1

SUBIECTELE PENTRU EXAMENUL DE ADMITERE LA MASTERAT LA DOMENIUL MATEMATICA (SPECIALITĂŢILE “STRUCTURI MATEMATICE FUNDAMENTALE” ŞI „ANALIZA STATISTICĂ A

DATELOR SI OPTIMIZAREA PROCESELOR ECONOMICO-FINANCIARE”

ANUL 2011

ALGEBRA LINIARĂ

1. Baza şi dimensiunea spaţiului vectorial. Coordonatele vectorului într-o bază dată. Matricea de trecere

de la o bază la alta. Schimbarea coordonatelor vectorului la trecerea de la o bază la alta.

2. Subspaţii ale spaţiilor vectoriale. Înveliş liniar. Subspaţii şi sisteme de ecuaţii liniare. Varietăţi

liniare.

3. Operaţii cu subspaţii. Baza şi dimensiunea sumei şi a intersecţiei subspaţiilor. Sume directe. Criterii

ale sumei directe.

4. Aplicaţii liniare ale spaţiilor vectoriale. Matricea aplicaţiei liniare. Coordonatele vectorului

transformat. Nucleul şi imaginea transformării liniare. Izomorfismul spaţiilor vectoriale.

5. Operatori liniari ai spaţiului vectorial. Matricea operatorului liniar. Matricea operatorului în diferite

baze. Operatori liniari nedegeneraţi. Algebra operatorilor liniari.

6. Subspaţii invariante. Vectori proprii şi valori proprii ale operatorilor liniari. Polinom caracteristic.

Forma diagonală a matricei.

7. Funcţii pătratice. Forma canonică. Metoda lui Lagrange. Forma normală peste C şi R. Legea inerţiei.

8. Metoda lui Jacobi. Funcţii pătratice pozitiv definite. Criteriul lui Sylvester.

9. Spaţii euclidiene. Inegalitatea Cauchy-Buneakovski-Schwarz. Modulul vectorului, distanţa şi

unghiul dintre vectori. Procesul de ortogonalizare. Baze ortogonale şi ortonormate. Matrice

ortogonale.

GEOMETRIE ANALITICĂ

10. Produsul vectorial şi mixt al vectorilor: definiţii, proprietăţi. Produsul vectorial şi mixt al

vectorilor în coordonate. Aplicaţii.

11. Diferite forme ale ecuaţiilor planului; poziţia relativă a două plane; distanţa de la un punct la un

plan; unghiul dintre două plane; condiţiile de perpendicularitate a două plane.

12. Diferite forme ale ecuaţiilor dreptei in spaţiu; poziţia relativă a două drepte, a dreptei şi planului;

distanţa de la un punct la o dreaptă în spaţiu; unghiul dintre dreaptă şi plan; condiţiile de

perpendicularitate a dreptei şi planului.

2

ANALIZA MATEMATICĂ

13. Noţiune de funcţie integrabilă Riemann şi integrala definită. Sume Darboux. Criteriul Darboux de

integrabilitate Riemann. Proprietăţile principale ale integralelor definite. Teoreme despre valoarea

medie a integralei definite şi consecinţele lor. Formula Newton-Leibniz. Schimbări de variabilă şi

integrarea prin părţi.

14. Noţiunea de diferenţiabilitate a unei funcţii de mai multe variabile. Relaţia dintre

diferenţiabilitatea funcţiei, continuitatea şi derivatele parţiale. Diferenţiala totală a unei funcţii.

Criteriul de diferenţiabilitate.

15. Derivate parţiale şi derivate parţiale de ordin superior a unei funcţii de mai multe variabile.

Teorema Schwarz despre egalitatea derivatelor parţiale mixte.

16. Extremele funcţiei de două variabile. Condiţii necesare şi condiţii suficiente pentru extrem. Cazul

funcţiei de n variabile (fără demonstraţie).

17. Serii numerice cu termeni pozitivi şi cu termeni oarecare. Criteriile Cauchy, D’Alambert, Raabe

şi integral Cauchy-MacLaurin de convergenţă a seriilor pozitive. Serii alternante. Teorema lui

Leibniz. Criteriul general Cauchy de convergenţă a seriilor numerice. Serii absolut convergente.

Teorema Dirichlet şi Abel.

18. Şiruri şi serii de funcţii. Convergenţa lor punctiformă. Noţiunea de convergenţă uniformă.

Proprietăţi ale şirurilor şi seriilor convergente uniform. Trecerea la limită, integrarea şi derivarea

seriilor şi şirurilor funcţionale. Criteriile Cauchy, Weierstrass, Abel şi Dirichlet de convergenţă

uniformă.

19. Serii de puteri. Teorema lui Abel. Raza şi domeniul de convergenţă a seriei de puteri. Formula

Cauchy-Hadamard pentru calcularea razei de convergenţă. Formula d’Alambert.

20. Proprietăţile globale ale funcţiilor continui de mai multe variabile pe mulţimi compacte.

Teoremele Weierstrass şi Cantor.

21. Noţiune de integrală improprie de speţa I şi II. Convergenţa integralei improprii de speţa I în

cazul funcţiei pozitive . Teoremele de comparaţie. Criteriul Dirichlet şi Abel. Criteriul general

Cauchy.

22. Convergenţa uniformă a seriilor de puteri . Continuitatea sumei unei serii de puteri. Teoremele

despre integrarea şi derivarea seriilor de puteri.

ECUAŢII DIFERENŢIALE

23. Ecuaţii diferenţiale de ordinul întîi. Teorema lui Cauchy de existenţă şi unicitate a soluţiei.

24. Ecuaţii diferenţiale liniare de ordin superior şi sisteme de ecuaţii liniare omogene de ordinul întîi.

Noţiune de sistem fundamental de soluţii.

25. Sistemul fundamental de soluţii al ecuaţiei diferenţiale liniare şi omogene cu coeficienţi constanţi.

3

26. Ecuaţii diferenţiale liniare neomogene cu partea dreaptă de o formă specială (polinom, etc.).

LOGICA ŞI TEORIA MULŢIMILOR

27. Axiomele şi regulile de deducţie din calculul propoziţional.

28. Completitudinea calculului predicatelor. Teorema Gödel.

ANALIZA FUNCŢIONALĂ

29. Aplicaţii de contracţie. Principiul aplicaţiilor de contracţie (teorema Banach). Aplicaţii ale

principiului de contracţie.

30. Serii Fourier în spaţii Hilbert. Inegalitatea Bessel, egalitatea Parseval.

31. Operatori liniari continui între spaţii normate. Operatori liniari şi mărginiţi şi legătura cu

continuitatea. Norma unui operator liniar şi mărginit.

32. Operatori inversabili. Criteriul de inversabilitate al operatorilor liniari şi mărginiţi în spaţii liniare

normate. Perturbaţii ale operatorilor inversabili.

33. Operatori liniari şi mărginiţi pe spaţii Hilbert. Operatori adjuncţi. Operatori autoadjuncţi. Spectrul

unui operator autoadjunct.

ECUAŢII DIFERENŢIALE CU DERIVATE PARŢIALE

34. Ecuaţia undelor (coarda vibrantă). Probleme tipice pentru ecuaţia undelor (problema Cauchy,

problema mixtă).

35. Problema mixtă pentru ecuaţia corzii. Metoda lui Fourier.

36. Principiul de maxim (minim) pentru ecuaţia căldurii. Unicitatea soluţiei problemei lui Dirichlet.

TEORIA GRAFURILOR

37. Grafuri planare. Formula Euler pentru grafuri planare. Criterii de planaritate.

METODE DE OPTIMIZARE

38. Metoda simplex (argumentarea ei). Metoda bazei artificiale.

39. Dualitatea în programarea liniară. Teoremele dualităţii.

40. Minimizarea funcţiilor de mai multe variabile. Metoda gradientului. Teorema de convergenţă.

41. Problema programării convexe. Teorema Kuhn-Tucker.

ANALIZA NUMERICĂ

42. Metodele secantei, tangentei şi iteraţiei simple pentru ecuaţia transcendentă.

43. Polinoamele de interpolare Lagrange şi Newton.

44. Formulele de cuadratură Newton-Cotes. Formula trapezului şi Simpson. Formula Gauss.

4

45. Metodele Euler şi Runge-Kutta de rezolvare a problemei lui Cauchy pentru ecuaţia diferenţială

ordinară y f (x, y) .

PROBABILITĂŢI ŞI STATISTICĂ

46. Definiţia probabilităţii în caz discret. Proprietăţile probabilităţii. Probabilitatea condiţionată.

Evenimente aleatoare independente.

47. Variabile aleatoare discrete independente.

48. Definiţia axiomatică a probabilităţii. Axioma continuităţii.

49. Caracteristicile numerice ale repartiţiilor: Bernoulli, binomială, Poisson, normală, uniformă.

50. Legea numerelor mari. Teorema Cebîşev; consecinţe.