www. didactic.ro

www. didactic.ro

- 1 -

Rolul derivatei nti n studiul funciilor

Aplicaii

1) Se consider .

a) S se determine intervalele de monotonie ale funciei .

b) S se demonstreze c .

a) Calculm i apoi soluiile ecuaiei . Avem

,

, rezult , adic i .

Tabelul de variaie al funciei este:

Funcia dat este strict cresctoare pe i strict descresctoare pe . Punctul

este punct de maxim.

b) Inegalitatea cerut este echivalent cu

adevrat deoarece i pe intervalul

funcia este strict cresctoare.

2) Se consider funcia .

a) S se determine intervalele de monotonie ale funciei.

b) S se demonstreze c pentru orice

www. didactic.ro

www. didactic.ro

- 2 -

a) Avem , adic i

cu soluiile x i . Tabelul de variaie al funciei

este:

+

0 + + +

m

Pe fiecare dintre intervalele , deci funcia este strict

cresctoare. Pe deci funcia este strict descresctoare.

b) Pe intervalul punctul este punct de maxim, iar este

maximul funciei pe acest interval, deci pentru orice

3) Se consider . S se demonstreze c

Avem

Cum este punct de minim, rezult i cum

, rezult

4) Se consider funcia . S se demonstreze c

Avem i

www. didactic.ro

www. didactic.ro

- 3 -

Cum este punct de minim, rezult pentru

5) Se consider funcia . S se demonstreze c pentru

orice

Inegalitatea cerut devine prin logaritmare , sau, cum obinem

. Stabilim extremele funciei.

Avem i

Cum este punct de maxim, rezult , deci

.

6) Se consider .

a) S se demonstreze c este descresctoare pe

b) S se arate c .

a) Avem . Pentru , deci funcia este

descresctoare.

b) Inegalitatea se poate scrie , adic adevrat deoarece

i pe intervalul funcia este descresctoare.

7) Se consider funcia . S se demonstreze c

pentru orice .

Calculm i

ln =12=> = .

0

www. didactic.ro

www. didactic.ro

- 4 -

Cum rezult descresctoare i deci .

i, aplicnd regula lui lHospital, rezult

.

n concluzie, pentru rezult .

8) Se consider . S se demonstreze c funcia admite dou

puncte de extrem.

Calculm , adic . Ecuaia

cu rdcinile i .

m

Din tabelul de variaie al funciei, este punct de minim i este punct de

maxim, deci funia are exact 2 puncte de extrem.

9) Se consider . S se determine numrul punctelor de

extrem ale funciei.

Avem

i

m

Din tabelul de variaie al funciei, este punct de maxim, iar punct de

minim, deci funcia are 2 puncte de extrem.

10) Se consider funcia .

a) S se determine punctele de extrem ale funciei.

www. didactic.ro

www. didactic.ro

- 5 -

b) S se demonstreze c

Avem . Ecuaia are rdcinile , dar

, deci convine numai .

Rezult c are un unic punct de minim i avem pentru orice

, adic Dac nlocuim cu rezult

sau .

11) Se consider S se demonstreze c pentru

orice .

Avem care nu convine

i , de unde sau . Tabelul de variaie al funciei:

Rezult punct de minim, deci pentru orice Cum

avem c .

12) Se consider funcia S se determine punctele de extrem

ale funciei.

www. didactic.ro

www. didactic.ro

- 6 -

Cum i Avem

tabelul de variaie:

din care rezult c este punct de minim.

13) Se consider S se determine intervalele de monotonie ale

funciei.

Avem , rezult cu rdcinile

Avem

m

Pe , deci cresctoare, pe , deci descresctoare, iar

pe , deci cresctoare.

14) Se consider S se demonstreze c funcia este cresctoare

pe

Funcia este este cresctoare pe dac Avem

Cum , rezult

, deci este cresctoare pe

15) Se consider . S se arate c pentru orice

www. didactic.ro

www. didactic.ro

- 7 -

Calculm i pentru

cu rdcinile i . Tabelul de variaie al funciei este:

m M

Pentru avem punct de minim, deci ,

rezult

16) Fie funcia S se arate c pentru orice

Avem cu rdcina

Rezult punct de minim i deci Cum sau

17) Se consider funcia S se arate c .

Avem cu rdcinile i Tabelul de variaie al

funciei este:

m

Pe intervalul , deci funcia este descresctoare. Cum ,

rezult .

www. didactic.ro

www. didactic.ro

- 8 -

18) Se consider S se arate c .

Avem

cu rdcinile

Pe intervalul funcia este strict cresctoare. Cum , rezult

.

19) Se consider S se arate c pentru orice

Avem i din rezult

Rezult , punct de minim, deci pentru orice

Cum , avem

20) Se consider . S se arate c pentru orice

Avem cu rdcina i tabelul de variaie

Rezult este punct de minim i deci pentru orice

Cum avem , adic i

www. didactic.ro

www. didactic.ro

- 9 -

21) Se consider

a) S se determine intervalele de monotonie ale funciei.

b) S se arate c .

a) Cum cu rdcina , avem tabelul de variaie:

Pe intervalul , deci descresctoare, iar pe , , deci

cresctoare.

b) Cum este punct de minim, rezult pentru orice i deci

, adic pentru orice sau, pentru

pentru orice . Dm lui valori de la la i nsumm.

Obinem:

Cum prima sum este suma unei progresii geometrice cu 2012 termeni, i ,

rezult sau deoarece