Analiza MatematicaPartea I1.Definiti notiunile: relatie, reflexivitate, simetrie, antisimetrie, tranzivitate, relatie de ordine, relatie de echivalenta.

Un triplet R=(A,B,GR) determina o relatie intre multimea A si B unde GR este o submultime a produsului cartezian AxB si se numeste graficul relatiei R.

Un element a A este in relatia R cu un element b B si vom scrie aRb daca perechea (a,b) GR. Daca A=B vom spune ca avem relatie pe o multime si o vom nota R=(A,GR) sau (A,R).

Relatia R se numeste: a.reflexiva daca oricare ar fi a A, aRa

b.simetrica daca

c.antisimetrica:

d.tranzitiva :

O relatie R def pe A Ø se numeste relatie de ordine daca e reflexiva, antisimetrica si tranzitiva.

O relatie R definite pe multimea A se numeste relatie de echivalenta daca este reflexiva, simetrica si tranzitiva.

2.Definiti notiunile: sir convergent, sir fundamental (Cauchy) in R.Sirul se numeste convergent daca exista a R, a.i. oricare ar fi >0, si

exista < .

Sirul se numeste fundamental (Cauchy) daca oricare ar fi >0 ,exista

.

3.Criteriul lui Stolz (limite).Consecinta.1.Criteriul lui Stolz: Fie sirurile (an)n N si (bn)n N cu proprietatea ca bn este

crescator avem:

2.Consecinta criteriului lui Stolz: .

4.Criterii de comparatie pentru serii cu termeni pozitivi.1.Criteriul I de comparatie:

Fie seriile cu termeni pozitivi ,an, bn 0, cu proprietatea ca exista no

N, a.i. an bn oricare ar fi n 0

i) Daca convergenta atunci convergenta

ii)Daca divergenta atunci divergenta

2.Criteriul II de comparatie

Fie seriile cu termeni strict pozitivi si cu proprietatea ca exista no N

a.i.

i) Daca convergenta atunci convergenta

ii) Daca divergenta atunci divergenta

5.Criteriul raportului (d’Alembert). Criteriul Raabe-Duhamel.

1.Criteriul raportului: Fie ,

i) Daca l<1 atunci convergenta

ii) Daca l>1 atunci divergenta

iii) Daca l=1 indecizie (in general se aplica criteriul Raabe-Duhamel)

2.Criteriul Raabe-Duhamel: Fie , an>0, pp ca exista

i) Daca l<1, divergenta

ii) Daca l>1, convergenta

iii) Daca l=1, indecizie.6.Criteriul general al lui Cauchy. Criteriul radical al lui Cauchy.

1.Criteriul general al lui Cauchy: Seria este convergenta daca si numai daca

oricare ar fi .

2.Criteriul radical al lui Cauchy: Fie ,

i) Daca l<1 atunci convergenta

ii) Daca l>1 atunci divergenta

iii) Daca l=1 indecizie (in general se aplica crt necesar de convergenta)2’.Criteriul necesar de convergenta:

i) Daca convergenta atunci lim an=0

ii) Daca lim an 0 atunci divergenta.

Obs! Daca lim an=0 atunci nu putem decide natura seriei.7.Criteriul lui Dirichlet. Criteriul lui Leibnitz (pt serii cu termeni oarecare).

1.Criteriul lui Dirichlet: Fie , daca:

i) sirul

ii) sirul este conv.

2.Criteriul lui Leibnitz: Fie seria este descrescator cu limita 0 atunci seria data este convergenta.8.Definiti notiunile: vecinatatea unui element, punct de acumulare(functii reale).

1.Vecinatatea unui punct: Fie a vecinatate (la stanga sau la dreapta) a punctului a daca exista astfel incat (respectiv )

2.Punct de acumulare: Fie D R. Un element a se numeste punct de acumulare (la stanga sau la dreapta) a lui D daca pt orice vecinatate (la stanga sau la dreapta) V a lui a, exista 9.Teorema lui Heine (functii reale). Teorema lui Weirstrass.

1.Teorema lui Heine: Fie D R, f:D->R, si a un punct de acumulare a lui D. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

i)

ii) pt orice sir cu limita a si cu termeni xn avem

.

2.Teorema lui Weirstrass: Orice functie continua f:[a,b]->R este marginita si isi atinge marginile. Mai concret exista m,M R si exista xm, si xM [a,b] astfel incat:

i)ii) .

10.Teorema Fermat. Teorema Rolle (derivabilitatea functiilor).1.Teorema Fermat: Fie f:D->R, D R, si un punct xo D, care este punct de

acumulare la stanga si la dreapta a lui D. Daca:i)xo este punct de extrem local pt functia f siii) f este derivabila in xo

atunci f’(xo)=02.Teorema Rolle: Fie functia f:[a,b]->R. Daca:

i)f este continua pe [a,b] si ii) f este derivabila pe (a,b) siiii)f(a)=f(b)

atunci exista c (a,b) astfel incat f’(c)=011.Teorema Lagrange.Teorema Cauchy.

1.Teorema Lagrange: Fie functia f:[a,b]->R. Daca:i) f este continua pe [a,b] siii) f este derivabila pe (a,b)

atunci exista c (a,b) astfel incat: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).2.Teorema Cauchy: Fie functia f:[a,b]->R. Daca:

i) f este continua pe [a,b]ii) f este derivabila pe (a,b) siiii) g’(x) 0, pt orice x (a,b), atunci g(b) g(a) si exista c (a,b) a.i.:

12.Polinomul Taylor definitie. Formula lui Taylor cu rest Lagrange.1.Polinomul Taylor: Fie functia f:D->R, D R, derivabila de ordinul n N, in

punctul a D. Se numeste polinomul lui Taylor de ordinul n al functiei f in punctul a, urmatorul polinom algebric:

1’.Numim restul polinomului lui Taylor de ordinul n al functiei f in punctul a, functia:

2.Formula lui Taylor cu rest Lagrange: Fie I un interval si f:I:->R o functie derivabila de ordinul n+1, n N pe I. Atunci pt orice doua puncte a si x din I, x a exista un punct c situat intre a si x astfel incat sa avem:

13.Definiti notiunile:sir de functii convergent punctual, sir de functii convergent uniform (functii reale).

1.Sir de functii convergent punctual: Sirul de functii , fn:D->R, D R, se numeste convergent punctual sau convergent simplu daca exista o functie f:D->R astfel

incat pt orice x D, fixat avem Functia f se numeste limita sirului

si se noteaza prin .

2.Sir de functii convergent uniform: Sirul de functii , fn:D->R, D R, senumeste convergent uniform pe D, daca exista o functie f:D->R, astfel incat pentru orice

, exista un indice astfel incat , pt orice n N, n si orice x D.

14.Definiti raza de convergenta a unei serii puteri. Teorema razei de convergenta a lui Abel.

1.Raza de convergenta a unei serii de puteri: Numim raza de convergenta a seriei

, numarul R , definit astfel:

1’.Obs! Fie seria de puteri . Raza de convergenta a seriei se mai poate

calcula si dupa formulele: si

2.Teorema razei de convergenta a lui Abel: Fie seria de puteri avand raza

de convergenta R .i) Daca R>0, atunci seria de puteri converge absolut pt orice x cu |x|<Rii) Daca R< , atunci seria de puteri este divergenta pt orice x cu |x|>Riii) Daca R>0 si 0<r<R, atunci seria de puteri este uniform convergenta pe

intervalul [-r,r]15.Teorema transferul limitei pt siruri de functii.

1.Fie seria de functii ,fn:D->R, D R, convergenta uniform avand suna

f:D->R. Fie xo un punct de acumulare a lui D. Presupunem ca pt orice n N, exista

. Atunci seria este convergenta iar functia f are limita in

punctul xo egala cu . Pe scurt avem:

Partea a II-a1.Definiti notiunile: segment, dreapta, multime convexa in R n

1.Segmentul: Daca a,b , se numeste segmentul de capete a si b, multimea[a,b]:={ }

2.Dreapta: Daca a,v , v se numeste dreapta ce trece prin a si de directie v, multimea: {a+ }.

3.Multimea convexa: O multime C se numeste convexa daca pentru orice doua puncte a,b , avem [a,b] C.2.Definiti norma unui element din R n .Proprietatiile normei.

1.Norma unui element din Rn: Se numeste norma unui element x , x=(x1...xn),

numarul real pozitiv: .2Proprietatiile normei:

a. ||x||=0, daca si numai daca x=0, cand xb. c. (inegalitatea triunghiului)

3.Definiti distanta intre doua elemente in R n .Proprietatiile distantei. 1.Distanta intre doua elemente in Rn: Pt orice x,y , numarul: d(x,y):=||x-y|| se

numeste distanta intre punctul x si punctul y.2.Proprietatiile distantei:

a. d(x,y)=0, daca si numai daca x=y, x,yb. d(x,y)=d(y,x), pt orice x,yc. d(x,z) d(x,y)+d(y,z)

4.Definiti notiunile: sfera deschisa, multime marginita, multime deschisa, vecinatate in R n .

1.Sfera deschisa:Daca a ,si r>0, se numeste sfera deschisa de centru a si raza r, multimea: B(a,r):={y | ||y-x||<r}.

2.Multime marginita: Multimea A se numeste marginita daca exista, R>0, astfel incat A B(0,R)

3.Multime deschisa: O multime A se numeste deschisa daca pt orice a A, exista r>0, astfel incat B(a,r) A.

4.Vecinatate: Se numeste vecinatate a unui punct a , orice multime V cu proprietatea ca exista un numar r>0 astfel incat B(a,r) V. Notam cu Va multimea vecinatatilor lui a.5.Definiti notiunile: punct interior, punct de acumulare, punct aderent, punct izolat.

1.Punct interior: Se numeste punct interior al lui A, daca exista r>0 astfel incat B(a,r) A.

2.Punct de acumulare: Se numeste punct de acumulare al lui A, daca pentru orice r > 0, avem \{a} Ø.

3.Punct aderent: Se numeste punct aderent al lui A, daca pentru orice r > 0, avem Ø .

4.Punct izolat: Se numeste punct izolat al lui A, daca exista r > 0 astfel incat ={a}.

6.Criteriul Cauchy-Bolzano (functii vectoriale).Fie functia . Sunt echivalente:

i. exista

ii. pt orice , astfel incat 7.Definiti continuitatea unei funtii vectoriale intr-un punct. Cont. partiala.

1.Continuitatea unei functii vect. intr-un punct: Spunem ca o functie este continua (global) in punctul a daca pentru orice vecinatate V

a lui f(a) exista o vecinatate U a lui a astfel incat 2.Continuitatea partiala: Fie o functie , si a=(a1...an) , si fie

un indice .Spunem ca f este continua partial in punctul a , in raport cu variabila de indice i, daca functia partiala ,

De asemenea, spunem simplu, ca f este continua partial in punctul a, daca ea este continua partial in a in raport cu toate variabilele.8.Definiti: operatorul liniar, norma unui operator liniar.

1.Operatorul liniar: O aplicatie se numeste liniara daca indeplineste conditia: O aplicatie liniara se mai numeste si operator liniar. Notam cu multimea aplicatiilor liniare din in .

2.Norma unui operator liniar: Se numeste norma operatorului L numarul :

9.Definiti: derivata partiala in raport cu o variabila, derivata dupa directie a unei functii reale de variabila vectoriala.

1.Derivata partiala in raport cu o variabila: Fie D ,

a=(a1...an), Notam argumentii functiei f cu x1,...,xn .Spunem ca functia f este derivabila

partial in raport cu variabila xi, in punctul a daca exita numarul ,

astfel incat are loc urmatoarea limita (de functie reala si de variabila reala):

2. Derivata dupa directie a unei functii reale de variabila vectoriala: Fie D

, . Fie de asemenea functia vectoriala

. Spunem ca functia f admite derivata dupa directia v in punctul a, daca pentru orice indice exista

. In acest caz, definim: .

10.Definiti: gradientul, rotorul si divergenta.

1.Gradientul: Fie D . Daca f este derivabila partial in

punctul a, numim gradientul lui f in punctul a vectorul: .

2.Rotorul/Divergenta: Fie Notam

argumentii lui f cu x; y; z. Daca f este derivabila partial in punctul a, atunci definim:i. rotorul lui f in punctul a, ca find vectorul

ii. divergenta lui f in punctul a, ca fiind numarul real:

.

11.Scrieti ecuatia planului tangent la suprafata z=f(x,y) si respectiv vectorii normali la suprafata z=f(x,y)

Fie , ai carei argumenti sunt notati

cu x si y. Daca f este diferentiabila in punctul (a,b), atunci planul de ecuatie:

se numeste planul tangent la suprafata

z=f(x,y) in punctul (a,b,f(a)), iar vectorii de norma 1, perpendiculari pe planul tangent

adica: se numesc vectori

normali la suprafata x=f(x,y) in punctul (a,b,f(a,b)).12.Teorema lui Schwartz. Matricea lui Hesse.

1.Teorema lui Schwartz: Fie .

Notam cu x si y argumentii lui f. Daca f admite derivatele partiale pe o

vecinatate a punctului (a, b) si daca acestea sunt continue in punctul (a, b), atunci avem:

.

2.Matricea lui Hesse: Daca functia admite derivate partiale de

ordinul al doilea in punctul atunci matricea: se

numeste matricea lui Hesse a functiei f in punctul a.13.Definiti forma patratica, forma patratica pozitiv respectiv negativ definita. Criteriul lu Jacobi.

1.Forma patratica: O aplicatie numeste forma patratica, daca ea este

de forma: (1)

2. Forma patratica pozitiv definita: Forma patratica G se numeste pozitiv definita, (respectiv negativ definita), daca pentru orice

.

3.Criteriul lui Jacobi: Fie forma patratica definita prin (1). Presupunem ca matricea este simetrica. Pt orice

i. Daca , atunci G este o forma patratica pozitiv definita,

ii.Daca atunci G este o forma patratica negativ definita.14.Definiti notiunea de punct de extrem (minim , maxim) pt o functie reala de variabila vectoriala. Teorema: Conditia necesara de extrem.

1.Punct de extrem: Fie Spunem ca punctul a esteun punct de maxim local, (respectiv de minim local) al functiei f, daca existao vecinatate V a lui a astfel ca

. Punctul a se numeste de extrem local al lui f daca el este de maxim local sau este de minim local.

2.Conditia necesara de extrem: Fie . Daca a este punct

de extrem local pentru functia f si daca f este diferentiabila in punctul a, atunci d .15.Conditia suficienta de extrem.

Fie

Presupunem ca:i. dii. forma patratica h este pozitiv definita, (respectiv

negativ definita). Atunci a este punct de minim local, (respectiv punct de maximlocal) a lui f.

Partea a III-a1.Teorema integrarii prin parti pentru integrale definite. Formula Leibnitz-Newton.1.Teorema integrarii prin parti: Daca ,atunci avem:

2.Formula Leibnitz-Newton: Daca

atunci avem: .

2.Prima schimbare de variabila. A doua schimbare de variabila.1.Prima schimbare de variabila: Fie o functie

continua. Atunci avem: .

2.A doua schimbare de variabila: Fie o functie continua. Presupune ca functia inversa lui are derivata continua pe

intervalul . Atunci avem: .

3.Teoremele de medie pentru integralele definite.Teorema I de medie: Daca astfel incat:

.

Teorema II de medie: Daca

si exista un punct .

4.Definiti: integrala improprie, convergenta, divergenta, integrala improprie de speta I, de speta a II-a.

1.Integrala improprie: Fie unde Spunem ca functia f este integrabila impropriu pe intervalul [a, b), daca exista si este finita limita:

.Limita se numeste integrala improprie a lui f pe intervalul [a, b) si se noteaza

prin .

2.Convergenta/Divergenta: Vom spune ca este convergenta daca functia f

este integrabila impropriu pe [a, b) si vom spune ca aceasta integrala este divergenta, in caz contrar.

3.Integrala improprie de speta I: In cazul , atunci integrala improprie

se numeste integrala improprie de prima speta si se mai noteaza si prin:

.

4.Integrala improprie de speta II: In cazul ,atunci integrala improprie

se numeste integrala improprie de de a doua speta si se mai noteaza si prin: sau

5.Criterii de convergenta pentru integrala improprie.1.Daca unde se numeste

integrabila impropriu pe (a, b), daca exista un punct b), astfel ca ambele

integrale improprii sa fie convergente. In acest caz se defineste

. In caz contrar, integrala improprie se numeste divergenta.

2.Criteriul absolutei convergente: Fie . Daca integrala improprie

este convergenta, atunci integrala improprie este convergenta.

3. Criteriul de comparatie cu inegalitati: Fie .

i. Daca integrala converge atunci si integrala converge.

ii.Daca atunci .

4. Criteriul de comparatie cu limita: Fie , astfel ca . Daca

exista astfel ca: atunci integralele improprii si au

aceeasi natura.6.Criteriul Cauchy-Bolzano. Criteriul integral a lui Cauchy.

1.Criteriul Cauchy-Bolzano: Fie . Sunt echivalente:

i. integrala este convergenta si

ii. pentru orice

.

2.Criteriul integral a lui Cauchy: Fie o functie pozitiva si monoton

descrescatoare. Fie . Integrala au aceeasi natura.

7.Functiile lui Euler: Beta si Gamma (definitii).

1. Functia Beta se defineste prin:

sau

2. Functia Gamma se defineste prin:

8.Functiile lui Euler: Beta si Gamma (proprietati).a.Functia exista si este indefinit derivabila pe domeniul de definitie

b.Functia exista si este indefinit derivabila pe domeniul de definitie (0, ).c.

d.

e.f.

g.

h.

i. .

9.Definiti notiunile: drum, drum inchis, drum simplu, drum neted.1.Drum:O functie continua se numeste drum din

spatiul .2.Drumul se numeste :

i. inchis daca (a)= (b)ii. simplu daca este o functie injectiva pe [a,b)iii.neted daca este o functie de clasa C1(derivabila, cu derivata continua).

10.Integrala curbilinie de speta I (definitie si formula de calcul).Se numeste integrala curbilinie de prima speta pe curba ,cu parametrizarea ,

numarul real: definit printr-o integrala de tip Stieltjes-

Riemann.11.Definiti notiunile: forma diferentiabila, exacta, inchisa.

1.Forma diferentiabila: Aplicatia continua

cu : se numeste forma diferentiabila de gradul I.

2.Forma se numeste:i.exacta daca exista o functie de clasa C1 f:U->R a.i. =df (deci

pe domeniul U.

ii. inchisa daca functiile P1 sunt de clasa C1 pe domeniul U si satisfac

relatiile: .

12.Integrala curbilinie de speta a II-a (definitie si formula de calcul).Numim integrala curbilinie de speta a doua a formei diferentiabile

de gradul I de-a lungul curbei rectificabile , cu

parametrizarea , numarul real: definit ca o

suma de integrale Stieltjes-Riemann.13.Independenta de drum a integralei de speta a II-a. Formula de calcul.

1.Daca este o forma diferentiabila, atunci:

.

Un rezultat fundamental legat de "independenta de drum" a integralei curbilinii de speta a doua este dat de teorema urmatoare.

1’.Fie U o multime conexa si deschisa si o forma diferentiabilade gradul I definita pe U. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

i. pentru oricare doua drumuri rectificabile cu suportul in U, avand acelasi

"capat de plecare" si acelasi "capat de sosire" avem

ii. pentru orice drum rectificabil inchis cu suportul in U avem :

iii. este o forma diferentiabila exacta. In acest caz, daca pe domeniul U, iar este un drum rectificabil cu suportul in U, ce uneste punctele x, y U, avem:

.

14.Formula lui Green-Riemann.Fie o multime deschisa si convexa si fie doua functii de clasa

C1 pe U. Fie de asemenea un drum simplu si inchis inU cu sens direct, cu imaginea notata { }. Notam cu D1 interiorul drumului si cu D= . Presupunem ca

.Are loc formula lui Green-Riemann:

.

15.Teorema schimbarii de variabile pentru integrale multiple. Coordonate polare (integrala dubla).

1. Teorema schimbarii de variabile: Fie :U->V un difeomorfism, intre multimile deschise U,V este o

functie continua, atunci avem:

2.Coordonate polare: