𝑡𝛼,𝑛−1


𝑡 =1.13−1.00

0.27

15

=0.130.27

3.87

= 0.13 ∗3.87

0.27= 1.86

𝑡0.05,14 = 2.145

𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑡 < 𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐 => se respinge 𝐻1şi se acceptă 𝐻0 . Cu o probabilitate de 95%, rezultă că nu sunt

suficiente dovezi pentru a respinge ipoteza nulă 𝐻0 şi pentru a accepta ipoteza alternativă 𝐻1 , prin aceea

că media numărului de caractere tipărite pâna când se consumă cerneala este mai mare de 1.00 milioane.

4. Valoarea medie a unei locuinţe aflate în imediata apropiere a unui colegiu este de 58,950 unităţi

monetare. Se presupune că valoarea locuinţelor creşte cu cât ele sunt situate mai aproape de acest

colegiu. Pentru a testa această ipoteza, au fost selectate aleatoriu 12 locuinţe din zona colegiului; în urma

evaluării acestora, a rezultat o valoare medie de 62,460 unităţi monetare, cu o abatere medie pătratică de

5,200 unităţi monetare. Testaţi această ipoteză, pentru un nivel de semnificatie de 5%.

Rezolvare:


𝑥 = 62,460 u.m.;

s = 5,200 u.m.;

n = 12;

𝛼=0.05;

𝜇0 = 58,950 u.m.


𝐻0: 𝜇 = 58,950 - ipoteza nulă;

𝐻1: 𝜇 > 58,950 - ipoteza alternativă.


formulă:

𝑡 =𝑥 −𝜇0

𝑠𝑥 =


𝑛

, unde 𝑠𝑥2 =

(𝑥𝑖−𝑥 )2

𝑛−1


𝑠𝑥

𝑛

> 𝑡𝛼,𝑛−1

𝑡 =62,460−58,950

5,200

12

=3,5105,200

3.46

= 3,510 ∗3.46

5,200= 2.34


𝑡0.05,11 = 1.796

𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑡 > 𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐 => se respinge 𝐻0 şi se acceptă 𝐻1 . Cu o probabilitate de 95%, rezultă că sunt


că valoarea locuinţelor creşte cu cât acestea sunt situate mai aproape de acest colegiu.

5. Un reporter se documentează pentru un articol privind costurile tot mai ridicate ale educaţiei primite în

învaţământul superior. Pentru aceasta, el a luat în considerare variabila „costul unui manual” în semestrul

în curs (variabila x). În urma considerării unui eşantion de 41 de manuale, el a găsit că: 𝑥𝑖= 550.22 u.m.;

( 𝑥𝑖 − 𝑥 )2= 1,617.984 u.m. Se cere:

a) găsiţi media şi abaterea medie pătratică a costului unui manual în semestrul în curs, la nivelul

eşantionului considerat;

b) testaţi ipoteza conform căreia valoarea medie a unui manual este mai mică de 15 u.m., pentru un nivel

de semnificaţie de 1%.

Rezolvare:

a) găsiţi media şi abaterea medie pătratică a costului unui manual în semestrul în curs, la nivelul

eşantionului considerat:


𝑥𝑖= 550.22 u.m => 𝑥 =550 .22

41= 13.42 u.m.

( 𝑥𝑖 − 𝑥 )2 = 1,617.984 => 𝜎𝑥2 =

(𝑥𝑖−𝑥 )2

𝑛=

1,617.984

41= 39.46 𝑢. 𝑚.=> 𝑠 = 39.46 = 6.28u.m.

b) testaţi ipoteza conform căreia valoarea medie a unui manual este mai mică de 15 u.m., pentru un

nivel de semnificaţie de 1%.




𝐻1: 𝜇 < 15 , ipoteza alternativă.

Acesta reprezintă un test unilateral de dreapta (TUS) iar testul statistic calculat este dat de următoarea

formulă:


𝑧 =𝑥 −𝜇0

𝜎𝑥 =

𝑥 −𝜇0𝜎

𝑛

=𝑥 −𝜇0

𝑠

𝑛

Regiunea critică este dată de: 𝑅𝑐 : 𝑧 < −𝑧𝛼


𝜎𝑥 < −𝑧𝛼

P = 99% => 𝛼=0.01;

𝑥 = 13.42;

s = 6.28

𝑧 =𝑥 −𝜇0

𝑠

𝑛

=13.42−15

6.28

41

=−1.58

6.28

6.40

= −1.58 ∗6.40

6.28= −1.61

𝑧𝛼 = 𝑧0.01 = 2.326

𝑧 > −𝑧𝛼 => se respinge 𝐻1şi se acceptă 𝐻0 . Cu o probabilitate de 99%, rezultă că nu sunt suficiente

dovezi pentru a respinge ipoteza nulă 𝐻0 şi pentru a accepta ipoteza alternativă 𝐻1 , prin aceea că

valoarea medie a unui manual este mai mică de 15 u.m.

6. Gradul de poluare a aerului se poate determina prin măsurarea mai multor elemente, printre care şi

nivelul monoxidului de carbon existent în atmosfera. Un ecologist vrea sa arate că oraşul X are un grad

ridicat de poluare a aerului, ilustrat printr-un nivel mediu al monoxidului de carbon mai mare de 4,9. Pentru

a verifica această afirmatie, au fost înregistrate nivelurile monoxidului de carbon din 12 zile consecutive,

valorile gasite fiind următoarele:

Ziua 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

CO 3.5 3.9 2.8 3.1 3.1 3.4 4.8 3.2 2.5 3.5 4.4 3.1

a) calculaţi abaterea medie pătratică, dispersia nivelului de CO din aer, pentru cele 12 zile;

b) există suficiente dovezi pentru a respinge ipoteza ecologistului?

Rezolvare:

a) calculaţi abaterea medie pătratică, dispersia nivelului de CO din aer, pentru cele 12 zile:


Aplicaţia a fost rezolvată în excel Data – Data Analysis – Descriptive Statics, iar probabilitatea luată în

calcul de 95%. În urma introducerii datelor din cel de-al II- lea rând a rezultat următorul tablou:

CO

Mean 3.441667

Standard Error 0.188478

Median 3.3

Mode 3.1

Standard Deviation 0.652907

Sample Variance 0.426288

Kurtosis 0.555528

Skewness 0.881889

Range 2.3

Minimum 2.5

Maximum 4.8

Sum 41.3

Count 12

Termenii din limba engleză prezintă următoarea semnificaţie:

Mean = media aritmetica

Standard Error = eroare standard

Median = mediana

Mode = modulul

Standard Deviation = abaterea medie patratica

Sample Variance = dispersie

Kurtosis = coeficientul de boltire

Skewness = coeficientul de asimetrie

Range = amplitudinea de sondaj

Minimum = valoarea minimă din eşantion

Maximum = valoarea maximă din eşantion

Sum = suma valorilor incluse în eşantion

Count = volumul esantionului

3.442

0.188

3.3

3.1

0.653

0.426

0.556

0.882

2.3

2.5

4.8

41.3

12

Conform valorilor calculate au rezultat următoarele valori:


- abaterea medie pătratică a nivelului de CO din aer, pentru cele 12 zile = 0.653;

- dispersia nivelului de CO din aer, pentru cele 12 zile = 0.426.

b) există suficiente dovezi pentru a respinge ipoteza ecologistului?

𝐻0: 𝜇 = 4.9 , ipoteza nulă

𝐻1:𝜇 > 4.9, ipoteza alternativă

Regiunea critică se calculează după următoarea formulă:

𝑡 =𝑥 −𝜇

𝑆𝑥 / 𝑛 =>

3.442−4.9

0.653/ 12=

−1.458

0.653/3.46= −1.458 ∗ 5.30 = −7.725

Nu există specificată în problema pragului de semnificaţie însă valorile acestuia pentru testul unilateral

de dreapta (TUD) sunt pozitive, prin urmare se respinge ipoteza ecologistului întrucât t< 0.

7. 7 experti îşi exprimă opiniile privind preţul unui produs, în anul viitor. Rezultatele anchetei sunt exprimate

de indicatorii sintetici: 𝑥 = 5.8 mii lei, s = 1.72 mii lei. ( 𝑠2 = (𝑥𝑖−𝑥 )2

𝑛−1) , deoarece este un eşantion de

volum redus). Dacă se ştie că anul acesta preţul mediu a fost de 3.54 mii lei, sunt motive suficiente pentru

a susţine ipoteza că anul viitor preţul mediu va fi semnificativ mai mare faţă de cel de anul acesta? Se va

utiliza o probabilitate de 95% de garantare a rezultatelor.

Rezolvare:

𝑥 = 5.8 mii lei;

s = 1.72 mii lei

n = 7

𝜇0 = 3.54




𝐻1: 𝜇 > 3.54 , ipoteza alternativă.



formulă:

𝑡 =𝑥 −𝜇0

𝑠𝑥 =


𝑛

, unde 𝑠𝑥2 =

(𝑥𝑖−𝑥 )2

𝑛−1


𝑠𝑥

𝑛

> 𝑡𝛼,𝑛−1

𝑡 =5.8−3.54

1.72

7

=2.261.72

2.65

= 2.26 ∗2.65

1.72= 3.48

𝑡0.05,6 = 1.943

𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑡 > 𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐 => se respinge 𝐻0 şi se acceptă 𝐻1 . Cu o probabilitate de 95%, rezultă că sunt


că anul viitor preţul mediu va fi semnificativ mai mare faţă de cel de anul acesta de 3.54 u.m..

8. Managerul unei firme ce oferă servicii de curierat rapid susţine că timpul său mediu de expediere, într-un

anumit perimetru, este mai mic de 6 ore. Pentru verificarea acestei afirmaţii, a fost considerat un eşantion

aleator de 10 expedieri ale unor pachete, pentru care s-au înregistrat timpii necesari pentru expedierea

acestora la destinaţie (ore): 7; 3; 4; 6; 10; 5; 6; 4; 3; 8. Există suficiente dovezi pentru a susţine afirmaţia

managerului, pentru un nivel de semnificatie de 5%?

Rezolvare:



𝐻1: 𝜇 < 6 , ipoteza alternativă.


Acesta reprezintă un test unilateral de stânga (TUS) iar testul statistic calculat este dat de următoarea

formulă:

𝑡 =𝑥 −𝜇0

𝑠𝑥 =


𝑛

, unde 𝑠𝑥2 =

(𝑥𝑖−𝑥 )2

𝑛−1

Regiunea critică este dată de: 𝑅𝑐 : 𝑡 < −𝑡𝛼 ,𝑛−1


𝑆𝑥 < −𝑡𝛼 ,𝑛−1


𝑥 =7+3+4+6+10+5+6+4+3+8

10=

56

10= 5.6 ℎ

𝜇0 = 6 ℎ

𝑠2 = (𝑥𝑖−𝑥 )2

𝑛−1=

(7−5.6)2+(3−5.6)2+ 4−5.6 2+(6−5.6)2+(10−5.6)2+(5−5.6)2+(6−5.6)2+(4−5.6)2+(3−5.6)2+(8−5.6)2

10−1=

1.96+6.76+2.56+0.16+19.36+0.36+0.16+2.56+6.76+5.76

9=

46.40

9= 5.16

𝑠 = 5.16 = 2.27

𝑡 =5.6−6

2.27

10

=−0.42.27

3.16

= −0.4 ∗3.16

2.27= −0.557

𝑡0.05,9 = 1.833

𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑡 > −𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐 => se respinge 𝐻1şi se acceptă 𝐻0 . Cu o probabilitate de 95%, rezultă că sunt

suficiente dovezi pentru a respinge ipoteza alternativă 𝐻1 şi pentru a accepta ipoteza nulă 𝐻0 , prin aceea

că timpul său mediu de expediere, într-un anumit perimetru, nu este mai mic de 6 ore.

9. Un specialist afirmă că persoanele care manânca cereale la micul dejun vor consuma la masa de prânz,

în medie, mai puţine calorii ca aceia care nu manâncă cereale la micul dejun. Pentru a testa această

afirmaţie, au fost selectaţi aleator 30 de persoane şi au fost întrebate ce manânca în mod regulat la micul

dejun şi la masa de prânz. Fiecare persoană a fost identificată că un consumator sau nonconsumator de

cereale la micul dejun şi fiecărei persoane i-au fost calculate numărul de calorii consumate la masa de

prânz. Rezultatele obţinute sunt următoarele:

Consumatori de cereale: 640, 605, 529, 591, 596, 564, 615, 560, 635, 623 (calorii)

Nonconsumatori de cereale: 502, 703, 735, 707, 523, 534, 768, 626, 620, 589, 736, 565, 686, 529, 632,

951, 744, 632, 593, 847 (calorii)

Se poate spune cu un nivel de semnificatie de 5% că specialistul are dreptate?

Rezolvare:

Aplicaţia a fost rezolvată în excel Data – Data Analysis – t-Test: Two-Sample Assuming Unequal, iar

probabilitatea luată în calcul de 95%. În urma introducerii datelor din cel de-al II- lea rând a rezultat

următorul tablou:

t-Test: Two-Sample Assuming Unequal


Variances

Consumatori de cereale

Nonconsumatori de cereale

Mean 595.8 661.1

Variance 1273.511111 13375.25263

Observations 10 20

Hypothesized Mean Difference 0 df 25 t Stat -2.31433179 P(T<=t) one-tail 0.014576434 t Critical one-tail 1.708140745 P(T<=t) two-tail 0.029152868 t Critical two-tail 2.059538536

Valoarea statisticii t este egală cu -2.314332; valoarea lui p pentru un test unilateral este 0.014576 (pragul

de semnificaţie = 1 = probabilitatea de garantare a rezultatelor) iar valoarea p pentru un test bilateral este

0.029153.

Întrucât valoarea lui p pentru un test unilateral (0.014576) este mică se poate afirma ca aceste date

dovedesc că cei care consumă cereale la micul dejun consumă mai puţine calorii la masa de prânz (se

acceptă ipoteza alternativă că există diferenţe semnificative) cu o probabilitate de 98.54 %.

10. Pe 20 de maşini selectate aleator se instalează un tip de anvelope şi se măsoara numărul de kilometri

parcurşi până la uzura totală a acestora. Apoi pe aceleaşi maşini se instalează un nou tip de anvelope şi se

procedează similar cu cazul anterior. Se poate spune că distanţa medie parcursă cu noul tip de anvelope

diferă semnificativ faţă de cea parcursă cu vechiul tip?

Maşina 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Distanţa parcursă în mii de kilometri cu tipul de

anvelope noi 57 64 102 62 81 87 61 62 74 62


anvelope vechi 48 50 89 56 78 75 50 49 70 66


Maşina 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


anvelope noi 100 90 83 84 86 62 67 40 71 77


anvelope vechi 98 86 78 90 98 58 58 41 61 82

Rezolvare:

Întrucât cele două tipuri de anvelope sunt instalate pe aceleaşi autoturisme, se va testa dacă mediile a

două populaţii dependente sunt egale. Datele sunt cantitative iar obiectivul testului este cel de a compara

numărul de kilometri parcurşi pentru cele două populaţii pereche. Deci ipoteza care trebuie testată este

𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 şi cu ipoteza alternativă 𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2 .

Aplicaţia a fost rezolvată în excel Data – Data Analysis – t-Test: Paired Two Sample for Means, iar

probabilitatea luată în calcul de 95%. În urma introducerii datelor din cel de-al II- lea rând a rezultat

următorul tablou:

t-Test: Paired Two Sample for Means

Distanţa parcursă în

mii de kilometri cu

tipul de anvelope noi

Distanţa parcursă în

mii de kilometri cu

tipul de anvelope

vechi

Mean 73.6 69.05

Variance 242.7789474 316.3657895

Observations 20 20

Pearson Correlation 0.914678935 Hypothesized Mean Difference 0 df 19 t Stat 2.817586929 P(T<=t) one-tail 0.005496978 t Critical one-tail 1.729132792 P(T<=t) two-tail 0.010993955 t Critical two-tail 2.09302405


Valoarea testului este 2.81759. Întrucât avem un test bilateral, valoarea lui p este 0.010993, iar valoarea

critică este 2.093024. Deoarece valoarea lui p este mică, se respinge ipoteza nulă conform căreia cele

două medii au valori egale, astfel se poate afirma ca anvelopele de tip nou sunt mai bune ca cele de tip

vechi.

11.O companie doreşte să introducă o nouă metodă de realizare a unui produs. Se selecteaza 50 de

produse pentru care se înregistreaza timpii de realizare cu vechea metodă şi 50 de produse pentru nouă

metodă. Rezultatele sunt ( serie perfect simetrica):

Metoda actuală Noua metodă

𝑛1 = 50 𝑛2 = 30

𝑠1 = 3.7min 𝑠2 = 3.1min

𝑥1 = 27.3min 𝑥2 = 25.4min

Să se determine, utilizând o probabilitate de 95%, dacă rezultatele oferă suficiente informaţii pentru a

indica faptul că noua metodă duce la un consum de timp semnificativ mai mic.

Rezolvare:

Se doreşte verificarea afirmaţiei prin care timpii de realizare au scăzut ca urmare a utilizării a noii metode

(𝜇2 < 𝜇1), astfel se va efectua un test unilateral la dreapta (TUD):

𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 (𝜇2 − 𝜇1 = 0),

𝐻1: 𝜇1 > 𝜇2 (𝜇2 − 𝜇1 > 0),

Pentru un prag de semnificaţie 𝛼 = 0.05 (probabilitatea de garantare a rezultatelor (1-𝛼)100 = 95%,

𝑧𝛼 = 1.645

Presupunând că cele două eşantioane (înainte de noua metodă şi după noua metodă) sunt independente,

se va calcula testul z:

𝑧 = 𝑥1 −𝑥2 −0

𝜎(𝑥1 −𝑥2 )=

𝑥1 −𝑥2

𝜎𝑥1

2

𝑛1+

𝜎𝑥22

𝑛2

=𝑥1 −𝑥2

𝑠𝑥1

2

𝑛1+

𝑠𝑥22

𝑛2

=27.3−25.4

3.72

50+

3.12

30

=1.9

0.27+0.32=

1.9

0.59=

1.9

0.77= 2.47

Regiunea critică este dată de: 𝑅𝑐 : 𝑧 > 𝑧𝛼


Cum 𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑡 (2.47) > 𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐 (1.645) => Cu o probabilitate de 95%, rezultă că sunt suficiente dovezi

pentru a respinge ipoteza nulă şi de a accepta ipoteza alternativă, prin aceea că noua metodă duce la un

consum de timp semnificativ mai mic faţă de vechea metodă.

12.Un producător de jucării electronice doreşte să verifice dacă procentul jucariilor defecte este mai mic

de 14%. Presupunem ca sunt selectate aleator 100 de jucării, fiecare dintre acestea este testată şi sunt

găsite 12 jucării defecte. Oferă aceste informaţii suficiente dovezi ca procentul jucăriilor defecte este mai

mic de 14%. Utilizaţi o probabilitate de 99% de garantare a rezultatelor.

Rezolvare:

Ipotezele pentru această aplicaţie sunt:

𝐻0: 𝑝 = 0.14 - ipoteza nulă;

𝐻1:𝑝 < 0.14 – ipoteza alternativă.

Acesta reprezintă un test unilateral de stânga (TUS) iar testul statistic pentru proporţia p este dat de

următoarea formulă:

𝑧 =𝑓−𝑝0

𝑝(1−𝑝

𝑛)≈

𝑓−𝑝0

𝑓(1−𝑓)/𝑛

Regiunea critică este dată de:

𝑧 < −𝑧𝛼

Testul statistic este:

𝑧 =𝑓−𝑝0

𝑓(1−𝑓)/𝑛=

0.12−0.14

0.12∗0.88/100=

−0.02

0.001056=

−0.02

0.032= −0.625

𝑓 =12

100= 0.12

P = 99% => 𝛼=0.01

𝑧𝛼 = 𝑧0.01 = 2.326

Cum 𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑡 −0.625 > −𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐 −2.326 =>că nu ne aflăm în regiunea critică (𝑅𝑐) . Cu o

probabilitate de 99%, rezultă că nu avem suficiente dovezi să respingem ipoteza nulă, deci procentul

defectelor din 100 de jucării nu este mai mic de 14%.

13. Un post de radio promovează un grup muzical aflat în mare vogă. În trecut 60% dintre ascultătorii

postului de radio declaraseră că le-au plăcut grupurile muzicale promovate de acest post. Dintr-un eşantion

de 100 de ascultători, 56 au declarat că le place grupul recent promovat. Pentru un nivel de semnificaţie de


0.05, testaţi ipoteza conform căreia nu există diferenţe semnificative între preferinţele ascultătorilor din

trecut şi prezent.

Rezolvare:

Ipotezele pentru această aplicaţie sunt:

𝐻0: 𝑝 = 0.60 - ipoteza nulă;

𝐻1:𝑝 ≠ 0.60 – ipoteza alternativă.

Acesta reprezintă un test bilateral iar testul statistic pentru proporţia p este dat de următoarea formulă:

𝑧 =𝑓−𝑝0

𝑝(1−𝑝

𝑛)≈

𝑓−𝑝0

𝑓(1−𝑓)/𝑛

Regiunea critică este dată de:

𝑧 < −𝑧𝛼/2 sau 𝑧 > 𝑧𝛼/2

Testul statistic este:

𝑧 =𝑓−𝑝0

𝑓(1−𝑓)/𝑛=

0.56−0.60

0.56∗0.44/100=

−0.04

0.0024=

−0.04

0.05= −0.80

𝑓 =56

100= 0.56

𝛼=0.05

𝑧𝛼/2 = 𝑧0.05/2 = 𝑧0.025 = 1.960

Cum 𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑡 −0.80 > −𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐 −1.960 => că nu ne aflăm în regiunea critică ( 𝑅𝑐) . Cu o

probabilitate de 95%, rezultă că nu avem suficiente dovezi să respingem ipoteza nulă, deci există diferenţe

semnificative între preferinţele ascultătorilor din trecut şi prezent.

14. În depozitul unui magazin en-gros, de tip cash&carry sunt depozitaţi saci de cartofi de 50 kg şi saci de

ceapă de 100 kg. Atmosfera magaziei este controlată pentru a împiedica pierderea greutăţii prin

deshidratare. Se presupune că greutatea unui sac este o variabilă aleatoare cu distribuţie normală. Să se

verifice ipotezele conform cărora dispersiile celor două eşantioane sunt egale, pentru un nivel de

semnificatie de 5%.

F - Test Two - Sample for Variances

saci cartofi saci ceapă

Mean 49.48333333 33.83333333


Standard Deviation 1.1 108.1666667

Observations 6 6

F 98.33

df 5 5

F Critical one-tail 5.05

Rezolvare:

Din tabel, abaterea medie pătratică cunoaşte următoarele valori:

𝑠1 = 1.1 , sacii de cartofi;

𝑠2 = 108.167, sacii de ceapă

𝛼 = 0.05

Ipotezele statistice sunt:

𝐻0:𝜎1

2

𝜎22 = 1 , ipoteza nulă;

𝐻1:𝜎1

2

𝜎22 ≠ 1 , ipoteza alternativă.

Testul statistic cunoaşte următoarea valoare:

𝐹 =𝑆2

2

𝑆12 =

108.1666667

1.1= 98.333

𝐹𝛼

2,𝑛1−1,𝑛2−1 = 𝐹0.025 ,49,99 = 1.96

𝐹1−𝛼

2,𝑛1−1,𝑛2−1

= 𝐹0.975,49,99 = 1.96

Cum 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑡 > 𝐹1−𝛼

2,𝑛1−1,𝑛2−1

=> ipoteza nulă este respinsă (aceea că raportul dintre cele două

dispersii este egal cu 1) şi se acceptă ipoteza alternativă. Cu o probabilitate de 95%, se acceptă ipoteza

conform căreia greutatea unui sac este o variabilă aleatoare cu distribuţie normală.

Tema Nr 1_econometrie

Documents

Transcript of Tema Nr 1_econometrie