AC+ETCUNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARASESIUNEA: IULIE, DATA 22.07.2014 - Varianta APROBA: MATEMATICA

1.(8p) Fie ecuatia 3

2 x+x+ 7 = 3. Sa se determine suma modulelorradacinilor ecuatiei.

a) 1 b) 29 c) 36 d) 25 e) 37

2.(10p) Sa se calculeze

E =2014i=1

[(1 +

1

i

) ik=1

k!(k2 + 1)

].

a) 2014! b) 2014! 1 c) 2015! d) 2015! 2 e) 2016! 2

3.(8p) Fie matricea A = (aij)i,j=1,2,3 cu elementele date de

aij =

(1)i+j, daca i = j,(1)i+jCij, daca i < j,0, daca i > j,

unde Cij reprezinta combinari de j luate cate i. Sa se calculeze A1.

a)

1 2 30 1 30 0 1

b) 1 2 30 1 3

0 0 1

c) 1 2 30 1 3

0 0 1

d)

1 2 30 1 30 0 1

e) 1 2 30 1 3

0 0 1

1

4.(7p) Se considera grupul (M, ), unde

M ={A(m) =

(1 m0 1

), m Z

}si este operatia de nmultire a matricelor. Sa se determine simetriculelementului A(2014).

a) A(1) b) A(0) c) A(2014) d) A(1) e) A(

1

2014

)

5.(9p) Se considera polinoamele

f = (X 2014) (X 2016) si g = (X 2015)2014 +X 2001.Sa se determine restul mpartirii lui g la f .

a) X + 2014 b) X 2000 c) X 2016 d) X 2014 e) X + 2016

6.(9p) Stiind ca a (

0,pi

4

)si sin a+ cos a =

7

5, sa se afle tg

a

2.

a)1

3b)

1

2c) 1 d)

1

2si

1

3e)

2 1

7.(7p) Dreapta d : 2x + y 2 = 0 intersecteaza axele de coordonate npunctele A si B. Sa se determine coordonatele punctului C astfel ca punctulG(3, 2) sa fie centrul de greutate al triunghiului ABC.

a) (8, 4) b)

(1,

1

2

)c) (3, 5) d)

(2

3,1

3

)e) (6, 2)

8.(9p) Fie functia R R, f(x) = x arctg x. Sa se determine asimptotelela graficul functiei f .

a) y =pi

2x 1 b) y = pi

2x 1, y = pi

2x 1 c) y = pi

2x+ 1

d) nu exista e) y = pi2x+ 1, y =

pi

2x+ 1

2

9.(7p) Fie f : D R, f(x) = sinx2, unde D este domeniul maximde definitie. Sa se studieze derivabilitatea lui f n punctul x0 = 0. In cazafirmativ sa se determine f (0).

a) f este derivabila n x0 = 0 si f(0) = 1

b) f este derivabila n x0 = 0 si f(0) = 2

c) f este derivabila n x0 = 0 si f(0) = 1

d) f nu este derivabila n x0 = 0

e) f este derivabila n x0 = 0 si f(0) = 0

10.(10p) Se considera functia f : R R,

f(x) =ax+ a 2x2 + 1

,

unde a este un parametru real. Sa se determine a astfel ncat functia sa aibaun extrem n punctul x = 1.

a) 2 b) 1 c) 1 d) 3 e) 2

11.(9p) Sa se calculeze 01|4x2 11x 3|dx.

a)435

96b)

135

32c)

221

48d)

37

96e)

231

48

12.(7p) Calculati aria cuprinsa ntre graficul functiei f : (0,) R,f (x) = x ln2 x, axa Ox si dreptele x =

1

esi x = e.

a)e2

2 5

4e2b)

e2

4 5

4e2c)e2

2 3

4e2

d)e2

4 7

4e2e)e2

8 5

4e2

3