SCOPUL UNITĂŢII DE CURS · Familiarizarea cursanţilor cu problemele principale ale statisticii inferenţiale aplicate în psihologie; · Informarea cursanţilor asupra principalelor tipuri de aplicaţii ale statisticii inferenţiale în domeniul

psihologic de cercetare; · Informarea cursanţilor asupra specificului variabilelor psihologice supuse procesului de prelucrare

statistică; · Informarea cursanţilor asupra limitelor interpretării statistice în cercetarea psihologică OBIECTIVE OPERAŢIONALE În urma studierii acestei unităţi de curs, studenţii trebuie să-şi formeze următoarele deprinderi intelectuale: · Să opereze cu principalele concepte statistice aplicate în domeniul psihologiei; · Să precizeze principalele scale de măsură utilizate în domeniul cercetării psihologice şi să distingă

specificul acestora în cazul unor cercetări concrete; · Să precizeze situaţiile de aplicare în psihologie a conceptelor statistice referitoare diferenţierea şi

asocierea seriilor de valori ale unei variabile; · Să precizeze specificul principalilor indicatori statistici şi să cunoască etapele calculării lor. · Să precizeze sensul şi non-sensul indicatorilor statistici; · Să precizeze sensul diferitelor abateri de la distribuţia normală; · Să poată utiliza corect datele conţinute în tabelul anexă. EVALUARE Se va realiza în cadrul unui examen scris la sfârşitul semestrului. Pentru examen se vor stabili două tipuri de subiecte: un tip referitor la teoria statistică şi un tip referitor la aplicarea în practică a cunoştinţelor dobândite. În cadrul activităţilor tutoriale se vor exersa subiectele cu caracter practic şi se va verifica realizarea exerciţiilor de la sfârşitul capitolelor. Tipurile de subiecte pentru examen vor fi egal ponderate pentru nota finală obţinută la examen

STATISTICĂ I

93

INTRODUCERE

Într-o definiţie succintă, statistica este un ansamblu de metode care au drept obiect colectarea, organizarea, tratamentul şi interpretarea datelor de observaţie care se referă la grupuri de persoane sau de obiecte. Există discuţii, care nu vor fi comentate în manualul nostru, asupra autonomiei statisticii ca ştiinţă, din cauza faptului că o bună parte din metodele statisticii aparţine domeniului matematic, în consecinţă se susţine că statistica nu ar fi decât matematică aplicată, afirmaţie care nu poate fi contestată. Însă, dezvoltarea statisticii a prilejuit dezvoltarea unor modalităţi de abordare a studiului datelor şi a unor exigenţe metodologice de cercetare specifice care-i o conferă un statut aparte, inconfundabil în ansamblul ştiinţelor moderne.

Disciplina statisticii are o vastă arie aplicativă, în domenii dintre cele mai diverse. Este foarte greu de indicat un domeniu al activităţilor teoretice şi practice în care să nu-şi găsească utilitatea. Statistica aplicată în psihologie va expune câteva consideraţii teoretice strict necesare, fără să se preocupe de fundamentarea matematică a procedeelor folosite, chestiune care preocupă specialiştii în statistică teoretică, şi va insista asupra specificului aplicativ al unor proceduri statistice în cercetarea psihologică sau în practica profesională ce presupune prelucrarea şi interpretarea datelor. Intervenţiile statistice din domeniul psihologic se referă mai ales la acele date care provin de la grupuri de persoane, dar acest aspect nu poate fi generalizat.

Originile preocupărilor statistice pot fi defalcate în funcţie de considerarea acestora drept practici istoriceşte atestate sau drept contribuţii ştiinţifice sistematizate. În primul caz se poate vorbi de o existenţă milenară (5-milenii) a acestora, în al doilea caz de una seculară (4 secole anterioare). Nevoia de a colecta date cantitative asupra populaţiei şi condiţiilor sale materiale de existenţă se face simţită din momentul în care apar comunităţii umane organizate (semnul apariţiei acestora este dat naşterea instituţiilor de reglare a desfăşurării vieţii în comunitate, apariţia statelor constituind forma evoluată a unor astfel de instituţii). În China, Egipt, Grecia şi Roma antică apar recensăminte cerute de funcţionarii administrativi, practici continuate în evul mediu (releveurile realizate la ordinele lui Charlemagne, Domesday Book a lui Wilhelm Cuceritorul, spre 1090) şi în începuturile perioadele moderne ale istoriei, prin numeroase inventare sau releveuri realizate ca urmare a unor ordonanţe regale sub impulsul lui Sully, a lui Colbert şi a lui Vauban.

În secolul al XVII-lea se profilează concepte relative la bazele şi la mijloacele studiilor statistice, deci putem vorbi începuturile statisticii teoretice. În această perioadă îşi conturează apariţia a două şcoli de gândire în acest domeniu. Şcoala germană, numită şi şcoala descriptivă, de la care pare că derivă cuvântul statistică (cuvântul german die Statistik), este fondată de către Herman Conring (1606-1681), profesor la Universitatea din Helmstadt, ale cărui contribuţii vor fi continuate prin Gottfried Achenwall (1719-1772). Cea de-a doua şcoală, denumită aritmetica politică are ca fondatori pe John Graunt

AUREL STAN

94

(1620-1764), Gregory King (1648-1712), Edmond Halley 1656-1742) şi pe sir William Petty (1623-1687), şi pune în evidenţă, dincolo de descriere, anumite permanenţe statistice, de exemplu raportul numărului de naşteri masculine şi acela al celor feminine. Edmond Hailley prezintă un tabel de mortalitate care este baza lucrărilor actuariale contemporane, apoi un reprezentant al şcolii germane, Johann Peter Süssmilch (1707-1767), publică importante lucrări asupra procentului de masculinitate la naştere şi asupra evoluţiei acestuia până la vârsta de 20 de ani.

De o deosebită importanţă în fundamentarea teoretică a statisticii este apariţia, în 1812, a lucrării lui Pierre Simon de Laplace (1749-1827), intitulată “Teoria analitică a probabilităţilor”, care pune în evidenţă avantajele care pot fi trase din această teorie în studiul fenomenelor naturale. În care cauzele sunt prea complexe pentru a le putea cunoaşte exhaustiv şi a le analiza individual.

Ca expresie a dezvoltării statisticii, apar o serie de statistici autonome consacrate anumitor domenii de specialitate precum statistica aplicată în mecanică, agronomie şi economie, a căror dezvoltare nu are rost în lucrarea noastră simplificată. Cele mai multe din aplicaţiile statisticii se află, fără îndoială, în domeniul economic şi administrativ.

Nu încercăm să facem o istorie amănunţită a statisticii, lucrare care ar trebui să fie deosebit de laborioasă, ci să punctăm momente importante ale evoluţiei acesteia, legate de aplicarea acestei discipline în domeniul ştiinţelor sociale. Începutul în această privinţă este făcut de savantul belgian Adolphe Quetelet, care a avut preocupări ştiinţifice de o largă diversitate în domeniul aplicaţiilor statisticii1.

Adolphe Quételet (1796-1874) extinde câmpul de aplicare a metodei statistice în domeniile antropometric, psihologic şi social. La iniţiativa sa se reuneşte la Bruxelles, în 1853, primul congres internaţional de statistică, precursor al Institutului internaţional de statistică, fondat la Londra în anul 1885, instituţie ştiinţifică care a rămas deosebit de prestigioasă până în zilele noastre. Adolphe Quételet a introdus noţiunea de om mediu, controversată de-a lungul timpului, concept preluat de o serie statisticieni şi sociologi. Ca urmare a lucrărilor ştiinţifice aparţinând lui Quételet, acelora ale lui Francis Galton (1822-1911) şi Karl Pearson (1857-1936), se fondează biostatistica sau biometria.

În domeniul ştiinţelor umane, studiile lui Charles Spearman asupra comportamentului indivizilor, dezvoltate în psihologia aplicată, umană şi animală, au condus la metode de analiză factorială, o prelungire logică a studiului corelaţiilor. Francis Galton, Charles Spearman şi Karl Pearson pot fi consideraţi întemeietorii prestigioasei şcoli psihometrice engleze, care a influenţat semnificativ modul de prelucrare a datelor în cercetările psihologice.

1 Pentru cei care doresc să cunoască mai amănunţit aspecte ale istoriei statisticii româneşti şi internaţionale le recomandăm lucrarea lui Mihai Ţarcă “Tratat de statistică aplicată”, Editura Didactică şi Pedagogică R.A., Bucureşti, 1998 şi pe cea coordonată de Vladimir Trebici “Mică enciclopedie de statistică”, Editura Ştiinţifică şi enciclopedică, Bucureşti, 1985.

STATISTICĂ I

95

Psihologia devine ştiinţă de sine stătătoare abia în a doua jumătate a secolului al XIX-lea, odată cu accentuarea laturii experimentale în cercetare, în ale cărei începuturi au fost marcate acumulări de date care erau deficitare sub aspectul interpretării lor. Procedeele statistice utilizate de psiholog vin, totodată, în întâmpinarea nevoii de diversificare a metodelor de cercetare, fapt ce conduce la interpretarea mai adecvată a rezultatelor investigaţiilor ştiinţifice.

Printre lucrările de importanţă din ultimele decenii, enumerăm pe cele ale lui Fisher, d’Egon,

Sharpe, Pearson Jerzy Neyman asupra teoriei testelor şi acelea referitoare la estimaţii, născute din cercetările empirice asupra aplicării metodei sondajelor . Apariţia unor puternice mijloace de calcul a permis, pe de altă parte, de a pune în aplicare noi metode de statistică descriptivă (care nu recurg la modele, nici la ipoteze), aplicabile la marile tabele de date multidimensionale. Aflate în germene la Charles Spearman şi E. Pearson, aceste metode se regrupează sub numele de analiză a datelor, fiind dezvoltate prin H. Hotelling în anii 1930 şi în Franţa prin J.P. Benzecri în anii 1960.

Actualmente, preocupările de analiză statistică a datelor din domeniul ştiinţelor sociale, în general vorbind, sunt deosebit de intense, realizându-se progrese teoretice şi practice. Sub acest ultim aspect sunt de remarcat apariţia unor programe computerizate destinate uşurării muncii de calcul (cel mai cunoscut şi cel mai utilizat fiind SPSS-ul). Folosirea unor astfel de programe presupune, pentru exploatarea corectă a rezultatelor, cunoaşterea fundamentelor teoretice ale statisticii.

AUREL STAN

96

I. STATISTICĂ DESCRIPTIVĂ O diviziune fundamentală o disciplinei statisticii este în statistică descriptivă şi statistică

inferenţială, diviziune care ţine cont de ordinea istorică a apariţiei celor două ramuri. Statistica descriptivă s-a constituit în secolele XVII-XIX şi se ocupă cu descrierea fenomenelor statistice investigate prin culegerea şi clasificarea datelor obţinute dintr-o cercetare empirică, realizarea de rezumate şi sinteze cu ajutorul unui limbaj numeric. Este un ansamblu de tehnici permiţând descrierea grupurilor de date şi luarea deciziilor în absenţa unei informaţii complete. Scopul unui astfel de demers este de a aduce datele într-o formă clară şi utilizabilă. Informaţiile de bază produse prin statisticile descriptive sunt media valorile maximale şi minimale, diferite măsurări ale variaţiei şi datele cuprinzând forma sau configuraţia distribuţiei variabilelor. Măsurările reprezintă comportamente, competenţe, obişnuinţe, aptitudini, capacităţii sau alte tipuri de conduite care caracterizează performanţele şi definesc variabilele dependente. În statistică sunt utilizate mai multe metode sunt utilizate pentru (re)prezentarea organizată a datelor: histogramele, curbele, poligoanele de frecvenţă, diagramele circulare. Examenul vizual al datelor prin intermediul graficelor constituie o manieră economică, simplă şi eficace de a observa distribuţia eşantionului prin raport la distribuţia normală. Calculele realizate în statistica descriptivă duc la constituirea de valori relative, valori medii, dispersii, abateri. Statistica descriptivă trebuie considerată ca o etapă a demersului statistic ce permite o exprimare cantitativă clară şi coerentă a mulţimilor de date.

I.1.NOŢIUNI FUNDAMENTALE Înţelegerea aserţiunilor statistice este posibilă din momentul în care ne însuşim o serie de noţiuni

fundamentale. Începem prin a preciza care sunt noţiunile fundamentale în statistică şi cu eventuale precizări referitoare la unele sensuri specifice care operează în domeniul statisticii în legătură cu aceste noţiuni.

Una din aceste noţiuni este cea de variabilă. Este o noţiune de care nu ne putem dispensa în explicaţia ştiinţifică, totalitatea studiilor experimentale apelând frecvent la ea pentru a expune raţiunea acestui demers ştiinţific, modul de derulare şi concluziile trase. Este frecvent folosită împreună cu noţiunile de variaţie şi variabilitate. În Grand dictionnaire de la psychologie variabila este definită ca o „entitate abstractă care serveşte ca suport pentru o multitudine de valori”2. Proprietatea variabilei de a lua anumite valori se numeşte variabilitate, iar oscilaţiile valorice ale variabilei poartă numele de variaţie. Variaţiile pot fi previzibile şi imprevizibile. Variaţiile sunt considerate previzibile în situaţia în care orice

2 Grand dictionnaire de la psychologie, Larousse, 1992, p. 816

STATISTICĂ I

97

valoare succesivă dintr-o serie poate fi determinată cu precizie sau măcar aproximată. Variaţiile sunt imprevizibile când valorile succesive ale unei serii nu pot fi prevăzute.

Arthur Reber, autorul unui reputat dicţionar de psihologie atrage atenţia asupra faptului că, deşi variabila este o entitate care suferă schimbări, ea este de fapt o abstracţie, o formă, o cantitate3. Astfel, dacă realizăm cercetări în domeniul senzaţiilor auditive şi suntem interesaţi de intensitatea tonului, variabila operativă este intensitatea; într-un studiu în care avem ca variabilă dificultatea unui test, dificultatea este variabila reală. Tonul şi testele utilizate sunt doar moduri care permit intensităţii şi dificultăţii să se manifeste. Precizări necesare sunt făcute în matematică şi logică unde noţiunea de variabilă este surprinsă mai explicit prin tratarea variabilei ca simbol care reprezintă clase de lucruri sau domenii de valori care satisfac anumite condiţii şi nu orice lucru sau valoare particulară. O valoare particulară a variabilei este denumită modalitate sau variantă de variaţie. A desemna o variabilă înseamnă a-i atribui un nume şi a-i indica modalităţile pe care le poate lua în cadrul unui sistem bine precizat. O analiză ştiinţifică se poate realiza doar cu condiţia ca obiectul pe care ea se exercită să aibă o structură relativ stabilă. Dacă modalităţile variabilei pot fi ierarhizate după un anumit criteriu, acestea poartă numele de nivele Variabila este opusă constantei, care nu are decât o singură valoare, fixă şi nesupusă oscilaţiei. Definiţia unei variabile şi a modalităţilor sale nu este independentă de descrierea dispozitivului experimental în care a intervine. În funcţie de ipoteza sa, cercetătorul selecţionează stările pertinente ale variabilei pe care el o studiază. O variabilă are cel puţin două modalităţi.

Există două condiţii pe care trebuie să le îndeplinească o variabilă: 1. să fie alcătuită dintr-un ansamblu de valori exclusive, în consecinţă fiecare din elementele

unei variabile nu poate lua decât o singură valoare. 2. ansamblul de valori sau de modalităţi ale unei variabile trebuie să fie exhaustiv – toate

elementele trebuie să poată fi caracterizate de ansamblul de valori. Există un sistem de clasificare a variabilelor care funcţionează prin considerarea unei serii de

criterii. Vom enumera doar denumirile rezultând din apelarea la cele mai frecvente criterii. Astfel, dacă luăm în consideraţie gradul de dependenţă se distinge între variabile independente şi

variabile dependente. Distincţia între variabile dependente şi independente este cel mai frecvent folosită. Variabilele independente (notate curent cu VI) sunt variabile manipulate sau fixate de către experimentator. Mai clar, „variabila independentă este o caracteristică - a subiectului, a ambianţei sale fizice sau sociale, a sarcinii, a stimulului sau stimulilor prezentaţi - care este manipulată de către cercetător în scopul de a controla sau de a analiza efectul sau efectele sale asupra comportamentului studiat”4. Variabilă independentă este orice variabilă ale cărei valori sunt, în principiu, independente de schimbările care au loc cu alte variabile. Într-un experiment, variabila independentă poate fi orice variabilă care este manipulată specific, astfel încât să se observe efecte asupra variabilei dependente. Variabila independentă mai este numită şi variabilă experimentală sau controlată. Variabilele dependente (notate curent cu VD) sunt variabile observate de experimentator şi care fac obiectul unei măsurări. Variabila dependentă este orice variabilă ale cărei valori sunt, în principiu, rezultatul

3 Reber, Arthur S., "Dictionary of Psychology", Penguin Books, London, 1985, pag.811 4 J.-P. Rossi & Al., La méthode expérimentale en psychologie, Dunod, Paris, 1997, pag.22

AUREL STAN

98

schimbărilor care au loc într-una sau mai multe variabile independente. În matematică, noţiunea de „dependenţă” este exprimată printr-o formulă de tipul )(xfy = . Prin această formă de prezentare a dependenţei se exprimă faptul că valorile lui y sunt dependente (sau în funcţie de) valorile lui x. În cercetarea psihologică situaţia devine: comportamentul subiectului luat în considerare (y) este dependent de manipularea unui factor (x). În cercetarea psihologică, variabila dependentă este, în general, un răspuns furnizat de către subiect sau o caracteristică a acestui răspuns.

O altă accepţiune este aceea că variabila dependentă este o variabilă care este estimată dintr-o altă variabilă ale cărei valori sunt date. Efectul variabilelor independente este observat pe variabilele dependente. Exemplu: dacă ne propunem să cercetăm efectul diferitelor forme de psihoterapie asupra sensibilităţii, variabila independentă este forma de psihoterapie (terapie psihanalitică, terapie comportamentală, terapie experienţială, terapie adleriană, terapie sistemică) şi variabila dependentă este efectul asupra sensibilităţii pe un anumit plan. Relaţia dintre variabila numită independentă şi variabila numită dependentă este una presupus cauzală. Relaţia cauzală trebuie să fie demonstrată, nu doar afirmată. Pentru demonstrare se cer urmate regulile unei metodologii competent elaborate. În caz contrar, putem fi robii aparenţelor constituite în aşa-numitele artefacte.

Calităţile unei bune variabile dependente sunt pertinenţa (variabila dependentă trebuie să fie un indicator pertinent al comportamentului) şi sensibilitatea (variabila dependentă trebuie să exprime variaţii comportamentale foarte fine).

Ce este o variabilă intermediară?

O noţiune care se întâlneşte în lucrările de psihologie experimentală este cea de variabilă intermediară. Introducerea şi utilizarea sistematică a acestei noţiuni este atribuită lui Edward Chase. Tolman, cunoscutul psiholog american specializat în învăţarea la animal. El nu părăseşte total domeniul behaviorismului, dar modifică viziunea acestui curent prin folosirea noţiunii de

intenţionalitate. În concepţia sa, comportamentul este un fenomen molar care permite unei fiinţe de a atinge un obiect scop prin alegerea unor mijloace. Acest fapt implică o referinţă necesare la variabile intermediare de tip motivaţional şi cognitiv definite obiectiv. Noţiunea de variabilă intermediară cunoaşte o frecventă utilizare în domeniul învăţării, mai ales în studiile cunoscutului teoretician bahaviorist Clark Leonard Hull.

În anul 1928, E.C. Tolman enumeră două tipuri de variabile intermediare care se intercalează între variabilele dependente şi cele independente pentru a determina comportamentele. Variabilele intermediare cuprinse în primul tip, considerate mai elementare, sunt ereditatea vârsta şi educaţia şi sunt direct legate de variabilele independente. Cele din al doilea tip sunt nevoile, dorinţele, atitudinile şi ipotezele, fiind considerate mai complexe, în calitate de combinaţii între anumite variabile independente şi variabile intermediare elementare. Actualmente, variabilele intermediare din prima categorie sunt tratate ca variabile independente.

Introducerea acestor variabile îşi are raţiunea în dificultăţile teoretice ale curentului behaviorist strict, în care domina schema S-R (stimul-reacţie). În această schemă, ereditatea, vârsta şi educaţia nu

STATISTICĂ I

99

descriu nici stimulul, nici răspunsul. A doua categorie de variabile intermediare este constituită din nevoi, dorinţe, atitudini, ipoteze care nu pot fi controlate de către experimentator.

J.P. Rossi consideră că există o a treia categorie de variabile intermediare care trimite la

mecanismele intermediare5. Astfel, activitatea de organizare care permite de a reţine mai bine o listă de cuvinte a fost adesea clasată în rubrica variabilelor intermediare, deoarece activitatea de structurare este un tratament care se situează între S şi R. Paul Fraisse a insistat în studiile sale asupra faptului că răspunsul este funcţie a interacţiunii între situaţie şi personalitatea subiectului.

Jean-François Le Ny consideră în Grand dictionnaire de la psychologie că noţiunea de variabilă intermediară poate fi definită ca o variabilă ipotetică presupusă a fi funcţie a unei variabile de ambianţă şi ca determinând direct o variabilă de comportament6.

Astfel, noţiunea lui C.L. Hull şi a teoreticienilor behaviorişti, în general, de forţă a motivaţiei (Drive) era considerată, pe de o parte, ca fiind o funcţie directă a duratei de privare (de hrană, băutură etc.) şi, pe de altă parte, ca determinând în mod direct vigoarea comportamentului.

Totuşi, noţiunea de variabilă intermediară este puţin utilizată astăzi – lucru datorat modului în

care sunt privite aspectele care ţin de persoană. Aceste aspecte sunt, de fapt, mecanisme interne. De exemplu, s-a arătat că organizarea informaţiei permite o mai bună reţinere a unei liste de cuvinte. Activitatea de organizare este o variabilă intermediară. Ea presupune o tratare a informaţiei şi constituie un intermediar între S şi R. Din momentul introducerii modelelor de tratare a informaţiei, noţiunea de variabilă intermediară şi-a pierdut raţiunea de a exista. Astfel, putem vorbi de variabile independente, variabile dependente, stări ale subiectului şi procese se tratare a informaţiei. Acestea din urmă sunt mai mult ipotetice decât intermediare.

Dacă luăm în consideraţie natura şi fineţea variaţiei, atunci vorbim de variabile discrete şi variabile continue. Cele discrete sau discontinue sunt variabilele ale cărei valori posibile sunt în număr limitat şi sunt exprimate prin valori izolate, nediferenţiate. De obicei, pentru a le exprima se folosesc numere întregi. De exemplu, variabila numărul de persoane care locuiesc într-un apartament este o variabilă discretă. Această variabilă poate lua valorile 1, 2, 3, 4 ş.a.m.d., dar nu valoarea 2,5 sau 3,7. O variabilă este continuă în cazul când are teoretic un număr nelimitat de variante. Ca atare, între două variante de variaţie succesive se poate interpune o a treia. Dacă măsurarea se realizează în centimetri, între valoarea 2 cm şi 3 cm se poate interpune valoarea 2,5 cm.

5 idem pag.45 6 Grand dictionnaire de la psychologie, Larousse, 1992, p. 816

AUREL STAN

100

Continuitate versus discontinuitate

Arthur S. Reber precizează că ideea de continuitate se referă la absenţa unor întreruperi, pauze sau etape (în cazul existenţei unor etape acestea sunt foarte mici şi astfel, nedetectabile)7. Discontinuitatea este opusul continuităţii. Autorul englez spune că discontinuitatea este prezentă atunci când „nu sunt reprezentate toate valorile posibile”8. El

explică prezenţa ghilimelelor prin faptul că situaţia este mai delicată în legătură cu reprezentarea valorilor. Astfel, este posibil ca variaţia să se manifeste ca o serie de valori discrete (discontinue) care, de fapt, prezintă o variaţie subiacentă continuă. Reber ia ca exemplu înălţimea – variaţia valorilor luate de înălţime este discontinuă fiind măsurată în unităţi discrete (de obicei cm), dar subiacent, este prezentă o variaţie continuă întrucât putem avea toate înălţimile posibile. Diferenţa se observă mai bine atunci când opunem variaţia aparent discontinuă cu una într-adevăr discontinuă cum este numărul de erori de învăţare în cadrul unui experiment. Este adevărat că în măsurătorile pe care le efectuăm, depindem foarte mult de precizia instrumentului de măsură utilizat. Astfel, timpul de reacţie este o variabilă continuă, dar poate părea discretă dacă folosim un cronometru clasic care măsoară doar secundele. Instrumentele moderne pot evidenţia un număr foarte mare de posibilităţii între 25 de secunde şi 26 de secunde, dacă pot evidenţia zecimile, sutimile, miimilor,… milionimile de secundă. Dacă nu avem instrumente perfecţionate de măsură, distincţia dintre variabilele continue şi cele discrete poate deveni arbitrară. Cele mai multe din variabilele utilizate în psihologie (în special scorurile testelor şi chestionarelor psihologice) sunt discrete.

O distincţie frecvent utilizată se face între variabilele dihotome sau dihotomice şi variabilele

polihotome sau polihotomice. Variabilele dihotomice sunt variabile care au două 2 modalităţi: adevărat - fals; corect-incorect; da – nu, prezenţă-absenţă, acord – dezacord; masculin-feminin etc., şi care primesc, de obicei , valorile numerice 1 - 0.

Real şi artificial în dihotomie Dany Laveault şi Jacques Grégoire9 fac diferenţa între variabile real dihotomice şi artificial dihotomice. O variabilă real dihotomică presupune împărţirea naturală în 2 categorii (de exemplu, variabila sex are natural două modalităţi: masculin (care se poate nota cu 1) şi feminin (care se poate nota cu 0), iar variabilele artificial dihotomice corespund transformării

convenţionale a valorilor variabilelor polihotomice (continue sau discontinue). De exemplu, în urma aplicării unui test subiecţii dintr-un grup, aceştia pot obţine iniţial note între 1 şi 40, dar, ulterior, aceştia pot fi împărţiţi în 2 subgrupe: cei care au scoruri mai mici decât mediana sunt încadraţi în subgrupul A

7 Reber, Arthur S., "Dictionary of Psychology", Penguin Books, London, 1985, pag.811 8 idem 9 Dany Laveault & Jacques Grégoire, Introduction aux theories des testes en sciences humaines, De Boeck Universite, 1997, pp. 234–235

STATISTICĂ I

101

cu rezultate slabe (scoruri uniformizate prin notarea cu 0), iar cei cu scoruri peste mediană intră în subgrupul B cu rezultate bune (uniformizate prin notarea cu 1). Această împărţire poate fi făcută şi în funcţie de existenţa unei valori criteriu, care împarte grupul iniţial în reuşiţi (notaţi cu 1) şi nereuşiţi (notaţi cu 0). Criteriul de dihotomizare poate avea şi un caracter convenţional.

O distincţie cu care se operează frecvent este cea între variabile cantitative şi variabile

cantitative. În primul caz exprimarea variantelor sau modalităţilor variabilelor se face prin intermediul numerelor (timp, greutate, lungime), în al doilea caz prin intermediul atributelor (apartenenţă etnică, religioasă, sex). Variabila cantitativă timp de reacţie va putea avea ca variante sau modalităţi 23; 25; 19; 30 sutimi de secundă, pe când variabila calitativă apartenenţă religioasă va avea ca modalităţi: ortodox, catolic, protestant, mahomedan, budist etc.

Variabile calitative Variabile cantitative Sex (masculin, feminin) Culoarea ochilor (albaştri, căprui, verzi,etc.

Performanţă fizică sau psihică măsurată (Q.I.= 101,sau Q.I.= 83)

Vârsta ( 17,19 23 etc.) Tabelul I. Exemplificări pentru variabile calitative şi variabile cantitative

O clasificare prezentă în studiile experimentale este în funcţie de posibilitatea cercetătorului de a

manipula apariţia modalităţilor variabilei pe care el o studiază. Vorbim în acest caz de variabile provocate şi de variabile invocatei. Modalităţile primei variabile ale acestui criteriu de clasificare pot fi create de către experimentator, în sensul că stă în puterea acestuia de a le manevra. De exemplu, variabila intensitate sonoră poate avea în cadrul unui experiment trei modalităţi sau stări: slabă, medie, puternică. În funcţie de interesul ştiinţific, experimentatorul poate varia cele trei stări, poate să provoace aceste stări. Dar dacă interesul ştiinţific se manifestă în privinţa coeficientului intelectual, nu mai stă în puterea experimentatorului de a manevra forţa intelectuală a cuiva. În acest caz, variabila coeficient intelectual este invocată, cercetătorul putând doar căuta şi mobiliza pentru un studiu persoane care au diferiţi coeficienţi intelectuali (ex. 75, 90, 100,105).

O noţiune indispensabilă pentru exprimarea statistică este cea de unitate statistică, având sensul de element al unei mulţimi statistice. Un termen similari este cel de individ statistic. Unităţile statistice pot fi indivizi umani sau obiecte care sunt purtători ai unei anumite caracteristici ce prezintă interes pentru o anumită cercetare. Mulţimea statistică poate fi o populaţie statistică, adică totalitatea indivizilor care satisfac exigenţele unei anumite definiţii riguros formulate, sau un eşantion, un subansamblu de indivizi ai populaţiei care are caracteristica de a fi reprezentativ, adică din analiza acestuia este permis de a se trage aproximativ aceleaşi concluzii ca şi din analiza întregii populaţii. Eşantionul este un univers redus al populaţiei. Raportul dintre populaţie şi eşantion statistic este mai bine exprimat prin raportul dintre mulţime şi submulţime. Selecţionarea indivizilor dintr-o populaţie pentru constituirea unui eşantion poate fi aleatorie sau conformă unui algoritm de selecţie. În procedura aleatorie de selecţie, orice individ trebuie să aibă şanse egale de a fi ales. Într-o operă apărută postum, intitulată „Ars

AUREL STAN

102

conjectandi”, matematicianul elveţian Jacques Bernoulli, unul din clasicii teoriei probabilităţilor, a arătat că o tragere la sorţi corect făcută permite de a obţine un eşantion care să aibă caracteristici similare acelora ale populaţiei. Deci, nu orice grup de indivizi formează un eşantion, ci doar acel grup constituit prin respectarea unor reguli riguroase. Când într-un studiu întâlnim termenul de lot sau de grup, trebuie existe suspiciunea că acesta a fost compus prin apelarea la o procedură de extragere care nu respectă strict metodologia de constituire a eşantioanelor. Biais-ul, termen ce s-a impus în ultima perioadă în limbajul ştiinţific cu semnificaţia de eroare sistematică, măreşte riscul de a proceda la generalizări eronate. Populaţiile pot fi finite, când mărimea sa este riguros delimitată cantitativ, şi infinite când mărimea lor nu poate fi determinată cu precizie sau este în continuă creştere cu o rată imprevizibilă. Populaţia poate fi definită extensiv, atunci când elementele sale pot fi listate (de exemplu, lista nominală a pensionarilor dintr-un cartier din Iaşi). Definirea intensivă a populaţiei presupune indicarea principiului care stă la baza constituirii sale (exemplu, toţi elevii liceului „Mihai Eminescu” din Iaşi din primul semestru al anului 2003).

Variabilele nu descriu indivizii statistici în ansamblul lor, ci prin intermediul unor caracteristici. O

caracteristică este o proprietate a unei unităţi statistice care prezintă interes pentru o anumită cercetare. Individul statistic este purtător al unei caracteristici. Această caracteristică este descriptibilă printr-un ansamblu de reliefări ale caracteristicii. Aceste reliefări sunt variantele de variaţie sau modalităţile. Caracteristica pe care noi ne propunem să o descriem statistic poate fi manifestă, în cazul în care poate fi descrisă sau măsurată în mod direct (greutatea corporală, culoarea ochilor, sexul, nivelul veniturilor) sau latentă (voalată), în cazul în care poate fi măsurată doar indirect. De exemplu, dacă ne propunem să examinăm introversiunea, aceasta nu se poate face în mod direct, ci prin intermediul unei întregi serii de semne ale introversiunii detectabile prin întrebările unui chestionar sau prin analiză clinică. O caracteristică este operaţional definită atunci când se poate decide care sunt reliefările caracteristicii respective. Practic, din punct de vedere psihologic, operaţionalizarea este traducerea unui concept teoretic în comportamente observabile. Calitatea ştiinţifică a unor cercetări depinde foarte mult de calitatea operaţionalizării conceptuale care se realizează în cursul realizării lor.

Este necesar să facem şi câteva precizări asupra variabilităţii, în scopul de a evidenţia aspecte care sunt frecvent întâlnite în studii ştiinţifice. Variabilitatea este intraindividuală atunci când se raportează la diferenţele existente între momentele sau situaţiile diferite în care se află acelaşi individ. De exemplu, atunci când se cercetează timpul de reacţie la aceeaşi persoană în momente temporale diferite, se pot obţine valori diferite. Diferenţa dintre cea mai mică şi cea mai mare variantă de variaţie poartă numele de amplitudine de variaţie sau de plajă de variaţie. Variabilitatea interindividuală face referire la diferenţele existente între indivizi (desigur, referindu-se la aceeaşi caracteristică). Variabilitatea intragrup caracterizează oscilaţiile valorice în cadrul unui grup bine precizat şi variabilitatea intergrup caracterizează aceste oscilaţii la nivelul indicatorilor aparţinând la grupuri diferite. Indicatorii statistici nu sunt doar simple valori ale variabilei, ci valori reprezentative care caracterizează ansamblul valorilor unui grup.

STATISTICĂ I

103

Variabile şi factori.

Termenii ştiinţifici de variabilă şi factor sunt des folosiţi ca sinonimi ceea ce poate crea o serie de confuzii. În esenţă, orice factor poate fi o variabilă, dar nu orice variabilă poate fi un factor. Nu există o corespondenţă perfectă între variabilă şi factor. În unele lucrări ştiinţifice, termenul factor este folosit abuziv. În general, prin factor se înţelege orice are o influenţă cauzală, un anumit efect asupra unui

fenomen. În acest sens factorul este considerat o condiţie antecedentă sau o cauză. Prin extensie, factorul poate fi considerat o variabilă independentă. Acest sens e propriu procedurilor statistice bazate pe analiza de varianţă. Distincţia între factori sistematici şi aleatori este fundamentală. Factorul este sistematic, în cazul în care alegerea modalităţilor poate fi sistematică, şi aleatoriu, în cazul în care modalităţile sale sunt stabilite prin tragere la sorţi. O convenţie frecvent respectată este aceea de a denumi factorul printr-o literă majusculă şi o cifră care indică numărul modalităţilor. De exemplu, în cadrul notaţiei S3 desemnăm prin S factorul „studii” şi prin 3 numărul de modalităţi. Desemnarea nivelelor se face prin utilizarea literelor minuscule: s1= studii superioare, s2=studii medii şi s3=studii generale. Prin convenţie factorii aleatorii sunt subliniaţi. Factorii cărora experimentatorul vrea să le studieze efectele sunt numiţi principali, iar cei pe care experimentatorul trebuie să-i controleze pentru că el ştie că aceştia au un efect asupra fenomenului studiat sunt numiţi secundari.

Factorul poate fi unul din rezultatele unei analize factoriale, termen care nu reprezintă un concept unitar, ci mai curând este utilizat ca termen umbrelă pentru un număr de proceduri statistico-matematice care-şi propun să localizeze un număr mai mic de dimensiuni clusteri sau factori într-un set mai mare de variabile independente sau itemi. Primul element distinctiv al unei analize factoriale este reducerea datelor. Analiza factorială este o reacţie contra beţiei de cuvinte în cercetarea psihologică care tinde să considere că oamenii şi acţiunile umane au atâtea calităţi cam câte adjective şi atribute există într-o limbă. A exprima mult prin puţin, principiul parcimonieii, este esenţial în analiza factorială, indiferent de formele pe care le îmbracă această analiză. Ca atare, factorul este o variabilă subiacentă care stă la baza variaţiei altor variabile, este o esenţă ireductibilă şi irepetabilă care serveşte de suport lumii fenomenologice cu o mare varietate de manifestări.

AUREL STAN

104

II. GRUPAREA ŞI SISTEMATIZAREA DATELOR

II.1.MĂSURAREA ÎN PSIHOLOGIE O primă întrebare care se pune atunci când abordăm problema prelucrării datelor obţinute într-o

cercetare psihologică este: haina numerică se potriveşte la fel de bine exprimării rezultatelor ca în domeniul fizicii, chimiei, biologiei, sau are un anumit specific care trebuie lămurit? În esenţă, trebuie să stabilim dacă faptul psihic este la fel de bine fundamentat cantitativ ca în domeniile amintite. Dezbaterile pe această temă durează de secole, opunând la începuturile lor concepţia lui Immanuel Kant şi celei aparţinând lui Johann Herbart. Prima concepţie susţine că psihologia nu va ajunge niciodată ştiinţă experimentală, deoarece faptul psihic nu posedă decât o singură variabilă, timpul. A doua concepţie susţine că psihologia va putea deveni experimentală şi cantitativistă, întrucât posedă pe lângă variabila timp şi variabilele intensitate şi calitate. Dezbaterile pe această temă nu au încetat, fiind sintetizate foarte bine într-o lucrare de erudiţie a lui Vasile Pavelcu: „Ambele atitudini sunt fireşti căci, dacă am aplica metrismul matematic la părerile înseşi, ivite în rândul oamenilor de ştiinţă, cu privire la psihologia matematică, am constata abateri statistice naturale, atât în sens pozitiv, cât şi în cel negativ, faţă de medie. Extremele sunt egal de primejdioase pentru dezvoltarea unei ştiinţe. O încredere exagerată, nejustificată suficient într-o metodă, duce fatal spre dezamăgirea şi părăsirea totală a acesteia. Un scepticism anticipat, şi la fel de nejustificat, barează drumul încercărilor şi verificărilor, fără de care nu putem face dovada ştiinţifică”10.

Răspunsul la întrebarea anterioară presupune o scurtă incursiune în domeniul teoriei măsurării.

Nevoia de măsurare a venit odată cu apariţia şi dezvoltarea cercetării experimentale în psihologie. Pentru a fi considerată ştiinţifică, cercetarea psihologică trebuie să se supună rigorilor care domina ştiinţele cu un statut bine precizat, cum sunt fizica, fiziologia şi chimia, în care experimentul era frecvent practicat. Promotorii experimentului psihologic considerau că prin

intermediul acestuia psihologia se depărtează de viziunea speculativă şi adera la exigenţele spiritului pozitiv, atotputernic la sfârşitul secolului XIX şi începutul secolului XX, perioadă în care avântul cercetării experimental-psihologice a fost foarte pronunţat. Personalităţile dominante în această perioadă au fost E.H. Weber, G.T. Fechner, W. Wundt, H. Ebbinghaus, H. Helmholtz, S. Hull, J.McK. Cattell. Domeniul în care aceşti savanţi au lucrat a fost unul relativ îngust, cel al structurilor psihice elementare (senzaţii, percepţii). Încercările de a extinde tehnicile experimental-statistice la fenomene psihice complexe a dus la apariţia unor eşecuri şi nereuşite în cercetare. Perfecţionarea tehnicilor de investigaţie s-a făcut paralel cu progresul concepţiilor psihologice şi a aparatului statistico-matematic. Necesar cercetărilor complexe în care interrelaţionarea era complexă. Cercetători precum Ch.

10 Vezi Pavelcu, Vasile Problema măsurii în psihologie, Extras din Cercetări pedagogice, vol. I, 1943. Tipografia Alexandru A. Terek, Iaşi, pag.3.

STATISTICĂ I

105

Spearman, H.P. Kelley, H. Hotteling, L.L. Thurstone, C. Burt, L. Guttman, S.S. Stevens au perfecţionat şi rafinat concepţia de cercetare în psihologie şi au elaborat tehnici cantitative complexe, aşa cum este analiza factorială. Într-o lucrare clasică de psihometrie, care se menţine în actualitate, Nicolae Mărgineanu redă complexitatea situaţiei cercetării din domeniul psihologic: „Una dintre caracteristicile de bază ale ştiinţei contimporane, în opoziţie cu ştiinţa antebelică şi mai ales cu aceea a secolului trecut, e de a nu te mulţumi numai cu studiul relaţiilor dintre diferite, ci de încerca şi studiul structurii şi configuraţiei acestor relaţii. Relaţia nu e torul; ea e întotdeauna o parte şi un aspect dintr-un sistem. Ori acest sistem nu pare a fi indiferent pentru relaţie; pentru ca sensul relaţiei să fie prins în întregime, relaţia trebuie raportată şi la el. Sistemul pare chiar să aibă ultimul cuvânt, proprietăţile de bază ale relaţiilor nefiind decât funcţiuni ale sale”.11

A măsura înseamnă a aloca numere lucrurilor şi fenomenelor conform unor reguli. Fără o

concepţie clară asupra realităţii măsurabile nu se poate vorbi de precizie şi de apreciere cantitativă a fenomenelor. Pentru depăşirea unei concepţii rigide s-a ajuns la o concepţie nouă privind puterea măsurării, elaborându-se gradiente ale forţei de măsurare. A luat astfel naştere concepţia scalelor de măsură. Elaborarea teorie scalelor de măsură nu reprezintă doar un compromis, o convenienţă, ci o adaptare la realităţii măsurabile specifice şi complexe.

Problema scalelor de măsură. În sens general, o scală este o procedură sau un plan ce permite aranjarea obiectelor sau evenimentelor în serii progresive. În sens concret, o scală este un instrument sau un dispozitiv ce permite ordonarea numerică a obiectelor sau fenomenelor prin determinarea unei valori proprii. În examinarea psihologică, scala desemnează un instrument de examinare sau testare psihologică care posedă itemi şi sarcini structuraţi în legătură cu o anumită dimensiune. În acest ultim sens, avem scala metrică a inteligenţei Binet-Simon, scala de performanţă Grace-Arthur. Scala de dezvoltare A.L. Gessel. Există scale de atitudini, de preferinţe, de inteligenţă.

Valorile pe care le obţin variabilele în cursul unor procese de măsurare nu au aceeaşi putere informaţională, adică nu comunică la fel de profund în privinţa anumitor caracteristici pe care le studiază. Neglijarea acestui aspect poate duce la apariţia unor confuzii în interpretarea rezultatelor unor cercetări. Este foarte important de a preciza pe ce scală de măsură pot fi apreciate valorile unei variabile şi dacă operaţiile sau tratamentele statistice sunt pertinente, adică dacă sunt adaptate, ajustate proprietăţilor specifice ale unei anumite scale.

Practic, scala de măsură este un instrument de măsură care prezintă anumite gradaţii după care se ghidează cel care doreşte să facă aprecieri în procesul de măsurare dintr-un anumit domeniu. În sens strict scala de măsură presupune că modalităţile sau valorile sunt cel puţin ordonate, deci exclude observaţiile care sunt doar calitativ diferite. În sens larg, scala de măsură se raportează şi la observaţii care pot fi doar calitativ diferite.

Crearea şi fundamentarea teoretică a scalelor de măsură sunt legate de numele cercetătorului englez S.S. Stevens care, în anul 1946, a stabilit 4 niveluri sau tipuri de scale de măsură, inegale în privinţa puterii: măsuri nominale, ordinale, de interval, şi de raport. Alţi autori care s-au ocupat de această problemă au arătat că se pot concepe nenumărate tipuri de scale, dar cea mai mare parte

11 vezi Nicolae Mărgineanu, Elemente de Psihometrie, Ed. Institutului de Psihologie al Universităţii din Cluj, 1938

AUREL STAN

106

dintre ele nu au o reală semnificaţie practică prin diversele grupe de transformări numerice pe care le-ar presupune12.

Scala nominală (denumiri similare scala categorială sau scala formală) reprezintă tipul de scală care indică cel mai slab grad al măsurii. Modalităţile scalei nominale sunt definite în aşa fel încât fiecare observaţie nu poate fi plasată doar într-o singură modalitate. Ea asigură doar simpla diferenţiere calitativă a observaţiilor făcute de un cercetător. Chiar atunci când utilizează numere în exprimare realităţii supus măsurii, această scală nu indică alte proprietăţi decât acelea de a fi simple etichete pentru distingerea diferitelor modalităţi ale unei variabile. Ea poate asigura identitatea a două elemente. La nivelul scalei nominale modalităţile X,Y şi Z pot fi reprezentate prin 1,2 şi 3, sau la fel de bine prin 14, 23, 8. Important este ca aceste simboluri să fie diferite. În acest caz 1 nu este mai mic decât 2 şi nici acesta, la rândul lui, nu este mai mic decât 3. Ele sunt doar simboluri diferite. Observaţiile pot fi exprimate şi prin simboluri alfanumerice: a1, a2 şi a3 sau chiar prin simboluri pictografice. Astfel de scale sunt frecvent utilizate în psihologie şi, în general, în ştiinţele sociale, atunci când se uzează de clasificări: tipologiile psihologice, nomenclatoarele profesiilor, nosologiile psihiatrice (sisteme de clasificare a bolilor). De exemplu, variabila categorie socio-profesională poate avea modalităţile: elev, student, funcţionar, cadru mediu, cadru superior, patron, manager, şomer, pensionar. Prin codificare, atribuim un simbol distinct fiecărei modalităţi a variabilei. Redăm într-un tabel diferite variante de codificare: varianta 1-alfabetică, varianta 2-numerică, varianta 3-alfanumerică.

Modalitatea variabilei Varianta 1 Varianta 2 Varianta 3 Elevi A 1 a1 Studenţi B 2 a2 Funcţionari C 3 a3 Cadre medii D 4 a4 Cadre superioare E 5 a5 Manageri F 6 a6 Patroni G 7 a7 Şomeri H 8 a8 Pensionari I 9 a9

Tabelul nr.2 Codificări posibile pentru modalităţile variabilei categorie socio-profesională în cadrul unei scale nominale

Recodificarea modalităţilor în funcţie de variante este corectă dacă asigură fiecărei modalităţi o

notare distinctă de a celorlalte, aşa cum rezultă din tabelul următor.

Modalitatea variabilei Varianta 1 Varianta 2 Varianta 3 Elevi C 9 a7 Studenţi I 8 a3 Funcţionari A 5 a5 Cadre medii D 3 a9 Cadre superioare F 7 a8 Manageri B 1 a2 Patroni E 4 a6 Şomeri G 6 a4 Pensionari H 2 a1

Tabelul nr. 3 Cuprinde recodificarea corectă a modalităţilor variabilei Categorie socio-profesională din tabelul 1 12 vezi Dick, P., Tournobis, Jocelyne, Flieler, A., Kop, Jeana-Luc, “La Psychométrie”, Presses Universitaires de France, Paris, 1994

STATISTICĂ I

107

Scala ordinală introduce ordinea între elementele unei serii de observaţii. Transformările efectuate trebuie, de această dată, să lase ordinea invariantă, neschimbată. Într-o astfel de situaţie a<b<c şi 1<2<3. Ultima serie poate fi înlocuită prin 7;13;19 (care respectă ordinea iniţială, primul element mai mic decât al doilea şi acesta l, la rândul lui, mai mic decât la treilea, dar nu prin 7;5;15 (care nu o respectă). Exemplificările scalelor nominale în domeniul disciplinelor psiho-sociale sunt, de asemenea, numeroase (clasele de vârstă, nivelurile şcolare, fazele dezvoltării intelectuale). Chiar scorurile brute la probele de aptitudini sau la chestionarele de personalitate, considerate în mod strict, se încadrează în rândul scalelor ordinale. Într-o astfel de scală putem să spunem că elementul b este mai mare decât elementul a, dar nu putem să precizăm cu cât este mai mare. Cel mai bune exemple pentru scalele ordinale sunt scalele de atitudini sau scalele de apreciere. Variabila atitudine faţă de fenomenul homosexualităţii poate avea următoarele modalităţi ordonate sau nivele: a) total dezacord; b) dezacord; c) acord parţial; d) acord total. Aceste serie de modalităţi este ”îngheţată”, în sensul că nu poate fi schimbat locul ierarhic al unui nivel.

Scala de interval introduc ordinea între modalităţile unei serii de observaţii dar şi semnificaţia distanţei dintre acestea. Valorile pentru acest tip de scale sunt numerice. Numerele pot fi întregi (variabila fiind calificată în acest caz discontinuă sau discretă) sau să cuprindă şi valori reale (caz în care variabila este discontinuă, există posibilitatea interpunerii unei noi valori între două valori succesive). Exemple de variabile discontinue de interval din domeniul psihologiei: scorurile la itemii testelor (itemul este o componentă informaţională elementară a unui test sau chestionar); scorurile la testele sau chestionarele psihologice în ansamblul lor (aptitudini, atitudini). Exemple de variabile continue de interval din domeniul psihologiei: timpul de reacţie verbală, măsurarea parametrilor biologici (în cazul studiilor psihofiziologice). Pentru acest tip de variabilă, nu pot exista valori definite în avans. De această dată putem preciza că b este mai mare decât a, dar şi cu cât este mai mare. Distanţa capătă semnificaţie. Dacă avem 4 elemente (A,B,C,D) egale cu 4,8,12,16 putem preciza că distanţa dintre elementele B-C (8-4) este cu 4 mai mică decât distanţa dintre elementele A-D. Aceste scale au fost destinate să joace un rol considerabil în psihologie în funcţie de dezvoltarea instrumentelor de analiză care solicită acest nivel de măsură.

Scalele de raport. Corespund scalelor pe care Stevens le-a numit scale de interval cu origine raţională. Sunt puţin utilizate în cercetarea psihologică. Valorile acestui tip de scală sunt numerice şi pot fi supuse operaţiunilor aritmetice. La acest tip de scală se foloseşte şi are sens valoarea nulă (0). În cazul scalelor de interval, valoarea 0 este pur convenţională, cum este valoarea 0 a unui termometru. În cazul scalei de raport, valoarea 0 marchează absenţa unui fenomen, situaţie greu de acceptat în psihologie. Rapoartele nu sunt alterate printr-o transformare de similaritate (adică o transformare liniară în care b = 0). O reprezentare de acest tip este deci legată de o constantă multiplicative.

Menţionăm scalele nominale şi ordinale mai sunt numite şi scale calitative, pe când scalele de interval şi de raport sunt numite scale cantitative. Scalele, aşa cum sunt enumerate anterior, formează un ansamblu ierarhic de la slab la puternic ale cărui trepte se disting în privinţa în privinţa forţei informaţionale. O scală situată pe o treaptă superioară are proprietăţile unei scale inferioară, plus o serie de proprietăţi suplimentare. Operaţiile şi transformările statistico-matematice care se pot efectua

AUREL STAN

108

în cadrul unei scale sunt condiţionate de puterea informaţională a scalei respective. Cu cât înaintăm spre vârful ierarhiei scalare, cu atât numărul de operaţii permise este mai mare şi transformările sunt mai complexe. Pe parcursul lucrării noastre vom face specificaţii necesare în această privinţă, de câte ori este cazul13.

II.2 CONSIDERAŢII ASUPRA GRUPĂRII DATELOR Operaţiile de grupare sunt strict necesare în activitatea de cercetare ştiinţifică efectuată cu

ajutorul unor metode de investigaţie specifice psihologiei. Primul lucru asupra căruia ne îndreptăm atenţia atunci când suntem în faţa unor date neordonate rezultate dintr-o cercetare este să ne întrebăm asupra puterii informaţionale a unor astfel de date. Aparţin scalei nominale, ordinale, de interval sau de raport? Fiecare din aceste scale pun probleme specifice de prelucrare, sistematizare şi de reprezentare grafică. În ceea mai mare parte a cazurilor, psihologul se găseşte în faţa unor valori care sunt de nivelul scalei de interval, este adevărat, cu respectarea anumitor convenţii care conferă datelor acest statut. În funcţie de modul de sistematizare a datelor ele ne “vorbesc” mai mult sau mai puţin consistent.

Gruparea. În cazul în care modalităţile de care dispunem au valoare scalară nominală sau ordinală grupare presupune stabilirea frecvenţelor specifice fiecărei modalităţi. Frecvenţele absolute rezultă din însumarea tipurilor distincte ale modalităţilor sau nivelelor. Frecvenţele relative traduc cuantumul procentual al fiecărei frecvenţe absolută, adică valoarea procentului din total reprezentat de o anumită modalitate a variabilei. De exemplu, dacă într-o cercetare ne propunem să grupăm variabila nominală tip de studii superioare, cu modalităţile studii umaniste, studii economice, studii tehnice, putem avea următoarea situaţie (situaţie imaginată):

Nr. crt. Tip de studii Frecvenţa (f) Frecvenţa relativă(f%) 1 Studii umaniste 75 56,8% 2 Studii economice 43 32,6% 3 Studii tehnice 14 10,6% Total N = 132 100%

Tabelul nr.4 Cuprinde modul de înregistrare a frecvenţei a modalităţilor sau categoriilor unor scale nominale

Frecvenţa relativă se obţine prin înmulţirea cu o sută a raportului dintre frecvenţa relativă şi

efectivul total. Astfel frecvenţa relativă 32,5% se obţine astfel: 32,5% = 100*13243 . Frecvenţele relative

dau o informaţie mai precisă, mai ales în cazul în care nu se cunoaşte efectivul total (N =132). Astfel, frecvenţa absolută egală cu 43 specifică modalităţii studii medii nu ne comunică prea mult dacă nu ştim cunoaştem valoarea 132, pe când valoarea 32,6 ne comunică faptul că modalitatea studii medii cuprinde aproximativ o treime din numărul total al subiecţilor.

132 pentru informaţii suplimentare vezi: Valentin Clocotici, Aurel Stan, Statistică aplicată în psihologie, Editura Polirom, Iaşi, 2000.

STATISTICĂ I

109

Pentru variabilele ale căror modalităţi se prezintă sub formă numerică, drumul ordonării este ceva mai lung. În acest caz, o masă de cifre neordonată ne transmite foarte puţin sens. Exemplificările pe care le vom face pe parcursul lucrării noastre sunt, în cea mai mare parte, specifice cercetării psihologice. Să presupunem că avem în faţă următoarele valori rezultate din corectarea unui test psihologic, mai clar spus avem în faţă notele brute obţinute de 91 de subiecţi la testul AD-P (atenţie distributivă Praga), având studii medii, vârsta între 35-40 ani, provenind din mediul urban:

22 37 56 76 33 48 40 47 58 78 82 50 54 53 47 54 55 62 69 29 43 59 70 55 53 48 36 66 72 53 46 35 43 58 52 50 57 72 29 35 53 43 39 35 48 55 33 38 43 47 43 49 56 38 32 49 55 60 67 56 64 50 26 69 78 55 53 38 47 55 66 73 50 63 62 46 28 64 63 40 42 61 67 63 46 42 68 59 55 57 55

Menţionăm că ansamblul valorilor unei variabile poartă numele de distribuţie. Există distribuţii

teoretice, denumire care indică faptul că valorile sunt repartizate conform rigorilor unui anumit model matematic de distribuţie, şi distribuţii empirice, rezultate din cercetări concrete. În cazul nostru de exemplificare, vom opera pe o distribuie empirică. În momentul în care ordonăm datele crescător, ansamblul valorilor începe să capete un sens pentru cei care îşi propunem să le cerceteze. Prezentăm, în continuare, ordonarea acestor date. Putem observa cu uşurinţă care este cea mai mică şi care este cea mai mare valoare a variabile pe care o notăm cu X (care reprezintă performanţa unor subiecţi la testul AD-P), deci extremele performanţelor.

22 26 28 29 29 32 33 33 35 35 35 36 37 38 38 38 39 40 40 42 42 43 43 43 43 46 46 46 47 47 47 47 48 48 48 48 49 49 50 50 50 50 52 53 53 53 53 53 54 54 55 55 55 55 55 55 55 55 56 56 56 57 57 58 58 59 59 60 61 62 62 63 63 63 64 64 66 66 67 67 68 69 69 70 72 72 73 76 78 78 82

Avem în total 91 de rezultate ale subiecţilor. În acest caz, valoarea 1 este numită volumul distribuţie. Se notează cu N. După această ultimă ordonare putem să efectuăm o grupare a datelor, operaţiune care se poate avea două opţiuni: 1. Gruparea pe variante de variaţie; 2. Gruparea pe intervale de variaţie.

Este un tip de ordonare care poate are cea mai largă răspândire, indiferent de domeniu. Unele domenii îşi impun o serie de modele proprii de prezentare a datelor, funcţie de particularităţile tipului de cercetare (date rezultate în urma unei observaţii, date rezultate dintr-un experiment, date rezultate dintr-o anchetă).

AUREL STAN

110

II.2.1. Gruparea pe variante de variaţie.

În cazul în care optăm pentru primul fel de grupare, stabilim cât de frecvente sunt valorile diferite pe care le-au obţinut subiecţii, adoptând o ordonare ascendentă sau descendentă a valorilor distincte. Rezultatele unei variabile care nu au suferit încă tratamente de transformare valorică poartă numele de valori brute sau note brute. Dacă această operaţiune este efectuată empiric, se ordonează crescător sau descrescător aceste valori, apoi se parcurge întreaga serie de valori neordonate şi se trage câte o linie ori de câte ori întâlnim o valoare identică. În exemplul nostru ordonarea este ascendentă. Pentru o bună citire a rezultatelor grupării empirice se realizează grupări de câte 5 valori identice, prin a 5-a linie se barează 4 liniuţe anterioare. Tipul de marcare IIII cuprinde 5 valori identice ale variabilei.

Nota brută Marcare Fr Nota brută Marcare Fr. Nota brută Marcare Fr. 22 I 1 47 IIII 4 63 III 3 26 I 1 48 IIII 4 64 II 2 28 I 1 49 II 2 66 II 2 29 II 2 50 IIII 3 67 II 2 32 I 1 52 I 1 68 I 1 33 II 2 53 IIII 5 69 II 2 35 III 3 54 II 2 70 I 1 36 I 1 55 IIII III 8 72 II 2 37 I 1 56 III 3 73 I 1 38 III 3 57 II 2 76 I 1 39 I 1 58 II 2 78 II 2 40 II 2 59 II 2 82 I 1 42 II 2 60 I 1 43 IIII 4 61 I 1 46 III 3 62 II 2

Tabelul nr.5 Conţine ordonarea pe variante de variaţie şi marcările corespunzătoare ale frecvenţei valorilor Asemenea contorizări ale datelor se realizează în momentul în care tindem să realizăm o analiză

foarte amănunţită, deci când într-o cercetare operează un spirit analitic pronunţat. În momentul în care urmărim observarea tendinţei centrale a datelor, atunci efectuăm o grupare pe intervale de variaţie. Problema care se pune în acest caz este aceea a numărului optim de intervale în care pot fi grupate datele avute la dispoziţie.

II.2.2. Gruparea pe intervale de variaţie Aceasta poate lua forma intervalelor egale sau inegale. În majoritatea cazurilor în cercetările

psihologice gruparea se face pe intervale egale. Gruparea pe intervale de variaţie presupune următoarele etape:

alegerea sau determinarea mărimii intervalului de variaţie. Mărimea intervalului de variaţie depinde de amplitudinea şi de numărul de grupe sau de clase dorit. Amplitudinea unei distribuţii este distanţa dintre cea mai mare şi cea mai mică valoare. Vom nota cu A amplitudinea distribuţiei, notaţie acceptată în mare parte de autorii de specialitate. Formula de calcul este următoarea: A = Xmax-Xmin+1, în care: Xmax reprezintă cea mai mare valoare şi Xmin cea mai mică valoare. În cazul nostru concret X max = 82, X min = 22. Procedând la calculare vom avea A = 82 – 22 + 1 = 61. Cifra 61 ne spune că între cea mai mare şi cea mai mică valoare se găsesc teoretic 61 de valori ale variabilei distincte una de alta. Distribuţiile empirice (rezultate în urma unor cercetări concrete) nu au, de obicei, toate variantele posibile. În exemplu nostru lipsesc valorile variabilei egale cu 23, 24, 27 etc. Practic, avem un număr de 43 variante distincte ale variabilei. Notăm cu i mărimea unui

STATISTICĂ I

111

interval, mărime care se calculează după următoarea formulă: i = kA , în care A este amplitudinea

distribuţiei, iar k este numărul de intervale în care dorim să împărţim distribuţia. De exemplu, dacă dorim să facem o împărţire a distribuţiei valorilor în 9 intervale vom avea următorul rezultat:

i = 961 = 6.77. Dacă valorile concrete ale variabilei nu conţin zecimale vom proceda la întregirea

valorii i, care se face totdeauna prin adăugire. Deci, în urma întregirii, i = 7. Dacă întregirea s-ar face prin scădere, ar rămâne valori în afara intervalelor, valori nealocate unor intervale. Dar, dacă vom considera mărimea unui interval egală cu 7, vom mări artificial mărimea amplitudinii cu 2, deoarece 9 × 7 = 63. Pentru a împărţi ponderat diferenţa la cele două capete ale distribuţiei vom începe primul interval de la 21 şi ultimul interval va avea valoarea superioară egală cu 83, deci va fi mai mare cu 1.

Crearea tabelului cu intervale. Intervalele care rezultă sunt următoarele: 1 2 3 4 5 Nr.crt. Interval Centru interval Marcare Frecvenţa 1. 21 – 27 24 II 2 2. 28 – 34 31 IIII I 6 3. 35 - 41 38 IIII IIII I 11 4 42 - 48 45 IIII IIII IIII II 17 5. 49 - 55 52 IIII IIII IIII IIII II 22 6. 56 - 62 59 IIII IIII III 13 7. 63 - 69 66 IIII IIII II 12 8. 70 - 76 73 IIII 5 9. 77 - 83 79 III 3 Total N = 91

Tabelul 6. Conţine gruparea pe variante de variaţie şi marcarea frecvenţelor valorile pentru fiecare interval

Pe lângă rubricile cuprinzând numărul curent şi mărimea intervalului au fost trecute, pentru o mai bună înţelegere a tabelului, rubrici cuprinzând marcarea variabilelor componente ale unui interval şi frecvenţa acestora pe un interval. La o primă privire, intervalele creează impresia că au valoarea 6, şi nu 7, cum am anunţat anterior. Dar aceste intervale includ limita inferioară şi limita superioară. Intervalul 21–27 conţine următoarele valori teoretice: 21,22,23,24,25,26,27. Deci, are 7 componente numerice distincte. În unele cazuri se face precizarea dacă limitele intervalelor sunt sau nu incluse în interval sau se face precizarea care sunt limitele reale ale intervalelor, în cazul existenţei unor valori zecimale. Astfel, intervalul 21 – 27 poate avea limita inferioară 20,5 şi limita superioară 27,5 dacă am fi avut zecimale.. Ca atare, dacă am fi întâlnit valorile 20,7 sau 27,3 le-am fi marcat la intervalul anunţat anterior. Centrul intervalului se obţine prin împărţirea la 2 a adiţiei valorii limitei inferioare a intervalului şi a celei superioare. Astfel la intervalul nr.1, centrul intervalului, egal cu 24, s-a obţinut în felul următor: 24

= 248

22721

=+ . Stabilirea centrului intervalului poate fi utilă pentru uşurarea unor calcule, situaţie în

care centrul intervalului este considerat o valoare reprezentativă a intervalului. O problemă care se pune la gruparea pe intervale de variaţie este aceea a numărului optim de

intervale în care se divizează distribuţia. Există în această privinţă o serie de formule de calcul şi de tabele fixând numărul de intervale. În primul rând amintim formula lui H.D. Sturges; care fixează

AUREL STAN

112

mărimea intervalului i = N

XX

lg22.31

minmax

+

−

în care Xmax este cea mai mare valoare a distribuţie,

Xmin - cea mai mica valoare şi N - numărul total de răspunsuri ale subiecţilor. După ce am stabilit mărimea intervalului se poate determina foarte uşor numărul de intervale Pentru valori nu prea mari ale lui N (sub 100) se foloseşte formula Hahn-Shapiro: k=Int(N/5), în care k exprimă numărul de intervale, INT exprimă partea întreagă a expresiei numerice din paranteză (întregire prin scădere, de exemplu, INT (3,7)=3). Ilie Puiu Vasilescu exemplifică, în una din lucrările sale consacrate statisticii aplicate, o serie de tabele care indică numărul de intervale în funcţie de numărul de subiecţi14. Redăm, în continuare, unul din aceste tabele, şi anume tabelul lui Bendat şi Piersol:

N 200 400 600 800 1000 1500 2000 K 16 20 24 27 30 35 39

Tabelul 6. Tabelul Bendat – Piersol referitor la numărul optim de intervale în care se pot diviza distribuţiile

În acest tabel prin n s-a notat numărul r de răspunsuri ale subiecţilor la o anumită solicitare şi prin k numărul de intervale necesare. Astfel, la 200 de subiecţi sunt necesare 16 intervale, între 201 şi 400 sunt necesare 20 de intervale, între 401 şi 600 avem nevoie de 24 de intervale, ş.a.m.d. În practică grupării datelor pe un număr relativ mic de răspunsuri (în jur de 100) se realizează 7; 9; 11; 13 intervale. Numărul de intervale este impar, fapt ce pune mai bine în evidenţă tendinţa centrală.

În următoarea etapă se realizează un tabel cu frecvenţele şi alte rubrici necesare efectuării calculelor statistice. Tabele se elaborează conform unor reguli. Aceste reguli15 sunt:

1. să faciliteze percepţia rapidă şi exactă a informaţiilor prezentate; 2. să cuprindă numai informaţii strict necesare caracterizării fenomenului studiat; 3. să aibă un titlu scurt, clar, care să sintetizeze conţinutul informativ al datelor; 4. să fie numerotate pentru a putea fi identificate uşor în textul de analiză, 5. să fie însoţite de note explicative care să explice noţiunile cu mai multe sensuri; 6. notele explicative trebuie să explice sursa datelor; 7. liniile şi coloanele tabelului trebuiesc numerotate pentru a putea fi identificate uşor in text; 8. în tabele nu se admit rubrici incomplete.

Exemplificăm rubricile cu frecvenţe pe datele anunţate de noi anterior:

Nr.crt. Interval f f% fc↓ fc↓ fc↑ fc↑% 1 21 – 27 2 0,02 (2%) 2 0,02 (2%) 91 1,00 (100%) 2 28 – 34 6 0,07 (7%) 8 0,09 (9%) 89 0,98 (98%) 3 35 – 41 11 0,12 (12%) 19 0,21 (21%) 83 0,90 ( 90%) 4 42 – 48 17 0,19 (19%) 36 0,40 (40%) 72 0,78 ( 78%) 5 49 – 55 22 0,24 (24%) 58 0,64 64%) 55 0,59 ( 59%) 6 56 – 62 13 0,14 (14%) 71 0,78 (78%) 33 0,36 ( 36%) 7 63 – 69 12 0,13 (13%) 83 0,91 (91%) 20 0,22 ( 22%) 8 70 – 76 5 0,05 (5%) 88 0,97 (97%) 8 0,09 ( 9%) 9 77 – 83 3 0,03 (3%) 91 1,00 (100%) 3 0,03 ( 3%) Total N=91 1,00 (100%) Tabelulul nr.7 Cuprinde intervalele de variaţie şi tipurile de frecvenţe

14 Vezi Vasilescu, Ilie Puiu, Statistică informatizată pentru ştiinţele despre om, Editura militară, Bucureşti, 1991, pag. 27 15 Vezi Porojan, Dumitru „Statistica şi teoria sondajului” Casa de editură şi presă “Şansa” SRL, Bucureşti, 1993, pag. 39

STATISTICĂ I

113

Legendă: f = frecvenţă simplă sau frecvenţă absolută; f% = frecvenţă simplă relativă; fc↓ = frecvenţă cumulată ascendent; fc↓% = frecvenţă relativă cumulată ascendent; fc↑ = frecvenţă absolută cumulată descendent; fc↑% = frecvenţă relativă cumulată descendent;

Frecvenţa simplă notată cu f, indică numărul de rezultate ale subiecţilor care se găsesc în intervalul respectiv. De exemplu, în intervalul 3, cu limitele 35 – 41 (limita inferioară 35, limita superioară 41) se găsesc 11 rezultate ale subiecţilor. Deci, 11 subiecţi au obţinut la proba AD-P rezultate (sau scoruri) cuprinse între 35 şi 41. Dacă adiţionăm toate cele 9 frecvenţe simple va rezulta valoarea 91, reprezentând ansamblul rezultatelor subiecţilor care au participat la examinare (notat cu N mare. N reprezintă volumul distribuţiei). Frecvenţa simplă relativă, notată cu f%, indică cota parte de subiecţi (este exprimată sub formă de proporţie) din totalul de 91, existentă în intervalul respectiv. În dreptul intervalului 3 (35 – 41) se vor afla 0,12 din totalul rezultatelor subiecţilor, sau, exprimat sub formă procentuală, 12% din acest total(valoare trecută în paranteză). Frecvenţa cumulată ascendent indică numărul rezultatelor subiecţilor care se găsesc până în dreptul intervalului respectiv (inclusiv acest interval). De exemplu, în dreptul intervalului 3 de la rubrica fc↓ se găseşte valoarea 19, semnificând faptul că până în dreptul intervalului 3, inclusiv acesta, se găsesc 19 rezultate ale subiecţilor, sau mai clar, primele 19 rezultate ale subiecţilor ordonate crescător. Valoarea 19 se obţine prin adiţia primelor 3 frecvenţe simple (19 = 2+6+11). Valoarea corespunzătoare a intervalului 4, din rubrica fc↓ este 36. Ea se obţine din adiţia valorilor primelor 4 frecvenţe simple (36 = 2+6+11+17). Primele valori din rubricile f şi fc↓ coincid (ambele au valoarea 2). Frecvenţa relativă cumulată ascendent reprezintă cota parte din totalul rezultatelor subiecţilor existentă până la un anumit interval. Ea ne informează despre proporţia răspunsurilor subiecţilor ( în paranteză este trecută forma de exprimare procentuală) până la un anumit interval. De exemplu, în dreptul intervalului 4 la rubrica fc↓% se găseşte valoarea 0,40, care provine din adiţia frecvenţelor simple relative de la intervalele 1- 4 (0,02 + 0,07 + 0,12 + 0,19). Această valoare ne spune că până la intervalul 4, inclusiv acesta, se găsesc 0,40 din totalul răspunsurilor subiecţilor, sau, exprimat sub formă procentuală, 40% din totalul acestora. Frecvenţa cumulată descendent exprimă numărul răspunsurilor subiecţilor care se găseşte dincolo de un anumit interval Astfel, valoarea 72 a intervalului 4 din rubrica fc↑ exprimă faptul că dincolo de intervalul 4 (inclusiv acesta) se găsesc 72 de răspunsuri ale subiecţilor. Valoarea 72 se obţine scăzând din numărul total al subiecţilor (N = 91) adiţia frecvenţelor simple a primelor 3 intervale. Astfel 72=91–(2+6+11). Dacă ar trebui să calculăm frecvenţa cumulată descendent a intervalului 5 vom scădea din totalul răspunsurilor adiţia primele 4 valori, iar pentru intervalul 6 adiţia primelor 5 valori (55 = 91–(2+6+11+17) şi 33=91–(2+6+11+17+22)). Frecvenţa relativă cumulată descendent, notată cu fc↑% exprimă o situaţie identică, exprimată sub formă de proporţie, în paranteză sub formă procentuală).

Tabelul cuprinzând frecvenţele unei distribuţii pe intervale de variaţie are o utilitate deosebită pentru calculul diferiţilor indicatori statistici.

AUREL STAN

114

II.3. REPREZENTĂRILE GRAFICE ALE REZULTATELOR. Formele de reprezentare grafică ale distribuţiilor valorilor unei variabile (distribuţii univariate, în

care există o singură variabilă care ia diferite valori) sunt foarte diversificate, Ele au menirea de a vizualiza tendinţele existente în interiorul unei distribuţii. Prin această formă grafică unele tendinţe existente într-o distribuţie sunt scoase foarte uşor în evidenţă. Noi vom prezenta cele mai frecvent utilizate forme de exprimare grafică. Folosim pentru exemplificare distribuţia de valori prezentată în tabelul anterior.

II.3.1. Reprezentarea grafică prin coloane Prezintă în cadrul unui sistem de axe rectangulare intervalele de distribuţie pe abscisă şi

frecvenţa acestora pe ordonată. Intervalele de distribuţie sunt prezentate prin marcaje echidistante pe axa absciselor, din care înalţă coloane proporţionale cu frecvenţa acestor intervale.

Figura 1. Reprezentarea grafică prin coloane sau prin bare

O formă a reprezentării grafice prin coloane este histograma, în care coloanele sunt lipite unele de altele.

2

6

11

17

22

13 12

53

0

5

10

15

20

25

"21-27" "28-34" "35-41" "42-48" "49-55" "56-62" "63-69" "70-76" "77-83"

Intervale de variatie

Frec

vent

a int

erva

lelor

STATISTICĂ I

115

2

6

11

17

22

13 12

53

0

5

10

15

20

25

"21-27" "28-34" "35-41 "42-48" "49-55" "56-62" "63-69" 70-76" "77-83"

Intervale de variatie

Frec

vent

a int

erva

lelor

26

1117

22

13 12

5 30

5

10

15

20

25

"21-27" "28-34" "35-41" "42-48" "49-55" "56-62" "63-69" "70-76" "77-83"

Intervale de variatie

Frec

vent

a int

erva

lelor

Figura 2. Reprezentarea grafică sub forma histogramei O altă formă frecvent utilizată de reprezentare grafică a rezultatelor este poligonul frecvenţelor.

Acesta se obţine prin unirea printr-un segment de dreaptă a mijlocului liniilor superioare care marchează coloanele histogramelor. Se pot obţine şi prin unirea prin segmente de dreaptă a punctelor care ar reprezenta frecvenţa fiecărui interval, pornind din centrul acestuia

Figura 3. Reprezentarea grafică prin poligonul frecvenţelor.

Dacă marcăm pe abscisă fiecare interval prin liniuţe echidistante şi unim printr-o linie continuă punctele reprezentând frecvenţa intervalelor obţinem curba distribuţiei.

AUREL STAN

116

Figura 4. Reprezentare grafică sub forma curbei frecvenţelor

Reprezentările grafice ale variabilelor calitative cunosc o serie de particularităţi, determinate de specificul scalei de măsurare. Astfel, pentru a nu crea iluzia unei forme de distribuţiei (deoarece modalităţile unei variabile nominale îşi pot schimba locul fără a denatura reprezentarea fenomenului studiat) se adoptă ca forme de reprezentare grafică diagrama în tronsoane şi diagrama circulară. Pentru exemplificare, folosim datele tabelului anterior referitor la tipul de studii.

Diagrama prin tronsoane

75

43

14

a-studii umaniste;b-studii economice;c-studii tehnice

cba

Diagrama circulară

a

studii umaniste56%

studii economice

33%

studii tehnice11%

Figura 5. Cuprinde modalităţi de reprezentare grafică specifice scalelor nominale(în primul tip de reprezentare grafică sunt trecute frecvenţele absolute, în al doilea tip frecvenţele relative).

2

6

11

17

22

1312

53

0

5

10

15

20

25

"21-27" "28-34" "35-41 "42-48" "49-55" "56-62" "63-69" 70-76" "77-83"

Intervalele de variatie

Frec

vent

a in

terv

aleo

r

STATISTICĂ I

117

II.4. PROTOCOALE DE PREZENTARE A DATELOR. Noţiunea de protocol de prezentare a datelor este foarte frecvent utilizată în domeniul cercetărilor

calitative şi cantitative din cadrul disciplinelor socio-umane. Este un tablou al rezultatelor de bază care înregistrează rezultatul fiecărui subiect în fiecare din condiţiile experimentale.

Pentru a nu folosi termeni ştiinţifici încă necunoscuţi studenţilor anului I, menţionăm că experimentul este o metodă de investigaţie care presupune varierea elementelor constitutive ale unei situaţii în scopul de a provoca un fenomen şi de a măsura evoluţia sa. Elaborarea unui experiment este făcută în scopul de a analiza modificările răspunsului în funcţie de

caracteristicile stimulului, ale situaţiei, ale sarcinilor sau ale subiecţilor. Am amintit anterior că variabilele independente în cadrul unui experiment poartă numele de factori. Anumiţi autori (H. Rouanet) disting variabila independentă de factor, în sensul că factorul este o anumită operaţionalizare a variabilei. Operaţionalizarea conceptuală a fost explicată anterior.. Un plan factorial este un plan de cercetare în care fiecare modalitate a factorului este combinată cu fiecare modalitate a altor factori. Numărul condiţiilor experimentale într-un anumit plan factorial este egal cu produsul numărului de modalităţi a fiecărui factor. Dacă dorim să studiem particularităţile atitudinale în funcţie de mediul de provenienţă şi sex, vom avea un plan experimental 2x2: variabila mediu de provenienţă (notat cu P2) are modalităţile rural (notat p1) şi urban(notat p2) şi variabila sex(notat S2) are modalităţile masculin(notat s1) şi feminin (notat s2). 4 condiţii experimentale oferă surse de date care vor fi supuse analizei: condiţia 1(p1s1), condiţia 2(p1s2), condiţia 3(p2s1), condiţia 4(p2s2).

Protocol de tip Sn – protocol de structură „subiect-rezultat total”. În cadrul acestui tip de protocol,

fiecărui subiect si dintr-un ansamblu format din n subiecţi îi corespunde o valoare a variabilei Xi.16

Exemplu:

Si Xi Si Xi

S1 X1 1 17 S2 X2 2 19 S3 X3 3 27 S4 X4 4 33 - - - - Sn Xn

87 27 Tabelul 8. Protocol de tip Sn În partea din dreapta se dă un exemplu concret Protocol de structură S <G>. Protocol de structură „subiect-grup de apartenenţă. Astfel de

protocoale se construiesc în cazul în care rezultatele numerice aparţin la subiecţi care fac parte din grupuri diferite sau care au fost plasaţi în situaţii diferite şi constituie grupuri independente de măsurători. Exemplificăm:

16 Explicaţii suplimentare în lucrarea Valentin Clocotici, Aurel Stan, Statistică aplicată în psihologie, Polirom, Iaşi, 2000, pag.94-103

AUREL STAN

118

S G Xi S G Xi

S1 G1 X1 1 Grup 1 12 S2 G1 X2 2 Grup 1 19 S3 G2 X3 3 Grup 2 23 - - - - - - Si Gi Xi 35 Grup 3 35 - - - - - - - - - - - - Sn Gq Xn

143 Grup 7 29 Tabelul 9. Protocol de bază de tipul „subiect – grup de apartenenţă”

Protocol de tipul S*T – protocol de structură „subiect-condiţii de investigaţie. Se realizează în situaţia în care subiecţii(S) sunt supuşi la mai multe condiţii de solicitare psihică. Vom exemplifica pentru două condiţii: sunt prezentate rezultatele aceluiaşi subiect în condiţia T1 şi condiţia T2

T S

T1 T2 T S

T1 T2

S1 X11 X12 1 23 29 S2 X21 X22 2 34 31 S3 X31 X32 3 28 39 ……. ………. ……… …… …….. …… Sg Xp1 Xp2

123 21 26 Tabelul 10. Protocol de bază de tipul „subiect – condiţii de investigaţie”. În ultimele trei coloane din dreapta se exemplifică cu o examinare concretă.

Suportul protocolului este cadrul în care rezultatele individuale nu au fost reportate. Subprotocolul este o parte a protocolului de bază; rezultatele obţinute printr-o parte din subiecţi şi/sau într-o parte a condiţiilor experimentale

Mai putem vorbi de protocoale derivate. Acest tip de protocol este obţinut după ce s-a realizat anumite operaţiuni (transformări ale variabilelor dependente, diferite calcule, condensări şi rafinări ale modalităţilor) asupra protocolului de bază. De exemplu, calculul mediei rezultatelor obţinute de subiecţi într-o condiţie experimentală. Calculele pot să rezide în transformarea variabilei dependente (prin transformare logaritmică, de exemplu), în rezumarea rezultatele prin intermediul diferitelor tipuri de indicatori (tendinţă centrală, dispersie), în însumarea datele individuale şi în calcularea frecvenţelor sau a procentajelor. În general, cercetătorul va prezenta datele într-un tablou al rezultatelor care constituie un protocol derivat.

Exemplificare. Protocoale derivate17 Doi cercetători francezi, J.P. Rossi şi C. Loridan, au efectuat în anul 1987 un studiu asupra

modelelor fonologice de identificare a stimulilor scrişi. În timpul efectuării studiului au calculat durata pauzelor oculare asupra stimulului: (cuvinte sau ne-cuvinte) care aveau 2-3 silabe sau 4-5 silabe în

17 după J.P. Rossi & Al., La méthode expérimentale en psychologie, Dunod, Paris, 1997, pag.61

STATISTICĂ I

119

situaţii de detecţie a literelor(subiectul trebuie să spună dacă o anumită literă era prezentă printre stimuli) şi de decizie lexicală (subiectul trebuia să spună dacă stimulul era un cuvânt).

În urma prelucrării rezultatelor, autorii au întocmit următorul tabel: Detecţie litere (t1) Decizie lexicală (t2) Număr

silabe Cuvinte(m1) Necuvinte(m2) Cuvinte(m1) Necuvinte(m2) m 457 473 414 497 n1 s 133 126 111 137 m 460 482 468 579 n2 s 126 105 145 176

În acest tabel sunt înregistrate duratele pauzelor oculare. Explicarea acestei cercetări operează

cu următorii termenii: • factor principal sistematic, notat T2, cu modalităţile t1 (detecţia literelor) şi t2 (decizia lexicală).

Prin această se permite o primă diviziune în două coloane a rezultatelor; • tipul de stimul, notat cu M2, cu modalităţile m1 (cuvinte) şi m2 (necuvinte). Cu M2 se permite

subdivizarea coloanelor t1 şi t2 (sarcinile); • numărul de silabe, notat N2, cu modalităţile n1 (2 sau 3 silabe) şi n2 (4 sau 6 silabe). N2 este

indicat pe linii. • Variabila dependentă este durata pauzelor oculare.

În tabel sunt înregistrate mediile interindividuale (m), ca indicator de tendinţă centrală, şi abaterile standard (s), ca indicator de împrăştiere. Lectura tabelului presupune punerea în corespondenţă a liniilor şi coloanelor. Valoarea 457 semnifică durata medie a pauzelor oculare în sarcina de detecţie a literelor când stimulii sunt cuvinte de 2-3 silabe. Valoarea 497 semnifică durata medie a pauzelor oculare când stimulii sunt necuvinte de 2-3 silabe. Protocolul prezintă un indicator de tendinţă centrală şi un indicator de împrăştiere care fac bilanţul datelor experimentale. Un protocol de bază cuprinde durata pauzelor oculare obţinute de fiecare subiect pentru fiecare din stimulii prezentaţi, deoarece în fiecare condiţie experimentală sunt utilizaţi mai mulţi stimuli diferiţi.

II.5. TRANSFORMAREA VALORILOR BRUTE ÎN CUANTILE Care este raţiunea acestei transformări? În marea majoritate a examinărilor psihologice se cere o

raportare valorică a rezultatelor obţinute. Rezultatul brut al unui test sau chestionar psihologic nu ne poate da decât o indicaţie vagă în privinţa aprecierii unui rezultat. Pentru a veni în întâmpinarea dezideratului de raportare valorică a rezultatelor s-au creat două sisteme de norme. Unele dintre acestea sunt cuantilele, iar celelalte sunt variabilele normate care vor fi tratate în secţiunea din lucrare afectată indicatorilor de împrăştiere.

Cuantilul este un element al unei serii ordonate de valori ale unei variabile care separa două cuantumuri procentuale din volumul total al valorilor variabilei. Practic, este o “bornă” numerică separând două cuantumuri procentuale ale ansamblului valorilor Valorile variabilei separate prin intermediul unui cuantil sunt ordonate crescător sau descrescător, operaţie anterioară stabilirii cuantilului. Separaţia unui ansamblu de valori ale variabilelor în cuantile constituie una din formele de etalonare a testelor, adică de creare a unor scale de apreciere a valorii performanţelor obţinute la diferite sisteme de solicitare psihică. Etaloanele permit de a situa un subiect care a obţinut un scor

AUREL STAN

120

determinat într-o anumită clasă valorică a subiecţilor pentru care testul a fost etalonat. Se va vorbi de intercuantile (de interdecile, de exemplu) pentru a desemna n+1 zone de distribuţie delimitate prin cuantile (prin n desemnând numărul cuantilelor). Uneori se utilizează termenul de interquantil în loc de quantil. Distincţia clară se face prin precizarea faptului că interqantilul este un interval numeric, pe când quantilul este reprezentat de o singură valoarea numerică. Lucrările se specialitate ale lui Maurice Reuchlin consacrate statisticii aplicate în psihologie fac clară această separaţie de sensuri pentru cele două noţiuni18.

Cuantilele şi intercuantilele numerotate cu 1 corespund, în general în Franţa, celor mai bune rezultate, iar în SUA rezultatelor celor mai slabe. Este o chestiune de convenţie a notării. Dacă într-o distribuţie se vor reprezenta intercuantilele prin clase determinând intervale pe axa absciselor, se va asigura la această distribuţie grafică o formă rectangulară, efectivele teoretice ale tuturor interquantilelor fiind egale prin definiţie.

La începutul procedurii de cuantilaj (formă particulară a etalonajului) se alege o metrică, adică un număr de niveluri pe care scala permite de a le discrimina. Dacă o scală cuprinde n niveluri şi dacă efectivul total al unui

eşantion este N, efectivul fiecărui nivel va fi teoretic nN . Scala în cuantile va corespunde, deci, unui model

rectangular. Cele mai utilizate tipuri în cuantile sunt prezentate în tabelul care urmează:

Tabelul nr. 11 Conţine denumirile formelor de etalonare prin intermediul cuantilelor, gradiente de la 3 la 10

Pentru a construi un decilaj (sistem de clasificare cuprinzând 9 cuantile şi 10 intercuan-

tile) se procedează în aşa fel încât clasele scalei rezultate să conţină fiecare un acelaşi număr de scoruri din eşantionul de referinţă. Este vorba de o convenţie care va face distribuţia rectangulară (în care fiecare diviziune are un număr egal de subiecţi). Dacă scala este constituită din 10 clase egale în efectiv, acest efectiv va trebui să aibă 10% din numărul total al subiecţilor. Limitele valorice ale interquantilului I vor conţine primele 10 % din notele brute, celor mai slabe din distribuţie, ale interquantilului II conţin 10% din rezultatele care urmează, şi aşa mai departe, până la interquantilul X. Quantilul I va separa primii 10% din subiecţi de următorii 90%, quantilul II primii 20% din subiecţi de următorii 80 %, şi aşa mai departe, până la quantilul IX care va separa primii 90% de următorii 10% .

Oferim un exemplu imaginat: un psiholog examinează un număr de 360 de subiecţi cu un anumit test în vederea etalonării acestuia. Procedura de etalonare se pune în practică în faza construirii unor instrumente de investigaţie psihologică sau în cazul reevaluării acestora. Notele testului variază, in exemplu nostru, între 0 şi 35. Exemplu dat este unul imaginat şi nu va conţine primele 5 valori (1,2,3,4,5) şi ultimele 3 (33,34 şi 35). De obicei, în examinare se obţin foarte rar scorurile cele mai mici şi scorurile cele mai mari ale testului sau chestionarului. Dacă datele ar fi fost reale, ar fi trebuit să se facă o serie de precizări cu privire la constituirea eşantionului de etalonaj, adică la provenienţa subiecţilor examinaţi, la vârstă, nivel de studii, sex etc. De asemenea, ar fi trebuit să se facă precizări cu

18 Vezi Maurice Reuchlin, Précis de statistique, PUF, Paris, 1976, pag. 67-78

Nr.crt.. Nr interquantile Nr quantile Denumire tehnică 1 3 2 Trecilă 2 4 3 Quartilă 3 5 4 Quintilă 4 6 5 Sextilă 5 7 6 Septilî 6 8 7 Octiilă 7 9 8 Nonilă 8 10 9 Decilă 9 100 99 Centilă.

STATISTICĂ I

121

privire la tehnicile folosite pentru selectarea subiecţilor în eşantion. Înaintea operaţiunii de etalonare, datele se organizează crescător în variante de variaţie.

Tabelul întocmit în vederea stabilirii scalei de etaloane în 10 interquantile (sau în 10 clase) va arăta în felul următor.

X n nc nct Interdecil Decil Numerotare % interdecil Separaţie decil 6 7 8 9 10 11

3 7 4 6 8 11

3 10 14 20 28 39

36

0 – 11

11

I

10,88%

10,88%/89,12%

12 13

14 17

53 70

72

12 – 13

13

II

8,61%

19,49%/80,51%

14 15

16 19

86 105

108

14 – 15

15

III

9,72%

29,21%/70,79%

16 17

24 22

129 151

144

16 – 17

17

IV

12,77%

41,98%/58,02%

18 26 177 180 18 18 V 7,22% 49,20%/50,80% 19 20

21 24

198 222

216

19 – 20

20

VI

12,50%

61,70%/38,30%

21 22

18 19

240 259

252

21 – 22

22

VII

10,27%

71,97%/28,03%

23 24

17 14

276 290

288

23 – 24

24

VIII

8,61%

79,58%/20,42%

25 26

16 14

306 320

324

25 – 26

26

IX

8,33%

87,91%/12,09%

27 28 29 30 31 32

11 9 7 6 5 2

331 340 347 353 358 360

331 340 347 353 358 360

27-32

X

12,09%

Tabel nr. 12. Coloanele tabelului conţin etape ale procedurii de etalonare prin metoda quantilelor a rezultatelor obţinute la un test psihologic de subiecţi unui eşantion Notaţiile folosite în tabel :

X: nota brută n: frecvenţa absolută a unei variante de variaţie nc:frecvenţa cumulată absolută nct: frecvenţa cumulată absolută necesară teoretic pentru calcularea interquantilelor şi quantilelor.

Jocul frecvenţelor cumulate absolute face să nu putem “tăia” distribuţia exact acolo unde trebuie.

În acest caz ne limităm în calcul la cele mai apropiate valori de cele teoretice. Astfel, la primul decil ar fi trebuit să ne oprim la valoarea 36. Valoarea 39 folosită de noi ca valoare delimitativă pentru primul decil este cea mai apropiată valoare de 36. Procedând în acest fel am realizat un compromis metodologic.

În cazul când dorim să stabilim o scală în centile sau percentile, avem la îndemână o procedură puţin diferită. Pentru a pune în aplicare această procedură trebuie să avem distribuţii ale căror amplitudini sunt de ordinul sutelor. Raţiunea construirii scalelor care fac apel la centile este de a asigura

AUREL STAN

122

o discriminare foarte fină a subiecţilor, dar în cazul în care amplitudinea distribuţiei este sub 100 asigurăm o falsă fineţe a diferenţierii. Redăm, în continuare, un tabel ale cărui coloane indică paşii de urmat în procedura de calcul:

Luăm exemplu a 127 de subiecţi care au fost examinaţi cu un anumit test (exemplul este fictiv). Nr.crt. X f f% C fc% Percentila 1. 11 2 1,57 2 1,57 0,79 2. 12 5 3,94 7 5,51 3,54 3. 13 7 5,51 14 11,02 8,27 4. 14 11 8,68 25 19,69 15,36 5. 15 19 14,96 44 34,65 27,17 6. 16 26 20,47 70 55,12 44,89 7. 17 18 14,17 88 69,29 62,21 8. 18 15 11,81 103 81,10 74,50 9. 19 11 8,66 114 89,76 85,43 10. 20 7 5,51 121 95,28 92,52 11. 21 4 3,15 125 98,43 96,85 12. 22 2 1,57 127 100,00 99,22

Tabel nr. 13. Coloanele tabelului indică etapele necesare calculării valorilor percentile Avem în faţă un exemplu simplu, deoarece în practică este foarte puţin probabil să se găsească

un test la care să se poată obţine doar 12 valori distincte. Procedura exemplificată de noi este folosită de autori reputaţi în domeniul psihometric ca David

Magnusson19, J.J. Bernier şi B. Pietrulewicz20. Prin această procedură se încearcă a se ameliora impreciziile metodei prezentate la calculul decilelor.

Coloana notată cu X conţine diferitele variante ale variabilei obţinute în urma unei examinări cu un anumit test. A doua coloană, notată cu f , conţine frecvenţele diferitelor valori ale variabilei. În total au fost cuprinşi în analiză 127 de rezultate ale subiecţilor. Cu f% a fost notată frecvenţa simplă relativă, care se obţine prin înmulţirea cu 100 a rezultatului împărţirii fiecărei frecvenţe simplă la 127 (numărul total de subiecţi examinaţi). Cu fc a fost notată frecvenţa absolută cumulată ascendent, iar cu fc% frecvenţa relativă cumulată ascendent. Valorile din această coloană se obţin prin înmulţirea cu 100 a rezultatului împărţirii fiecărei valori din coloana fc la 127. Ultima coloană conţine transformarea în valori percentile a valorilor iniţiale ale testului. Cum se obţin aceste valori? Valoarea 13, de exemplu, este considerată mijlocul unui interval de clasă care se întinde de la 12,5 până la 13,5. Ca atare, valoarea percentilă este constituită din frecvenţa cumulată relativă anterioară valorii 13 şi din adăugarea ½ din frecvenţa relativă din dreptul valorii 13.

8,27 = 5,51 + 251,5

15,36 = 11,02 + 268,8

Ce ne spune o valoare percentilă? Ea ne spune, de exemplu, că sub valoarea 16 se găsesc aproximativ 45% din totalul subiecţilor, iar peste această valoare se găsesc aproximativ 55 % din totalul subiecţilor. 19 vezi David Magnusson, Testtheorie, Verlag Fraanz Deutlicke Wien, 1973, pag 252 20 vezi J.J. Bernier, B. Pietrulewicz, La psychometrie, Gaetan Morin Editeur, Montreal, Casablanca, 1997, pag. 371-372

STATISTICĂ I

123

În cazul ordonării valorilor variabilei pe intervale de variaţie procedura este puţin diferită. Folosim exemplul de la începutul secţiunii referitoare la gruparea datelor. Rubricile tabelului sunt cunoscute din comentariile noastre anterioare. În cazul în care dorim să construim o scală în quartile (trei quartile împart distribuţia în 4 clase) vom stabili în primul rând quota, adică un cuantum procentual de subiecţi separat de valorile quartilelor. Deci, quartilele se referă la valorile distribuţiei, iar quota la un cuantum procentual al efectivului total. Quota pentru primul quartil va fi de 25% din efectivul total (22,75 în valoare absolută), quota pentru cel de-al doilea quartil va fi de 50% (45,5 în valoare absolută) şi quota pentru cel de-al treilea quartil va fi de 75% (68,25 în valoare absolută).

Nr.crt Interval f Fc↓ fc↓% 1 21 – 27 2 2 0,02 (2%) 2 28 – 34 6 8 0,09 (9%) 3 35 – 41 11 19 0,21 (21%) 4 42 – 48 17 36 0,40 (40%) 5 49 – 55 22 58 0,64 64%) 6 56 – 62 13 71 0,78 (78%) 7 63 – 69 12 83 0,91 (91%) 8 70 – 76 5 88 0,97 (97%) 9 77 – 83 3 91 1,00 (100%) Total N=91

Tabelul 14. Coloanele tabelului conţin etape de calcul pentru obţinerea quantilelor şi interquantilelor în condiţiile grupării de variante de variaţie

Valoarea primei quote va cuprinde 25% din rezultatele subiecţilor examinaţi.. Dacă privim la

rubrica fc↓% a tabelului observăm că primii 25% din subiecţi sunt delimitaţi de intervalul numărul 4 care cuprinde până la el 40% din subiecţi (inclusiv intervalul 4). Intervalul anterior nu putea să facă o astfel de separaţie, deoarece până la el se găsesc doar 21% din rezultatele subiecţilor (19 rezultate în valoare absolută). Formula de calcul pe care o aplicăm pentru calculul quantilelor pentru date organizate pe variante de variaţie este următoarea.

Q = fdiX *

sup + ;

în care: Q = denumire generică pentru quantil; Xsup= valoarea superioară a intervalului anterior celui în care se află quota; i = mărimea intervalului de variaţie; d = diferenţa dintre valoarea absolută a quotei şi frecvenţa cumulată absolută anterioară

intervalului în care se află quota; f = frecvenţa simplă absolută a intervalului în care se află quota Pentru cazul nostru particular de calcul a quartilelor, formă particulară a quantilelor, vom nota

quartilul 1 cu Q1, quartilul 2 cu Q2, quartilul 3 cu Q3. Pentru Q1 am amintit că valoarea procentuală a quotei este de 25%, iar valoarea absolută este de 22,75 (25% din 91; 91×0,25=22,75). Valoarea absolută a quotei primului quartil se află în intervalul 4.

Xsup sau valoarea superioară a intervalului anterior celui în care se află quota este egală cu 41. Intervalul anterior este intervalul 3 (35-41). Valoarea superioară sau limita superioară a acestuia este 41.

Mărimea unui interval (i) este egală cu 7.

AUREL STAN

124

Diferenţa dintre valoarea absolută a quotei (22,75) şi frecvenţa absolută cumulată ascendent a intervalului anterior celui în care se află quota (19) este egală cu 3,75 (deci, d=22,75–19=3,75).

Frecvenţa intervalului în care se află quota este egală cu 17. Intervalul 4 are frecvenţa egală cu 17.

Avem la dispoziţie toate datele necesare calculării primului quartil.

Q1 = 41+17

75,3*7 = 41+ 54,4254,14117

25,26=+=

În continuare, trecem la calcularea celui de-al doilea quartil. Al doilea quartil separă primele 50% din rezultatele subiecţilor de următoarele 50%. De această dată quota va fi egală cu 50% din efectivul

total, deci, va avea valoarea 45,5 ( 5,45291

= ). De această dată quota se va situa în intervalul 6, adică

intervalul 49 –55. Limita superioară a intervalului anterior celui în care se află quota (Xsup) va fi egală cu 48, diferenţa între quotă şi frecvenţa cumulată ascendent anterioară va fi egală cu 9,5 (d = 45,5 – 36 = 9,5) şi frecvenţa pe intervalul în care se află quota va fi egală cu 22. Din efectuarea calculelor rezultă:

Q2 = 48+ 02,5102,34822

5,664822

5,9*7=+=+=

Pentru calcularea celui de-al treilea quartil, care separă primele 75% dintre rezultatele subiecţilor de ultimele 25% din acestea, quota va fi egală cu 75%, adică are valoarea 68,25. Această valoarea se va găsi în rubrica fc↑ în dreptul intervalului 6 (56 –62). Valoarea superioară a intervalului anterior celui în care se află quota va fi egală cu 55 (Xsup.). Diferenţa dintre quotă şi frecvenţa cumulată ascendent a intervalului anterior celui în care se află quota este egală cu 10,25 (d = 68,25 – 58,00). Frecvenţa intervalului în care se află quota specifică quartilului 3 este egală cu 13. După ce am aflat respectivele valori, putem trece la calcularea quartilului 3.

Q3 = 55 + 51,6051,55513

75,715513

25,10*7=+=+=

Deoarece valorile quartilelor prezintă zecimale (ele rezultă din interpolare) putem să procedăm la întregire. Prezentăm situaţia rezultată în tabelul următor.

Nr.crt. Notare quartille

Valoare Întregire Notare interquartile Limite

1 Q1 42,54 43 I → 43 2 Q2 51.02 51 II 44 – 51 3 Q3 60,51 61 III 52 – 61 4 IV 62 →

Tabelul 15. Conţine exemplificări pentru valorile şi notările quartilelor Procedura este identică pentru celelalte variante ale cuantilelor. Datele pentru efectuarea

calculelor variază în funcţie de mărimea valorilor variabilei şi de dimensiunea quotei. Se observă foarte uşor că interquartilele nu sunt egale în privinţa dimensiunii intervalelor, ci în privinţa numărului de rezultate conţinute. De exemplu: până la valoarea 43 se găsesc primele 25% dintre rezultate, între valorile 44 şi 51 ale variabilei se găsesc următoarele 25% dintre rezultate, ş.a.m.d.

STATISTICĂ I

125

E X E R C I Ţ I U Următoarele rezultate aparţin unor subiecţi care au efectuat un test psihologic.

111,116,118,56,58,90,75,65,76,55,47,69,83,100,87,70,,81,73,69,94,85,76,79,81,85,61,58,73, 97,101,89,98,66,85,93,67,84,75,57,80,78,94,107,69,75,97,83,89,72,84,103,107,80,73,79,85, 110,59,63,85,78,63,101,97,93,83,87,69,101,93,83,77,98,64,68,78,96,103,98,81,75,85,89,93, 98,58,109,113,58,69,75,87,89,93,87,85,88,89,73,90,78,108,59,70,82,75,72,80 Pentru gruparea şi sistematizarea rezultatelor efectuaţi următoarele sarcini de prelucrare statistică: stabiliţi amplitudinea distribuţiei; realizaţi o grupare pe variante de variaţie; realizaţi o grupare pe intervale de variaţie în 7 şi 9 clase; realizaţi histograma distribuţiei grupate pe intervale de variaţie; calculaţi valorile quartilelor şi decilelor, a interquartilelor şi a interdecilelor.

AUREL STAN

126

III. INDICATORII STATISTICI

În activitatea de cercetare a unei serii de date avem nevoie de expresii numerice precise care să descrie condensat caracteristicile acesteia. Aceste mărimi poartă numele de indicatori statistici..

Indicatorul statistic este o mărime cu ajutorul căreia se caracterizează un fenomen sub raportul structurii, interdependenţelor, şi modificărilor în timp şi spaţiu. Expresia numerică este legată de calitatea fenomenului studiat şi, în consecinţă, indicatorul statistic este expresia numerică a unei categorii riguros definite. Din punct de vedere numeric indicatorul statistic poate fi o mărime absolută (volum, efectiv, total) sau o mărime derivata (medie, indice, coeficient). Indicatorul statistic este rezultatul unei observări şi prelucrări statistice.

În activitatea de prelucrare a datelor din domeniul psihopedagogic, şi nu numai din acesta, se fac raportări la 4 feluri de indicatori: 1. indicatori de nivel sau de tendinţă centrală (medie, mediană, modul); 2. indicatori de împrăştiere (amplitudine, abatere quartilă, abatere medie, varianţă, abatere standard); 3. indicatori de asimetrie 4. indicatori de exces sau de boltire

Media exprimă nivelul atins de o variabila numerică atunci când această variabilă este uniform repartizată pe unităţile care compun o populaţie determinată. Cuvântul medie, fără nici o altă specificaţie, se foloseşte în accepţia de medie aritmetică, medie fundamentată în teorie şi comod de utilizat în practică. Alte medii uzuale sunt: media armonică, media geometrica şi media pătratică. Notaţia uzuală pentru media aritmetică este X , dar se pot întâlni şi alte notaţii.

În sens general, media trebuie să satisfacă anumite condiţii. Acestea sunt: · Medie trebuie să fie definită în mod precis. Această cerinţă nu poate fi lăsată doar pe seama simplei

aprecieri subiective a celui care efectuează acţiunea de observare; · medie trebuie sa fie expresia tuturor observaţiilor făcute. În caz contrar, ea nu poate fi în mod real o

valoare tipică a întregii repartiţii; · Este de dorit ca media să posede proprietăţi simple şi evidente, făcând posibilă înţelegerea sensului

său general. O medie nu trebuie să aibă un caracter matematic prea abstract; · Este de dorit ca o medie să poată fi calculată cu uşurinţă şi rapiditate. Dintre două medii cu

proprietăţi asemănătoare va fi preferata aceea care se poate calcula mai uşor. Însă, nu trebuie să acordăm o prea mare atenţie uşurinţei în calcul în detrimentul altor exigenţe;

· Este de dorit ca media sa fie afectată cât mai puţin de fluctuaţiile de selecţie. În eşantioanele extrase (eşantionul are sensul de subansamblu al unei populaţii) din aceeaşi populaţie mediile vor fi rareori identice, iar o formă anumită de medie poate conduce la diferenţe mai mari decât alta. Dintre doua forme de medii va fi mai bună aceea care prezintă mai multă stabilitate.

· Medie trebuie să poată fi rapid studiată cu ajutorul calculului algebric.

STATISTICĂ I

127

În marea majoritate a cazurilor de cercetările psihopedagogice referinţele se fac la media aritmetică., motiv pentru care nu prezentăm celelalte feluri de medii: media geometrică, media pătratică, media armonică (avem, desigur, în vedere şi caracterul simplificat al acestui curs).

Referindu-ne în mod special la media aritmetică, adică media obţinută ca raport între suma valorilor observate ale unei variabile şi numărul lor, menţionăm care sunt proprietăţile acesteia: · Dacă luăm în consideraţie diferenţele dintre fiecare observaţie în parte şi media aritmetică,

observăm că suma algebrică a acestor diferenţe va fi egală cu 0; · Suma pătratelor abaterilor respective este un minim pentru ansamblu de valori. Suma pătratelor

abaterilor de la fiecare valoare individuală a variabilei şi media aritmetică este mai mică decât suma abaterilor ridicate la pătrat în jurul oricărei alte valori în afară de media aritmetică; Nr.crt. X x=X-X x2 X-15 (X-15)2 X-19 (X-19)2

1 11 - 6 36 - 4 16 - 8 64 2 15 - 2 4 0 0 - 4 16 3 15 - 2 4 0 0 - 4 16 4 19 2 4 4 16 0 0 5 22 5 25 7 49 3 9 6 21 4 16 6 36 2 4 7 17 0 0 2 4 - 2 4 8 12 - 5 25 -3 9 - 7 49 9 17 0 0 2 4 -2 4 10 19 2 4 4 16 0 0 11 18 1 1 3 9 1 1 Total 187 0 119 21 159 - 7 159

Tabelul 16. Cuprinde compararea sumei deviaţiei valorilor de la medie în comparaţie cu suma deviaţiilor de la alte valori

Volumul sau efectivul acestei distribuţii este 11. Media o aflăm prin divizarea sumei tuturor

valorilor individuale (187) la 11, rezultatul fiind 17. Prin x se notează deviaţiile fiecărei valori de la medie, motiv pentru care valoarea obţinută se numeşte valoare de deviaţie.

În tabel se observa clar că suma pătratelor diferenţei de la altă valoare decât media aritmetică este o valoare mai mare decât suma pătratelor abaterilor de la media aritmetică.

Astfel, din consultarea tabelului rezultă:

∑ x < ( )∑ −15X ; ∑ 2x < ( )215∑ −X : ∑ 2x < ( )219∑ −X

Folosirea mediei în prelucrarea statistică a datelor din domeniul psihopedagogiei este frecventă în trei tipuri de situaţii, din care unele pot fi rezolvate prin folosirea medianei şi a modulului: · Situaţia în care se pune problema de a aprecia o observaţie într-o distribuţie. Exemplu: O notă

poate fi apreciată ca superioară sau inferioară mediei. În general, se precizează această constatare.

· Situaţia în care se compară un grup de observaţii cu un altul. Exemplu: Într-un proces de învăţare care comportă o serie de încercări succesive pot să fie lăsate intervale de timp (învăţare distribuită) sau nu (învăţare masată). Se constată, în general că rezultatul unui grup de subiecţi în învăţarea distribuită este superior rezultatului în învăţarea masată. Dacă cineva consideră că această

AUREL STAN

128

diferenţă este prea mare pentru a putea să se explice doar prin variaţii fortuite, aceasta va conduce la o explicaţie psihologică;

· Situaţia în care seriile de date provin de la o sursă de variaţie sistematică sau de la mai multe. Se poate calcula valoarea medie asociată la fiecare din stările acestei surse Această medie permite de a descompune variaţiile observate în mai multe abateri (care se numesc "efecte") şi de a analiza astfel importanţa relativă a diferitelor surse sistematice sau fortuite. Posibilitatea unei astfel de analize este esenţială pentru explicarea fenomenelor observate.

III.1. CALCULUL MEDIEI ARITMETICE

Avem trei situaţii diferite în procedura de calcul a mediei aritmetice:: 1. situaţia în care variabilele sunt negrupate; 2. situaţia în care variabilele sunt grupate pe variante de variaţie; 3. situaţia în care variabilele sunt grupate pe intervale de variaţie.

În cazul în care variabilele sunt negrupate se adiţionează toate valorile variabilei şi rezultatul final se împarte la efectivul total al observaţiilor. Să presupunem că în urma efectuării unui experiment privind timpul de reacţie intraindividual am obţinut următoarele rezultate: ale variabilei (notată de noi cu X) “timp de reacţie intraindividual”: 21, 24, 28, 31, 17, 20, 22, 16, 18, 27, 22, 19, 26, 29, 30. În total avem 15 observaţii succesive efectuate pe aceeaşi persoană. În acest caz media se calculează prin

următoarea formulă: X = N

X∑ în care X este notarea mediei aritmetice, ∑X este suma valorilor

individuale ale variabilei X şi N exprimă numărul total de observaţii sau efectivul distribuţiei. În cazul

nostru concret:

−

=== ∑ 3,2315350

NX

X . Litera grecească Σ are sensul de sumă. Formula pentru date

negrupate se practică în situaţia în care avem puţine date la dispoziţie. În cazul în care numărul valorilor unei variabile devine mare, este necesară operaţiunea de grupare a datelor. Să presupunem că pentru aceeaşi situaţie experimentală am cules date de ordinul sutelor şi am procedat la o grupare a lor conform tabelului nr. 17.

În acest caz, formula pentru calculul mediei este următoarea X = N

fX∑ în care X este variabila

ordonată pe variante de variaţie, f frecvenţa variantelor de variaţie şi N este volumul observaţiilor sau efectivul total al acestora. N =∑ = 302fX Litera grecească Σ (sigma) are sensul “sumă de”. Pentru

exemplul nostru concret obţinem: 23,25 = 3027023 .

În cazul în care avem la dispoziţie un număr mare de date şi de variante de variaţie (şi seriile de valori au o amplitudine de variaţie mare) folosim gruparea datelor prin intermediul intervalelor de variaţie şi o formulă specifică pentru medie.

STATISTICĂ I

129

Tabelul 17. Cuprinde exemplificare pentru modul de calcul al mediei aritmetice în cazul grupării datelor pe variante de variaţie

EXEMPLU: Să presupunea că în urma

efectuării unui examen psihologic în care am folosit şi o probă de atenţie (foarte rar un examen psihologic se reduce la o singura probă, de cele mai multe ori se foloseşte în cursul unui astfel de examen un ansamblu de procedee de investigaţie) rezultatele au fost grupate, aşa cum se prezintă în tabelul care urmează. Precizăm că în acest tabel am trecut date care sunt necesare pentru aplicarea a două formule diferite de calcul. În una din formule folosim frecvenţele înmulţite cu centrul

intervalului notelor brute, iar în alta folosim variabila codificată u, variabilă a cărei intervenţie este justificată de comoditatea în operaţiile de calcul.

Nr.crt Intervalul Xi f fXI u Fu 1 27 - 31 29 7 203 -3 -21 2 32 - 36 34 13 442 -2 -26 3 37 - 41 39 20 780 -1 -20 4 42 - 46 44 27 1188 0 0 5 47 - 51 49 25 1225 1 25 6 52 - 57 54 17 918 2 34 7 56 - 62 59 9 531 3 27 Σf = N = 118 ΣfXi = 5287 Σfu = 19

Tabelul 18. Cuprinde exemplificare pentru modul de calcul al mediei aritmetice în cazul grupării datelor pe intervale de variaţie

În cazul folosirii primei variante de calcul anunţate a mediei aritmetice aplicăm următoarea

formulă: X = NfX i∑ . În cazul de faţă f reprezintă frecvenţa pe interval, Xi desemnează centrul

intervalului (i variază de la 1 la 7, numărul total al intervalelor) şi N numărul total al rezultatelor subiecţilor (N=118). Prin aplicarea formulei rezultă:

X = 8,441185287

= , în care 5287 reprezintă suma produselor dintre centrele intervalelor şi frecvenţelor

acestora, iar 118 numărul total al rezultatelor subiecţilor sau efectivul total. Atragem atenţia asupra faptului că o asemenea formulă aproximează valoarea mediei aritmetice. Această aproximare poate fi acceptată în cazul în care variabilele sunt repartizate armonios pe lungimea intervalului. Dacă în intervalul 1 (27 – 31) vom avea valorile 27, 28, 29,29,29, 30, 31 atunci centrul intervalului este reprezentativ pentru acesta, dar dacă vom avea în acest interval 7 valori de 27 sau 7 valori de 31 centrul intervalului de variaţie nu mai îndeplineşte această condiţie. Ca atare, acest mod de calcul nu se recomandă în situaţia în care distribuţiile valorilor prezintă asimetrii puternice.

Nr.crt. X F fX 1 16 5 90 2 17 11 187 3 18 17 306 4 19 24 456 5 20 30 600 6 21 35 735 7 22 38 836 8 23 32 736 9 24 28 672 10 25 20 500 11 26 18 668 12 27 16 432 13 28 13 364 14 29 9 261 15 30 6 180 N = 302 ∑ = 7023fX

AUREL STAN

130

Realizarea rubricii variabilei codificate u, utilizată în cel de-al doilea procedeu de calcul pentru variabile ordonate pe intervale de variaţie, presupune fixarea în dreptul unui interval a valorii 0 a variabilei codificate. Această fixare este arbitrară, însă, de regulă, se realizează în dreptul intervalului modal, adică în dreptul acelui interval care are frecvenţa cea mai mare. În cazul exemplificat de noi acest interval poartă numărul curent 4 (42 – 46) Valoarea centrală a acestui interval va fi o valoare de referinţă şi o vom nota cu A. În cazul nostru A = 44. Valorile coloanei u se stabilesc prin împărţirea diferenţei dintre valoarea variabilă Xi şi constanta A la mărimea intervalului (i). Urmând procedura de

calcul vom obţine: -1= 5

4439− , -2 = 5

4434 − , -3 = 5

4429− ş.a.m.d. Pentru valorile mai mici ale

variabilei XI decât constanta A se obţin valori negative ale variabilei codificate u, şi pentru valori mai mari ale variabilei Xi decât constanta A se obţin valori pozitive ale variabilei codificate u. În cazul folosirii în calcul al variabilei codificate u, formula de calcul va fi următoarea:

X = N

fuiA ∑+

*,

în care A este o constantă egală cu mărimea centrului intervalului pentru care variabila u = 0, i este mărimea unui interval, fu este produsul din frecvenţa intervalului şi variabila codificată u, f este frecvenţa simplă unui interval şi u variabila codificată.

Prin aplicarea formulei obţinem X = 118

19*544 + = 44,8. Facem încă o dată precizarea că aceste

proceduri de calcul fac posibilă apariţia unei anumite erori, eroare datorată faptului că se lucrează cu mărimi de reprezentare. Astfel, centrul intervalului este considerat reprezentativ pentru întregul interval, situaţie care antrenează erori mari în cazul în care distribuţia valorilor are asimetrii accentuate, de stânga sau de dreapta. În acest caz se impune o operaţiune de micşorare a mărimii intervalului până la limite care asigura o marja de eroare acceptabilă. Cea mai corectă modalitate de calcul a mediei este cea rezultată din adiţia variabilelor brute si divizarea sumei acestor variabile brute la numărul de observaţii. Prezenţa unor instalaţii de calcul electronic, chiar mai puţin performante, fac din calculul mediilor, si nu numai a lor, o operaţiune banală, executată într-un timp extrem de scurt.

Problema calcului mediilor se pune şi in cazul analizei de itemi. Itemul este o componentă informaţională elementară a unui test sau chestionar psihologic, care se prezintă dihotomic din punct de vedere cantitativ în cea mai mare parte din cazuri. Analiza de itemi este o operaţiune strict necesară în cazul în care dorim să ne asigurăm de faptul că testul îndeplineşte o serie de exigenţe funcţionale. Să luăm două exemple (fictive) de modalităţi de prezentare a itemilor unor probe psihologice.

Itemii testului A Itemii testului B Nr.crt. 1 2 3 4 Nr.crt. 1 2 3 4

1 0 1 0 0 1 2 5 4 4 2 1 1 1 0 2 3 1 4 2 3 1 1 0 1 3 1 1 2 1 4 0 0 1 1 4 1 3 2 4 5 1 0 0 0 5 2 5 4 1 6 1 0 0 0 6 3 2 4 4 7 0 1 0 1 7 1 3 1 2 8 1 0 1 1

8 2 2 3 3

STATISTICĂ I

131

9 1 1 0 0 9 3 4 5 4 10 1 0 1 1 10 3 2 4 4 11 0 1 0 0 11 2 1 4 3 fi 7 6 4 5 fI 23 29 37 36 pi 0,63 0,54 0,36 0,45 pi 0,41 0,52 0,67 0,65 qi 0,37 0,46 0,64 0,55 qi 0,59 0,48 0,33 0,33

Tabelul 19. Cuprinde exemplificare pentru modul de calcul al mediei itemilor

În cazul primului exemplu (testul A) avem situaţia de examen a 11 subiecţi la un test cu 4 itemi (exemplul este teoretic, deoarece un test trebuie sa aibă cel puţin 20 itemi pentru a putea fi numit test). Acest mod de organizare a rezultatelor obţinute de un grup de subiecţi la un test psihologic (subiecţi-itemi) se numeşte matricea lui Stern, de la numele psihologului german W. Stern. La fiecare item din cadrul testului A se pot obţine valorile 1 (caz în care exprimă soluţia corectă la o situaţie problematică sau răspuns la un chestionar de personalitate care pune în evidenţă trăsătura psihică ce trebuie diagnosticată) sau 0 (caz în care exprimă soluţia incorectă sau răspuns care nu pune în evidenţă trăsătura psihică cercetată). La testul B răspunsurile la itemi au o distribuţie cantitativă polichotomică, notele variind între 1 şi 5 (situaţie întâlnită mai ales la chestionarele de atitudini)

În cazul testului A, notaţia fi indică punctajul total obţinut de toţi subiecţii la itemul 1 notaţia pi proporţia de răspunsuri corecte şi totodată media răspunsurilor corecte la itemi (i-ul variază între 1 şi 4, deci, vom avea f1,f2,f3,f4, respectiv p1,p2,p3,p4,). În acest notaţia pi exprimă indicele de dificultate şi,

totodată, media rezultatelor ansamblului subiecţilor la itemi. Deci pi=Nfi (în care notaţia N exprimă

numărul total al subiecţilor). În cazul testului B pi exprimă indicele de dificultate a itemului, dar nu şi media rezultatelor ansamblului subiecţilor la itemi. La testul B, valoarea pi se obţine prin împărţirea valorii totale a punctajului obţinut la un anumit item de către cei 11 subiecţi la valoarea maximală pe

care ar fi putut-o obţine cei 11 subiecţii la un anumit item. În acest caz, pi = maxi

i

ff . În cazul dat de noi

ca exemplu, la testul B, valoarea fI max = 55, obţinută prin înmulţirea valorii 5 (valoare maximă pe care ar fi putut să o obţină un subiect pentru un răspuns) cu 11 (numărul total al subiecţilor). De exemplu, la

testul B, p1= 40,05523

= . Pentru media itemilor din testul B se va folosi altă notaţie, conform unei uzanţe

de notare.

III.2. CALCULUL MEDIANEI Mediana, numită şi valoare mijlocie, este o valoare caracteristică reală (concretă) a unei

distribuţii, sau rezultând în urma unei operaţii de interpolare, care împarte valorile ordonate crescător sau descrescător în două părţi egale, în aşa fel încât numărul valorilor mai mari să fie egal cu numărul valorilor mai mici decât mediana. Mediana poate fi stabilită intr-o serie de date ordonate crescător sau descrescător. În cadrul unui şir impar de valori, mediana este valoarea unei variante concrete a distribuţiei, şi anume valoarea cu rangul n+1/2. Pentru mediană folosim notaţia Me.

AUREL STAN

132

EXEMPLU: În distribuţia 1,2,3,5,7,9,10,12,13,14,18 avem un total de 11 valori ale variabilei X.. Dacă valorile

ar fi fost trecute în ordinea 7,1,13,18,2,10,5,3,9,12,14 ar fi trebuit să le ordonăm crescător. Deci, prima operaţiune necesară pentru calculul medianei este ordonarea valorilor. Mediana va avea valoarea cu

rangul 2

1+N . În exemplul nostru, mediana va avea rangul 62

111=

+ , deci a 6-a valoare din şirul

ordonat crescător, valoare egală cu 9. În stânga valorii 9 se găsesc 5 valori mai mici (1,2,3,5,7) şi în dreapta 5 valori mai mari (10,12,13,14,18).

În cazul în care seria are un număr par valori, medianei se obţine prin interpolare, situându-se

între valoarea cu rangul 2N şi valoarea cu rangul

22+N . Exemplu: în distribuţia

17,18,22,24,28,30.35.37 (N=8) valoarea medianei se va situa între valorile rangurilor 4 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

28 şi 5

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

228 . În cazuri de acest gen valoarea medianei va fi media aritmetică a valorilor variabilei care au

rangurile 4 şi 5, deci, Me = 262

2824=

+ .

În cazul unei distribuţii de frecvenţe pe variante de variaţie mediana poate avea o semnificaţie mai puţin clară, situaţie cauzată de modul de determinare.

Tabelul 20. Cuprinde modul de organizare a

datelor pentru determinarea medianei

În tabelul alăturat am realizat ordonarea pe variante de variaţie a unei variabile care cuprinde 148 de rezultate la o anumită probă psihologică. Tabelul cuprinde rubricile: variantele variabilei (X), frecvenţele variantelor de variaţie (f), frecvenţele cumulate ascendent (fc↓) şi frecvenţele relative cumulate ascendent (fc↓%). Valoarea medianei trebuie să separe

primii 50% din subiecţi de următorii 50%. Valoarea mediana este considerata cea corespunzătoare procentului frecvenţei relative cumulate ascendent mai apropiată de valoarea 50%, de în cazul nostru valoarea 8 (în dreptul frecvenţei cumulate ascendent egală cu 75. Observăm pe rubrica frecvenţei relative cumulate ascendent că această valoare se află la varianta de variaţie cu numărul curent 4. Valoarea 8 este considerată mediana acestei distribuţii, dar această stabilire se face prin acceptarea unui compromis, deoarece avem 30 de valori 8 ale variabilei X. Practic, avem 35 de valori mai mici decât 8 (10+15+20) şi 73 de valori mai mari (20+15+13+11+9+5). Compromisul constă în faptul de a accepta şi valoarea 8 în calcularea primelor 50% din valori şi următoarelor 50% din acestea. În sens strict o astfel de determinare poate să nu corespunda definiţiei medianei după care numărul valorile mai mici si mai mari decât ea să fie egale între ele.

Nr.crt. X F fc↑ fc↑% 1 5 10 10 0,07 (7%) 2 6 15 25 0,17 (17%) 3 7 20 45 0,30 (30%) 4 8 30 75 0,51 (51%) 5 9 20 95 0,64 (64%) 6 10 15 110 0,74 (83%) 7 11 13 123 0,83 (83%) 8 12 11 134 0,91 (91%) 9 13 9 143 0,97 (97%) 10 14 5 148 1,00 (100%) N=148

STATISTICĂ I

133

III.3. DETERMINAREA MODULULUI Modulul este valoarea variabilei cu frecvenţa cea mai mare în cadrul unei distribuţii. Vom nota

acest indicator statistic prin Mo. Să luăm, de exemplu, următoarea distribuţie de valori: 11,17,13,12 17,9,8,17,14,19,20,17,15,16,14,18. După ce ordonăm această distribuţie (8,9,11,12,13,14,14,15,16,17,17,17,17,18,19,20) observăm că valoarea 17 este cea mai frecventă în cadrul acestei distribuţii, ea repetându-se de 4 ori. În acest caz, valoarea variabilei egală cu 17 va constitui valoarea mod a distribuţiei sau modul acesteia. Există cazuri când într-o distribuţie, două sau mai multe valori au frecvenţa cea mai mare. Distribuţiile vor numite, în această situaţie, multimodale (bimodale, când două valori au frecvenţele cele mai mari, trimodale când trei valori au frecvenţele cele mai mari, ş.a.m.d.). De exemplu, distribuţia formată din valorile ordonate 4,5,6,7,7,7,8,9,9,9,10,11 este bimodală, deoarece avem două valori ale variabilei cu frecvenţe maxime, valorile 7 şi 9. Multimodalitatea indică, de obicei, o eterogenitate valorică a subiecţilor supuşi unui examen, dar, mai pot exista şi alte explicaţii.

III.4. INDICATORI DE MĂSURĂ A ÎMPRAŞTIERII Indicatorii de măsură a împrăştierii frecvent utilizaţi în analiza statistică a datelor din domeniu

psihopedagogic (şi nu numai din acest domeniu) sunt: • amplitudinea; • varianţa; • abaterea standard; • abaterea medie; • abaterea quartila sau amplitudinea semiinterquartilă.

Indicatorii de măsură a împrăştierii trebuie să satisfacă condiţii similare cu cele enunţate pentru indicatorii de măsură a localizării sau indicatorii de nivel:

• să se bazeze pe toate observaţiile; • să fie uşor de calculat; • să fie afectate cât mai puţin posibil de fluctuaţiile de selecţie şi adecvate unui studiu algebric.

Cea mai simplă măsură a împrăştierii este amplitudinea, care se obţine prin efectuarea diferenţei dintre cea mai mare şi cea mai mică valoare observată la care se adaugă valoarea 1. Obiecţii cu privire la folosirea amplitudinii există în situaţii în care viteza de calcul şi simplitatea în interpretare nu sunt cerinţe importante. Amplitudinea este afectată de fluctuaţiile de selecţie mari de la eşantion la eşantion. Notăm amplitudinea cu A. Să luăm exemplul timpului de rezolvare a unei sarcini: 55,5 6, 65, 54, 66, 58, 62, 61, 12, 56, 68, 67, 59, 57, 60, 145 (exprimat în zecimi de secundă). În acest caz, avem doua valori extreme, foarte puternic distanţate de restul valorilor, şi anume valorile 12 si 145, care aparţin, probabil, în primul caz unui supradotat, iar în al doilea unui hipofren (denumire folosită pentru a desemna o persoană cu randament intelectual de limită). Dacă valorile de acest gen sunt intr-un număr foarte mic, se pot elimina practic din operaţiunile de grupare. Dacă la datele amintite am efectua calculul amplitudinii, vom găsi o valoare de câteva ori mai mare decât în cazul în care le eliminăm din calculele noastre. În primul caz, amplitudinea se calculează în modul următor: Xmax – Xmin +1=145 – 12 + 1= 134.

AUREL STAN

134

În cazul eliminării valorilor puternic distanţate, avem: A = Xmax – Xmin + 1 = 68 –54 + 1 = 15. Ultima determinare a amplitudinii este evident mai realistă, deoarece este amplitudinea care caracterizează majoritatea datelor. Amplitudinea nu ţine cont de forma repartiţiei, deoarece între limitele de variaţie se poate obţine aceeaşi valoare pentru amplitudinea unei curbe de frecvente simetrice sau unei curbe de frecvenţe în formă de J, I sau U.

Abaterea medie este media aritmetică a abaterilor valorilor individuale ale variabilei X faţă de media aritmetică a valorilor distribuţiei luate în valoarea absolută. Vom nota acest indicator de împrăştiere cu AM. Pentru distribuţii negrupate vom utiliza următoarea formulă pentru calculul abaterii

medii: AM. =N

XX∑ −, în care cu X se notează variabila, cu X media distribuţiei şi cu N numărul

total al valorilor variabilei. Dacă vom nota cu x diferenţa X - X , vom avea următoarea formulă pentru

calculul abaterii medii pentru date negrupate: AM = N

x∑ . Variabila x se numeşte variabilă de

deviaţie. În cazul în care avem variabilele grupate pe variante de variaţie, vom utiliza următoarele

formule: AM = N

XXf∑ − sau AM =

Nxf∑ , în care cu f se notează frecvenţa variantei de variaţie

Prezentăm, în continuare, tabelele care se întocmesc pentru evidenţierea etapelor calculării abaterii medii pentru variabile negrupate (şi neordonate) şi pentru variabile grupate de variante de variaţie. Exemplele cuprind valori diferite:

Variabile negrupate ( şi neordonate) Variabile grupate pe variante de variaţie Nr.crt. X x (X- X ) x Nr.crt. X f FX x fx f x 1 12 - 4 4 1 14 3 42 - 8 - 24 24 2 13 -3 3 2 16 6 96 - 6 - 36 36 3 19 3 3 3 19 9 171 - 3 - 27 27 4 20 4 4 4 21 13 273 - 1 - 13 13 5 14 -2 2 5 23 17 391 1 17 17 6 16 0 0 6 24 12 288 2 24 24 7 15 -1 1 7 25 9 225 3 27 27 8 17 1 1 8 26 5 130 4 20 20 9 18 2 2 9 28 2 56 6 12 12 ∑ 144 0 20

76 1672 0 200 Tabelul 21. Cuprinde etapele decalcul pentru determinarea abaterii medii

În tabelul din stânga s-au făcut următoarele notaţii în coloane:

• X – valorile variabilei; • x – valorile variabilei de deviaţie; • x - valorile variabilei de deviaţie în valoarea absolută.

Valoarea medie pentru valorile tabelului cu variabile negrupate se obţine prin aplicarea formulei

anunţate anterior: 169

144=== ∑

NX

X . Rubrica x se obţine scăzând din valoarea mediei distribuţiei

STATISTICĂ I

135

valoarea variabilei. Astfel, prima valoarea din rubrica x, egală cu – 4, se obţine efectuând scăderea 12-16, a doua valoarea, egală cu –3, se obţine efectuând scăderea 13 - 16, ş.a.m.d. Se observă uşor faptul că suma abaterilor variabilelor de la medie este egală cu 0. Abaterea medie se poate calcula doar prin adiţia valorilor absolute care sunt trecute în rubrica notată cu x . Suma valorilor absolute a deviaţiilor de la medie este egală cu 20. După ce aflăm această valoare putem trece la aplicarea

formulei pentru calculul abaterii medii. AM= 22,29

20==∑

Nx

.

În tabelul din dreapta s-au făcut următoarele notaţii în coloane: • X - valorile variantelor de variaţie; • f - Frecvenţele variantelor de variaţie; • fX - valorile produsului dintre variantele de variaţie şi frecvenţele acestora; • x - valoarea variabilei de deviaţie; • fx - valorile produsului dintre variabila de deviaţie şi frecvenţa variantelor de variaţie; • f x - valorile produsului dintre variabila de deviaţie în valoare absolută şi frecvenţele variantelor

de variaţie. În acest tabel ∑ == 76Nf , deci avem în total 76 de valori ale variabilei X (care sunt grupate în

9 variante de variaţie). Pentru a trece la calculul abaterii medii trebuie să calculăm, în primul rând, media aritmetică.

( )

2276

1672=== ∑

NfX

X . În tabelul din dreapta suma de la rubrica Σfx este egală cu 0 şi nu

cea de la rubrica Σx, din cauza existenţei frecvenţelor pentru variantele de variaţie. Pentru calculul abaterii medii folosim suma de la rubrica xf care este egală.cu 200. După calcularea acestor valori

putem trece la calculul abaterii medii. AM = ( )

63,276200

==∑N

xf

Varianţa şi abaterea standard se găsesc într-o strânsă legătura una cu alta. Valoarea abaterii

standard se obţine prin extragerea rădăcinii pătrate din valoarea varianţei. Aceşti doi indicatori de împrăştiere sunt foarte frecvent utilizaţi în demersurile analizei statistice în toate domeniile de activitate. Varianţa sau dispersia este un indicator sintetic care prezintă o importanţă accentuată, deoarece cu ajutorul ei se studiază influenţa factorilor care acţionează în cadrul mulţimilor de date. Varianţa se calculează ca medie aritmetică a pătratelor abaterilor valorilor individuale ale unei variabile de la media lor aritmetică. Reamintim faptul că suma acestor abateri este egală cu 0, motiv pentru care fiecare valoare individuală a abaterii se ridică la pătrat înaintea operaţiei de adiţie.

Vom nota varianţa unei distribuţii prin s2 şi abaterea standard prin s. Formula pentru calcularea

varianţei sau dispersiei pentru valori negrupate ale unei variabile este: s2 = N

x∑ 2

. Corespunzător

explicaţiilor anterioare, formula abaterii standard pentru acelaşi fel de valori ale variabilei este

AUREL STAN

136

următoarea: s = N

x∑ 2

.

Ridicarea la pătrat nu trebuie considerată un procedeu artificial, deoarece simpla suma a abaterilor de la medie ar da in mod automat zero. Ridicarea la pătrat este cel mai simplu procedeu pentru a asigura datelor acelaşi semn. Ca şi alte calcule ale indicatorilor statistici avem cazul datelor negrupate şi cazul datelor grupate

Rubricile necesare calculului le prezentăm în tabelul care urmează:

Tabelul 22. Cuprinde etape de clacul pentru determinarea varianţei şi abaterii standard (date negrupate)

În primul rând se calculează media cu formula

specifică datelor negrupate: 00,1010

170=== ∑

NX

X .

După ce am calculat valoarea mediei trecem la completarea rubricii x, care se obţine din efectuarea diferenţei dintre fiecare valoare individuală a variabilei X şi valoarea mediei aritmetice ( 00,10=X ). Apoi trecem la realizarea rubricii x2 prin ridicarea la pătrat a fiecărei valori

din rubrica x.. După ce am însumat valorile din rubrica x2 (Σx2 = 90), putem trece la calcularea varianţei

şi a abaterii standard. 00,910902

2 === ∑N

xs şi 39

10902

==== ∑N

xs .

În cazul în care avem date grupate pe variante de variaţie, se întocmeşte tabelul (date fictive): Tabelul 23. Cuprinde etape de clacul pentru determinarea varianţei şi abaterii standard (date grupate pe variante de variaţie)

Explicaţia rubricilor a fost dată la tabelele constituite anterior. Avem un total de 78 de valori.

Aplicăm formula pentru calcularea mediei: ( )

23,221734=== ∑

NNfX

X Rubrica x se constituie prin

scăderea valorii 22,23 din valorile variantelor de variaţie. Din aplicarea formulei pentru calcularea

varianţei rezultă: s2 = ( )

==∑78

85,3952

Nfx

5,075. Abaterea standard se obţine prin extragerea rădăcinii

pătrate din valoarea varianţei.

Nr. crt. X x x2

1 11 - 6 36 2 14 - 3 9 3 16 - 1 1 4 18 1 1 5 20 3 9 6 22 5 25 7 17 0 0 8 18 1 1 9 15 - 2 4 10 19 2 4 ∑ 170 0 90

Date grupate pe variante de variaţie Nr.crt X f fX x x2 fx2

1 17 2 34 - 5,23 27,35 57,71 2 19 5 95 - 3,23 10,43 52,16 3 20 9 180 - 2,23 4,97 44,76 4 21 13 273 - 1,23 1,51 19,67 5 22 18 396 - 0,23 0,05 0,95 6 23 12 276 0,77 0,59 7,11 7 24 10 240 1,77 3,13 31,33 8 26 6 156 3,77 14,21 85,28 9 28 3 84 5,77 33,29 99,88 Σ 78 1734 395,85

STATISTICĂ I

137

s = 25,2075,52 ==s Pentru calcularea varianţei şi abaterii standard în condiţiile existenţei unei distribuţii de valori pe

intervale de variaţie avem la dispoziţie formule care utilizează variabila codificată u. Utilizarea unor astfel de variabile asigură în calcul valori numerice relativ mici. Formula pentru calcularea varianţei este:

s2 = i2*( ) ( )

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− ∑∑

22

Nfu

Nfu

. Pentru calcularea abaterii standard putem în aplicare următoarea

formulă: s = i*( ) ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− ∑∑

22

Nfu

Nfu

. Se observă clar că valoarea abaterii standard care se va

obţine este rădăcină pătrată din valoarea varianţei. Oferim pentru exemplificare următoarea grupare pe intervale de variaţie:

Valori grupate pe intervale de variaţie Nr.crt Interval (i = 5) f u fu u2 Fu2

1 19 – 23 9 - 3 - 27 9 81 2 24 – 28 13 - 2 - 26 4 52 3 29 – 33 19 - 1 - 19 1 19 4 34 – 38 24 0 0 0 0 5 39 – 43 20 1 20 1 20 6 44 – 48 14 2 28 4 56 7 49 - 53 10 3 30 9 90 Σ 109 6 318

Tabelul 24. Cuprinde etape de clacul pentru determinarea varianţei şi abaterii standard (date grupate pe intervale de variaţie)

Am explicat anterior modul cum se stabilesc valorile variabilei u. În acest exemplu am fixat

arbitrar valoarea u = 0 în dreptul intervalului modal, adică intervalul care are cea mai mare frecvenţă (intervalul 34 –38, care are frecvenţa 24). Prin i am nota mărimea intervalului (i = 5)

Aplicând formula varianţei vom obţine:

s2 = 25 [ ] =−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 003,091,225

1086

108318 2

72,5. Abaterea standard o obţinem prin extragerea

rădăcinii pătrate din această valoare. s = 5,72 = 8,51 ( prin aproximare 8,5). Menţionăm o proprietate matematică importantă a abaterii standard care are aplicaţii frecvente în

domeniul nostru de interes. Amplitudinea unei curbe normale Gauss-Laplace poate fi aproximată satisfăcător de următoarea formulă: A = 6 s. În sectorul distribuţiei cuprins între valoarea mediei şi ± o mărime a abaterii standard se găsesc aproximativ 68% din valorile unei distribuţii. Între valoarea mediei şi ± două mărimi ale abaterii standard se află aproximativ 95% din valorile unei distribuţii normale Gauss-Laplace, iar între valoarea mediei aritmetice şi ± trei mărimi ale mărimi ale abaterii standard se găsesc 99,958% din valorile distribuţiei.

Să luăm exemplul unei distribuţii de 118 de rezultate, având media aritmetică egală cu 64 şi abaterea standard egală cu 8. Între valoarea 56 (64 – 8) şi valoarea 72, (64 + 8) se vor găsi aproximativ

AUREL STAN

138

68% dintre valorile distribuţiei. Între valoarea 48 (64 – (2×8)) şi valoarea 78 (64 + (2×8)) se vor găsi aproximativ 95% dintre valori. Între valoarea 40 (64 – (3×8)) şi valoarea 88 (64 + (3×8)) se vor găsi aproximativ 99,958% dintre valorile distribuţiei, deci marea majoritate a acestor valori.

Această proprietate a abaterii standard într-o distribuţie teoretică Gauss-Laplace are aplicaţii în construirea etaloanelor testelor. Rezultatul cantitativ global obţinut de un subiect la un anumit test psihologic poartă denumirea de scor. Scorul este o însumare rezultatelor obţinute la componentele elementare ale testului, componente care poartă denumirea de itemi. Cunoaşterea scorului unui anumit subiect la un anumit test nu ne poate oferi aprecierea valorică a subiectului, deoarece aceasta se face prin raportare la valorile obţinute la respectivul test de un grup, numit şi grup de referinţă (care trebuie să îndeplinească o serie de exigenţe privind omogenitatea). Această situaţie de incertitudine valorică a scorului în privinţa unui subiect se datorează şi amplitudinii foarte diferite a distribuţiilor valorilor oferite de teste. Astfel, la testul Bourdon-Amfimov (destinat diagnosticării atenţiei concentrate) se pot obţine scoruri între 1 şi 776. La testul M.P. Raven (folosit în diagnosticul inteligenţei) se pot obţine scoruri între 1 şi 60 şi la testul AD-P (atenţie distributivă Praga) se pot obţine scoruri între 1 şi 100. În acest caz, nu putem compara randamentul exprimat prin scorul 245, obţinut de un subiect la testul Bourdon-Amfimov, cu randamentul exprimat prin scorul 172, obţinut de acelaşi subiect la testul Kraepelin, sau cu randamentul exprimat prin scorul 33, obţinut la testul M.P Raven. Chiar dacă testele amintite ar avea aceeaşi amplitudine a scorurilor, randamentele obţinute de un grup de subiecţi la respectivele teste ar putea fi foarte diferite. Iată de ce, scorurile testelor (pentru a putea fi pune în evidenţă valoarea unui randament individual) trebuiesc raportate la scale valorice cu acelaşi număr de trepte, care sunt stabilite după ce testul a fost efectuat de un grup de referinţă (diferenţiat în funcţie de scor, vârstă, mediu de provenienţă, nivel de studii etc.). Aceste scale standardizate se construiesc respectând o serie de exigenţe şi viziuni teoretice. Numărul treptelor scalelor pe care dorim să facem aprecierea rezultatelor subiecţilor se stabileşte în funcţie de oportunităţile situaţiei de evaluare în care ne aflăm.

Vom efectua o gradare pe curbă a unei scale cu 7 trepte (A, B, C, D, E, F, G), deci un număr impar de trepte. Utilizăm exemplul dat anterior (distribuţie de 118 scoruri, având media egală cu 64 şi abaterea standard egală cu 8). În primul rând, trebuie stabilită baza de gradare, notată de noi cu BG.

Formula bazei de gradare este: BG = kA , în care A este amplitudinea distribuţiei şi k numărul de clase

în care dorim să facem gradarea pe curbă. Amplitudinea distribuţiei poate fi foarte bine aproximată într-o distribuţie teoretică Gauss-Laplace prin înmulţirea abaterii standard cu 6, aşa cum am explicat anterior. Deci, A=6×8 = 48. După ce am aflat valoarea amplitudinii putem trece la calcularea bazei de

gradare BG = =748 6,86. În cazul unui număr impar de clase, vom împărţi baza de gradare la 2

( 43,32

=BG ). Pentru delimitarea limitei inferioare a clasei centrale, clasa D, vom scădea din valoare

mediei jumătate din baza de gradare şi pentru delimitarea limitei superioare a acesteia vom aduna la valoarea mediei jumătate din valoarea bazei de gradare. Limita inferioară a clasei centrale va fi 61,57 (64 – 3,43 = 60,57) şi limita superioară 67,43 (64 + 3,43). Delimitarea claselor inferioare şi superioare ale clasei D se va face prin scăderi succesive, respectiv adunări succesive, la limitele clasei centrale a întregii valori a bazei de gradare. Astfel pentru delimitarea limitei inferioare a clasei C vom scădea: 60,57 – 6,86 = 53,71. Pentru stabilirea limitei inferioare a clasei B vom scădea, din nou, 6,86 din

STATISTICĂ I

139

valoarea rezultată anterior (54,71 – 6,86 = 46,85). Orice valoarea mai mică de 46,85 va face parte din clasa A. Pentru calcularea limitelor claselor din dreapta clasei centale D procedăm prin adunarea succesivă a bazei de gradare. Astfel, pentru delimitarea limitei superioare a clasei E vom aduna la limita superioară a clasei D valoarea întreagă a bazei de gradare (67,43+6,86=74,29). Pentru calcularea limitei superioare a clasei F vom adăuga la valoarea rezultată din ultima adunare valoarea întreagă a unei baze de gradare (74,29 + 6,86 = 81,15). Orice valoare mai mare decât 81,15 va face parte din clasa G. Redăm într-un tabel clasele rezultatele: Nr.crt. Clasa Limite clasei Întregire 1 A → 46,84 → 47 2 B 46,85 – 53,70 49 – 54 3 C 53,71 – 60,56 56 – 61 4 D 60,57 – 67,43 63 – 67 5 E 67,44 – 74,29 68 – 74 6 F 74,30 – 81,15 75 - 81 7 G 81,16 → 82 → Tabelul 25. Cuprinde determinarea claselor standard prin procedeul gradării pe curbă

Facem precizarea că, în cazul în care valorile rezultatelor nu se prezintă cu zecimale, putem

proceda la întregirea limitelor claselor. Astfel, valoarea 47,84 din clasa A va deveni 48, Pentru a nu crea confuzii în privinţa apartenenţei unui rezultat la o anumită clasă, limita inferioară a clasei următoare va fi mărită cu o unitate şi vom întregi limita superioară a clasei următoare. Dacă valoarea aflată după virgulă depăşeşte 0,5 întregirea se va face prin adăugire, iar dacă această valoarea este mai mică de 0,5, întregirea se va face prin scădere. Astfel 54,70 va deveni 55 iar 64,43 va deveni 64.

Micile deplasări ale limitelor claselor în urma operaţiei de întregire nu afectează semnificativ valoarea acestora.

În cazul în care numărul de clase în care dorim să facem gradarea pe curbă este par (6,8,10), se procedează direct la adiţia,respectiv scăderea, bazei de gradare din medie, fără a o mai împărţi pe aceasta în două (în cazul unui număr par de clase nu mai avem o clasă centrală)

Prin intermediul abaterii standard şi a mediei putem efectua şi conversiuni ale valorii distribuţiilor, obţinându-se aşa-numitele variabile normate. Cele mai cunoscute dintre aceste variabile sunt variabilele

z. Formula pentru transformarea scorurilor brute în variabile normate z este următoarea: s

XXz −= ,

în care X este variabila originală, X este media aritmetică a distribuţiei originale şi s abaterea standard. Dacă transformăm toate variabilele originale ale unei distribuţii în variabile normate z obţinem o nouă distribuţie, care are media 0 şi abaterea standard 1. Noile variabile vor avea majoritatea valorilor între – 3 şi 3, indiferent care vor fi valorile variabilelor originale. Forma unei distribuţii nu se schimbă prin această transformare. Ce ne spune, de fapt, o anumită valoare z? Ea ne dă informaţii asupra distanţei, exprimată în abateri standard, dintre o valoare a distribuţiei şi medie. O valoare z = -1,22 ne informează asupra faptului că respectiva valoare se găseşte plasată în stânga mediei (unde se găsesc plasate valorile mai mici decât media), şi anume la o depărtare de -1,22 abateri standard de medie. O valoare z = 2,34 ne indică faptul că respectiva valoare se găseşte la dreapta medie (acolo unde se găsesc valorile mai mari decât media) la depărtare de 2,34 abateri standard. Valoarea z ne permite să facem aprecieri poziţiei relative a unui răspuns în ansamblul răspunsurilor. Aceste fapt este posibil datorită

AUREL STAN

140

proprietăţilor matematice ale distribuţiei Gauss-Laplace, denumită şi distribuţia normală. Într-o astfel de distribuţie teoretică (construită prin intermediul unei funcţii matematice) valorile mediei, medianei şi modulului se confundă. La acest gen de distribuţie există a perfectă simetrie a valorilor în jurul mediei. Tabele matematice special realizate pentru acest scop ne indica ce cuantum procentual din efectivul total se află între medie şi a anumită valoare a distribuţie. Prin deducţie se poate stabili acest cuantum între două valori oarecare ale distribuţiei. Pentru a putea efectua o astfel de determinare trebuie să consultăm tabelul de valori cuprins în anexele lucrării, intitulat Tabelul legii normale reduse.

În prima coloană (z) a tabelului sunt trecute valori progresive z cu rata de 0,1 (0,0; 0,1; 0,2; 0,3 ş.a.m.d. ). Ele formează capete de linii Aceste valori merg până la z = 4,00. Am precizat anterior că valorile z pot oscila până la 3. Acest lucru este valabil în marea majoritate a cazurilor. Într-un foarte mic număr de cazuri (100% - 99,958%) variabilele normate z pot primi valori mai mare decât 3. În prima linie (z) sunt trecute valori z progresive cu rata de 0,01 (0,00; 0,01;. 0,02; 0,03 ş.a.m.d.). Aceste valori formează capete de coloane. Aceste fracţiuni de valori z merg până la 0,09. Din intersecţia şirurilor de valori care pornească din capetele de linii şi a celor care pornesc din capetele de coloană putem indica proporţiile rezultate (sau procente, dacă înmulţim cu 100 proporţia) care se găsesc în afara unui interval valoric format din variabile z. Dacă cunoaştem proporţia de rezultate din efectivul total care se află în afara unui interval valoric z, putem foarte simplu să aflăm cât se află în interiorul acestui interval. Să luăm exemplul unei valori z = 1,42. Pentru a afla informaţia dorită vom citi din tabel proporţia aflată la intersecţia liniei 1,4 şi coloanei 0,02 (1,4 + 0,02 = 1,42).

z 0,00 0.01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,1 0,02

…….. ….

1,4 0,15561

Tabelul 26. Cuprinde exemplificare pentru modul de lucru cu tabela legii normale reduse La această intersecţie vom afla proporţia 0,15561, aproximativ 0,16. Ce semnifică această

proporţie? Ea semnifică faptul că în afara intervalului exprimat în valori z) - 1,42 şi 1,42 se găseşte aproximativ 0,16 din efectivul total al distribuţiei sau 16% din efectivul acestei distribuţii. În interiorul intervalului se va afla 0,84 din efectivul acestei distribuţii (1,00 – 0,84) sau, exprimat procentual, 84 % din acest efectiv. Proporţia aflată în afara intervalului amintit (0,16) se află plasată la cele două capete opuse ale distribuţiei. Jumătate din această proporţie (0,08) se afla în stânga variabilei z = -1,42 (valori mai mici decât aceasta) şi cealaltă jumătate (0,08) se va afla la dreapta valorii variabilei z = 1,42 (valori mai mari decât aceasta. Dacă transformăm scorul brut al unui subiect în variabile z şi obţinem valoarea -1,42 aceasta semnifică faptul că subiectul respectiv a obţinut un rezultat mai bun decât 0,08, sau, exprimat procentual, 8% din totalul rezultatelor subiecţilor şi mai slab decât 0,92 sau, exprimat procentual, 92% din totalul subiecţilor (100%-0,08). Dacă după transformarea scorurilor brute un subiect obţine o valoarea z = 1,42, aceasta semnifică faptul că 0,92 sau, exprimat procentual, 92% din totalul rezultatelor sunt mai slabe decât rezultatul obţinut respectivul subiect. Doar 0,08 (sau 8%) din totalul rezultatelor vor fi mai bune decât rezultatul obţinut de respectivul subiect.

O aplicaţie frecventă a tabelului legii normale reduse este calcularea cotei procentuale de subiecţi existenţi în claselor determinate prin gradarea pe curbă. Luăm exemplul dat anterior, în care distribuţia

STATISTICĂ I

141

rezultatelor a 118 subiecţi avea o medie de 64 şi o abatere standard de 8. Pentru aceasta transformăm limitele superioare a claselor stabilite în variabile z. Pentru aceasta luăm în consideraţie primele 3 limite superioare ale claselor stabilite şi întocmim următorul tabel:

Nr.crt. Variabile originale Variabile z Proporţie tabelară Înjumătăţire 1 46,84 - 2,145 0,0323 0,016 ( sau 1,6%) 2 53,70 - 1,287 0,1970 0,0985 (9,85%) 3 60,56 - 0,375 0,667 0,333 (33,3%) Tabela 27. Cuprinde exemplificare pentru determinarea proporţiilor suprafeţei curbei normale Gauss prin intermediul valorilor z

Deci, clasa A va avea conţine 0,016 rezultate ale subiecţilor sau 1,6% dintre acestea. Deoarece modul de construire a claselor se bazează pe simetria acestora, clasa G care este simetrică clasei A va conţine , de asemenea, 1,6% dintre rezultatele subiecţilor. Deosebirea constă în aceea că 1,6% din rezultatele conţinute de clasa A sunt cele mai slabe, pe când 1,6% din rezultatele conţinute de clasa G sunt cele mai bune. Pentru a afla proporţia de subiecţi existenţi în clasa B vom scădea din proporţia 0,0985 proporţia 0.016 şi se va obţine rezultatul 0,0825. Scăderea este justificată de faptul că 0,0985 conţine proporţia rezultatelor claselor A şi B. Clasa simetrică clasei B este clasa F, care va conţine, de asemenea, 0,0825 din ansamblul rezultatelor subiecţilor sau, exprimat sub formă procentuală, 8,25% din efectivul total al rezultatelor. Pentru a afla proporţia clasei C se va scădea din 0,333 proporţia 0,0985 (conţinută de clasele A şi B la un loc).Va rezulta proporţia 0,234 sau, exprimat sub formă procentuală 23,4% din total. Clasa simetrică clasei C este clasa E, care va avea aceeaşi proporţie de rezultate. Procentul clasei centrale D se va afla scăzând din valoarea 1,00 sumele proporţiilor celorlalte clase. Vom avea:

1,00-(2×0,016)-(2×0,0825)-(2×0,234)=1,00-0,665=0,335. În exprimare procentuală clasa centrală D va conţine 33,5 % din totalul rezultatelor.

În tabelul care urmează transformăm proporţiile şi procentele în valori absolute:

Nr.crt Clasa Limite clasei Întregire % din total Valori absolute Întregire 1 A → 46,84 → 47 1,6,5% 0,016*118 = 1,88 2 2 B 46,85 – 53,70 48 – 54 8,25,0% 0,0825*118 = 9,73 10 3 C 53,71 – 60,56 55 - 61 23,4% 0,234*118 = 27,61 28 4 D 61,57 – 67,43 62 - 67 33,5% 0,335*118 = 39,53 40 5 E 67,44 – 74,29 68 - 74 23,4% 0,234*118 = 27,61 28 6 F 74,30 – 81,15 75 - 81 8,25,0% 0,0825*118 = 9,73 10 7 G 81,16→ 82 → 2,5% 0,016*118 = 1,88 2 TOTAL 100% 120

Tabelul 28. Cuprinde exemplificare pentru determinarea proporţiile claselor normalizate

Operaţiunea de întregire este necesară, deoarece nu are sens să se spună că într-o clasă se află rezultatele a 1,88 de subiecţi. În urma analizei acestui tabel se poate spune că 2 dintre subiecţi au obţinut rezultate care-i situează în clasa A (cele mai bune rezultate), 10 subiecţii au obţinut rezultate care-i situează în clasa B, a doua clasă valorică, ş.a.m.d. Jocul întregirilor face ca suma totală să fie puţin mai mare (120, în loc de 118). Observăm că aceste clase construite pe baza mediei şi a abaterii

AUREL STAN

142

standard sunt egale ca valoare (jocul aproximărilor face să existe mici diferenţe), dar nu şi în privinţa numărului de rezultate ale subiecţilor conţinute în ele. Acest gen de împărţire în clase este realist, deoarece rezultate de excepţie şi rezultate foarte slabe obţin un număr foarte mic de subiecţi.

Variabilele normate z sunt foarte utile în indicarea poziţiei relative a rezultatului unui subiect în ansamblul rezultatelor ansamblului subiecţilor

În cadrul variabilelor z sunt foarte evidente, trei deficienţe: valoarea foarte mică a amplitudinii (de la –3 la 3), obţinerea de valori negative şi exprimarea sub formă zecimală, fără posibilitatea întregirii (deoarece, în unele cazuri, s-ar deforma semnificativ valoarea unui rezultate. Pentru a se remedia aceste deficienţe s-au creat alte tipuri de variabile normate, care se obţin tot printr-o transformare liniară pornind de la medie şi abatere standard. Teoretic se pot calcula o infinitate de tipuri de variabile normate bazate pe transformări liniare, dar, în practică se utilizează un număr restrâns, dintre care amintim variabilele T, create de McCall, şi variabile Hull, create de un cercetător american cu acelaşi nume. Formula pentru transformarea variabilelor originale a unor distribuţii în variabile normate T este

următoarea: T = [ ]XXs

−+1050 . Dacă transformăm toate valorile originale ale unei distribuţii după

formula amintită anterior obţinem o nouă distribuţie care va avea valoare mediei aritmetice egală cu 50

şi valoarea abaterii standard egală cu 10. Dacă avem în vedere faptul că z=s

XX − , formula se poate

scrie şi în modul următor: T= 50 + 10 z. Noile valori obţinute după transformare vor oscila aproximativ între 18 şi 82. Pentru a avea la dispoziţie variabile normate care să oscilează între 1 şi 100 (cu aproximaţie), foarte comode de utilizat în practică, s-au creat variabilele Hull, având următoarea formulă

de constituire: H = 50 + [ ]XXs

−14 . Formulă alternativă de constituire este: H = 50 + 14z. Dacă

transformăm toate valorile originale ale unei variabile după formula lui H vom obţine o nouă distribuţie cu media 50 şi abaterea standard egală cu 14.

Atenţionăm asupra faptului că variabilele normate îşi pierd valoarea practică de utilizare dacă distribuţia empirică (distribuţie ale cărei valori sunt obţinute dintr-o cercetare concretă) se deosebeşte semnificativ de o distribuţie normală Gauss-Laplace. Distribuţiile empirice şi cele teoretice sunt diferite în marea majoritate a cazurilor. Este important de a şti dacă această diferenţă este semnificativă sau nu. Pentru a stabili această diferenţiere există anumite proceduri statistice.

Exemplu de transformare în variabile normate z, T şi H. Să presupunem că avem o distribuţie empirică cu media egală cu 73 şi abaterea standard de egală cu 15. Ne propunem să transformăm valorile variabilei X egale cu 37, 63, 78, 85, 92 , conform formulelor stabilite pentru variabile normate z, T şi H. În mod uzual, în domeniul aplicării testelor psihologice pentru denumirea unei operaţiuni de acest gen se foloseşte expresia “transformare a scorurilor brute în note z, T şi H”. Nu procedăm la întregirea notelor z, deoarece deformarea rezultatului ar fi semnificativă atunci când este vorba de o cifră mică. La notele T şi H deformarea rezultatelor prin întregire este nesemnificativă. Formulele de transformare sunt cele pe care le-am expus anterior. Faptul transformării presupune că anterior ne-am asigurat de existenţa condiţiilor care o permite. În cazul existenţei unor asimetrii puternice, operaţiunea de transformare nu ne este de folos practic.

STATISTICĂ I

143

Nr.crt. Variabila originală X Note z Note T Întregire Note H Întregire 1 37 - 2,40 26 26 16,40 16 2 63 - 0,67 43,33 43 40,67 41 3 78 0,33 53,33 53 54,67 55 4 85 0,80 58 58 61,20 61 5 92 1,27 62,67 63 67.33 67

Tabelul 29. Cuprinde exemplificare pentru transformarea valorilor brute în note standard

III.5. STABILIREA ABATERII QUARTILE

Abaterea quartillă, notată cu Q, este un indicator de apreciere a împrăştierii, care se calculează prin împărţirea la 2 a diferenţei dintre valoarea quartilului 3 (Q3) şi cea a quartilului 1 (Q1). Intervalul ( 1Q ±X ) cuprinde 50% din rezultatele unei distribuţii. Amplitudinea unei distribuţii are aproximativ 7,5 abateri quartile. Relaţia se verifică mai ales în situaţia în care distribuţia empirică se conformează exigenţelor teoretice unei distribuţii normale Gauss-Laplace. Se poate efectua o gradare pe curbă prin folosirea medianei şi abaterii quartile, aşa cum s-a făcut cu media şi abaterea standard. Oferim un exemplu concret pentru calcularea abaterii quartile. Să presupunem că media unei distribuţii este egală 74, quartilul 3 (Q3) este egal cu 85 şi quartilul 1 (Q1) este egal cu 62. Numărul de rezultate ale subiecţilor este egal cu 186 (N = 186) Modul de stabilire a acestor forme particulare a quantilelor l-am tratat anterior. După aflarea celor două valori, putem trece la calculul abaterii quartile.

Q= 5,112

62852

13=

−=

−QQ . Între valorile 62,5 (74 – 11,5) şi 85,5 ( 74 + 11,5) se găsesc aproximativ

50% dintre rezultate (93 de rezultate). III.6. STABILIREA INDICATORILOR DE ASIMETRIE Indicatorii de nivel şi de împrăştiere au un mare rol în descrierea unora din caracteristicile unei

distribuţii, dar sunt insuficienţi pentru formarea unei imagini complete asupra tendinţelor care există în aceasta. Distribuţiile pot să aibă medii şi varianţe egale, dar să nu fie la fel de simetrice. Stabilirea indicatorilor de asimetrie prezintă importanţă în aprecierea existenţei unor influenţe în şirul de date (datorate compoziţiei eşantionului sau erorilor de construcţie a unui test psihologic, de exemplu) Apreciere asimetriei unei distribuţii se poate face în cel mai simplu mod prin compararea valorilor mediei şi medianei. Când media este inferioară medianei avem o asimetrie negativă. Dacă mediana este inferioară mediei avem o asimetrie pozitivă a distribuţiei de valori. Asimetria negativă presupune “îngrămădirea” de valori în dreapta mediei, adică existenţa mai multor valori superioare mediei decât cele inferioare acesteia. Când valorile mai mici decât media sunt în număr superior celor mai mari decât aceasta suntem în situaţia unei asimetrii pozitive.

Distribuţia rezultatelor la un test prezentând o puternică asimetrie de dreaptă indică deosebita calitate intelectuală a celor ce efectuează testul (daca acest test este de inteligenţă) sau a modului de construcţie a probei psihologice (cu prea multe situaţii problematice uşoare). În cazul în care avem drept scop să selectăm o categorie de personal puternic performanta, se urmăreşte deliberat asigurarea asimetriei de stânga în timpul construcţiei probei. Amintim că astfel de procedee de construcţia sunt de excepţie. În majoritatea cazurilor, constatarea unei asimetrii semnificative a rezultatelor constituie un semnal pentru remedierea construcţiei probelor.

Procedeul simplei comparaţii a mediei şi medianei are o valoare aproximativă. Egalitatea

AUREL STAN

144

medianei mediei nu ne asigură în privinţa simetriei unei distribuţii. În cazul în care dorim sa fim mai precişi trebuie sa calculam o serie de indicatori. Unul dintre aceştia se bazează pe diferenţa dintre

medie şi mediană. Îl vom nota cu S. Formula este următoarea: S = ( )s

MdX −3 în care cu X am notat

media, cu Md mediana şi cu S indicatorul de asimetrie. În alt caz vom folosi formula: S = 3

3

Nsx∑ , în care

S este indicatorul de asimetrie (Skwenes), x este variabila de deviaţie (X- X ), N este efectivul total şi s abaterea standard a distribuţiei. În cazul variabilelor grupate se foloseşte la numărător ∑ 3fx . Vom

folosi tabelul cu date grupate pe variante de variaţie creat pentru exemplificarea etapelor de calcul în vederea determinării mediei aritmetice.

Date grupate pe variante de variaţie Nr.crt X f fX x x2 fx2 x3 fx3

1 17 2 34 - 5,23 27,35 54,71 - 143,06 - 286,11 2 19 5 95 - 3,23 10,43 52,16 - 33,70 - 168,49 3 20 9 180 - 2,23 4,97 44,76 - 11,09 - 99,81 4 21 13 273 - 1,23 1,51 19,67 - 1,86 - 24,19 5 22 18 396 - 0,23 0,05 0,95 0,01 0,22 6 23 12 276 0,77 0,59 7,11 0,46 5,48 7 24 10 240 1,77 3,13 31,33 5,55 55,45 8 26 6 156 3,77 14,21 85,28 53,58 321,50 9 28 3 84 5,77 33,29 99,88 192.10 576,30 Σ 78 1734 395,85 380,35

Tabelul 30. Cuprinde exemplificare pentru etapele de calcul necesare stabilirii indicatorului de asimetrie

Pentru a avea la dispoziţie toate datele aplicării formulei coeficientului de asimetrie S va trebui să calculăm abaterea standard a distribuţiei. Aplicăm formula pentru calcularea abaterii standard pentru variabile grupate pe variante de variaţie:

s = ( )

2,287,478

35,3802

===∑Nfx

. Aplicăm, în continuare formula pentru calculul coeficientului

de asimetrie: S = ( )

==∑64,10*78

35,3803

3

Nsfx

0,45.

Când valoarea coeficientului este 0, atunci distribuţia este perfect simetrică. Valoarea negativă indică o asimetrie negativă, valoarea pozitivă o asimetrie pozitivă. Valoarea obţinută la distribuţia exemplificată indică o asimetrie pozitivă.

III.7. INDICATORI DE BOLTIRE SAU INDICATORI DE EXCES

Pentru a caracteriza în întregime o distribuţie de valori trebuie să adăugăm la indicatorii de nivel, împrăştiere şi asimetrie indicatorii de exces sau de kurtosis. Kurtoza este gradul de aplatizare a unei distribuţii. Se disting în aceasta privinţă 3 tipuri de distribuţii: distribuţiile leptokurtice (ascuţite), în care se găseşte un mare număr de valori cuprins la centrul distribuţiei, distribuţiile platicurtice care sunt evazate şi se caracterizează printr-o mare întindere a scorurilor şi distribuţiile mezocurtice, reprezentate printr-o distribuţie apropiată celei normale. Exista o formulă adecvată de calcul a excesului pentru

STATISTICĂ I

145

scalele ordinale K=1090

)2575 )(CCCC−

−. Prin K am notat coeficientul de exces, prin C75 centilul 75, prin C25

centilul 25, prin C90 centilul 90 şi prin C10 centilul 10. Conform acestei formule, o distribuţie poate fi considerată mezokurtică atunci când valoarea lui K se situează în jurul valorii 0,2632. Distribuţia va fi considerata drept leptokurtică atunci când K este mai mic decât 0,2632 şi drept platicurtică când K este mai mare decât 0,2632. Coeficientul de exces pentru distribuţii care satisfac exigenţele scalelor de

interval se notează, de asemenea, cu K. Formula de calcul este următoarea: K = .* 4

4

sN

x∑ În această

formulă K este coeficientul de exces a unei distribuţii, x4 este puterea a patra a variabilei de deviaţie (X- X ), s4 este puterea a patra a abaterii standard a distribuţiei. În cazul variabilelor grupate pe variante de variaţie la numărător apare Σ(f*x4). Pentru exemplificare am adaptat tabelul prezentat anterior. Abaterea standard are aceeaşi valoare (s = 2,2; s4 = 23,42).

Date grupate pe variante de variaţie Nr.crt X f fX x x4 f*x4

1 17 2 34 - 5,23 748,18 1496,36 2 19 5 95 - 3,23 108,85 544,23 3 20 9 180 - 2,23 24,73 222,57 4 21 13 273 - 1,23 2,29 29,76 5 22 18 396 - 0,23 0,00 0,05 6 23 12 276 0,77 0,35 4.22 7 24 10 240 1,77 9,82 98,15 8 26 6 156 3,77 202.01 1212,04 9 28 3 84 5,77 1108,42 3325,25 Σ 78 1734 6932,62

Tabelul 31. Cuprinde exemplificare pentru etapele de calcul necesare stabilirii indicatorului de exces

În continuare, aplicăm formula pentru calculul coeficientului de exces: ( )

79,326,182662,6932

42,23*7832,6932

* 4

4

==== ∑sNfx

K

După ultima formulă folosită o distribuţie este considerată mezokurtică când K = 3. În cazul în care K>3 distribuţia este leptokurtică, iar în cazul în care K<3 ea este platikurtică. Rezultatul obţinut de noi indică o distribuţie leptokurtică.

E X E R C I Ţ I I 1. Se dau următoarele valori negrupate ale unei variabile: 15,31, 21,17, 19, 22, 27, 23, 26, 30, 20, 25,28, 27, 18, 17.

Să se determine cele 4 tipuri de indicatori statistici amintiţi în curs.

AUREL STAN

146

2.Se dau următoarele valori ale unei variabile, organizate pe variante de variaţie: Nr. crt. Valorile variabilei (X) Frecvenţa (f) 1 21 4 2 22 5 3 23 7 4 24 11 5 25 13 6 26 20 7 27 25 8 28 30 9 29 22 10 30 19 11 31 17 12 32 13 13 33 5 14 34 3

Să se determine tipurile de indicatori amintiţi în curs.

STATISTICĂ I

147

IV. MODELELE TEORETICE DE RAPORTARE

Am insistat anterior asupra faptului că o mulţime de cifre rezultată din colectarea notelor brute

ale unui mare număr de persoane care au efectuat un test psihologic nu ne oferă nici o informaţie relevantă dacă nu realizăm o serie de operaţii preliminare. Ordonarea şi sistematizarea acestor date încep să confere sens acestei mulţimi de date. Realizarea histogramei, a poligonului frecvenţelor, a curbei frecventelor sau a altor forme de reprezentare spaţială a distribuţiilor empirice oferă imaginea tendinţei generale care există în cadrul mulţimii de date. Interpretarea unor reprezentări grafice a distribuţiilor empirice este posibilă doar prin raportare la nişte modele, care au o fundamentare matematică riguroasă. Cele mai frecvente raportări ale distribuţiilor şi reprezentărilor lor grafice se fac la modelul distribuţiei şi curbei normale a lui Gauss-Laplace. Modelul amintit nu este nici mai bun, nici mai rău decât alte modele de distribuţii (modelul Poisson, modelul binomial, modelul uniform discret, modelul Snedecor-Fisher, modelul hipergeometric)21, ci cel mai frecvent utilizat şi mai adaptat datelor oferite de cercetările psihopedagogice.

Raportarea la distribuţia normală este una din cele mai frecvente proceduri în analiza datelor rezultate din cercetările cantitative ale domeniului psihologic. În unele cazuri, această modalitate de raportare devine un gest reflex, automatic, lipsit de discernământ din partea cercetătorului puţin abilitat în privinţa exploatării metodelor cantitative. Asemănarea unei distribuţii empirice cu o distribuţie normală pare să indice că cercetarea merge pe drumul cel bun, că o anumită caracteristică psihică se manifestă armonios pe ansamblul unui grup.

Este binecunoscut faptul că orice măsurare capătă sens prin raportarea la un model teoretic. Curba normală Gauss-Laplace este unul din modelele cu care se operează în cercetarea cantitativă, dar nu singurul. Există alte modele frecvent utilizate, dar nu la fel de populare. De unde vine popularitatea „curbei în clopot”? Această distribuţia pare multor cercetători „naturală” şi „firească”, manifestându-se parcă în firea lucrurilor, şi probabil cred, că dacă nu ar fi „inventat-o” celebrul matematician german, ar fi făcut-o ei cu siguranţă. Acumularea de fapte de viaţă înregistrate în registrele oficiale ale statelor din Occident cu sistem administrativ evoluat din secolul XVII şi XVII parcă „anunţa” curba lui Gauss. Astfel, în secolul XVIII s-a remarcat o mare stabilitate a recensământului efectuat asupra marilor colectivităţi (naşterile, căsătoriile, decesele). Acest fapt era interpretat ca o manifestare a providenţei, a unei ordini divine, impunând o aşezare cantitativă armonioasă pentru societate în ansamblul său, dincolo de indivizii volatili şi imprevizibili.

În 1832, matematicianul german Carl-Friedrich Gauss (1777-1855), profesor la Universitatea din Göttingen, supra-numit „prinţul matematicienilor” stabileşte o „curbă de erori”, care va purta ulterior numele său, oferind o reprezentare în clopot a erorilor de observaţie pentru măsurători mai ales astronomice. Curba normală a repartiţiei, numită şi curba normală Gauss-Laplace este simetrică, are

21 O descriere a acestor modelele găsiţi în lucrarea lui Ilie Puiu Vasilescu, Statistică informatizată pentru ştiinţele despre om, Editura militară, Bucureşti, 1991, pag. 53-96, de asemenea în lucrarea Statistica aplicată în psihologie de Valentin Clocotici şi Aurel Stan, lucrare în curs de apariţie la Editura Polirom.

AUREL STAN

148

vârf unic, cu ordonată maximă centrată pe medie şi divizează repartiţia valorilor în două părţi egale (media, mediana şi modul coincid). Cu cât abaterea standard este mai slabă cu atât curba se strânge mai mult, se apropie asimptotic de axa x. Există o relaţie fixă între abaterea standard a unui eşantion şi procentajul porţiunilor de suprafaţă situate sub curbă între două limite

Statisticianul, matematicianul şi astronomul belgian Lambert Adolphe Jacques Quetelet (1796-1874), autor al lucrării Sur l’homme et le développment de ses facultés ou essai de physique sociale, 1835, a pus în evidenţă faptul că distribuţiile obţinute pe caracteristici foarte variate au aceeaşi alură (ceea ce se va numi mai târziu „curba în clopot”) şi propune o interpretare. El demonstrează matematic că această formă rezultă din compunerea unui mare număr de erori mici şi independente unele de altele. Abaterile, prin raportare la tendinţa centrală (valoare care corespunde vârfului curbei) vor fi nişte imperfecţiuni în realizarea efectivă a unui obiect „perfect”. Noţiunea pusă în circulaţie de Quetelet este aceea de om mediu. La baza filosofărilor savantului belgian se afla considerentul că media descrie un subiect ideal, descărcat de erorile cu care natura l-a creat. Apreciază că media este mai adevărată decât o valoare măsurată. Omul mediu este proslăvit ca expresie a adevărului. Cu toată străduinţa lui Quetelet de a impune „omul mediu”, această noţiune a fost o prezenţă foarte controversată în câmpul preocupărilor ştiinţifice socio-umane.

Distribuţie normală se conturează atunci când o caracteristică (de exemplu, în cazul nostru, inteligenţa) se naşte din acţiunea conjugată a mai multor surse de variaţie care, firesc, o influenţează. Avantajele acestui tip de distribuţie rezidă în posibilitatea unui mai bun tratament statistic a seriilor de rezultate repartizate într-un mod normal (în unităţi de abateri standard).

Comentând într-o lucrare presupoziţiile curbei lui Gauss. Jean Jacques Bonniol şi Michel Vial se exprimă poetic vorbind despre „şarmul discret al simetriei”22. Modelul gaussian a fost adoptat cu uşurinţă din cauza faptului că el prezintă toate aparenţele de evidenţă: simetria armonioasă, calcule simple, coerenţă cu (sau legitimare a) ideile existente asupra distribuţiei aptitudinilor, coerenţă, cu imperativele selecţiei sociale şi a alegerii „celor mai buni”, cu obişnuinţele mentale şi socio-culturale. Distribuţia normală se verifică experimental asupra variabilelor aleatoare şi pare să dea seama de un fel de „lege a naturii”.

Forma ca atare a curbei Gauss Laplace are o mare putere de sugestie pentru cei înclinaţi spre filosofare a faptelor, obiectelor, evenimentelor lumeşti. Tot ce fiinţează în această lume are un început, o evoluţie, un vârf de glorie sau de vitalitate, după care urmează căderea, declinul şi aneantizarea. Fiinţele de orice gen, creaţiile umane, alcătuirile sociale, imperiile şi măririle lumeşti sunt „tiranizate” în existenţa lor de legea lui Gauss-Laplace.

Dar, distribuţia normală nu este „divină şi universală”, cum a crezut la început Einstein. Există distribuţii în U, în J, în I, asimetrice de dreapta, asimetrice de stânga şi altele. În scopul de a conserva avantajele distribuţiei normale se modifică valorile aceste distribuţii prin transformarea mai ales în valori z sau T, adică se pun în funcţiune procedeele de normalizare. Generalizarea acestui model probabilist ajunge la legea normală redusă, la care se rezumă câteva caracteristici. Într-o distribuţie normală media, mediana şi modul coincid, sigma sau abaterea standard delimitează zonele în care procentajele sunt cunoscute şi stabile.

Exemplificăm noţiunea de model de distribuţie şi deviaţiile de la un model prin raportare la

22 Jean Jacques Bonniol, Michel Vial, Les modèles de l’évaluation. Textes fondateurs avec commentaires, De Boeck & Larcier s.a.1997, Paris, Bruxelles, pag.71

STATISTICĂ I

149

modelul binomial, model foarte apropiat modelului normal de distribuţie. Frecvenţele variantelor sau intervalelor de distribuţie sunt proporţionale cu valorile următoarelor serii:

2 intervale: 1 1 3 intervale: 1 2 1 4 intervale: 1 3 3 1 5 intervale: 1 4 6 4 1 6 intervale: 1 5 10 10 5 1 7 intervale: 1 6 15 20 15 6 1 8 intervale: 1 7 21 35 35 21 7 1 9 intervale: 1 8 28 56 70 56 28 1

Cum citim aceste serii de valori care formează aşa-numitul «Triunghi al lui Pascal»? Facem referire la algoritmul de repartiţie pentru 4 intervale. Şirul «1 3 3 1» semnifică faptul că în modelul binomial pentru 4 intervale, al doilea interval va avea un efectiv de trei ori mai mare decât primul, al treilea interval va avea un efectiv de trei ori mai mare decât primul şi al patrulea interval va avea un efectiv egal cu primul. Deci, un prim efectiv de bază se multiplică conform unui algoritm.

Dacă vom avea 2940 de valori ale unei distribuţii empirice şi dorim să le distribuim după modelul binomial în 9 clase pentru a putea determina ulterior cât de mult se distanţează de acest model teoretic o anumită distribuţie empirică, procedăm în felul următor: 1) se adiţionează toate cifrele din dreptul specificaţiei 9 (1+8+28+56+70+56+28+8+1=326) ; 2) împărţim efectivul total al distribuţiei la 326 (2940:326 = 9,01, aproximativ 9); 3) valoarea rezultată o înmulţim cu fiecare cifră a şirului de date din dreptul specificaţiei „9 intervale”.

Specificaţie „9” 1 8 28 56 70 56 28 8 1 Nr. interval 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Efectiv rezultat 9 72 252 504 630 504 252 72 9 Exprimată grafic sub formă de histogramă, situaţia rezultată se prezintă astfel:

9 72252

540630

540

25272 90

100

200

300

400

500

600

700

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Figura 6. Organizarea cantitativă a modelului binomial în 9 clase pentru 2940 de rezultate (exprimată printr-o histogramă)

AUREL STAN

150

Exprimată sub formă de curbă, vom avea următoarea reprezentare grafică

972

252

540

630

540

252

7290

100

200

300

400

500

600

700

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Figura 7. Organizarea cantitativă a modelului binomial în 9 clase pentru 2940 de rezultate (exprimată printr-o curbă a frecvenţelor)

Distribuţia empirică (aşa cum rezultă dintr-o cercetare concretă) deviază foarte frecvent de la o distribuţie teoretică. În exprimare statistică se foloseşte sintagma pentru această deviaţie de distanţă faţă de modelul teoretic. În cercetarea practică nu are importanţă dacă o distribuţie empirică se distanţează de una teoretică, ci dacă această deviaţie este semnificativă sau nu. Dacă distanţa dintre cele două distribuţii este una semnificativă, putem spune că ieşim din model, situaţie care modifică o serie de proceduri de raportare. Astfel, pentru valorile unei distribuţii empirice nu mai au sens exprimările prin intermediul valorilor normalizate. Exemplificăm, prin intermediul unei reprezentări grafice realizate prin programul SPSS-10, distanţa între o distribuţia teoretică şi una empirică.

X

37,535,032,530,027,525,022,520,017,515,012,5

14

12

10

8

6

4

2

0

Std. Dev = 6,95 Mean = 24,4

N = 63,00

Figura 8. Exemplificare distanţării dintre o distribuţie empirică (histogramă pentru 63 de rezultate) şi o distribuţie teoretică (curba lui Gauss)

STATISTICĂ I

151

Se cunosc mai multe forme de deviere sau distanţare de la un model teoretic gaussian. Exemplificările sunt făcute din domeniul psihologic 1. Curba cu asimetrie de dreapta sau asimetrie negativă semnifică faptul ca o proba psihologică este prea uşoara pentru subiecţii la care a fost aplicata sau ca grupul de subiecţi este selecţionat din superdotaţi. În această formă de asimetrie se pot detecta cu uşurinţă subiecţii foarte slabi, situaţi în stânga distribuţiei. I se spune pozitivă, deoarece diferenţa dintre valoarea mediei şi valoarea medianei dă o valoare negativă

020406080

100120

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 9. Curba cu asimetrie de dreapta sau asimetrie negativă 2. Curba cu asimetrie de stânga sau asimetrie pozitivă .Semnifică faptul că rezultatele unei probe sunt foarte grele, sau faptul subiecţii sunt selecţionaţi dintre cei foarte slab dotaţi aptitudinal. I se spune pozitivă deoarece diferenţa dintre valoarea mediei şi valoarea medianei dă o valoare pozitivă. Cu o astfel de reprezentare grafică ies foarte bine în evidenţă subiecţii buni şi foarte buni.

020406080

100120

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 10. Curbă cu asimetrie de stânga sau asimetrie pozitivă 3. Curba platikurtică semnifică ridicarea exagerata a coeficientului de variaţie. Amplitudinea distribuţiei sau plaja de variaţie este foarte extinsă. Nu se poate observa nici o tendinţă de reliefare în distribuţia datelor

AUREL STAN

152

0

50

100

150

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Figura 11. Curbă aplatizată sau platikurtică

4. Curba mezokurtica este apropiată ca formă curbei normale Gauss-Laplace. Semnifică un echilibru in privinţa repartiţiei rezultatului subiecţilor.

0102030405060

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Figura 12. Curba mezokurtică 5. Curba leptokurtica semnifică faptul că majoritatea datelor sunt masate în puţine intervale în jurul mediei şi îngustimea coeficientului de variaţie

-500

50100150200250

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Figura 13. Curba leptokurtică 6. Curba bimodală (cu dublu modul) semnifică faptul existenţei în grupul de subiecţi examinaţi a doua subgrupuri eterogene cu dotări aptitudinale diferite. Menţionăm, totodată, că acest fel de curbă rezulta şi in cazul adoptării unei tehnici de construcţie a testului psihologic care-si propune să dea rezultate sub forma dihotomică (apt-inapt, admis-respins);

STATISTICĂ I

153

05

1015202530

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Figura 14. Curba bimodală 7. Curma multimodală semnifica existenţa în grupul examinat a mai multor subgrupe eterogene valoric.

0

10

20

30

40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Figura 15. Curba multimodală 8. Curba în U semnifică plasarea majorităţii rezultatelor la extremităţile plajei de variaţie. În mediile de populaţie puternic divizate pe criterii etnice, rasiale sau religioase se obţin astfel de rezultate în cazuri în care se efectuează chestionare de opinii în privinţa calităţilor unei anumite grupări cu eşantioane compuse din numere egale de opozanţi;

0

50

100

150

200

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Curba 16. Curba în U

9. Curba în I se întâlneşte în cazul în care majoritatea covârşitoare a subiecţilor se situează la limita inferioară a plajei de variaţie. Se întâlnesc astfel de situaţii când transpunem grafic situaţia erorilor la proba tăbliţelor de corectura Bourdon-Amfimov;

AUREL STAN

154

0

50

100

150

200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Figura 17. Curba în I 10. Curba în j. Situaţia se întâlneşte când transpunem grafic valoarea indicilor de calitate la probele creion hârtie de atenţie concentrata.

0

50

100

150

200

250

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Figura 18. Curba în J

În interpretarea unor astfel de forme de distribuţie care deviază de la o distribuţie teoretică Gauss-Laplace este necesară o anumită elasticitate în interpretare, deoarece anumite condiţii particulare de desfăşurare a unui examen sau experiment favorizează apariţia unui anumit tip de distanţare. Explicaţiile pe care le-am dat noi constituie doar una din interpretări. De exemplu, la apariţia unei distribuţii asimetrice pozitive se poate întâmpla ca subiecţii să nu fi înţeles explicaţiile de realizare a unei anumite sarcini.

STATISTICĂ I

155

B I B L I O G R A F I E

▪ Andrei, T., Stancu, S., Statistică - Teorie şi aplicaţii, Editura All, Bucureşti, 1995 ▪ Dickes, P., Tournois, J., Flieler, A., Kop, J.L., La psychometrie, Presses Universitaire de Frances,

Paris, 1993 ▪ Gueguen, N., Manuel de statistique pour psychologues, Dunod, Paris, 1997 ▪ Horst, P., Messung und Vorhersage, Verlag Juliusz Beltz, Weinheim, Berlin, Basel, 1971 ▪ Lienert, G.A., Testaufbau und Testanalyse,Verlag Juliusz Beltz,Weinheim/ Berlin, 1967 ▪ Milton-Smith, G., Ghid simplificat de statistică pentru psihologie şi pedagogie, Editura didactică şi

pedagogică, Bucureşti, 1971 ▪ Nowak, A., Metode cantitative în psihologie şi sociologie,Oscar Print, Bucureşti, 1998 ▪ Porojan, D., Statistica şi teoria sondajului, Casa de editură “Şansa” SRL, Bucureşti, 1993 ▪ Radu, I., Miclea, M., Moldovan, O., Nemeş, S., Szamoskozy, S., Metodologia psihologică şi analiza

datelor, Editura Sincron, Cluj, 1993 ▪ Reuchlin, M., Les Methodes quantitatives en psychologie, Presses Universitaires de France, Paris,

1962 ▪ Reuchlin, M., Precis de statistique, Presses Universitaires de France, Paris, 1975 ▪ Rotariu,T., Metode statistice aplicate în ştiinţele sociale, Polirom, Iaşi, 1999 ▪ Trebici, V. (coord), Mică enciclopedie de statistică, Editura ştiinţifică şi enciclopedică, Bucureşti,

1985 ▪ Ţarcă, M., Tratat de statistică aplicată, Editura didactică şi pedagogică, R.A. Bucureşti, 1998 ▪ Vasilescu, I.P., Statistică informatizată pentru ştiinţe despre om, Editura Militară, Bucureşti, 1991

AUREL STAN

156

Anexa 1. Tabela legii normale reduse (probabilităţi bilaterale)

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 1,00000 0,99202 0,98404 0,97607 0,96809 0,96012 0,95216 0,94419 0,93624 0,92829 0,1 0,92034 0,91241 0,90448 0,89657 0,88866 0,88076 0,87288 0,86501 0,85715 0,84931 0,2 0,84148 0,83367 0,82587 0,81809 0,81033 0,80259 0,79486 0,78716 0,77948 0,71182 0,3 0,76418 0,75656 0,74897 0,74140 0,73386 0,72634 0,71885 0,71138 0,70395 0,69654 0,4 0,68916 0,68181 0,67449 0,66720 0,65994 0,65271 0,64552 0,63836 0,63123 0,62413 0,5 0,61708 0,61005 0,60306 0,59611 0,59920 0,58232 0,57548 0,56868 0,59191 0,55519 0,6 0,54851 0,54186 0,53526 0,52869 0,52217 0,51569 0,50925 0,50286 0,49650 0,49019 0,7 0,48393 0,7770 0,47152 0,46539 0,45930 0,45325 0,44725 0,44130 0,43539 0,42953 0,8 0,42371 0,4]794 0,41222 0,40654 0,40091 0,39532 0,38979 0,38430 0,37886 0,37347 0,9 0,36812 0,36282 0,35757 0,35237 0,34722 0,34211 0,33706 0,33205 0,32709 0,32217 1,0 0,31731 0,31250 0,30773 0,30301 0,29834 0,29372 0,29914 0,28462 0.28014 0,27571 1,1 0,27133 0,26700 0,26271 0,25848 0,25429 0,25014 0,24605 0,24200 0,23800 0,23405 1,2 0,23014 0,22628 0,22247 0,21870 0,21498 0,21130 0,20767 0,20408 0,20055 0,19705 1,3 0,19360 0,19020 0,18684 0,18352 0,18025 0,17702 0,17383 0,17069 0,16759 0,16453 1,4 0,16151 0,15854 0,15561 0,15272 0,14987 0,14706 0,14429 0,14156 0,13887 0,13662 1,5 0,13361 0,13104 0,12851 0,12602 0,12356 0,12114 0,18876 0,11642 0,11411 0,11183 1,6 0,10960 0,10740 0,10523 0,10310 0,10101 0,09894 0,09691 0,09492 0,09296 0,09103 1,7 0,08913 0,08727 0,08543 0,0363 0,08186 0,08012 0,07841 0,07673 0,07508 0,07345 1,8 0,07186 0,07030 0,06876 0,06725 0,06577 0,06431 0,06289 0,06148 0,06011 0,05876 1,9 0,05743 0,05613 0,05486 0,05361 0,05238 0,05118 0,05000 0,04884 0,04770 0,4659 2,0 0,00450 0,04443 0,04338 0,04236 0,04135 0,4036 0,03940 0,03845 0,03753 0,03662 2,1 0,03573 0,03486 0,03401 0,03317 0,03235 0,03156 0,03077 0,03001 0,02926 0,02852 2,2 0,02781 0,02711 0,2034 0,02575 0,02509 0,02445 0,02382 0,02321 0,02261 0,02202 2,3 0,02145 0,02089 0,02034 0,01981 0,01928 0,01877 0,01827 0,01779 0,01731 0,01685 2,4 0,01640 0,01595 0,01552 0,01510 0,01469 0,01429 0,01389 0,01351 0,01314 0,01277 2,5 0,01242 0,01207 0,01174 0,01141 0,01109 0,01077 0,01047 0,01017 0,00988 0,00960 2,6 0,00932 0,00905 0,00879 0,00854 0,00829 0,00805 0,00781 0,00759 0,00736 0,00716 2,7 0,00693 0,00673 0,00653 0,00653 0,00614 0,00596 0,00578 0,00561 0,00544 0,00527 2,8 0,00511 0,00495 0,00480 0,00465 0,00451 0,00437 0,00424 0,00410 0,00398 0,00385 2,9 0,00373 0,00361 0,00350 0,00339 0,00328 0,0318 0,00308 0,00298 0,00288 0,00279 3,0 0,00270 0,00261 0,00253 0,00245 0,00237 0,00269 0,0221 0,00214 0,00207 0,00200 3,1 0,00194 0,00187 0,00181 0,00175 0.00169 0,00163 0,00158 0,00152 0,00147 0,00142 3,2 0,00137 0,00133 0,00128 0,00124 0,00120 0,00115 0,00111 0,00108 0,00108 0,00100 3,3 0,00097 0,00093 0,00090 0,00087 0,00084 0,00081 0,00078 0,00075 0,00072 0,00070 3,4 0,00067 0,00065 0,00063 0,00060 0,00058 0,00056 0,00054 0,00052 0,00050 0,00048 3,5 0,00047 0,00045 0,00043 0,00042 0,00040 0,00039 0,00037 0,00036 0,00034 0,00033 3,6 0,00032 0,00031 0,00029 0,00028 0,00027 0,00026 0,00025 0,00024 0,00023 0,00022 3,7 0,00022 0,00021 0,00020 0,00019 0,00018 0,00018 0,00017 0,00016 0,00016 0,00015 3,8 0,00014 0,00014 0,00013 0,00013 0,00012 0,00012 0,00011 0,00011 0,00010 0,00010 3,9 0,00010 0,00009 0,00009 0,00008 0,00008 0,00008 0,0007 0,00007 0,00007 0.00007 4,0 0,0006 0,0006 0,0006 0,00006 0,00005 0,00005 0,00005 0,00005 0,00005 0,00004