Seminar 3: Semnale aperiodice

1. Se consider semnalul din figur.(a) S se reprezinte spectrul semnalului.(b) Se consider semnalul periodic p1(t), obinut prin repetarea lui p(t) cu perioada T.

Folosind rezultatul de la punctul (a), determinai expresia spectrului s. p1(t).

Soluie:

(a) - derivm semnalul i rezult: ( )d 0 0p t X t X t2 2 = + ; ( ){ }F t 1 =

- teorema ntrzierii: ( ) ( )( ) ( ) 0j2 ft0

x t X f

x t t X f e ( )dX f

- teorema derivrii: ( ) ( )( ) ( )( )

x t X f

x t X f j2 f

( ) ( )0P f X Sa f = ; ( ) ( ) ( )p t P f aria Sa f durata = (b) - fie x(t) un s. periodic i x1(t) un semnal aperiodic, obinut prin repetarea lui x(t) cu perioada T( )

( ) ( ) ( )nc

nc 11

x t A 2A X nfTx t X f

=

2. Se consider semnalul triunghiular din figur.(a) S se reprezinte spectrului semnalului.(b) Se consider semnalul periodic x1(t), obinut prin repetarea lui x(t) cu perioada

T. Folosind rezultatul de la punctul (a), determinai expresia spectruluisemnalului x1(t).

3. Se consider urmtoarea schem-bloc:unde semnalul x(t) are spectrul de forma din figur. S se determinespectrul semnalului y(t) n urmtoarele cazuri:(a) x 0f 8 f= ; (b) x 0f f= .Soluie:

- teorema modulrii: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )c c c

x t X f1x t cos 2 f t X f f X f f2

+ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 0 01x t x t cos 2 3 f t X f X f 3 f X f 3 f2 = = + +

SEMNALE PERIODICE SEMNALE APERIODICE

( ) ncx t A

{ }nc

nc

spectrul de amplitudini : A

spectrul de faze : arg A

- spectrul este discret- se reprezint unilateral sau bilateral

( ) ( )x t X f ; ( ){ } ( )F x t X f=( )

( ){ }spectrul de amplitudini : X f

spectrul de faze : arg X f

- spectrul este continuu- se reprezint ntotdeauna bilateral

/2

p(t)

X0

t-/2

/ 2 / 2 t

x(t)X0

-f0 f0 f

X(f)A

x(t)

( )0cos 2 3 f t

FTJ idealft = 3f0

y(t)

( )xcos 2 f t

x1(t) x2(t)

-4f0 -3f0 -2f0 2f0 3f0 4f0 f

X1(f)A/2

4. S se reprezinte transformata Fourier a semnalului: ( )x( t ) 5 Sa 100 t= .Soluie: - teorema simetriei:

5. S se reprezinte transformata Fourier a semnalului: ( )2x( t ) 10 Sa 40 t= .6. S se determine expresia spectrului semnalului:

( )cos 20 t , pentru 50ms t 50msx( t )

0 , in rest =

Soluie: f 10Hz T 100ms= =( ) ( ) ( )x t cos 20 t p t= ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

p t P f 0.1 Sa 0.1 f1X f P f 10 P f 102

1 0.1 Sa 0.1 f 10 0.1 Sa 0.1 f 102

= = + + =

= + +

7. Spectrul descrierii pe o perioada a unui semnal este in figura de mai jos. Sa se determine expresia semnaluluiperiodic daca perioada este

23

ms.

[ ]1 1 2 12x(t)= 2 X cos(2 f t)+ X cos(2 2f t)T

( ) ( )x t aria Sa t durata=

p(t)

t

P(f)

f

( ) ( )X f aria Sa f durata= x(t)

t

X(f) f

f t

x(t)1

-50 50-25 25 100 t[ms]

( )cos 20 t1

-25 25 100 t[ms]

p(t)1

-50 50 t[ms]

-4 -2f1 -f1 f1 2f1 4 f [kHz]

X(f) [mV]

X1

X2

X0=4