Mircea Selariu - Supermatematica Vol_2_a

7/22/2019 Mircea Selariu - Supermatematica Vol_2_a

1/140

P R E F A T A

P R E F A TA

Volumul unu al acestei lucrari a tratat, in principal, functiilesupermatematice de variabila excentrica, amintid pe ici pe colo si de cele devariabila centrica, care fac obiectul volumului al doilea. Exceptie facfunctiile cosinus excentric (cex) si sinusul excentric (sex), de variabile

excentrice, omise din primul volum si care sunt tratate in capitolul 9,impreuna cu unele aplicatii mai importante ale lor. Si functiileamplitudine excentrica si beta excentrice au avut aceeasi soarta, de aceeasunt tratate, alaturi de cele de variabila centrica in acest volum..

Multe din functiile cuprinse in lucrare au facut obiectul unor cursuriuniversitare facultative la Facultatea de Mecanica din Timisoara, inperioada 1986-2000, a unor cursuri la Asociatia Astra Romana dinTimisoara, ca si a unor conferinte, tinute in fata studentilor absolventi ai

facultatii, sectia de Tehnologia Constructiilor de Masini, sau in cadrulunor cursuri de programare matematica a generarii unor suprafetelorcomplexe, cu ajutorul noilor functii supermatematice, ca un preludiu la onoua metoda de programare denumita SM-CAD-CAM. Ele au fosttratate si in cadrul cursului de MECATRONICA tinut de autorstudentilor TCM din anul IV si V, cat si in cadrul formei de invatamantpostuniversitar de Educatie Continua (2000 2003).

Sub denumirea de Functii circulare excentrice, noile complemente

de matematica, reunite, acum, sub denumirea de suspermatematica aufacut obiectut temei de cercetare fundamentala a catedrei de TCM inperioada 1977 -1990.


2/140

Conferinta, tinuta in fata cadrelor didactice universitare, tehnologisi matematicieni, de la Universitatea din Budapesta, in data de 3decembrie 1992 a facilitat realizarea unor colaborari cu colegii maghiari indomeniul supermatematicii si mecatronicii pe o perioada de doi aniuniversitari.

Volumul intai, aparut fara corectura, are destule greseli pe care si leasuma in mod egal autorul si editura si care, nu vor mai aparea in editiileurmatoare. Mai ales daca vor fi traduse si editate in limbi de circulatiemondiala, asa cum intentioneaza cateva edituri de mare prstigiu. Chiar

daca va fi corectat, cu siguranta ca si in prezentul volum se evor strecuraanumite greseli. Important este ca ele sa nu fie de fond.

Aceasta lucrare este rodul insistentelor de ani de zile ale dluiMartindale, senior editor la Editura Kluwer, chiar daca, din diversemotive, lucrarea n-a aparut la aceasta editura si n-ar fi aparut la nicoalta editura fara bunavointa dlui Prof dr. ing. Sabin Ionel, senior editorla Editura POLITEHNICA din Timisoara, caruia-i multumim peaceasta cale, asigurandu-l de toata stima noastra.

Conditiile grafice deosebite, cu figuri si grafice multicolore, oferitede Editura POLITEHNICA din Timisoara, sunt, probabil, acelea careau facut ca primul volum sa se epuizeze aproape instantaneu. Cea ce-idorim si celui de-al doilea volum ! Cititorilor ? Lectura placuta sisatisfactia de-a afla mai multe, dintr-un domeniu de mare viitor !

Timisoara 2009 Autorul


3/140

A B R E V I E R I

5

A B R E V I E R I si NOTATIIutilizate n cuprinsul lucrarii

A B R E V I E R E A

M A R I M I L O RG E O M E T R I C E

F U N C T I I L O RF

A Amplitudine am F Amplitudinus

AIAutoindus(e)

amhAm hiperbolic

B Beta amhex Amh excentricSOE Beta sistem oscilant excentric aex FSM-CE amplitudine excentric de V E ( sau x)C Cerc Centric Circular aexai Aex autoindusCC Circular Centric Aex FSM-CE amplitudine excentric de VC ( sau y )

CE Circular Excentric bex FSM-CE beta excentric de VE

CEl Circulare Elevate Bex FSM-CE beta excentric de VC

CEx Circulare Exotice ce Cosinus eliptic

CT C Trigonometric ceex Cosinus eliptic excentric

CU C Unitate ceai Ce utoindus

D Direcie Dreapta cel FSM-CEl cosinus (elevat) de VEDR D Radial Cel FSM-CEl cel de VC

DRC DR Centric (D+ D) celh FSM-Hel cosinus hiperbolic elevat de VE

DRE DR Excentric ( d+ d) Celh FSM-HEl celh de VC

E Excentru ExcentriceIntegrala eliptica de spea a doua

cex FSM-CEx cosinus (excentric) de VE

e Excentricitatea liniar real Cex FSM-CE cex de VC

El Elevate cexai Cosinus excentric autoindus de VE


4/140

Ex Exotice Cexai Cosinus excentric autoindus de VC

F Funcie Final cexh FSM-HE cosinus hiperbolic de VEf final Cexh FSM-HE cexh de VC

FAI F autoindus cexoh FSM-HEx cosinus hiperbolic de VE

FAIC FAI Centric Cexoh FSM-HEx cosinus hiperbolic de VC

FAIE FAI Excentric ci Cosinus intratrigonometric

FC F Circulare ciex Cosinus intratrigonometric excentric de VE

FCE FC Excentrice Ciex Cosinus intratrigonometric excentric de VC

FCEl FC Elevate cosai Cosinus autoindus

FCEx FC Exotice cotai Cotangenta autoindus

FE F Eliptice ctexai Cotangenta excentric de VE

FEC FE Centrice Ctexai Cotangenta excentric de VC

FEE FE Excentrice cexai Cosinus excentric autoindus de VE

FG F Gudermann,F Gheorghiu Em. Octav

Cex Cosinus excentric autoindus de VC

FGC FG Centrice Cexai Cosinus excentric autoindus de VC

FG E FG Excentrice cqa FSM-CC cosinus cuadrilob Alaci Valeriu

FH F Hiperbolice, F Hibride coq FSM-CC cosinus cuadrilob

FHC FH Centrice cscai Cosecanta autoindus

FHE FH Excentrice csci Cosecanta indus

FHSM FH superMatematice cscex Csc excentric de VE

FHSMC FHSM Centrice Cscex Csc excentric de VC

FHSME FHSM Excentrice ctex FSM-CE tangent excentric de VE

FI F Indus Ctex FSM-CE ctex de VC

FIT F IntraTrigonometric der FCC derivata ( der(x) = i.ei.x )


5/140

A B R E V I E R I

7

FM F Matematice dex FSM-CE derivat excentric

FMC FM Centrice Dex FSM-CE dex de VC

FME FM Excentrice del FCC delta, del(x,k) = ( 1- k2 sin2x )0,5

FP F Periodic der FCC derivata ( der(x) = i.ei.x )

FSM Funcii SuperMatematice dex FSM-CE derivat excentric

FSm F Smarandache Florentin Dex FSM-CE dex de VCFT F Trigonometric dexai dex autoinduse de V E

FTC FT Centric Dexai Dex autoinduse de VC

FTE FT Excentric rad FCC Radial centric de VC (rad(x) = e i.x )

FTT F TransTrigonometric rexai FSM-CE radial excentric autoindus de VE

G Gudermman, Gheorghiu O. Rexai FSM-CE radial excentric autoindus de VCH Hiperbol hiperbolic se Sinus eliptic de variabil circular

i Iniial sel FSM-CEl sinus elevat de VE

I Indus(e) Sel FSM-CEl sinus elevat de VC

IT IntraTrigonometric selh FSM-HEl sinus hiperbolic elevat deVE

K Integrala eliptic de prima spe Selh FSM-HEl sinus hiuperbolic elevat de VC

k Modulul integralelor i a F

eliptice,

sex FSM-CE sinus excentrice de VE

M Matematic Sex FSM-CE sinus excentrice de VC

m Modulul integralelor i a F

eliptice

seex Sinus eliptic excentric de variabil circular

MC M Centric sexai Sex autoindus de VE

ME M Excentric Sexai Sex autoindus de VC

MEl M Elevat sexi Sex indus de VE


6/140

MEx M Exotic Sexi Sex indus de VC

O Originea sexo FSM-CEx sinus exotic de VC

Q Quadrilob , Cvadrilob Sexo FSM-CEx sinus exotic de VC

R Raz constant (n modul ) sexh FSM-HE sinus hiperbolic excentric de VE

r R variabil (n direcie i modul ) Sexh FSM-HE sinus hiperbolic excentric de VC

S Super Solar Excentrul CU sexoh FSM-HEx sinus hiperbolic exotic de VE

s Excentricitatea liniar numeric Sexoh FSM-HEx sinus hiperbolic exotic de VC

SM Superatematica si Sinus intratrigonometricSm Smarandache siex Sinus intratrigonometric excentric de VET Tangent() Siex Sinus intratrigonometric excentric de VC

TV T Voinoiu siq FSM-CC sinus cuadrilob

TT TransTrigonometric sqa FSM-CC sinus cuadrilob Alaci Valeriu

V Variabil Voinoiu tel FSM_CEl tangenta elevata de VEVC V Centric Tel FSM-CEl tangenta elevata de VC

VE V Excentric tev FCE Noua tangenta excentrica Voinoiu de VE

Tev FCE noua tangenta excentrica Voinoiu de VC

tex FSM-CE tangenta excentrica de VE

Tex FSM-CE tangenta excentrica de VC

texai Tangenta excentric autoindus de VE

Texai Tangenta excentric autoindus de VC


7/140

S I T U A I A A C T U A L A S U P E R M A T E M A T I C I

S U P E R M A T E M A T I C A = MATEMATICA CENTRICA MATEMATICA EX


8/140

11

LISTA NOILOR FUNCTII MATEMATICE iSUPERMATEMATICE (SM) DIN LUCRARE

N MATEMATICA CENTRICA N MATEMATICA EXCENTRICAFuncii C E N T R I C E Funcii E X C E N T R I C E

DENUMIREAF U N C I E I

NOTAREA DENUMIREAF U N C I E I

NOTAREA

F U N C T I I C I R C U L A R E

rad Radial excentr ic de variabil excentric rex

Radial excentr ic de variabil centric Rex

Derivat centric der Derivat excentricde variabil excentric dex

Derivat excentricde variabil centric Dex

Autoindusecentrice

Autoinduse excentricede variabila centric i de

variabia excentric

Cosinus autoindus cosai Cosinus excentric autoindus Cexai, cexaiSinus autoindus sinai Sinus excentric autoindus Sexai, cexai

Tangenta sicotangentaautoinduse

tanaicotai

Tangenta si cotangentaexcentrice autoinduse

Texai, texaiCexai, cexai

Secanta i cosecantaautoinduse

secaicscai

Secanta i cosecantaexcentrice autoinduse

Secexai, secexxaiCscexai, cscexai

Induse centrice Induse excentrice

Cosinus indus cosi Cosinus excentric indus cexi

Sinus indus sini Sinus excentric indus sexi

Tangenta sicotangenta induse Tanicoti Tangenta si cotangenta excentriceinduse texicexi

Secanta i cosecantainduse

secicsci

Secanta i cosecanta excentrice induse Secexicscexi

Cosinus excentric de i de cex, Cex


9/140

Sinus excentric de i de sex, Sex

Tangenta i cotangenta excentrice tex, Tex; ctex,

CtexTangenta i

cotangenta Voinoiutavcov

Tangenta si cotangenta excentriceVoinoiu

tavex ,Tavexctavex, Ctavex

Secanta i cosecanta excentrice scex, Secex,cscex, Cscex

Secanta i cosecantaVoinoiu

secvcscv

Secanta icosecanta excentrice Voinoiu

secvex, Secvex,cscvex, Cscvex

sev ELEVATE csv Cosinus elevat cel

Sinus elevat sel

Tangenta, cotangentaelevate

tanel, cotel

Secanta , cosecantaelevate

secel, cscel

EXOTICE Cosinus exotic cexo

Sinus exotic sexo

Tangenta i cotangentaexotice

tanexo, cotexo

Secanta i cosecanta

exotice

secexo, cscexo

E L I P T I C E S U P E R M A T E M A T I C E (SM)

Cosinus eliptic SM cesm Cosinus eliptic excentric SM cesmex

Sinus eliptic SM sesm Sinus eliptic excentric SM sesmex

Amplitudini elipticeSM

aeceaese

Derivate eliptice SM decedese

Funcii eliptice ntrepte Smarandache

fsmfsm

Funcii Gheorghiu fghP A R A B O L I C E S M

Cosinus parabolic SM cp Cosinus parabolic SM excentr ic cpex


10/140

13

Sinus parabolic SM sp Sinus parabolic SM excentr ic spex

H I P E R B O L I C E S M

Cosinus hiperbolicSM

ch, cosh Cosinus hiperbolic SM excerntric cexh, chex

Sinus hiperbolic SM Sh, sinh Sinus hiperbolic SM excentr ic Sexh, shex

C V A D R I L O B E S M

Cosinus cvadrilob SM coq Cosinus cvadrilob excentric SM coqex

Sinus cvadrilob SM siq Sinus cvadrilob excentric SM siqex

CVADRILOBE TRANSTRIGONOMETRICE (TT)

Cosinus cvadrilob TT ct Cosinus cvadrilob excentric TT ctex

Sinus cvadrilob TT st Sinus cvadrilob excentric TT stex

FUNCTII INTRATRIGONOMETRICECosinus

intratrigonometriccit Cosinus intratrigonometric excentric citex

Sinusintratrigonometric

sit Sinus intratrigonometric excentric sitex

FUNCTII PE CONICE CU VRFUL COMUN

CENTRICE EXCENTRICE

Generala aCONICELOR

coc, sic Generalaexcentrice

cocex,sicex

Conice tip ELIPTIC coce, sice Conice tip ELIPTIC excentrice coceex, siceex

Conice tip HIPERBOLIC coch, sich Conice tip HIPERBOLICexcentrice

cochex, sichex

Conice eliptice coe, sie Conice eliptice excentrice coeex, sieex

Conice PARABOLICE cop, sip Conice PARABOLICEexcentrice

copex, sipex

Conice hiperbolice coh, sih Conice hiperbolice excentrice cohex, sihex

Toatefunciilenoiexcentriceintrodusenaceastalucraresuntdevariabil excentric,dar

ide

variabil

cenitric

;


11/140

9 COSINUSUL cex SI SINUSUL sex SUPERMATEMATICE EXCENTRICE

15

Cap. 9 FUNCIILE SUPERMATEMATICE CIRCULARE

COSINUS cex I SINUS sex EXCENTRICE

Motto: Reputaia unui matematician se bazeaz pe cantitatea dedemonstraii, pe care le-a inventat [cu alte cuvinte:

lucrrile deschiztorilor de ci ntotdeauna au fost greoaie.(Mai ales pentru autori - n.n.)].

A. S. Bezikovici

9.1 Definirea funciilor cex i sex

Fie E2 planul euclidian orientat, raportat la un reper polar de pol Oi ax polarOx.Simultan se consideri sistemul cartezian asociat xOy, orientat pozitiv.

Cercul C(O,R) de raz R i cercul unitate CU(O,1) sunt centrate n O(0,0), fiindconcentrice. O transformare homotetic de pol Oi raport k = 1/R transform toate cercurileoarecare, de raza R, ntr-un cerc unitate C1 CU = C(O,1).

Fig. 9.1 Desen explicativ la definirea FSM-CE cexi sex

Relativ la reperul polar, este dat punctul E(e, ) numit excentru , al cercului C(O,R) ,precum i punctul S(s,) denumit excentrul cercului unitate, obinut printr-o transformarehomotetic, de raport 1/Ri pol O (0,0) a oricrui excentru oarecare E. Daca e, s = e / Ri


12/140


16

sunt constante, atunci Ei S sunt excentre puncte fixe n planul E2. Dac sunt variabile, atunciexcentrul este un punct variabil n plan, care se mic dupa anumite legi date.

Numerelor reale v1i v2 li se asociaz, pe cercul unitate, punctele W1i W2 (sau W1,2)i pe cercul C(O,R) punctele M1,2, de coordonate polare centrice1i 2 (sau 1,2) cu polul nO(0,0). Acestora le corespunde numrul real u denumit coordonata polarexcentric, cu poluln S(s,) sau n E(e, ) ce exprim direcia a dreptelor turnante d+i dS

+, paralele ntre ele, njurul puncte lorSi, respectiv, E, a cror intersecii cu cercurile Ci C1 sunt punctele M1,2 i,respectiv, W1,2.. Rezult c la un unghi = u (modulo 2 ), care indic direcia dreptei turnanten E sau S fa de Ox, corespund dou unghiuri 1,2 = v1,2 (modulo 2), corespunzatoare celordou puncte de intersecie ale unui cerc cu o dreapt, aa cum va rezulta n continuare.

Prin definiie, coordonatele carteziene x1,2 ale punctelorW1,2, notate cu x1,2= cex1,2 iy1,2 = sex1,2 , sunt denumite cosinus excentric i, respectiv, sinus excentric, de variabil

excentrica i reprezint prima determinare, de indice 1- principal i, respectiv a douadeterminare, de indice 2- secundar a FSM-CE dependente de originea O a reperului polar saucartezian drept, (Fig. 9.1).

Daca e > R rezulta s > 1, atunci E i S sunt exterioare cercurilor lori interseciiledreptelor cu aceste cercuri au loc doar ntr-un interval / domeniu I n care [i = initial , f =final ], interval ce se repet periodic, cu perioada 2. Pentru primul interval:

(9.1) i,f= + m arcsin (s

1) = + m arcsin (

e

R)

Din (9.1) rezult c pentru s intervalul se reduce la punctul + , caz n care seobin funcii de distribuie de tip impuls, care, fa de cele clasice, sunt periodice cu perioada2, aa cum se arat n lucrarea [20 M.elariu, Smarandache Stepped Functions, Rev. Scienta Magna , Vol.3, Nr.1 (2007), pag. 81 .. 92].

Geometric, punctele W1,2 sunt punctele de intersecie ale dreptei turnante, n jurulpolului S, cu cercul unitate C1, iar punctele M1,2 sunt interseciile cu cercul C(O,R ) ale drepteiturnante, in jurul punctului E. Unghiurile i,f reprezint unghiurile de direcie ale celor doudrepte tangente la C1 duse din S, aceleai unghiurii,f ca i ale tangentelor din E la C.

PunctelorW1,2, de coordonate polare (r 1,2, ) cu polul n S, le corespund pe cercul Ccte un unic punct M1,2, cari, n reperul polar de pol O au coordonatele (R,1,2) iar n reperulpolar de pol S au coordonatele polare (R.r 1,2, ), n care R.r 1,2 sunt razele polare, variabile, alecercului C, exprimate prin funciile radial excentric de variabil excentric R.rex1,2 sau devariabile centrice R.Rex1,2.

Se tie c, prin schimbarea originii reperului din O n S,respectiv E, adic, pentru OS C, C fiind centrul cercului unitate, se obin funciile supermatematice circulare elevate(FSM-CEl). De aceea, proiectnd razele excentrice r 1,2 pe noile axe de coordonate X i Y, cuoriginea n S, rezult expresiile FSM-CEl cosinus cel1,2i sinus sel1,2elevate

(9.2)

==

==

sin.

cos.

2,12,12,1

2,12,12,1

rexselY

rexcelX, n care, aa cum s-a mai afirmat, FSM-CE

redial excentric rex1,2 sunt independente de originea O a reperului, ci numai de Ei C, ceea ce


13/140


17

face ca i funciile elevate s nu depind nici ele de reper, dac sunt exprimate n funcie deunghiul la excentru , tiind c, prin definiie, ele se obin pentru OS C . Graficele acestorfuncii sunt prezentate n figura 9.2.

n cazul n care, excentrul S este plasat pe axay, adic, = /2 sau = 3/2, funciilecel1,2 sunt egale i graficele se confund cu cele ale funciilor cex1,2, iar dac, excentrul S esteplasat pe axa x, adic = 0 sau = , atunci sel1,2 se confund cu sex1,2 . Din aceast cauz,n figura 9.2 s-au prezentat garficele funciilor cex1,2 pentru = 0 iar garficele funciilorsel1,2 pentru = 1. Rezult

(9.3)

=

==

),(

),(

2,12,1

2,12,12,1

OxSsexy

OyScelcexx

1 2 3 4 5 6

- 2

-1. 5

- 1

-0. 5

0. 5

1

1 2 3 4 5 6

-1. 5

- 1

-0. 5

0. 5

1

Fig. 9.2FSM-CEl cel1susi cel2jos, sel 2susi sel 2 , = 0 stanga i = 1 dreapta

Au fost denumite elevate, deoarece, aa cum se poate observa din graficele lor, prinmodificarea excentricitii graficul funcie ur c sau coboar, adiceste elevat.

Din figura 9.1, se observ c punctele W1,2au, simultan, aceleai coordonatel x1,2, y1,2,exprimabile odat cu ajutorul variabilei centrice 1,2, prin FCC cos1,2 i sin1,2 i, alt dat,prin variabila excentric,coordonatecare devin, geometric, prin definiie, funciile FSMCEcosinus cex1,2 i sinus sex1,2 excentrice de variabil excentric. Expresiile lor sunt, aacum s-a mai artat,

1 2 3 4 5 6

- 2

-1. 5

- 1

-0. 5

0. 5

1

S s 0 1 = 0

1 2 3 4 5 6

-1. 5

-1

-0. 5

0. 5

1

S(s [0, 1], = 1)


14/140


18

(9.4)

====

====

)]]sin(.arcsin[sin[]sin[sin)(

)]]sin(.arcsin[cos[]cos[cos)(

2,12,12,12,1

2,12,12,12,1

saexsexy

saexcexx

m

m

In figura 9.3, sus, sunt prezentate graficele FSM-CE cex1,2 - stanga i sex1,2 ndreapta, pentru un excentru punct fix i excentricitate simpl, adic S(s [ 0,1] , = 0) i npartea inferioar de dubl excentricitate, notate convenional cu c2ex1,2 i, respectiv, cus2ex 1,2i a caror expresii de definiie sunt

(9.5)

=

=

)},()],sin(.arcsin[{2

)},()],sin(.arcsin[{2

2,12,1

2,12,1

sSssexexs

sSscexexc

m

m

n exemplul anterior, cele dou excentriciti s1 = s2 = s erau egale, ca i unghiurile 1 == 2 = . Ele pot fi, ns, i diferite S1(s1, 1) S2(s2, 2), n care caz, funciile se pot nota

c1;2ex1,2i, respectiv,s1;2ex1,2.

1 2 3 4 5 6

- 1

- 0. 5

0. 5

1

1 2 3 4 5 6

- 1

-0. 5

0. 5

1

1 2 3 4 5 6

-1

-0. 5

0. 5

1

1 2 3 4 5 6

- 1

- 0. 5

0. 5

1

Fig. 9.3 Graficele FSM-CE stnga : cex1(rosu)i cex2 (albastru) sus i c2ex1,2(jos)i ndreapta sex1(rou)i sex2 (albastru) sus i s2ex1,2(jos) pentru S( s [0, 1], = 0)

Pentru un excentru S(s [ 0, 1], = 1) cu = 1, graficele sunt prezentate n figura 9.4.Aa cum s-a prezentat n lucrarile [5], [6], [7] i [8], curbele plane, sau din 2 D, obinute

prin utilizarea FSM au fost denumite excentrice, spre deosebire de cele cunoscute din


15/140


19

matematica centrica (MC ) care au fost denumite centrice. Denumirile aparin regretatuluimatematician Anton Hadnagy.

Excentr icele elevate ale caror ecuaii parametrice sunt FSM-CEl (9.3), adic

(9.6 ) M 1,2

=

=

2,12,1

2,12,1

sely

celx, sunt prezentate, n 3D, n figura 9.4: n stnga pentru

prima determinare, de indice 1i n dreapta pentru a doua determinare, de indice 2.Pentru excentrictate numeric supraunitar (s > 1), FSM-CE sunt discontinue.

O familie de funcii cex1,2 (sus) i sex1,2 (jos) cu s [ 1, 3] sunt prezentate n figura 9.6.n aceleai figuri, s-au prezentat i funciile sin (sus) si cos (jos), funcii care

delimiteaz zonele de adiacen dintre extremitaiile celor doua determinri, principal isecundar, care, mpreun dau o curb inchis.Cu creterea excentricitii numerice s [ 1, 3] ,maximele curbelorsex1,2se apropie de axa y, la fel ca i punctele de nul ale funciilorcex1,

1 2 3 4 5 6

-1

-0. 5

0. 5

1

1 2 3 4 5 6

-1

-0. 5

0. 5

1

Fig. 9.4 Graficele FSM-CE cex i sex de = 1.

In aceste garfice s-a ales nul ( = 0). Comparand figura 9.3 cu 9.6 se observ c, dac,n prima, sex1,2,pentru s < 1 cele dou determinri sunt de semne contrare, pentru s > 1 suntde acelai semn, aa cum rezulti din figura 9.1, deoarece, ambele puncte W1,2 se situeaz peaceeai semidreapta d+, ceea ce nu se mai potrivete pentru funcia cex1,2,care are un punctM1 n cadranul 2, pentru [ /2, /2], i punctul M 2 n cadranul 1. De aceea, primadeterminare este negativ i cea de a doua este pozitiv, n domeniul amintit, reprezentat nfigura 9.6-sus.

Fie cercul C (R,O), plasat cu centrul n originea O(0,0) si de raza R, a crui ecuaieeste(9.7) C : x2 + y2 = R2.

Prin intersectarea lui cu dreapta d, care trece prin punctul E( e, ), avnd coeficientulunghiularm = tan i ecuaia(9.8) d : y R.e.sin tan( x R. e.cos) = 0 ,se obin punctele de intersecie


16/140


20

(9.9) M1,2

Expresiile din relaiile (9.9) reprezint produsul dintre raza R, a cercului C(R,O) iFSM-CEcex1,2i, respectiv sex1,2, astfel c aceste FSM-CE au, pentru R =1i expresiile(9.10) x1,2 = cex1,2 = e. sin().sin( ) cos )(sin1 22 s i(9.11) y1,2 = sex1,2 = e. cos().sin( ) sin )(sin1 22 s

Aa cum s-a mai afirmat, toate FSM-CE conin radicalul del 1,2 =

)(sin1 22 s , prin care Prof. Dr. Math. Octav Em. Gheorghiu afirma c aceste funcii

se alatur, sau c aparin familie funciilor eliptice. Semnul plus (+) din faa radicaluluicorespunde primei determinri, principale 1, iar semnul minus ( ) celei de a doua determinrisecundare 2.

- 1 - 0. 5 0. 5 1

- 1

-0. 5

0. 5

1

- 2 - 1 1 2

- 1

-0. 5

0. 5

1

Fig. 9.5 Excentr ice elevate

Se observ, din relaiile de definiie (9.10) i (9.11) c(9.12) cex1( + ) = cex2 i cex2( + ) = cex1 i(9.13) sex1( + ) = sex2 i sex2( + ) = sex1, ceea ce, prescurtat, se scrie(9.14)

=+

=+

1,22,1

1,22,1

)(

)(

sexsex

cexcex


17/140


21

Pe baza relaiei dintre unghiuri = 1,2 + 1,2 1,2 = 1,2i pe baza relaiei (9.4),de coresponden dintre funciile circulare centrice i excentrice, rezult

(9.15)

====

+====

2,12,12,12,12,12,1

2,12,12,12,12,12,1

sin.coscos.sin)sin(sin

sin.sincoscos)cos(cos

sexy

cexx

o nou form a expresiilorFSM-CEcex1,2 i sex1,2.Deoarece 1,2 = bex1,2 bex1 = arcsin [s.sin()] pentru prima determinare,

principoala i bex2 = - arcsin [s.sin()], tind c 1 + 2 = , rezult o alt form aexpresiilor funciilor, dat, n exclusivitate, de variabila excentric

- 1. 5 - 1 - 0. 5 0. 5 1 1. 5

- 1

- 0. 5

0. 5

1

- 1. 5 - 1 - 0. 5 0. 5 1 1. 5

- 1

- 0. 5

0. 5

1

Fig. 9.6. FSM-CE cex i sex de excentricitate numeric supraunitars [ 1, 3 ]


18/140


22

(9.16) W1,2

===

+===

)sin(.cos)cos(.sin)sin(

)sin(.sin)cos(cos)cos(

2,12,12,12,12,1

2,12,12,12,12,1

bexbexbexsexy

bexbexbexcexx

In cazul n care, excentrul este un punct variabil, adic e i/sau sunt variabile, dupdiverse legi date, se obin grafice ale funciilorcex1,2 i cex1,2 ca cele din figura 9.7.

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

cex S(e = e0.cos3, = 0), e0 [-1, 1] sex

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

cex S(e = e0.sin3, = 0), e0 [-1, 1] sexFig. 9.7 FSM-CE cexi sexde excentricitate numeric variabil cu funcii centrice de 3

Ele pot fi utilizate fie pentru reprezentarea i prelucrarea unor semnale complexe, fie, ca atare,pentru frumuseea lor, aa cum sunt cele publicate n lucrarea [21] care se bucura n SUA desucces, ocupnd locul 10 n topul de 10, din luna august 2007, din cele peste 1650 de lucrari.

In figura 9.7 sunt prezentate primele determinri ale FSM-CEcex i sexa caruiexcentru S se deplaseaz din originea O(0,0) (s = 0, = 0, cos 3 = 1), pe axa x (= 0i = ), pan n punctele X de pe axa Ox - X(s > 0, 0) - puncte care evolueaz progresiv pan n

extremitatea A(1, 0)(s = 1, = 0 cos 3 = 1), ajungand i n extermitatea A (1, 0) (s = 1, cos3= 1 3= = /3).

La fel pot fi determinate i deplasrile excentrului S(s, ) dacs = s0.sin3 pentru s0 [0, 1], cu = 0 i [0, 2] ce corespund graficelor din figura 9.7 jos.


19/140


23

In figura 9.8 sunt prezentate primele determinri ale FSM-CEcexi sexa cruiexcentru S se deplaseaz pe axa x dup legea e = e0.cos5i= 0 cu e0 [0, 1].

FSM-CE, avnd multiple utilizri, ele pot fi folosite i la exprimarea legii de deplasarepe axa x a excentrului mobil S, aa cum se poate observa din graficele prezentate n figura 9.9.

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

cex S(e = e0.cos5, = 0), e0 [-1, 1] sexFig. 9.8,a FSM-CE cexsi sexde excentricitate numerica variabila cu funcii centrice

de 5

In aceasta figur, legea de variaie a FSM-CE este dat tot de o FSM-CE, i anume, cex 3pentru cex icex 5pentrusex.

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

cex S(e = e0.cex 3, = 0), e0 [0, 1] S(e = e0.sex 5, = 0), e0 [0, 1] sexFig. 9.8,b FSM-CE cexi sexde excentricitate numeric variabil cu FSM_CE

O situaie mai deosebit o reprezint graficele FSM-CE din figura 9.10 pentru care

excentrul S variaz dupa legea(9.17) s =

)cos(.21 20

ss

s= s0/Rex( ) astfel c funcia

amplitudine excentrica de variabil excentric devine


20/140


24

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

aex1, S(s [-1, 1], = 0) aex1, s = s0cos3i s = s0sin3S (s0 [-1, 1], = 0), suprapuse

6 4 2 2 4 6

6

4

2

2

4

6

aex, pentru S(s=cos3, = 0)

Fig. 9.9FSM-CEaex1

(9.18) aex1=arcsin[s.sin()] =

= + arcsin[s.sin() / )cos(.21 2 + ss ] = Aex (1)cu graficele din figura 9.9. n stnga -sus- excentrele Si sunt puncte fixe, iar n dreaptasunt mobile dupa legile indicate n desen. Funciile de s = s0sin3 au fost suprapuse

peste cele de s = s0cos3, care oscileaz in jurul primei bisectoare, dup ce li s-au

schimbat semnul i s-a adgat constanta /2, ca s oscilze fa de direcia celei de a douabisectoare. Din prima familie de funcii de excentricitate numeric variabil, pentru s =1.cos3, rezultfuncii periodice nsalturi,care oscileaza n jurul valoriilor de -3/2, -


21/140


25

/2, /2, 3/2 s.a.m.d, (Fig. 9.9 jos) avnd cte o priod complet de oscilaie n jurulfiecrei constante amintite.

6 4 2 2 4 6

1.0

0.5

0.5

1.0

6 4 2 2 4 6

1.0

0.5

0.5

1.0

Fig. 9.10FSM-CEcexCex 1sus isexSex 1jos de excentrus = s0 / Rex (1 = )

Graficele funciilor reprezentate n figura 9.10 sunt ale funciilor cosinus -Cex(1=) - i sinus - Sex(1=) - excentricede variabil centric1.

Forma graficelor nu depinde, evident, de denumirea pe care o atribuimvariabilei i nici de litera greceasc cu care o notm.

Dac, n locul radicalului Rex(1= ), introducem funcia del1,adic(9.19) s = s0 / del1seobin graficele din figura 9.11.

n figura 9.13 sus este prezentat funcia

(9.20) C () = bex bex( ), cu ajutorul creia, pentru e = 1, se obine oform de cremalier, aa cum este reprezentat i n figur. Ea, funcia, ca i multe alteFSM-CE, ar putea servi la desenarea sau reprezentarea unui organ de main de acest


22/140


26

gen n cadrul unui nou tip de programare asistat de calculator denumit i abreviatprin SM CAD - CAM .

1 2 3 4 5 6

4

2

2

4

1 2 3 4 5 6

2

1

1

2

Fig. 9.11FSM-CEcexsus isexjos de excentru S( s = s0 /del (), = 0)cu s0 [ 1, 1 ]

9.2 DERIVATELE FUNCIILOR cexI sex.

Derivatele acestor funcii se obin, fr nicio dificultate, prin derivarea expresiilor lorde definire. Astfel, derivata lui cosinus excentric, ca funcie de variabila excentric, notatcex1,2, este

(9.21) cex1,2 = d(cex1,2)/d=

d

d

d

cexd 2,1

2,1

2,1 )(=

d

d

d

d 2,1

2,1

2,1 .)(cos

=

= sin1,2. dex1,2= sex1,2 .dex1,2

n mod asemntor, i la fel de simplu, se determin derivata funciei sinus excentric sex.

(9.22) sex1,2 = d(sex1,2)/d=

d

d

d

sexd 2,1

2,1

2,1 )(=

d

d

d

d 2,1

2,1

2,1 .)(sin

=

= cos1,2. dex1,2= cex1,2 .dex1,2


23/140


27

Grafic, derivatele primelor determinri ale funciilor sunt prezentate n figura 9.12.Se observ c, pentru s= 0, se obin cunoscutele derivate ale FCC : cos = sin i

sin = cos , deoarece, n acest caz, FSM-CE dex = 1. Fiindca, n acest caz, = , rezult ci (cos) = sin i (sin ) = cos.

Fig.9.12,a Derivatele FSM-CEcex1,2i sex1,2

Deoarece(9.23) cex1,2= cel1,2 + ex = cel1,2 + e.cos i(9.24) sex1,2=sel1,2 + ey = sel1,2+ e.sin,rezult c derivatele FSM-CEl(elevate), pentru un excentru Spunct fix, sunt aceleai cu ale FSM-CE (excentrice).

Aceste derivate exprim proiecile vitezelor variabile ale punctelor W1,2 de pe cerculC(O,1), pe axele de coordonate x i, respectiv, y, n micarea circular excentric (MCE),pentru o vitez unghiular de rotaie a dreptei d, n jurul excentrului S, constanti egal cuunitatea ( = 1). Vitezele punctelor sunt exprimate prin derivatele FSM-CE, fa de centrul

O(0,0)i, prin derivatele FSM-CEL, fa de ex-centrul S(s, ). Derivatele acestor funcii fiindaceleai, rezult c vitezele nu depind de originea sistemul de coordonate ales. Concluzie la cares-a ajuns i n cadrul capitolului dedicat MCE, artndu-se cderivatele vectorilor de poziie aipunctelorM1,2 de pe cercul C(O,1), exprimate att de vectorii R1,2(1,2) de modul constant i


24/140


28

egal cu unitatea, cu polul n O(0,0), ct i de vectorii de poziie, de modul variabil r1,2 () = R.rex1,2 cu polul n S(s, ), erau egale i egale cu vitezele de modul v1,2= R. .dex1,2.

Se observi din figura 9.12 c, sumele vectoriale ale vectorilor derivat ale lui x1,2iy1,2 sunt

(9.25) , pentru R = 1, = 1.fiind, deci, egale cu vitezele din punctele W1,2.

Cea de a doua derivat a acestor funcii, excentrice i elevate, sunt(9.26) cex1,2= d(cex1,2) /d = d(sex1,2 .dex1,2) / d=

= (cex1,2 . dex21,2+ sex1,2dex1,2) i

(9.27) sex1,2= d(sex1,2) /d = d( cex1,2 .dex1,2) / d== (sex1,2 . dex

21,2+ cex1,2dex1,2) .

Ele reprezinta proieciile accelera

iilor punctelorW1,2 din MCE pe cele douaxe xi y. Observaia anterioar, de la viteze, fiind valabili pentru acceleraii.

1 2 3 4 5 6

2

1

1

2

1 2 3 4 5 6

2

1

1

2

Fig.9.12,b Graficele derivatelorFSM-CEcex1,2 stnga-i sex1,2-dreapta- pentru s [-1, +1]

Graficele derivatelor de ordinul doi ale FSM-CE cexi sex sunt prezentate n figura9.12,c, iar graficele primei derivate a funciilor cex i sex, de variabil centric, suntprezentate n figura 9.12,d.

1 2 3 4 5 6

4

2

2

4

1 2 3 4 5 6

4

2

2

4


25/140


29

Fig.9.12,c Graficele derivatelorFSM-CEcex1,2 stnga -i sex1,2- dreapta- de ordinul doi pentru s [-1, +1]

1 2 3 4 5 6

4

2

2

4

1 2 3 4 5 6

2

1

1

2

Fig.9.12,d Graficele derivatele FSM-CECex sus-i Sex- jos- pentru s [-1, +1]

1 2 3 4 5 6

2

1

1

2

1 2 3 4 5 6

2

1

1

2


26/140


30

Fig.9.12,e Graficele derivatele FSM-CECex sus-i Sex- jos- de ordinul doi pentru s [-1, +1]


27/140

Cap. 9 APLICAII ALE FSM CE cex I sex

31

9.3 APLICAII MATEMATICE i TEHNICE ale FSM-CE cex i sex

Aa cum s-a afirmat anterior, una dintre aplicaiile cele mai importante, dup prereaautorului, consist n aplicaia tehnic ce const n desenarea unor organe de maini (cremalier,care a fost amintita anterior - Fig.9.13 -) i chiar a unor sisteme tehnice n ansamblul lor (avionFig.7.1 , cas.a) i ele prezentate succint n aceasta lucrare.

SM - CAD-CAM, de care s-a amintit, ar fi o aplicaie n carematematicai tehnica s-ar regsi/contopi ntr-un singur tot: obiectele tehnice s-ar putea nlocui prin reprezentrile lormatematice, cecea ce ar fi un nceput promitor pentru un viitor al tiinei i al tehnicii.

In partea de jos a figurii 9.13 sunt reprezentate funciile cosCi sinC. Intrebarea estedac aceste funcii apartin ME sauMC ? Sigur este c ele aparin supermatematicii (SM), carenglobeaz/cuprinde ambele domenii.

Alte aplicaii, mult mai importante, ale noilor funcii cex i sex vor fi prezentate ncontinuare, ncepand cu diversificarea obiectelor matematice sau, mai precis, la obinerea unorobiecte matematice noi cum este, de exemplu, strmba, ca o generalizare a dreptei, torul cuseciune ptrat, tiunghiular sau hexagonal i de form rotund/circular, ca i torul cuseciunile amintite i de forme triunghiulare, ptrate, hexagonale .a.

n domeniul 3 D se pot aminti i reprezenta elice de diverse forme (circulare, ptrate,tringhiulare .a.) de pas variabil, n sensul c pentru 2n rotaii pasul poate fi stabilit constant,apoi, pentru urmtoarele 2n rotaii elicea are pas zero.

9.3.1 INTRODUCEREA NOIUNII DE STRAMBN MATEMATIC

Aflndu-ne, acum la al nceputul celui de al de-al II-lea volum, poate rezulta mai clar,ceea ce s-a afirmat n introducerea lucrrii, n primul volum, i anume, c matematica centricare dimensiunea topologic zero, a unui punct, n timp ce, matematica excentric aredimensiunea topologic de minimum 2, a unei suprafee. De asemenea, c matematica centriceste proprie sistemelor ideale, perfecte, liniare, n timp ce matematica excentric este propriesistemelor reale, imperfecte, neliniare.

Intre cele doua matematici nu exista nicio grani, niciun obstacol real, de aceea sepoate afirma cnoile complemente de matematic terg graniele, care au existat pn acum,dintre liniari neliniar !

Aa cum a propus regretatul maematician Anton Hadnady, toate curbele cunoscutedin matematica centric se vor denumi n continuare centricei cele corespondente matematiciiexcentrice se vor denumi excentrice [1],[4],[5],[6], [7].

Fiecrei curbe cunoscute din centric, adic fiecrei centrice, i corespund o infinitate de

excentrice. Astfel, unui cerc, unei elipse, unei hiperbole, unei spirale .a.m.d. i corespund oinfinitate de excentrice circulare, eliptice, hiperbolice .a.m.d., evident de forme care se abat dela centricele generatoare cu att mai mult cu ct excentricitatea are valori mai mari. Dinecuaiileexcentricelor , pentrue = s = 0, se obin, n mod evident, centricele.


28/140


32

n mod analog, fiecrei centrice liniare, denumita drept, din matematica centric(MC ), n matematica excentrica (ME) i vor corespunde o infinitate de excentrice liniare cevor fi denumite strmbe. Deoarece, ceea ce nu e dr ept e str ambi nu liniar chiar daca-i maispunem i excentric. Prin urmare i dreapta este un caz particular de strmb : o strmb deexcentricitate nul, aa cum este prima bisectoare din figura 9.14.

2 4 6 8 10 12

- 1. 5

- 1

- 0. 5

0. 5

1

1. 5

10 20 30 40 50 60

- 1- 0. 8- 0. 6- 0. 4- 0. 2

0. 2

Funcia C = bex bex(/2) i cremaliera desenat cu aceast funcie pentru e = 1

1 2 3 4 5 6

0. 2

0. 4

0. 6

0. 8

1

1 2 3 4 5 6

- 1

-0. 5

0. 5

1

Fig. 9.13 Funciile cos Ci sin C

P U N C T U LPunctul i dreapta sunt entiti i noiuni elementare ce nu pot fi definite n matematic;

dar numai dreapta este o figur fundamental n geometria centric.


29/140


33

n plus, punctul este singura entitate de dimensiune nul, astfel c el este acelai, caform sau, mai precis, far ea, n ambele matematici: centrica si excentrica, ntruct el (ne-avand figur) nu-i poate modifica forma prin creterea valorii excentricitii.

Totodat, punctul nu are coordonate unghiulare (unghiurile lui Euler , , ) ci numaicoordonate liniare x, y, z. n consecin, el este neorientabil, fiind doarlocalizabil n spaiul bi-sau tridimensional 3D. Localizarea punctului n spatiul 2D (planul centric), dat de M(x,y) =M(2, 3), difer, ns, de localizarea lui n planul excentric.

Coordonatele punctului, n planul excentric, prezentate n figura alaturat, n careambele axe sunt excentrice, de acelai excentruS (s, = z [rad]) = S [0,8 ; 1] sunt: MS{ x -arcsin[s.sin[x-z]] ; y - arcsin[s.sin[x-z]]}, aici x, z si y

0 . 5 1 1 . 5 2

0. 5

1

1. 5

2

2. 5

3

DISTANA DINTRE DOU PUNCTEDistana dintre dou puncte M1(x1, y1) i M2(x2, y2), exprimate n coordonate carteziene,

se calculeaza, aa cum se tie, cu formula :

(9.28) (M1 M2) =2

212

21 )()( yyxx + Identificm pe M1 cu excentrul S(sx, sy) exprimat prin coordonate carteziene S(sx =

s.cos, sy = s.sin) sau n coordonate polare S(s, ) i pe M2 cu punctul W de intersecie asemidreptei d +,turnante n jurul excentrului S, cu cercul unitate exprimat prin W (x = cex ,y = sex ), n coordonate carteziene sau, n coordonate polare, cu W(R.rex , ), dac funciarex este exprimat n funcie de variabila excentric i cu W (R Rex, ) dac esteexprimat n funcie de variabila la centru (sau centric) .

Atunci, relaia (9.28) va exprima i distana dintre excentrul E i punctul W de pecercul de raza R care este, prin definiia funciei radial excentric (rex) - multiplicat cu razacercului R, adic, tocmai distana de la E la W :

(9.29) d ( M1, M 2) = d ( E, W ) =

n care: s este excentricitatea numerici sR este excentricitatea real, e - distana de la origineaO la excentrul E.

S-a mai afirmat n lucrare, c FSM-CE radial excentric rex1,2 exprim distana, nplan, dintre dou puncte S i M1,2 n coordonate polare.

M(2,3)

M S


30/140


34

Relaiile (9.29) rezult prin nlocuirea coordonatelor punctelor E M1i W M2 nrelaia (9.28), dar sunt cunoscute i ca expresiile invariante ale funciei supermatematicecirculare excentrice radial excentric (rex sau Rex ) [1], [8], [11] .

Observaia prin care funcia rex i Rex, o adevarata funcie rege, poate exprima toatecurbele plane cunoscute i o infinitate de curbe plane noi, dar exprimi distana dintre doupuncte n plan, n coordonate polare, aparine Prof. em. dr. math. Octav Emilian Gheorghiu,regretatul ef al Catedrei de Matematica de la Facultatea de Mecanic din Timioara. Totodat,trebuie reamintit c, normarea funciilor radial excentrice s-a fcut la propunerea Prof. Dr. Ing.Dan Perju, n vremea n care era decan al Facultii de Mecanic din Timioara.

S T R A M B A DE VARIABILEXCENTRICDreapta, avnd o (singur) dimensiune, liniar, ii modific forma la trecerea din liniar

(centric) n neliniar (excentric), adic se strmb din ce n ce mai mult, prin cretereaexcentricitii numerice s, aa cum se poate observa n figura 9.14.

Ca i n cazul altor excentrice [4] [5] [ 6], strmba se va obine prin nlocuireafunciilor centrice, din ecuaiile dreptelor, cu cele excentrice corespondente.

Funciile supermatematice, obinndu-se prin nlocuirea variabilei centrice cu funcia(de variabila excentrica ) denumit n SM funcia amplitudine excentric aex .

De aceea, ecuaia

(9.30 ) () = aex =arcsin[s.sin(-)],va reprezenta ecuaia str mbei pr imei bisectoare.

Ca sa fie mai uor de recunoscut, prin funcia de reducere la primul cerc, ea se poatescrie nu n funcie de unghiul , ci n funcie de variabila realx astfel :(9.30) y(x) = aex (x) = x arcsin [s.sin(x -z)], funcie reprezentat n figura 9.14pentru excentriciti numerice variind n domeniul s [ -1, + 1 ], n care strmbele prezintgrafice continue.

Pentru |s | > 1, strmbele sunt continue numai pe poriuni. Pe acele poriuni pe care,dreapta turnant din excentrul S, acum exterior cercului unitate, intersecteaza cercul unitate.

Principiul este valabil i pentru distana dintre dou puncte: pentru e = 0 EOidistana SW = OW = R, raza cercului. n acest caz, rex ((, s = e = 0) = Rex((, s = e =0) = 1;ceea ce rezulti din relaiile (9.29) pentru s = e = 0 .

Ecuaia dreptei ce trece prin originea O (0, 0) a sistemului cartezian drept xOy este(9.31) y = m.x = tan k. x ,astfel c ecuaia strmbei, de variabil excentricx va fi

(9.32) y = m.aex (x, S) = tan k.aex [x, S(s, )] = m.{x-arcsin[s.sin(x-z)]},n care si z = mod (2) sunt coordonatele polare ale excentrului S.

Ecuaia strmbei (i a dreptei) determinat (ce trece prin) de punctul M 0(x0 ,y0) i dedirecie m este(9.33) y = m{xx0 arcsin[s.sin(x-z)]} + y0 ,


31/140


35

obinut din ecuaia dreptei generatoare(9.33) y y0 = m ( x x0)

Plecnd de la forma general a dreptei i a ecuaiei de gradul nti, dat de Pier Fermat(1637), rezult ecuaia general a strambei :(9.34) A.{x-arcsin[s.sin(x-z)]} + B.y + C = 0 .

Ecuaia normal a strmbei, rezultat din ecuaia normal a dreptei, data de A. Cauchy(1826), este(9.35) {x-arcsin[s.sin(x-z)]}.cos a + y. sin a p = 0 ,n care p este lungimea normalei la strmba de e = 0, dus din originea reperului, iara esteunghiul pe care normala l face cu direcia pozitiv a axei absciselorx.

Asemntor, se pot obine ecuaiile strmbelor ce trec prin doua puncte, plecnd de laforma data de S. Lacroix (1798);

(9.36 )

sau ecuaia strmbei de s = 0 (dreptei)

4 2 2 4

6

4

2

2

4

6

prin taietur i data de A. Crelle (1821)

Fig. 9.14. Familie de STRMBErezultate din ecuaia primei bisectoareca FSM-CE amplitudine excentric.

Pentru s = 1 se obin linii frnte(Curbe n trepte

Florentin Smrandachei

Curbe linii drepte frnte Octav Gheorgiu)


32/140


36

(9.37) .

Importana strmbei consist n aceea c ea poate reprezenta caracteristici elesticeneliniare, strict necesare n dinamica sistemelor tehnice, a vibraiilor sistemelor neliniare,caracteristici elastice statice (CES) greu de obinut anterior numai cu MC .

n figurile 9.15i 9.16 sunt prezentate strmbe de m = 1i excentricitate supraunitari, respectiv, strmbe ce trec printr-un anumit punct M0 i de pantm = 3.

Funciile supermatematice de variabil centric elimin dezavantajul discontinuitiiprezentat de funciilor supermatematice circulare excentrice de variabil excentric, aa cum s-aartat n lucrarea [8].

STRMBE DE VARIABIL CENTRICSe obin n mod asemntor, cu observaia c variabila x, din ecuaiile dreptelor,exprimate n diverse forme, se nlocuiete cu funcia de variabil centric Aex (, S ), dat de

expresia cunoscut :

Aex = () = + () =

- 4 - 2 2 4

- 4

- 2

2

4

- 4 - 2 2 4

- 15

- 10

- 5

5

10

Fig.9.15 Strambede excentricitate

numerica esupraunitarae [-2, 2 ]

m = 1

Fig.9.16Strambe ce trec

pin punctulM0 (2, 3)

m = 3


33/140


37

n cazul funciilor de variabil excentric, dreapta generatoare d se rotea n jurulexcentruluiSi intersecta cercul unitate n punctele W1,2. Apoi, din centrul O rezultau direciileradiale centrice 1,2. De aceea, pentru excentrul S, exterior cercului unitate, funciile existaunumai n anumite domenii.

n cazul funciilor de variabil centric, dreapta generatoare se roteste n jurulcentrului O al cercului unitate, astfel c, oriunde ar fi excentrul S, n planul cercului, dreaptaintersecteaz n permanen cercul unitate n punctele W1,2, diametral opuse, ntr-o variantposibil i segmentele SW1,2 vor defini direciile radiale excentrice de unghiuri 1,2 cu axaabsciselor.

Funciile supermatematice circulare excentrice i hiperbolice de variabil centric vorfi tratate n extenso n continuarea acestei lucrari.

Ecuaia familiilor de strmbe de variabilcentric, ce trec prin punctul M0 ( x0, y0) ide coeficient unghiularm = tan k, este :

- 4 - 2 2 4

- 15

- 10

- 5

5

10

Fig.9.17 Familie de STRMBE devariabil centric, pentru

excentrictate numerics [-2, 2]i coeficient unghiular

m = 3


34/140


38

(9.38) y y0 = m [ x + arcsin ]i pentru M0 (2, 3 ) i coeficient unghiularm = 3 sunt prezentate n figura 9.17.

CONCLUZII LA STRMBELa intrebarea pus de Fourier , ntr-o discuie cu Monge n 1795 i relatat de Jeremy

Gray n Idei despre spaiu , CE ARE DREPT O LINIE DREAPT? acum se poateraspunde cu certitudine : EXCENTRICITATE NUL

Strmba, ca i degenerata ei - dreapta, mparte planul n dousemiplane pentruAbs[s] < 1.

DacA. G. Kstner afirma la 2 august 1789 Nu exist o definiie clar a dreptei ,acum se poate afirma cu claritate cdreapta este o str mb de excentricitatenul.

Mai ramne de aprofundat/definit clar ce-i strmba ? Pentru c exist foarte multecurbe diferite de dreapt dar i de stramb. i strmbele sunt de mai multe genuri. Aa, deexemplu, utilizand funcia amplitudine (sau amplitudinus) am(u,k) a lui Jacobi, din teoriafunciilor speciale eliptice, foarte asemntoare cu funciile aex i Aex, care sunt denumitechiar amplitudune excentric de variabil excentric i, respectiv, centric, prin analogie cufauncia amplitudinus, se obin curbe foarte apropiate de strambele prezentate n prezentalucrare. Aceste strambe ar putea fi definite ca strambe eliptice Jacobi.

i alte funcii supermatematice circulare i hiperbolice excentrice, elevate i exotice potla fel de bine exprima caracteristici elastice neliniare, asemntoare strmbelor de excentricitatediferit de zero.

Vom denumi strmbele obinute cu funcii circulare excentrice strmbe excentr ice,iar cele obinute cu funcii circulare elevate i exotice, strmbe elevatei, respectiv, exotice.

Toate acestea pot fi de simpl, dubl sau multipl excentricitate, iar excentrul poate fi

un punct fix (e, = constante) sau de punct mobil ce evolueaz pe diverse curbe.

9.3.2 LOBE, CUADRILOBE I SISTEME VIBRANTE CUADRILOBICELobele sunt familii de curbe inchise, rezultate din transformarea continu a cercului

ntr-un poligon perfect, fiecare curb nchis a familiei, dispunnd de mai muli lobi (Fig.9.18),cu excepia curbei generatoare, care, n toate cazurile, este un cerc.

Curbele din familia de lobe se disting printr-o anumit razRi excentricitate e, sau oanumit excentricitate numerics = e / R, denumiti modul. In toate cazurile, pentru s = 0 seobine cercul, care nu dispune de niciun lob, fiind considerat curb generatoare a familiilor delobe i, pentru s = 1, se obine un poligon cu n laturi, perfect rectilinii. Pentru valoriintermediare s (0, 1) se obin n-lobele. Raza R a cercului generator al lobelor, aceeai pentruo familie de lobe, imprim marimea curbelor din familie, n timp ce, excentricitatea e sau s

modific continuu forma lobelor din familie: de la cerc (s = 0) la un poligon perfect cu 3, 4nlaturi (s = 1). Transformare continua cercului ntr-un poligon cu n laturi perfect rectilinii esteposibil prin utilizarea funciilor supermatematice circulare excentrice de variabila excentrica [1], [2], [3] sau centrica [10], dependena dintre variabile fiind dat de relaia cunoscut(9.39) = arcsin[s.sin(-)]


35/140


39

Cuadrilobele (QL) sunt o familie de curbe nchise cu 4 lobi, rezultate din transformareacontinu a cercului n ptrat, de forma ptratelor cu laturi curbe i coluri rotunjite (Fig.9.19),exprimate de ecuaiile parametrice

(9.40) M

sau, mai simplu:(9.40) M

pentru s2 [0, 1],

- 1 - 0. 5 0. 5 1

- 1

- 0. 5

0. 5

1

Fig. 9.18 O trilob (verde) i o cuadrilob (roie)

FUNCII CUDRILOBE (FQL)Coordonatele punctului curent M(x,y) )]([ sQL , ce aparine unei cuadrilobe (de raz

R = 1i de excentricitate numerics = k , cu excentrul S pe axa x = 0) i semidreptei d+ (= ), cu polul n originea O(0,0), adic M = d+ () QL (s = k), sunt, totodat, funciile

cuadrilobe centrice (FQC) cosinus cuadrilob (coq) i sinus cuadrilob (siq) centrice devariabilexcentric[Fig.9.19].Coordonatele polare ale lui M (r, ) , de variabil excentric sunt


36/140


40

(9.41) M i utiliznd (9.39),

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

Fig. 9.19 Cuadrilobe centrice de R = 1 i de R variabil (R = 1 s)

- 1 - 0. 5 0. 5 1

- 1

-0. 5

0. 5

1

- 1 - 0. 5 0. 5 1

-1

-0.5

0. 5

1

Fig. 9.20 Cuadrilobe Alaci Valeriu R =1 s2(1 ) rotite cu /4 pentru s [0, 1]

(9.41) M ,

de variabil centric:Coordonatele polare ale lui M(r, ) sunt


37/140


41

(9.42) M

astfel c pot fi definite i funciile cuadrilobe centrice de variabil centric

(9.43) M

Fig. 9.21 Funcii cuadrilobe. Desen explicativ

Cercul generator R = 1 este inscris tuturor cuadrilobelor, inclusiv ptratului saucuadrilobei de s = k = 1.

Prin rotirea cuadrilobelor cu /4i modificarea razei cercului generator de la R = 1 la

R = 1 k2 (1 ) , astfel, nct cercul generator, din cerc nscris, s devin cerc circumscris

tuturor cuadrilobelor, nclusiv ptratului rotit cu /4, se obin cuadrilobele Valeriu Alaci(Fig.9.20) centrice (QLAC) i, prin intersecia acestora cu semidreapta d+(), se vor obinefunciile cuadrilobe Valeriu Alaci (FQLA).Ele constitue o trecere continua de la funciile circulare, din tr igonometria centricLeonhardEuler (e = s = k = 0), la funciile ptratice Valeriu Alaci, din trigonometria ptratic,


38/140


42

introdus n matematic, nainte de anul 1940, de fostul ef al Catedrei de Matematic al coliiPolitehnice din Timioara, profesorul universitar dr. mat. Valeriu Alaci.

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

Fig. 9.22 Cosinusul coq si sinusul siq cuadrilobeDe variabila , sau , aceste funcii au cosinusul cuadrilob Valeriu Alaci cqa i

sinusul cuadrilob Alaci sqa exprimate de relaiile :(9.44) M

n care x i y sunt FQLC (9.44).

SISTEME VIBRANTE CUADRILOBE

Punctul reprezentativ M al QL(k) se poate roti cu vitez unghiular constant n jurulcentrului O, caz n care, M se va roti i el pe QL(k) cu aceeai vitezunghiular constant, dar

cu viteza v (liniara) pe QL(k) variabil n modul i n direcie, cu excepia cazului s = k = 0,cnd modulul vitezei este constant (r = R = 1).

Considerand, n contiunare, variabila excentric ce poate varia n jurul excentruluiS (s = k, ), pentru = 0, dup legea(9.45) = t ,rezult c variabila centric data de (9.38) va avea expresia(9.46) = t arcsin[k.sin(t)]a crei derivat, d viteza unghiular variabil, cu care punctul W se rotete pe cercul unitategeneric.

(9.47) .

Punctul M de pe QL(k) se va roti i el in jurul lui O cu o alta vitez unghiular

variabil. In punctele n care cercul unitate este tangent QL, pentru = 0 + n./2, (n = 1,2,3,),n care i r = R = 1 i = , vitezele unghiulare ale punctului M vor fi egale cu acelea alesemidreptei centrice din O, care face unghiul cu axa x, deci cu . Proieciile micrii lui M(x,y) de pe QL pe axele x i y vor genera cte o micare de vibraie, iar sistemele vibrante, astfelobinute, sunt definite ca sisteme vibrante cuadrilobe (SQL).


39/140


43

1 2 3 4 5 6

2

1

1

2

1 2 3 4 5 6

3

2

1

1

2

Fig. 9.23,a Derivatele funciilor cuadrilobe: coq i siq Dac se consider poziia lui M la momentul t i, respectiv, x i y poziiile proieciilor

lui M pe axa x i, respectiv y, atunci vitezele de deplasare ale proieciilor lui M pe aceste axesunt date de derivatele acestora, care sunt i derivatele FQL n funcie de timp.

1.0 0.5 0.5 1.0

2

1

1

2

1.0 0.5 0.5 1.0

2

1

1

2

Fig. 9.23,b Curbe integrale n spaiul fazelor

innd cont de (9.41) acestea sunt :

(9.48) M , cu graficele din figurile 9.23, ai 9.23, b


40/140


44

1 2 3 4 5 6

4

2

2

4

1 2 3 4 5 6

3

2

1

1

2

3

Fig. 9.24 A doua derivata a funciilor cuadrilobe: acceleraiile sistemelor vibrante cuadrilobe

i acceleraiile

(9.49) , sau

(9.49)

ECUAIA DIFERENTIAL A VIBRAIILOR SISTEMELOR CUADRILOBE (VSQL)Matricea Wronskiana a QLSV este:

(9.50)

astfel c funciile QL (9.41) i combinaii acestora(9.51 ) z = C1 coq + C2 siqsunt soluii ale ecuaiei difereniale(9.52)n care A W i

(9.53)

iar coeficientul variabil C este dat de determinantul

(9.54)


41/140


45

CARACTERISTICILE ELASTICE STATICE (CES) ALE SVQLConsiderand un SVQL de masa m = 1 i de pulsaie proprie = 1, fora de acceleraie

Fa, n funcie de , este dat de relaiile (9.49). Prin schimbarea de variabil n (9.49), inndcont de relaiile (9.41), se obine fora de acceleraie n funcie de deplasarea xi, respectiv, y.

In lipsa forei de excitaie i n cazul unui sistem neamortizat C = 0 sau = 0 singurelefore din sistem sunt: fora de acceleraie Fa i for a elastic Fe care sunt egale i de senscontrar Fe = Fa. n consecin, prin schimbarea semnului fortei Fa(x) i, respectiv Fa(y), seobin forele elastice Fe(x)i, respectiv, Fe(y) date de relaiile :

1.0 0.5 0.5 1.0

4

2

2

4

1.0 0.5 0.5 1.0

4

2

2

4

ParametricPlot[Evaluate[Table[{Cos[t]/Sqrt[1(0.1u

Sin[t])^2], (Cos[t](1+0.01u2+u

2(0.02+0.0002u

2)

Sin[t]2)/(1 0.01u^2Sin[t]^2)

2.5)}, {u,0,9}],{t,Pi,Pi},

GridLinesAutomatic]]

Plot[Evaluate[Table[{((1+0.02u^2)x0.02u^2(2+0.01u^2)

x^3+0.0003u^4 x^5)/(10.01u^2)},{u,0,10}],{x,1,1},

AspectRatio1.5]]

Fig. 9.25,a Caracteristici elastice statice (CES) neliniare cvadrilobe

In lipsa forei de excitaie i n cazul unui sistem neamortizat C = 0 sau = 0 singurelefore din sistem sunt: for a de acceleraie Fa i for a elastic Fe care sunt egale i de senscontrar Fe = Fa. n consecin, prin schimbarea semnului fortei Fa(x) i, respectiv Fa(y), seobin forele elastice Fe(x)i, respectiv, Fe(y) date de relaiile parametrice, pentru m = 1(9.55)


42/140


46

1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

1.0 0.5 0.5 1.0

2

1

1

2

Plot[Evaluate[Table[{xArcSin[0.1uSin[x]]},{u,0,10}],{x,

1.5,1.5},GridLinesAutomatic]]

Plot[Evaluate[Table[{2(xArcTan[0.1uTan[x]])},{u,0,10}],

{x,1,1,GridLinesAutomatic}]]

2 1 1 2

10

5

5

10

3 2 1 1 2 3

3

2

1

1

2

3

Plot[Evaluate[Table[{{3(t+ArcSin[0.1uSin[t]/Sqrt[(1(0.1u

Cos[t])^2)]])}},{u,0,10}],{t,Pi/1.5,Pi/1.5},

GridLinesAutomatic]]

Plot[Evaluate[Table[{xArcSin[0.1uSin[x]]},{u,0,10}],{x,

Pi,Pi},GridLinesAutomatic]]

Fig. 9.25,b Caracteristici elastice statice (CES) neliniare regresive sau moi iprogresivesau tari iliniare cu frecare(stnga s = 1)i cujoc(dreaptas =1)

sau de cele explicite, n funcie de delasarea x i, respectiv, y


43/140


47

(9.55)

care reprezint, totodat, i CES neliniare moi (regresive) ale SVQL, redate n figura 9.25,a.Att CES n funcie de x ct i CES n funcie de y sunt, evident, identice pentru c

exprimCES a aceluiai sistem cvadrilob (unic), de aceea, n figura 9.25,a au fost reprezentateCES cvadrilobe prin relaiile(9.55) i (9.55).

Alte tipuri de CES, mpreun cu relaiile lor, sunt prezentate n figura 9.25,b. Primele,din stnga - sus, sunt progresive sau tari iar cele din dreapta-sus sunt regresive sau moi. Multmai interesante sunt CES din partea de jos a figurii 9.25,b.

Astfel, n stnda-jos sunt prezentate CES moi sau regresive care pentru s = 0 sunt CESliniare, iar pentru s = 1 sunt CES liniare ale unui sistem cu strngere prin friciune, la care

deplasarea apare numai cnd fora exterioar de excitaie depete valoarea forei de frecare dinsistem.n dreapta-jos sunt CES liniare care pentru s = 0 sunt liniare continue,iar pentru s = 1 reprezint CES ale unor sisteme cu joc; n domeniul jocului forele fiind nule.

CURBE INTEGRALE N PLANUL FAZELOR

n consecin, curbe integrale n planul fazelor )(xx

vor avea i ele aceleai forme,

prezentate n figura 9.26pentru s = k [0, 1] cu pasul 0,1.Curbele acceleraiilor pe x sau y au aceeai form, aa cum sunt reprezentate n figura

9.27.

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

ParametricPlot[Evaluate[Table[{Sin[t]/Sqrt[10.01k^2

Cos[t]^2], (10.01k^2)Cos[t]/(10.01k^2 Cos[t]^2)^

1.5}, {k,0,10}],{t,0,2Pi},AspectRatio1]]

ParametricPlot[Evaluate[Table[{Cos[t]/Sqrt[10.01k^2

Sin[t]^2], (10.01k^2)Cos[t](1+0.02k^2Sin[t]^2)/

(10.01k^2 Sin[t]^2)^2.5}, {k,0,10}],{t,0,Pi}]]

Fiog. 9.26 Curbe integralen planul fazelor (x)

Fig. 9.27 Acceleraiile (x) i (y)


44/140


48

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

s [-1, 0] s [-1, 0]

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

s [0, + 1] s [0, + 1]

Fig. 9.28 Funcii cuadrilobe coqi siq de variabil centric

CONCLUZII

Au fost introduse n matematic obiecte geometrice (QL i QLA) i funcii noi i utile,care sunt soluii ale unor sisteme vibrante neliniare de caracteristici elastice staticeregresive (Fig.9.25), prezentate n prezenta lucrare ca funcie de variabila excentric.

La fel de importante sunt i soluiile date de celelalte variabile i , care vor fiprezentate n lucrari viitoare.

Noile curbe nchise i funciile aferente lor, realizeaz o transformare continu acercului ntr-un poligon perfect; ntre dou dintre cele mai importanteforme geometriceale matematici, eliminand, astfel, graniele dintre ele.

FQL de variabil centric coq i, respectiv, siq au graficele prezentate n figuraurmtoare (9.28 ) i au alura asemntoare cu FQL de variabil.

Curbe nchise de forma n-lobelor sau polilobelor se pot obine i cu ajutorul funciilorSM - CE Rex(n), care nu tind la limit spre un n-poligon perfect ci spre n-roze, aacum se observ n figura urmatoare 9.29 pentru n = 4i n = 8.

Funciile QL Valeriu Alaci, prezentate succint, unific funciile circulare cu cele dintrigonometria patratic a lui Valeriu Alaci, ntroducand o infinitate de alte funciint r ecele mai uzuale funcii matematice (cir culare Euler i ptratice Alaci).


45/140


49

Dac sistemele vibrante Duffing avnd CES de forma: Fe= k0 x x3 , reprezintprimii doi termeni ai dezvoltrii n serie de puteri Taylor, n jurul originii, CES aSVQL reprezint aceeai dezvoltare dar cu un termen n plus, aa cum rezult dinecuaia explicit (9.55). Deci cu un pas mai apropiat de o oarecare CES real,neliniar.9.3.3 TOR EXCENTRICTorul centric este o suprafa nchis, generat de un cerc care se rotete n jurul unei

axe palele i exterioare planului cercului. Daca Oz este axa de rota ie, cercul generator avndraza R iar centrul fiind la distanta A de aceasta axa, ecua iile parametrice ale torului centric vorfi

(9.56)

Fa de notaiile clasice, cu ti u, s-au ntrodus alte notaii care s corespundFSM-CE . De funcia de variabila depinde forma torului : circular (cu FCC) sau necircular(FSM-CE), n jurul axei Z, iar de funciile de variabila depinde forma seciunii : circularesau necirculare a torului.

Aa cum s-a mai afirmat, prin simpla nlocuire a FCC cu FCE , de exemplu, se obinnoi forme matematice, sau, mai precis supermatematice.

Astfel, nlocuind n (9.56) funciile circulare centrice de variabila cu cele cuadrilobe(cos coq i pe sin siq ) se obine un tor circular de seciune ptrat, reprezentat nfigura 9.30. de ecuaiile parametrice (9.57).

- 1 - 0. 5 0. 5 1

- 1

- 0. 5

0. 5

1

Fig. 9.29 Rex (n) n polar epicicloide (roze)

Prin nlocuirea tuturor FCC cu funcii cuadrilobe, rezult un tor ptrat de seciuneptrat (Fig. 9.30) cu ecuaiile parametrice din relaia (9.58).


46/140


50

-2

0

2

- 2

0

2

-1

-0. 5

0

0. 5

1

-2

0

2

-4

-2

0

2

4 -4

-2

0

2

4

-1-0. 5

00. 5

1

-4

-2

0

2

4

Fig. 9.30 Tor excentric circular si patrat de sectiuni patrate

- 2

0

2

- 2

0

2

- 1

-0. 5

0

0. 5

1

- 2

0

2

- 2

0

2- 2

0

2- 1

-0. 50

0. 5

1

- 2

0

2

Fig. 9.31 Tor pentagonal si tor hexagonal trucat

(9.57)

In figura 9.31 sunt prezentate un tor pentagonal i unul hexagonal de seciuni circulare,obinute prin artificii de programare, n sensul c s-a dat comanda PlotPoints(60, 6) pentrupentagon i PlotPoints(60, 7)pentru hexagon.

Daca FCC de (cos i sin ) din (9.56) se nlocuesc cu FSM-CE, (cex i sex), se

obin ecuaiile parametrice (9.59) i torul excentric din figura 9.32.


47/140


51

(9.58)

=

+=

+=

siqz

coqAqy

coqAcoqx

)(sin

)(

[0, 2/2] si [0, 2] , A = 3

9.3.4 FORME DE EVI I MBINAREA LOR DE COLDeoarece, un cilindru circular drept este reprazentat de ecuaiile parametrice

(9.59) ,

n care [0, 2] i = H, nalimea cilindrului, prin nlocuirea FCC n (9.59) cu funciilecuadrilobe corespunzatoare sau cu funciile dex ( = ) i dex ( /2) de excentricitate

numerics = 1, se obin cilindri drepi de seciune ptrat (Fig.9.33).

- 1 - 0 . 5 0 0 . 51

- 1- 0 . 5

00 . 5

1

0

2

4

6- 1

- 0 . 50

0 . 51

--0. 5

00. 5

1

- 1

-0. 5

0

0. 5

0

1

2

3

- 1

-0. 5

0

0. 5

Fig. 9.33 Cilindri drepti de seciune ptrati triunghiular

n fine, prin programarea corespunzatoare a celor trei tipuri de cilindri se obin mbinride col, ca cea din figura 9.34.

Obiecte 3D, interesant pentru c demonstreaz faptul c ecuaii simple SM potreprezenta corpuri complexe sunt prezentate n mai multe vederi n figura 9.35.

ncheiem cu corpuri 3D de forma unor elice (Fig.9.36), circulare, ptrate i triunghiulare, cu pasconstant ntr-o rotaie 2n i cu pas nul n urmatoarele rotaii cu 2n. Aici, n = 1. Situaia descrisse repet periodic, dup 4n rotaii.

Referindu-ne la onbiecte 3D complexe, exprimate matematic de relaii simple, nu putems omitem cuburile supermatematice din figurile 9.37.


48/140


52

Fig.9.34 mbinare de col cu evi de seciuni diferite

Unele ecuaii parametrice sunt de excentricitate constant, iar altele de excentricitatevariabil. n toate cazurile, excentrul S a variat doar pe axa Ox ( = 0), deobicei pe partea eipozitiv ( s > 0).

9.3.5 ALTE ALICAII

Alte aplicaii pot fi vazute pe website-ul www.SuperMathematica.com n lucrareaTehno-Art of Selariu Supermathematics Functions Editura ARP, 2007, USA.


49/140


53

ParametricPlot3D[{Sin[tArcSin[Sin[t]]]Cos[u],Cos[tArcSin[Sin[t]]]Cos[uArcSin[Sin[u]]], Sin[u]},{t,0,Pi},{u,0,2Pi},

MeshNone,AxesFalse,BoxedFalse]

Fig.9.35,a Obiect 3D : , t =

ParametricPlot3D[{Sin[tArcSin[Sin[t]]]Cos[u],Cos[tArcSin[Sin[t]]]Cos[uArcSin[Sin[u]]], Sin[u]^3},{t,0,Pi},{u,0,2Pi},

MeshNone,AxesFalse, BoxedFalse]


50/140


54

ParametricPlot3D[{Sin[tArcSin[Sin[t]]]Cos[u], Cos[tArcSin[Sin[t]]]Sin[uArcSin[Sin[u]]],Sin[u]^5}, {t,0,Pi},{u,0,2Pi},


Fig.9.35,b Obiect 3D : , t =

Elicele circulare din figura 9.36 pot realizeaza succesiunea de rotire cu 2n rotaii frinalare/pas pe z, apoi cu rotire de 2n ori i pasul pe z cu ajutorul FSM-CE derivat excentric devariabila excentric dex de excentricitate s = 1. Elicele ptrate sunt realizate cu aceeai funcie.


51/140


55

Fig.9.36 Elice supermatematice circulare, ptrate i triunghiulare

ParametricPlot3D[{Sin[u ArcSin[Sin[u]]], Sin[vArcSin[

Sin[v]]],Sin[u+vArcSin[Sin[u+v]]]},{u,0,2 },

{v,0,2 },MeshNone]

ParametricPlot3D[{Sin[uArcSin[0.8Sin[u]]],Sin[vArcSin[0.8

Sin[v]]],Sin[u+vArcSin[0.8Sin[u+v]]]},{u,0,2Pi},{v,0,2Pi},

PlotPoints40,PlotStyleSpecularity[White,50],


Fig.9.37,a Obiecte matematice de excentricitate s constant (s =1i s = 0,8)


52/140


56

ParametricPlot3D[{Sin[u ArcSin[0.9Cos[u] Sin[u]]],Sin[v

ArcSin[0.9Cos[v]Sin[v]]],Sin[u+vArcSin[0.9Cos[u+v]

Sin[u+v]]]},{u,0,2Pi},{v,0,2Pi},PlotPoints40,

PlotStyleSpecularity[White,50],MeshNone,

AxesFalse,BoxedFalse]

ParametricPlot3D[{Sin[u ArcSin[0.95Sin[u]]],Sin[vArcSin[

0.95Sin[v]]],Sin[u+vArcSin[0.95Sin[u+v]]]},{u,0,2Pi},{v,0,2

Pi},PlotPoints40,PlotStyleSpecularity[White,50],


s=0,95

ParametricPlot3D[{Sin[u ArcSin[0.9Cos[3u] Sin[u]]],Sin[v

ArcSin[0.9Cos[3v]Sin[v]]],Sin[u+vArcSin[0.9


PlotStyleSpecularity[White,50],MeshNone,AxesFalse,BoxedFalse]


ArcSin[0.9Cos[3v]Sin[v]]],Sin[u+vArcSin[0.9Cos[2u+2v]Sin[u+v]]]},{u,0,2Pi},{v,0,2Pi},PlotPoints40,

PlotStyleSpecularity[White,50],MeshNone,AxesFalse,BoxedFalse]

Fig.9.37,b Obiecte supermatematice de excentricitate s variabils = 0,9 cos3u, s = 0,9 cos3vi s = 0,9cos[2u + 2v]


53/140


57

ParametricPlot3D[{Sin[u ArcSin[0.9Cos[3u]

Sin[u]]],Sin[vArcSin[0.9Cos[3v]Sin[v]]],Sin[u+v

ArcSin[0.9Sin[2u+2v]Sin[u+v]]]},{u,0,2Pi},{v,0,2Pi},

PlotPoints40,




ArcSin[0.9Cos[3v]Sin[v]]],Sin[u+vArcSin[0.9Tan[2u+2v]

Sin[u+v]]]},{u,0,2Pi},{v,0,2Pi},









ArcSin[0.9Cos[2v]Sin[v]]],Sin[u+vArcSin[0.9Cos[u+v]

Sin[u+v]]]},{u,0,2Pi},{v,0,2Pi},



Fig.9.37,c Obiecte supermatematice de excentricitate s variabil


54/140


58

ParametricPlot3D[{Sin[u ArcSin[0.9Cos[2u]

Sin[u]]],Sin[vArcSin[0.9Cos[2v]Sin[v]]],Sin[u+v

ArcSin[0.9Cos[2u+2v]Sin[u+v]]]},{u,0,2Pi},{v,0,2


MeshNone,AxesFalse, BoxedFalse]

ParametricPlot3D[{Sin[u ArcSin[Sin[u] Sin[u]]],Sin[v

ArcSin[Sin[v]Sin[v]]],Sin[u+vArcSin[Sin[u+v]


PlotStyleSpecularity[White,50],MeshNone]

ParametricPlot3D[{Sin[u ArcSin[0.1Sin[2u] Sin[3

u]]],Sin[vArcSin[0.1Sin[3v]Sin[2v]]],Sin[u+vArcSin[0.1Sin[4(u+v)]Sin[u+v]]]},{u,0,2Pi},{v,0,2

Pi},PlotPoints 40,PlotStyle Specularity[White,50],Mesh

None,Axes False,Boxed False]


ArcSin[Sin[v]Sin[v]]],Sin[u+vArcSin[Sin[u+v]Sin[u+v]]]},{u,0,2Pi},{v,0,2Pi},PlotPoints40,



Fig.9.37,d Obiecte supermatematice de excentricitate s variabil


55/140


59







ArcSin[Sin[v]Sin[v]]],Sin[u+vArcSin[0.1Sin[u+v]

Sin[u+v]]]},{u,0,2Pi},{v,0,2Pi},PlotPoints40,PlotStyle

Specularity[White,50],MeshNone,






AxesFalse,BoxedFalse]ParametricPlot3D[{Sin[u ArcSin[Sin[u] Sin[u]]],Sin[v




AxesFalse, BoxedFalse]

Fig.9.37,e Obiecte supermatematice de excentricitate s variabil


56/140


60

ParametricPlot3D[{Sin[u+ArcSin[0.9Cos[3u]

Sin[u]]],Sin[v+ArcSin[0.9Cos[3v]

Sin[v]]],Sin[u+v+ArcSin[0.9Sin[3(u+v)]Sin[u+v]]]},

{u,0,2Pi},{v,0,2Pi},PlotPoints40,




Sin[u]]],Sin[v+ArcSin[0.9Cos[3v]

Sin[v]]],Sin[u+v+ArcSin[0.9Sin[3(u+v)]Sin[u+v]]]},{u,0,2

Pi},{v,0,2Pi},PlotPoints40,




Sin[u]]],Sin[v+ArcSin[0.9Cos[3v]Sin[v]]],Sin[u+v+ArcSin[0.9Sin[3(u+v)]Sin[u+v]]]},{u,0,2Pi},{v,0,2

Pi},PlotPoints 40,PlotStyleSpecularity[White,50],

MeshNone]


Sin[u]]],Sin[v+ArcSin[0.9Cos[3v]Sin[v]]],

Sin[u+v+ArcSin[0.9Cos[3(u+v)]Sin[u+v]]]},{u,0,2Pi},v,0,2


MeshNone, AxesFalse,BoxedFalse]Fig.9.37,fObiecte supermatematice de excentricitate s variabil


57/140

10 E X C E N T R I C E L E - CURBE SUPERMATEMATICE

61

Capitolul 10. EXCENTRICELE CURBE SUPERMATEMATICE

Motto: Fiecare tie ce este o curb, pn cnd nu va nva matematic.Att, nct se va ncurca n nenumrate excepii. (Felix Klein)

10.1 N LOC DE INTRODUCERE

Denumirea de excentrice a fost introdus n matematic de regretatul matematician, alUniversitaii POLITEHNICA din Timioara, Anton Hadnady. Ea a fost atribuit tuturor curbelor

noi, obinute cu ajutorul funciilor supermatematice (FSM ).FSM excentr ice, elevatei exotice, circulare inecirculare, hiperbolice, cuadrilobe .a. au

fost introduse, la rndul lor, n matematic de autor. Prima lucrare din acest domeniu, al noilorcomplemente de matematica, reunite sub denumirea provizorie de super-matematice (SM), sereferea la Functii circulare excentrice i a fost publicat [1] la prima Conferina Naional deVibraii n Construcia de Maini, n anul 1978.

O sintez a lucrrilor din domeniul SM, ulterior publicate, precum i a unor cercetri irezultate noi, nepublicate, fac obiectul prezentei lucrri. Printre acestea se numar i noile curbe,denumite excentrice, prezentate n acest capitol.

10.2 DEFINIREA I CLASIFICAREA EXCENTRICELOR.

Cercul este cea mai simpl i mai regulat curb nchis. Este curba pe care o divinizaugrecii antici. Aceeai greci care l-au hulit pe Apollonius din Perga (260..170 .e.n) pentrudefimarea cercului i introducerea n matematic a curbelor urte, a parabolei, elipsei i ahiperbolei. i a introdus n matematic doar trei curbe derivate din cerc. Ce va pi cel care amultiplicat la infinit toate curbele existente/cunoscute n MC i a introdus n matematic o pleiadde curbe noi ?

Dar poligoanele regulate, ca de exemplu ptratul i cele neregulate, ca de exemplu,patrulaterul, triunghiul dreptunghic echilateral i oarecare (scalen) .a. sunt curbe ?

Cercul este definit ca un loc geometric sau ca mulimea punctelor cu o anumitproprietate. Al punctelor, din plan, egal deprtate, la o distan R, denumit raza cercului, de unpunct fix- de exemplu O(0,0) - numit centru. Definiie pe care noi am generalizat-o n Vol. I, cafiind locul geometric al punctelor, din plan, pentru care distana, pe care am numit-o raz excentric

- de variabil excentric r 1,2(), sau de cea centric r (1,2), de la un punct oarecare din plan,denumit excentru E(e,), se poate exprima cu una dintre relaiile(10.1) r1,2() = R.rex1,2 = r(1,2) = R.Rex1,2

De ce este mai general aceast nou definiie ? Pentru c, dacE coincide cu O, atunciexcentricitatea devine nul (e = s = 0) i funciile radial excentrice (rex1,2 = Rex1,2 = 1i 1 =


58/140


62

iar 2 = + ) devin egale cu unitatea i r 1,2 = R. Adic, se obine definiia anterioar, dinmatematica centric (MC ), matematica actual sau ordinar.Poligoanele sunt definite fie ca o figur geometric plan, format dintr-un numr finit de

segmente de linii drepte, numite laturi, fie ca o linie frnt inchis, fie ca o suprafa planmarginit de segmente de linii drepte, numite laturi. Cuvntul CURB lipsete !

2.01.51.0 0.51.0

3

2

1

1

2

3

3 2 1 1 2 3

3

2

1

1

2

3

1.0 0.51.01.52.0

3

2

1

1

2

3

3 2 1 1 2 3

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

3 2 1 1 2 3

3

2

1

1

2

3

3 2 1 1 2 3

2.01.51.00.5

0.51.0

Fig. 10.1 Poligon stelat nscris n cerc

Dreapta i cercul sunt primele curbe studiate n MC . Atunci i poriuni ale dreptei,denumite segmente de dreapt, sunt poriuni de curb. Rezult c att cercul ct i poligonul suntcurbe plane. Dei, n definiiile acestora, cuvntul curb lipsete cu desvrire.

Dar cine i-ar fi nchipuit, cu puini ani n urm, c ele, cercul i poligoanele, pot fiexprimate cu aceleai relaii (super)matematice. Diferit fiind doar excentricitatea, aceast noudimensiune a spatiului: e = s = 0 pentru cerci s = 1, sau e = R, pentru diverse poligoane (Fig.10.1). Cine i-ar fi nchipuit c multe profilele aerodinamice, inclusiv profilul aerodinamicJukowski, Car afoli .a. (Fig.10.2), nu sunt altceva dect nite elipse supermatematice sau, maiprecis nite excentrice eliptice, aa cum se va demonstra n acest capitol.

n figura 10.1 cercul are raza R = 3,2 i ecuaiile parametrice arhicunoscute

(10.2) , iar poligonul stelat se obine cu ecuaiile parametrice ale funciilor

cvasi cuadr ilobe, cosinus i sinus cuasicuadrilobe de ni, aa cum s-a mai

spus/artat, de excentricitate numerics = 1 i marime/razR .


59/140


63

(10.3) , n care n ,

de marime/ raza R = 1n figura 10.1i de excentru S(s = 1, = 0).Notaia n( ) indic faptul c, n ecuaiile de definire ale funciilor cuadrilobe (v. Vol

I, 3.2), la numrator se iau funcii de 3n( ), iar la numitor numai de1 n( ), adic, raportul

variabilelor este de ; n poate lua orice valoare.

1.0 0.5 0.5 1.0

0.10.2

0.30.4

1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

0.2

Profil aerodinamic Jukowski Profil aerodinamic Kr mn-Trefftz si Car afoli

Fig. 10.2 Excentrice eliptice cunoscute ca profile aerodinamice

Pentru o nelegere mai facil a generrii poligonului stelat, n aceeai figur, au fostprezentate i secvenele care corespund unor triunghiuri dreptunghice achilaterale, rotite cu (celedin stnga fa de cele din dreapta) i, respectiv, cu (cele de jos fa de cele de sus) ca

pri/secvene i, respectiv, segmente componente ale poligonului stelat.Poligonul stelat din figura 10.1 este regulat, deoarece are toate laturile i unghiurile egale i

admite un cerc circumscris poligonului i un cerc inscris n poligon, aa cum sunt reprezentatecercurile i n centrul figurii 10.1.

Alte transformri (continue) ale cercului n ptrat au fost prezentate deja n Vol I, 3.2,fiind reprezentate de cuadrilobele i funciile cuadrilobe SMi de cele Valeriu Alaci, rotite cu

fa de cele SM. Aceleai transformri pot fi obinute, aa cum s-a mai artat, cu ecuaiileparametrice x = dexi y = dex( ).


60/140


64

Transformarea continu a cercului n triunghi se obine cu ecuaiile parametricex = cexi y = cex( ), aa cum a mai fost prezentat i n volumul I al lucrrii.

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

Ex(0,5; 0) i Ey (0,5; ) Ox Ex(0,5; ) i Ey(0,5; ) Oy

Fig. 10.3 Excentrice circulare de excentre Ex i Ey fixe

Obinerea profilelor aerodinamice, ca excentrice eliptice, reprezentate n figura 10.2, va fiprezentat n continuare ntr-un capitol dedicat acestei transformri a elipsei n diverse profileaerodinamice .

nainte de a defini excentricele, este necesar s fie definite centricele. Operaie relativsimpl, deoarece, toate curbele cunoscute n matematica centric, actual sau ordinar, vor fi numiten continuare centrice. Se va vorbi astfel de centrice circulare (cercul), eliptice (elipsele),hiperbolice (hiperbolele), parabolice (parabolele), spirale (spiralele), cicloidale (cicloidele),elicoidale (elicele), sinusoidale (sinusurile i cosinusurile), ovoidale (ovalele), lemniscate

(lemniscatele) .a.10.3 EXCENTRICE CIRCULARE I EXCENTRICE ELIPTICE

Excentricele sunt curbe (super)matematice a cror ecuaii sunt exprimate de funciisupermatematice, n principal, de noile funcii ale matematicii excentrice (ME ).


61/140


65

Toate excentricele, care au corespondente n MC, pentru excentricitate nul, degenereazn curbele centrice corespondente, denumite i curbegeneratoare.

Astfel, pentru e = s = 0, excenticele circulare degenereaz n cerc, excentricele elipticedegenereaz n elips .a.m.d. Fiecrei centrice i corespund o infinitate de excentrice, pentruinfinitatea de valori pe care poate s o ia excentricitatea reala ei cea numerics [- , + ; \ 0 ].Pe cnd, numai ntr-un singur caz, acela al excentricitaii nule, e = s = 0, printre infinitatea deexcentrice se afli cte o singur centric.

Prima clasificare a excentricelor se face, aa cum s-a operat deja, n funcie de curbageneric de la care se pornete: excentrice circulare, eliptice, hiperbolice etc. Ele se obin prinsimpla nlocuire a funciilor circulare centrice (FCC) sau hiperbolice centrice (FHC) cu celeexcentrice, elevate sau exotice corespondente, circulare (FCE, FCEl, FCEx) sau hiperbolice

(FHE, FHEl, FHEx).Astfel, de exemplu, se pot deosebi excentrice spiraleexcentrice, elevate sauexotice, circulare sau hiperbolice.

Ex(0,5;0) i Ey(0,5;) Oy Ex(0,5; ) i Ey(0,5; ) Ox

Fig. 10.4 Excentrice eliptice a = 1.5, b = 1 de excentre Ex i Ey fixe

Deoarece, toate aceste FSM,pot fi de variabil excentric sau de variabil centrici ndenumirea i definirea excentricelor se va specifica acest lucru. Astfel, de exemplu, putem deosebiexcentrice eliptice de variabil excentric ca i excentrice eliptice de variabil centric.

Dac excentrul E(e, ) este un punct fix sau unul variabil n plan, care se mic dupanumite legi, atunci i excentricele se vor denumi de excentru fix sau de excentr u var iabil. Dacexcentrul E(e,) are = constant, atunci se poate vorbi de execentrice de excentricitate constant(e = constant), care n general nu se mai specific; insai lipsa de specificaie indicnd c este vorbade e = ct, sau de excentricitate variabil , trebuind (putndu-se) s se specifice legea devariaie a excentricitaii.

Ecuaiile parametrice ale excentricelor circulare i a celor eliptice sunt


62/140


66

(10.4)

Dac a = b = R se obin excentrice circulare de raz R, a cror curbe n 2D sunt reprezentaten figura 10.3. n partea superioar a figurii se prezint construcia lor, ntr-o prima metod, n carecentrele celor dou cercuri, de aceeai raz R = 1, se coincid, mpreun

Metoda I-a: Centrele O n coincidere Metoda a II-a ExcentreleE n coincidere

Fig. 10.5 Cele dou metode de construcie a unei excentre circulare.

cu centrele lor (Ox Oy) iar excentrele Exi Ey sunt distincte.Cele dou metode sunt prezentatecomparativ n figura 10.5. Literele x i, respectiv, y adugate centrelor, excentrelori, n general,tuturor mrimilor cu privire la excentrice, indic coordonata x i, respectiv, y pe care o determin /

desemneaz respectivul element geometric.n partea inferioar a figurii 10.3 sunt prezentate graficele excentricelor circulare, pentru R

= 1, e = s [0,1]. Dac a i b sunt semiaxele elipsei, a b, atunci se obin excentrice eliptice, cacele prezentate n figura 10.4.

Se observ, i din aceste figuri, c excentricele, circulare sau eliptice, sunt curbe simetricefa de axa pe care sunt plasate ambele excentre Ex i Ey. Pe x, n stnga figurii i pe axa y ndreapta ei.

n figura 10.5 sunt prezentate, comparativ, cele dou metode de desenare grafic a uneiexcentrice. Fie ele circulare sau eliptice.

10.4 CONSTRUCIA EXCENTRICELOR

Prima metod pstreaz cercurile Cxi Cy n coincidere, n cazul excentricelor circulare,iar n cazul excentricelor eliptice, coincid doar centrele Oxi Oy ale celor dou cercuri: Ox, centrulcercului Cx, care va genera coordonata x a excenticei i Oy, centrul cercului Cy, care va generacoordonata y a excentricei. Prin excentrele Exi Ey se duc dou dr

Mircea Selariu - Supermatematica Vol_2_a

Documents

Transcript of Mircea Selariu - Supermatematica Vol_2_a