2.10.2008 Seminar 1

1. Pentru orice submultime nevida C ⊂ R notam −C = {−x,x ∈ C}. Sa searate ca daca C este marginita, atunci sup(−C) = − inf C si inf(−C) =

− supC.

R: C marginita ⇒ ∃m = inf C ∈ R si M = supC ∈ R. Vom arata ca −meste cel mai mic majorant al multimii −C, care este la randul ei marginita.

m = inf C ⇒m ≤ x, ∀x ∈ C⇔ −m ≥ −x, ∀x ∈ C,

deci −m este un majorant al multimii −C. Daca ar exista un alt majorant−m′ < −m al lui −C, atunci m′ ar fi un minorant al lui C mai mare decatm, ceea ce contrazice definitia lui m ca fiind marginea inferioara a lui C.

In mod analog se arata ca −M este marginea inferioara a lui −C.

2. Se considera multimea A = {mn∣0 < m < n;m,n ∈ Z}. Sa se arate ca A

nu are un cel mai mic element si nici un cel mai mare element si sa sedetermine inf A, supA.

R: Pentru orice mn∈ A, gasim 2m−1

2n< m

n< 2m+1

2n, cu 2m−1

2n, 2m+1

2n∈ A, ceea

ce implica faptul ca A nu poate avea nici minim nici maxim.

Vom arata in continuare ca inf A = 0 si supA = 1. Evident, 0 < mn< 1,

∀mn∈ A.

Pentru orice ε > 0 arbitrar, exista n ∈ Z, n > 1 astfel incat 0 < 1n< ε, iar

cum 1n∈ A, avem ca 0 este cel mai mare minorant al lui A.

Din nou, pentru orice ε > 0 arbitrar, exista m ∈ Z,m > 0 astfel incat1 − ε < m

m+1< 1, iar cum m

m+1∈ A, avem ca 1 este cel mai mic majorant al

lui A.

3. Care din submultimile V ⊂ R urmatoare sunt vecinatati ale originii:

(a) V = (−1,2); R: da.

(b) V = [0,∞); R: nu, niciun interval deschis care contine originea nueste inclus in V .

(c) V = (−3,1) ∪ (3,∞); R: da.

(d) V = Q; R: nu, Q nu contine niciun interval deschis.

4. Sa se precizeze care din multimile urmatoare sunt deschise:

(a) ∅; R: da.

(b) R; R: da.

(c) un interval deschis (a, b); R: da.

(d) o semidreapta deschisa; R: da.

(e) un interval [a, b]; R: nu, ˚[a, b] = (a, b) ≠ [a, b].

(f) un interval [a, b); R: nu.

(g) o semidreapta inchisa; R: nu.

(h) {a}, a ∈ R; R: nu, {a} = ∅.

1

2.10.2008 Seminar 1

5. Sa se afle aderenta urmatoarelor multimi:

(a) R; R: R.(b) ∅; R: ∅.(c) [a, b]; R: [a, b].(d) {x0}; R: {x0}.(e) (a, b], (a, b), [a, b); R: [a, b].(f) o semidreapta deschisa; R: acceasi semidreapta, dar inchisa.(g) Q; R: R.(h) I = R ∖Q; R: R.(i) {1, 1

2, . . . , 1

n, . . .}; R: {1, 1

2, . . . , 1

n, . . . ,0}.

(j) {1,2, . . . , n, . . .}; R: {1,2, . . . , n, . . .}.

6. Sa se precizeze daca multimile A sunt dense fata de multimea B:

(a) A = (a, b],B = [a, b]; R: da.(b) A = Q,B = R; R: da.(c) A = R ∖Q,B = R; R: da.

7. Sa se determine punctele de acumulare si punctele izolate alesubmultimilor D ⊂ R urmatoare:

(a) D = (−1,1); R: Da = [−1,1], Di = ∅.(b) D = (−∞,1) ∪ (5,∞); R: Da = (−∞,1] ∪ [5,∞), Di = ∅.(c) D = Z; R: Da = ∅, Di = Z.(d) D = { 1

x, x ∈ R, x ≠ 0}; R: Da = R, Di = ∅.

(e) D = {(−1)n 1n, n ∈ Z, n ≥ 1}; R: Da = {0}, Di = D.

(f) D = domeniu maxim de definitie pentru f(x) =arcsin(x −√

1 − x2);R: Da = [0,1], Di = {−1}.

8. Sa se determine interiorul si frontiera multimilor

(a) A = {x ∈ R, ∣x∣ ≤ 1}; R: A = (−1,1), FrA = {−1,1}.(b) B = {x ∈ R, ∣x∣ = 1}; R: B = ∅, FrB = {−1,1}.(c) C = Q; R: C = ∅, FrC = R.

9. Fie multimea A = [0,1) ∪ {2} ∪ [3,4). Sa se calculeze A, A, ˚A,¯A,

˚A,

¯A.

R: A = (0,1) ∪ (3,4); A = [0,1] ∪ {2} ∪ [3,4]; ˚A = (0,1) ∪ (3,4);¯A = [0,1] ∪ [3,4];

˚A = (0,1) ∪ (3,4);

¯A = [0,1] ∪ [3,4].

10. Sa se precizeze care din multimile urmatoare sunt compacte:

(a) o multime finita; R: da.(b) un interval inchis; R: da.(c) o reuniune finita de intervale compacte; R: da.(d) [a, b); R: nu.(e) o semidreapta; R: nu.

2