Şelariu Mircea Eugen, SUPERMATEMATICA. Fundamente Vol. I Editia a II a, 2012 Cap. 9 -2

9. APLICAII ALE FSM CE cex I sex

278

9.3 APLICAII MATEMATICE i TEHNICE ale FSM-CE cex i sex

Aa cum s-a afirmat anterior, una dintre aplicaiile cele mai importante, dup prerea autorului, consist n aplicaia tehnic ce const n desenarea unor organe de maini (cremalier, care a fost amintita anterior - Fig.9.13,a -) i chiar a unor sisteme tehnice n ansamblul lor (avion Fig.7.1, cas .a) i ele prezentate succint n aceasta lucrare, precum si a unor entiti artistice (Meduze,Fig. 9,13,b).

Funcia C = bex bex( /2) i cremaliera

desenat cu aceast funcie pentru e = 1

Fig. 9.13,a Funciile cos C i sin C

SM - CAD-CAM, de care s-a amintit, ar fi o aplicaie n care matematica i tehnica s-ar regsi/contopi ntr-un singur tot: obiectele tehnice (Fig. 9.13,b) s-ar putea nlocui prin reprezentrile lor matematice, cecea ce ar fi un nceput promitor pentru economia de memorie i pentru un viitor de succes al tiinei i al tehnicii.

2 4 6 8 10 12

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

10 20 30 40 50 60

-1-0.8-0.6-0.4-0.2

0.2

1 2 3 4 5 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1


279

Fig. 9.13,b Obiecte tehnice (Toruri (bi)ptrate nlnuite) i obiecte artistice (Meduze) realizate cu FSM-CE

In partea de jos a figurii 9.13,a sunt reprezentate funciile cosC i sinC.

ntrebarea este dac aceste funcii aparin ME sau MC ? Sigur este c ele aparin supermatematicii (SM), care nglobeaz/cuprinde ambele domenii.

Alte aplicaii, mult mai importante, ale noilor funcii cex i sex vor fi prezentate n continuare, ncepand cu diversificarea obiectelor matematice sau, mai

precis, la obinerea unor obiecte matematice noi cum este, de exemplu, strmba, ca o generalizare a dreptei, torul cu seciune ptrat, tiunghiular sau hexagonal i de form rotund/circular, ca i torul cu seciunile amintite i de forme triunghiulare, ptrate, hexagonale, tor (bi)ptrat, Fig. 9.13,b .a.

n domeniul 3 D se pot aminti i reprezenta elice de diverse forme (circulare, ptrate, tringhiulare .a.) de pas variabil, n sensul c pentru 2n rotaii pasul poate fi stabilit constant, apoi, pentru urmtoarele 2n rotaii elicea are pasul zero.

9.3.1 INTRODUCEREA NOIUNII DE STRAMB N MATEMATIC Aflndu-ne, acum la al nceputul celui de al de-al II-lea volum, poate rezulta

mai clar, ceea ce s-a afirmat n introducerea lucrrii, n primul volum, i anume, c matematica centric are dimensiunea topologic zero, a unui punct, n timp ce,


280

matematica excentric are dimensiunea topologic de minimum 2, a unei suprafee. De asemenea, c matematica centric este proprie sistemelor ideale, perfecte, liniare, n timp ce, matematica excentric este proprie sistemelor reale, imperfecte, neliniare. ntre cele dou matematici nu exist nicio grani, niciun obstacol real, de aceea se poate afirma c noile complemente de matematic terg graniele, care au existat pn acum, dintre liniar i neliniar ! Aa cum a propus regretatul maematician Anton Hadnady, toate curbele cunoscute din matematica centric se vor denumi n continuare centrice i cele corespondente matematicii excentrice se vor denumi excentrice [1],[4],[5],[6], [7].

Fiecrei curbe cunoscute din centric, adic fiecrei centrice, i corespund o infinitate de excentrice. Astfel, unui cerc, unei elipse, unei hiperbole, unei spirale

.a.m.d. i corespund o infinitate de excentrice circulare, eliptice, hiperbolice .a.m.d., evident de forme care se abat de la centricele generatoare, cu att mai mult, cu ct

excentricitatea are valori mai mari. Din ecuaiile excentricelor, pentru e = s = 0, se obin, n mod evident, centricele.

n mod analog, fiecrei centrice liniare, denumita drept, din matematica centric (MC), n matematica excentrica (ME) i vor corespunde o infinitate de excentrice liniare ce vor fi denumite strmbe. Deoarece, ceea ce nu e drept e stramb i totodat liniar, pentru c are o singura dimensiune, lungimea, pentru a se deosebi de dreapt, chiar dac-i mai spunem i excentric. Prin urmare i dreapta este un caz particular de strmb : o strmb de excentricitate nul, aa cum este prima bisectoare din figura 9.14.

P U N C T U L

Punctul i dreapta sunt entiti i noiuni elementare ce nu pot fi definite n matematic; dar numai dreapta este o figur fundamental n geometria centric.

n plus, punctul este singura entitate de dimensiune nul, astfel c el este acelai, ca form sau, mai precis, far ea, n ambele matematici: centric i excentric,


281

ntruct el (ne- avnd figur) nu-i poate modifica forma prin creterea valorii excentricitii.

Totodat, punctul nu are coordonate unghiulare (unghiurile lui Euler , , ) ci numai coordonate liniare x, y, z. n consecin, el este neorientabil, fiind doar localizabil n spaiul bi- sau tridimensional 3D.

Localizarea punctului n spatiul 2D (planul centric), dat de MC2(x,y) = MC2(2,

0,7), difer, ns, de localizarea lui n planul excentric ME2 i ME3. Coordonatele punctului, n planul excentric, prezentate n figura alaturat, n

care ambele axe sunt excentrice, de acelai excentru S (s, = z [rad]) = S [0,6 ; 0,5] sunt: ME { cos[x - arcsin[s.sin[x-z]]= cex ; sin[y - arcsin[s.sin[x-z]]= sex}, aici x, z i y

DISTANA DINTRE DOU PUNCTE

Distana dintre dou puncte M1(x1, y1) i M2(x2, y2), exprimate n coordonate carteziene, se calculeaza, aa cum se tie, cu formula :

(9.28) (M1 M2) = 2

21

2

21 )()( yyxx

Identificm pe M1 cu excentrul S(sx, sy) exprimat prin coordonate carteziene S(sx = s.cos, sy = s.sin) sau n coordonate polare S(s, ) i pe M2 cu punctul W de intersecie a semidreptei d +, turnante n jurul excentrului S, cu cercul unitate exprimat

prin W (x = cex , y = sex ), n coordonate carteziene sau, n coordonate polare, cu

W(R.rex , ), dac funcia rex este exprimat n funcie de variabila excentric i

cu W (R Rex, ) dac este exprimat n funcie de variabila la centru (sau centric)

.

Atunci, relaia (9.28) va exprima i distana dintre excentrul E i punctul W de

pe cercul de raza R care este, prin definiia funciei radial excentric (rex ) - multiplicat cu raza cercului R, adic, tocmai distana de la E la W : (9.29) d ( M1, M 2) = d ( E, W )

=

n care: s este excentricitatea numeric i e = sR este excentricitatea real, e - distana de la originea O la excentrul E.

S-a mai afirmat n lucrare, c FSM-CE radial excentric rex1,2 exprim distana, n plan, dintre dou puncte S i M1,2 n coordonate polare.

Relaiile (9.29) rezult prin nlocuirea coordonatelor punctelor E M1 i W M2 n relaia (9.28), dar sunt cunoscute i ca expresiile invariante ale funciei

supermatematice circulare excentrice radial excentric (rex sau Rex ) [1], [8], [11]. Observaia prin care funcia rex i Rex, o adevarata funcie rege, poate

exprima toate curbele plane cunoscute i o infinitate de curbe plane noi, dar exprim i

distana dintre dou puncte n plan, n coordonate polare, aparine Prof. em. dr. math. Octav Emilian Gheorghiu, regretatul ef al Catedrei de Matematica de la Facultatea


282

de Mecanic din Timioara. Totodat, trebuie reamintit c, normarea funciilor radial excentrice s-a fcut la propunerea Prof. Dr. Ing.Dan Perju, n vremea n care era decan al Facultii de Mecanic din Timioara.

S T R A M B A DE VARIABIL EXCENTRIC Dreapta, avnd o (singur) dimensiune, liniar, ii modific forma la trecerea

din liniar (centric) n neliniar (excentric), adic se strmb din ce n ce mai mult, prin creterea excentricitii numerice s, aa cum se poate observa n figura 9.14. Ca i n cazul altor excentrice [4] [5] [ 6], strmba se va obine prin nlocuirea funciilor centrice, din ecuaiile dreptelor, cu cele excentrice corespondente.

Funciile supermatematice, obinndu-se prin nlocuirea variabilei centrice

cu funcia (de variabila excentrica ) denumit n SM funcia amplitudine excentric

aex . De aceea, ecuaia

(9.30 ) () = aex = arcsin[s.sin(-)],

va reprezenta ecuaia strmbei primei bisectoare. Ca sa fie mai uor de recunoscut, prin funcia de reducere la primul cerc, ea se

poate scrie nu n funcie de unghiul , ci n funcie de variabila real x astfel : (9.30) y(x) = aex (x) = x arcsin [s.sin(x -z)], funcie reprezentat n figura 9.14

pentru excentriciti numerice variind n domeniul s [-1, + 1], n care strmbele prezint grafice continue.

Pentru s > 1, strmbele sunt continue numai pe poriuni. Pe acele poriuni pe care, dreapta turnant din excentrul S, acum exterior cercului unitate, intersecteaza cercul unitate.

Principiul este valabil i pentru distana dintre dou puncte: pentru e = 0 E O i distana SW = OW = R, raza cercului. n acest caz, rex ((, s = e = 0) = Rex((, s = e =0) = 1; ceea ce rezult i din relaiile (9.29) pentru s = e = 0 .

Ecuaia dreptei ce trece prin originea O (0, 0) a sistemului cartezian drept xOy este

(9.31) y = m.x = tan k. x ,

astfel c ecuaia strmbei, de variabil excentric x va fi

(9.32) y = m.aex (x, S) = tan k.aex [x, S(s, )] = m.{x-arcsin[s.sin(x-z)]},

n care s i z = mod (2) sunt coordonatele polare ale excentrului S. Ecuaia strmbei (i a dreptei) determinat (ce trece prin) de punctul M 0(x0 ,y0) i de direcie m este (9.33) y = m{x x0 arcsin[s.sin(x-z)]} + y0 ,

obinut din ecuaia dreptei generatoare (9.33) y y0 = m ( x x0) Plecnd de la forma general a dreptei i a ecuaiei de gradul nti, dat de Pier Fermat (1637), rezult ecuaia general a strambei :


283

(9.34) A.{x-arcsin[s.sin(x-z)]} + B.y + C = 0 .

Fig. 9.14. Familie de STRMBE rezultate din ecuaia primei bisectoare ca FSM-CE amplitudine excentric.

Pentru s = 1 se obin linii frnte(Curbe n trepte Florentin Smrandache i Curbe linii drepte frnte Octav Gheorgiu)

Ecuaia normal a strmbei, rezultat din ecuaia normal a dreptei, data de A. Cauchy (1826), este

(9.35) {x-arcsin[s.sin(x-z)]}.cos a + y. sin a p = 0 , n care p este lungimea normalei la strmba de e = 0, dus din originea reperului, iar a este unghiul pe care normala l face cu direcia pozitiv a axei absciselor x. Asemntor, se pot obine ecuaiile strmbelor ce trec prin doua puncte, plecnd de la forma data de S. Lacroix (1798);

(9.36 )

sau ecuaia strmbei de s = 0 (dreptei) prin taieturi data de A. Crelle (1821)

(9.37)

.

Importana strmbei consist n aceea c ea poate reprezenta caracteristici elestice neliniare, strict necesare n dinamica sistemelor tehnice, a vibraiilor sistemelor neliniare, caracteristici elastice statice (CES) greu de obinut anterior numai cu MC.

n figurile 9.15 i 9.16 sunt prezentate strmbe de m = 1 i excentricitate supraunitar i, respectiv, strmbe ce trec printr-un anumit punct M0 i de pant m = 3.

4 2 2 4

6

4

2

2

4

6


284

Funciile supermatematice, de variabil centric , elimin dezavantajul discontinuitii, prezentat de funciilor supermatematice circulare excentrice de variabil excentric , aa cum s-a artat n lucrarea [8].

STRMBE DE VARIABIL CENTRIC Se obin n mod asemntor, cu observaia c variabila x, din ecuaiile

dreptelor, exprimate n diverse forme, se nlocuiete cu funcia de variabil centric

Aex (, S ), dat de expresia cunoscut :

Aex = () = + () =

n cazul funciilor de variabil excentric, dreapta generatoare d se rotea n jurul excentrului S i intersecta cercul unitate n punctele W1,2. Apoi, din centrul O

rezultau direciile radiale centrice 1,2. De aceea, pentru excentrul S, exterior cercului unitate, funciile existau numai n anumite domenii.

Fig.9.15 Strmbe de excentricitate

numerica e supraunitar

s [-2, 2 ], m = 1

Fig.9.16 Strambe ce trec pin punctul

M0 (2, 3), m = 3

n cazul funciilor de variabil centric, dreapta generatoare se roteste n jurul centrului O al cercului unitate, astfel c, oriunde ar fi excentrul S, n planul cercului,

dreapta intersecteaz n permanen cercul unitate n punctele W1,2, diametral opuse, ntr-o variant posibil i segmentele SW1,2 vor defini direciile radiale excentrice de

unghiuri 1,2 cu axa absciselor.

4 2 2 4

4

2

2

4

2 4 6 8

5

5

10

15

20


285

Fig.9.17 Familie de STRMBE de variabil centric, pentru excentrictate

numeric s [-2,5; 2,5] i coeficient unghiular m = 1

Funciile supermatematice circulare excentrice i hiperbolice de variabil centric vor fi tratate n extenso n continuarea acestei lucrari (Vol. II).

Ecuaia familiilor de strmbe de variabil centric, ce trec prin punctul M0 ( x0, y0) i de coeficient unghiular m = tan k, este :

(9.38) y y0 = m [ x + arcsin

]

i pentru M0 (2, 3 ) i coeficient unghiular m = 3 sunt prezentate n figura 9.17.

CONCLUZII LA STRMBE

La intrebarea pus de Fourier, ntr-o discuie cu Monge n 1795 i relatat de Jeremy Gray n Idei despre spaiu , CE ARE DREPT O LINIE DREAPT ? acum se poate raspunde cu certitudine : EXCENTRICITATE NUL

Strmba, ca i degenerata ei - dreapta, mparte planul n dou semiplane pentru Abs[s] < 1.

Dac A. G. Kstner afirma la 2 august 1789 Nu exist o definiie clar a dreptei, acum se poate afirma cu claritate c dreapta este o strmb de excentricitate nul.

Mai ramne de aprofundat/definit clar ce-i strmba ? Pentru c exist foarte multe curbe diferite de dreapt dar i de stramb.

i strmbele sunt de mai multe genuri. Aa, de exemplu, utilizand funcia amplitudine (sau amplitudinus) am(u,k) a lui Jacobi, din teoria funciilor speciale

eliptice, foarte asemntoare cu funciile aex i Aex, care sunt denumite, din aceast cauz, chiar amplitudune excentric de variabil excentric i, respectiv,

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6


286

centric, prin analogie cu fauncia amplitudinus, se obin curbe foarte apropiate de strambele prezentate n prezenta lucrare. Aceste strambe ar putea fi definite ca strambe eliptice Jacobi.

i alte funcii supermatematice circulare i hiperbolice excentrice, elevate i exotice pot la fel de bine exprima caracteristici elastice neliniare, asemntoare strmbelor de excentricitate diferit de zero.

Vom denumi strmbele obinute cu funcii circulare excentrice strmbe excentrice, iar cele obinute cu funcii circulare elevate i exotice, strmbe elevate i, respectiv, exotice.

Toate acestea pot fi de simpl, dubl sau multipl excentricitate, iar excentrul poate fi un punct fix (e, = constante) sau de punct mobil ce evolueaz pe diverse curbe.

9.3.2 LOBE, CVADRILOBE I SISTEME VIBRANTE CVADRILOBICE Lobele sunt familii de curbe inchise, rezultate din transformarea continu a

cercului ntr-un poligon perfect, fiecare curb nchis a familiei, dispunnd de mai

muli lobi (Fig.9.18), cu excepia curbei generatoare, care, n toate cazurile, este un cerc, cu zero lobi.

Curbele din familia de lobe se disting printr-o anumit raz R i excentricitate e, sau o anumit excentricitate numeric s = e/R, denumit i modul.

In toate cazurile, pentru s = 0 se obine cercul, care nu dispune de niciun lob, fiind considerat curb generatoare a familiilor de lobe i, pentru s = 1, se obine un poligon cu n laturi, perfect rectilinii.

Pentru valori intermediare s (0, 1) se obin n-lobele. Raza R a cercului generator al lobelor, aceeai pentru o familie de lobe, imprim mrimea curbelor din familie, n timp ce, excentricitatea e sau s modific continuu forma lobelor din familie: de la cerc (s = 0) la un poligon perfect cu 3, 4n laturi (s = 1).

Transformare continu a cercului ntr-un poligon cu n laturi perfect rectilinii este posibil prin utilizarea funciilor supermatematice circulare excentrice de variabila excentrica [1], [2], [3] sau centrica [10], dependena dintre variabile fiind dat de relaia cunoscut = arcsin[s.sin(-)] Cvadrilobele (QL) sunt o familie de curbe nchise cu 4 lobi, rezultate din transformarea continu a cercului n ptrat, de forma ptratelor cu laturi

curbe i coluri rotunjite (Fig.9.19), exprimate de ecuaiile parametrice

(9.40) M

sau, mai simplu:

(9.40) M

pentru s2 [0, 1].


287

Fig. 9.18 O trilob (verde) i o cvadrilob (roie)

FUNCII CvDRILOBE (FQL)

Coordonatele punctului curent M(x,y) )]([ sQL , ce aparine unei cvadrilobe

(de raz R = 1 i de excentricitate numeric s = k, cu excentrul S pe axa x = 0) i semidreptei d

+ ( = ), cu polul n originea O(0,0), adic M = d+ () QL(s = k), sunt,

totodat, funciile cvadrilobe centrice (FQC) cosinus cvadrilob (coq) i sinus cvadrilob (siq) centrice de variabil excentric [Fig.9.19].

Fig. 9.19 Cvadrilobe centrice de R = 1 i de R variabil (R = 1 s)

Coordonatele polare ale lui M (r, ) , de variabil excentric sunt

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0


288

(9.41) M

i utiliznd (9.39),

(9.41) M

, de variabil centric :

Fig. 9.20 Cvadrilobe Alaci Valeriu R =1 s2(1 ) rotite cu /4, pentru s [0, 1]

Coordonatele polare ale lui M(r, ) sunt

(9.42) M

astfel c pot fi definite i funciile cvadrilobe centrice de variabil centric

(9.43) M

Cercul generator R = 1 este inscris tuturor cvadrilobelor, inclusiv ptratului sau cvadrilobei de s = k = 1.

Prin rotirea cvadrilobelor cu /4 i modificarea razei cercului generator de la

R = 1 la R = 1 k2 (1

), astfel, nct cercul generator, din cerc nscris, s devin cerc

circumscris tuturor cvadrilobelor, nclusiv ptratului rotit cu /4, se obin cvadrilobele Valeriu Alaci (Fig.9.20) centrice (QLAC) i, prin intersecia acestora cu semidreapta d

+(), se vor obine funciile cvadrilobe Valeriu Alaci (FQLA).

Ele constitue o trecere continua de la funciile circulare, din trigonometria centric Leonhard Euler (e = s = k = 0), la funciile ptratice Valeriu Alaci, din trigonometria ptratic, introdus n matematic, nainte de anul 1940, de fostul ef al Catedrei de Matematic al colii Politehnice din Timioara, profesorul universitar dr. mat. Valeriu Alaci.

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

2 1 1 2

2

1

1

2


289

Fig. 9.21 Funcii cvadrilobe. Desen explicativ

Fig. 9.22 Cosinusul coq i sinusul siq cvadrilobe

De variabila , sau , aceste funcii au cosinusul cuadrilob Valeriu Alaci

cqa i sinusul cuadrilob Alaci sqa exprimate de relaiile :

(9.44) M

n care x i y sunt FQLC (9.44).

SISTEME VIBRANTE CVADRILOBE

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0


290

Punctul reprezentativ M al QL(k) se poate roti cu vitez unghiular constant n jurul centrului O, caz n care, M se va roti i el pe QL(k) cu aceeai vitez unghiular constant, dar cu viteza (liniara) pe QL(k) variabil n modul i n direcie, cu excepia cazului s = k = 0, cnd modulul vitezei este constant (r = R = 1).

Considerand, n contiunare, variabila excentric ce poate varia n jurul excentrului S (s = k, ), pentru = 0, dup legea (9.45) = t , rezult c variabila centric , dat de (9.38), va avea expresia (9.46) = t arcsin[k.sin(t)] a crei derivat, d viteza unghiular variabil , cu care punctul W se rotete pe cercul unitate generic.

(9.47)

.

Punctul M de pe QL(k) se va roti i el in jurul lui O cu o alta vitez unghiular variabil.

In punctele n care cercul unitate este tangent QL, pentru = 0 + n./2, (n = 1,2,3,), n care i r = R = 1 i = , vitezele unghiulare ale punctului M vor fi egale cu acelea ale semidreptei centrice din O, care face unghiul cu axa x, deci cu . Proieciile micrii lui M (x,y) de pe QL pe axele x i y vor genera cte o micare de vibraie, iar sistemele vibrante, astfel obinute, sunt definite ca sisteme vibrante cvadrilobe (SQL).

Fig. 9.23,a Derivatele funciilor cvadrilobe: coq i siq

Dac se consider poziia lui M la momentul t i, respectiv, x i y poziiile proieciilor lui M pe axa x i, respectiv y, atunci vitezele de deplasare ale proieciilor lui M pe aceste axe sunt date de derivatele acestora, care sunt i derivatele FQL n funcie de timp.

1 2 3 4 5 6

2

1

1

2

1 2 3 4 5 6

3

2

1

1

2


291

Fig. 9.23,b Curbe integrale n spaiul fazelor

innd cont de (9.41) acestea sunt :

(9.48) M

, cu graficele din figurile 9.23, a i 9.23, b

Fig. 9.24 A doua derivata a funciilor cvadrilobe: acceleraiile sistemelor vibrante cvadrilobe

i acceleraiile

1.0 0.5 0.5 1.0

2

1

1

2

1.0 0.5 0.5 1.0

2

1

1

2

1 2 3 4 5 6

4

2

2

4

1 2 3 4 5 6

3

2

1

1

2

3


292

(9.49)

, sau

(9.49)

ECUAIA DIFERENTIAL A VIBRAIILOR SISTEMELOR CVADRILOBE (VSQL)

Matricea Wronskiana a QLSV este:

(9.50)

astfel c funciile QL (9.41) i combinaii acestora (9.51 ) z = C1 coq + C2 siq sunt soluii ale ecuaiei difereniale (9.52) n care A W i

(9.53)

iar coeficientul variabil C este dat de determinantul

(9.54)

CARACTERISTICILE ELASTICE STATICE (CES) ALE SVQL

Considerand un SVQL de masa m = 1 i de pulsaie proprie = 1, fora de acceleraie Fa, n funcie de , este dat de relaiile (9.49).

Prin schimbarea de variabil n (9.49), innd cont de relaiile (9.41), se obine fora de acceleraie n funcie de deplasarea x i, respectiv, y.

In lipsa forei de excitaie i n cazul unui sistem neamortizat C = 0 sau = 0 singurele fore din sistem sunt: fora de acceleraie Fa i fora elastic Fe care sunt egale i de sens contrar Fe = Fa. n consecin, prin schimbarea semnului fortei Fa(x) i, respectiv Fa(y), se obin forele elastice Fe(x) i, respectiv, Fe(y) date de relaiile parametrice, pentru m = 1


293

(9.55)

sau de cele explicite, n funcie de delasarea x i, respectiv, y

ParametricPlot[Evaluate[Table[{Cos[t]/Sqrt[1-(0.1 u Sin[t])^2],- ( Cos[ t] (-1+0.01 u2+u2 (-0.02+

0.0002 u2) Sin[t]2)/(1 -0.01 u^2 Sin[t]^2)2.5)},

{u,0,9}], {t,-Pi,Pi},GridLinesAutomatic]]

Plot[Evaluate[Table[{((1+0.02 u^2) x-0.02 u^2 (2+0.01 u^2) x^3+0.0003 u^4 x^5)/(1-0.01 u^2)},{u,0,10}],

{x,-1,1}, AspectRatio1.5]]

Fig. 9.25,a Caracteristici elastice statice (CES) neliniare cvadrilobe

(9.55)

care reprezint, totodat, i CES neliniare moi (regresive) ale SVQL, redate n figura 9.25,a.

Att CES n funcie de x ct i CES n funcie de y sunt, evident, identice pentru c exprim CES a aceluiai sistem cvadrilob (unic), de aceea, n figura 9.25,a au fost reprezentate CES cvadrilobe prin relaiile(9.55) i (9.55). Alte tipuri de CES, mpreun cu relaiile lor, sunt prezentate n figura 9.25,b. Primele, din stnga - sus, sunt progresive sau tari, iar cele din dreapta-sus sunt

regresive sau moi. Mult mai interesante sunt CES din partea de jos a figurii 9.25,b.

Astfel, n stnga-jos sunt prezentate CES moi sau regresive care pentru s = 0

sunt CES liniare, iar pentru s = 1 sunt CES liniare ale unui sistem cu strngere prin

friciune, la care deplasarea apare numai cnd fora exterioar de excitaie depete valoarea forei de frecare din sistem.

1.0 0.5 0.5 1.0

4

2

2

4

1.0 0.5 0.5 1.0

4

2

2

4


294

Plot[Evaluate[Table[{x-ArcSin[0.1 u Sin[x]]}, {u,0,10}],

{x,-1.5,1.5}, GridLinesAutomatic]] Plot[Evaluate[Table[{2 (x-ArcTan[0.1 u Tan[x]])},

{u,0,10}], {x,-1,1, GridLinesAutomatic }]]

Plot[Evaluate[Table[{{3 (t+ArcSin[0.1 u Sin[t]/Sqrt[(1-

(0.1 u Cos[t])^2)]])}}, {u,0,10}], {t,-Pi/1.5,Pi/1.5}, GridLinesAutomatic]]

Plot[Evaluate[Table[{x-ArcSin[0.1 u Sin[x]]}, {u,0,10}], {x,-Pi,Pi}, GridLinesAutomatic]]

Fig. 9.25,b Caracteristici elastice statice (CES) neliniare regresive sau moi i progresive sau tari i liniare cu frecare (stnga s = 1) i cu joc (dreaptas =1)

1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

1.0 0.5 0.5 1.0

2

1

1

2

2 1 1 2

10

5

5

10

3 2 1 1 2 3

3

2

1

1

2

3


295

n dreapta-jos sunt CES liniare care pentru s = 0 sunt liniare continue,iar

pentru s = 1 reprezint CES ale unor sisteme cu joc; n domeniul jocului forele fiind nule.

CURBE INTEGRALE N PLANUL FAZELOR

n consecin, curbe integrale n planul fazelor )(xx

vor avea i ele aceleai

forme, prezentate n figura 9.26 pentru s = k [0, 1] cu pasul 0,1. Curbele acceleraiilor pe x sau y au aceeai form, aa cum sunt reprezentate n figura 9.27.

ParametricPlot[Evaluate[Table[{Sin[t]/Sqrt[1-0.01 k^2 Cos[t]^2], -(1-0.01 k^2) Cos[t] /(1-0.01 k^2 Cos[t]^2)^ -1.5}, {k,0,10}], {t,0,2 Pi}, AspectRatio1]]

ParametricPlot[Evaluate[Table[{Cos[t]/Sqrt[1-0.01 k^2 Sin[t]^2], -(1-0.01 k^2) Cos[t] (1+0.02 k^2 Sin[t]^2)/ (1-0.01 k^2 Sin[t]^2)^-2.5}, {k,0,10}],{t,0,Pi}]]

Fiog. 9.26 Curbe integrale

n planul fazelor (x) Fig. 9.27 Acceleraiile (x) i (y)

CONCLUZII

Au fost introduse n matematic obiecte geometrice (QL i QLA) i funcii noi i utile, care sunt soluii ale unor sisteme vibrante neliniare de caracteristici elastice statice regresive (Fig.9.25), prezentate n prezenta lucrare ca funcie de variabila excentric .

La fel de importante sunt i soluiile date de celelalte variabile i , care vor fi prezentate n lucrri viitoare.

Noile curbe nchise i funciile aferente lor, realizeaz o transformare continu a cercului ntr-un poligon perfect; ntre dou dintre cele mai importante forme geometrice ale matematici, eliminand, astfel, graniele dintre ele: dintre cerc i ptrat.

FQL de variabil centric coq i, respectiv, siq au graficele prezentate n figura urmtoare (9.28 ) i au alura asemntoare cu FQL de variabil .

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0


296

Curbe nchise de forma n-lobelor sau polilobelor se pot obine i cu ajutorul funciilor SM - CE Rex(n ), care nu tind la limit spre un n-poligon perfect ci spre n-roze, aa cum se observ n figura urmatoare 9.29 pentru n = 4 i n = 8.

Funciile QL Valeriu Alaci, prezentate succint, unific funciile circulare cu cele din trigonometria patratic a lui Valeriu Alaci, ntroducand o infinitate de alte funcii ntre cele mai uzuale funcii matematice (circulare Euler i ptratice Alaci).

s [-1, 0] s [-1, 0]

s [0, + 1] s [0, + 1]

Fig. 9.28 Funcii cuadrilobe coq i siq de variabil centric

Dac sistemele vibrante Duffing avnd CES de forma: Fe= k0 x x3 ,

reprezint primii doi termeni ai dezvoltrii n serie de puteri Taylor, n jurul originii, CES a SVQL reprezint aceeai dezvoltare dar cu un termen n plus, aa cum rezult din ecuaia explicit (9.55). Deci cu un pas mai apropiat de o oarecare CES real, neliniar.

9.3.3 TOR EXCENTRIC Torul centric este o suprafa nchis, generat de un cerc care se rotete n jurul unei axe palele i exterioare planului cercului. Dac Oz este axa de rotaie, cercul generator avnd raza R iar centrul fiind la distanta A de aceast ax, ecuaiile parametrice ale torului centric vor fi

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0


297

(9.56)

Fa de notaiile clasice, cu t i u, s-au ntrodus alte notaii care s corespund FSM-CE.

De funcia de variabila depinde forma torului : circular (cu FCC) sau necircular (FSM-CE), n jurul axei Z, iar de funciile de variabila depinde forma seciunii : circulare sau necirculare ale torului. Aa cum s-a mai afirmat, prin simpla nlocuire a FCC cu FCE , de exemplu, se obin noi forme matematice, sau, mai precis supermatematice.

Astfel, nlocuind n (9.56) funciile circulare centrice de variabila cu cele cvadrilobe (cos coq i pe sin siq ) se obine un tor circular de seciune ptrat, reprezentat n figura 9.30. de ecuaiile parametrice (9.57).

Fig. 9.29 Rex (n) n polar epicicloide (roze)

Fig. 9.30 Tor excentric circular si ptrat de seciuni ptrate

Prin nlocuirea tuturor FCC cu funcii cuadrilobe, rezult un tor ptrat de seciune ptrat (Fig. 9.30) cu ecuaiile parametrice din relaia (9.58).

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

-2

0

2

-2

0

2

-1

-0.5

0

0.5

1

-2

0

2

-4

-2

0

2

4-4

-2

0

2

4

-1-0.5

00.5

1

-4

-2

0

2

4


298

(9.57)

In figura 9.31 sunt prezentate un tor pentagonal i unul hexagonal de seciuni circulare, obinute prin artificii de programare, n sensul c s-a dat comanda PlotPoints(60, 6) pentru pentagon i PlotPoints(60, 7) pentru hexagon.

Fig. 9.31 Tor pentagonal i tor hexagonal trucat

Dac FCC de (cos i sin ) din (9.56) se nlocuesc cu FSM-CE, (cex i sex ), se obin ecuaiile parametrice (9.59) i torul excentric din figura 9.32.

(9.58)

siqz

coqAqy

coqAcoqx

)(sin

)(

[0, 2/2] si [0, 2] , A = 3

9.3.4 FORME DE EVI I MBINAREA LOR DE COL

Deoarece, un cilindru circular drept este reprazentat de ecuaiile parametrice

(9.59)

,

n care [0, 2] i = H, nalimea cilindrului, prin nlocuirea FCC n (9.59) cu funciile cuadrilobe corespunzatoare sau cu funciile dex ( = ) i dex ( /2) de excentricitate numeric s = 1, se obin cilindri drepi de seciune ptrat (Fig.9.33). n fine, prin programarea corespunzatoare a celor trei tipuri de cilindri se obin mbinri de col, ca cea din figura 9.34. Obiecte 3D, interesant pentru c demonstreaz faptul c ecuaii simple SM pot reprezenta corpuri complexe sunt prezentate n mai multe vederi n figura 9.35.

-2

0

2

-2

0

2

-1

-0.5

0

0.5

1

-2

0

2

-2

0

2-2

0

2

-1-0.5

0

0.5

1

-2

0

2


299

Fig. 9.33 Cilindri drepi de seciune ptrat i triunghiular

Fig.9.34 mbinare de col cu evi de seciuni diferite

ncheiem cu corpuri 3D de forma unor elice (Fig.9.36), circulare, ptrate i triunghiulare, cu pas constant ntr-o rotaie 2n i cu pas nul n urmatoarele rotaii cu 2n. Aici, n = 1. Situaia descris se repet periodic, dup 4n rotaii. Referindu-ne la onbiecte 3D complexe, exprimate matematic de relaii simple, nu putem s omitem cuburile supermatematice din figurile 9.37.

-1-0.5

00.5

1

-1

-0.500.5

1

0

2

4

6-1

-0.500.5

1

-1-0.5

00.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0

1

2

3

-1

-0.5

0

0.5

1


300

Unele ecuaii parametrice sunt de excentricitate constant, iar altele de excentricitate variabil. n toate cazurile, excentrul S a variat doar pe axa Ox ( = 0), deobicei pe partea ei pozitiv ( s > 0).

9.3.5 ALTE ALICAII Alte aplicaii pot fi vazute pe website-ul www.SuperMathematica.com n lucrarea Tehno-Art of Selariu Supermathematics Functions Editura ARP, 2007, USA.

ParametricPlot3D[{ Sin[t-ArcSin[Sin[t]]] Cos[u], Cos[t-ArcSin[Sin[t]]] Cos[u-ArcSin[Sin[u]]], Sin[u]}, {t,0,Pi}, {u,0, 2

Pi}, MeshNone, AxesFalse, BoxedFalse]

Fig.9.35,a Obiect 3D :

, t =

Şelariu Mircea Eugen, SUPERMATEMATICA. Fundamente Vol. I Editia a II a, 2012 Cap. 9 -2

Documents

Transcript of Şelariu Mircea Eugen, SUPERMATEMATICA. Fundamente Vol. I Editia a II a, 2012 Cap. 9 -2