Serii Taylor

Serii Taylor pentru functii de o singura variabila:

Def. (dezvoltarea in serie Taylor pentru functii de o variabila)

Fie o functie indefinite derivabila si . Dezvoltarea lui in serie Taylor la ordinul n in jurul punctului a este:

Unde este derivate de ordinul n a lui in punctual a, , iar este un rest care se

poate exprima in diverse forme(Lagrange, integral etc.)

Obs. 1) se numeste polinomul lui

Taylor de ordinul n asociat functiei in punctual a. Acesta depinde si de a, dar, pentru a nu complica notatia, nu-l mai scriem si pe a.

Observam practic ca .

In plus, putem scrie condesat , unde, prin conventie .

2) Daca a=0, seria devine (serie

MacLaurin)

Def. Daca pe o vecinatate a lui a, atunci spunem ca se dezvolta in serie Taylor pe

acea vecinatate, adica:

Obs. 1) Scriere condensata: (serie de puteri!!)

2) De regula, functiile uzuale se dezvolta in serie Taylor.

Exemple: (Polinomul Taylor; completare fata de seminar)

1. Sa se scrie polinomul lui Taylor de ordin 3 asociat functie sin(x) in jurul punctului a=0

Solutie:

In general, pentru o functie f(x) avem:

In cazul nostrum, f(x)=sinx, , ,

, , .

Asadar .

2. Sa se scrie polinomul lui Taylor de ordin 4 asociat functie ln(x) in jurul punctului a=1

Solutie:

, f(x)=ln(x)

Asadar:

3. Sa se dezvolte in serie Taylor functia in jurul punctului 0:

Solutie: Dezvoltam in serie Taylor la ordinal n cu restul lui Lagrange. Tinem cont ca

, deci .

, unde

(cu criteriul raportului pentru siruri)

Asadar, ,

Obs. Acest exercitiu arata ca, de regula, functiile elementare se dezvolta in jurul unui punct (pe o vecinatate, nu neaparat pe tot ), dar a arata riguros acest lucru nu este banal!!

Serii Taylor pentru functii de mai multe variabile:

unde (regula binomului

lui Newton)

Exemplu: Sa se scrie polinomul lui Taylor de ordinul al treilea asociat functiei in

punctul (1,0):

Obs. In fiecare paranteza dreapta este exact ca la binomul lui lui Newton.

Prin calcul obtinem .

Aplicatie a derivatelor partiale. Puncte de extrem local ale unei functii.

Introducere. Ne reamintim teorema lui Fermat din liceu:

Daca este o functie derivabila, I interval deschis, atunci punctele de extrem local ale lui f au

proprietatea ca . In plus, daca f este de doua ori derivabila cu derivata continua, atunci, daca

, x e punct de minim, iar daca , x e punct de maxim.

Pentru functii de mai multe variabile avem (iacobianul) si (hessianul), iar

teorema se generalizeaza in mod natural.

Reamintim ca pentru , (matricea derivatelor partiale de ordinul I) si

(matricea derivatelor partiale de ordinul a II-lea)

De exemplu, pentru n=3 avem: si

Notatie. Pentru matricea notam cu

determinantii(minorii diagonali)

Obs. , , …,

Obs. , iar determinantul de ordinal 3 se calculeaza cu regula lui Sarrus.

Definitie. Spunem ca matricea este pozitiv definita daca pentru orice vector

coloana , cu egalitate daca si numai daca (matricea coloana nula). Spunem ca

matricea este negativ definita daca este pozitiv definita (adica ).

Teorema 1.

I) este pozitiv definita daca si numai daca .

II) este negativ definita daca si numai daca

Teorema 2. Fie (sau definita pe o submultime deschisa a lui ), (adica f

derivabila de doua ori cu toate derivatele partiale de ordinal al doilea continue) si .

1) Daca si este pozitiv definita, atunci x este punct de minim local

2) Daca si este negativ definita, atunci x este punct de maxim local.

3) Daca x nu este punct de minim sau de maxim(de exemplu ), atunci este punct şa.

Obs. 1) Verificarea pozitiv sau negativ defininirii matricei se face cu determinantii diagonali ca la teorema 1. 2) Punctele in care se numesc punctele critice(sau stationare) ale functiei .

Observam ca extremele locale ale lui se gasesc printre punctele stationare, dar, reciproc, nu orice punct stationar este punct de extrem. 3) (matricea nula) inseamna ca toate derivatele partiale de ordinul I se anuleaza.

Exemplul 1. Determinati punctele de extrem local ale functiei

Solutie: si , deci

Determinam mai intai punctele critice ale lui .

Avem deci de rezolvat un system de doua ecuatii cu doua necunoscute:

Asadar singurul punct critic al lui f (punct in care derivtele partiale se anuleaza) este , dar

inca nu avem garantia ca este punct de extrem local. Trebuie sa studiem matricea hessiana.

, si , deci

Avem

Asadar, matricea hesiana este pozitiv definita, deci punctul este punct de minim local.

Exemplul 2. Determinati punctele de extrem local ale functiei ,

.

Solutie:

Asadar singurul punct critic al lui f este . Verificam natura acestui punct folosind matricea

hessiana

Deoarece , deducem ca este punct sa, deci nu admite puncte de extrem

(acestea s-ar fi gasit printer punctele critice)