RMCS_nr.28

7/29/2019 RMCS_nr.28

1/34

Societatea de tiine Matematice din RomniaFiliala Cara-Severin

REVISTA DE

MATEMATIC

A ELEVILORI PROFESORILOR

DIN JUDEULCARA-SEVERIN

Nr. 28, An X-2009

Editura Neutrino

Reia, 2009 2

2009, Editura NeutrinoTitlul: Revista de matematic a elevilori profesorilor din judeulCara-SeverinI.S.S.N. 1584-9481

Colectivul de redacie

Avrmescu IrinaBdescu Ovidiu

Iatan RodicaGolopena Marius

Buzescu AntoanelaChi Vasile

Lazarov MihaelMitricMariana

Dragomir Adriana Moatr Lavinia

Dragomir Delia Monea MihaiDragomir Lucian Neagoe PetriorDrghici Mariana PistrilIon DumitruDidraga Iacob Stniloiu NicolaeGdea Vasilica andru Marius

Redacia

Redactor-ef: Dragomir LucianRedactor-ef Adjunct:Bdescu OvidiuRedactori principali: Dragomir Adriana

MitricMarianaMonea Mihai

Neagoe PetriorStniloiu Nicolae

Responsabil de numr:Monea Mihai

2009, Editura NeutrinoToate drepturile rezervateMobil: 0741017700www.neutrino.roE-mail: [email protected]

7/29/2019 RMCS_nr.28

2/34

3

CUPRINS

Gnduri din alte timpuri.........................................................

Pag. 4

Chestiuni metodice, note matematice

Asupra unor probleme de la OJM 2009(Stelua i Mihai Monea) ................................. O aplicaie a seriei geometrice n matematicile

financiare(Adina Florena i Marius Giuclea).........

Metode de rezolvare a problemelor de coliniaritate(Petru Augustin i Ioan Septimiu Dinulic)............................

Rezultate etapa judeean a Olimpiadei 2009, concursTraian Lalescu 2009, concurs Adolf Haimovici 2009

Matematic la malul mrii (ONM 2009 Neptun...)(Ovidiu Bdescu).........

Pag. 5

Pag. 6

Pag. 10

Pag. 17

Pag. 20 Probleme rezolvate .......... Pag. 22

Probleme propuse ........ Pag. 46

Rubrica rezolvitorilor Pag. 62

4

Gnduri din alte timpuri

Lucrurile mari n-au nevoie dect de a fi nfiate cu simplitate.(La Bruyre, 1645 1696)Un om de spirit i de bun sim spunea odat despre un doctor plin degravitate: omul acesta trebuie s fie un mare ignorant, cci rspunde latoate ntrebrile care i se pun.

(Voltaire, 1694 1778)

Dac prin minune nelegi un efect a crui cauz nu o cunoti, atuncitotul este o minune.

(Voltair )

Orgoliul celor mici const n a vorbi totdeauna despre persoana lor,iar al celor mari, de a nu vorbi niciodat.

(Voltaire)

Dezaprob spusele tale, dar voi apra pn la moarte dreptul de a lerosti.

(Voltaire)

Iubete adevrul, dar iart eroarea. (Voltaire) Inspiraia este sor bun cu munca ordonat, de toate zilele.

(Baudelaire, 1819 1887)

Mijlocul de a fi original: sinceritate absolut.(Baudelaire)

Fr expresie, frumuseea este, poate, o impostur.(Balzac, 1799 1850)

Munca puin d mult amor propriu, n timp ce mult munc trezeteo nermurit modestie.

(Balzac)

Respectul este o barier care ocrotete n mod egal pe cel mare i celmic; fiecare, de partea lui, se poate privi n fa.

(Balzac)

7/29/2019 RMCS_nr.28

3/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

4/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

5/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

6/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

7/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

8/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

9/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

10/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

11/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

12/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

13/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

14/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

15/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

16/34

31

Soluie: Orice numr natural are una din formele:

{ }6 , 0,1,...,5n k k+ iar ptratele lor sunt de forma:

6 6 6 6, 1, 3, 4M M M M+ + +

, prin urmare, numerele de forma 6 2n+

nu pot fi ptrate perfecte.Analog se arat c numerele de forma4 3n + nu pot fi ptrate perfecte, prin urmare A = .

Din ( ) ( )8 1 4 18 2 50x y+ + = + , obinem:( )2 2 4 3 2 2 5 2 2 2 3 5 2 4x x y y x y x y+ + = + + = + , de

unde deducem c 2 3 5 0x y + = i 2 4 0x y + = , ceea ce

conduce la 2x = i 3y = , iar ( ){ }2;3B = , de unde A B B = ,A B = i .B B =

VIII.123 S se determine , ,a b c 0> astfel nct6

1 1 1 3

2

a b c

a b c

+ + =

+ + =

Prof. Marina Constantinescu,Tismana

Soluie: Plecm de la inegalitatea4

4, 0,x xx

+ > cu egalitate pentru

2.x = nmulind a 2-a egalitate a sistemului cu 4 i adunnd apoi relaiile

obinem4 4 4

12.a b ca b c

+ + + + + =

Dar4 4 4

4 4 4 12.a b ca b c

+ + + + + + + = Egalitatea are loc pentru

2.a b c= = = VIII.124 Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA B C D . S se arate c

dac AA B CBC D C A atunci paralelipipedul este cub.

Prof. Marina Constantinescu,TismanaSoluie: Notm , ,AB a BC b BB c= = = lungimile muchiilorparalelipipedului. Din asemnarea triunghiurilor

( ), , .A AB BCC C D A U U se obin relaiile 1a c b a c b

c b a c b a

+ += = = =

+ +,

deci a b c= = , adic paralelipipedul este cub.

32

VIII.125 Se consider cubul ABCDA B C D i

[ ] [ ] [ ], ,AA N BC P C D astfel nct triunghiul NP esteechilateral. S se arate cA M BN C P = = .

Prof. Mircea Constantinescu, Tg-JiuSoluie: Dac a este lungimea muchiei cubului i

, ,A M x BN y C P z = = = , din 2 2 2N NP MP= = obinem

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2y a a x z a a y x a a z+ + = + + = + + de unde

2 2 22 2 2x ay y az z ax+ = + = + .

Dac 2 2 2 2x y x y ay az y z> > < < 2 2 2 2

2 2 2 2y z az ax z x z x ay ax y x< > > > < < , fals.Cazul x y< duce analog la contradicie. Deci x y= ,apoix z= .

VIII.126 Determinai x pentru care exist n astfel nct

nn

nxxxx=

+

+++

++

++

+

1..........

4

3

3

2

2

1.

Prof. Ramona Clin, ReiaSoluie:

2 1 3 1 1 1

..........2 3 1

x x x n

nn

+ + + +

+ + =+1 1 1

1 1 ........... 12 3 1

x x xn

n

+ + + + + =

+

( )1 1 1

1 ..........2 3 1

x n nn

+ + + + = +

1 0 1x x = = .

VIII.128 Se consider un cub / / / /ABCDA B C D n careMeste mijlocul

lui (CD),Neste mijlocul lui/ /

( )A D i O centrul cubului.S se determinemsura unghiului dintre drepteleMNiAO.Prof. Aurel Doboan, Lugoj

Rspuns: citii nota de la pag.14 din RMCS 27/2009.

VIII.129 Fie ABC dreptunghic cu ( )Am = 90i ( )ABE ,( )ACF astfel nct BCEF i

3

2=

AB

AE. Se d

2

15=AB i

7/29/2019 RMCS_nr.28

17/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

18/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

19/34

37

1 1

2 2 BBQ QN BQ BN m= = = . Condiia din enun se poate scrie

BM BP BQ BG =

22

6 6Bmac

= ( )2222

cacab += (*)Cum 222 cabBCAB += , relaia (*) conduce imediat laconcluzie.

Clasa a X-a

X.121 Se consider funcia2

: , ( )1

f f xx

=+

.

a) S se arate cfnu este injectivi nici surjectiv ;b) S se calculeze1 1 1 1 1

... (1) ...2008 2007 2 (2) (2008)

f f f ff f

.

Dan Emil Bugariu, elev, Oelu Rou

Soluie: Deoarece1 1

Im ,2 2

f

= , avem c funcia nu este surjectiv

(sau, se arat c ecuaia, de exemplu, ( ) 1f x = nu are soluii reale); pentru

injectivitate i calculul cerut e suficient s observm c1

( ),f f x xx

=

.

X.122 S se arate c dacz satisface 0 Re( ) 2z i

0 Im( ) 2z , atunci2

1 .2

z i .

Prof. Adriana i Lucian Dragomir, Oelu RouSoluie: Dac ( , )x y este imaginea geometric a luiz , avem [ ], 0,2x y ,deciMeste situat n interiorul sau pe frontiera ptratului cu un vrf norigine, dou laturi pe axe i latura de lungime 2 , iar centrul n (1,1)A .

Inegalitatea din concluzie este astfel2

2MA ; se arat imediat c aceasta

este adevrat.

38

X.123 Se consider o mulime care satisface proprietile :a) (1 ) ;i M+

b) 2 ;z M z M c) (1 ) .z M z M+

Prof. Adriana i Lucian Dragomir, Oelu Rou

S se arate c ( )4 ,4 , 4 4 .M i M + Soluie(Victor Prunar):

) ) )

(1 ) 2 4 16 15 ;b b c

z i M i M M M M= +

Deducem succesiv din c) : 14 ,13 ,...,4 ;M M ) )

2 2 1 1 2 1 3 4

c b

i M i M i M i M + ;Avem n sfrit :

)

3 4 1 1 4 4c

i M i M + .X.124 S se rezolve ecuaia 33 70 92 105 .x x x x+ + =

Prof. Aurel Doboan, LugojSoluie: Se observ soluia 3x = ( calcule cam prea complicate) i searat, pe calea obinuit, c aceasta este unica: se mparte cu 105x i seajunge la o funcie strict descresctoare;de aici, exerciiu de clas.

X.125 Rezolvai ecuaia : 2log 3 1 .x= + Prof. Dorel Mihe, Timioara

Soluie: Ecuaia se poate scrie

2 3log log ( 1) 2 ,3 1t tx t x x= + = = = + .Se ajunge astfel la

3 2 1t t= + ; mprim acum cu 3t i folosim stricta monotonie afunciei exponeniale cu baz subunitar.Obinem unica soluie

1 2.t x= =

X.126 S se rezolve ecuaia : ( )44 2log 4 5 .1

xx x

x

+ =

+

Prof. Adriana i Lucian Dragomir, Oelu Rou

Soluie: Se arat imediat c funcia2

: , ( )1

f f xx

=+

are

imaginea1 1

Im ,2 2

f

= . Aadar

1( )

2f x , pentru oricex real. Pe de

alt parte, 4 4 5 2x x + este echivalent cu ( ) ( )2 21 2 3 0x x x + +

7/29/2019 RMCS_nr.28

20/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

21/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

22/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

23/34

45

XII.128 S se gseasc primitivele funciei :f , ( )1

x

x

x ef x

e

=

+.

Prof. Dan tefan Marinescu, HunedoaraSoluie: S observm pentru nceput c

( )/

2 1 2 1 2 11

xx x x

x

xedx x e dx x e e dx

e= + = + +

+ .Pe de alt

parte,avem(calcule mai prelungite i duse cu atenie):/

1 1 1ln ...

1 1 1

x

x x

e

e e

+ = = + + +

.Avem mai departe acum:

( )/1 11 2 11 1

xx x

x x

ee ee e

++ = = + + =+ +

( )/

/1 1ln 2 1

1 1

xx

x

ee

e

+ + + + +

i finalizarea v aparine.

XII.129 Fie [ ]: 0,1f o funcie continui injectiv cu proprietatea c

(1) 1f = .Demonstrai c dac exist ( )0 0,1x astfel nct ( )0 2f x ,

atunci1 ( )

02.f xe dx >

Prof. Lucian Dragomir, Oelu RouSoluie: f continu i injectiv,rezult f strict monoton;cum

( )0 2 1 (1)f x f > = ,deducem c funcia este strict

descresctoare.Acum,pentru [ ]0,1x deducem( )( ) (1) f xf x f e e ,integrare pe [ ]0,1 i 2e > .

46

Probleme propuse(se primesc soluii pn n data de 25 august 2009)

Not: Se pot trimite i soluii la problemele propuse n articoleleaprute n ultimele dou numere ale revistei

Clasa I

I.11. Mrii cu 3 diferena numerelor 97 i 45. Care este rezultatul?nv. Hildegard Loidl, Reia

I.12. Un cioban are n turma sa 23 oi albe i 5 oi negre.

Cu cte oi rmne ciobanul, dup ce vinde apte dintre oile sale ?nv. Hildegard Loidl, Reia

I.13. Din suma numerelor 26 i 43 scade rsturnatul diferenei numerelor36 i 24. Ct ai obinut ?

Inst. Mriua Benga,ReiaI.14. Mihai are 75 timbre. Cte timbre trebuie s-i mai cumpere pentru aavea 88 ?

nv. Hildegard Loidl, ReiaI.15. La diferena numerelor 45 i 15 adun cel mai mic numr natural dedou cifre identice. Ce numr ai gsit?

Inst. Mriua Benga,Reia

I.16. ntr-o cutie sunt 78 bile albe, roii i negre. Dintre acestea 55 suntalbe i negre, iar 48 sunt albe i roii. Cte bile sunt de fiecare culoare?

nv. Lidia Adamescu, ReiaI.17.

Vrsta lui Andrei este egal cu cel mai mare numr par de o cifr,iar vrsta srbunicului este egal cu diferena dintre cel mai mare numrde dou cifre diferite i cel mai mic numr de dou cifre.Afl diferena de vrst dintre cei doi !

nv. Lidia Adamescu, ReiaI.18. Dac Alina ar mai avea nc 4 baloane, ar avea cu 3 mai puine dectfratele su. Cte baloane are Alina, dac fratele su are 19 baloane?

Inst. Costa Moatr, Reia

7/29/2019 RMCS_nr.28

24/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

25/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

26/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

27/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

28/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

29/34

57

Clasa a IX-aIX.140 FieA o mulime de numere naturale i :f A A o funcie cu

proprietile:

a) exist cu ( )a A f a a ;b) ( ) ( ) , ,f m f n m n m n A = .

Artai c mulimeaA este infinit.Prof. Mircea Becheanu, Bucureti

IX.141 Se consider punctele coliniare distincteA,B,C,D,Eastfel nct.AB BC CD DE= = = DacFeste un punct din plan, iarGiHcentrele

cercurilor circumscrise triunghiurilorADF, respectivBFE, artai c

.GH FC

Concurs Baltic 1997

IX.142 Fie ,M M i funciile , :f g M M cu proprietile:

a) ( ( )) ( ( )) , ;f g x g f x x x M= =

b) ( ) ( ) , .f x g x x x M+ =

Artai c:1) ;x M x M 2) ( ) ( ), .f x f x x M =

Concurs Moldova 2002

IX.143 Determinai numerele realex,y,z care satisfac proprietile:a) 0 11x< ; b) 14z ; c) 38x y z+ + = ; d) 2002xyz = .

Concurs Australia 2002

IX.144 S se arate nu exist nici un triunghi ABC n carea b

tg Ac

= ,

b ctg B

a

= i

c atg C

b

= .

Prof. Lucian Petrescu, Tulcea

IX.145 Comparai numerele9

a tg

= i 2 2b = .

Prof.Lucian Dragomir, Oelu - Rou

58

IX.146 Determinai numerele ntregixiy care satisfac :2 2( )( ) 1 3x y x y xy+ + = +


IX.147 S se determine numerele reale m pentru care rdcinile ecuaiei2 2( 1) 0x m x m + = sunt ntregi.


IX.148S se arate c dac ntr-un triunghiABCavem2 2 2b bc c a + , atunci

2

3B C

+ .

Red.RMCS

IX.149Precizai natura triunghiuluiABCn care2 2 2sin sin sin 6 ABCa B b C c A+ + = A


Clasa a X-aX.140 S se arate c dac ( ), , , 0,a b c d ,atunci

4 4 4 4

2 2 2 2.a b c d a b c d

b c c d d a a b+ + + + + +

Prof. dr. Dorin Mrghidanu, Corabia

X.141 S se determine toate funciile :f care verific relaia:

( ) ( )yxfyxyfx +=++ 222 2 pentru oricex iy numere naturale.

Elev Ovidiu Stniloiu, Boca

X.142S se determine funciile surjective :f pentru care( ) ( ) ( )( )nmffnfmf +=+ , oricare ar fi m, n numere naturale.


X.143 Numerele naturale distincte a,b,c,d,e,f,g,h,n verific egalitileab cd ef gh n+ = + = . Determinai cea mai mic valoare a lui n .

Concurs Belarus

7/29/2019 RMCS_nr.28

30/34

59

X.144 Lungimile a,b,c ale laturilor unui triunghi satisfac egalitatea3b c a+ = . Artai ca este lungimea celei mai mici laturi.

* * *

X.145 Dou ptrate de latur 1, avnd laturile paralele, se intersecteazdup un dreptunghi de arie

1

8. Calculai distana minim dintre centrele

celor dou ptrate.Prof. Radu Gologan, Bucureti

X.146 S se rezolve ecuaia 2cos2 2cos4 cos6 cosx x x x+ + = Red.RMCS

X.147 Artai c n orice triunghiABCeste adevrat inegalitatea2 2 2 22

3sin sin sin2 2 2

A B CA B C

+ + . Precizai n ce caz are loc egalitatea.

Prof. Aurel Doboan, LugojX.148 Fie 2, 1z x i y i= + = , cu 0xy .Artai c, dac 1z = , atunci

( )2

2 22 , ,

b ba a a b a b

x y

+ + +

.

Prof. D.M.Btineu Giurgiu, Bucureti

X.149 Stabilii dac numrul 2 4 6 860 60 60 601 3 9 27 81 ...a C C C C = + +

este par sau impar.Red. RMCS

Clasa a XI-a i Clasa a XII-a

XI.140Dac [ ]: ,f a b este o funcie derivabil , s sedemonstreze c exist ( )1 2, ,c c a b astfel nct

( )1/1

1

( )( )

f c f af c

b c

=

i

( ) 2/2

2

( )( )

f b f cf c

c a

=

.

Prof. dr. Dorin Mrghidanu, Corabia

60

XI.141 Fie Matricea

=

122

212

221

A . Elementele luiA se modific

dup urmtoarea regul: Un element de pe diagonala principal semrete sau se micoreaz cu 2, iar n rest, orice alt element se mretesau se micoreaz cu 1. Este posibil ca dup dup 2008 astfel detransformri determinantul lui A s fie 2008 ?


XI.142 Determinai funciile polinomiale :f tiind c exista astfel nct pentru orice x a> , f nu este injectiv pe intervalul

[ ],a x Elev Ovidiu Stniloiu, Prof. Nicolae Stniloiu, Boca

XI.143 Fie 0,2

a

i irul ( )( ) 1n nx a definit prin

( )2sin sin

sin ,2

n

na a

x a a nn

= + + + .

a) S se demonstreze c ( ) ( )lim ln 1 sinnn

x a a

= .

b) S se arate c 1 1lim 12n n

+ + + = +

.

Prof. Lucian Petrescu, Tulcea

XI.144 Fie , 0a b > astfel nct ecuaia 3 2 1 0x ax bx + = s aib

soluiile reale 1 2 3, ,x x x . Dac3 3 31 2 3x x x = = , s se arate c

2

3a

b

=

.

Prof. Lucian Petrescu, TulceaXI.145 Pe ( )0, definim o lege de compoziie " " comutativ, cuproprietatea c , cux y G x y , avem x x y y . Dac , ,a b c G

satisfaca b c

b c c a a b= =

, artai c .a b c= =

Prof. Stelua Monea i Mihai Monea, Deva

7/29/2019 RMCS_nr.28

31/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

32/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

33/34

7/29/2019 RMCS_nr.28

34/34

RMCS_nr.28

Documents

Transcript of RMCS_nr.28