Siruri - calculul limitelor sirurilor date prin termenul general

5/7/2018 Siruri - calculul limitelor sirurilor date prin termenul general - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/siruri-calculul-limitelor-sirurilor-date-prin-termenul-general 1/15

Siruri date prin termenul general

In cele mai multe cazuri, sirurile sunt specificate prin formula

termenului general – adica, dat fiind { }fixatk n n n k ∈ = ∈ ≥¥ ¥ se da o relatiedirecta de calcul pentru

na . Chiar si asa, de multe ori este necesar un efort

suplimentar pentru a stabili convergenta sirului si pentru a-i calcula limita (incazul in care aceasta exista). Aceasta deoarece formula termenului generalpoate conduce la necesitatea calculului unei sume, unui produs sau lautilizarea unor artificii. Suntem de parere ca in capitolul (acum ajuns inprograma clasei a IX-a) referitor la inductia matematica, o sectiune apartetrebuie dedicata calculelor iterate: sume, produse etc. Si intrucat multe sumesau produse interesante pot contine radicali, logaritmi, functii trigonometriceetc. acest capitol ar trebui sa revina la clasa a X-a – mutand la loc in clasa a

IX-a capitolul de numere complexe (chiar daca acesta a fost mai nou lipit‘strategic’ de cel referitor la polinoame).

Ex. rezolvat 1. Calculati:

a)( )

3

1 4 2 5 3 6 ... 3lim

nnn

n n

C →∞+

⋅ + ⋅ + ⋅ + + +

b)( )

1 1 1lim 1 1 ... 1

13 6

2

n n n→∞

− − − +

Solutie. a) Trebuie mai intai calculata suma de la numarator, care se scriemai simplu:

( ) 2

1 1 1

3 3n n n

k k k

k k k k = = =

+ = +∑ ∑ ∑

Se cunosc insa rezultatele (sau cel putin ar trebui sa le memorati deacum inainte):

( )1

1

11 2 ...

2

n

k

n nS n k

=

+= + + + = =∑

( )( )2 2 2 2

2

1

1 2 11 2 ...

6

n

k

n n nS n k

=

+ += + + + = =∑

( )22

3 3 3 3 2

3 1

1

11 2 ...

4

n

k

n nS n k S

=

+= + + + = = =∑

Rezulta:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1 1 1

1 2 1 3 1 1 53 3

6 2 3

n n n

k k k

n n n n n n n nk k k k

= = =

+ + + + ++ = + = + =∑ ∑ ∑

Pe de alta parte, ( )( )( )3

3 33 2 1

6

n

n nn n nC C + + + + += =



Limita este:

( ) ( )

( )( )( )

2

2

1 5 6 5lim 2 lim 2

3 1 2 3 5 6n n

n n n n n

n n n n n→∞ →∞

+ + +⋅ = =

+ + + + +

b) Termenul general al sirului se scrie sub forma condensata astfel:

( ) ( )

2

2 2

2 211 1

n n

k k

k k k k k k = =

+ −− = + + ∏ ∏

Se observa ca putem descompune in factori liniari trinomul de la numarator:

( )( )2 2 1 2k k k k + − = − +

Acum scriem cativa termeni ai produsului, incercand sa observam cese simplifica:

( )( )

( )2

1 2 1 4 2 5 3 6 4 7...

1 2 3 3 4 4 5 5 6

n

k

k k

k k =

− + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∏

Dupa cum observam, primul factor simplificat complet este 4. Cei aflati

inaintea sa (1,2,3) se simplifica numai partial. Pentru finalul produsului,trebuie sa scriem ultimii 4 factori (tot atatia cati am scris si la inceput ca saobservam simplificarea completa a lui 4). Acestia corespund valorilor

3, 2, 1 sik n k n k n k n= − = − = − = :

( )( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( )

( )

( )( )

( )

2

1 2 1 4 2 5 3 6 4 7...

1 2 3 3 4 4 5 5 6

4 1 3 2 1 1 2

3 2 2 1 1 1

1 2

3

n

k

k k

k k

n n n n n n n n

n n n n n n n n

n

n

=

− + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

− − − − + − +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

− − − − − +

+

= ⋅

∏

La fel, ultimul factor simplificat complet este ( )1n − . Factorii mai mari

decat acesta nu se simplifica decat partial, rezultatul fiind cel de mai sus.Calculul limitei este acum foarte simplu:

( )( )

( )2

1 2 1 2 1lim lim

1 3 3

n

n nk

k k n

k k n→∞ →∞=

− + += =

+∏

Observatii. 1) Exercitiul de mai sus este tipic pentru capitolul de fata.Este bine sa se lucreze un numar suficient de astfel de exercitii, pentru

deprinderea corecta a algoritmului. Erorile apar cel mai frecvent la capete: fienu se simplifica un numar suficient de termeni, fie se simplifica prea multi – sau chiar daca simplificarea se face corect, transcrierea ulterioara viciazarezultatul.

2) Nu recomandam insa ca acesta sa fie singurul gen de exercitii pecare sa se insiste la capitolul ‘siruri’.

Ex. rezolvat 2. Sa se calculeze:

3lim , , 0

4 5

n n

n nn

a ba b

a b→∞

+>

+. Discutie.

Solutie. Exercitiul face apel la cunoasterea limitei:



( )

nu exista, pt. 1

0, pt. 1;1lim

1, pt. 1

, pt. 1

n

n

q

qq

q

q

→∞

≤ − ∈ −=

=+∞ >

Artificiul aplicat este de a imparti fractia fie cu na , fie cu nb dupa cumsaua b a b> < .

i) a b> . Impartim fractia data cu na si avem:

33

lim4

4 5

n

nn

b

a

b

a

→∞

+ =

+ ⋅

deoarece lim 0

n

n

b

a→∞

=

ii) a b< . Impartim fractia cu nb si rezulta:

3 11

lim5

4 5

n

nn

ab

a

b

→∞

⋅ + = ⋅ +

iii) a b= . Ramane4 4

lim9 9

n

nn

a

a→∞=

In concluzie, limita este egala cu:

3, daca

4

3 1lim , daca

4 5 5

4, daca

9

n n

n nn

a b

a ba b

a b

a b

→∞

>

+ = <+

=


a)( ) ( )1

2lim

! 1 ! 2 !

n

nk

k

k k k →∞=

++ + + +∑

b) ( )1

2

lim 2 !

k n

nk

k

k →∞=

⋅+∑

c)1

2 1lim

!

n

nk

k

k →∞=

+∑

Solutie. In toate sumele intervin, dupa cum se observa, factoriale. In plus, in

cea de-a doua apare si 2k .

a) Se da !k factor la numitorul termenului general al sumei si rezulta:



( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )

( ) ( )2

2 2 2

! 1 ! 2 ! ! 1 1 1 2 ! 2 1 2

2 1

! 2! 2

k k k

k k k k k k k k k k k

k

k k k k

+ + += = =

+ + + + + + + + + + + + +

+= =

++ Am ajuns aparent intr-un impas. Ideea este sa observam ca daca

amplificam fractia cu ( )1k + , obtinem la numitor ( )2 !k + :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 1 2 1 2 1

! 1 ! 2 ! 2 ! 2 ! 2 ! 2 !

1 1

1 ! 2 !

k k k k

k k k k k k k

k k

+ + + − += = = − =

+ + + + + + + +

= −+ +

Aceasta forma este adecvata insumarii termen cu termen:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 1 1 1 1 1 1! 1 ! 2 ! 1 ! 2 ! 2! 3! 3! 4!

1 1 1 1 1 1...

! 1 ! 1 ! 2 ! 2 2 !

n n

k k

k k k k k k

n n n n n

= = + = − = − + − + + + + + + +

+ + − + − = −+ + + +

∑ ∑

Cum( ) ( ) ( )1

1 2 1lim 0 lim

2 ! ! 1 ! 2 ! 2

n

n nk

k

n k k k →∞ →∞=

+= ⇒ =

+ + + + +∑

b) Ideea de rezolvare este sa adunam si sa scadem 2 k-ului de lanumarator. Termenul general al sumei devine:

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 12 2 2 2 22 2 2 2

2 ! 2 ! 2 ! 2 ! 1 ! 2 !

k k k k k k k k k

k k k k k k

+ ++ − ⋅ + ⋅⋅

= = − = −+ + + + + +

Se scriu acum cativa termeni ai sumei (cel putin doi de la inceput si doide la sfarsit):

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 2 3

1 1

1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

2 ! 1 ! 2 ! 2! 3! 3! 4!

2 2 2 2 2... 1

! 1 ! 1 ! 2 ! 2 !

k k k n n

k k

n n n n n

k

k k k

n n n n n

+

= =

− + +

⋅= − = − + − + + + +

+ + − + − = −+ + + +

∑ ∑

Dar

( ) ( )

1

1

2 2 2lim 0 lim 0 lim 1

! 2 ! 2 !

n n k n

n n nk

k

n n k

+

→∞ →∞ →∞ =

⋅= ⇒ = ⇒ =

+ +∑

c) Oricat am incerca, nu vom reusi sa descompunem termenul generalal sumei in ceva care sa produca izbavitoarea simplificare in lant.Solutia este sa despartim suma sub forma:

( )1 1 1 1 1

2 1 1 1 12 2

! ! ! 1 ! !

n n n n n

k k k k k

k k

k k k k k = = = = =

+= + = +

−∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Este momentul sa ne amintim de sirul:

0

1 1 1 1

1 ...! 1! 2! !

n

nk E k n== = + + + +∑



Acesta este convergent si are limita1

lim 1

n

ne

n→∞

= +

(vezi demonstratia

in manual). Rezulta:

1 1

2 1 2 2 2 12 1 3 1 lim 3 1

! ! ! !

n n

n n nnk k

k k E E E e

k n n k →∞= =

+ += − + − = − − ⇒ = −

∑ ∑


a)2

2

1lim ln 1

n

nk k →∞

=

−

∑

b)

radicali

lim 2 2 2 2 ... 2 3n

n

n

→∞⋅ − + + + +

1444442444443

c) 21

1

lim arctg 2

n

nk k →∞

=∑

Solutie. a) Avem:

22 2 2

1 1 1 1 1ln 1 ln 1 1 ln ln

1 3 2 4 2 1 1ln ln ln ln ... ln ln ln ln

2 2 3 3 1 1

1 3 2 4 2 1 1 1ln ... ln

2 2 3 3 1 1 2

n n n

k k k

k k

k k k k k

n n n n

n n n n

n n n n n

n n n n n

= = =

− + − = − + = + =

− − += + + + + + + + + =

− −− − + + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − −

∑ ∑ ∑

Functia ln x x→ fiind continua, rezulta:1 1 1

lim ln ln lim ln ln 22 2 2n n

n n

n n→∞ →∞

+ += = = −

b) Fara vreo legatura aparenta cu exercitiul de fata, observam ca:

31 cos 1

3 2 36 2cos sin ;6 2 12 2 2 2

1 cos2 36cos

12 2 2

π

π π

π

π

− − −= ⇒ = = =

+ += =

Se calculeaza mai departe:

2 31 cos 1

2 2 312 2sin ;24 2 2 2

1 cos2 2 312cos

24 2 2

π

π

π

π

+− − − +

= = =

+ + += =

Demonstram acum prin inductie matematica (va las placerea J) ca:



radicali

radicali

2 2 ... 2 3cos

3 2 2

2 2 ... 2 3sin

3 2 2

n

n

n

n

π

π

+ + + += ⋅

− + + + = ⋅

64444744448

64444744448

Rezulta ca avem de calculat limita:

sin2 23 2lim 2 2sin lim

3 2 3 3

3 2

nn

nn n

n

π

π π π

π→∞ →∞

⋅⋅ = ⋅ =⋅

⋅

, deoarecesin

3 2lim 1

3 2

n

n

n

π

π→∞

⋅ =

⋅

;

aceasta rezulta din faptul ca0

sinlim 1 x

x

x→= , iar 0

3 2n n

aπ

= →⋅

.

c) Fie 1arctg si arctg

1

k k u v

k k += =

−. Intamplator, ne propunem sa calculam

( )tg tg

tg1 tg tg

u vu v

u v

−− =

+ ⋅. Inlocuim

1tg si tg

1

k k u v

k k

+= =

−si rezulta:

( )( )

( )

2 2

2

111 1 1 11tg

1 1 1 2 21 1

1 1

k k k k k k k k k u v

k k k k k k k

k k k

− ++− − −−− = = = ⋅ =

+ + −+ ⋅ +− −

In consecinta, ( )2 2

1 1 1arctg arctg arctg arctg

2 2 1

k k u v

k k k k

+− = ⇒ = − ∗

−

Aceasta forma este propice punerii in miscare a “rasnitei” (adica a simplificarii

in lant). Relatia ( )∗ insa nu e OK pentru 1k = , caz in care rezulta

1 1arctg arctg arctg2

2 0= − . Dar:

1 1 1 1tg arctg ctg arctg 2 arctg arctg2

12 2 2 2 2tg arctg

2

π π − = = = ⇒ − =

Prin urmare, pentru 1k = vom scrie1

arctg arctg2

2 2

π= − ; suma devine:

21

1 3 3 4arctg arctg2 arctg2 arctg arctg arctg

2 2 2 2 3

1 1 1... arctg arctg arctg arctg arctg

2 1 1 2

n

k k

n n n n n

n n n n n

π

π

=

= − + − + − +

− + ++ + − + − = −

− − −

∑

Folosind continuitatea functiei arctg x x→ , rezulta:

21

1 1lim arctg arctg lim

2 2 4

n

n nk

n

k n

π π

→∞ →∞=

+ = − =

∑




a) ( )lim 1 , 0, 1n

nn a a a

→∞− > ≠

b) ( )1 1

lim 1 , 0, 1,2

k n

n

n nn a a a k

n n→∞

− +⋅ − ⋅ − > ≠ ∈ +

¥ . Discutie.

c)21

1 1lim

2 4 1

n

nk n k k

→∞= + −

∑

Solutie. a) Rezultatul acestui exercitiu este bine sa fie retinut, deoareceintervine in rezolvarea altor exercitii. Fie:

( )1 1 1 1

n

n n nn n nn

u u uu n a a a a

n n n

= − ⇒ = − ⇒ = + ⇒ + =

Darlim

lim 1 lim 1n

n nn

nn u

u un n

n n

u ue

n n→∞

⋅

→∞ →∞

+ = + =

Rezulta calim

lim lnn

nu

nn

e a u a→∞

→∞= ⇒ =

b) Fie L limita de calculat. Radicalul se amplifica cu conjugata, in timp ce in

primii doi factori ai produsului se recunoaste prezenta sirului nu de la punctul

a). Asadar:

( )1

1 1

2lim 11 1

2

k n

n

n n

n n L n n an n

n n

−

→∞

− +−

+= ⋅ − ⋅− +

++

Un principiu foarte sanatos in calculul limitelor de siruri si mai ales defunctii este ca, atunci cand avem de eliminat o nedeterminare, sa observamdin timp factorii care nu produc nedeterminarea si sa ii evaluam pe parcurs. Inacest mod, se evita pe cat posibil efectuarea unor calcule dificile si totodatainutile. In cazul de fata, suma celor doi radicali de la numitorul ultimului factorare limita 2, valoare pe care o inlocuim pur si simplu; de asemenea, vominlocui si valoarea limitei determinate la punctul a):

2 21 3

2

3

1 2 1ln lim ln lim

22 21

ln lim

k k

n n

k

n

n n n n L a n a n

n n

n

a n

− −

→∞ →∞

−

→∞

+ − − −= ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ =

+ +

= − ⋅

Se impune acum efectuarea unei analize de cazuri (discutie):i) pentru 3k > , avem:

( )( )3

, daca 0;1lim sgn ln

, daca 1

k

n

an L a

a

−

→∞

∞ ∈= ∞ ⇒ = −∞⋅ = −∞ >

ii) pentru 3k = , avem:3lim 1 lnk

nn L a

−

→∞= ⇒ = −

iii) pentru 3k < , avem:3lim 0 0k

nn L

−

→∞

= ⇒ =

Concluzionand, avem:



( )sgn ln , daca 3

ln , daca 3

0, daca 3

a k

L a k

k

−∞ ⋅ >

= − = <

Observatie. Cand amplificam cu conjugata o expresie si cand nu e cazul ?Iata alt amanunt a carui cunoastere ne simplifica mult viata cand avem decalculat limite de siruri sau de functii ce se preteaza la acest procedeu.Raspunsul la intrebare este simplu:

- atunci cand avem un termen dominant (prin putere sau coeficient),nu se impune o amplificare cu conjugata;

- daca ambii termeni ai expresiei au aceeasi putere si acelasicoeficient, amplificarea cu conjugata este singura sansa.

Sa luam cateva exemple pentru a ilustra cele afirmate mai sus.

i)

( ) ( )

2 1lim 2 1 lim 1 2 2n n

n n n n nn→∞ →∞

+ − + = ⋅ + − + = ∞ ⋅ ∞ − = ∞ . Nu a

fost cazul sa amplificam cu conjugata. Termenul 2n n+ a fost dominant prin

putere.

ii) ( ) ( )55 5 5 5 51 1

lim 1 2 1 lim 1 2 1 2n n

n n nn n→∞ →∞

+ − + = ⋅ + − + = ∞ ⋅ − = −∞

Nici in acest caz nu a fost nevoie de amplificarea cu conjugata, termenul5 2 1n− + fiind dominant prin coeficient.

iii) ( )lim 1n

n n n→∞

⋅ + − . Aici nu avem termeni dominanti si ca atare

trebuie sa amplificam cu conjugata:1 1 1

lim lim21 1

1 1n n

n nn

n n

n

→∞ →∞

+ −⋅ = =

+ ++ +

c) Sa revenim insa la exercitiul nostru. Punctul de fata pare a impune folosireaformulei radicalilor compusi. Daca nu o cunosteati, scrieti-o cu rosu undevapentru a o retine:

2, unde

2 2

A C A C A B C A B

+ −± = ± = − . Evident ca formula se

dovedeste utila numai atunci cand expresia2

C A B= − este rationala; altfel,radicalul initial se transforma intr-o suma de doi radicali de acelasi tip cu el sinu obtinem nici un avantaj.

Pentru 22 , 4 1 A k B k = = − obtinem 1C = si rasuflam usurati. Rezulta:

2

1 1 2

2 1 2 1 2 1 2 12 4 12 2

k k k k k k

= =+ − + + −+ − +

Forma obtinuta este oarecum mai simpla, dar nu foarte utila pentrusimplificarea din aproape in aproape. Efectuam o amplificare cu conjugata:



( )

2

2 2 1 2 11

22 4 1

k k

k k

+ − −=

+ −

Obtinem:

( )

( )

( )

21 1

1 2 2 1 2 122 4 1

23 1 5 3 ... 2 1 2 3 2 1 2 1

2

22 1 1

2

n n

k k

k k k k

n n n n

n

= == + − − =

+ −

= − + − + + − − − + + − − =

= + −

∑ ∑

Prin urmare, avem de calculat:

2 2 1 1 2 1 1lim lim 2 1

2 2n n

n

nn n→∞ →∞

+ −⋅ = ⋅ + − =


a)( )1

4 1lim

3 2

nn

nk k k →∞

=

⋅ + ∑

b) ( )2limcos n

nn eπ

→∞⋅

Solutie. a) Pentru calculul sumei din paranteze, termenul general trebuiedescompus in fractii simple:

( )( )

1

2 2

A B

k k k k

= + ∗+ +

Amplificam pe rand relatia ( )∗ cu ( )si 2k k + , dand lui k valorile 0k = ,

respectiv 2k = − :

1 10

2 2 2

Bk A k A

k k = + = ⇒ =

+ +

( )21 12

2

A k B k B

k k

+= + = − ⇒ = −

Sigur ca puteam aduce la acelasi numitor, rezolvand rapid sistemul dedoua ecuatii cu doua necunoscute care rezulta din egalarea coeficientilor. In

exemple cu volum mai mare de calcule (in special cand e vorba de calcululunor primitive din functii rationale), recomandam aplicarea pentru inceput aacestei metode. Chiar daca nu se pot determina astfel toti coeficientii, serealizeaza o reducere sensibila a numarului de necunoscute.

Calculam suma:

( )1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ...

2 3 2 4 3 5 2 1 1 2

n n n

k k k k k k k k k

n n n n n n

= = =

= ⋅ − ⋅ = − = + + +

= − + − + − + + − + − + − − − + +

∑ ∑ ∑

Fractiile care se simplifica nu se afla in termeni adiacenti, ci la odistanta de 2 termeni. Din suma ramane asadar:



( ) ( )( )1

1 1 3 1 1 3 2 3

2 2 2 1 2 4 2 1 2

n

k

n

k k n n n n=

+ = − − = − + + + + + ∑

In consecinta, avem de calculat limita:

( )( )( ) ( )( )( )

( )( )

( )

( )

( )( )

2

2

3 1 2 2 2 3

2 2 3 3 1 2

2 2 3 4lim

3 3 2 3

3

2 2 3 2 2 3lim 1 lim 1

3 1 2 3 1 2

1n

n n n nn

n n n

n n

n n

n n

n n

n n n n

e ee e

→∞

+ + +− ⋅ − + + +

→∞ →∞

+− −

+ +

+ +− = − = + + + +

= = =

b) Aparent, putem observa ca limita cand n → ∞ pentru 2n e este 1, deci limita

data se reduce la ( ) ( )lim cos lim 1n

n nnπ

→∞ →∞= − , care nu exista.

Utilizam insa relatia: ( ) ( )cos 1 cosn

n x xπ + = − , pentru:

1

2 2

1n n

x n e n n eπ π π

= ⋅ − = −

Rezulta: ( ) ( )

1

22 1

lim cos lim 1 cos1 2

2

nnn

n n

en e

n

ππ

→∞ →∞

−

⋅ = − ⋅ ⋅

Insa

1

2

0

1 1lim 1 lim 1

1

2

x n

x n

e e

x

n

→ →∞

− −= ⇒ = . Limita de calculat devine:

( )lim 1 cos 02

n

n

π

→∞ − ⋅ =


a)2

1 2 2 3 3 ...limn

n n

n n→∞

+ + + +

b)( )

( )

!lim ,

!

a

n

n

na

an

∗

→∞∈ ¥

Solutie. Acest ultim exercitiu rezolvat vizeaza aplicarea teoremei Stolz-

Cesaro, respectiv criteriului Cauchy-D’Alembert. Sa vedem despre ce evorba:

i) Fiind date sirurile ( ) ( ),n nn na b , unde ( )n n

b este strict crescator si

nemarginit, daca exista limita:

1

1

lim n n

nn n

a al

b b

+

→∞+

−=

−,

atunci lim n

nn

al

b→∞= .

ii) Fiind dat sirul ( )n na , pozitiv definit, daca exista limita:

1lim n

nn

ala

+→∞

= ,



atunci lim nn

na l

→∞= .

a) Aplicam teorema Stolz-Cesaro pentru 2

1

,n

n n

k

a k k b n n=

= =∑ . Se

calculeaza:

( )

( )

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )

2 2

1

2 52 51

4

4 2

5 4 3 5

4

1 1 1 11 1lim lim lim

1 1 1

1 1 11 1 1

1 1 1 2lim lim

10 15 10 ... 1 55 ...

n n

n n nn n

n n

n n n n n nn na a

b b n n n n n n

n n n n n n n n

n n n n

n n

+

→∞ →∞ →∞+

→∞ →∞

+ + ⋅ + + ++ +−= = =

− + + − + −

+ + + + + + + + = = =+ + + + − + + +

Rezulta2

1 2 2 3 3 ... 2lim

5n

n n

n n→∞

+ + + +=

b) Se calculeaza mai intai:

( )( )( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

11 ! !

lim lim! !

! 1 !lim

! 1 2 ... !

11

1

lim 1 2...

a

n

an n

n

a a

an

a

an

n ana

a an a n

n n an

an an an an a n

n

a aa a a

n n n

+

→∞ →∞

→∞

→∞

+= ⋅ =

+

⋅ += ⋅ =

⋅ + + +

+

= = + + +

Rezulta ca( )

( )

! 1lim

!

a

an

an

na

an a

−

→∞= =

Observatie. Nici teorema lui Stolz si nici criteriul Cauchy-D’Alembert nu suntincluse in programa de liceu. Culegerile de probleme (Arama-Morozan,Batinetu etc.) includ un numar de exercitii care se rezolva cu ajutorul lor. Maimult, la admiterea in facultate in 1986, unul din subiecte (pe care il vomprezenta in materialul dedicat sirurilor definite prin recurenta) se rezolva cu

ajutorul teoremei lui Stolz. In concluzie, este bine ca aceste rezultate sa fiecunoscute, pentru largirea domeniului de exercitii care se pot rezolva.

Exercitii propuse

Sa se calculeze limitele urmatoarelor siruri, definite prin formulatermenului general:

1)

2 2 21 1 2 1

lim ... ,n

na a a a

n n n n→∞

− + + + + + + ∈

¡



2) ( )lim 1 1 2n

n n n n n→∞

⋅ + + − −

3) ( )3 2 3 3lim 3 3n

n n n→∞

+ − −

4)21

1lim

4 1

n

n k k →∞ = −∑

5)( ) ( )1

2lim

1 2

n

nk k k k →∞

= + +∑

6)( )1

2lim 2

1

nk

nk

k

k k

−

→∞=

+⋅

+∑

7) ( )3 9 27 3lim 2 2 2 ... 2n

n→∞⋅ ⋅ ⋅ ⋅

8)2

23

1lim ,

6

n p

nk

k n p

k k →∞=

−⋅ ∈

+ −∏ ¡ . Discutie.

9)( )1

1lim1 ! !

n

nk k k →∞

= + +∑

10)2

2

2 2lim

! !

n

nk

n k

n k →∞=

+ −+

∑

11)3

1

lim 1!

n

nk

k

k →∞=

+

∑

12)1 1

lim n n

nn a a

−

→∞

−

13)

radicali

2 2 2 2lim ...3 2 3 2 2 3 2 2 ... 2 3

n

n

→∞⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ + + + + + +14444244443

14)3

3

3lim

13

n

nn

n

→∞ +

15) ( )2 2limsinn

n nπ→∞

+

16) 21

1lim arctg 1

n

nk k k →∞

= + +∑

17)2

lim ,1 3

k

n

n nn k

n n→∞

+⋅ − ∈ + +

¥ . Discutie.

18)1

lim ln 2cos 1 , 0,2 3

n

k nk

aa

π

→∞=

− ∈

∑

19)4

1

4lim

4 1

n

nk

k

k →∞= +∑

20)

2

1lim 2

n

k nk

k

→∞ =∑



21)

( )1tg

21lim

n

n

n

n

n

π−

→∞

+

22)( )

1

1 3 5 ... 2 1lim

p p p p

pn

n

n

+→∞

+ + + + −

23)1 1 1 1

lim ...ln 2 ln 3 lnn n n→∞

+ + +

24)

2 22 321 2! 3! ... !lim

n

n

n

n→∞

+ + + +

25)( )

( )

2!

lim2 ! 8

nnn

n

n→∞ ⋅

26)!

limn

n

n

n→∞

27) ( )lim ln !n

nn

→∞

28)1

lim cos

n

n n→∞

29)2

41

1lim

n

n

nk

k k

k k →∞=

− ++∑

30) ( ) ( ) ( )2 2 2

0 1lim ... nnn n n

nC C C

→∞+ + +

31)

2 2

1lim , , ,1

rn n n p

qnn p q r n

− −

∗→∞ + ∈ −

¥ Discutie.

32) Fie sirul cu termenul general:

( ) ( ) ( )ln 1 ln 2 ln 3 , , ,na n a n b n n a b∗= + + + + + ∈ ∈¥ ¡

a) Sa se determine relatia dintre sia b astfel incat lim 0n

na

→∞= ;

b) Cand aceasta conditie este verificata, sa se determine sia b astfel

incat sirul1

n

n k

k

b a=

= ∑ sa fie convergent si sa se calculeze limn

nb

→∞.

33) Se considera sirul ( )1n n

a≥

cu termenul general ( )( )( )

2

1

3 3 1

1 2 2n n

na

n n n+

+ += ⋅+ +

.

a) Sa se arate ca termenul general al sirului se poate scrie astfel:

( ) ( )1na f n f n= − + unde : f ∗ →¥ ¡ este de forma

( )( )

1

1 2n

nA B f n

n n

+= ⋅

+, unde si A B sunt constante ce se vor determina.

b) Sa se arate ca sirul ( )1

1

,n

n n k nk

b b a≥

=

= ∑ este convergent si sa se

calculeze lim nn b→∞ .



c) Sa se calculeze limita sirului ( ) ( )2

1,

nn

n n nnc c b

⋅

≥=

34) Fie sirul( )!

,!

n

n a

a na a

n n

+ = ∈ ⋅

¥ .

a) Sa se calculeze lim nn a→∞ ;b) Notand ( ) lim

nn

f a a→∞

= , sa se arate ca:

( ) ( ) ( ) ( )( )2

31 2 ...a

f f f a f a+

⋅ ⋅ ⋅ =

35) Fie ( )1n n

a≥

o progresie aritmetica de ratie r si1 2

nk

n k k

aS

=

= ∑ . Calculati limn

nS

→∞.

36) Fie sirurile ( ) ( )1 1,n nn n

x y≥ ≥

cu termenii generali:

1

1, ,1

1 2

n

n

k

x k x x

x k =

+ = ∈ + − ∑ , unde prin [ ]a am notat partea intreaga a

numarului real a .

21

1

4 1

n

n

k

yk =

=−∑

a) Cati termeni ai sirului ( )1n n

y≥

se afla in afara vecinatatii2

;15

V =

a

punctului1

2 y = ?

b) Sa se calculeze( )

lim ,n

mn

n

xm

y→∞∈ ¥ . Discutie.

c) Sa se calculeze ( )lim 2 n x

nn

y→∞

.

37) Fie , 0,a b a b> ≠ . Calculati:

( )( )

( )( )1 11

lim

k n

k k k k nk

b a ab

b a b a+ +→∞

=

−

− −∑

38) Fie sirul ( )2n n

a≥

definit prin( )

1

2 3

2log 1

1

n

n

k

ak k =

= − +

∑ . Sa se calculeze limita

sirului ( )2n n

b≥

cu termenul general lnn nb n a= .

39) Fie( )

1 1 1...

1 3 2 4 2n

Sn n

= + + +⋅ ⋅ +

. Calculati1

lim24

n

n

nn

S→∞

⋅ −

.

40) Fie1

1ln 1 , 1

nn

n

k

S nk =

= + ≥

∑ si 2 lnn na S n n= − . Sa se calculeze:

( )2lim lnn n

nS na n

→∞−

41) Fie ( )1 2 2, 1, ,n

n n n n A B n A B+ = + ≥ ∈ ¤ . Sa se calculeze lim n

nn

a

b→∞.

42) Fie sirul 21

1

, 19 3 2

n

n

k a nk k == ≥− −∑



a) Sa se determine limn

na

→∞;

b) Sa se determine numarul termenilor sirului situati in afara

intervalului5

,116

.

43) Calculati2

3

3lim arctg

1

n

nk k k →∞

= − −∑ .

44) Fie suma( ) ( )3

2

! 1 ! 2 !

n

n

k

k S

k k k =

−=

− − − −∑ si sirul cu termenul general

1, 1

2n n

a S n= + ≥ . Sa se arate ca1

lim lim ! lnn

n nn

a na→∞ →∞

= ⋅

45) Calculati:2

3

1 3 5 ... 4 4 1limn

n n

n→∞

+ + + + + − , unde prin [ ]a am notat

partea intreaga a numarului real a .46) Sa se determine , , , , 5a b c a c∈ <¥ astfel incat:

( )2 2lim 1n

an bn c an bn c→∞

+ + − − + =

47) Sa se determine parametrul real a astfel incat:

( )2 2

1 1lim 3

15

2

nn

a n

an→∞

− +>

+

Siruri - calculul limitelor sirurilor date prin termenul general

Documents

Transcript of Siruri - calculul limitelor sirurilor date prin termenul general