Tema 8 - Analiză - clasa a 12-a.pdf

Tema 8 - Analiză – clasa a 12-a

1


1) Calculați primitivele funcțiilor:

a) ( ) ;

b) ( )

( );

c) ( ) √

;

d) ( ) ;

e) ( )

;

f) ( )

(

);

g) ( ) ( );

h) ( ) ;

i) ( )

;

j) ( )

;

k) ( )

√ ( );

l) ( )

;

m) ( ) ( ).


a) ( ) ;

b) ( )

√ ( );

c) ( )

;

d) ( ) ( );

e) ( ) ( )√ ( );

f) ( )

(

);

g) ( )

(√ );

h) ( ) √ ( );

i) ( )

;

j) ( ) (

);

k) ( )

( )( ) ( );

l) ( )

√ ( );

m) ( ) √ √

√ ( ).


a) ( )

( );

b) ( )

( ) ( );

c) ( )

( )( ) ( );

d) ( )

( );

e) ( )

;

f) ( )

.

4) Calculați:

a) (

) ;

b) ( )

;

c) (

√ √

) ;

d) ( ) ;

e) ( ) ;

f) (

√

√ ) ;

g) (

) ;

h) (

) ;

i)

;

j) (

√ ) ;

k) (

) ;

l)

;

m)

;

n) √ √

√ ;

o) ( ) ;

p) (

√ ) ;

q)

;

r)

( )( ) ;

s) √

;

t)

;

u)

;

v) (

)

;

w) ;

x) ;

y) ;

z)

.

5) Calculați:

a) √ ;

b) √ ;

c) √ , ( );


2

d) √ , ;

e)

;

f)

;

g)

;

h)

;

i)

;

j)

√ ;

k) ;

l)

;

m)

√ ;

n) ;

o) ;

p) ;

q)

;

r) ;

s)

;

t)

( ) ;

u)

√ ( ) ;

v)

, ;

w)

( ) ( );

x) ;

y) ( ) ;

z) .

6) Cakculați:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) ;

g)

;

h)

;

i)

;

j)

;

k)

(

);

l)

;

m)

, (

);

n)

√ ;

o)

;

p)

;

q)

;

r)

;

s) ( ) ( ) ;

t) ( ) ;

u) ( ) ;

v) ;

w) ;

x) √ ;

y) √

√ ;

z)

;

7) Calculați:

a) √ ;

b) √ ;

c)

√

d)

√

e)

√ , ( );

f) √ ;

g) √ ;

h) √ ;

i) √ , ( );

j) ;

k) ;

l)

√ ;

m)

√ ;

n)

√ ;

o) ;

p) ( ) ;

q)

;

r)

( ) ;

s)

( ) , ( );


3

t)

;

u)

;

v)

;

w)

;

x)

;

y)

√ , ( );

z) ;

8) Calculați:

a)

, (

);

b)

, (

);

c) ( ) ;

d)

, ;

e) ( ) ;

f) ( ) ;

g)

;

h)

;

i)

√ ;

j)

;

k)

, (

);

l)

, (

).

9) Fie , ( ) {

. Arătați

că admite primitive și determinați

primitiva cu proprietatea ( ) .

10) Se consideră funcția , ( )

{

( ]

( )

. Să se demonstreze că

admite primitive și să se afle o primitivă a sa.

11) Fie funcțiile ( ) , ( )

( )( ) și ( ) ( )

( ) . Să se determine

, astfel încât să fie o primitivă a

funcției . Apoi să se calculeze ( )

.

12) Fie , ( ) { √

.

Arătați că admite primitive pe și

determinați primitiva al cărei grafic

conține punctul ( ).

13) Se consideră funcțiile [ ] ,

( )

( )√ , ( )

√

. Să

se determine pentru care este o

primitivă a lui . Apoi să se calculeze

( )

.

14) Calculați:

a) ∫

;

b) ∫

√

;

c) ∫

;

d) ∫

√

;

e) ( )

;

f) ∫

;

g) ∫

;

h) ∫ √

;

i) ∫ √

;

j)

;

k)

;

l) ∫

;

m)

;

n) ∫

;

o) ∫

;

p) ∫

( )

;

q) ∫

√

;

r) ( )

;

s) ∫

√

.


4

15) Calculați:

a) ∫

;

b) ∫

;

c) ∫

;

d) ∫ √

;

e) ∫ √

;

f) ∫ √

;

g) ∫ √

;

h) ∫

√

;

i) ∫

√

;

j) ∫

√

;

k) ∫

( )

;

l) ∫

;

m) ∫

;

n)

;

o)

;

p)

;

q)

;

r)

.

16) Fie funcția , ( )

.

a) Să se arate că funcția ,

( )

( ) este o

primitivă a lui .

b) Să se calculeze ( )

.

17) Se consideră șirul ( ) definit prin

∫

, .

a) Să se calculeze .

b) Să se calculeze .

c) Să se arate că

,

.

d) Să se arate că șirul este convergent și să

se calculeze

.

e) Să se calculeze

.

18) Să se calculeze limitele șirurilor:

a)

;

b)

1

022

n

k

nkn

na ;

c)

n

k

nkn

na1

2

1;

d)

√

√

√ .

19) Să se determine aria regiunii cuprinse între

graficele funcțiilor definite prin ( ) și

( ) .

20) Să se determine aria mulțimii :

a) ( ) √

√ [ ];

b) ( )

( ) [ ].

21) Să se determine aria regiunii cuprinse între

graficul funcției și axa :

a) ( ) [ ];

b) ( ) ;

c) ( ) [ ].

22) Calculați [ ]

, unde [ ] este partea

întreagă a numărului .

23) Să se calculeze volumele corpurilor de

rotație determinate de funcțiile:

a) ( ) [ ];

b) ( ) [

] ;

c) ( ) [ ]

24) Fie ∫

. Să se arate că:

a) +

;

b) șirul ( ) este descrescător;

c)

( )

;

d)

( ) .


5

25) Să se calculeze derivata funcției ( )

∫ √

, .

26) Fie ( ) ( ), ( ) .

Să se arate că este bijectivă și să se

calculeze ( )

.

27) Fie , ( ) .

Știind că este inversabilă, să se calculeze

( )

.

28) Să se arate că ∫

∫

.

29) Să se calculeze ( ):

a) ( )

;

b) ( ) ∫ √

.

30) Arătați că ∫

[ ].

31) Să se determine intervalele de monotonie și

punctele de extrem pentru funcția

, ( ) ∫ ( )√

.

32) Calculați:

a)

∫

;

b)

∫ √

;

c)

;

d)

;

e)

∫

.

33) Fie [ ) , ( ) {

.

a) Să se arate că funcția are primitive pe

[ ).


.

c) Să se arate că .

d) Să se arate că ( )

.

34) Fie [

] , ( ) .

a) Să se calculeze aria suprafeței cuprinse

între graficul funcției și axele de

coordonate.

b) Să se calculeze volumul corpului obținut

prin rotirea graficului funcției în jurul

axei .

c) Să se calculeze

( (

√ )) ( (

) (

)

(

)).


| | , .

a) Arătați că funcția are primitive strict

crescătoare pe , oricare ar fi .


,.

c) Să se calculeze

( )

.

36) Se consideră funcția ( ) ,

( )

√ .

a) Să se arate că orice primitivă a funcției

este crescătoare pe [ ).

b) Să se arate că funcția ( ) ,

( ) √ ( ) este o primitivă a

funcției .

c) Să se calculeze aria suprafeței plane

cuprinse între graficul funcției , axa

și dreptele de ecuații

și .


.

a) Să se arate că funcția ,

( ) √

(

√ ) este o primitivă

a funcției .

b) Să se calculeze aria suprafeței delimitate

de dreptele , , axa și de

graficul funcției , ( )

( ) ( ).

c) Să se calculeze

( )

.

38) Se consideră funcțiile [ ] ,

( ) și [ ] , ( )

, unde .

a) Arătați că funcția [ ] ,

( ) ( ) ( ) este o

primitivă a funcției .


6

b) Demonstrați că șirul ( ) , dat de

( )

, are limita 0.

c) Verificați că ( ) ( )

( ) ( )

, oricare

ar fi .

39) Se consideră funcțiile [

] ,

( )

, .

a) Să se calculeze ∫

( )

.


.

c) Să se arate că, dacă este o primitivă a

funcției , atunci

( ) ( ( )) , [

].

d) Să se arate că ( )

.

40) Fie funcția , ( )

.

a) Să se determine o primitivă a restricției

funcției la intervalul [ ).

b) Să se demonstreze că orice primitivă a

funcției este strict crescătoare.

c) Să se calculeze ( )

.

d) Să se calculeze

( )

.

41) Se consideră șirul ( ) ,

.


b) Să se arate că șirul ( ) este

monoton.

c) Să se arate că șirul ( ) este

convergent.

d) Să se demonstreze că

( ) , .

42) Fie șirul ( ) definit prin

.



convergent.

c) Să se calculeze

.

43) Fie șirul ( ) definit prin

.


b) Să se arate că șirul ( ) este mărginit.

c) Să se arate că șirul ( ) este

monoton.

d) Să se calculeze

.

44) Se consideră șirul ( ) . ∫

,

.


b) Să se arate că

, .

c) Să se calculeze

.

45) Se consideră șirul ( ) , definit prin

și

, .


b) Să se calculeze .

c) Să se calculeze .

d) Să se arate că șirul ( ) este

descrescător.

e) Să se arate că șirul ( ) este

convergent.

f) Să se arate că ( ) ,

.

g) Să se calculeze

.

h) Să se arate că

, , .

46) Se consideră funcțiile , ( )

, , ( ) ( )

și șirul

( ) , ( )

, .

a) Să se calculeze ( )

.


convergent.

c) Calculați derivata funcției .

47) Se consideră șirul ( ) , ∫

,

.


b) Să se arate că

, .

c) Să se calculeze

.


7

48) Fie ∫

, .

a) Calculați .

b) Arătați că șirul ( ) este monoton și

mărginit.

c) Calculați

.

49) Fie ∫ √

și

∫ √

, .

a) Calculați și .

b) Arătați că șirul ( ) este convergent.

c) Calculați

.

50) Fie ( ) , ( ) (

) .

a) Calculați (√

).

b) Calculați ( ).

c) Calculați ( ) √

.

51) Să se arate că ( )

( )

.

52) Se consideră și funcțiile ,

( )

( )√ , ( )

√ .

a) Să se arate că este o primitivă a lui .

b) Pentru , să se determine aria

suprafeței plane cuprinse între graficul

funcției , axa și dreptele și

.

c) Să se determine , astfel încât

( )

( )

.

53) Se consideră funcția ( )

.


.

b) Să se calculeze ( ( ) )

.

c) Admițând că funcția este bijectivă, să

se calculeze ( )

.

54) Se consideră funcția [ ) ,

( )

( )( ).

a) Să se calculeze ( ) ( )

.

b) Să se arate că ( )

( )

,

.

c) Să se calculeze

( )

.

55) Se consideră funcția [

] ,

( ) .

a) Arătați că există numerele reale ,

astfel încât funcția [

] ,

( ) ( ) să fie

o primitivă a funcției .

b) Calculați ∫ (

)

.

c) Calculați aria suprafeței plane cuprinse

între graficul funcției și graficul funcției

[

] , ( ) .

56) Fie ( )

, .

a) Să se calculeze și .

b) Să se demonstreze că șirul ( ) este

convergent.

c) Să se arate că , .

d) Să se calculeze

.

e) Să se calculeze

.

57) Fie

și

, , .

a) Calculați și .


monoton și mărginit.

c) Să se calculeze

.

58) Fie ( )

, , .




c) Să se calculeze

.

59) Fie ( ) √

, .

a) Calculați și .



c) Calculați

.


8

60) Fie funcția [ ) , ( )

( )( )

.

a) Determinați o primitivă a funcției .

b) Demonstrați că ( )

,

[ ).

c) Calculați ∫

.

61) Fie șirul ( ) , definit prin

∫ ( )

, oricare ar fi .

a) Determinați .

b) Arătați că șirul ( ) este strict

descrescător.

c) Arătați că ( ) , ( ).

d) Calculați

.

62) Fie funcția [ ] , ( ) .

a) Să se arate că funcția [ ] ,

( ) ( ) are primitive, iar acestea

sunt strict crescătoare.


.

c) Să se arate că ( )

.

d) Să se determine aria regiunii din plan

cuprinse între graficul funcției , axa

și dreptele de ecuații și .

63) Se consideră funcțiile , ( )

și , ( )

( )

.

a) Să se arate că funcția este strict

crescătoare pe .

b) Să se arate că funcția este bijectivă.


, unde

.


( ). Să se calculeze

( )

.

65) Fie , ( )

și [ )

, ( ) ( )

.


.

b) Să se demonstreze că funcția este

strict crescătoare.

c) Să se determine

( ).

d) Să se determine

( )

.

66) Fie

, .

a) Calculați .

b) Arătați că

( ) , .

c) Calculați

.


.


.

b) Să se determine

( )

.

c) Să se demonstreze că ( )

.

68) Fie funcțiile ( ) , ( )

și

( ) ( )

.

a) Calculați ( ) ( )

.

b) Calculați ( )

.

c) Arătați că ( )

( )

.

69) Fie

, .



convergent.

c) Să se calculeze

.

70) Fie , ( ) și ( )

( )

.

a) Să se arate că funcția este strict

crescătoare.

b) Să se determine punctele de inflexiune

ale graficului funcției .


.

d) Să se calculeze ( )

.

e) Să se demonstreze că șirul ( ( ))

este convergent.

71) Fie

, .


9

a) Să se calculeze

b) Să se arate că

, .

c) Să se calculeze

.

d) Să se calculeze

.

72) Fie

, .

a) Să se calculeze și .


convergent.

c) Să se arate că ( ) ,

.

d) Să se calculeze

.

Tema 8 - Analiză - clasa a 12-a.pdf

Documents

Transcript of Tema 8 - Analiză - clasa a 12-a.pdf