Reprezentarea simbolică a mărimilor sinusoidale şi corespondenţa operaţiilor

S.1.3 Reprezentarea simbolică a mărimilor sinusoidale şi corespondenţa operaţiilor

Analiza directă a circuitelor liniare de c.a. în regim permanent sinusoidal se poate efectuta prin folosirea valorilor instantanee şi aplicarea teoremelor lui Kirchhof. Se obţine un sistem de ecuaţii integro-diferenţiale care constituie modelul matematic al circuitului. Sistemul de ecuaţii este necesar şi suficient pentru obţinerea răspunsului pe fiecare ramură a circuitului însă rezolvarea sa este adesea laborioasă şi prea puţin intuitivă. Metodele de reprezentare simbolică a mărimilor sinusoidale se introduc pentru a facilita analiza circuitelor de c.a. sinusoidal prin înlocuirea ecuaţiilor integro-diferenţiale cu ecuaţii algebrice sau geometrice. Se folosesc două moduri de reprezentare simbolică:

a) metode analitice de reprezentare, atunci când simbolurile folosite pentru mărimile sinusoidale sunt numere complexe şi

b) metode geometrice (fazoriale) de reprezentare, care utilizează drept

simboluri ale mărimilor sinusoidale, vectori liberi în plan, numiţi fazori. . Un fazor este un vector teoretic, fictiv, simbol al unei mărimi scalare sinusoidal variabilă în timp, spre deosbire de vectorii fizici ( ).,,,,( etcEHMF ce acţionează în spaţiu pe o direcţie şi un sens precizate. Introducerea metodelor de reprezentare simbolică se bazează pe următoarele observaţii:

Mm

m(t)

t

T=1/f

t

)sin()( tMtm m

Fig.1

Reprezentarea simbolică a mărimilor sinusoidale şi corespondenţa operaţiilor

Observaţia 1. Un semnal sinusoidal de formă normală în sinus (Fig.1) este complet determinat de două mărimi scalare : amplitudinea MM m 2 (sau valoarea sa efectivă, M) şi un unghi reprezentând faza sa, t (o mărime liniar variabilă în timp care, la rândul său, include informaţia privind pulsaţia şi faza iniţială ): )sin()( tMtm m [Mm (sau M), ] (1) dublet de identificare a mărimii sinusoidale, care se foloseşte în două variante : a) (Mm , t ) - se evidenţiză atât căt şi ; - dublet folosit în : reprezentarea analitică în complex nesimplificat (cu numere complexe variabile în timp) reprezentarea geometrică cinematică (cu fazori de timp rotitori, ”fazori Fresnel”) b) (M , ) - se neglijează , atunci când este valoare comună pentru

toate semnalele şi se evidenţiază doar faza iniţială, ; - dublet folosit în: reprezentarea analitică în complex simplificat (cu numere complexe constante în timp) reprezentarea geometrică polară (cu fazoride timp polari, fixi)

Reprezentarea simbolică a mărimilor sinusoidale şi corespondenţa operaţiilor

Observaţia 2. Un număr complex , m se poate exprima sub una din formele analitică, exponenţială sau trigonometrică, beneficiind de asemenea de o reprezentare geometrică în planul complex, după cum urmează: a) jbam , `n care: 1mmbmea j;,

b) ,jeMm `n care: ;)/(,22 abarctgbaM (2)

c) ,)sin(cos jMm `n

care: .2

sin;2

cosjeeee jjjj

d) Reprezentarea geometrică - printr-un afix ( punct) în planul complex , de axe ortogonale: - axa reală, e de versor +1

- axa imaginară, m , de versor +j.

m

+1

+j

b

M

a

Fig.2

),(),(

Mm

saubam, (3)

dublet de identificare al numărului complex Observaţia 3. Un vector liber în plan, M se identifică tot prin două mărimi scalare, modulul M şi unghiul de poziţie (argumentul), în raport cu axa origine de fază a planului: M (M , ) dublet de identificare al (4)

vectorului în plan Procedele de reprezentare simbolică ( în ambele cazuri, geometrică şi analitică) realizeză o asociere biunivocă între mărimea sinusoidală şi simbolul folosit, (vector, sau număr complex) prin punerea în corespondenţă a dubleţilor de identificare .

Reprezentarea simbolică a mărimilor sinusoidale şi corespondenţa operaţiilor

Reprezentarea analitică în complex a mărimilor sinusoidale Prezintă două variante: a) reprezentarea în complex nesimplificat, respectiv b) reprezentarea în coplex simplificat. a) Reprezentarea analitică în complex nesimplificat (RCN), asociază biunivoc un semnal sinusoidal cu un num\r complex variabil în timp (denumit: imagine complexă nesimplificată, valoare instantanee complexă, fazor cinematic complex, sau fazor de timp Fresnel) având modulul constant, egal cu amplitudinea 2M , iar argumentul egal cu faza, liniar variabilă în timp,

)( t a semnalului m(t), reprezentat, (i.c.n. / v.i.c. / f.c.c.) :

m(t) )sin( tMm .)sin()cos(

)(

tjtMeMm

m

tjm (5)

Trecerea invers\ de la valoarea instantanee complex\, m la semnalul sinusoidal

reprezentat, m(t) este asigurat\ prin rela]ia:

).sin(2})( tMmm{tm (6)

Pe lângă amplitudinea mM şi faza iniţială se evidenţiază pulsaţia a mărimii sinusoidale reprezentate. Fazorul reprezentativ în planul complex, m este rotitor cu viteza unghiulară (fazor cinematic) (Fig.3). Metoda se aplică circuitelor în care există mărimi sinusoidale cu pulsaţii diferite.

b) Reprezentarea analitic\ în complex simplificat (RCS) asociază biunivoc un semnal sinusoidal cu un num\r complex constant în timp (denumit: imagine complex\ simplificat\, valoare efectiv\ complex\, sau fazor polar complex), având modulul egal cu valoarea efectiv\, M [i argumentul egal cu faza ini]ial\, a semnalului reprezentat, respectiv, ( i.c.s. / v.e.c. / f.p.c. ):

m(t) )sin( tMm .]cos[sin

jM

MeM γj

(7)

Trecerea invers\ de la imaginea complex\ simplificat\ M la semnalul

reprezentat m(t) se efectueaz\ cu ajutorul rela]iei

)sin(2.2m)( tMMetm tj (8)

Reprezentarea analitic\ în complex simplificat se aplică atunci când toate semnalele sinusoidale au aceeşi pulsaţie, şi se poate renunţa la evidenţierea acestei mărimi comune tuturor semnalelor. Fazorul reprezentativ în planul complex , M este fix (fazor polar) (Fig.4). Observaţie. Între valoarea instantanee complex\ m , (5) [i valoarea efectiv\

complex\ M , (7) asociate aceluia[i semnal sinusoidal m(t), (1), exist\ rela]ia:

.2 Mem tj (9)

Reprezentarea simbolică a mărimilor sinusoidale şi corespondenţa operaţiilor

t

t

t=0M M

M

m

m

+j +j

+1 +1

Fig.3. m (i.c.n. / v.i.c. / f.c.c.) Fig.4. M ( i.c.s. / v.e.c. / f.p.c. )

Coresponden]a opera]iilor în complex simplificat

a) Adunarea: Sumei m = m1 + m2 a dou\ semnale sinusoidale îi corespunde un fazor complex polar egal cu suma fazorilor complexi polari imagini ale semnalelor m1 [i m2:

.2121 MMMmmm (10)

)()(,,:unde

21212121

22221111

bbjaaMMMmmmjbaMmjbaMm

M

M

M

MM

MM

2

2

3

1

1

21

11

2

2

1

1

3

22 3

aa

b

b

b

bb

bb

aa

a a+1+1

+j+j

a

Fig.5

b) Înmul]irea cu un scalar Produsului Km = K M t 2 sin( ) îi corespunde un fazor complex polar

K M , egal cu produsul dintre parametrul real K [i fazorul complex M , imagine a semnalului sinusoidal m:

.MKmK (11)

Reprezentarea simbolică a mărimilor sinusoidale şi corespondenţa operaţiilor

c) Derivarea în timp Derivatei semnalului sinusoidal )sin()( tMtm m , care este de forma:

)2/sin(2dd

tMtm

(12)

îi corespunde un fazor complex polar (f.c.p.) având modulul amplificat cu şi argumentul mărit cu + /2:

.dd 2/)2/( MjeeMeM

tm jjj

(13)

- Rezult\ c\, fazorul complex polar (f.c.p) a derivatei în timp a unui semnal sinusoidal m se ob]ine prin înmul]irea fazorului complex polar (f.c.p) al semnalului, m cu factorul complex j.

- În planul complex, derivarea în raport cu timpul este echivalent\ cu rotirea fazorului complex polar (f.c.p.) cu /2 în avans [i amplificarea modulului său cu (Fig. 6). d) Integrarea în timp Integralei în raport cu timpul a semnalului )sin()( tMtm m de forma:

m t M td sin( / )

2 2 , (14)

îi corespunde un fazor complex polar (f.c.p.) care se obţine prin împărţirea fazorului complex polar (f.c.p) al semnalului, m la factorul complex j; acesta

are modulul împărţit la şi argumentul micşorat cu /2:

jMeeMeMtm jjj 2/)2/(d . (15)

- În planul complex, integrarea în timp este echivalent\ cu rotirea fazorului complex polar (f.c.p.) cu /2 în urm\ şi împ\r]irea modulului prin (Fig. 6). Întrucât produsul a dou\ semnale sinusoidale nu este, de regul\, o func]ie sinusoidal\, el nu se poate reprezenta simbolic.

Fig. 6

Reprezentarea simbolică a mărimilor sinusoidale şi corespondenţa operaţiilor

Operatori de rotaţie:

Sunt numere comlexe de modul 1 şi argument diferit de zero. Prin înmulţirea unui fazor cu un operator de rotaţie se obţine un fazor cu modulul neschimbat, dar rotit cu un unghi egal cu argumentul operatorului de rotaţie. Operatorii de rotaţie cu 2/ şi respectiv 2/ au aşadar expresiile:

j = e+ j )2/(

- j =j1 = e - j )2/( (16)

Exemplu numeric: Suma a doi curen]i de pulsa]ie 2 2 50 314f rad s/ .

A37314sin25 01 ti ,

A53314sin210 02 ti

Reprezentăm curenţii i1 şi i2 în complex simplificat:

346,08,0537sin37cos55 0037111

01 jjjeeIIi jj

868,06,01053sin53cos1010 0053222

02 jjjeeIIi jj

111086342121 jjjIIIiii

3

8

16

0 4 6 10

I

I

2

2

1

1

Im

Re

I

Fig. 7

not\m Ia = 10A [i Ir = 11A şi rezultă pentru valoarea efectivă a intensităţii:

AIII ra 371412110022 , ,

iar pentru faza iniţială :

'10470a

r

IItgarc .

Aşadar curentul sumă este:

A'1047314sin237,14 0 ti