Şcoala Gimnazială "Şerban Vodă Cantacuzino" Călimăneşti

PROIECT DE OPŢIONAL CLASA A VII-A

MĂSURA ÎN GEOMETRIA EUCLIDIANĂ-LUNGIMI, ARII, VOLUME

ARIA CURRICULARĂ: MATEMATICĂ ŞI ŞTIINŢE ALE NATURII

Propunător: prof. Simona-Anastasia Popa

(Opţional propus şi ales pentru anul şcolar 2015-2016)

Curs opţionalMãsura în geometria euclidianã – lungimi, arii, volume

Argument

Cu resurse foarte mari atât în plan teoretic, cât şi practic, tema este o punte de legătură între geometrie şi celelalte ramuri ale matematicii dar şi cu celelalte ştiinţe . O dată introdusă teoria măsurii, aplicaţiile la clasă devin practic nelimitate, iar referirile la rezultate obţinute de-a lungul timpului de către matematicieni celebri devin extrem de atrăgătoare . În gimnaziu, noţiunea de măsură întâmpină dificultăţi (grad ridicat de abstracti-zare, imposibilitatea demonstraţiilor riguroase ) . Compromisurile care trebuie făcute în-tre rigoare şi intuiţie pot beneficia de precizări suplimentare în prezentul curs . Simbioza figură geometrică-număr, procedeul exhaustiei folosit la lungimea cercului, arcului de cerc şi la aria cercului (dar şi cu analogii spaţiale la clasa a VIII-a), folosirea echivalenţei figurilor sau corpurilor în rezolvarea unor probleme, proprietatea de aditivitate a figurilor, parfumul rezolvărilor prin transformări care conservă aria, la grecii antici ş.a. sunt argumente care pledează pentru continuarea cursului şi în clasa a VIII-a . Desigur, nu se propune un exces de formalizare a noţiunilor, care ar împiedica dezvoltarea intuiţiei şi însuşirea efectivă . Chestiuni teoretice “delicate” prezente în ma-nuale la tratarea temei pot fi transferate spre cursul opţional . În acelaşi timp, cursul poate oferi un bun prilej de a extinde relaţiile metrice cerute de programă cu alte relaţii metrice pe care, mai târziu, se presupune în mod tacit că elevii ar fi trebuit să le ştie sau care pur şi simplu oferă soluţii mai directe la unele probleme . Imaginile despre limită şi continuitate vor fi intuitive . Lipsa de rigoare denotă numai o amânare a chestiunilor pe care elevii nu le pot înţelege acum . “Nu îndrăznim, nu pentru că problemele sunt dificile, ci, fiindcă nu îndrăznim, ele sunt dificile.”

Seneca

COMPETENŢE SPECIFICE/ ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE

Competenţe specifice Activităţi de învăţare1.1 Cunoaşterea influenţei determinante a problemelor practice ale oamenilor asupra concepţiilor geometrice

∙Prezentarea unor referate/ lecturarea pe tema apariţiei şi dezvoltării măsurii, standardizării (unitatea)

2.1 Să ştie că a măsura= a compara o mărime necunoscută cu unitatea, că rezultatul implică erori şi ca urmare este aproximativ

∙Operaţii de trecere de la un sistem de măsură la altul (schimbarea unităţii)∙Măsurători care demonstrează necesitatea aproximării şi existenţa erorilor

2.2 Utilizarea de transformări ale unităţilor de măsură, în funcţie de cerinţele concrete

∙ Operaţii cu unităţi de măsură

2.3 Folosirea proprietăţilor metrice ale figurilor geometrice în rezolvarea unor probleme

∙ Rezolvarea unor probleme în care intervin lungimi, figuri izoperimetrice, etc.

3.1 Privirea operaţiilor atât geometric, cât şi aritmetic

∙ Sumarea unghiurilor unui triunghi, măsurate anterior cu raportorul; erori; aproximare∙ Decuparea şi adunarea unghiurilor unui triunghi pentru a stabili că suma lor este

4.1 Determinarea şi estimarea ariilor prin măsurare şi/ sau calcul

∙ Estimarea întinderii unor suprafeţe, urmată de măsurare∙ Calculul ariilor folosind descompuneri şi formule

4.2 Concretizarea că figuri de forme diferite sunt echivalente (ca arie)

∙ Transformarea paralelogramului în dreptunghi, a triunghiului în paralelogram, a unui triunghi în alt triunghi, etc.

4.3 Sesizarea concordanţei dintre regulile calculului cu numere şi cele obţinute în domeniul segmentelor

∙ Q este densă, exerciţii care conduc la ideea de a face structura mulţimii numerice analoagă structurii punctelor axei

4.4 Reprezentarea pe axă a numerelor iraţionale, reprezentare proprie fiecărui număr

∙ Exerciţii de reprezentare a numerelor iraţionale∙ Construcţia segementului

4.5 Exersarea metodelor areolare în demonstrarea unor rezultate importante

∙ Demonstraţiile lui Leonardo da Vinci, Bhaskara Aciarya, Euclid

5.1 Utilizarea proprietăţilor calitative şi metrice ale figurilor geometrice în rezolvarea unor probleme

∙ Obţinerea unor noi relaţii metrice, utilizănd pe cele cunoscute (Thales, asemănare, etc.)∙ Rezolvarea de probleme

6.1 Deducerea practică a formulei pentru lungimea cercului

∙ Determinarea practică a unei aproximări a numărului ∙ Măsurarea lungimii exterioare a unor discuri diferite de rază dată şi calcularea raportului dintre acestea şi diametru∙ Împărţirea unui cerc în 3,4,6, 8 părţi congruente

6.2 Cunoaşterea faptului că unele figuri curbilinii pot fi echivalente cu un triunghi, pătrat, cerc

∙ Prezentarea şi rezolvarea problemelor menţionate

CONŢINUTURILE ÎNVĂŢĂRII

I. IntroducereI.1 Prezentarea cursuluiI.2 Repere istorice

II. Lungimea segmentelorII.1 Lungimea segmentelor. Segmente comensurabile şi incomensurabileII.2 Divizibilitatea infinită a segementuluiII.3 Probleme cu lungimi de segmenteII.4 Probleme în care apar perimetre ale unor figuri geometrice

III. Măsura unghiurilorIII.1 Măsura unghiurilor-origini, unităţiIII.2 Probleme cu măsuri de unghiuri

IV. AriiIV.1 Aria suprafeţelor poligonale simpleIV.2 Probleme "areolare" Aditivitatea ariilor. Mediana unui triunghi şi aplicaţiiIV.3 Transformări care conservă aria. Teorema lui EuclidIV.4 Numere iraţionale. Legătura lungime-numărIV.5 Construcţia segmentelor de forma IV.6 Teorema bisectoarei demonstrată areolarIV.7 Demonstraţii areolare ale teoremei lui Pitagora

V. Relaţii metrice diverseV.1 Alte relaţii metrice (I). AplicaţiiV.2 Alte relaţii metrice (II): teorema lui Pitagora generalizată, relaţia lui Stewart, teorema

cosinusului, , demonstraţia formulei lui Heron (Arhimede)

V.3 Probleme metrice şi areolare ce folosesc funcţiile trigonometriceVI. Lungimea cercului

VI.1 Lungimea cercului. Istoria numărului VI.2 Lunulele, arbelosul, "solniţa" romană

MODALITĂŢI DE EVALUARE

• Autoevaluarea;• Observarea sistematică a elevilor;• Probleme orale; scrise• Referatul;• Chestionarea orală;• Verificarea prin lucrări practice;• Corectarea reciprocă;

Bibliografie

Cerchez, Mihu – Pitagora, Editura Academiei, Bucureşti, 1986 Jocul – concurs “KANGOUROU”, Editura SIGMA, Bucureşti, 2002 Matematica în concursurile şcolare, clasele V – VIII, Editura Paralela 45, 1999, coord. Dan Brânzei

Savu, Corneliu, Popoiu, Dan – Matematică -complement de geometrie plană pentru orele opţionale la clasa a VII-a, Editura Corint, Bucureşti, 2001

PLANIFICARE CALENDARISTICĂ-SEM. ICURS OPŢIONAL MATEMATICĂ

CLASA A VII-A

PROF. SIMONA-ANASTASIA POPAAnul şcolar 2015-2016Durata: 1 an şcolar/ 1 ora saptamanaClasa: a VII-aProfesor : Simona-Anastasia Popa

Unitateade învăţare

ConţinuturiNr.

de orealocate

Săptă-mâna Observaţii

1 2 3 4 5I. INTRODUCERE

II. LUNGIMEA SEGMENTELOR

III. MĂSURA UNGHIURILOR

IV. ARII

1. Prezentarea cursului2. Repere istorice

3.Lungimea segmentelor . Segmente comensurabile şi incomensurabile

4. Divizibilitatea infinită a segmentului

5. Probleme cu lungimi de segmente

6.Probleme în care apar perimetre ale unor figuri geometrice

7.Măsura unghiurilor –– origini, unităţi

8.Probleme cu măsuri de unghiuri

9. Aria suprafetelor poligonale simple

10. Probleme “areolare”Aditivitatea ariilor . Medi- ana unui triunghi şi aplicaţii

11. Transformări care conservă aria . Teorema lui Euclid

12.Numere iraţionale . Le-gătura lungime – număr

11

1

1

1

2

1

1

3

2

2

2

III

III

IV

V

VI-VII

VIII

IX

X – XII

XIII– –XIV

XV-XVI

XVII-XVIII

Se pot face măsurători practice (cu ruleta pe teren accidentat, etalonarea pasului, aproximarea distanţelor +verificare)

PLANIFICARE CALENDARISTICĂ-SEM. IICURS OPŢIONAL MATEMATICĂ

CLASA A VII-A

PROF. SIMONA-ANASTASIA POPA1 ORĂ/SĂPT./2015-2016

Unitateade învăţare Conţinuturi

Nr. de ore

alo-cate

Săptă-mâna

Observaţii

1 2 3 4 5

...IV. ARII

V. RELAŢII METRICE DIVERSE

VI. LUNGIMEA CERCULUI

1. Construcţia segmentelor de forma

2. Teorema bisectoarei demonstrată areolar

3.Demonstraţii areolare ale teoremei lui Pitagora

4. Alte relaţii metrice ( I ) . Aplicaţii

5. Alte relaţii metrice (II) :teorema lui Pitagora generalizată, relaţia lui Stewart, teorema cosinusului,

,

demonstraţia formulei lui Heron (Arhimede)

6. Probleme metrice şi a-reolare ce folosesc funcţiile trigonometrice

7. Lungimea cercului . Istoria numărului

8. Lunulele, arbelosul, “solniţa” romană

1

1

1

4

5

2

1

2

XIX

XX

XXI

XXII-XXV

XXVI-XXX

XXXI-XXXII

XXXIII

XXXIV-XXXV

Se recomandă cons-trucţia direct pe axă şi nu purtarea segmentelor cu ajutorul compasuluisoluţia-chiar modul în care au fost găsite, pentru nr. “rădăcină pătrată”

Posibilităţi : duala teoremei lui Thales, Menelaos, CevaEventual, calculul bisectoarelor, înăl- ţimilor,

,