www. didactic.ro
www. didactic.ro
- 1 -
Rolul derivatei nti n studiul funciilor
Aplicaii
1) Se consider .
a) S se determine intervalele de monotonie ale funciei .
b) S se demonstreze c .
a) Calculm i apoi soluiile ecuaiei . Avem
,
, rezult , adic i .
Tabelul de variaie al funciei este:
Funcia dat este strict cresctoare pe i strict descresctoare pe . Punctul
este punct de maxim.
b) Inegalitatea cerut este echivalent cu
adevrat deoarece i pe intervalul
funcia este strict cresctoare.
2) Se consider funcia .
a) S se determine intervalele de monotonie ale funciei.
b) S se demonstreze c pentru orice
www. didactic.ro
www. didactic.ro
- 2 -
a) Avem , adic i
cu soluiile x i . Tabelul de variaie al funciei
este:
+
0 + + +
m
Pe fiecare dintre intervalele , deci funcia este strict
cresctoare. Pe deci funcia este strict descresctoare.
b) Pe intervalul punctul este punct de maxim, iar este
maximul funciei pe acest interval, deci pentru orice
3) Se consider . S se demonstreze c
Avem
Cum este punct de minim, rezult i cum
, rezult
4) Se consider funcia . S se demonstreze c
Avem i
www. didactic.ro
www. didactic.ro
- 3 -
Cum este punct de minim, rezult pentru
5) Se consider funcia . S se demonstreze c pentru
orice
Inegalitatea cerut devine prin logaritmare , sau, cum obinem
. Stabilim extremele funciei.
Avem i
Cum este punct de maxim, rezult , deci
.
6) Se consider .
a) S se demonstreze c este descresctoare pe
b) S se arate c .
a) Avem . Pentru , deci funcia este
descresctoare.
b) Inegalitatea se poate scrie , adic adevrat deoarece
i pe intervalul funcia este descresctoare.
7) Se consider funcia . S se demonstreze c
pentru orice .
Calculm i
ln =12=> = .
0
www. didactic.ro
www. didactic.ro
- 4 -
Cum rezult descresctoare i deci .
i, aplicnd regula lui lHospital, rezult
.
n concluzie, pentru rezult .
8) Se consider . S se demonstreze c funcia admite dou
puncte de extrem.
Calculm , adic . Ecuaia
cu rdcinile i .
m
Din tabelul de variaie al funciei, este punct de minim i este punct de
maxim, deci funia are exact 2 puncte de extrem.
9) Se consider . S se determine numrul punctelor de
extrem ale funciei.
Avem
i
m
Din tabelul de variaie al funciei, este punct de maxim, iar punct de
minim, deci funcia are 2 puncte de extrem.
10) Se consider funcia .
a) S se determine punctele de extrem ale funciei.
www. didactic.ro
www. didactic.ro
- 5 -
b) S se demonstreze c
Avem . Ecuaia are rdcinile , dar
, deci convine numai .
Rezult c are un unic punct de minim i avem pentru orice
, adic Dac nlocuim cu rezult
sau .
11) Se consider S se demonstreze c pentru
orice .
Avem care nu convine
i , de unde sau . Tabelul de variaie al funciei:
Rezult punct de minim, deci pentru orice Cum
avem c .
12) Se consider funcia S se determine punctele de extrem
ale funciei.
www. didactic.ro
www. didactic.ro
- 6 -
Cum i Avem
tabelul de variaie:
din care rezult c este punct de minim.
13) Se consider S se determine intervalele de monotonie ale
funciei.
Avem , rezult cu rdcinile
Avem
m
Pe , deci cresctoare, pe , deci descresctoare, iar
pe , deci cresctoare.
14) Se consider S se demonstreze c funcia este cresctoare
pe
Funcia este este cresctoare pe dac Avem
Cum , rezult
, deci este cresctoare pe
15) Se consider . S se arate c pentru orice
www. didactic.ro
www. didactic.ro
- 7 -
Calculm i pentru
cu rdcinile i . Tabelul de variaie al funciei este:
m M
Pentru avem punct de minim, deci ,
rezult
16) Fie funcia S se arate c pentru orice
Avem cu rdcina
Rezult punct de minim i deci Cum sau
17) Se consider funcia S se arate c .
Avem cu rdcinile i Tabelul de variaie al
funciei este:
m
Pe intervalul , deci funcia este descresctoare. Cum ,
rezult .
www. didactic.ro
www. didactic.ro
- 8 -
18) Se consider S se arate c .
Avem
cu rdcinile
Pe intervalul funcia este strict cresctoare. Cum , rezult
.
19) Se consider S se arate c pentru orice
Avem i din rezult
Rezult , punct de minim, deci pentru orice
Cum , avem
20) Se consider . S se arate c pentru orice
Avem cu rdcina i tabelul de variaie
Rezult este punct de minim i deci pentru orice
Cum avem , adic i
www. didactic.ro
www. didactic.ro
- 9 -
21) Se consider
a) S se determine intervalele de monotonie ale funciei.
b) S se arate c .
a) Cum cu rdcina , avem tabelul de variaie:
Pe intervalul , deci descresctoare, iar pe , , deci
cresctoare.
b) Cum este punct de minim, rezult pentru orice i deci
, adic pentru orice sau, pentru
pentru orice . Dm lui valori de la la i nsumm.
Obinem:
Cum prima sum este suma unei progresii geometrice cu 2012 termeni, i ,
rezult sau deoarece
Top Related