Analiza Matematica I - Chis Codruta.pdf

Analiza matematica

Chis Codruta

Cuprins

1 Serii numerice 5

1.1 Definitii. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Criterii de convergenta pentru serii cu termeni pozitivi . . . 8

1.3 Criterii de convergenta pentru serii cu termeni oarecare . . . 16

1.4 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Serii de puteri 23

2.1 Suma unei serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Operatii cu serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Derivarea seriilor de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Integrarea seriilor de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30


3 Formula lui Taylor 35

3.1 Serii Taylor pentru functii de doua variabile . . . . . . . . . 38


4 Notiuni de topologie n Rn 41

5 Functii de mai multe variabile 45

5.1 Definitii. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45


6 Limite. Continuitate 49

6.1 Limita unei functii ntr-un punct . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.2 Continuitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51


3

4 CUPRINS

7 Derivate partiale 55

7.1 Derivate partiale de ordinul ntai . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.2 Derivate partiale de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . 57

7.3 Gradient. Diferentiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.3.1 Diferentierea functiilor compuse . . . . . . . . . . . . 62

7.4 Hessiana unei functii ntr-un punct . . . . . . . . . . . . . . 64


8 Extreme locale ale functiilor de mai multe variabile 67

8.1 Extreme neconditionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.2 Extreme conditionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71


9 Elemente de calcul integral 77

9.1 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9.1.1 Primitive reductibile la primitivele functiilor rationale 79

9.2 Functii integrabile. Integrala definita . . . . . . . . . . . . . 80

9.3 Aplicatii ale integralelor definite . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.3.1 Aria subgraficului unei functii continue si pozitive . . 83

9.3.2 Lungimea graficului unei functii derivabile cu derivata

continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.3.3 Volumul unui corp de rotatie . . . . . . . . . . . . . . 84

9.3.4 Aria suprafetelor de rotatie . . . . . . . . . . . . . . 84

9.3.5 Centre de greutate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

10 Ecuatii diferentiale 87

10.1 Introducere n teoria ecuatiilor diferentiale . . . . . . . . . . 87

10.2 Ecuatii diferentiale de ordinul I . . . . . . . . . . . . . . . . 89

10.2.1 Ecuatii cu variabile separabile . . . . . . . . . . . . . 89

10.2.2 Ecuatii diferentiale omogene . . . . . . . . . . . . . . 92

10.2.3 Ecuatii diferentiale liniare de ordinul I . . . . . . . . 93

10.2.4 Ecuatii diferentiale de tip Bernoulli . . . . . . . . . . 95

10.3 Modele matematice ale cresterii populatiei . . . . . . . . . . 97

10.3.1 Modelul lui Malthus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

10.3.2 Modelul lui Verhulst . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

1Serii numerice

1.1 Definitii. Exemple

Definitie. Fie (an)n1 un sir de numere reale si sn =ni=1 ai, n 1. Cu-

plul ((an)n1, (sn)n1) se numeste serie numerica si se noteazan1 an sau

n an saun=1 an.

Elementul an se numeste termen general al seriei, elementele sirului (an)n1se numesc termenii seriei;

elementele sirului (sn)n1 se numesc sumele partiale ale seriei, iar elemen-tul sn se numeste suma partiala de rang n.

Definitie. O serie de numere realen1 an se numeste convergenta daca

sirul (sn)n1 al sumelor partiale este convergent; daca sirul sumelor partiale

are limita, aceasta limita se numeste suma seriei, si scriem

limn sn = s =

n1

an = s.

In particular,

limn sn = =

n1

an =,

limn sn = =

n1

an = .

Daca sirul sumelor partiale nu are limita, atunci seria se numeste oscilanta.

Daca o serie este oscilanta sau are suma , ea se numeste divergenta.

Exemplu. Daca r R este un numar real, seria n=0 rn se numeste seriageometrica de ratie r.

5

6 1. SERII NUMERICE

Fie r = 1. Atunci suma partiala de ordin n a seriei geometrice este

sn = 1 + 1 + . . .+ 1 n+1

= n+ 1.

Deoarece limn(n+ 1) =, seria n=0 1n este diveregenta.Pentru r 6= 1, suma partiala de ordin n a seriei geometrice este

sn =1 rn+1

1 r .

Propozitie. Fien=0 r

n o serie geometrica.

(i) Daca |r| < 1, atunci seria geometrica este convergenta , cu suma1

1 r .

(ii) Daca |r| 1, atunci seria geometrica este divergenta.Demonstratie. (i) Daca |r| < 1, atunci limn rn+1 = 0, astfel calimn sn = 11r , deci seria este convergenta, cu suma

11r .

(ii) Daca |r| > 1, atunci limn |r|n+1 =, deci suma este divergenta.Daca r = 1, am vazut mai sus ca seria geometrica diverge.

Daca r = 1, atunci sirul sumelor partiale alterneaza ntre valorile 0 s1,deci si aceasta serie este divergenta.

Exemplu. 1 23

+ (23)2 = n=1(23)n = 11( 2

3)

= 35.

Observatie. Uneori, asa cum am vazut si n exemplele de mai sus, primul

termen al unei serii nu este neaparat a1.n=1(

12)n si

n=2

1lnn

sunt exemple

de asemenea serii. In al doilea caz, trebuie sa ncepem cu n = 2, deoarece1

ln 1nu este definit.

Exemplu. Putem scrie numarul 13

ca

1

3= 0, 33333 . . . =

3

10+

3

100+

3

1000+ . . .+

3

10n+ . . . .

Aceasta expresie este o serie, avand termenul general an =3

10n. Putem

demonstra ca aceasta serie este convergenta:

3

10+

3

100+

3

1000+ . . .+

3

10n+ . . . =

3

10(1 +

1

10+

1

100+ . . .+

1

10n+ . . .) =

=3

10

k=0

(1

10)k =

3

10 1

1 110

=3

10 10

9=

3

9=

1

3.

1.1. DEFINITII. EXEMPLE 7

De altfel, orice numar subunitar x poate fi gandit ca suma unei serii con-

vergente, deoarece daca x = 0, a1a2a3 . . . an . . ., atunci

x =a110

+a2

100+

a31000

+ . . .+an10n

+ . . . =n=1

an10n

.

O conditie necesara de convergenta a unei serii numerice este urmatoarea:

Propozitie. Fien1 an o serie convergenta de numere reale. Atunci sirul

(an)n1 este convergent la 0.

Demonstratie. Fie s =k=1 ak. Pentru doua sume partiale consecutive

avem atunci

sn =nk=1

= (a1 + a2 + . . .+ an1) + an = sn1 + an,

deci

an = sn sn1.Atunci

limn an = limn(sn sn1) = limn sn limn sn1 = s s = 0.

Rezulta atunci urmatoarea conditie suficienta de divergenta:

Corolar. Fien1 an o serie de numere reale. Daca sirul (an)n1 nu are

limita sau are limita nenula, atunci seria data este divergenta.

Observatie. Dacan1 an este o serie pentru care limn an = 0, nu

rezulta neaparat ca seria data este convergenta.

Contraexemplu. Seria armonican1

1n

este divergenta, cu suman1

1n

=

, n ciuda faptului ca limn 1n = 0:Sa presupunem ca seria data ar fi convergenta cu suma

n1

1n

= s. Fie

sn = 1 +1

2+ + 1

n.

Rezulta deci ca limn sn = s. Dar

s2n sn = 1n+ 1

+1

n+ 2+ + 1

2n>

1

2n+

1

2n+ + 1

2n n

= n 12n

=1

2

si obtinem ca

s2n >1

2+ sn , ()n 1.

8 1. SERII NUMERICE

Trecand la limita n ultima relatie, obtinem:

s 12

+ s,

ceea ce este absurd. Prin urmare presupunerea facuta nu poate fi adevarata,

deci seria armonica este divergenta.

O proprietate importanta a seriilor convergente este urmatoarea:

Propozitie. Fien1 an si

n1 bn doua serii convergente cu sumele s,

respectiv t, si fie , R. Atunci seria n1(an + bn) este convergentasi are suma s+ t.

Demonstratie. Fie sn, respectiv tn, sumele partiala de rang n ale celor

doua serii. Atunci suma partiala de rang n a seriein1(an + bn) este

sn + tn, si avem

limn(sn + tn) = limn sn + limn tn = s+ t.

Corolar. Presupunem ca serian1(an + bn) este convergenta pentru

anumite constante , R. Atunci n1 an este convergenta daca si nu-mai daca

n1 bn este convergenta.

Observatie. Din convergenta seriein1(an + bn) nu rezulta nsa

convergenta seriilorn1 an si

n1 bn.

Contraexemplu. Serian1((1)n + (1)n+1) este convergenta, n timp

ce seriilen1(1)n si

n1(1)n+1 sunt divergente.

1.2 Criterii de convergenta pentru serii cu

termeni pozitivi

Definitie. Spunem ca serian1 an este cu termeni pozitivi daca orice

termen al sa este pozitiv: an > 0, ()n 1.

Propozitie. Sirul sumelor partiale ale unei serii cu termeni pozitivi este

strict crescator.

Demonstratie. Fie (sn)n1 sirul sumelor partiale ale unei serii cu termeni

pozitivin1 an. Atunci

sn+1 sn = an+1 = sn+1 > sn,n 1,

1.2. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII CU TERMENI POZITIVI9

deci sirul (sn) este crescator.

Corolar. O serie cu termeni pozitivi are ntotdeauna suma(finita sau nu).

Cateva criterii pentru studiul seriilor cu termeni pozitivi sunt:

C1) Serian1 an cu termeni pozitivi este convergenta daca si numai daca

sirul (sn)n1 al sumelor partiale este marginit.

Demonstratie. Sirul (sn) al sumelor partiale este monoton, astfel ca el

este convergent daca si numai daca este marginit. Proprietatea enuntata

rezulta atunci imediat.

C2) Primul criteriu al comparatiei.

Fien1 an,

n1 bn doua serii de numere reale nenegative, astfel ncat

()n0 N : an bn, ()n n0.

Atunci au loc proprietatile:

(a)n1 bn convergenta =

n1 an convergenta.

(b)n1 an divergenta =

n1 bn divergenta.

Demonstratie. Daca notam cu sn, respectiv tn, sumele partiale de rang n

ale seriilorn1 an si

n1 bn, atunci din inegalitatea din enunt rezulta ca

sn sn0 tn tn0 , ()n n0.

(a) Daca serian1 bn este convergenta, atunci limn tn < , de unde

rezulta ca limn sn = tn + sn0 tn0

10 1. SERII NUMERICE

serian=1

1n!

este convergenta.

Observatie. Daca pentru un numar natural oarecare N , serian=N+1 an

este convergenta, atunci serian=1 an este convergenta. De asemenea,

daca serian=N+1 an este divergenta, atunci seria

n=1 an este divergenta.

Adunarea unui numar finit de termeni la o serie nu afecteaza deci

convergenta sau divergenta seriei.

Definitie. Spunem ca doua serii de numere realen1 an,

n1 bn au

aceeasi natura daca ambele sunt convergente sau ambele sunt divergente.

Notatie. Notam acest lucru prinn1 an

n1 bn

C3) Al doilea criteriu al comparatiei.

Fien1 an,

n1 bn doua serii de numere reale nenegative astfel ncat

limn

anbn

= l.

Atunci au loc urmatoarele:

(a) Daca 0 < l 1, ()n N . Dar atunci an > bn, ()n N , de unde aplicand primul

criteriu de comparatie se obtine proprietatea enuntata.

Exemplu. Vom arata can1

nn2+1

este divergenta.

Fie an =n

n2+1, bn =

1n. Atunci limn anbn = 1, deci seriile

n1 an si

n1 bn au aceeasi natura . Darn1

1n

este divergenta, deci sin1

nn2+1

este divergenta.


C4) Al treilea criteriu al comparatiei.

Fien1 an,

n1 bn doua de numere reale nenegative, astfel ncat :

()n0 N : an+1an bn+1

bn, ()n n0.

Atunci au loc proprietatile:

(a)n1 bn convergenta =

n1 an convergenta.

(b)n1 an divergenta =

n1 bn divergenta.

Demonstratie. Inegalitatea

an+1an bn+1

bn, ()n n0

poate fi transcrisa n forma

an+1bn+1

anbn, ()n n0,

de unde rezulta ca anbn an0

bn0, ()n n0, adicaanan0 bnbn0

, ()n n0.

Deoarece seriilen1 an si

n1

anan0

, respectivn1 bn si

n1

bnbn0

au aceeasi

natura, din ultima inegalitate si primul criteriu de comparatie rezulta afirmatiile

din enunt.

C5) Criteriul condensarii.

Fien1 an o serie de numere reale pozitive, ai carei termeni formeaza un

sir descrescator, convergent catre 0. Atunci serian1 an are aceeasi natura

ca si serian0 2na2n .

Demonstratie. Deoarece sirul sumelor partiale al seriein1 an este

monoton, seria este convergenta daca si numai daca sirul sumelor partiale

este marginit, sau, ceea ce este echivalent(datorita monotoniei), daca si nu-

mai daca sirul sumelor partiale are un subsir marginit.

Deoarece sirul (an) este descrescator, avem inegalitatile

2ka2k s2k+1 s2k 2ka2k+1 , ()k N.

Adunand inegalitatile acestea pentru k = 0, n 1, obtinem atuncin1k=0

2ka2k s2n 1

2

nk=1

2ka2k , ()n N.


Din primul criteriu de comparatie deducem atunci ca seriilen1 an si

n0 2na2n au aceeasi natura.

Aplicatie(Seriile armonice generalizate).

Fie > 0 un numar real pozitiv. Serian1

1n

se numeste seria armonica

generalizata de grad . Termenii ei sunt pozitivi si descresc catre 0, astfel

ca putem folosi criteriul condensarii pentru a studia convergenta ei. Prin

urmare n1

1

n

n02n

1

(2n).

Studiem acum serian0 2n

1(2n)

. Avem

n0

2n1

(2n)=n0

(2

2

)n=n0

(1

21

)n.

Aceasta este o serie geometrica, de ratie 121 . Ea este convergenta daca si

numai daca ratia este subunitara. Aceasta conditie este n cazul nostru

1

21< 1 21 > 1 1 > 0 > 1.

Am obtinut deci urmatorul rezultat:

Seria armonica generalizata de grad este

convergenta, daca > 1divergenta, daca 1C6) Criteriul radacinii(al lui Cauchy).

Fien1 an o serie de numere reale pozitive si fie l = lim n

an. Atunci:

(a) Daca l < 1, serian1 an este convergenta.

(b) Daca l > 1, serian1 an este divergenta.

(c) Daca l = 1, natura seriein1 an poate fi oricare.

Demonstratie. (a) Daca l < 1, atunci exista n0 N cu proprietatea canan 1. Dar atunci nu putem avea limn an = 0.Prin urmare, conform criteriului necesar de convergenta, seria

n=1 an nu

este convergenta.

(c) Daca l = 1, este suficient sa indicam doua serii cu aceasta proprietate,

dintre care una sa fie convergenta, iar cealalta sa fie divergenta. Consideram

seriilen=1

1n

sin=1

1n2

. Deoarece pentru orice functie polinomiala P cu

coeficientul dominant pozitiv are loc

limn

n

P (n) = 1,

rezulta ca lim n

1n

= lim n

1n2

= 1, dar prima serie este divergenta, iar a doua

convergenta.

In foarte multe situatii este utila urmatoarea

C6) Varianta practica a criteriului radacinii

Fien1 an o serie de numere reale pozitive astfel ncat exista limita l =

limn nan. Atunci:

(a) Daca l < 1, serian1 an este convergenta.

(b) Daca l > 1, serian1 an este divergenta.


Exemplu.n1

n

2neste convergenta, R.

Intr-adevar,

nan =

n

n

2n 1

2< 1 =

=n1

n

2nconvergenta.

Exemplu.n2

1(lnn)n

este convergenta.

Observam n primul rand ca seria ncepe de la n = 2 deoarece 1(ln 1)1

nu este

definit.

nan =

n

1

(lnn)n=

1

lnn 0 < 1 =

=n2

1

(lnn)nconvergenta.

C7) Criteriul raportului(al lui dAlembert).

Fien1 an o serie de numere reale pozitive. Atunci:


(a) Daca liman+1an

< 1, serian1 an este convergenta.

(b) Daca ()n0 N, astfel ncat an+1an 1, ()n n0 serian1 an este

divergenta.

(c) Daca liman+1an

= 1, natura seriein1 an poate fi oricare.

Demonstratie. (a) Daca liman+1an

< 1, atunci exista n0 N astfel ncatan+1an

< l+12, ()n n0. Dar atunci

an+1an

1, serian1 an este divergenta.


Exemplu. Aratam can1

n2n

este convergenta.

Cu notatia an =n2n

, avem

an+1an

=n+ 1

2n 1

2< 1 =

=n1

n

2nconvergenta.

C8) Criteriul lui Kummer.

Fien1 an o serie de numere reale pozitive.


(a) Daca exista un sir (tn) de numere pozitive, un numar r > 0 si n0 Ncu proprietatea ca

tnanan+1

tn+1 r, ()n n0,

atunci serian1 an este convergenta.

(b) Daca exista un sir (tn) de numere pozitive cu proprietatea ca serian=1

1tn

este divergenta si un numar natural n0 N cu proprietatea ca

tnanan+1

tn+1 0, ()n n0,

atunci serian1 an este divergenta.

Demonstratie. (a) Din inegalitatea tnanan+1 tn+1 r, deducem ca

ran+1 tnan tn+1an+1, ()n n0,

de unde obtinem sirul de inegalitati

ran0+1 tn0an0 tn0+1an0+1ran0+2 tn0+1an0+1 tn0+2an0+2

. . . . . . . . .

ran+1 tnan tn+1an+1.Adunand aceste inegalitati, obtinem ca

r(sn sn0) tn0an0 tn+1an+1 tn0an0 , ()n n0,

deci

sn sn0 +1

rtn0an0 , ()n n0,

adica sirul sumelor partiale este marginit, si cum el este si monoton crescator,

este convergent. Serian1 an este deci convergenta.

(b) Inegalitatea tnanan+1

tn+1 0 este echivalenta cu anan+1 tn+1tn

sautntn+1 an+1

an. Deoarece seria

n=1

1tn

este divergenta, din al treilea criteriu

de comparatie rezulta ca serian1 an este divergenta.

C9) Criteriul lui Raabe si Duhamel.

Fien1 an o serie de numere reale pozitive.

(a) Daca exista un numar > 1 si un numar natural n0 N astfel ncat

n

(anan+1

1) , ()n n0,


atunci serian1 an este convergenta.

(b) Daca exista un numar natural n0 N astfel ncat

n

(anan+1

1) 1, ()n n0,

atunci serian1 an este divergenta.

Demonstratie. Aplicam criteriul lui Kummer, considerand sirul tn = n.

Putem scrie

tnanan+1

tn+1 = n(anan+1

1) 1.

(a) Notand r = 1, avem r > 0 si este ndeplinita conditia

tnanan+1

tn+1 r, ()n n0,

care conform criteriului lui Kummer ne asigura convergenta seriei date.

(b) Daca n(

anan+1 1

) 1, ()n n0, atunci

tnanan+1

tn+1 0, ()n n0,

si serian1 an este divergenta.

Varianta practica a criteriului Raabe-Duhamel

Fien1 an o serie de numere reale pozitive si sa presupunem ca exista

l = limn n( anan+1 1). Atunci:(a) Daca l > 1, atunci seria

n1 an este convergenta.

(b) Daca l < 1, atunci serian1 an este divergenta.


1.3 Criterii de convergenta pentru serii cu

termeni oarecare

Definitie. O serien1 an de numere reale se numeste serie absolut con-

vergenta daca are proprietatea ca serian1 |an| este convergenta. O serie

convergentan1 an cu proprietatea ca seria

n1 |an| este divergenta se

numeste serie semiconvergenta.

1.3. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII CU TERMENI OARECARE17

Definitie. Un sir (un)n1 se numeste sir fundamental(sau sir Cauchy) daca

este satisfacuta urmatoarea conditie:

() > 0 = ()n :| un+p un |< , ()n n, p N.

Se poate demonstra ca un sir de numere reale este convergent daca si numai

daca este fundamental. In cazul seriilor obtinem atunci urmatorul criteriu

de convergenta:

C1) Criteriul lui Cauchy.

Fien1 an o serie de numere reale. Atunci

n1 an este convergenta daca

si numai daca

() > 0 = ()n 1 :n+p

k=n+1

ak

< , ()n n, p N.Corolar. Orice serie absolut convergenta este convergenta.

Corolar. Printr-o permutare a termenilor unei serii absolut convergente se

obtine tot o serie absolut convergenta, avand aceeasi suma.

C2) Criteriul lui Abel.

Daca seria de numere realen1 an are sirul sumelor partiale (sn)n1 marginit,

iar (n)n1 este un sir de numere pozitive descrescator la 0, atunci serian1 n an este convergenta.

Definitie. O serien1 an se numeste serie alternanta daca are loc relatia

an an+1 < 0, ()n 1. O asemenea serie se scrie

u1 u2 + u3 u4 + . . .+ u2n1 u2n + . . . ,

unde un > 0, ()n 1 sau un < 0, ()n 1.

Pentru serii alternante are loc urmatorul criteriu de convergenta:

C3) Criteriul lui Leibniz.

Fien1(1)nan o serie alternanta de numere reale. Daca sirul (an)n1

este monoton convergent la zero, atunci seria este convergenta.


Exemplu. Serian1(1)n 1n este convergenta, deoarece sirul ( 1n)n1 de-

screste catre zero.

1.3. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII CU TERMENI OARECARE19

CRITERII DE CONVERGENTA

(Tabel recapitulativ)

Criterii Descriere Exemple si comentarii

Criteriul de Serian=0 r

n esten=0

12n

este

convergenta convergenta, cu suma convergenta, cu suma 2pentru seriile 1

1r daca |r| < 1geometrice divergenta daca |r| 1 n=0 2n este divergentaCriteriul Daca (an)n1 nu converge Daca an 0 atuncisuficient la 0, atunci

n=0 an

n=0 an poate fi

de divergenta este divergenta. convergenta(n=0

1n2

)

sau divergenta(n=0

1n)

Criteriul Daca 0 an bn, ()n Nu este necesar cacomparatiei (sau an+1

an bn+1

bn, ()n) an bn(sau an+1an

bn+1bn

,

sin=0 bn este convergenta, etc.) pentru toti n N,

atuncin=0 an ci doar pentru n N ,

este convergenta. unde N N este fixat Daca 0 bn an, ()n (convergenta sau(sau an+1

an bn+1

bn, ()n) divergenta unei serii

sin=0 bn este divergenta, nu este afectata

atuncin=0 an de valorile primilor

este divergenta. catorva termeni)

Criteriul den=0

1n este Seriile armonice

convergenta divergenta daca 1 generalizate se folosescpentru serii convergenta daca > 1. pentru studiul naturii

armonice unor serii cu ajutorul

generalizate criteriilor de comparatie


Criteriul Daca an 0, bn 0 Acest criteriu se folosestecomparatiei si exista l > 0 pentru a studia natura unei

cu limita astfel ncat seriin=0 an si

limn anbn = l, putem gasi o serie

atunci seriilen=0 bn, astfel ncat

n=0 an,n=0 bn (a) cunoastem natura

sunt fie seriein=0 bn

ambele convergente, (b) Limita limn anbn este

fie ambele divergente usor calculabila

Criteriul Daca an > 0 si Daca l = 1, atunci

raportului limnan+1an

= l, seria poate fi

(DAlembert) atuncin1 an este convergenta(

n=1

1n2

)

convergenta sau divergenta(n=1 1n).daca l < 1 si

divergentadaca l > 1.

Criteriul Daca an > 0 si Daca l = 1, atunci

radacinii l = limn nan, seria poate fi

(Cauchy) atuncin1 an este convergenta(

n=1

1n2

)

convergenta sau divergenta(n=1 1n).daca l < 1 si * Criteriul radacinii

divergenta se aplica cel maidaca l > 1. frecvent atunci cand an

este de forma an = (. . .)n

( 1

(lnn)n=

( 1lnn

)n)

Criteriu pentru Serian1(1)nan, Daca an 6 0

serii alternante cu an 0, este seria este divergenta.(Leibniz) convergenta daca Criteriul lui Leibniz

(i) limn an = 0 si se aplica

(ii) (an)n1 este numai daca

descrescator termenii seriei sunt

cu semne alternante

Criteriul Dacan1 |an| Pentru studiul convergentei

convergentei converge, atunci seriein1 |an|

absoluten1 an converge se pot folosi criteriile

absolut de convergenta

pentru serii cu

termeni pozitivi

1.4. PROBLEME PROPUSE 21

1.4 Probleme propuse

Calculati sumele urmatoarelor serii

1.n0

14n

2.n2

12n

3.n0

1005n

4.n2

1n(n+1)

5.n0

1(n+1)(n+2)

6.n2

2(n+3)

3n

7.n4

5(n2)6(n+1)

8.n0

5n

100

9.n3

1n(n1) 10.

n0

(1

2n+ 1

5n

)Studiati natura urmatoarelor serii

11.n1

2n

n212.

n1

rn

nr , r (0, 1)

13.n1

rn

nr , r 1 14. n2 n!nn

15.n1

nn

(2n)!16.

n1

en

n5

17.n1

en

n!18.

n1

n23

10k

19.n2

n(lnn)n

20.n1

3n+nn!+2

21.n1

4n

n322.

n1

n lnnn3+1

23.n1

34n+5

nn24.

n1

n2n!(2n)!

25.n1

(2n)!n2n!

26.n1(

n!nn

)n

27.n1(

nn

n!)n 28.

n2

en

(lnn)n

29.n1

(lnn)n

n230.

n1(

n3n+2

)n

Aflati care dintre urmatoarele serii sunt convergente, absolut convergente,


respectiv divergente

31.n1(1)n 32.

n1

(1)n+12n

33.n2

(1)nn lnn

34.n1

(1)nn32

35.n2

(1)nnlnn

36.n1

(1)n lnnn

37.n1

(1)n+15n4 38.

n1 sin

npi2

39.n0 cos

npi2

40.n1

(3)nn!

41.n1

n!(3)n 42.

n1

(2)nn2

43.n1

n2

(2)n 44.n2

(1)n+1n(n+1)

45.n2

(1)nn2n3+1

46.n1

cos(npi6

)

n2

47.n1

sin(npi7

)

n348.

n1

(1)n(n+2)n(n+1)

49.n2

(1)nn(n+1)(n+2)3

50.n2

(1)nn(n+1)(n+2)4

51.n1

(1)n2nn

52.n1

(1)n+1n!

53.n1

(1)nnnn!

54.n1

(1)nnn+3

55.n2

(1)n(n2+3)n3+4

2Serii de puteri

Definitie. Fie a un numar real oarecare si (an)nN un sir de numere.

Numim serie de puteri(sau serie Taylor) centrata n punctul a, cu coeficientii

an, seria n=0

an(x a)n,

n care numarul x R reprezinta o variabila.

Exemplu. Seriile urmatoare sunt cateva serii de puteri centrate n 0:

1 + x+ x2 + . . .+ xn + . . .

1 x3

+ x2

5 . . .+ (1)n xn

2n+1+ . . .

1 + x1!

+ x2

2!+ . . .+ x

n

n!+ . . .

Definitie. Seriile de puteri centrate n punctul 0 se mai numesc si serii

MacLaurin.

Definitie. (i) Spunem ca o serie de puteri converge n punctul x daca serian=0 an(x a)n este convergenta. In caz contrar spunem ca seria diverge

n x.

(ii) Spunem ca o serie de puteri converge pe o multime D daca ea converge

n orice punct x D.

Exemplu. Vom ncerca sa determinam punctele x R n care convergeseria de puteri

n=0

xn

3n= 1 +

x

3+x2

32+x3

33+ . . .

23

24 2. SERII DE PUTERI

Solutie. Al n-lea termen al seriei este an =xn

3n. Aplicam criteriul raportului

pentru a studia convergenta seriei

n=0

xn3n .

Avem

limn

|an+1||an| =

x3 .

Deducem ca pentru x R cu |x| < 3, seria initiala este absolut convergenta,iar daca |x| > 3, deoarece limn |an| = 6= 0, seria este divergenta. Saconsideram acum separat cazul cand |x| = 3.

Pentru x = 3, seria initiala de puteri devine

n=0

xn

3n=n=0

3n

3n=n=0

1n,

care este evident divergenta.

Pentru x = 3,n=0

xn

3n=n=0

(3)n3n

=n=0

(1)n,

care diverge de asemenea.

Problema centrala n studiul seriilor de puteri este determinarea multimii

numerelor reale pentru care seria este convergenta.

Definitie. Multimea

K ={x R

n=0

an(x a)n -convergenta},

se numeste multimea de convergenta a seriei.

Observatie. Oricare ar fin=0 an(x a)n o serie de puteri centrata n

punctul a, are loc a K, deoarece pentru x = a, seria de puteri devine

a0 + 0 + 0 + . . .+ 0 + . . .

Prin urmare, K este o multime nevida.

Lema. (i) Daca o serie de puterin=0 an(x a)n converge ntr-un punct

t R, atunci ea converge absolut n orice punct x R cu |x a| < |t a|.

25

(ii) Daca o serie de puterin=0 an(x a)n diverge ntr-un punct t R,

atunci ea diverge n orice punct x R cu |x a| > |t a|.Demonstratie. (i) Din criteriul necesar de convergenta rezulta ca limn an(ta)n = 0. Prin urmare exista n0 N cu proprietatea ca |an(t a)n| R.Demonstratie. Fie

R = sup

{|t a| [0,)

n=0

an(t a)n - convergenta}.

Din lema de mai sus rezulta ca numarul R verifica toate afirmatiile din

enuntul teoremei.

Definitie. Numarul R din enuntul teoremei de mai sus se numeste raza de

convergenta a seriei de puteri, iar intervalul deschis I = (a R, a + R) senumeste intervalul de convergenta al seriei de puteri.

Observatie. Afirmatia teoremei I a lui Abel se poate sintetiza n relatia

()R [0,] : (aR, a+R) K [aR, a+R].

Observatie. In cazul cand R (0,), teorema lui Abel nu spunenimic despre convergenta sau divergenta seriei de puteri n capetele


a R si a + R ale intervalului de convergenta. Convergenta serieide puteri n aceste puncte se studiaza separat, folosind diverse

criterii de convergenta(cum ar fi criteriul necesar, criteriile de

comparatie, Raabe-Duhamel, Leibniz,. . . ).

Este utila si urmatoarea

Propozitie. Daca seria de puteri este absolut convergenta ntr-unul dintre

capetele a R sau a + R ale intervalului de convergenta, atunci ea esteabsolut convergenta si n celalalt capat.

Demonstratie. Avem ca

|an(aR a)n| = |an(R)n| = |anRn| = |an(a+R a)n|,

de unde rezulta ca afirmatia propozitiei este triviala.

Raza de convergenta a unei serii de puteri este data de

Teorema lui Cauchy si Hadamard. Fien=0 an(xa)n o serie de puteri

si R raza sa de convergenta. Daca notam

= lim n|an|, atunci R = 1

.

(Folosim aici conventiile uzuale 10

=, 1 = 0.)Demonstratie. Fie x R un numar real oarecare. Atunci

lim n|an(x a)n| = |x a|lim n

|an| = |x a|.

(i) Daca |x a| < 1

, atunci

lim n|an(x a)n| < 1,

de unde, conform criteriului radacinii, rezulta ca serian=0 an(x a)n este

absolut convergenta.

(ii) Daca |x a| < 1

, atunci

lim n|an(x a)n| > 1,

de unde rezulta ca termenul general al seriein=0 an(x a)n nu converge

la 0, deci seria este divergenta.

Din cele demonstrate la (i) si (ii) obtinem ca numarul

R =1

27

este raza de convergenta a seriei date.

Exemplu. 1) Pentru seria

1 + x+ x2 + . . .+ xn + . . . =n=0

xn

avem n|an| = 1, ()n 2, deci = 1, si atunci R = 1.

2) Pentru

1 +x

1!+x2

2!+ . . .+

xn

n!+ . . . =

n=0

1

n!xn,

n

|an| = n

1n!

, = lim n

1n!

= 0, si R =.

Uneori raza de convergenta poate fi gasita pe o cale ceva mai simpla:

Propozitie. Fien=0 an(x a)n o serie de puteri. Daca exista limita

limn|an+1||an| , atunci

= limn

|an+1||an| ,

deci pentru raza de convergenta R = 1

avem n acest caz

R = limn

|an||an+1| .

Exemplu. Determinam multimea de convergenta a seriei de puteri

x

1+x2

2+x3

3+ . . .+

xn

n+ . . .

Coeficientul termenului general al seriei date este an =1n. Deoarece exista

limn|an+1||an| = limn

nn+1

= 1, avem = 1, deci R = 1. Intervalul

de convergenta este deci I = (1, 1) si pentru multimea de convergenta Kavem I K [1, 1]. Ramane sa mai studiem convergenta seriei de puterin capetele intervalului de convergenta.

Pentru x = 1, seria de puteri devine seria armonica, care este divergenta.

Deci 1 6 K.Pentru x = 1, seria de puteri devine o serie alternanta, pentru care mod-ulele termenilor formeaza un sir descrescator, convergent la 0. Conform cri-

teriului lui Leibniz, aceasta este o serie convergenta, deci rezulta ca 1 K.Am dedus astfel ca multimea de convergenta a seriei de puteri date este

K = [1, 1).


2.1 Suma unei serii de puteri

Definitie. Fien=0 an(x a)n o serie de puteri si K multimea sa de

convergenta. Pentru fiecare x K sa notam

(x) =n=0

an(x a)n = a0 + a1(x a) + a2(x a)2 + . . .+ an(x a)n + . . .

Am definit astfel o functie : K R : x 7 (x). Functia aceasta senumeste suma seriei de puteri

n=0 an(x a)n.

Observatie. Suma unei serii de puteri este o functie definita numai pe

multimea de convergenta a seriei de puteri, desi functiile putere an(x a)ncare sunt termenii seriei de puteri sunt definite pe ntreaga multime R a

numerelor reale.

Exemplu. 1) Seria

1 + x+ x2 + . . .+ xn + . . . =n=0

xn

are multimea de convergenta este K = (1, 1). Pentru orice x K, seriacorespunzatoare(care este o seria geometrica) are suma

(x) = 1 + x+ x2 + . . .+ xn + . . . =1

1 x.

Functia f : R \ {1} R : x 7 11x este nsa diferita de , deoarece are

un alt domeniu de definitie.

Functia suma asociata unei serii de puteri are urmatoarele proprietati:

Propozitie. Suma unei serii de puterin=0 an(x a)n este o functie

continua pe intervalul de convergenta.

Teorema II a lui Abel. Fien=0 an(xa)n o serie de puteri si R raza sa

de convergenta. Daca seria este convergenta n punctul aR(sau n a+R),atunci suma a seriei este continua n acest punct.

Observatie. Prin urmare, suma unei serii de puteri este o functie continua

pe ntregul ei domeniu de definitie.

2.2. OPERATII CU SERII DE PUTERI 29

2.2 Operatii cu serii de puteri

Propozitie. Fien=0 an(x a)n si

n=0 bn(x a)n doua serii de puteri

centrate ntr-un acelasi punct a, si fie un numar real nenul oarecare. Daca

R1 si R2 sunt razele de convergenta ale celor doua serii, atunci:

1) raza de convergenta R a seriei suman=0(an + bn)(x a)n verifica ine-

galitatea

R inf(R1, R2).2) raza de convergenta a seriei

n=0

an(x a)n =n=0

an(x a)n

este R1.

3) raza de convergenta R a seriei produsn=0 cn(xa)n, ai carei coeficienti

sunt dati prin

cn = a0bn + a1bn1 + . . .+ anb0 =nk=0

akbnk,

verifica inegalitatea

R inf(R1, R2).Observatie. Multimea seriilor de puteri centrate ntr-un punct formeaza

un spatiu vectorial n raport cu operatiile de adunare (1) si nmultire cu

scalari (2), respectiv un inel n raport cu operatiile de adunare (1) si nmultire

(3).

2.3 Derivarea seriilor de puteri

Definitie. Fien=0 an(x a)n o serie de puteri:

a0 + a1(x a) + a2(x a)2 + . . .+ an(x a)n + . . .

Seria care are ca termeni derivatele termenilor acestei serii,

a1 + 2a2(x a) + 3a3(x a)2 + . . .+ nan(x a)n1 + . . .

este de asemenea o serie de puteri, pe care o vom numi seria derivatelor

seriein=0 an(x a)n. Pentru cele doua serii are loc atunci urmatoarea


proprietate:

Propozitie. Dacan=0 an(x a)n este o serie de puteri, avand suma ,

atunci:

1) Seria derivatelor are aceeasi raza de convergenta.

2) Functia este derivabila pe intervalul de convergenta, si derivata sa

coincide pe acest interval cu suma seriei derivatelor.

Corolar. O serie de puteri poate fi derivata termen cu termen.

Exemplu. Seria derivatelor a seriei de puteri

1 + x+ x2 + . . .+ xn + . . .

este

1 + 2x+ 3x2 + . . .+ nxn1 + . . .

Deoarece pentru suma primei serii de puteri avem

1 + x+ x2 + . . .+ xn + . . . =1

1 x, ()x (1, 1),

suma seriei derivatelor va fi

1 + 2x+ 3x2 + . . .+ nxn1 + . . . =1

(1 x)2 , ()x (1, 1).

2.4 Integrarea seriilor de puteri

Propozitie. Dacan=0 an(x a)n este o serie de puteri, avand suma ,

atunci:

1) Serian=0

ann+1

(xa)n+1 este o serie de puteri cu aceeasi raza de convergenta.2) Suma a seriei

n=0

ann+1

(x a)n+1 este o primitiva a functiei .

Corolar. O serie de puteri poate fi integrata termen cu termen.

Exemplu. Consideram seria de puteri

1 x2 + x4 x6 + . . .+ (1)nx2n + . . .

care este convergenta pentru x (1, 1). Suma ei este

1 x2 + x4 x6 + . . .+ (1)nx2n + . . . = 11 + x2

, ()x (1, 1).


Integrand termen cu termen n ultima relatie, obtinem

arctg(x) = x x3

3+x5

5 x

7

7+ . . .+ (1)n x

2n+1

2n+ 1+ . . . , ()x (1, 1).

Deoarece pentru x = 1, seria 1 13

+ 15 1

7+ . . . + (1)n 1

2n+1+ . . . este

convergenta(conform criteriului lui Leibniz), din teorema a II-a a lui Abel

deducem ca

pi

4= arctg(1) = lim

x1 arctg(x) =

= limx1(x

x3

3+x5

5 x

7

7+ . . .+ (1)n x

2n+1

2n+ 1+ . . .) =

= 1 13

+1

5 1

7+ . . .+ (1)n 1

2n+ 1+ . . .

Am obtinut deci identitatea

pi

4= 1 1

3+

1

5 1

7+ . . .+ (1)n 1

2n+ 1+ . . . ,

care a fost descoperita de Leibniz. Pentru demonstratia convergentei seriei

din membrul drept, el a folosit pentru prima data criteriul de convergenta

pentru serii alternante care astazi i poarta numele.


Determinati intervalele de convergenta si domeniile de convergenta ale urmatoarelor

serii de puteri:


1.n=0 x

n 2.n=1

xn

n2n

3.n=1

x2n12n1 4.

n=1

2n1x2n1(4n3)2

5.n=1

(1)n1xnn

6.n=0

(n+1)5x2n

2n+1

7.n=0(1)n(2n+ 1)2xn 8.

n=0

xn

n!

9.n=0 n!x

n 10.n=1

xn

nn

11.n=1(

n2n+1

)2n1xn 12.n=0 3

n2xn2

13.n=1

nn+1

(x2)n 14.

n=1

n!xn

nn

15.n=2

xn1n3nln(n)

16.n=0 x

n!

17.n=0 n!x

n! 18.n=1

xn2

2n1nn

19.n=1

xnn

nn20.

n=1

(1)n1(x5)nn3n

21.n=1

(x3)nn5n

22.n=1

(x1)nn9n

23.n=1

(1)n1(x2)2n2n

24.n=1

(x+3)n

n2

25.n=1 n

n(x+ 3)n 26.n=1

(x+5)2n12n4n

27.n=1

(x2)n(2n1)2n 28.

n=1

(1)n+1(2n1)2n(x1)n(3n2)2n

29.n=1

n!(x+3)n

nn30.

n=1

(x+1)n

(n+1)ln2(n+1)

31.n=1

(x+2)n2

nn32.

n=1(1 +

1n)n

2(x 3)n

Prin derivare sau integrare, sa se calculeze sumele seriilor de puteri:


33. x+ x2

2+ x

3

3+ . . .+ x

n

n+ . . .

34. x x22

+ x3

3 . . .+ (1)n1 xn

n+ . . .

35. x+ x3

3+ x

5

5+ . . .+ x

2n12n1 + . . .

36. x x33

+ x5

5 . . .+ (1)n1 x2n1

2n1 + . . .

37. 1 + 2x+ 3x2 + . . .+ (n+ 1)xn + . . .

38. 1 3x2 + 5x4 . . .+ (1)n1(2n 1)x2n2 + . . .39. 1 2 + 2 3x+ 3 4x2 + . . .+ n(n+ 1)xn1 + . . .

Gasiti sumele seriilor:

40. 1x

+ 2x2

+ 3x3

+ . . .+ nxn

+ . . .

41. x+ x5

5+ x

9

9+ . . .+ x

4n34n3 + . . .

42. 1 133 +

1532 . . .+ (1)n1 1(2n1)3n1 + . . .

43. 12

+ 322

+ 523

+ . . .+ 2n12n

+ . . .

3Formula lui Taylor

Definitie. Fie f : I R o functie, derivabila de n ori ntr-un puncta I. Pentru fiecare x I putem atunci defini polinomul

Tn(x) = f(a) +f (a)

1!(x a) + f(a)

2!(x a)2 + . . .+ f

(n)

n!(a)(x a)n.

Polinomul Tn(x) se numeste polinomul Taylor de gradul n(sau de ordinul n)

asociat functiei f n punctul a.

Definitie. Daca pentru fiecare x I notam

Rn(x) = f(x) Tn(x),

atunci vom putea scrie

f(x) = f(a) +x a

1!f (a) +

(x a)22!

f(a) + . . .+(x a)n

n!f (n)(a) +Rn(x),

oricare ar fi x I. Aceasta egalitate se numeste formula lui Taylor deordinul n corespunzatoare functiei f n punctul a. Functia Rn se numeste

restul de ordinul n al formulei lui Taylor.

Observatie. Polinomul lui Taylor Tn(x) are proprietatea ca

T (k)n (a) = f(k)(a), ()k = 0, n.

Corolar. Restul de ordinul n al formulei lui Taylor este o functie derivabila

de n ori n punctul a si

R(k)n (a) = 0, ()k = 0, n.

35

36 3. FORMULA LUI TAYLOR

Observatie. Pentru restul Rn de ordin n al formulei lui Taylor are loc

proprietatea

limxa

Rn(x)

(x a)n = 0.

Propozitie. Daca f este derivabila de n ori n punctul a I, atunci existao functie (x) definita pe I astfel ca

limxa(x) = 0 = (a)

si astfel ca pentru orice x I sa avem

f(x) = f(a) +x a

1!f (a) +

(x a)22!

f(a) + . . .+

+(x a)n

n!f (n)(a) +

(x a)nn!

(x).

In continuare vom presupune ca f este derivabila de n+ 1 ori pe ntreg

intervalul I. Pentru restul de ordinul n al formulei lui Taylor vor fi atunci

valabile urmatoarele formule:

1) Pentru orice numar natural p, cu 1 p n + 1 exista cuprins ntre asi x astfel ca

Rn(x) =(x a)p(x )np+1

n!pf (n+1)().

In aceasta forma, Rn se numeste restul lui Schlomlich-Roche pentru formula

lui Taylor.

2) Daca n formula de mai sus punem p = 1, obtinem restul lui Cauchy

pentru formula lui Taylor:

Rn(x) =(x a)(x )n

n!f (n+1)().

3) Daca n formula de la 1) luam p = n + 1, obtinem restul lui Lagrange

pentru formula lui Taylor

Rn(x) =(x a)n+1

(n+ 1)!f (n+1)().

Observatie. Punctul intermediar depinde de a, x, n si p. Prin urmare,

punctul nu este neaparat acelasi pentru cele trei formule de mai sus.

Observatie. Deoarece este cuprins ntre a si x, exista un numar (care

depinde de asemenea de a, x, n si p) astfel ncat 0 < < 1 si

= a+ (x a).

37

Daca notam h = x a, atunci = a+ h, si formula lui Taylor se va scrie

f(a+ h) = f(a) +h

1f (a) +

h2

2f(a) + . . .+

hn

n!f (n)(a) +Rn,

unde restul Rn poate avea una din formele:

Rn =hn+1(1)np+1

n!pf (n+1)(a+ h) (Schlomlich-Roche);

Rn =hn+1(1)n

n!f (n+1)(a+ h) (Cauchy);

Rn =hn+1

(n+1)!f (n+1)(a+ h) (Lagrange).

Exercitiu. Scrieti formula lui Taylor cu restul lui Lagrange n punctul 0

pentru urmatoarele functii:

1) f : R R, f(x) = ex.2) f : R R, f(x) = sin(x).3) f : R R, f(x) = cos(x).4) f : (1,) R, f(x) = ln(1 + x).

Definitie. Fie f : I R o functie indefinit derivabila ntr-un puncta I. Atunci putem considera seria urmatoare:

f(a) +x a

1!f (a) +

(x a)22!

f(a) + . . .+(x a)n

n!f (n)(a) + . . .

Aceasta serie de puteri se numeste seria Taylor a functiei f n punctul

a. Ea are o raza de convergenta 0 R , o multime de convergentanevida K care contine cel putin punctul a, si un interval de convergenta(a R, a + R) K. Pe multimea K este definita functia suma T a acesteiserii de puteri.

Sumele partiale ale seriei Taylor a functiei f n punctul a sunt evident

polinoamele Taylor asociate functiei f n punctul a. Deoarece pentru nu-

mere x aflate aproape de numarul a, polinoamele Tn(x) aproximeaza din

ce n ce mai bine functia f(x), se pune ntrebarea daca vom putea scrie

f(x) = T (x), ()x I K.

Raspunsul la aceasta ntrebare este dat de urmatoarea

Teorema. Seria Taylor a functiei f n punctul a este convergenta ntr-un

punct x IK catre valoarea f(x) a functiei f n x daca si numai daca val-orile n x ale resturilor Rn ale formulelor lui Taylor formeaza un sir (Rn(x))

convergent catre 0.


3.1 Serii Taylor pentru functii de doua vari-

abile

Dezvoltarea n serie Taylor a unei functii f(x, y) n jurul unui punct (a, b)

are forma

f(x, y) = f(a, b) +1

1![(x a)

x+ (y b)

y]f(a, b)+

+1

2![(xa)

x+(yb)

y]2f(a, b)+. . .+

1

n![(xa)

x+(yb)

y]nf(a, b)+. . . ,

unde

[(x a) x

+ (y b) y

]f(a, b) =f

x(a, b)(x a) + f

y(a, b)(y b),

[(x a) x

+ (y b) y

]2f(a, b) =2f

x2(a, b)(x a)2+

+22f

xy(a, b)(x a)(y b) +

2f

y2(a, b)(y b)2,

s.a.m.d.


1. Aratati ca

i) ex = 1 + x1!

+ x2

2!+ . . .+ x

n

n!+ . . . , ()x R

ii) sin(x) = x x33!

+ x5

5! . . .+ (1)n1 x2n1

(2n1)! + . . . , ()x Riii) cos(x) = 1 x2

2!+ x

4

4! . . .+ (1)n x2n

(2n)!+ . . . , ()x R

iv) ln(1 + x) = x x22

+ x3

3 . . .+ (1)n1 xn

n+ . . . , ()x (1, 1]

v) ln(1 x) = x x22 x3

3 . . . xn

n . . . , ()x [1, 1)

vi) (1 + x)m = 1 + m1!x + m(m1)

2!x2 + . . . + m(m1)...(mn+1)

n!xn + . . . , ()x

(1, 1)

2. Determinati dezvoltarile n serie MacLaurin ale urmatoarelor functii,

indicand si intervalele n care este valabila fiecare dezvoltare:


i) f(x) = ax; ii) f(x) = sin(x+ pi4);

iii) f(x) = cos(x+ a); iv) f(x) = sin2(x);

v) f(x) = ln(2 + x); vi) f(x) = 2x3(x1)2 ;

vii) f(x) = 3x5x24x+3 ; viii) f(x) = cos

2(x);

ix) f(x) = x1+x2

; x) f(x) = 14x2 ;

xi) f(x) = ch(x); xii) f(x) = sh(x);

xiii) f(x) = ln(1+x1x); xiv) f(x) = (1 + x) ln(1 + x);

xv) f(x) = ln(x+

1 + x2); xvi) f(x) = arctg(x);

xvii) f(x) = arcsin(x); xviii) f(x) = ln(1 + x 2x2));xix) f(x) = (1 + x)ex; xx) f(x) = 3

8 + x.

3. Scrieti primii trei termeni nenuli ai dezvoltarilor n serie MacLaurin ale

urmatoarelor functii:

i)f(x) = tg(x); ii)f(x) = th(x); iii)f(x) = ln(cos(x));

iv)f(x) = ecos(x); v)f(x) = esin(x).

4. Dezvoltati functia f(x) = x32x25x2 n serie de puteri ale lui x+4.

5. Dezvoltati functia f(x) = ln(x) n serie de puteri ale lui x 1.

6. Dezvoltati functia f(x) = 1x

n serie de puteri ale lui x 1.

7. Dezvoltati functia f(x) = 1x2

n serie de puteri ale lui x+ 1.

8. Dezvoltati functia f(x) = 1x2+3x+2

n serie de puteri ale lui x+ 4.

9. Dezvoltati functia f(x) =x n serie de puteri ale lui x+ 2.

10. Dezvoltati functia f(x) = cos(x) n serie de puteri ale lui x pi2.

11. Dezvoltati functia f(x) = ln(x) n serie de puteri ale lui 1x1+x

.

12. Dezvoltati functia f(x) = x1+x

n serie de puteri ale lui x1+x

.

13. Folosind dezvoltarea functiei arctg(x), aflati numarul pi cu o zecimala

exacta.


14. Folosind dezvoltarea functiei ex, aflati numarul e cu trei zecimale exacte.

15. Dezvoltati n serie de puteri ale lui x si y urmatoarele functii:

i) f(x, y) = sin(x) sin(y), ii) f(x, y) = ln(1 x y + xy),iii) f(x, y) = sin(x2 + y2), iv) f(x, y) = arctg( x+y

1xy )

v) f(x, y) = 1x+y1+xy .

16. Fie f(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2. Dezvoltati f(x + h, y + k) n serie de

puteri ale lui h si k.

17. Dezvoltati ex+y n serie de puteri ale lui x 2 si y + 2.

18. Dezvoltati sin(x+ y) n serie de puteri ale lui x si y pi2.

19. Scrieti formula lui Taylor de ordinul doi n punctul (0, 0) pentru

urmatoarele functii:

i) f(x, y) = ex cos(y), ii) f(x, y) = (1 + x)1+y.

4Notiuni de topologie n Rn

Spatiul vectorial Rn are o structura de spatiu euclidian definita de produsul

scalar si de norma asociata. Cu ajutorul normei se poate defini pe Rn o

distanta:

d : Rn Rn R, d(X, Y ) = ||X Y ||, ()X, Y Rn.

Proprietatile functiei distanta sunt:

1) d(X, Y ) 0, ()X, Y Rn.2) d(X, Y ) = 0 X = Y .3) d(X, Y ) = d(Y,X), ()X, Y Rn.4) d(X, Y ) d(X,Z) + d(Z, Y ), ()X, Y, Z Rn.O functie cu proprietatile functiei distanta de mai sus se mai numeste si

metrica, si spunem ca (Rn, d) este un spatiu metric.

Definitie. Fie X Rn si r R+. Bila deschisa de centru X si raza r este multimea

B(X, r) = {Y Rn|d(X, Y ) < r}.

Bila nchisa de centru X si raza r este multimea

B(X, r) = {Y Rn|d(X, Y ) r}.

Sfera de centru X si raza r este multimea

S(X, r) = {Y Rn|d(X, Y ) = r}.

41

42 4. NOTIUNI DE TOPOLOGIE IN RN

Definitie. Fie X Rn si V Rn. V se numeste vecinatate a lui Xdaca exista r > 0 cu proprietatea ca B(X, r) V . Multimea vecinatatilorpunctului X o vom nota cu V(X), iar daca V este o vecinatate a lui X,vom scrie V V(X).Definitie. O multime D Rn se numeste multime deschisa daca estevecinatate pentru orice punct al sau, i.e.

()X D ()r > 0 : B(X, r) D.

Vom nota cu D multimea multimilor deschise incluse n Rn. Complementarele multimilor deschise se numesc multimi nchise. O multime compacta este o multime nchisa si marginita.

Propozitie. Multimile deschise incluse n Rn au urmatoarele proprietati:

1) Rn, D.2) Daca D1, D2 D, atunci D1 D2 D.3) Daca (Di)iI D este o familie oarecare de multimi deschise, atunciiIDi D.

Definitie. O familie T de submultimi ale lui Rn care satisface conditiiledin propozitia de mai sus, se numeste topologie pe Rn.

Observatie. Multimea D a multimilor deschise din Rn formeaza deci otopologie pe Rn.

Definitie. Perechea (Rn,D) fomeaza un spatiu topologic.

Definitie. Fie M Rn o submultime oarecare a spatiului topologic(Rn,D). Interiorul lui M(notat Int(M)) este cea mai mare multime deschisacontinuta n M . Avem

Int(M) = {X Rn|M V(X)}.

Exteriorul lui M(notat Ext(M)) este interiorul multimii complementarelui M n Rn:

Ext(M) = {X Rn|()r > 0 : B(X, r) M = }.

43

Inchiderea(sau aderenta lui M)(notata M) este cea mai mica multimenchisa care contine M si este complementara exteriorului multimii M :

M = {X Rn|()r > 0 = B(X, r) M 6= } =

= {X Rn|()V V(X) = B(X, r) M 6= }. Multimea punctelor de acumulare a lui M(notata M ) este

M = {X Rn|()V V(X) = B(X, r) M \ {X} 6= }.

Frontiera lui M(notata Fr(M)) consta din punctele aderente atat lui M ,cat si complementarei lui M :

Fr(M) = {X Rn|()V V(X) = B(X, r) M 6= 6= B(X, r) \M}.

Multimea punctelor izolate ale multimii M(notata Iz(M)) consta dinpunctele aderente ale lui M care nu sunt puncte de acumulare:

Iz(M) = M \M .

44 4. NOTIUNI DE TOPOLOGIE IN RN

5Functii de mai multe variabile

5.1 Definitii. Exemple

Definitie. Fie D Rn o submultime a spatiului Rn. O functie f : D R se numeste functie(scalara) de n variabile. Multimea D este domeniul de

definitie al lui f , notat Dom(f), iar multimea {f(X)|X D} se numesteimaginea functiei f , si o notam Im(f).

Observatie. Uneori nu se indica domeniul de definitie al unei functii, ci

doar spatiul Rn n care este inclus acesta. In acest caz se considera de

regula ca domeniul de definitie este domeniul maxim de definitie, pentru

care au sens toate calculele care se fac pentru determinarea imaginii unui

vector prin functia a carei lege de corespondenta este indicata.

Exemplu. 1) Pentru functia f : R4 R, definita prin

f(x1, x2, x3, x4) = x21 + x

22 + x

23 + x

24,

domeniul de definitie este R4, iar imaginea este R+.

2) Fie f : D R4 R, data de legea de corespondenta

f(x1, x2, x3, x4) =1

x21 + x22 + x

23 + x

24 1

.

Domeniul de definitie nu este indicat, astfel ca trebuie considerat ca fiind

domeniul maxim de definitie al expresiei care defineste legea de corespondenta

prin care este definita functia. Astfel,

Dom(f) = {X R4|x21 + x22 + x23 + x24 1 6= 0} =

45

46 5. FUNCTII DE MAI MULTE VARIABILE

= {X R4|d(X, 0) 6= 1} = R4 \ S(0, 1).

Imaginea functiei f este R \ (1, 0].

Definitie. Fie f : D Rn R o functie de n variabile. Graficul functieif este multimea

Gf = {(X, xn+1) Rn+1|X D, xn+1 = f(X)}.

Exemplu. Graficul functiei f : B(0, 1) R2 R, definita prin f(X) =1 ||X||2 este semisfera superioara S+(0, 1) R3.

Definitie. Fie f : D Rn R o functie de n variabile si R.Linia de nivel a lui f este multimea L(f) = {(x1, x2, . . . , xn) = X D, f(X) = }. Ea se mai numeste preimaginea(sau imaginea inversa) a lui si se mai noteaza si f1().


Determinati domeniile si imaginile functiilor urmatoare

1. f(x, y) =x2 + y2; 2. f(x, y) =

1 + x+ y;

3. f(x, y) =xy ; 4. f(x, y) =

1 x2 4y2;

5. f(x, y) =

1 x2 + 4y2; 6. f(x, y) = sin(x+ y);

7. f(x, y) = ex + ey; 8. f(x, y) = 1(x2y2)3/2 ;

9. f(x, y) = tan(x y); 10. f(x, y) =x+yxy ;

11. f(x, y) =xyx+y ; 12. f(x, y) = sin

1(x+ y);


13. f(x, y) = cos1(x y); 14. f(x, y) = y|x| ;

15. f(x, y) =x2y2x+y ; 16. f(x, y) = ln(1 + x

2 y2);

17. f(x, y) = x2y +2yx ; 18. f(x, y, z) = x+ y + z;

19. f(x, y, z) =x+ y + z; 20. f(x, y, z) = 1

x2+y2+z2;

21. f(x, y, z) = 1x2y2+z2 ; 22. f(x, y, z) =

x2 y2 z2;

23. f(x, y, z) = ln(x 2y 3z + 4); 24. f(x, y, z) =xyz ;

48 5. FUNCTII DE MAI MULTE VARIABILE

6Limite. Continuitate

6.1 Limita unei functii ntr-un punct

Fie f : D Rn R o functie de n variabile, A = (a1, a2, . . . , an) Dun punct de acumulare al domeniului de definitie al functiei f si l R.Definitie. Spunem ca functia f are limita l n punctul A daca pentru

orice vecinatate U a lui l exista o vecinatate V a lui A cu proprietatea ca

f(X) U, ()X V D \ {A}.

O forma echivalenta a definitiei de mai sus este:

Definitie. Functia f are limita l n punctul A daca pentru orice vecinatate

U a lui l exista > 0 astfel ncat f(X) U, ()X D, 0 < d(X,A) < .

Daca l R este un numar finit, putem transcrie definitiile de mai susn forma urmatoare:

Definitie. Functia f are limita l n punctul A daca pentru orice > 0

exista > 0 astfel ncat

|f(X) l| < , ()X D, 0 < d(X,A) < .Observatie. Aceasta ultima varianta a definitiei poarta si numele de cri-

teriul .In cazul cand l =, putem formula definitia n modul urmator:Definitie. Functia f are limita n punctul A daca pentru orice M Rexista > 0 astfel ncat

f(X) > M, ()X D, 0 < d(X,A) < .

49

50 6. LIMITE. CONTINUITATE

Asemanator, pentru l = avemDefinitie. Functia f are limita n punctul A daca pentru orice m Rexista > 0 astfel ncat

f(X) < m, ()X D, 0 < d(X,A) < .

Exemplu. Vom arata ca

limX(4,1,0,3)

(x1 + 2x2 x3 + 3x4) = 7.

Solutie. Fie > 0 dat. Vom cauta sa determinam > 0 cu proprietatea

ca

|x1 + 2x2 x3 + 3x4 7| < daca

0 0 exista > 0 astfel ncat

|f(X) f(A)| < , ()X D, d(X,A) < .

Definitie. (i) Un polinom p(X) = p(x1, x2, . . . , xn) n variabilele x1, x2,

. . . , xn este o suma finita de termeni(numiti monoame) de forma

xm11 xm22 . . . x

mnn ,

unde m1,m2, . . . ,mn N, iar R. Gradul unui monom este sumam = m1 +m2 + . . .+mn, iar gradul unui polinom este cel mai mare dintre

gradele monoamele sale.

(ii) O functie rationala r(X) = r(x1, x2, . . . , xn) n variabilele x1, x2, . . . , xn

este o functie care poate fi scrisa ca raportul dintre doua polinoame:

r(X) =p(X)

q(X).

Propozitie. (i) Orice polinom n n variabile este continuu n orice punct

din Rn.

(ii) Orice functie rationala r = p/q este continua n orice punct A Rn cuproprietatea ca q(A) 6= 0.(iii) Daca f si g sunt doua functii continue ntr-un punct A atunci f + g si

fg sunt cotinue n A.

(iv) Daca f si g sunt continue n A si g(A) 6= 0, atunci f/g este continua nA.


(v) Daca f este continua n A, iar h est eo functie de o variabila, care este

continua n punctul f(A), atunci functia compusa h f este continua n A.

Exemplu. p(X) = x31x52x

85 3x1x42x24 + 5x21x32x43x24x5 este continua n orice

punxt A din R5.

Exemplu.

r(X) =x21x5x

44 + x1x

22x

33x

55 x61x2x35

x1 2x2 + 3x3 4x4 + 2x5 6este continua n orice X R5, cu exceptia acelor X care satisfac egalitatea

x1 2x2 + 3x3 4x4 + 2x5 = 6.

Observatie. O multime de vectori care verifica o egalitate ca cea de mai

sus se numeste hiperplan. In general, un hiperplan n Rn este o multime de

forma

H = {X Rn | a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b}

unde a1, a2, . . . , an, b sunt numere reale.

Exemplu. Functia sin(x21+2x1x4x43x55) este continua n orice a din R5, fi-ind o compusa a functiei continue de o variabila sin si a unei funtii continue.


Verificati cu ajutorul definitiei valorile limitelor

1. lim(x,y)(1,2)

(3x+ y) = 5 2. lim(x,y)(3,1)

(x 7y) = 10

3. lim(x,y)(5,2)

(ax+ by) = 5a 2b 4. lim(x,y)(0,0)

2x2yx2+y2

= 0

5. lim(x,y)(4,1)

(x2 + 3y2) = 19 6. lim(x,y)(1,1)

xy

= 1

Aratati ca urmatoarele limite nu exista

54 6. LIMITE. CONTINUITATE

7. lim(x,y)(0,0)

x+yxy 8. lim(x,y)(0,0)

xyx2y2

9. lim(x,y)(0,0)

ax2+bycx2+dy

, a, b, c, d > 0 10. lim(x,y,z)(0,0,0)

xy+2xy+3yzx2+y2+z2

11. lim(x,y)(0,0,0)

xyzx3+y3+z3

Calculati limitele urmatoare

12. lim(x,y)(0,0)

3xyx2+y2

13. lim(x,y)(0,0)

x3+y3

x2+y2

14. lim(x,y)(4,3)

1+xy1xy 15. lim(x,y)(1,2)

ln(1 + ex+y)

16. lim(x,y)(1,1)

xyx2y2 17. lim(x,y)(2,5)

sh(x+1y2

)

18. lim(x,y)(0,0,0)

yx2+z3

x2+y2+z219. lim

(x,y)(4,1,3)ln(x yz + 4x3y5z)

Studiati continuitatea functiilor urmatoare n origine.

20. f(x, y) =

3xyx2+y2

(x, y) 6= (0, 0)c (x, y) = (0, 0)

21. f(x, y) =

xy|x|+|y| (x, y) 6= (0, 0)c (x, y) = (0, 0)

22. f(x, y, z) =

yzx2

x2+y2+z2(x, y, z) 6= (0, 0, 0)

c (x, y, z) = (0, 0, 0)

7Derivate partiale

7.1 Derivate partiale de ordinul ntai

Definitie. Fie f : D Rn Rn o functie de n variabile, definita peo multime deschisa D din Rn si fie A D un punct fixat al domenilui dedefinitie. Spunem ca functia f este derivabila partial n raport cu variabila

xi n punctul A daca exista si este finita limita

limxi0

f(a1, . . . , ai1, ai + xi, ai+1, . . . , an) f(a1, . . . , ai1, ai, ai+1, . . . , an)xi

.

Atunci cand exista, limita de mai sus se noteaza cufxi

(A).

Definitie. Fie f : D Rn Rn o functie de n variabile si Di o multimeinclusa n domeniul D de definitie al functiei. Spunem ca f este derivabila

partial n raport cu variabila xi pe Di daca f este derivabila partial n raport

cu xi n orice punct A Di.Definitie. Derivata partiala a unei functii f : D Rn Rn n raportcu variabila xi este functia (f/xi) : Di R definita de limita de maisus pe multimea punctelor pe care f este derivabila partial n raport cu

variabila xi.

Observatie. Din definitia derivatei partiale n raport cu o variabila se poate

constata ca ea se calculeaza fixand toate celelalte variabile constante(egale

cu componentele corespunzatoare ale punctului n care se face calculul),

apoi derivand dupa variabila respectiva. In consecinta, atunci cand cal-

culam derivate partiale putem folosi regulile de derivare pentru functii de o

55

56 7. DERIVATE PARTIALE

variabila.

Observatie. Atentie! Chiar daca pentru calculul unei derivate partiale de-

rivam practic n raport cu o singura variabila, fixand celelalte variabile, o

derivata partiala este o functie de n variabile.

Exemplu. Derivatele partiale ale functiei f(X) = x21 x22 + 3x1x2x3 x4x1sunt:

fx1

= 2x1 + 3x2x3 +x4x21

fx3

= 3x1x2

fx2

= 2x2 + 3x1x3 fx4 = 1x1Notatie. Frecvent vom folosi n loc de f

xinotatia fxi , sau pentru simpli-

tate fi; astfel derivatele partiale din exemplul de mai sus se scriu fx1 = f1 =

2x1 + 3x2x3 +x4x21

, fx2 = f2 = 2x2 + 3x1x3, s.a.m.d.

Observatie. Spre deosebire de cazul functiilor de o singura variabila, o

functie care este derivabila partial n raport cu toate variabilele nu este n

mod necesar continua n acel punct.

Exemplu. Fie f : R2 R, definita prin

f(x, y) =

xy

x2+y2(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0).

Aratati ca fx si fy exista n punctul (0, 0), dar ca f nu este continua n

origine.

Solutie. Vom arata n primul rand ca nu exista lim(x,y)(0,0) f(x, y), deci f

nu poate fi continua n origine. In acest scop, vom considera ntai (x, y) (0, 0) cu y = x. Pentru acest caz avem atunci:

xy

x2 + y2=

x2

x2 + x2=

1

2,

astfel ca daca ar exista lim(x,y)(0,0) f(x, y), aceasta ar fi egala cu 12 . Sa

consideram acum (x, y) (0, 0) cu y = x. Atuncixy

x2 + y2=x2

x2 + x2= 1

2,

de unde ar rezulta ca lim(x,y)(0,0) f(x, y) ar fi egala cu 12 . Prin urmarelimita nu poate exista si deci functia f nu este continua n origine. Pe de

7.2. DERIVATE PARTIALE DE ORDIN SUPERIOR 57

alta parte avem

fx(0, 0) = limx0

f(0 + x, 0) f(0, 0)x

= limx0

(0+x)0(0+x)2+02

0x

=

= limx0

0

x= lim

x00 = 0.

Analog, obtinem ca fy = 0. Astfel n punctul (0, 0) exista ambele derivate

partiale fx si fy, chiar daca functia f nu este continua n acest punct.

7.2 Derivate partiale de ordin superior

Pentru functii de o variabila, y = f(x) derivatele de ordinul I si al II-lea

sunt date de

y =df

dxsi y =

d2f

dx2=

d

dx

(df

dx

).

Cu alte cuvinte, derivata de ordinul al doilea este derivata derivatei de

ordinul ntai.

Asemanator, pentru o functie de doua variabile z = f(x, y), putem

deriva fiecare din primele derivate f/x si f/y n raport cu fiecare

din variabilele x si y, obtinand astfel patru derivate partiale de ordinul doi:

Definitie. Fie f : D R2 R o functie de doua variabile, z = f(x, y),derivabila partial n raport cu ambele variabile pe D, astfel ncat fiecare

derivata partiala este de asemenea derivabila partial. Se pot obtine atunci

derivatele partiale de ordinul doi ale functiei f n urmatoarele moduri:

(i) Derivand de doua ori n raport cu x:

2z

x2=2f

x2= fxx =

x

(f

x

).

(ii) Derivand ntai n raport cu x si apoi n raport cu y:

2z

yx=

2f

yx= fxy =

y

(f

x

).

(iii) Derivand ntai n raport cu y si apoi n raport cu x:

2z

xy=

2f

xy= fyx =

x

(f

y

).


(i) Derivand de doua ori n raport cu y:

2z

y2=2f

y2= fyy =

y

(f

y

).

Observatie. Derivatele partiale 2f/xy si 2f/yx se numesc derivate

partiale mixte de ordinul doi.

Observatie. In notatia fractionara, a calcula 2f/xy nseamna a

deriva ntai n raport cu variabila y, si apoi n raport cu x, adica de-

rivam n ordinea inversa aparitiei variabilelor la numitorul raportului de

derivare(asemanator cu situatia ntalnita la compunerea functiilor), spre

deosebire de notatia indiciala fyx, n care ordinea scrierii variabilelor core-

spunde ordinii n care efectuam derivarile partiale.

Exemplu. Fie z = f(x, y) = x3y2 xy5. Vom calcula derivatele partialede ordinul doi ale lui f .

Solutie. Avem fx = 3x2y2 y5 si fy = 2x3y 5xy4. Derivatele partiale de

ordinul al doilea sunt:

fxx =x

(fx) = 6xy2 fxy =

y

(fx) = 6x2y 5y4

fyx =x

(fy) = 6x2y 5y4 fyy = y (fy) = 2x3 20xy3.

Asemanator putem defini derivate de ordinul doi si n cazul unei functii

de n variabile:

Definitie. Fie f : D Rn R o functie de n variabile, derivabila partialpe D n raport cu fiecare variabila, astfel ncat fiecare derivata partiala este

la randul ei derivabila partial. Derivata partiala de ordinul doi n raport cu

variabilele xi si xj este atunci functia

2f

xjxi=

xj

(f

xi

)= fxixj .

Adesea, pentru a simplifica notatia, vom scrie fij n loc de fxixj .

Observatie. In exemplul de mai sus am avut fxy = fyx. Acest lucru nu

este ntamplator. Mai exact, are loc urmatoarea teorema(proprietatea a

fost observata de L.Euler care a enuntat n 1734 rezultatul, demonstrat mai

tarziu de catre Schwarz):

Teorema. (Criteriul lui Schwarz) Daca f : D Rn R este o

7.3. GRADIENT. DIFERENTIALA 59

functie de n variable, iar A D un punct din domeniul de definitie, n caref , fi, fj, fij si fji sunt continue, atunci are loc egalitatea

fij(A) = fji(A).

Corolar. Daca o functie f admite derivate mixte continue, atunci aceste

derivate mixte sunt egale.

Definitie. Fie f : D Rn R o functie de n variabile. In mod analogcelui n care am definit derivate partiale de ordinul doi, se pot defini derivate

partiale de ordin t pentru orice numar t N:tf

xt1i1xt2i2 . . . x

tkik

unde k N, t1, t2, . . . , tk N cu t1 + t2 + . . . + tk = t, iar i1, i2, . . . , ik {1, . . . , n}. Cum criteriul lui Schwarz se extinde n mod natural la derivatepartiale de orice ordin, vom scrie cel mai adesea pentru o derivata de ordin

t mai simplutf

xt11 xt22 . . . x

tnn

,

unde t1, t2, . . . , tn N cu t1 + t2 + . . .+ tn = t.

Definitie. O functie f : D Rn R de n variabile se numeste functiede clasa Ck pe D(si scriem f Ck(D)) daca f admite derivate partiale deordinul k pe D, iar acestea sunt functii continue pe D.

Definitie. O functie f : D Rn R de n variabile se numeste functiede clasa C pe D(si scriem f C(D)) daca f este de clasa Ck pe D pentruorice numar natural k.

Observatie. Orice polinom de n variabile este o functie de clasa C peRn.

7.3 Gradient. Diferentiala

Definitie. Fie f : D Rn R o functie de n variabile definita pe omultime deschisa D Rn si A D un punct al domeniului de definitiecu proprietatea ca f este derivabila partial n raport cu fiecare variabila n


punctul A. Vectorul notat f(A), care are drept componente derivatelepartiale ale functiei f n punctul A

f(A) =(f

x1(A),

f

x2(A), . . . ,

f

xn(A)

)

se numeste gradientul lui f n punctul A. Daca f este derivabila partial pe

D, atunci gradientul lui f este functia vectoriala(i.e., cu domeniul de valori

un spatiu vectorial) f : D Rn, definita prin

f(X) =(f

x1(X),

f

x2(X), . . . ,

f

xn(X)

), ()X D.

Exemplu. Fie f : R4 R, f(X) = x21 x22 + 3x1x2x3 x4x1 . Vomdetermina f .Solutie. Conform definitiei gradientului lui f , avem

f(X) = (fx1(X), fx2(X), fx3(X), fx4(X)) =

= (2x1 + 3x2x3 +x4x21,2x2 + 3x1x3, 3x1x2, 1

x1).

Definitie. Fie f : D Rn R o functie de n variabile definita pe omultime deschisa D Rn si A D un punct al domeniului de definitie.Spunem ca f este diferentiabila n punctul A daca exista o aplicatie liniara

T : Rn R si o functie g : V0 R, unde V0 este o vecinatate aoriginii spatiului Rn, astfel ncat A + V0 D, limX0 g(X)||X|| = 0 si areloc egalitatea

f(A+ X) f(A) = T (X) + g(X).

Daca functia f este diferentiabila n punctul A, forma liniara T de mai sus

se numeste diferentiala functiei f n punctul A si se noteaza dAf .

Exemplu. Orice forma liniara f : Rn R este diferentiabila n oricepunct A Rn si dAf = f, ()A Rn.Demonstratie. Datorita aditivitatii formei liniare f are loc egalitatea

f(A+ X) f(A) = f(X) + 0,

astfel ca este ndeplinita conditia din definitia de mai sus, cu T = f si

g = 0(functia constant nula).


O formula a diferentialei unei functii este data de urmatoarea

Propozitie. Fie f derivabila partial n raport cu toate variabilele pe o

vecinatate a unui punct A al domeniului de definitie, astfel ncat derivatele

partiale sunt continue n A. Atunci f este diferentiabila n punctul A si

dAf(H) = (f(A), H) =

=f

x1(A) h1 + f

x2(A) h2 + . . .+ f

xn(A) hn, ()H Rn.

Am vazut ceva mai devreme ca o functie derivabila partial ntr-un punct

nu este neaparat continua n acel punct. Altfel stau lucrurile n cazul unei

functii diferentiabile ntr-un punct:

Propozitie. Daca f : D Rn R este o functie diferentiabila npunctul A D, atunci f este continua n acel punct.Demonstratie. Trebuie sa aratam ca limXA f(X) = f(A). Deoarece f

este diferentiabila n A, are loc egalitatea

f(X) f(A) = (f(A), X A) + g(X A).

Conform inegalitatii Cauchy-Buniakowski-Schwarz, avem ca

0 |(f(A), X A)| ||f(A)|| ||X A||,

de unde rezulta ca limXA(f(A), X A) = 0. De asemenea,

limXA

g(X A) = limXA

g(X A)||X A|| ||X A|| = 0.

Prin urmare, limXA(f(X) f(A)) = 0, de unde rezulta afirmatia dinenunt.

Alte proprietati ale functiilor diferentiabile sunt date de urmatoarea

Propozitie. Fie f si g functii de n variabile, diferentiabile pe o multime

deschisa D Rn, iar R un scalar oarecare. Atunci functiile f + g sif sunt diferentiabile pe D si au loc egalitatile

(f + g) = f +g, (f) = f.

Observatie. Din aceasta propozitie deducem ca multimea functiilor diferentiabile

pe o multime deschisa are o structura de spatiu vectorial real.


7.3.1 Diferentierea functiilor compuse

Indicam aici cateva formule care reprezinta analoagele pentru functii de mai

multe variabile ale formulei de derivare a unei functii compuse cunoscute

pentru functii de o singura variabila:

(f g)(t) = (f g)(t) g(t).

Propozitie. Fie f : D Rn R o functie diferentiabila de n variabile sig1, g2, . . . , gn : I R R functii derivabile de o variabila, cu proprietateaca

g(t) = (g1(t), g2(t), . . . , gn(t)) D, ()t I.Atunci functia f g : I R, data de (f g)(t) = f(g1(t), g2(t), . . . , gn(t))este o functie derivabila de o variabila si are loc egalitatea

(f g)(t) = (f(g(t)), g(t)) =

=f

x1(g(t)) g1(t) +

f

x2(g(t)) g2(t) + . . .+

f

xn(g(t)) gn(t), ()t I,

unde g(t) = (g1(t), g2(t), . . . , g

n(t)).

Exemplu. Fie z = f(x, y) = xy2 si fie x = cos t si y = sin t. Atunci

z = z(t) si z(t) =f

x x(t) + f

y y(t) =

= y2( sin t) + 2xy(cos t) = (sin2 t)( sin t) + 2(cos t)(sin t)(cos t) == 2 sin t cos2 t sin3 t.

Propozitie. Fie f : D Rn R o functie diferentiabila de n variabilesi g1, g2, . . . , gn : G Rm R functii diferentiabile de m variabile, cuproprietatea ca

g(Y ) = (g1(Y ), g2(Y ), . . . , gn(Y )) D, ()Y G.

Atunci functia h = f g : G R, definita prin h(Y ) = (f g)(Y ) =f(g1(Y ), g2(Y ), . . . , gn(Y )) este o functie diferentiabila de m variabile si au

loc egalitatile

h

yj=

f

x1

g1yj

+f

x2

g2yj

+ . . .+f

xn

gnyj

, ()j = 1,m.


Exemplu. Fie z = f(x, y) = sinxy2. Daca x = rs

si y = ers, sa se

calculeze zr

schi zs

.

Solutie. Tinand cont de formulele de mai sus, putem scrie

z

r=f

x

x

r+f

y

y

r= (y2 cosxy2) 1

s+ (2xy cosxy2) ers =

e2(rs)

scos

(r

se2(rs)

)+

2re2(rs)

scos

(r

se2(rs)

)si

z

s=f

x

x

s+f

y

y

s= (y2 cosxy2)

( rs2

)+ (2xy cosxy2) (ers) =

re2(rs)

s2cos

(r

se2(rs)

) 2re

2(rs)

scos

(r

se2(rs)

).

Definitie. Fie X, Y Rn. Segmentul [X, Y ] care uneste X si Y estemultimea

[X, Y ] = {V Rn | ()t [0, 1] : V = tX + (1 t)Y }.

Observatie. X = 1X + (1 1)Y [X, Y ] si Y = 0X + (1 0)Y [X, Y ].Putem formula acum o extindere a teoremei cresterilor finite a lui Lagrange

Propozitie. Fie f : D Rn R o functie diferentiabila pe D siX, Y D cu proprietatea ca [X, Y ] D. Atunci exista un punct C [X, Y ]cu proprietatea ca

f(Y ) f(X) = (f(C), Y X).

Demonstratie. Fie g : [0, 1] R definita prin g(t) = f(X + t(Y X)) = (f h)(t), unde h : [0, 1] Rn, h(t) = X + t(Y X). Atuncih(t) = X + t(Y X) [X, Y ], ()t [0, 1], g(0) = f(X), g(1) = f(Y ) si geste o functie derivabila. Aplicand teorema lui Lagrange pentru functia g,

rezulta ca exista t0 (0, 1) cu proprietatea ca

g(1) g(0) = g(t0)(1 0) = g(t0).

Dar

g(t) = (f(h(t)), h(t)) = (f(h(t)), Y X),astfel ca pentru C = h(t0) obtinem

f(Y )f(X) = g(1)g(0) = g(t0) = (f(h(t0)), Y X) = (f(C), Y X).

Afirmatia este deci demonstrata.


7.4 Hessiana unei functii ntr-un punct

Definitie. Fie f : D Rn R o functie de n variabile derivabila partialde doua ori n raport cu fiecare variabila pe multimea deschisa D Rn siA D un punct al domeniului de definitie al lui f . Matricea hessiana afunctiei f n punctul A este matricea

Hf (A) =

2fx21

(A) 2f

x1x2(A) . . .

2fx1xn

(A)

2fx2x1

(A) 2fx22

(A) . . . 2f

x2xn(A)

...... . . .

...2f

xnx1(A)

2fxnx2

(A) . . . 2f

x2n(A)

Observatie. Daca derivatele partiale mixte ale functiei f sunt continue, din

criteriul lui Schwarz rezulta ca matricea hessiana a functiei f este simetrica.

Exemplu. Fie f : D R3 R, definita prin

f(x, y, z) = ln(x+ 2y + 3z)

si A = (2, 2, 5). Vom determina matricea hessiana a functiei f n punctul

A.

Solutie. Derivatele partiale de ordinul ntai ale functiei f sunt

f

x=

1

x+ 2y + 3z,

f

y=

2

x+ 2y + 3z,

f

z=

3

x+ 2y + 3z.

Derivatele de ordinul al doilea sunt

2fx2 = 1(x+2y+3z)2

2fxy = 2(x+2y+3z)2

2fxz = 3(x+2y+3z)2

2fyx = 2(x+2y+3z)2

2fy2 = 4(x+2y+3z)2

2fyz = 6(x+2y+3z)2

2fzx = 3(x+2y+3z)2

2fzy = 6(x+2y+3z)2

2fz2 = 9(x+2y+3z)2


Astfel ca matricea hessiana a functiei f n punctul A = (2, 2, 5) este

Hf (2, 2, 5) =

1441 2441 3441

2441 4441 6441

3441 6441 9441

Definitie. Forma patratica care are drept coeficienti elementele matricei

hessiene Hf (A) ale unei functii f : D Rn R de n variabile ntr-unpunct A D se numeste forma hessiana asociata functiei f n punctul A.Vom nota cu hf,A aceasta forma patratica

hf,A(z1, z2, . . . , zn) =2f

x21(A)z21 +

2f

x22(A)z22 + . . .+

2f

x2n(A)z2n+

+22f

x1x2(A)z1z2 + 2

2f

x1x3(A)z1z3 + . . .+ 2

2f

x1xn(A)z1zn+

+22f

x2x3(A)z2z3 + . . .+ 2

2f

xn1xn(A)zn1zn

(Am presupus aici ca derivatele mixte sunt egale, asa cum este cazul aproape

ntotdeauna.)

Exemplu. Pentru cazul functiei f : D R3 R, f(x, y, z) = ln(x +2y + 3z), pentru care am determinat mai sus matricea hessiana n punctul

A = (2, 2, 5), forma hessiana n acelasi punct este

1441

(z21 + 4z22 + 9z

23 + 4z1z2 + 6z1z3 + 12z2z3).


Calculati z/x si z/y pentru functiile urmatoare

1. z = x2y 2. z = xy2 3. 3exy3

4. z = sin(x2 + y3) 5. z = 4x/y5 6. z = eytg(x)

7. z = ln(x3y5 2) 8. z = xy + 2y3 9. z = (x+ 5y sinx)4/3

Calculati derivatele partiale de ordinul ntai si doi ale functiilor urmatoare

n punctele indicate:


10. f(x, y, z) = xyz, n (2, 3, 4)

11. f(x, y, z) =x+ 2y + 3z n (2,1, 3)

12. f(x, y, z) = xyz

n (3,1, 2)

13. f(x, y, z) = sin(x2 y2 + z) n (0, 1, 0)

14. f(x, y, z) = ln(x+ 2y + 3z) n (2, 2, 5)

15. f(x, y, z) = tg xyz

n (1, 2,2)

16. f(x, y, z) = y3z5x2y+z

n (4, 0, 1)

17. f(x, y, z) = exy(ch(z) sh(z)) n (2, 3, 0)

18. f(x, y, z) =x2 + y2 + z2 n (a, b, c)

19. Costurile de productie ale unui fabricant pentru a produce x unitati

din produsul A si y unitati din produsul B este dat de

C(x, y) =50

2 + x+

125

(3 + y)2.

Calculati costul marginal al fiecarui produs.

20. Venitul realizat de acelasi fabricant este dat de

V (x, y) = ln(1 + 50x+ 75y) +

1 + 40x+ 125y.

Calculati venitul marginal realizat cu fiecare produs.

8Extreme locale ale functiilor de

mai multe variabile

Orice functie continua definita pe o multime compacte are urmatoarea pro-

prietate remarcabila:

Teorema lui Weierstrass Fie f : K Rn R o functie continuaavand drept domeniu de definitie o multime compacta K Rn. Atunciexista doua puncte X1, X2 K si doua numere reale m,M R cu propri-etatea ca

m = f(X1) f(X) f(X2) = M, ()X K.

Definitie. Numerele reale m si M poarta numele de minim global, respec-

tiv maxim global al functiei f , iar punctele X1 si X2 n care se ating aceste

valori se numesc punct de minim global, respectiv punct de maxim global.

Definitie. Fie f : D Rn R o functie de n variabile si A D un punctal domeniului de definitie. Punctul A se numeste punct de maxim(minim)

local al functiei f daca exista o vecinatate V a sa cu proprietatea ca

f(X) f(A)(resp. f(X) f(A)), ()X V D.

Valoarea f(A) a functiei f n punctul A se numeste maxim local(respectiv

minim local) al functiei f .

Valorile minime sau maxime(locale sau globale) ale unei functii se numesc

extreme ale functiei, iar punctele n care se ating aceste valori se numesc

67

68 8. EXTREME LOCALE ALE FUNCTIILOR DE MAI MULTE VARIABILE

puncte de extrem.

8.1 Extreme locale neconditionate ale functiilor

diferentiabile

Propozitie. Fie f : D Rn R o functie diferentiabila de n variabiledefinita pe multimea deschisa D Rn si A D un punct de extrem local.Atunci

f(A) = 0.Demonstratie. Fie A = (a1, a2, . . . , an) si hi : Ii R functia definitaprin hi(x) = f(a1, . . . , ai1, x, ai+1, . . . , an) pe un interval Ii cu propietatea

ca ai Ii si (a1, . . . , ai1, x, ai+1, . . . , an) D, ()x Ii. Conform enuntului,rezulta ca hi este derivabila pe Ii si ai este un punct de extrem local pentru

functia hi. Conform teoremei lui Fermat, avem atunci

hi(ai) = 0.

dar din definitia lui hi rezulta ca

hi(ai) =f

xi(A).

Prin urmare, obtinem ca

f

xi(A) = 0, ()i = 1, n,

adica f(A) = 0.

Definitie. Un punct A se numeste punct critic al unei functii f daca f

este diferentiabila n A si f(A) = 0.Observatie. Din propozitia de mai sus avem ca orice punct de extrem local

al unei functii diferentiabile este un punct critic. Reciproca nu este n gen-

eral adevarata, adica nu orice punct critic este neaparat un punct de extrem.

Exemplu. Fie f : R2 R, f(x, y) = 1 + x2 + 3y2. Atunci f(x, y) =(2x, 6y), astfel ca singurul punct critic al functiei f este (0, 0), care este

8.1. EXTREME NECONDITIONATE 69

evident un punct de minim local(si chiar global).

Exemplu. Fie f : R2 R, f(x, y) = 1 x2 3y2. Atunci f(x, y) =(2x,6y), care se anuleaza numai pentru (0, 0), care este un punct demaxim local(si chiar global).

Exemplu. Fie f : R2 R, f(x, y) = x2 y2. Avem f(x, y) =(2x,2y), deci singurul punct critic este (0, 0). Acesta nsa nu este nicipunct de maxim local, deoarece n orice vecinatate a sa se gasesc puncte

(x, y) cu |x| > |y|, pentru care f(x, y) > 0, nici punct de minim local,caci orice vecinatate a sa contine puncte (x, y) cu |x| < |y|, pentru caref(x, y) < 0.

Definitie. Un punct critic al unei functii derivabile f care nu este punct

de extrem local al functiei f , se numeste punct-sa al lui f .

Pentru a recunoaste care dintre punctele critice ale unei functii sunt

puncte de extrem local, vom utiliza polinoamele de aproximare ale lui Tay-

lor:

Fie f : D Rn R o functie diferentiabila de n variabile, definitape multimea deschisa D, si fie A D un punct critic al lui f . Conformteoremei lui Taylor, ntr-o vecinatate V D a punctului A putem scrie

f(X) = T2(f ;A)(X) +R2(f ;A)(X), ()X V,

unde T2(f ;A)(X) este polinomul Taylor de ordinul 2 asociat functiei f n

jurul punctului A, iar R2(f ;A)(X) este restul formulei lui Taylor de ordinul

2, despre care stim ca

limXA

R2(f ;A)(X)

||X A||2 = 0.

Polinomul Taylor de ordinul 2 asociat lui f n jurul lui A este

T2(f ;A)(X) = f(A) +f(A)

x1(x1 a1) + . . .+ f(A)

xn(xn an)+

+2f(A)

x21(x1 a1)2 + . . .+

2f(A)

x2n(xn an)2+

+22f(A)

x1x2(x1 a1)(x2 a2) + . . .+ 2

2f(A)

xn1xn(xn1 an1)(xn an)


Cu notatiile si definitiile din paragraful precedent putem scrie

T2(f ;A)(X) = f(A) + (f(A), X A) + hf,A(X A).

Tinand cont de faptul ca A este un punct critic, din formula lui Taylor de-

ducem urmatoarea aproximare, valabila ntr-o vecinatate a punctului critic

A:

f(X) f(A) + hf,A(X A),sau

f(X) f(A) hf,A(X A).Deducem ca un punct critic este

punct de minim, daca hessiana hf,A este pozitiv definita. punct de maxim, daca hessiana hf,A este negativ definita. punct-sa, daca hessiana hf,A este nedefinita.In celelalte situatii, cand hessiana este semidefinita, punctul critic poate fi

de oricare din cele trei tipuri(minim, maxim, punct-sa).

Exemplu. Fie f(x, y) = 2x3 24xy + 16y3. Vom determina naturapunctelor critice ale lui f .

Solutie. Gradientul lui f este f(x, y) = (6x2 24y,24x+ 48y2), astfelca punctele critice ale lui f sunt solutiile sistemului x

2 4y = 0x 2y2 = 0

4y4 4y = 0

x = 2y2

Solutiile acestui sistem sunt (0, 0) si (2, 1). Matricea hessiana a functiei f

ntr-un punct oarecare (x, y) este

Hf (x, y) =

12x 2424 96y

Forma hessiana este atunci

hf ;(x,y)(z1, z2) = 12xz21 + 96yz

22 48z1z2.

Pentru punctul critic (0, 0), forma hessiana este

hf ;(0,0)(z1, z2) = 48z1z2,

8.2. EXTREME CONDITIONATE 71

care este o froma nedefinita, deci (0, 0) este un punct-sa. In punctul critic

(2, 1) avem

hf ;(2,1)(z1, z2) = 24z21 + 96z

22 48z1z2 = 24((z1 z2)2 + 3z22),

deci forma hessiana este pozitiv definita, astfel ca punctul (2, 1) este un

punct de minim local.

Etapele pe care le parcurgem deci cand dorim sa determinam punctele

de extrem local ale unei functii dierentiabile definite pe o multime deschisa,

sunt:

Calculam derivatele partiale de ordinul ntai si de ordinul doi. Determinam punctele critice. Pentru fiecare punct critic n parte construim forma hessiana asociatafunctiei n acel punct si studiem definirea(pozitiva, negativa sau non),

studiu din care deducem daca punctul critic este un punct de extrem lo-

cal(minim sau maxim) sau un punct-sa.

8.2 Extreme locale conditionate. Regula mul-

tiplicatorilor lui Lagrange

In probleme de optimizare cautam de multe ori sa determinam valori ex-

treme(locale sau globale) a unei functii ale carei variabile nu sunt libere,

ci conditionate de anumite restrictii:

max(min)[f = f(x1, x2, . . . , xn)]

g1(x1, x2, . . . , xn) = 0

g2(x1, x2, . . . , xn) = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

gm(x1, x2, . . . , xn) = 0

Pentru puncte de extrem conditionat este valabila urmatoarea propri-

etate

Propozitie. Fie f, g1, . . . , gm : D Rn R functii diferentiabile de nvariabile, si A Dr = {X D|gj(X) = 0, ()j = 1,m}. Daca punctul


A este un punct de extrem local al functiei f n raport cu multimea Dr a

punctelor din D care respecta conditiile g1(X) = 0, . . . , gm(X) = 0, atunci

exista numere reale 1, . . . , m R cu proprietatea ca

f(A) = 1g1(A) + . . .+ mgm(A).

Definitie. Numerele 1, . . . , m care au aparut mai sus poarta numele de

multiplicatori ai lui Lagrange.

Vom prezenta n continuare Metoda multiplicatorilor lui Lagrange

pentru determinarea punctelor de extrem local conditionat ale unei functii.

Fie deci f, g1, . . . , gm : D Rn R functii diferentiabile de n variabile,si Dr = {X D|gj(X) = 0, ()j = 1,m} multimea punctelor din D carerespecta conditiile g1(X) = 0,. . . , gm(X) = 0. Etapele pe care le parcurgem

pentru a determina punctele de extrem local ale functiei f n raport cu

multimea Dr sunt:

Construim functia lui Lagrange L : DRm R asociata functiei fsi conditiilor exprimate cu ajutorul functiilor g1, . . . , gm:

L(x1, . . . , xn, 1, . . . , m) = f(x1, . . . , xn)

1g1(x1, . . . , xn) . . . mgm(x1, . . . , xn).

Calculam derivatele partiale de ordinul ntai si doi ale functiei lui La-grange(pentru derivatele de ordinul al doilea este suficient sa calculam doar

derivatele n raport cu variabilele xi).

Rezolvam sistemul de ecuatii L(x1, . . . , xn, 1, . . . , m) = 0:

fx1

(X,) 1 g1x1 (X,) . . . mgmx1 (X,) = 0

fx2

(X,) 1 g1x2 (X,) . . . mgmx2 (X,) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .fxn

(X,) 1 g1xn (X,) . . . mgmxn (X,) = 0

g1(x1, . . . , xn) = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

gm(x1, . . . , xn) = 0

8.2. EXTREME CONDITIONATE 73

aceasta este doar o transcriere a conditiilor f(A) = 1g1(A) + . . . +mgm(A), g1(A) = 0,. . . , gm(A) = 0, pe care trebuie sa le verifice unpunct de extrem conditionat.

Pentru fiecare solutie (A, ) a sistemului de mai sus, studiem semnul pecare l poate lua forma patratica

hf ;A; : Rn R, hf ;A;(z1, . . . , zn) =

2L(A, )

x21z21 + . . .+

2L(A, )

x2nz2n+

+22L(A, )

x1x2z1z2 + 2

2L(A, )

xn1xnzn1zn,

ale carei variabile nu sunt libere, ci verifica conditiile

dA(gj)(z1, . . . , zn) = 0, ()j = 1,m

(corespunzatoare faptului ca vrem sa comparam valoarea functiei f n punc-

tul A doar cu valori ale lui f n puncte dintr-o vecinatate a lui A care se

gasesc n multimea Dr). Aceste conditii se pot transcrie sub forma

g1x1z1 +

g1x2z2 + . . .+

g1xn

zn = 0

g2x1z1 +

g2x2z2 + . . .+

g2xn

zn = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .gmx1

z1 +gmx2

z2 + . . .+gmxn

zn = 0

Din acest sistem vom putea exprima m dintre variabilele zk n functie de

celelalte n m, astfel ca, nlocuind n forma patratica hf ;A;, vom ajungesa studiem definirea unei forme patratice cu nm variabile independente. In functie de rezultatul obtinut, vom putea deduce natura punctului criticA Dr:

- daca forma patratica este pozitiv definita, atunci A este un punct de

minim local conditionat.

- daca forma patratica este negativ definita, atunci A este un punct de

maxim local conditio

Analiza Matematica I - Chis Codruta.pdf

Documents

Transcript of Analiza Matematica I - Chis Codruta.pdf