7/25/2019 s7-MC

http://slidepdf.com/reader/full/s7-mc 1/3

Seminar 7, Analiza matematica, semestrul I, 2014–2015

1 Diferentiale pentru functii de mai multe variabile

Exercitiul 1.1  Pentru fiecare dintre funct iile urm˘ atoare, s˘ a se calculeze derivatele part iale de or-dinul ınt  ai si doi, diferent ialele de ordinul ıntˆ ai si doi:

1.   f (x, y) = xy.

2.   f (x,y,z) = (3x − 4y + 7z) · ex2+y2−z2.

3.   f (x,y,z) = x3 + y2 + z2 + 12xy + 2z.4.   f (x, y) = x3y − xy3 + 5xy.5.   f (x, y) = x4 + y4 − 2x2 − 4xy − 2y2.

6.   f (x, y) = e3xy2.7.   f (x,y,z) = e(x

2+2y2−z2).

8.   f (x,y,z) = (11x + 6y + 4z)e−(2x2+y2+z2).

9.   f (x,y,z) = cos(x2 + 2y2 + 3z2).10.   f (x,y,z) = sin(x + 2y2 − 3z3).11.   f (x,y,z) = ln(xy + xz + yz  + 1).12.   f (x,y,z) = ln(x − 3y2 + 2z3).

13.   f (x, y) = arctg x + y

x − y.

14.   f (x,y,z) = xy+z.

15.   f (x,y,z) = xy

z .

Exercitiul 1.2   Fie funct iile:

a)  f (x,y,z) = x +   y2

4x  +   z2

y  +   2

z

b)  f (x, y) = x3 + y2 − 6xy − 39x + 18y + 24c)  f (x, y) = x3 + y3 − 9xy + 2d)  f (x,y,z) = x3 + y2 + z2 + 12xy + 2ze)  f (x, y) = x2 + y2 − exy

 f )  f (x, y) = xy  +   8x

 +   8y

g)  f (x,y,z) = 2x2 + y2 + z2 − 4y + 8z − 5h)  f (x,y,z) = y  · ln(x2 + z2 + 1)i)  f (x,y,z) = x2 + y2 + z2 + 2xy − yz  − 4x − 3y − z + 4

 j)  f (x,y,z) = xye

z

k)  f (x, y) = 2xy − 5x2 − 2y2 + 6x + 6yl)  f (x, y) = 2x2 + y − ln  x

y2

m)  f (x,y,z) = x2y + yz  + 32x − z2

n)  f (x, y) = x3 + 3xy2 − 15x − 12yp)  f (x,y,z) = x + y2 + 3z3 − ln(x + y + z)q)  f (x,,y ,z) = 4x2 + y2 + z2 +   1

x +  yz

Pentru fiecare dintre acestea se cere:

1

7/25/2019 s7-MC

http://slidepdf.com/reader/full/s7-mc 2/3

i. S˘ a se determine diferent iala ın punct curent;

ii. S˘ a se rezolve ecuat ia  df (x, y) = 0  (sau  df (x,y,z) = 0, dup˘ a caz);

iii. S˘ a se calculeze toate derivatele part iale de ordinul 2 si s˘ a se construiasc˘ a matricea hessian˘ a.

iv. S˘ a se scrie diferent iala de ordinul 2 ın punct curent.

Exercitiul 1.3   S˘ a se arate c˘ a funct ¸ia   z  =  y sin(x2 − y2)  verific˘ a ecuat ia diferent ial˘ a cu derivate part iale de ordinul ıntˆ ai 

1

x

∂z

∂x +

 1

y

∂z

∂y  =

  z

y2

Exercitiul 1.4   S˘ a se arate c˘ a funct ia   f (x, y) = (x2 + y2)arctg yx

  verific˘ a ecuat ia diferent ial˘ a cu derivate part iale de ordinul al doilea 

x2∂ 2f 

∂x2 + 2xy

  ∂ 2f 

∂x∂y + y2

∂ 2f 

∂y2  = 2f (x, y)

Exercitiul 1.5   S˘ a se arate c˘ a funct ia 

f (x, y) = xney

x + ynarctgx

y

verific˘ a ecuat ia diferent ial˘ a cu derivate part iale de ordinul ıntˆ ai 

x · ∂f 

∂x + y ·

 ∂f 

∂y − nf  = 0

Exercitiul 1.6   S˘ a se arate c˘ a funct ia   z  =  y  ·  ln(x2 − y2)  verific˘ a ecuat ia diferent ial˘ a cu derivate part iale de ordinul ıntˆ ai 

1

x

∂z

∂x

 + 1

y

∂z

∂y

  =  z

y2

Exercitiul 1.7   S˘ a se arate c˘ a funct ia  z =  xy sin(x2 − y2)  verific˘ a ecuat ia diferent ial˘ a cu derivate part iale de ordinul ıntˆ ai 

x∂z

∂x +  y

∂z

∂y  = 2(z + xy)

Exercitiul 1.8   S˘ a se arate c˘ a funct ia real˘ a de dou˘ a variabile reale 

u(x, t) = sinx · e−k2t,

unde  k  este o constant˘ a real˘ a numit˘ a constant˘ a de difuzie, satisface ecuat ia cu derivate part iale de ordinul al doilea 

k2  ∂u∂x2  −  ∂u

∂t  = 0,

numit˘ a ecuat ia propag˘ arii c˘ aldurii.

Exercitiul 1.9   S˘ a se arate c˘ a funct ia  z =  xy  + x · arctg yx

  verific˘ a ecuat ia diferent ial˘ a cu derivate part iale de ordinul ıntˆ ai 

x∂z

∂x + y

∂z

∂y  = xy  + z

2

7/25/2019 s7-MC

http://slidepdf.com/reader/full/s7-mc 3/3

Exercitiul 1.10   S˘ a se arate c˘ a funct ia  u(x,y,z) = x+ x−yy−z

  verific˘ a ecuat ia diferent ial˘ a cu derivate part iale de ordinul ıntˆ ai 

∂u

∂x +

 ∂u

∂y +

 ∂u

∂z  = 1.

Exercitiul 1.11   S˘ a se arate c˘ a funct ia   f (x,y,z) =   ln(x3 +  y3 +  z3 −  3xyz)   verific˘ a ecuat ia 

diferent ial˘ a cu derivate part iale de ordinul ıntˆ ai 

∂f 

∂x +

 ∂f 

∂y +

 ∂f 

∂z  =

  3

x + y + z.

Exercitiul 1.12   S˘ a se arate c˘ a funct ia   f (x,y,z) =  (x,y,z)2  = 

x2 + y2 + z2 verific˘ a ecuat ia diferent ial˘ a cu derivate part iale de ordinul al doilea 

∆f  =  2

f  ,

unde  ∆  este operatorul Laplace:

∆f  =  ∂ 2

f ∂x2  +  ∂ 

2

f ∂y2  +  ∂ 

2

f ∂z2

Generalizat ¸i rezultatul pentru norma euclidian˘ a ın spat iul  Rk.

3