Sisteme de Comand Automat a Zborului i Sinteza Legilor de DirijareBoeing 787-8 Dreamliner

Lazr Maria SimonaGrupa 946Facultatea de Inginerie Aerospaial

CUPRINS

Tema de proiectare

Cap.1 Proiectarea SAS1.1 Analiza dinamicii longitudinale nereglate1.2 Specificaii MIL-STD 1797 privind calitile de zbor1.3 Proiectare SAS pentru scurta perioad. Criteriul C* i criteriul q/qst1.4 Stabilizarea modurilor lente (fugoid)

Cap.2 Proiectarea pilotului automat pentru unghiul de atitudine longitudinal2.1 Proiectarea convenional a pilotului automat cu filtru Kalman

2.2 Proiectarea pilotului automat prin metoda

Tema de proiectare

S se proiecteze SAS (Stability Augmentation System) pentru dinamica longitudinal i pilotul automat de meninere constant a unghiului de atitudine longitudinal pentru avionul Boieng 787-8 Dreamliner , la condiiile de zbor urmtoare: Altitudine 1000 m Vitez M=0.85, viteza sunetului la 1000 de m este a=336,44 m/s deci viteza este

Caracteristici aeronav:Lungime56.7 m

Anvergura aripii60.1 m

Suprafaa aripii325 m2

Unghiul aripii n bordul de atac32.2

nalime16.9 m

Dimensiunile fuselajuluiLatime:5.74m, inaltime:5.97m

Limea maxim a cabinei5.49 m

Capacitatea de ncrcare137 m3

Greutate maxim la decolare228 000kg

Greutatea maxim la aterizare172 000 kg

Greutatea maxim fr combustibil161 000kg

Greutatea de operare gol118 000 kg

Viteza de croazier0.85 Mach(567 m/h, 954 m/h la 10700m)

Viteza maxim0.90 Mach (593 m/h)

Autonomie ncrat14500km

Distana de decolare la greutatea maxim de decolare3100m

Capacitate maxim de combustibil126 210 l

Plafon de zbor13100 m

Motoare General Electric GEnx-1B sau Rolls Royce Trent 1000

Traciune 280 kN

Echipaj cockpit2

1.1 Analiza dinamicii longitudinale nereglatePentru analiza rspunsurilor n timp la comenzi treapt unitate i impuls se va liniariza dinamica longitudinal a avionului Boeing 787-8 Dreamliner pentru condiiile nominale de zbor:h=1000 mU0=285,974 m/sStarile longitudinale sunt: viteza de-a lungul axei longitudinale (Ox) u; viteza ascensional w; viteza unghiular de tangaj q; unghiul de atitudine longitudinal -

Dinamica longitudinal se poate scrie ca un sistem liniar:

n care este vectorul de stare, este matrice de stabilitate, este matricea de comand, iar e este comanda (bracajul de profundor ).Relaia se mai poate scrie:

g- acceleratia gravitationala0-valoarea nominala a unghiului de panta a traiectoriei (unghiul format de vectorul viteza cu oriczontala)U0 componenta valorii nominale a vitezei de-a lungul axei longitudinale a avionului

Pentru condiiile nominale de zbor , matricile i au urmatoarele valori:

Valorile proprii ale matricei de stabilitate A se determin cu ajutorul eig(A), rezultnd valorile: -0.4379 + 2.2915i-0.4379 - 2.2915i0.0006 + 0.0337i0.0006 - 0.0337iAdica sistemul nemodificat este instabil.Ecuaia devine:

Matricea iesirilor este C=[Cu Cw Cq C].Analiza performantelor dinamice ale avionului se face determinand raspunsurile starilor dinamicii longitudinale la diferite comenzi standard. In mod frecvent se utilizeaza comenzile de tip treapta unitate si impuls Dirac. Calculul rasounsurilor in timp la astfel de comenzi de poate realiza utilizand atat modelul (1.3) cat si dinamicile decuplate ale scurtei perioade si fugoidei.

Trasarea rspunsurilor la comenzi treapt i impuls Dirac se va face pentru pentru scurta perioad (strile w i ), respectiv lunga perioad (strile u i ).

sunt moduri rapide, dinamica lor determin scurta perioad

sunt moduri lente, dinamica lor determin fugoida (lunga perioad)Scurta perioad se va decupla de dinamica longitudinal astfel:

unde

Codul Matlab prezentat mai jos realizeaz definirea matricelor sistemului,determinarea stabilitii precum i trasarea rspunsurilor la comenzi treapt folosind comanda step. Se calculeaz funciile de transfer matricea starilor avnd starile , dar i pentru starile , respectiv dup care se reprezint rspunsul acestora la comanda treapt unitate.Program Matlabclear all clc M=0.85;a=336.44; % oentru h=1000 mdisp('vectorul de stare:'); disp(' '); disp('x=[u a q theta]'); disp(' ')U0=M*aA = [-0.0044322 -0.006901 -3.7485 -9.6363; -0.029285 -0.6387 285.974 -1.838; 0.0001809 -0.0185 -0.23155 0; 0 0 1 0];disp('Matricea de stabilitate:'); A B=[-2.3707; 7.4998; 0.54854; 0];disp('Matricea de comanda:'); BC=eye(4);disp('Matricea de iesire:'); CI=eye(4); %% Analiza dinamicii longitudinal nereglate s=tf('s')%Calcul functiei de transfer in cazul sistemului deschisH=minreal(zpk(C*((s*I-A))^-1*B))vp=eig(A)disp('vaolrile proprii:'); vpdamp(H)figure;pzmap(H)figure; Cu=C(1,:);Cw=C(2,:);Cq=C(3,:);Ctheta=C(4,:);tsp=0:0.01:8; %timp de raspuns pt scurta perioadatph=0:1:200;%timp de raspuns pt fugoida%comenzileu=step(A,B,Cu,0,1,tph);w=step(A,B,Cw,0,1,tsp);q=step(A,B,Cq,0,1,tsp);theta=step(A,B,Ctheta,0,1,tph);plot(tsp,q,'r') %% Decuplarea dinamicii%% Plotarea raspunsurilor la comanda treapta unitate %Scurta-perioadaAsp=A(2:3,2:3);disp('Matricea de stabilitate:'); Asp Bsp=B(2:3,:);disp('Matricea de comanda:'); Bsp Csp=eye(2);disp('Matricea de iesire:'); Csp Dsp=zeros(2); Hsp=minreal(zpk(Csp*(s*eye(2)-Asp)^-1*Bsp))damp(Hsp) step(Hsp);%comenzilew=step(Asp,Bsp,[1 0],0,1,tsp);q=step(Asp,Bsp,[0 1],0,1,tsp); %reprezentare graficaplot(tsp,w,tsp,q*100,'r') %rescalaretitle('\bf Raspunsul sistemului la comanda treapta unitale - Scurta perioada');legend('w','q');xlabel('t[s]');ylabel('w[rad/s], \q*100 [rad/s]');figure; % Fugoida xu=A(1,1); xw=A(1,2); g=-A(1,4); xe=B(1,1);zu=A(2,1); zw=A(2,2); Ue=A(2,3); ze=B(2,1);mu=A(3,1); mw=A(3,2); mq=A(3,3); me=B(3,1); Aph=[xu-xw*((mu*Ue-mq*zu)/(mw*Ue-mq*zw)) -g; ((mu*zw-mw*zu)/(mw*Ue-mq*zw)) 0];disp('Matricea de stabilitate:'); Aph Bph=[xe-((me*Ue-mq*ze)/(mw*Ue-mq*zw)); ((me*zw-mw*ze)/(mw*Ue-mq*zw))];disp('Matricea de comanda:'); Bph Cph=eye(2);disp('Matricea de iesire:'); Cph Hph=minreal(zpk(Cph*(s*eye(2)-Aph)^-1*Bph))damp(Hph) %comenzileu=step(Aph,Bph,[1 0],0,1,tph);theta=step(Aph,Bph,[0 1],0,1,tph); %reprezentare graficaplot(tph,u,tph,theta*10,'r') %rescalaretitle('\bf Raspunsul sistemului la comanda treapta unitale - Fugoida');legend('u','theta');xlabel('t[s]');ylabel('u[m/s], \theta*10 [rad]');figure; %% Plotarea raspunsurilor la impuls Dirac sistem_w=ss(Asp,Bsp,[1 0],0);sistem_q=ss(Asp,Bsp,[0 1],0);impulse(sistem_w,'b',sistem_q,'r',tsp) title('\bf Raspunsul sistemului la impuls Dirac - Scurta perioada');legend('w','q');xlabel('t[s]');ylabel('w, q [rad/s]');figure; sistem_u=ss(Aph,Bph,[1 0],0);sistem_theta=ss(Aph,Bph,[0 1],0);impulse(sistem_u,'b',sistem_theta,'r',tph) title('\bf Raspunsul sistemului la impuls Dirac - Scurta perioada');legend('u','theta');xlabel('t[s]');ylabel('u[m/s], \theta [rad]');figure;

Rezultate program

vectorul de stare: x=[u a q theta]

U0 =

285.9740

Matricea de stabilitate:

A =

-0.0044 -0.0069 -3.7485 -9.6363 -0.0293 -0.6387 285.9740 -1.8380 0.0002 -0.0185 -0.2316 0 0 0 1.0000 0

Matricea de comanda:

B =

-2.3707 7.4998 0.5485 0

Matricea de iesire:

C =

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

s = s Continuous-time transfer function.

H = From input to output... -2.3707 (s+0.09918) (s^2 + 1.66s + 8.3) 1: ---------------------------------------------------- (s^2 - 0.001172s + 0.001136) (s^2 + 0.8759s + 5.443) 7.4998 (s+21.16) (s^2 - 0.002232s + 0.001034) 2: ---------------------------------------------------- (s^2 - 0.001172s + 0.001136) (s^2 + 0.8759s + 5.443) 0.54854 s (s+0.3928) (s-0.003437) 3: ---------------------------------------------------- (s^2 - 0.001172s + 0.001136) (s^2 + 0.8759s + 5.443) 0.54854 (s+0.3928) (s-0.003437) 4: ---------------------------------------------------- (s^2 - 0.001172s + 0.001136) (s^2 + 0.8759s + 5.443) Continuous-time zero/pole/gain model.

vaolrile proprii:

vp =

-0.4379 + 2.2915i -0.4379 - 2.2915i 0.0006 + 0.0337i 0.0006 - 0.0337i

Pole Damping Frequency Time Constant (rad/seconds) (seconds) 5.86e-04 + 3.37e-02i -1.74e-02 3.37e-02 -1.71e+03 5.86e-04 - 3.37e-02i -1.74e-02 3.37e-02 -1.71e+03 -4.38e-01 + 2.29e+00i 1.88e-01 2.33e+00 2.28e+00 -4.38e-01 - 2.29e+00i 1.88e-01 2.33e+00 2.28e+00 Matricea de stabilitate:

Asp =

-0.6387 285.9740 -0.0185 -0.2316

Matricea de comanda:

Bsp =

7.4998 0.5485

Matricea de iesire:

Csp =

1 0 0 1

Hsp = From input to output... 7.4998 (s+21.15) 1: ----------------------- (s^2 + 0.8702s + 5.438) 0.54854 (s+0.3858) 2: ----------------------- (s^2 + 0.8702s + 5.438) Continuous-time zero/pole/gain model.

Pole Damping Frequency Time Constant (rad/seconds) (seconds) -4.35e-01 + 2.29e+00i 1.87e-01 2.33e+00 2.30e+00 -4.35e-01 - 2.29e+00i 1.87e-01 2.33e+00 2.30e+00 Matricea de stabilitate:

Aph =

-0.0045 -9.6363 0.0001 0

Matricea de comanda:

Bph =

26.7931 0.0389

Matricea de iesire:

Cph =

1 0 0 1

Hph = From input to output... 26.793 (s-0.01399) 1: ---------------------------- (s^2 + 0.004489s + 0.001165) 0.03891 (s+0.08772) 2: ---------------------------- (s^2 + 0.004489s + 0.001165) Continuous-time zero/pole/gain model.

Pole Damping Frequency Time Constant (rad/seconds) (seconds) -2.24e-03 + 3.41e-02i 6.58e-02 3.41e-02 4.46e+02 -2.24e-03 - 3.41e-02i 6.58e-02 3.41e-02 4.46e+02

Notaii:

- matricile ce definesc dinamica longitudinal a aeronavei (cu strile )

- matricile ce definesc scurta perioad (cu starile )

- matricile ce definesc scurta perioad (cu starile )

- matricile ce definesc scurta perioad (cu starile )

- maticile ce definesc fugoida (cu starile ) - amplificrile determinate pentru stabilizarea dinamicii

Rspunsul scurtei perioade la comanda treapt

n grafic se observ rspunsul scurtei perioade la comanda treapta unitate. Cele dou stri afiate sunt . Graficele confirm faptul c scurta perioada este stabila, dup cum reiese i din valorile proprii ale matricii , respective -0.4351 + 2.2911i si -0.4351 - 2.2911i. Starile se stabilizeaz ntr-un interval de timp de aproximativ 12 secunde.

Rspunsul scurtei perioade la comanda treapt

n grafic se observ rspunsul scurtei perioade la comanda treapta unitate. Cele dou stri afiate sunt . Se obin aceleai valori proprii deoarece prima linie a matricilor a fost mprit cu valoarea , respectiv prima coloan a fost nmulit cu valoarea . Toate strile se stabilizeaz ntr-un interval de timp de aproximativ 12 secunde.

Rspunsul fugoidei la comanda treaptn figura 5 este afiat raspunsul fugoidei la comanda treapt. Cele dou stari componente ale fugoidei i anume u si se stabilizeaz ntr-un interval de aproximativ 1500 s.

Rspunsul componentei vitezei pe axa x la comanda treaptn figura este prezentat raspunsul starii u la comanda treapta unitate. Starea se nu se stabilizeaza.

Rspunsul componentei vitezei pe axa x la comanda impuls Dirac

n figura este prezentat raspunsul aceleiai stri modificate la comanda impuls Dirac. Se obsev instabilitatea.

Rspunsul unghiului de tangaj la comanda treapt si impulsLa intrarea de tip treapta functia nu se stablizeaza dupa 100 s,cu toate acestea, la impuls aceasta stabilizeaza dupa aproximativ 50 de secunde.

1.2 Specificaii MIL-STD 1797 privind calitile de zborStandardele privind calitile de zbor includ toate cerinele impuse din punct de vedere al pilotului uman pentru sigurana zborului i pentru eficiena comenzilor n vederea realizrii misiunii pentru care avionul a fost proiectat.Unul dintre standardele militare foarte cunoscute propus la nceputul anilor 1980 este MIL-STD-1797 care este periodic revizuit n scopul realizrii unor specificaii ct mai bine orientate ctre realizarea n condiiii optime a misiunii de zbor. Pentru interpretarea acestor specificaii este necesar o clasificare a misiunilor de zbor. Astfel, avioanele sunt mprite n urmtoarele categorii: Clasa I Avioane mici, uoare: utilitare, antrenament uor, avioane de observaie. Clasa II Avioane de greutate medie, cu manevrabilitate sczut-medie: avioane de trasnport uor/mediu, avioane antisubmarine, avioane de recunoatere, avioane de bombardament tactic, avioane de atac, avioane de antrenament pentru clasa II. Clasa III Avioane cu manevrabilitate ridicat: de vntoare i intercepie, atac, de recunoatere tactic, antrenament clasa IV.Un alt factor impotant n definirea cerinelor calitilor de zbor este faza zborului. Categoriile fazelor de zbor mpart condiiile de zbor i misiunile n grupuri de aciuni care necesit rspunsuri asemantoare ale avionului i cer eforturi similare din partea pilotului.Categorii ale fazelor de zbor: neterminaleA - acele faze de zbor care necesit manevre rapide, precizie n urmrirea traiectoriei - faze de lupt aerian - atac la sol - lansare de armament - recunoatere - alimentarea n zbor - cutare antisubmarin - zbor n formaie strnsB - faze realizate prin manevre graduale fr precizie deosebit - urcare - croazier - coborre - coborre de urgen

terminale - realizate cu urmarirea precis a traiectoriei - decolarea - apropierea - aterizarea

Nivele ale calitilor de zborGradul de acceptabilitate a caliilor de zbor se exprim n nivele. Acestea specific ct de adecvat este rspunsul avionului pentru ndeplinirea misiunii de zbor i stabilirea lor se realizeaz prin evaluarea opiniei piloilor prin scri Cooper-Harper.Nivelul 1 Caliti de zbor clar adecvate pentru fazele de zbor ale misiunii.Nivelul 2 Caliti de zbor adecvate ndeplinirii misiunii de zbor, dar este necesar un efort suplimentar din partea pilotului.Nivelul 3 valitile de zbor permit controlul n siguran al avionului, dar cu un efort considerabil din partea pilotului.Asigurarea calitilor de zbor prezentate mai sus revine la modificarea dinamicii avionului, adic la o anumit alocare predefinit a polilor acesteia. n etapele urmtoare ale proiectului se prezint metode de proiectare ale sistemelor de comand automat n vederea asigurrii calitilor de zbor n conformitate cu standardele MIL-STD-1797, att pentru scurta perioad, ct i pentru fugoid.

1.3 Proiectare SAS pentru scurta perioad. Criteriul C*

Pentru a stabiliza scurta perioad conform principiului sistemului SAS, sistemului dinamic al avionului i se aplic o amplificare, n reacie pe una dintre ieiri. S-a ales s se amplifice componenta care d viteza unghiular de tangaj ().Scurta perioad este extras din sistemul dinamic original dup cum urmeaz:

Pentru a verifica eficacitatea aplicrii se va determina rspunsul scurtei perioade la impuls i treapt.Scurta perioadSAS

+-nzq

Fig 10 S.A.SDinamica longitudinal a avionului este reprezentat de relaiile urmtoare:

Scurta perioad este descris de ecuaiile:

mprim prin prima ecuaie a sistemului i obinem:

Dac termenul care conine expresia se neglijez, atunci se poate scrie:

deoarece: Acceleraia normal se poate scrie:

Din aceast ecuaie se obine:

Se consider:

Se face schimbarea de stri:

Pentru scurta perioad se mai poate scrie:

unde : Polinomul caracteristic al matricei de stabilitate al scurtei perioade este:

Iar dac se face notaia:

Relaia se mai poate scrie:

Specificaiile MIL-STD-1797 prevd ca, pentru scurta perioad:

,unde i se determin la intersecia curbelor cu dreapta:

n ecuaia de mai sus este viteza avionului i are o valoare cunoscut, se citete pe grafic, iar se ia din matricea A.Se determin:

Deoarece viteza asecensional nu se poate msura cu o acuratee foarte mare la bordul avionului, facem schimbarea de variabil , unde este acceleraia vertical - folosind relaiile:

Din relaia rezult:

, unde s-a inut cont de faptul c .

Matricea de transformare a vectorului de stare,

este:

Matricea de transformare a vectorului de stare,

este:

Dup transformare, sistemul iniial va deveni:

iar vectorul de stare .

Din ecuaia:

rezult:

Alocarea polilorPentru ca un avion s poat ndeplini criteriile impuse de MIL, polii scurtei perioade trebuie s se afle ntr-un domeniu bine stabilit conform specificaiilor MIL.Programul de alocare a polilor realizeaz acest lucru dup cum urmeaz:- se consider viteza avionului- n funcie de vitez, se determin domeniul n care vor fi alocai polii scurtei perioade, conform specificaiilor MIL- pentru acest domeniu se genereaz un patrulater n interiorul cruia se afl valorile unor amplificri care vor fi folosite pentru verificarea criteriului C*.Polii scurtei perioade trebuie s aparin unei coroane circulare care are drept raze dou valori ce se determin din specificaiile MIL. Din punct de vedere geometric acest fapt poate fi reprezentat astfel:

ImaginarRealDomeniu de alocabilitate MIL

Fig.11 Alocarea polilor pentru scurta perioad

n figur este reprezentat dependena soluiilor ecuaiei n funcie de i atunci cnd acestea variaz ntre valorile permise de specificaiile MIL (relaiile i ).

Domeniul de alegere al polilorObservaie:

- ramura (1) -

- ramura (2) -

- ramura (3) -

- ramura (4) -

Se rezolv problema de alocare:

unde i se traseaz curba . Orice punct din domeniul delimitat de acest curb are proprietatea:

Se alege unul din aceste puncte, de exemplu:

Rspunsul vitezei de tangaj la comanda treapt

Rspunsul unghiului de inciden la comanda treapt

n figuri este prezentat raspunsul strilor q si la comanda impuls Dirac. Acestea au o comportare bun deoarece se stabilizeaz ntr-un interval de aproximativ innd cont c sunt stri ale scurtei perioade.

Criteriul C*n continuare se va aplica criteriul C* pentru analiza SAS-ului. Criteriul C* ne permite determinarea comportrii scurtei perioade a dinamicii avionului. Dac un avion se afl ntr-un domeniu care este considerat acceptabil de ctre piloi, nseamn c avionul rspunde conform cerinelor.

Unde:

, iar i sunt rspusurile scurtei perioade la comanda treapt unitate.

fiind acceleraia longitudinal a avionului.Pentru a putea modifica curba determinat, astfel nct aceasta s se afle n domeniul criteriului C*, dinamicii scurtei perioade i se aplic un element de ntrziere de forma:

, unde .Dac SAS-ul nu respect specificaiile MIL atunci se va aduga un prefiltru ca n figura urmtoare:Scurta perioad

+-nzq

-

Fig.15 Schema bloc pentru S.A.S

Se observa ca aeronava se incadreaza in limitele impuse de metoda C*.

- raportul starilor folosit la alegerea limitelor

- amplificrile corespunztoare starilor

1.4 Stabilizarea modurilor lente (fugoida)Dup determinarea complet a scurtei perioade, aici incluznd i verificarea celor dou criterii de calitate, se trece la determinarea fugoidei care la rndul ei va fi stabilizat prin amplificare.Pentru a obine ecuaiile modurilor lente ale dinamicii longitudinale (fugoida), membrul drept al ecuaiilor corespunztoare scurtei perioade se anuleaz, ceea ce nseamn c n ecuaiile impunem condiiile .

Rezult sistemul:

care se rezolv n raport cu variabilele i .

Relaiile se introduc n celelalte dou ecuaii ale dinamicii longitudinale:

rezultnd ecuaiile fugoidei care se mai pot scrie:

Fugoida

+-u

Fig.19 Schema bloc pentru fugoidValorile proprii ale fugoidei trebuie s fie foarte apropiate de valorile proprii din dinamica longitudinal total (fugoid + scurt perioad).

Pentru a stabiliza comportarea fugoidei se vor aplica amplificrile i astfel:Dinamica fugoidei

+-

-

Fig.20 Schema bloc pentru stabilizarea fugoidei

Se poate aplica numai o singur amplificare pe , dar pentru determinarea unei fugoide stabile se va aplica o amplificare i pe .Dup determinarea amplificrilor i a valorilor proprii se poate spune c fugoida a fost stabilizat ceea ce ne poate permite s determinm rspunsul stabilizat al fugoidei.Pentru aceasta se consider:

Condiia necesar este:

care se transcrie astfel:

Se tie c:

Relaiile se transcriu astfel:

Altfel scris:

Identificm astfel matricea de stabilitate i matricea de comand:

n general se poate scrie relaia:

n concluzie, pentru a determina fugoida se folosesc matricea de stabilitate i matricea de comand a dinamicii longitudinale a avionului astfel:

Dup prelucrarea numeric a matricelor se obin matricele de stabilitate i de comand ale dinamicii fugoidei stabilizate.Specificaiile MIL pentru modurile lente prevd ca pentru: nivelul 1 - nivelul 2 - nivelul 3 -

Se caut astfel nct:

Determinarea sistemului SASAplicarea sistemului SAS la dinamica longitudinal a unui avion va duce la o mbuntire a stabilitii acestuia, dar nu neaprat la mbuntirea calitii zborului. Sistemul SAS are menirea de a menine stabil sistemul dinamic al avionului atunci cnd acesta este supus unor mici variaii ale diferiilor parametri ai si.Sistemul SAS are ca metod de aplicare generarea unor amplificri pe anumite ieiri ale sistemului dinamic nestabilizat al avionului i apoi trimiterea acestor amplificri pe intrrile sistemului dinamic, deci este vorba de amplificare n reacie.Dinamicalongitudinala avionului

+

-

Fig.21 S.A.S.Valorile amplificrilor care trebuiesc aplicate sunt cele determinate pentru stabilizarea scurtei perioade i respectiv a fugoidei. Matricea de stabilitate longitudinal va fi modificat astfel:

Programul Matlab M=0.85;a=336.44;disp('vectorul de stare:'); disp(' '); disp('x=[u w q theta]'); disp(' ')U0=M*aA = [-0.0044322 -0.006901 -3.7485 -9.6363; -0.029285 -0.6387 285.974 -1.838; 0.0001809 -0.0185 -0.23155 0; 0 0 1 0];disp('Matricea de stabilitate:'); A B=[-2.3707; 7.4998; 0.54854; 0];disp('Matricea de comanda:'); BC=eye(4);disp('Matricea de iesire:'); CI=eye(4); s=tf('s')H=zpk(minreal((s*eye(4)-A)^-1*B));step(H); title('Raspunsul sistemului la comanda de tip treapta unitate');figurexu=A(1,1); xw=A(1,2); g=-A(1,4); xe=B(1,1);zu=A(2,1); zw=A(2,2); Ue=A(2,3); ze=B(2,1);mu=A(3,1); mw=A(3,2); mq=A(3,3); me=B(3,1); %% SAS scurta perioada%%Scurta perioada - alpha Asp_alpha=[zw 1; mw*U0 mq];Bsp_alpha=[ze/U0; me];Csp_alpha=[0 1; 1 0];Dsp_alpha=[0; 0]; % Valorile propriiVp_alpha=eig(Asp_alpha);disp('Valorile proprii ale matricei Asp_alpha');disp(Vp_alpha); % Functia de transferHsp_alpha=Csp_alpha(1,:)*(s*eye(2)-Asp_alpha)^(-1)*Bsp_alpha+Dsp_alphafigure; step(Hsp_alpha);figure;grid on;title('Raspunsul dinamicii scurtei perioade (alpha) la comanda de tip treapta unitate'); %% Alocarea polilor disp('Alocarea polilor'); disp(' '); % Valorile omega_a si omega_b (nz/alpha=18.9545)nz_alpha=-zw*U0/g;disp('nz/alpha=');disp(nz_alpha); omega_a=2.52;omega_b=12.35;j=sqrt(-1); % Matricea de transformare T w->nzT=eye(4);T(2,1)=A(2,1)/g;T(2,2)=A(2,2)/g;% Se face schimbarea de stare folosind matricea TA=T*A*inv(T);B=T*B;C=C*inv(T); Asp=A(2:3,2:3);Bsp=B(2:3); %% Alocarea polilor% Stabilirea limiteloroma=2.52;omb=12.35;za=0.35;zb=1;figure;axis([-15 15 -15 15]);sgrid([za zb],[oma omb]); s=tf('s');poli=[];Kf=[]; oms=oma;for zs=zb:-0.01:zapoli_sp=zero(s^2+2*oms*zs*s+oms^2);poli=[poli;poli_sp(1) poli_sp(2)];K=acker(Asp,Bsp,poli_sp);Kf=[Kf;K(1) K(2)];end zs=zafor oms=oma:0.1:ombpoli_sp=zero(s^2+2*oms*zs*s+oms^2);poli=[poli;poli_sp(1) poli_sp(2)];K=acker(Asp,Bsp,poli_sp);Kf=[Kf;K(1) K(2)];end oms=omb;for zs=za:0.01:zbpoli_sp=zero(s^2+2*oms*zs*s+oms^2);poli=[poli;poli_sp(1) poli_sp(2)];K=acker(Asp,Bsp,poli_sp);Kf=[Kf;K(1) K(2)];end zs=zb;for oms=omb:-0.1:omapoli_sp=zero(s^2+2*oms*zs*s+oms^2);poli=[poli;poli_sp(1) poli_sp(2)];K=acker(Asp,Bsp,poli_sp);Kf=[Kf;K(1) K(2)];end figure;plot(real(poli(:,1)),imag(poli(:,1)),real(poli(:,2)),imag(poli(:,2)));title('Domeniul de alocabilitate MIL');xlabel('Re s');ylabel('Im s');grid on;figure;plot(Kf(:,1),Kf(:,2))title('Domeniul de alocare a polilor');[Knz Kq]=ginput(1)xlabel('kq');ylabel('knz');grid on; % matricea de stabilitate ce asigura nivelul 1 calitati de zborAspf=Asp-Bsp*[Knz Kq]; % comparatie intre functiile de transfer initiale si rezultate Hsp=zpk(minreal((s*eye(2)-Asp)^-1*Bsp));damp(Hsp)Hspf=zpk(minreal((s*eye(2)-Aspf)^-1*Bsp));damp(Hspf)figure;pzmap(Hsp,Hspf)legend('fara SAS','cu SAS') % explicatieeee!!!!! pag 31 cartegrid on;%% Criteriul C*t=0:0.01:3;nz=step(Aspf,Bsp,[1 0],0,1,t);q=step(Aspf,Bsp,[0 1],0,1,t);cstar=(nz+12.43*q)/(nz(length(t))+12.43*q(length(t))); load CSTAR1.mat plot(xcl,cl,xcu,cu,t,cstar)title('Criteriul Cstar');xlabel('t[s]');ylabel('C*');grid on;figure;%% Stabilizarea fugoideit=0:0.1:100;var=0;for Ktheta=-2:0.1:1 for Ku=0:0.1:1 Aph_st=Aph-Bph*[Ku Ktheta]; Val_proprii_Aph_st=eig(Aph_st); if real(Val_proprii_Aph_st(1))