TEMA 6. IMPACTUL FACTORULUI TIMP ASUPRA PROCESULUI INVESTIŢIONAL. TEHNICA ACTUALIZĂRII. METODE DINAMICE DE EVALUARE FINANCIARĂ A INVESTIŢIILOR

1. Semnificaţia factorului timp în procesul investiţional. Procesele compunerii şi

actualizării

1.1 Valoarea viitoare1.2. Valoarea prezentă1.3. Perioade de compunere mai mici decât un an

2. Noţiunea de anuitate. Valoarea viitoare şi valoarea prezentă a unei anuităţi

2.1.Valoarea viitoare a unei anuităţi ordinare2.2. Valoarea viitoare a unei anuităţi speciale (cuvenite)2.3. Valoarea prezentă a unei anuităţi ordinare2.4. Valoarea prezentă a unei anuităţi speciale (cuvenite)

1. Semnificaţia factorului timp în procesul investiţional. Procesele compunerii şi

actualizării

Procesul investiţional se desfăşoară într-o îndelungată perioadă de timp.

Odată cu punerea în funcţiune a obiectivului de investiţii, viaţa economică a

acestuia trece într-o nouă fază dominantă de furnizare către societate a rezultatelor

obţinute în urma procesului investiţional, concretizate în produse finite. Ca o

consecinţă imediată a vânzării de produse finite, se obţine profit.

În calculele de eficienţă economică se compară mărimea profitului ce se

scontează a fi obţinut dintr-o acţiune productivă cu fondurile de investiţii necesare.

Trebuie să se ţină cont de faptul că fondurile de investiţii se cheltuiesc într-o

anumită perioadă, iar profitul se obţine într-o altă perioadă. De aici, calculele de

eficienţă economică nu trebuie să aibă un caracter static, adică să nu se făcă

abstracţie de influenţa factorului timp asupra efectelor finale. Or, timpul

acţionează ca un factor distinct. Acţiunea respectivă se cunoaşte sub denumirea de

influenţa factorului timp asupra investiţiilor şi a rezultatelor lor. Analiza, ce ţine

1

cont de influenţa factorului timp asupra investiţiilor, se consideră analiza

dinamică.

Orice decizie investiţională presupune sacrificiul unui consum prezent în

perspectiva unui consum viitor mai sporit.

Deciziile investiţionale pot fi optime numai atunci, când investitorii au

posibilitatea să aprecieze în perioada curentă care sunt implicaţiile viitoare ale

deciziilor luate.

Astfel spus, un investitor trebuie să dispună de posibilitatea de a cuantifica

o decizie din punct de vedere al efectelor ei peste un număr T de perioade de

timp.

Conceptul de valoare prezentă este crucial în teoriile financiare, inclusiv in

cea a finanţelor firmei. Investitorii încredinţează resursele lor acum (în prezent) în

aşteptarea obţinerii unor profituri viitoare.

La evaluarea corectă a veniturilor generate de o investiţie este necesar de a

lua în consideraţie că veniturile se obţin în viitor. Aceste sume monetare trebuiesc

exprimate în termenii valorii prezente pentru a aprecia rentabilitatea investiţiei,

comparându-le cu costul acesteia.

Se ştie că banii au o valoare diferită în timp.

Un flux monetar viitor Fn este întotdeauna considerat ca depreciat în raport

cu un flux prezent F0 de aceeaşi sumă. Această depreciere în viitor ţine de faptul

că o încasare obţinută mai târziu privează beneficiarul de posibilităţile de utilizare

pe care i le-ar permite o încasare imediată. În acelaşi context, inflaţia erodează

puterea de cumpărare a oricărei unităţi monetare în decursul timpului dacă este

păstrată sub formă lichidă (dacă nu este investită).

Astfel, fluxurile de numerar efectuate la diferite date pe scara timpului nu

sunt comparabile direct decât folosind un anumit procedeu ce poartă numele de

tehnica actualizării şi presupune transferarea tuturor valorilor dispersate în timp

la un singur moment, care, de regulă, este cel actual.

Aceasta este una din cele mai importante tehnici folosite în finanţe, de aceea

este absolut vital ca ea să fie înţeleasă în întregime.

2

Una din componentele principale ale analizei valorii în timp a banilor este

axa temporală, care ne permite să vizualizăm în timp ceea ce se petrece într-o

anumită problemă.

Pentru a ilustra conceptul de axă temporală, să luam ca exemplu următoarea

diagramă:

0 1 2 4 53Timp

Figura 1. Axa temporală

Timpul 0 este momentul actual; timpul 1 se află poziţionat la o perioada şi

reprezintă momentul final al perioadei 1 începând de azi; timpul 2 se află

poziţionat la două perioade începând din momentul actual şi reprezintă momentul

final al perioadei 2 şi aşa mai departe.

Astfel, valorile înscrise în diagramă reprezintă valori de sfârşit de perioadă.

De multe ori aceste perioade reprezintă ani, dar ele pot semnifica şi alte intervale

de timp, spre exemplu semestre, trimestre, luni sau chiar zile.

Dacă perioadele considerate sunt ani, atunci intervalul de la 0 la 1 reprezintă

anul 1 şi timpul 1 reprezintă atât sfârşitul anului 1, cît şi începutul anului 2.

Fluxurile de numerar se plasează, de regulă, direct sub numerele care

reprezintă timpul.

Fluxurile de numerar care reprezintă o ieşire de numerar (plăţi, cheltuieli)

(cash outflow) vor avea semnul minus şi invers, intrările de numerar (toate

încasările) (cash inflow) vor avea semnul plus.

Să considerăm următoarea situaţie: are loc o ieşire de numerar în valoare de

1000u.m. în momentul prezent şi doua intrări a câte 1000 u.m., respectiv la

sfârşitul perioadei 1 şi la sfârşitul perioadei 2.

Timp 0 1 2

-1000 +1000 +1000Fluxuri de numerar

3

Figura 2. Ieşiri şi intrări de numerar

Procesul compunerii este un proces aritmetic prin care se ajunge de la

valorile prezente (present value) (VP sau PV) la valorile viitoare («future value»)

(VV sau FV) a unei sume de bani.

Pentru ilustrarea compunerii, presupunem că o sumă de 1 leu este investită

productiv într-un anumit domeniu la începutul unui an. După trecerea primului

an, ca urmare a folosirii ei în procesul de producţie, suma dată va aduce un profit a.

În anul următor, fondul utilizat va fi 1+a, iar rezultatul (1+a)2 ş.a.m.d., astfel

încât după h ani suma de 1 leu devine (1+a)h, adică:

la începutul anului unu avem suma de 1 leu;

la sfârşitul anului unu se obţine: 1+1 x a = (1+a) lei;

la sfârşitul anului doi se obţine: (1+a)+a(1+a)=(1+a)2;

la sfârşitul anului trei se obţine: (1+a)2+a(1+a)2=(1+a)3 lei şi aşa mai departe,

astfel, că după h ani se obţine suma de (1+a)h lei.

În consecinţă, ţinând seama de influenţa factorului timp, vom considera că, o

investiţie de 1 leu va echivala peste h ani nu cu o sumă de 1 leu, ci cu o sumă de

(1+a)h lei.

Expresia (1+a)h poartă denumirea de factor de fructificare sau factor de

compunere (FC).

Factorul de compunere (FC) se foloseşte la aducerea în prezent a unor

sume investite în trecut sau la transferarea în viitor a sumelor investite în

prezent, mărind aceste sume, deoarece acest factor întotdeauna este mai mare ca

unu.

În ceea ce priveşte simbolul „a”, acesta reprezintă eficienţa anuală a sumei

unitare cheltuite; el corespunde eficienţei medii obţinute la obiective similare, din

ramura sau subramura unde se cheltuieşte suma respectivă.

În literatura de specialitate simbolul „a” este denumit coeficient de

actualizare (rata de actualizare). Semnificaţia economică a coeficientului de

4

actualizare este următoarea: el reprezintă profitul ce poate fi obţinut într-un an ca

urmare a sumei de un leu investite productiv la începutul acelui an. Mărimea lui

decurge din proprietatea fundamentală a oricărui proces economic: ca în urma

desfăşurării unei activităţi productive, rezultatul să compenseze integral resursele

consumate şi pe deasupra să se obţină un profit pentru societate şi pentru agentul

economic care a desfăşurat activitatea respectivă.

Specialiştii estimează că, în condiţii normale, mărimea acestui coeficient, pe

ansamblul economiei naţionale, poate fi de 0,15 sau 15% (cu diferenţieri de ţară,

ramură, subramură etc.). În cazurile în care se apreciază că în perioadele următoare

va interveni o inflaţie pe piaţa internă sau internaţională, o sporire considerabilă a

dobânzilor la capital sau când investiţiile se efectuează în condiţii de risc accentuat,

mărimea coeficientului de actualizare trebuie să ţină cont de rata inflaţiei, rata

dobânzii, coeficientul de risc şi eficienţa medie din domeniul de activitate, unde se

realizează investiţia. În consecinţă, pentru determinarea coeficientului de

actualizare a vom avea:

a = f (ri; rd; rr; e;), în care

ri – rata inflaţiei;

rd – rata dobânzii;

rr – rata de risc investiţional;

e - eficienţa medie.

1.1. Valoarea viitoare (VV)

Aşa dar, generalizând cele enunţate anterior, obţinem următoarele:

VV VP ah 1 (1.1)

unde:

VV- valoarea viitoare a unei sume,

VP - valoarea prezentă a unei sume,

1 ah - factorul de compunere (FC).

5

Pentru a ilustra acest lucru să presupunem, că 1000 u.m. sunt investite într-o

afacere la o rată a dobânzii de 8% anual.

Care va fi suma ce se va obţine peste 5 ani?

Vom folosi în acest caz relaţia (1.1).

Conform acesteia:

VV VP a1 1 ( ) ;

VV VV a VP a a VP a2 121 1 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ş.a.m.d.

Continuând acelaşi raţionament, se poate conchide că:

VV VP a551 ( ) .

Rezultatele determinării VV5 sunt prezentate în tabelul 1.

Tabelul 1

Calcularea VV, aplicînd dobânda compusă (1+a)

Perioadă (h)

Valoarea sumei la începutul perioadei (u.m.)

1+a Valoarea sumei la sfârşitul perioadei (u.m.)

1 2 3 4

1 1000 1.08 10802 1080 1.08 1166.43 1166.4 1.08 1259.714 1259.71 1.08 1360.495 21360.49 1.08 1469.33

Astfel: VV551000 1 0 08 1469 33 ( , ) ,

Acest exemplu poate fi ilustrat folosind axa temporală:

Valoarea viitoare a unei sume prezente indică valoarea pe care o va avea

această sumă în viitor datorită creşterii ei pe seama ratei dobânzii.

Valoarea

investitiei rafică (fig. că (fig. nr.ruValoarea sumei

la sf.fiecarei

perioade

Timp

-1000

1080

0 1 2 3 4 5

VV1 VV2 VV3 VV4 VV5

1166,4 1259,71 1360,49 1469,33

8%

6

Factorul de compunere sau de fructificare poate fi calculat cu ajutorul

oricărui calculator simplu. Însă pentru majoritatea valorilor posibile ale lui a şi ale

lui h au fost elaborate tabele speciale.

Utilizarea tabelelor cu factori de compunere are loc astfel: să presupunem,

că dorim să aflăm factorul de compunere pentru o rată a dobânzii de 10% pentru 20

ani, adică FC10%,20 .

Din tabelele speciale se găseşte numărul corespunzător acestor date - 6,7275.

Tabel cu factori de compunere FCa,h =(1+a)h

(Varianta prescurtată a tabelului)1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 1.010 1.020 1.030 1.040 1.050 1.060 1.070 1.080 1.090 1.1002 1.020 1.040 1.061 1.082 1.102 1.124 1.145 1.166 1.188 1.2103 1.030 1.061 1.093 1.125 1.158 1.191 1.225 1.260 1.295 1.3314 1.041 1.082 1.126 1.170 1.216 1.262 1.311 1.360 1.412 1.4645 1.051 1.104 1.159 1.217 1.276 1.338 1.403 1.469 1.539 1.611

6 1.062 1.126 1.194 1.265 1.340 1.419 1.501 1.587 1.677 1.772

7 1.072 1.149 1.230 1.316 1.407 1.504 1.606 1.714 1.828 1.9498 1.083 1.172 1.267 1.369 1.477 1.594 1.718 1.851 1.993 2.1449 1.094 1.195 1.305 1.423 1.551 1.689 1.838 1.999 2.172 2.358

10 1.105 1.219 1.344 1.480 1.629 1.791 1.967 Z159 2.367 2.594

11 1.116 1.243 1.384 1.539 1.710 1.898 2.105 2.332 2.580 2.853

12 1.127 1.268 1.426 1.601 1.796 2012 2.252 2.518 2.813 3.13813 1.138 1.294 1.469 1.665 1.886 2.133 2.410 2.720 3.066 3.45214 1.149 1.319 1.513 1.732 1.980 2.261 2.579 2.937 3.342 3.79715 1.161 1.346 1.558 1.801 2.079 2.397 2.759 3.172 3.642 4.177

16 1.173 1.373 1.605 1.873 2.183 2.540 2.952 3.426 3.970 4.595

17 1.184 1.400 1.653 1.948 2.292 2.693 3.159 3.700 4.328 5.05418 1.1% 1.428 1.702 2.026 2.407 2.854 3.380 3.996 4.717 5.56019 1.208 1.457 1.753 2.107 2.527 3.026 3.616 4.316 5.142 6.11620 1.220 1.486 1.806 2.191 2.653 3.207 3.870 4.661 5.604 6.7275

Astfel, ecuaţia (1.1) se poate scrie, utilizând factorul de compunere, după

cum urmează:

VV VP FCa h * , (1.1a)

Prin substituţie se obţine: VV FC 1000 1000 6 7275 6727 510%,20$ $* * . . .

Astfel, valoarea viitoare a sumei de 1000 u.m. investită pe 20 de ani la o rată a

dobânzii de 10% pe an este de 6725,5 u.m.

1.2. Valoarea prezentă (VP)

7

Dacă se cunoaşte, că 1 leu investit în prezent devine peste h ani (1+a)h,

atunci, care va fi valoarea actuală a 1-i leu ce se va obţine în anul h? (sau „cît să

investim acum, ca să obţinem 1 leu peste h ani”?).

Aceasta valoare va fi 11( ) a h , şi va reprezenta factorul de actualizare (FA).

Factorul de actualizare se foloseşte la aducerea în prezent a unor sume ce

se vor realiza în viitor, micşorând aceste sume, deoarece acest factor întotdeauna

este mai mic ca unu.

Deci, factorul de actualizare (FA) este folosit la aducerea din viitor în

prezent a unei sume de 1 leu.

Dar dacă se investesc X lei?

Dacă se notează cu Y suma totală cumulată peste h ani a X lei investiţi în

prezent, atunci vom avea Y = X x (1+a)h, de unde:

X = Y 11( ) a h , în care:

X reprezintă valoarea actuală a Y lei obţinuţi în anul h.

Valoarea prezentă - VP (present value) este valoarea de astăzi a unei plăţi

(încasări) sau a unor serii de plăţi (încasări) viitoare actualizate cu o rată de

actualizare corespunzătoare. Astfel spus, valoarea prezentă a unui flux de numerar,

plătibil după h ani în viitor, este reprezentată de suma care, dacă ar fi disponibilă

în momentul prezent va creşte, astfel încît să atingă valoarea respectivă în viitor.

Găsirea valorii prezente a unui flux de numerar viitor, procedeu numit

actualizare («discounting») – este, pur şi simplu, inversul operaţiei de

compunere.

Pentru a determina ecuaţia de actualizare vom porni de la ecuaţiile:

(1.1) şi (1.1a) , adică : VV VP a VP FCha h ( ) * ,1

ecuaţie, care poate fi rezolvată ca necunoscută VP, şi poate fi scrisă în următoarele

forme echivalente:

VPVV

aVV

aVV FAh h a h

( )*

( )* ;1

1

1 (1.2)

8

Să ilustrăm acestea printr-un exemplu, în care dorim să determinăm

valoarea prezentă a 1000 u.m. primite peste 5 ani, dacă rata de actualizare este de

5% anual.

Utilizând axa temporală, putem reprezenta astfel cele de mai sus:

0 1 2 3 4 5

VP786,53$

VV1000$

5%Timp

Trebuie de menţionat, că şi pentru factorul de actualizare (FA) există tabele

care dau valorile acestora pentru diferite rate de actualizare şi diferite perioade de

timp, ceea ce uşurează mult calculele. Astfel, din aceste tabele se poate extrage

valoare (FA) pentru a = 5% şi h = 5 care este de 0,783526.

Tabel cu factori de actualizare (discontare) FA a,h= 1/(1+a)h

(Varianta prescurtată a tabelului)1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 0.990 .980 .971 .962 .952 .943 .935 .926 .917 .909

2 .980 .961 .943 .925 .907 .890 .873 .857 .842 .8253 .971 .942 .915 .889 .864 .840 .816 .794 .772 .7514 .961 .924 .888 .855 .823 .792 .763 .735 .708 .6835 .951 .906 .863 .822 .783526 .747 .713 .681 .650 .621

6 .942 .888 .837 .790 .746 .705 .666 .630 .596 .564

7 .933 .871 .813 .760 .711 .665 .623 .583 .547 .5138 .923 .853 .789 .731 .677 .627 .582 .540 .502 .4679 .914 .837 .766 .703 .645 .592 .544 .500 .460 .424

10 ,905 .820 .744 .676 .614 .558 .508 .463 .422 .386

1.3. Perioade de compunere mai mici decât un an

În exemplele prezentate până aici, am pornit de la ipoteza unei rate anuale a

dobânzii. Însă formulele prezentate mai sus pot fi aplicate şi în cazul în care

dobânda se compune la un interval mai mic decât un an de zile (semestru,

trimestru, lună).

9

Dacă compunerea are loc la perioade mai mici decât un an, atunci formulele

(1.1) şi (1.2) vor lua următoarea formă:

VV VPa

mnom h m ( )1 (1.3)

şi respectiv:

VP VVa

mnom h m

1

1( ) (1.4)

unde : a - rata anuală a dobânzii (rata nominală)

m - numărul de perioade din an când se compune dobânda

h - numărul de ani.

În acest context, apare necesitatea prezentării termenilor de «rată nominală

a dobânzii» («nominal» sau «quoted interest rate») şi rată efectivă anuală a

dobânzii («effective annual rate»).

Rata nominală a dobânzii este rata contractată sau rata stabilită pentru

calcularea dobânzii. Astfel, rata anuală, la care multe împrumuturi şi instrumente

financiare (acţiuni, obligaţiuni etc.) fac referire, este rata nominală a dobânzii.

Rata anuală efectivă este rata care se realizează la finele perioadei de

compunere şi care ajustează rata nominală în funcţie de frecvenţa folosită pentru

compunere. Rata efectivă anuală poate fi determinată, cunoscând rata nominală şi

numărul de perioade de compunere pe an prin următoarea formulă:

(1.5)

unde: aef . - rata anuală efectivă a dobânzii

anom - rata anuală nominală a dobânzii

m- numărul de perioade de compunere pe an .

Să considerăm următorul exemplu.

10

Suma de 1000 u.m. se depune la o bancă pentru 3 ani cu rata dobânzii de 6%

pe an cu compunere semestrială (semianuală). Care este valoarea disponibilă în

cont la sfârşitul celui de-al treilea an ?

Determinarea rezultatelor compunerii semestriale (sau orice alt tip de

compunere care nu se face anual) se poate efectua prin două metode şi anume:

I metodă: exprimarea tuturor datelor disponibile pornind de la perioade de

compunere.

Compunerea semianuală presupune că dobânda se plăteşte la fiecare 6 luni.

Aşa dar, dacă se face o compunere semianuală, există h x m = 3 x 2 = 6 perioade

(fiecare perioadă a câte 6 luni), astfel la fiecare 6 luni obţinem un câştig din

dobândă de: a

m

6

23% .

În exemplul analizat vom utiliza 6 perioade (h=6) şi nu 3 perioade, precum

şi o rată a dobânzii a=3%, care reprezintă rata dobânzii pe perioada respectivă

(semestru) şi nu a=6%, care reprezintă rata dobânzii pe an.

Astfel, conform formulei (1.3), vom obţine:

VV 1000 10 06

21000$(1 0 03 1000$ 1194052 1194 05$3 2 6$(

.) . ) . .

Acest rezultat poate fi prezentat utilizând axa temporală :

0 1 2 3 4 52

-1000$

6

1194.05$

3%Timp Semestre

1 3 Ani

II metodă: presupune determinarea ratei anuale efective a dobânzii şi apoi

utilizarea acesteia ca rată anuală corespunzătoare numărului de ani.

a) Dată fiind formula ratei anuale efective: , obţinem prin

substituţie aef (.

) . ( . ) . . . .10 06

210 103 10 10609 10 6 09%2 2 ;

b) Dată fiind formula de calcul a valorii viitoare a unei sume (1.1),

VV VP ah 1 , obţinem prin substituţie

11

VV = 1000 u.m. X (1+ 0,0609)3 = 1194,05 u.m.

Trebuie de menţionat că, în toate tipurile de contracte, dobânda este

întotdeauna specificată ca rată anuală a dobânzii, iar dacă procedeul de compunere

are loc mai frecvent decât odată la un an, acest fapt este specificat împreună cu

rata.

Dacă nu exista condiţia „compunerii semestriale”, VV= 1000 u.m. X FC6%,3 =

1000 u.m. X 1,191=1191 u.m.

Este important de remarcat, că VV este mai mare în cazul compunerii

semestriale decât în cazul compunerii anuale deoarece se câştigă mai frecvent

dobândă din dobândă.

Pentru exemplul precedent, în care rata nominală a dobânzii este de 6%, iar

compunerea se efectuează semestrial, se poate uşor stabili, că rata efectivă anuală a

dobânzii (.

) . *( . ) . . . .10 06

210 103 10 10609 10 6 09%2 2 este > decât rata

nominală (6%), de aici şi rezultatul: 1194,05 u.m. > 1191 u.m.

2. Noţiunea de anuitate. Valoarea viitoare şi valoarea prezentă a unei anuităţi

Anuitatea reprezintă o formă specială a fluxului de numerar (de venit sau

cheltuieli), în care plăţile au loc în mod regulat şi egal în decursul unei perioade de

timp. Ea poate avea loc fie la începutul, fie la sfârşitul perioadei.

Anuitatea, care are loc la finele perioadei se numeşte anuitate obişnuită sau

ordinară («ordinary annuity») şi este cel mai frecvent întâlnită.

Anuitatea, care are loc la început de perioadă poartă numele de anuitate

cuvenită sau specială («annuity due»).

Deoarece anuităţile ordinare sunt cel mai des utilizate în finanţe, termenul de

anuitate se foloseşte pentru a desemna efectuarea plăţilor la sfârşit de perioadă,

dacă nu se specifică în mod expres contrariul.

12

2.1. Valoarea viitoare a unei anuităţi ordinare

În cazul unei anuităţi anuale obişnuite valoarea viitoare a acestei anuităţi se

calculează după cum urmează :

(1.6)

sau: (1.6a)

unde: C – factor de anuitate (valoarea cash flow-ului anual constant);

FCA a,h - este factorul de compunere pentru o anuitate (în literatura de

specialitate acest factor mai poartă denumirea de factor de compunere multiplă).

Să considerăm un exemplu:

Presupunem, că o anuitate de 1000 u.m. va fi primită la sfârşitul fiecărui an pe o

perioadă de 4 ani ce urmează. Fiecare din sumele primite va fi depusă imediat în

contul bancar şi va aduce o dobândă de 6% anual. Să se determine, care va fi

suma disponibilă la sfârşitul perioadei de 4 ani?

Aşa dar, trebuie găsită valoarea viitoare a unei anuităţi ordinare peste 4 ani.

Fiecare plată este supusă procedeului de compunere până la sfârşitul anului 4, iar

suma plăţilor, astfel constituite, va forma valoarea viitoare a anuităţii.

Valoarea viitoare a anuităţii se deduce cu ajutorul formulei (1.6) sau (1.6a).

VVA

1000 1 0 06 1000 1 0 06 1000 1 0 06 1000

10001 0 06 1

0 061000 4 37462 4374 62$

3 2 1

4

( . .) ( . ) ( . )

( . )

.* . .

Valoarea factorului de compunere pentru anuitate de

asemenea poate fi extrasă din tabele speciale.

Tabel cu factori de compunere multiplă

(Varianta prescurtată a tabelului)1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 3.000 1.000 1.000

2 2.010 2.020 2.030 2.040 2.050 2.060 2.070 2.080 2.090 2.1003 3.030 3.060 3.091 3.122 3.152 3.184 3.215 3.246 3.278 3.3104 4.060 4.122 4.184 4.246 4.310 4.375 4.440 4.506 4.573 4.6415 5.101 5.204 5.309 5.416 5.526 5.637 5.751 5.867 5.985 6.105

Pentru a ilustra mai clar exemplul, vom folosi axa temporală:

13

0 1 2 3 4

1123.6

1000

Valoarea viitoare a anuitatii = 4374.62

1191.02

6%Timp

1060

100010001000

2.2. Valoarea viitoare a unei anuităţi cuvenite (speciale)

Vom relua exemplul precedent, cu condiţia că anuităţile de 1000 u.m. vor fi

primite şi reinvestite imediat la fiecare început de an pe aceeaşi perioadă de 4 ani

la o rată a dobânzii de 6%, adică vom avea de a face cu o anuitate cuvenită.

Vom determina valoarea viitoare a anuităţi speciale, modificând formulele

(1.6) şi (1.6a) după cum urmează:

VVA anuit spec C FCA aa h( . .) * *( ), 1 (1.7)

Astfel, pentru exemplul analizat vom obţine:

Deoarece, în cazul anuităţii speciale, plăţile se efectuează mai de vreme,

dobânda care se acumulează este mai mare; 4637,1 u.m. în loc de 4374,62 u.m.

pentru o anuitate ordinară.

Pentru ilustrare vom folosi aceeaşi axă temporală, numai că fiecare plată o

vom deplasa spre stânga. Astfel, suma totală ar trebuii să includă o sumă pentru

încă un an, faţă de exemplul precedent (când a fost calculată valoarea viitoare a

unei anuităţi ordinare).

14

0 1 2 3 4

1123.6

1000

Valoarea viitoare a anuitatii cuvenite = 4637.1

1191.02

6%Timp

1060

100010001000

1262.48

2.3.Valoarea prezentă a unei anuităţi ordinare

Să presupunem, că o sumă C este primită la finele fiecăreia din următoarele

h perioade de timp. Admitem, în acelaşi timp, că rata dobânzii pentru fiecare

perioadă este constantă şi este egală cu a.

În acest caz, valoarea prezentă a unei sume, ce se va obţine la sfârşitul

primei perioade, va fi de Ca

1

1

1

, valoare prezentă a următoarei sume va fi de

Ca

1

1

2

ş.a.m.d.

Astfel, valoarea prezentă a unei anuităţi pentru h perioade va fi următoare:

(1.8)

De asemenea, se poate demonstra, că expresiile de mai sus sunt similare cu:

sau VPA = C x (1.8a)

Expresia poartă denumirea de factor de discontare multiplă.

15

Regăsită în tabelul cu valori de factori, valoarea acestei expresii serveşte la

determinarea sumei totale actualizate a unei valori constante pe un număr de h ani

viitori la o rată de actualizare a.

Dacă vom lua în consideraţie faptul că parantezele de mai sus reprezintă factorul

de actualizare pentru anuitate, atunci formulele (1.8) şi (1.8a) pot fi scrise:

VPA C FAAa h * , (1.8b)

unde:

C – anuitatea;

FAAa,h - factorul de actualizare a anuităţii pentru o rată a dobînzii a şi pentru h

perioade (în literatura de specialitate acest factor mai poartă denumirea de factor de

discontare multiplă).

Valorile FAA se pot extrage, de asemenea, din tabele speciale.

Vom prezenta în continuare un exemplu:

Presupunem, că Dvs. vi se oferă următoarele posibilităţi:

1. Să încasaţi o sumă chiar în momentul prezent, sau

2. Să încasaţi o anuitate pe o perioadă de 4 ani cu efectuarea de plăţi a câte 1000

u.m. la sfârşitul fiecărui an.

Să presupunem, că nu veţi avea nevoie de suma respectivă de bani în

decursul următorilor 4 ani, astfel încît dacă acceptaţi varianta anuităţii, veţi

depune sumele intr-un cont bancar care vă va aduce o dobândă de 6% anual. Care

ar trebui să fie valoarea sumei plătite în prezent pentru ca aceasta să fie

echivalentă cu anuitatea oferită?

Soluţiile numerice din partea stângă a axei temporale sunt obţinute în urma

determinării valorii prezente a fiecăreia dintre plăţi şi în final prin însumarea

acestor valori.

Folosind formula (1.8b), obţinem acelaşi rezultat:

Pentru verificare, să examinăm tabelele speciale.

16

Tabel cu factori de discontare multiplă: FAA a,h=

(Varianta prescurtată a tabelului)1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 .990 .980 .971 .962 .952 .943 .935 .926 .917 .909

2 1.970 1.942 1.913 1.886 1.859 1.833 1.808 1.783 - 1.759 1.7363 2.941 2.884 1829 2.775 2.723 2.673 2.624 2.577 2.531 2.4874 3.902 3.808 3.717 3.630 3.546 3.465 3.387 3312 3.240 3.1705 4.853 4.713 4.580 4.452 4.329 4.212 4.100 3.993 3.890 3.791

Vom folosi şi în acest caz o axă temporală:

2.4. Valoarea prezentă a unei anuităţi speciale (cuvenite)

Vom relua exemplul precedent, cu condiţia că plăţile se efectuează la

începutul fiecărui an, adică anuitatea respectivă este o anuitate specială.

În acest caz, fiecare plată trebuie actualizată pe o perioadă mai mică cu un

an, comparativ cu ex. precedent; iar dacă e să construim o axă temporală, fiecare

plată ar fi fost plasată la stânga cu o perioadă.

Anuitatea specială are o valoare prezentă mai mare de cît anuitatea obişnuită,

deoarece fiecare plată se face cu o perioadă mai devreme.

Axa temporală ce urmează, prezintă procedura de actualizare a fiecărui flux

de numerar din exemplul analizat şi arată VPA, care este suma acestor fluxuri de

numerar actualizate.

17

0 1 2 3 4

889.99

1000

Valoarea prezenta aanuitatii speciale

839.62

6%Timp

943.40100010001000

3673.01

Deoarece plăţile sunt efectuate mai repede, o anuitate specială este mai

valoroasă de cît una ordinară.

Acest surplus de valoare se poate calcula prin înmulţirea valorii prezente a

unei anuităţi obişnuite cu factorul (1+a):

VPA anuit spec C FAA aa h( . .) * *( ). 1

Astfel, în exemplul analizat, vom obţine:

Bibliografie

1. Caraganciu A., Domenti O., Ciobu S., Bazele activităţii investiţionale, Editura A.S.E.M., Chişinău, 2004;

2. Vasilescu I., Românu I., Cicea C., Investiţii, ed. Economica, 2000;3. Колтынюк Б.А., Инвестиционные проекты, изд. В.А. Михайлова,

Санкт-Петербург, 2002;4. Золотогоров В.Г. , Инвестиционное проектирование, изд.

Экоперспектива, Минск, 1998;5. Stoian M., Gestiunea investiţiilor, ed. ASE Bucureşti, 2003.

18