CuprinsCuprins i12. Metode energetice 112.1Energia potenial de deformaie 112.2Teorema reciprocitii lucrului mecanic 212.3Teorema reciprocitii deplasrilor 412.4Principiul lucrului mecanic virtual 512.5Principiul minimului energiei poteniale totale 812.6Metoda Rayleigh-Ritz 1012.7Prima teorem a lui Castigliano 1312.8Teorema Crotti-Engesser 1412.9A doua teorem a lui Castigliano 1512.10Metoda Mohr-Maxwell 2012.11Sisteme static nedeterminate 3513. Flambajul barelor drepte 6313.1Instabilitatea elastic 6313.2Calculul sarcinii critice prin metoda energetic 6613.3Calculul sarcinii critice prin metoda diferenial 6813.4Diagrama tensiunii critice de flambaj 7413.5Calculul la flambaj 7613.6Lungimea critic de flambaj 8213.7Compresiunea excentric a barelor zvelte 8313.8ncovoierea barelor comprimate axial 86 REZISTENA MATERIALELOR ii14. Cilindri cu perei groi i discuri n rotaie 8914.1Tuburi cu presiune interioar i exterioar 8914.2Cilindri fretai 9514.3Tensiuni termice n cilindri cu perei groi 10214.4Discuri de grosime constant, n rotaie 10614.5Tensiuni termice n discuri subiri 11415. ncovoierea plcilor subiri 11715.1Ipotezele teoriei ncovoierii plcilor subiri 11715.2ncovoierea pur 11815.3ncovoierea cilindric 12315.4ncovoierea axial-simetric a plcilor circulare 12416. Solicitri elasto-plastice 13916.1Schematizarea curbei caracteristice a materialelor 13916.2ncovoierea elasto-plastic a barelor 14116.3Rsucirea elasto-plastic a barelor 14916.4Calculul sistemelor static nedeterminate prin metoda strii limit15316.5Solicitri elasto-plastice n tuburi cu perei groi 15516.6Solicitri elasto-plastice n discuri n rotaie 15817. Solicitri dinamice 16317.1Coeficientul dinamic 16317.2Solicitri prin fore de inerie constante 16417.3Solicitri prin fore armonice 17117.4Solicitri prin oc 183CUPRINS iii18. Oboseala metalelor 18918.1Deteriorarea prin oboseal 19018.2Metodologii de calcul la oboseal 19218.3Calculul la oboseal prin analiza tensiunilor 19418.4Caracteristici mecanice la ncrcri ciclice 21818.5Calculul la oboseal prin analiza deformaiilor specifice 22518.6Calculul la oboseal prin analiza propagrii fisurilor 243Anexe 255Index 26912.METODE ENERGETICEnmecanicasolidelorsecalculeazdeplasrilepunctelorunuicorpdeformabil, n echilibru static sub aciunea forelor exterioare i a reaciunilor.Ecuaiiledeechilibrupentruunvolumdetaatdincorpseexprimnfunciedetensiuni.Dartensiunilesuntlegatededeformaiispecifice(ecuaiileconstitutive)carelarndullorsuntlegatededeplasri(condiiiledecompatibilitate).Aceastaimpunerezolvareaunorecuaiicuderivateparialedeordinuldoicareoferaa-numitasoluieexact.Astfeldesoluiiexactesepotcalcula ns numai pentru corpuri cu geometrii simple i pentru ncrcri i condiiila limit relativ simple. La corpuri cu configuraii geometrice complexe i condiiila limit i de ncrcare generale, obinerea unor astfel de soluii este imposibil. Serecurge la soluii aproximative, bazate pe lucrul mecanic i energia potenial, i lametodevariaionalecareimpuncondiiimaipuinstricteasuprafunciilorcareaproximeaz cmpul de deplasri.nfinal,nloculrezolvriiunorecuaiidiferenialecucondiiilalimitcomplicate,serezolvintegralealeunorfunciipolinomialerelativsimple.Calcululdeplasrilorsefaceprinmetodebazatepeprincipiullucruluimecanicvirtualiprincipiulminimuluienergieipotenialetotale.nacestcapitolsemaiprezintmetodaRayleigh-Ritz,metodaMohr-Maxwell,metodaluiCastigliano,precumiaplicareaacestoralarezolvareasistemelorstaticnedeterminateprinmetoda eforturilor.12.1Energia potenial de deformaiencazulgeneraldesolicitare,cndnseciuneatransversalacioneazeforturile N,T, iM i tM ,energiadedeformaie acumulatdeobardreapt,nechilibru static, este + + + " " " "ttyifI Gx MI Ex MGAx TA Ex NU2d 2d 2d 2d 2 2 2 2. (12.1) REZISTENA MATERIALELOR2undes-auutilizatexpresiile(5.5),(6.19)i(8.16).Aldoileatermendinmembruldrept al relaiei (12.1) reprezint energia de deformaie acumulat datorit forelortietoare,ncareariadeforfecareA k Af f ,iar fk estefactoruldeforfecare(8.45).Uneori este util exprimarea energiei de deformaie n funcie de deplasri.Pentruobarsolicitatlantindere,utilizndrelaiile(5.5,a),(3.22)i(3.18),seobinexxuA E x A E V UAxVd21d d21d21 22x x (,\,(j

" " . (12.2)Pentru un arbore solicitat la rsucire, utiliznd relaiile (6.1), (6.5) i (6.19,a), se obinexxI G x A rxG V UpAxy xyVd21d d21d212 2 (,\,(j (,\,(j " " .(12.3)Pentruobarsolicitatlancovoieresimetricpur,utilizndrelaiile(8.3), (8.16) i (8.57), rezultxxwI E xxI E x A E Uy yAxddd21ddd21d d2122222 ((,\,,(j (,\,(j " " " . (12.4)Pentruobarsolicitatlancovoieresimpl,nsumndenergiadencovoiere i de forfecare (v. par. 8.6.3), se obinexxwA G xxI E Uf yddd21ddd212 2 (,\,(j+ + (,\,(j

" ". (12.5)12.2Teorema reciprocitii lucrului mecanic(Teorema lui Betti)Seconsideruncorpelastic,nechilibrustatic,asupracruiaseaplicdoustrisuccesivedesolicitare,produsededougrupesuccesivedesarciniireaciuni, iF i iF ( ) n ,..., , i 2 1.Forele iF seaplicnaceleaipuncteipeaceleai direcii ca i forele iF , putnd fi considerate drept alte valori ale acestora.Aplicndforele iF corpulsedeformeaz.Senoteazcu iu proieciadeplasrii punctului de aplicaie al forei iFpe direcia acesteia.12. METODE ENERGETICE3Lucrul mecanic al forelor exterioare are expresia

nii iu F L121. (12.6)Corespunztor, lucrul mecanic al forelor iFpe deplasrile iuare expresia

nii iu F L121. (12.7)Latrecereadelaprimastaredesolicitarelaadoua,foreleexterioareefectueaz lucrul mecanic nii inii iu F u F L L1 12121. (12.8)Dacasupracorpuluiseaplicntiprimulgrupdesarcini iF ,careproducelucrulmecanicL,apoiseaplicforeleadiionale( )i iF F ,astfelnctlucrulmecanictotaldevineL ,sepoateconsideracdiferena( ) L L esteprodus de forele elastice( )i iF F pe deplasrile( )i iu u i de forele iF , care seaflau aplicate pe corp i care se deplaseaz pe( )i iu u , rmnnd constante. Decise poate scrie( ) ( ) ( ). u F u F u F u Fu u F u u F F L Lnii inii inii inii inii i inii i i i + + 1 1 1 11 121212121 21(12.9)Egalndexpresiile(12.8)i(12.9),deciaplicndprincipiulsuprapuneriiefectelor, rezult nii inii iu F u F1 1. (12.10)Aceastegalitateexprimteoremareciprocitiilucruluimecanic(enunat de E. Betti n 1872):Dac asupra unui sistem elastic se aplic succesiv dou ncrcri diferite,atuncilucrulmecanicefectuatdeforeledinprimancrcarepedeplasrileproduse de a doua ncrcare este egal cu lucrulmecanicefectuatdeforeledinadoua ncrcare pe deplasrile produse de prima ncrcare.ndefiniiademaisuss-auconsideratforeideplasrigeneralizate.Astfel,ncazulsolicitriiprinmomente(cupluri)concentrate,deplasrilecorespunztoare sunt rotiri. REZISTENA MATERIALELOR412.3Teorema reciprocitii deplasrilor(Teorema lui Maxwell)Seconsiderobarsimplurezemat,lacareprimancrcareesteforaFaplicat n seciunea i (fig.12.1, a) iar a doua ncrcare este tot o for F aplicat nseciunea j.n general, pentru forele aplicate n seciunile i i j, relaia (12.10) devinej j i i j j i iu F u F u F u F + + . (12.11)Pentrusistemulparticulardeforealesicunotaiiledinfigura12.1,rezultF Fi, ij iw u ,, Fj0 0iF , ji jw u, , F Fjcare, nlocuite n relaia (12.11), conduc la ij jiw F w F, sauij jiw w. (12.12)Aceast egalitate exprim teorema reciprocitii deplasrilor(enunatdeJ. C. Maxwell n 1864):Deplasarea produs n seciunea i cnd o for este aplicat n seciunea jeste egal cu deplasarea produs n seciunea j cnd aceeai for este aplicat nseciunea i, cu condiia ca direciile forelor i deplasrilorsfieaceleainceledou cazuri.Fig. 12.1 Fig. 12.2Cai ncazulteoremei luiBetti, n teoremalui Maxwell sepotconsideradeplasri i fore generalizate, deci rotiri i momente concentrate.12. METODE ENERGETICE5Dac1F ,atuncisenoteaz ij ijw ,iar ij senumetecoeficientdeinfluen(sauflexibilitate).Acestareprezintdeplasareaniprodusdeoforegal cu unitatea aplicat n j . Egalitatea (12.12) devineji ij , (12.13)relaie care atest simetria matricei de flexibilitate a sistemelor elastice.12.4Principiul lucrului mecanic virtualPrincipiullucruluimecanicvirtualreprezintoformularealternativacondiiilordeechilibrustatic.ncontinuaresevautilizaformacunoscutcaprincipiul deplasrilor virtuale.Conformprincipiuluilucruluimecanicvirtual:condiianecesarisuficientcaunsoliddeformabilsfienechilibrustaticestecalucrulmecanicvirtualalforelorexterioaresfieegalculucrulmecanicvirtualalforelorinterioare, pentru orice cmp de deplasri virtuale cinematic admisibileI EL L . (12.14)n relaia (12.14) EL este lucrul mecanic virtual al forelor exterioare jFpedeplasrilevirtuale ju independentedestareadesolicitareicompatibileculegturile( )

njj jnjj jnjj j Eu F u F u F L1 1 1 , (12.15)iar IL estelucrulmecanicvirtualalforelorinterioarecareacioneazasupraelementelor corpului deformabil.Simbolul" ",introdusdeLagrange,accentueazcaracterulvirtualalvariaiilor, spre deosebire de simbolul "d" care denot difereniale ale deplasrilor.Denotatc,nformulareageneral,

njj j Eu F L1,expresiencarelipsetefactorul2 1 careaparenexpresialucruluimecanicalforelorelastice,deoareceforeleexterioarermnconstantentimpulaciuniipedeplasrilevirtuale.Aparent,formulareademaisuscontraziceprincipiullucruluimecanicvirtual stabilit de Johann Bernoulli pentru corpuri nedeformabile. Extins la sistemedepunctemateriale,interconectatecuelementeelastice,acestaseenunastfel:condiia necesar i suficient ca un sistem de puncte materiale s fie n echilibru REZISTENA MATERIALELOR6static este ca lucrul mecanic virtual total al forelor exterioare i interioare s fienul pentru orice deplasare virtual cinematic admisibil0 + I EL L L . (12.16)n relaia (12.16) IL este lucrul mecanic virtual al forelor interioare careacioneazasuprapunctelormateriale,forecare,conformprincipiuluiaciuniiireaciunii,suntegaleidesenscontrarcelorcareacioneazasupraelementelorcorpului deformabil, deciI IL L . (12.17)Lacorpurideformabile,lucrulmecanicefectuatmpotrivainteraciunilorntre elementele infinitezimale care compun corpul este egal cu variaia energiei dedeformaieU .Pentruaobinelucrulmecanicefectuatdeforeleinterioaresemnultrebuieschimbat.Decilucrulmecanicefectuatdeforeleinterioare(careacioneaz n punctele de aplicaie ale forelor exterioare) n timpul unor deplasrivirtuale este egal cu variaia energiei de deformaie cu semn schimbatU LI . (12.18)Pentruuncorpsolidnechilibru,cretereavirtualaenergieidedeformaieesteegalculucrulmecanicvirtualalforelorexterioarepeoricecretere virtual cinematic admisibil a cmpului de deplasri (G. Kirchhoff)EL U . (12.19)De notat c lucrul mecanic virtual al reaciunilor din reazemele rigide estenul.Fiindocondiiedeechilibru, principiuldeplasrilorvirtualeesteindependentde comportarea materialelor, fiind valabil att pentru materiale elastice ct i pentrumateriale neelastice. El este valabil doar pentru fore conservative, deci care nu imodific direcia n timpul aciunii pe deplasrile virtuale.Exemplul 12.1Lasistemuldinfigura12.2,compusdintreibareconcurentearticulatelacapete, se cer forele din bare i deplasarea punctului de aplicaie al forei F.Rezolvarenmetodabazatpeprincipiuldeplasrilorvirtuale,seconsidertreistriale sistemului analizat:1.Stareainiial,ncarenuexistforeexterioareibarelenusuntpretensionate (fig. 12.3, a).2.Stareafinaldeechilibrustatic,ncareforaexterioarF,decomponente sin1F F i cos2F F,producedeplasareaarticulaiei4,decomponente 1ui 2u(fig. 12.3, b).12. METODE ENERGETICE7Asupraarticulaiei4acioneazforeleexterioare 1F , 2F iforeleinterioare 1T , 2T , 3T (fig.12.3,c).nbareacioneazforeinterioareegaleidesens contrar, care produc alungirile 1 , 2 , 3(fig. 12.3, d).3.Ostareimaginar,ncaresedarticulaiei4odeplasarevirtualdecomponente 1u i 2u (fig.12.3,e),creiaicorespundalungirivirtualealebarelor 1 , 2 , 3(fig. 12.3, f), forele aplicate rmnnd constante.Fig. 12.3Deplasrilevirtuale 1u i 2u ialungirilevirtuale 1 , 2 , 3satisfac ecuaiile de compatibilitate (5.27). u u, u, u ucos sin cos sin 2 1 32 22 1 1 +

+ (12.20) REZISTENA MATERIALELOR8Pentru cele trei bare, relaiile for-deformaie (5.28) se scriu 11A ET"" ,A ET cos22"",A ET "" 33 . (12.21)Conformecuaiei(12.17),seegaleazlucrulmecanicvirtualalforelorexterioare cu lucrul mecanic virtual al forelor care acioneaz asupra barelor3 3 2 2 1 1 2 2 1 1 T T T u F u F + ++ , (12.22)egalitate care, innd cont de relaiile (12.20), se mai scrie( ) ( ) 0 cos cos sin sin 2 3 2 1 2 1 3 1 1 + + + F T T T u F T T u .ntructdeplasrilevirtualesuntarbitrare,parantezeletrebuiesfienule,de unde rezult ecuaiile de echilibru (5.26) ale forelor aplicate articulaiei 4. F T T T, F T Tcos cossin sin2 3 2 11 3 1 + + (12.23)Seconfirmfaptulcprincipiullucruluimecanicvirtualreprezintoformulare alternativ a condiiilor de echilibru static.nlocuindrelaiile(12.21)n(5.27),seobinrelaiilentreeforturiideplasricare,nlocuiten(12.23),permitcalcululcomponentelordeplasriipunctului 4 din relaiile (5.30).12.5Principiul minimului energiei poteniale totaleEnergiapotenialtotal aunuicorpelasticestedefinitcasumaenergiei de deformaie U i a potenialului forelor exterioare pUpU U + . (12.24)Potenialulforelorexterioare pU esteegalculucrulmecanicalforelorexterioare EL(calculat considernd forele constante) cu semn schimbatE pL U . (12.25)Semnul minus apare deoarece forele exterioare i pierd din capacitatea dea efectua lucru mecanic atunci cnd se deplaseaz n direcia n care acioneaz. Oforexterioar jF areenergiapotenial( )j ju F nlocde(,\,(jj ju F21,12. METODE ENERGETICE9deoareceacestpotenialaparedinmrimeaforeiidincapacitateaeideasedeplasa,fiindindependentdeproprietileelasticealecorpuluiasupracruiaacioneaz.Energia potenial total are deci expresiaEL U . (12.26)Pe baza relaiei (12.19) rezult c0 EL U , (12.27)deci, la echilibru static, energia potenial total are o valoare staionar. Pentruuncorpnechilibrustabil,extremulenergieipotenialetotaleesteunminimabsolut,0 2> .Principiul minimului energiei poteniale totale se enun astfel:Dac un solid deformabil este n echilibru sub aciunea forelor exterioarei a reaciunilor, atunci energia potenial total are o valoare minim.Reciproc,dacsubaciuneaforelorexterioareiareaciunilorenergiapotenial total a unui solid deformabil are o valoare minim, atunci acesta esten echilibru stabil.Astfel,sepoateconsideracrelaia(12.27)estemaidegrabocondiiecare stabilete sau definete echilibrul, dect un rezultat al echilibrului.Altformulareechivalentesteurmtoarea:Pentruoconfiguraiedeechilibrustabil,deplasrilecinematicadmisibilecaresatisfaccondiiiledeechilibru sunt cele care minimizeaz energia potenial total.Reciproc, orice cmp de deplasri cinematic admisibil i care minimizeazenergia potenial total reprezint o configuraie de echilibru stabil.Lasistemuldinfigura12.2,compusdintreibareconcurentearticulatelacapete, energia de deformaie pentru o bar este 21212iiii i ilA ET U , (12.28)iar energia potenial exterioar este ii i pu F U . (12.29)Exprimndalungirilenfunciededeplasriconformcondiiilordecompatibilitate (5.27), energia potenial total (12.26) se scrie sub forma REZISTENA MATERIALELOR10( )( ) . u F u F u ulEAuos lEAu ulEA2 2 1 122 12222 1cos sin2 c 2cos sin2 + ++ + + (12.30)Anulnd derivatele luin raport cu fiecare variabil independent01

u, 02

u, (12.31)se obin ecuaiile de echilibru (12.23).DeoareceU LI ,lucrulmecanicvirtualalforelorinterioaresepoatecalcula pe baza relaiei (5.5, a)

VIV L d (12.32)unde suntdeformaiispecificevirtuale,compatibilecudeplasrilevirtualealeforelor exterioare.La barele solicitate la ntindere, nlocuind E i xu , se obine

l l VIxxuEAxux A E V L dd d . (12.33)La barele solicitate la ncovoiere, nlocuind 22xwz , rezult

(((,\,,,(j

lyl AIxxwEIxwx A zxwExwL dd d222222222. (12.34)Acesteexpresiisuntutilizatenegalitatea(12.17),larezolvareaproblemelor prin metode bazate pe principiul deplasrilor virtuale.12.6Metoda Rayleigh-RitznmetodaRayleigh-Ritz,aplicatuneigrinzisolicitatelancovoiere,sgeata( ) x weste aproximat printr-o dezvoltare ntr-o serie finit( ) ( )

njj jx a x w1 (12.35)12. METODE ENERGETICE11unde jasunt coeficieni nedeterminai, numii coordonate generalizate, iar( ) xjsuntfunciiadmisibiledate,carendeplinesccondiiilelalimitgeometrice(cinematice) i sunt continue n intervalul de definiie.nlocuinddeplasrile(12.35)nexpresiaenergieipotenialetotale ,aceastadevinefunciedecoeficienii ja ,alecrorvalorisedetermindincondiiile de staionaritate0 ja, ( ) n ,..., j 1, (12.36)care conduc la un sistem algebric liniar n coeficienii ja .Soluiilesenlocuiescnexpresia(12.35)carereprezintodeformataproximativasistemului,cuattmaiexactcuctsealegmaimulitermeninseria respectiv.Exemplul 12.2Lagrindadinfigura12.4seceredeplasareaverticalapunctuluideaplicaie al forei F. Se dau:MPa 210E , 4mm 1600 yI ,m 3l ,N 100Fim N 200q .Fig. 12.4RezolvareUtilizndexpresia(12.4)aenergieidedeformaiepentruobarsolicitatlancovoiere,neglijndefectulforeitietoare,energiapotenialtotal(12.26)este( )(,\,(j ((,\,,(j 2d ddd 213 2 0222""""w F x x w q xxwI Ey. (12.37)Condiiile la limit geometrice sunt() 0 0 w , () 0 0 w , 032 (,\,(j "w , ( ) 0" w . (12.38) REZISTENA MATERIALELOR12ncontinuare,pentrusimplificaresgeileseaproximeazsubformauneiserii de numai doi termeni( ) ( ) ( ) x a x a x w2 2 1 1 +(12.39)unde funciile( )( )( )4212 3"" "

x x xx , ( )( )( )5322 3"" "

x x xx , (12.40)satisfac toate condiiile geometrice (12.38)nlocuind funcia (12.39) n expresia (12.37) se obine funcionala( ) ( )( ) ( ) [ ]. a a Fx a a q x a a I Ey2 2 d d212 2 1 13 22 2 1 1022 2 1 1" """" + + + . (12.41)Condiiile de staionaritate n raport cu 1ai 2ase scriu( ) ( ) 0 2 d d13 2101 2 2 1 11 + """"F x q x a a I Eay,( ) ( ) 0 2 d d23 2202 2 2 1 12 + """"F x q x a a I Eay.nlocuindfunciile(12.40)i,pentrudatelenumericealeproblemei,6 " q F, se obine sistemul algebric"" "q aI EaI Ey y432011105562313+ ,"" "q aI EaI Ey y46656269772102313+ .De exemplu, coeficientul lui 1adin prima ecuaie este( ) ( )3022 28021556d 4 30 361d"" """ "yy yI Ex x x I E x I E+ .Soluiile sunt12. METODE ENERGETICE13yI Eq, a4100207 0" ,yI Eq, a4200257 0".n punctul de aplicaie al forei F, sgeata este( ) ( ) ( )mm. 48 2 10 9 4321161 2 2 2452 12 2 1 1,I Eq, a aa a wy + + "" " " nprincipiu,funciamomentelorncovoietoarepoatefiobinutnlocuindexpresia analitic a sgeilor n ecuaia diferenial a fibrei medii deformate (8.57).Funciaforelortietoareseobineapoiprinncoderivare.Reaciunileseobinevalundacestefunciipentruabsciselecorespunztoarereazemelor.Datoritderivrilorsuccesive,valorileeforturilorauerorimaimaridectvaloriledeplasrilor.12.7Prima teorem a lui CastiglianoDin relaiile (12.15) i (12.19) rezult

njj ju F U1 , (12.42)Utiliznd dezvoltarea n serie

njjjuuUU1 ,relaia (12.42) devine

njjjnjj juuUu F1 1 ,de unde se deducejjuUF . (12.43)Relaia (12.43) exprim analitic prima teorem a lui A. Castigliano (1875):Oforoarecareesteegalcuderivataparialaenergieipotenialededeformaienraportcuproieciadeplasriipunctuluideaplicaiealforeipedirecia acesteia. REZISTENA MATERIALELOR1412.8Teorema Crotti-EngesserLamaterialeneelasticesaulastructuricuneliniaritigeometrice,caracteristica for-deformaie este neliniar (fig. 12.5).Fig. 12.5Ariasuprafeeihauratedinfigura12.5defineteenergiapotenialcomplementar,mrimengeneralfrsemnificaiefizic.Ariasuprafeeinehauratedesubcurbdefinetelucrulmecanicalforei kF ,egalcuenergiapotenial acumulat de corp.n cazul aciunii mai multor fore, energia potenial complementar totalse poate exprima sub formaU u F Unkj jC 1, (12.44)Se calculeaz derivata parial n raport cu o for jF.FuuUFFFuFuuUFFuFuFFUFFuFuFFUnknkjkkkjkknkjkk jkkjkkjnkjkkjkkjC

((,\,,(j +

((,\,,(j+

((,\,,(j+

1 111

,Deoarece,conformrelaiei(12.43),expresiadinparantezestenul,rezult

nkj kjkjCu uFFFU1,12. METODE ENERGETICE15decijCjFUu . (12.45)Relaia(12.45)exprimteoremaCrotti-Engesser(1889),caresemainumete i teorema lui Castigliano generalizat :Derivataparialaenergieipotenialecomplementareaunuisistemdeformabilnraportcuoforesteegalcuproieciadeplasriipunctuluideaplicaie al forei pe direcia acesteia.12.9A doua teorem a lui Castiglianoncazulsistemelorliniare,ntresarcinileaplicateideplasrilepunctelorde aplicaie ale acestora exist relaii liniare. Astfel, curba din figura 12.5 devine oliniedreapt.Rezultclacorpurielasticeliniare,energiacomplementaresteegal cu energia de deformaieCU U. (12.46)nlocuindenergiacomplementarconformegalitii(12.46)nrelaia(12.45), se obinejjFUu . (12.47)Relaia (12.47) exprim analitic a doua teorem a lui Castigliano (1875):Derivata parial a energiei de deformaie, acumulate de un sistem elasticliniar, n raportcu oforexterioareste egalcuproieciadeplasriipunctuluide aplicaie al forei pe direcia acesteia.ncazulunuimomentexteriorconcentrat,derivataparialaenergieidedeformaienraportcuuncupluesteegalcurotireanpunctuldeaplicaieaacestuia.12.9.1Deformaii la ncovoierePentruobarsolicitatlancovoiere,energiadedeformaieareexpresia(8.16)

"yI Ex MU2d 2. REZISTENA MATERIALELOR16Conform teoremei lui Castigliano (12.47), la o bar cu seciunea constant,deplasarea pe direcia unei fore exterioare jFeste

" "xFMMI E I Ex MF FUj y y j jjd12d 2 , (12.48)iar unghiul de rotire n punctul de aplicaie al unui cuplu jMeste

"xMMMI E MUj y jjd1 . (12.49)Pentruacalculadeplasareantr-unpunctncare(pedireciadorit)nuacioneazoforexterioar,seintroduceoforfictiv,secalculeazexpresiaanaliticamomentuluincovoietorMfunciedeforeleexterioareidesarcinafictiv,secalculeazderivatamomentuluincovoietornraportcuforafictiv,apoi se anuleaz fora fictiv n expresia lui M care se introduce n relaia (12.48).Dacasuprasistemuluiacioneazmaimulteforecunotaiisimilare,atunci cea n dreptul creia se calculeaz deformaia se noteaz cu un simbol diferitde al celorlalte. Dup efectuarea derivatei se revine la simbolul iniial.La bare cotite, U din relaia (12.48) reprezint energia de deformaie totala barei, egal cu suma energiilor de deformaie ale barelor componente, deci n faaintegralei trebuie introdus semnul "sum".Exemplul 12.3Seceressecalculezesgeataiunghiulderotireallinieielasticencaptul liber al barei din figura 12.6.RezolvarePentru determinarea sgeii se utilizeaz relaia

"xFMMI Ewyd12.Se calculeaz momentul ncovoietor n seciunea x( ) x F x M i derivataxFM .Rezult sgeata12. METODE ENERGETICE17( )( )y yI EFx x FxI Ew3d1302"" .Pentrudeterminareaunghiuluiderotire,npunctul2seintroducemomentul fictiv 0M .Fig. 12.6Se calculeaz( )0M x F x M , 10 MM,apoi, nlocuind00Mn expresia momentului ncovoietor, se calculeaz unghiulde rotire( )( )y y yI EFx FxI ExMMMI E 2d 11d12002""" .12.9.2Deformaii la ncovoiere i rsucirePentru bare cotite solicitate la ncovoiere i rsucire, energia de deformaieare expresia + nit itniy iiiiiiiI Gx MI Ex MU12122d 2d " ",unde i este numrul barelor drepte componente.Deplasarea pe direcia unei fore exterioareFeste +

nitit iitniiy iijiiiixFMI GMxFMI EMFU1 1d d" " , (12.50) REZISTENA MATERIALELOR18Exemplul 12.4Se cere s se calculeze deplasarea vertical a captului liber al barei cotitedin figura 12.7.Fig. 12.7Rezolvarenceledoubareacioneazmomentelencovoietoare( )1 1 1x F x M ,respectiv( )2 2 2x F x M imomentuldersucire. a F Mt

2Secalculeazderivatele n raport cu F. Sgeata n captul liber este( )( ) ( )( ) ( )( ) + + " "0202 2 2201 1 11d1d1d1x a a FI Gx x FxI Ex x FxI EwtasautI Ga FI EFI Ea Fw" "223133 3+ +.12.9.3Deformaii la ncovoierea simplLa o bar dreapt, solicitat la ncovoiere simpl, energia de deformaie areexpresia + " "yyfzI Ex MGAx TU2d 2d 22.undeA k Af f , iar factorul de forfecare fkse poate calcula din condiia (8.45)AG A k GTAxzfzd2 22 2

.12. METODE ENERGETICE19Dac tensiunile tangeniale xzse calculeaz pe baza formulei lui Juravski(8.37), rezult((,\,,(j

A*yyfAbSA / Ikd22.La bara de seciune dreptunghiular((,\,,(j 22 24 18hz h bS*y,120d 4 164d522222 22h bz bhz hAbShh A*y

((,\,,(j ((,\,,(jdeci833 065120112523,h bh bbhkf ((,\,,(j .Exemplul 12.5Seceressecalculezesgeatancaptulliberalbareidinfigura12.6innd cont i de efectul forei tietoare.RezolvareAplicnd teorema lui Castigliano (12.47), se obine +

" "xFTTA GxFMMI E FUwzzfyyyd1d12,( )( ) + " "0 02d 11d1x FA Gx x FxI Ewf y,decif yA GFI EFw" "+ 332. REZISTENA MATERIALELOR20Se noteazf iw w w + 2.Raportul ntre sgeata produsde fora tietoare fw isgeataprodusdemomentul ncovoietor iweste23"fyifA GI Eww .innd cont c( ) +

1 2EG , A k Af f ,2yyiAI ,se obine( )21 6((,\,,(j+

"yf ifik ww.Laobardinoelcu 31 ,deseciunedreptunghiularcu 65

fk i3 2hiy, rezult 254(,\,(j

"hwwif.Pentru 51

"h,03 01254,wwifdecipentrubarescurte,avndlungimeade cinci ori mai mare ca nlimea, sgeata datorit forei tietoare reprezint numai3% din cea datorit momentului ncovoietor.12.10Metoda Mohr-Maxwellntr-oseciuneoarecareauneibaredrepte,solicitatelancovoieresimetric, momentul ncovoietor se poate exprima sub forma + jF m M , (12.51)undeprimultermendinmembruldreptaratcontribuiaforei jF ,iaraldoileatermen arat contribuia celorlalte sarcini aplicate barei.Se calculeaz derivata n raport cu jFmFMj

. (12.52)12. METODE ENERGETICE21nlocuind expresia (12.52) n relaia (12.48), rezult

"x m MI Eyjd1 . (12.53)Dacnexpresia(12.51)senlocuiete1 jF i0 ,rezultm M,decinrelaia(12.53)mreprezintmomentulncovoietorntr-oseciuneabareicareareaceeairezemarecabarastudiat,darestesolicitatdeosingurforegal cu unitatea, aplicat n punctul i pe direcia pe care se calculeaz deformaia.Unghiulderotiresecalculeazcuorelaiesimilar,ncaremestemomentul ncovoietor produs n seciunea x atunci cnd asupra barei acioneaz unsingur cuplu egal cu unitatea, aplicat n punctul respectiv.ngeneral,relaiapentrucalcululdeplasrilorlancovoiereprinmetodaMohr-Maxwell (1868) are forma( )

niii ijixI Em Mu1 d", (12.54)unde suma se extinde pe toate intervalele n care funcia de integrat este diferit.Relaiiasemntoaresestabilescipentrucelelaltesolicitri.Fiindbazatpeointegral,ncareintervineexpresiaanaliticaefortuluiprodusdeosarcinunitateaplicatnpunctulipedireciadeplasriicalculate,procedeulsemainumete metoda sarcinii unitate sau metoda sarcinii fictive.ncazuluneibaresolicitatelancovoiereoblic,deunmomentdecomponente yM i zM ,componenteledeplasriinlungulaxelorcentraleneprincipale se pot calcula cu relaiile2 1yz z yz yz y zyI I II IE+

,2 1yz z yz y y yzzI I II IE+

,unde "x m My y yd ,

"x m Mz z zd .Exemplul 12.6Se cere s se calculeze sgeata la mijlocul barei din figura 12.8, a.RezolvareDatorit simetriei, relaia (12.53) se scrie REZISTENA MATERIALELOR22

203d2lyx m MI Ew ,undexFM2 , iar din figura 12.8, b se obine 2xm.Fig. 12.8RezultylyI El Fxx x FI Ew48d2 223203 . (12.55)Exemplul 12.7Se cere s se calculeze deplasarea captului liber al barei din figura 12.9, a.Fig. 12.9RezolvareMomentele ncovoietoare produse de fora F sunt( ) cos 112 " F M ," 223F M .12. METODE ENERGETICE23Pentrudeterminareacomponenteiverticaleadeplasrii 1w ,seconsiderbara din figura 12.9, b, ncrcat cu o for vertical egal cu 1 aplicat n seciunea1. Momentele ncovoietoare n cele dou poriuni sunt( ) cos 112 " m ," 223m .Din relaia (12.53) rezult( ) [ ] ( ) [ ] ( )( )d 2 21d cos 1 cos 1140 01 + "" " " " " x FI EFI Ewy y ,( )y y y yI EF,I EFI EFI EFw3 3 202317 20 162344d 1 cos 2 cos" """ " (,\,(j++ + .Pentrudeterminarea componenteiorizontaleadeplasrii, 1h ,seconsiderbaradinfigura12.9,c,ncrcatcuofororizontalegalcu1aplicatnseciunea 1. Momentele ncovoietoare n cele dou poriuni sunt sin12"m ,x m 23.Utiliznd relaia (12.54), se obine ( ) [ ] ( )( )y y yI EFx x FI EFI Eh340 0114 d 21d sin cos 11 "" " " "" + .12.10.1Regula lui VereceaghinPentruoporiunedintr-obardreaptsolicitatlancovoiere,nfigura12.10 s-a reprezentat diagrama momentelor ncovoietoare M, de form oarecare, idiagrama m, care n cazul general are o variaie liniar.Rezolvarea integralei lui Mohrx m M d (12.56)se poate face prin regula lui Vereceaghin.n seciunea x, ordonata diagramei m este tg x m.Elementul haurat al diagramei M are ariax M d d . REZISTENA MATERIALELOR24Cu aceste notaii, integrala (12.56) se poate scrie x x x x m M tg d tg d tg d . (12.57)Rezult c integrala lui Mohr (12.56) se poate calcula nmulind ariaadiagrameiMcuordonata adiagrameim,dindreptulcentruluidegreutatealsuprafeeidiagrameiM.AcestprocedeusenumeteregulaluiVereceaghin(1925).Fig. 12.10Fig. 12.11De notat c regula lui Vereceaghin se aplic numai la bare drepte, la carediagrama m este liniar.Dacdiagrama mare poriunicunclinri diferite,relaia(12.57) se aplic pe intervale cu pant constant. Dac una din diagramele M sau mintersecteazaxaabsciselor,atunciintegrareasepoatefacepeintervaledeterminate de punctul de intersecie.RegulaluiVereceaghinesteuordeaplicatatuncicnddiagramaMsepoate mpri n suprafee la care se calculeaz uor suprafaa i poziia centrului degreutate (fig. 12.11). La poriunile de bar ncrcate cu sarcin uniform distribuit,trebuieca launuldin capetele intervaluluiforatietoaresfiezero.nacest caz,diagrama M este o parabol cu pant nul la captul respectiv (fig. 12.11, b, c).Dac fora tietoare este diferit dezero laambelecapetealeintervalului,diagramaMesteoparabolcarenuarepantnulcelpuinlaoextremitateirelaiiledinfigura12.11nusuntaplicabile.Serecomandaplicareaprincipiuluisuprapunerii efectelor, deci separarea sarcinilor exterioare i construcia diagrameimomentelorncovoietoareseparatpentrufiecaresarcin,rezultnddiagramemaisimple la care se pot calcula elementele din figura 12.11.Dacnurmaaplicriiuneimetodeenergeticeseobineodeformaienegativ,rezultcaceastaarelocnsenscontrarforeisaucupluluiunitateceacioneaz n punctul respectiv.12. METODE ENERGETICE25Exemplul 12.8Seceressecalculezepantalinieielasticenreazemul1isgeatalamijlocul barei din figura 12.12, a prin metoda Mohr-Maxwell i regula de integrarea lui Vereceaghin.Rezolvaren figura 12.12, b s-a construit diagrama M. Pentru calculul sgeii 3w , seconstruiete sistemul din figura 12.12, c. Diagramameste dat n figura 12.12, d.Deoarecediagramam arepantediferite,calcululsefacepeintervalecupantconstantI EF FEIw48 6 4 2 21 233" " " ".Fig. 12.12 Fig. 12.13 REZISTENA MATERIALELOR26Pentru calculul unghiului de rotire n reazemul 1, se aplic un cuplu egal cu1pereazemulbareidinfigura12.12,eiseconstruietediagramam dinfigura12.12, f. Aplicnd regula lui Vereceaghin se obineI EF FEI 16 214 21 121" "" .Exemplul 12.9S se calculeze sgeata i unghiul de rotire n seciunea 3 a barei din figura12.13, a utiliznd metoda Mohr-Maxwell i regula lui Vereceaghin.RezolvareSedeterminreaciunileiseconstruietediagramaM(fig.12.13,b).Deoarecepeintervalul1-2mprireanparabolecupantnullaoextremitateeste complicat, se construiesc diagramele pariale din fig. 12.13, c, separat pentrusarcinadistribuitipentruforaconcentrat.Pentrucalcululsgeiinpunctul3,seaplicnacestpunctoforverticalegalcu1(fig.12.13,d).Secalculeazreaciunile i se traseaz diagrama m' (fig. 12.13, e). Sgeata este( ) ( ) ( ) ( )I EqqEIqEIqEIw323221 132221 12 2232 142 223"" " " " " "" "" + + (,\,(j.Pentru calculul unghiului de rotire al seciunii 3, se ncarc bara n aceastseciune cu un cuplu egal cu 1 (fig. 12.13, f). Se calculeaz reaciunile i se traseazdiagrama m" (fig. 12.13, g). Unghiul de rotire este ( ) ( ) ( )( )I EqqEIqEIqEI 65121 1132221 1212232 132 223"" " " """ + + (,\,(j .ntructattsgeatactiunghiulderotiresuntpozitive,deplasareairotirea vor avea loc n sensurile sarcinilor unitate aplicate.Exemplul 12.10S se calculeze deplasrile pe vertical i orizontal, precum i unghiul derotirenseciunea2abareicotitedinfigura12.14,a.Secunoatemodululderigiditate la ncovoiereI E .RezolvareSe traseaz diagrama M (fig. 12.14, b).Pentru calculul deplasrii pe vertical n punctul 2 se aplic n acest puncto for vertical egal cu 1 (fig. 12.14, c) i se traseaz diagrama' m(fig. 12.14, d).12. METODE ENERGETICE27Fig. 12.14 Fig. 12.15Utiliznd regula lui Vereceaghin, rezult deplasarea pe vertical( )( ) ( )( )I EFF FI Ew2513 3 3214 3132"" " " " " " ]]],, + .Pentrucalcululdeplasriiorizontalen2,seaplicnacestpunctofororizontal egal cuunitatea(fig. 12.14,e) i se traseazdiagramam (fig.12.14,f). Rezult( )I EFFI Eh2323132" "" "(,\,(j . REZISTENA MATERIALELOR28Pentrucalcululunghiuluiderotirealseciunii2,seaplicnaceastseciune un cuplu egal cu unitatea (fig. 12.14, g) i se traseaz diagramam (fig.12.14, h). Rezult unghiul de rotire( )( ) ( )( )I EFF FI E 2151 3 3211 3 122"" " " " ]]],, + .Exemplul 12.11S se calculeze sgeata n punctul de aplicaie al forei i unghiul de rotiren reazemul din stnga al barei n trepte din figura 12.15, a.RezolvareMomentele de inerie axiale sunt6441 1d I i6442 2d I .Secalculeazreaciunile(fig.12.15,b)isetraseazdiagramaM(fig.12.15, c). Se aplic o for egal cu 1 n seciunea 4 (fig. 12.15, d) i se construietediagramam (fig.12.15,e).Secalculeazdeplasareaverticalnseciunea4,utilizndregulaluiVereceaghinpepatruintervale,determinatedesaltuldediametru i saltul de pant n diagramam : 53 3253 53 215 29 53 54 3252 5422154 522 153 32 53 2152 32 52 21 1 214.F F F FI EF FI Ew]]],,(,\,(j+ + + (,\,(j+ + ++ (,\,(j+ " " """ """ " """ """ """ "".I EFI EFw23134751677513 " "+ Se aplic un cuplu egal cu 1 n seciunea 1 (fig. 12.15, f) i se construietediagramam (fig.12.15,g).Sedeterminrotireanseciunea1curegulaluiVereceaghin, tot pe patru intervale, fiind mai uor de calculat ariile din diagramaM, altfel fiind necesare doar trei intervale determinate de saltul de diametru:.52 6553 21 103 53 52 3152 5422153

522 1

51 32 53 21513154 52 21 1 211]]],,+ + (,\,(j+ + ++]]],,+ (,\,(j+ """"""""""""F F F FI EF FI E.I EFI EF2212175897516 " "+12. METODE ENERGETICE2912.10.2Regula lui SimpsonO alt metod de calcul a integralei lui Mohr (12.56) pentru bare drepte sebazeaz pe regula lui Simpson.Fig. 12.16 Fig. 12.17Dac intervalul de integrare, de lungime" , se mparte n dou subintervaleegale(fig.12.16)iarfuncia( ) ( ) ( ) x m x M x festeaproximatprinoparabolcare s treac prin punctele de la capetele intervalului, de ordonate Af , Cf , i delamijloculacestuia,deordonat Bf ,atunciariasuprafeeidesubcurbsepoatecalcula cu regula lui Simpson( ) ( )C B Af f f x x f + + 46d"". (12.58)Pentruporiunidebarncrcatecuosarcinuniformdistribuit. q const(fig.12.17),momentulncovoietor( ) x M variazparabolic,momentul( ) x m variazngeneralliniar,decifunciam M esteunpolinomdegradulcelmult trei i integrarea este exact. Dac una din diagramele M sau m intersecteazaxaabsciselor,atunciintegrareasefacepeintervaledeterminatedepunctuldeintersecie.CalcululdeplasrilorcumetodaMohr-Maxwellsefacemprindbaranporiuni pe care funcia de integrat este diferit.Se utilizeaz relaia( )iC C B B A Anii yinii yi ijm M m M m MEIxEIm Mi+ + 4) ( 6d) (1 1"". (12.59) REZISTENA MATERIALELOR30Deoarece8 22" q M MMC AB++ ,2C ABm mm+

relaia de calcul a deplasrilor devine( )iniC C A A C A C Ai yijm M m M m mqM MEI

]]]],,,+ + +((,\,,(j+ +124 ) ( 6" ".(12.60)Pentru poriuni de bar ncrcatecu sarcinavndodistribuieliniarsaumai complicat, formula (12.58) este aproximativ.Exemplul 12.12S se calculeze deplasarea vertical a punctului 2 al barei din figura 12.18,a,prinmetodaMohr-Maxwell,utilizndregulaluiSimpsoniregulaluiVereceaghin.RezolvareSetraseazdiagrameleT(fig.12.18,b)iM(fig.12.18,c).nvedereaaplicriireguliiluiVereceaghinseconstruiescdiagrameleMpariale,separatpentrusarcinadistribuitipentruforaconcentrat(fig.12.18,d).Seaplicnpunctul 2 o for vertical egal cu 1 (fig. 12.18, e) i se traseaz diagrama m (fig.12.18, f). Aplicnd formula (12.60) rezult deplasarea pe vertical( ) ( )I Eq q q qEIw72 624 6 64 2 22""""" " "

]]]],,, (,\,(j + ((,\,,(j+ .AplicndregulaluiVereceaghinseparatpentruceledoudiagramepariale din figura 12.18, d se obine( ) ( )I Eq qEIqEIw72 323 21 1432 31 14 2 22"""" """ + ((,\,,(j.Exemplul 12.13S se calculeze deplasarea vertical a punctului 2 al barei din figura 12.19,a,prinmetodaMohr-Maxwell,utilizndregulaluiSimpsoniregulaluiVereceaghin.RezolvareSetraseazdiagrameleT(fig.12.19,b)iM(fig.12.19,c).Seaplicnpunctul 2 o for vertical egal cu 1 (fig. 12.19, d) i se traseaz diagrama m (fig.12.19, e). Aplicnd formula (12.60) rezult deplasarea pe vertical12. METODE ENERGETICE31( ) ( )I Eq q q qI Ew2411234 2364 2 2 22""""" " "

]]]],,,((,\,,(j + ((,\,,(j+ .Fig. 12.18 Fig. 12.19Deoarecenseciunea2foratietoarenuestezero,paraboladinfigura12.19, c nu are pant nul n 2, deci relaiile din figura 12.11, b nu sunt aplicabile.Seconstruiescdiagrameledemomentencovoietoareproduseseparatdeforaconcentrat (fig. 12.19, f) i de sarcina distribuit (fig. 12.19, g). Aplicnd succesivregula lui Vereceaghin se obine( ) ( ) ( )I Eq qI EqI Ew2411432 31 13221 14 222"""" " " "((,\,,(j + .Exemplul 12.14S se calculeze sgeata i unghiul de rotire n seciunea 3 a barei din figura12.13, a prin metoda Mohr-Maxwell i regula lui Simpson. REZISTENA MATERIALELOR32RezolvareSeutilizeazdiagramaMdinfigura12.13,b idiagramele m'(fig.12.13,e) i m" (fig. 12.13, g). Sgeata este( ) ( )( )( )( ) ( )( ) [ ] .I Eqq qEIqqqEIw3261

44062 142 22 2 23"" " " """ " " " "" + ++]]],, + (,\,(j+ Unghiul de rotire este( ) ( )( )( )( ) ( )( ) [ ] .I Eqq qEIqqqEI651 1 161

1 1 1 44062 132 22 2 23"" """ " "" + ++]]],, + (,\,(j+ 12.10.3Deformaii n sisteme de bare articulatencazulbarelorsolicitatelantindere-compresiune,deformaiilesepotcalcula cu relaia

ii ii ijxA En N"d , (12.61)unde iNeste fora axial n seciunea x a sistemului solicitat de forele exterioare,ineste fora axial n seciunea x a sistemului cu aceeai rezemare, dar solicitat deosingurforegalcu1aplicatnpunctulipedirecialui j ,iar i iA E estemodulul de rigiditate la ntindere-compresiune al barei i.Relaia (12.61) se poate deduce direct, pe baza unui raionament analog cucelfolositlademonstrareateoremeiluiBetti.Pentrusimplitatesevarenunalaindici pentru barele care compun sistemul.Se aplic sistemului o for egal cu unitatea, pe direcia deplasrii cutatej . Fora axial ntr-o seciune dat este n. Energia potenial de deformaie (5.5)este "A Ex n2d 2.Seaplicapoiforeleexterioare.ForaaxialdatoritacestoraesteN.Energiadedeformaiecorespunztoareeste "A Ex N2d 2.Laaceastaseadaug12. METODE ENERGETICE33lucrulmecanicefectuatdefora1pe deplasarea j produsdeforeleexterioare.Energia de deformaie final totaljA Ex NA Ex n + +12d 2d 2 2" "(12.62)este egal cuenergiadedeformaieacumulat ncazulaplicrii simultanea foreiunitate i a sarcinilor exterioare, cnd fora axial este( ) n N +( )+"A Ex n N2d 2. (12.63)Egalnd expresiile (12.62) i (12.63), rezult "xA En Njd . (12.64)Lagrinzilecuzbrele,foreleaxialeimodulelederigiditatesuntconstante pe lungimea barelor, deci relaia (12.64) devine ii ii i ijA En N ".Exemplul 12.15Ssecalculezedeplasareapunctului3alsistemuluidebarearticulatelacapete din figura 12.20, a, la care pentru toate bareleconstEA .RezolvareSe calculeaz nti reaciunile, apoi, utiliznd metoda izolrii nodurilor, sedetermineforturilenbare.inndsemadeconveniadesemnedinRezistenamaterialelor sin32FN , gFNt31, F N 21.Pentrucalcululcomponenteiverticaleadeplasrii, 3w ,seaplicoforvertical egal cu unitatea n punctul 3 i se determin eforturile n bare. nlocuind1Fn expresiile de mai sus, se obine sin132n , gnt 131, 121n . REZISTENA MATERIALELOR34Relaia (12.61) devine ( ).EAFFF FEAn N n N n NEAdx n NEAwii i+ +

((,\,,(j ++

+ +

23 32 221 21 21 32 32 32 13 13 13313sin1 sin cossinsincostg1 1 1"" " "" " "Fig. 12.20Pentrucalcululcomponenteiorizontaleadeplasrii, 3h ,seaplicofororizontal egal cu unitatea n punctul 3 (fig. 12.20, b) i se calculeaz eforturile nbare:021 32n n , 113n .Rezultsincoscos 11 cos213 133A EFtgFA E A En Nh""" .Deplasarea total va fi2323 3h w u +.12. METODE ENERGETICE3512.11Sisteme static nedeterminateSistemele static nedeterminate (denumite i sisteme hiperstatice) studiate nRezistenamaterialelorsuntsistemeelasticelacarenusepotdeterminatoateeforturile cu ajutorul ecuaiilor de echilibru ale Staticii.Atuncicndnumrulreaciunilornecunoscute,datoritelegturilor,estemaimaredectnumrulecuaiilordeechilibrustatic,sistemulestestaticnedeterminat exterior. Gradul de nedeterminare este egal cu diferena ntre numrulnecunoscutelor i numrul ecuaiilor de echilibru.Atunci cnd sistemul de bare conine contururi nchise, nu se pot determinaeforturileinterioare,sistemulfiindstaticnedeterminatinterior.Unconturplannchis, solicitat de fore coplanare, este triplu static nedeterminat.ncontinuaresevorconsideranumaisistemedebareplane,solicitatedefore coplanare, la care gradul de nedeterminare n este dat de relaiae c r n +3 ,unde r este numrul reaciunilor exterioare, c- numrul contururilor nchise, iar e=3este numrul ecuaiilor de echilibru din static.12.11.1Metoda eforturilorSe consider un sistem static nedeterminat exterior.nlocuindlegturilecureaciuni,nafaraforelorexterioare,asuprasistemuluivoraciona rreaciuni, pentru calcululcrora sedispunede trei ecuaiideechilibru.Pentrurezolvareaproblemei,suntnecesarenc( ) 3 r ecuaii,reprezentnd condiii de deformaie.Seutilizeazmetodaeforturilor,exprimnddeformaiilenfunciedeeforturi.Setransformsistemulstaticnedeterminat(s.s.n.)ntr-unsistemstaticdeterminat(s.s.d.)echivalent,prinsuprimareaunuinumrcorespunztordelegturi,caresenlocuiesccu( ) 3 r fore(saumomente)exterioarenumitenecunoscutestaticnedeterminate(reaciunihiperstatice)caresevornotadistinctcu jX ( ) 3 1 r ,..., j .Sescriucondiiiledeechivalenntres.s.d.echivalentis.s.n.Acesteasuntcondiiidedeformaienpuncteleipedireciilenecunoscutelorstaticnedeterminate,ncaredeformaiileseexprimnfunciedeeforturi.Serezolvsistemulformatdinecuaiileprovenitedincondiiilededeformaie,dincareseobinnecunoscutelestaticnedeterminate,apoidinecuaiiledeechilibrusedeterminrestulreaciunilorsaueforturilorcareacioneaznsistemulstatic REZISTENA MATERIALELOR36determinatechivalent.Astfel,problemasereducelastudiulsistemuluistaticdeterminat echivalent.Demenionatclasistemestaticnedeterminatecompusedinbaredediferiteseciuni,ngeneral,sefaceuncalculdeverificareatensiunilordinbare,deoarecelascriereacondiiilordedeformaietrebuiecunoscutemodulelederigiditatealebarelorcomponente.Lasistemeformatedinosingurbardeseciuneconstant,dinobarntreptecurapoartedatentredimensiuniletransversale ale diferitelor tronsoane sau din bare cu acelai modul de rigiditate sepoate face i un calcul de dimensionare.12.11.2Teorema lui MenabreaCondiiile deechivalenntresistemulstaticnedeterminatdatisistemulstatic determinat echivalent, se pot scrie utiliznd a doua teorem a lui Castigliano(12.47).La sisteme static nedeterminate exterior, cu reazeme rigide fixe, deplasrilepedireciilenecunoscutelorstaticnedeterminatesuntnule,decicondiiilededeformaie se scriu sub forma0

jjXUu . (12.65)Relaia(12.65)exprimanaliticteoremaluiL.F.Menabrea(1857):valorilereaciunilorhiperstaticecorespundunuiminimalenergieipotenialededeformaie.ntr-adevr,relaia(12.65)indicocondiiedeextremaenergieidedeformaie. Se demonstreaz c acesta este un minimum dac echilibrul este stabil.n acest sens, teorema lui Menabrea corespunde principiului aciunii minime.n cazul barelor solicitate la ncovoiere, relaia (12.65) devine 0 d "xXMI EMj y, (12.66)iarncazulbarelorcotiteialcadrelor,aceastaseextindepetoatebarelecomponente0 d1

nijiy iiiixXMI EM". (12.67)Teorema lui Menabrea se aplic i sistemelor static nedeterminate interior:valorileeforturilorstaticnedeterminate,careacioneaznbareleunuisistemnechilibru stabil, corespund unui minim al energiei poteniale de deformaie.12. METODE ENERGETICE37Exemplul 12.16Se cere s se traseze diagrama momentelor ncovoietoare la bara din figura12.21, a.Rezolvarenlocuindlegturilecureaciuni(fig.12.21,a),sepunnevidenpatrureaciuni,pentrucalcululcrorasedispunedenumaitreiecuaiideechilibru.Sistemulestesimplustaticnedeterminat.Sealege 2V dreptnecunoscutstaticnedeterminatisenoteaz 1X .Sedesfiineazreazemulsimpludinpunctul2ise construiete sistemul static determinat echivalent (fig. 12.21, b). Fora exterioar1Xacioneaz n captul liber din punctul 2.Fig. 12.21Condiiadeechivalenntres.s.d.(fig.12.21,b)is.s.n.(fig.12.21,a)este02w ,deci, dei sistemul static determinat din figura 12.21, b are capt liber n 2, se cautaceavaloareaforei 1X care,acionndasuprabareimpreuncusarcinadistribuit q, face ca sgeata n punctul 2 s fie nul (ca i cum ar exista un reazemsimplu). REZISTENA MATERIALELOR38Conformrelaiei(12.66),pentrubaradeseciuneconstant,condiiadedeformaie se scrie0 d01

"xXMM .n seciunea x, momentul ncovoietor este( )221x qx X x M ,iar derivata n raport cu fora 1XestexXM

1.Condiia de deformaie devine0 d2021

((,\,,(j"x xx qx X ,de unde rezult831" qX.Din ecuaiile de echilibru se calculeaz apoi851" qV ,821" qM ,astfelcsepoateconstruidiagramamomentelorncovoietoare(fig.12.21,c),pebaza creia se face dimensionarea.12.11.3Ecuaiile canonice ale metodei eforturilorSeconsidersistemulstaticnedeterminatdinfigura12.22,a,lacaresepuneproblemadeterminriireaciunilor.Sistemulestedublustaticnedeterminat.Seconstruietesistemulstaticdeterminatechivalent(fig.12.22,b)lacarenecunoscutele static nedeterminate s-au notat cu 1X , respectiv 2X .Seformeazapoinctreisisteme,avndaceeairezemarecasistemulstatic determinat, ns solicitate diferit:a) sistemul 0 (numit i sistem de baz), solicitat numai de forele exterioareaplicate iniial asupra s.s.n. (fig. 12.22, c);12. METODE ENERGETICE39b)sistemul1,solicitatdeoforegalcu1,aplicatnpunctulipedirecia lui 1X(fig. 12.22, d);c)sistemul2,solicitatdeoforegalcu1,aplicatnpunctulipedirecia lui 2X(fig. 12.22, e);Condiiile de echivalen ntre s.s.d. (fig. 12.22, b) i s.s.d. echivalent (fig.12.22, a) se scriu01w , 02w , (12.68)decis.s.d.trebuiesaibsgeinulenpunctele1i2,carens.s.n.corespundseciunilor din dreptul reazemelor.Fig. 12.22Utilizndconceptuldecoeficientdeinfluen(v.par.12.3),nfigurile12.22,c,d,es-aunotatdeplasrilenseciunile1i2.Astfel, 21 reprezintdeplasarea n punctul 2 produs de o for egal cu unitatea aplicat n seciunea 1.Generaliznd, 21 reprezintdeplasareansistemul1,msuratnpunctulipedirecianecunoscuteistaticnedeterminate 2X .Analog, 10 estedeplasareansistemul 0, n punctul de aplicaie i pe direcia de aciune a lui 1Xetc. REZISTENA MATERIALELOR40Aplicnd principiul suprapunerii efectelor, relaiile (12.68) se scriu, X X, X X0022 2 21 1 2012 2 11 1 10 + + + + (12.69)de unde rezult necunoscutele static nedeterminate 1Xi 2X .Relaiile (12.69) reprezint ecuaiile canonice ale metodei eforturilor i potfi generalizate la sisteme cu un grad mai mare de nedeterminare.Dacsenoteaz 0M , 1m i 2m momentelencovoietoarentr-oseciuneoarecareasistemelor0,1,respectiv2(neaprataceeaiseciune),atuncicoeficienii din ecuaiile (12.69) se pot calcula cu metoda Mohr-Maxwell astfel. xI Em M, xI Em M, xI Em, xI Em m, xI Em " "" " "ddd d d2020101022222 121 122111 , (12.70)La acelai rezultat se poate ajunge i pe baza teoremei lui Menabrea.ntr-oseciuneoarecareaunuisistemstaticnedeterminat,momentulncovoietor se poate scrie sub forma02 2 1 1M ..... X m X m M + + +, (12.71)undeprimiitermenidinmembruldreptaratcontribuiaeforturilorstaticnedeterminate jX ,iarultimultermenaratcontribuiacelorlaltesarciniaplicatesistemului.Conform teoremei lui Menabrea, n cazul particular al ncovoierii0 d0

"xXMI EMj, n ,...., j 1. (12.72)Notndderivata jjmXM

ifcndnlocuirilenrelaiile(12.72),seobine( ) 0 d1 02 2 1 10 + + +"x m .... X m X m MI Ej, n ,...., j 1, (12.73)12. METODE ENERGETICE41care cu notaiile

" "xI Em M, xI Em mjjj iji ijdd00 , (12.74)se transform n ecuaiile canonice. X .... X X. .......... .........., X .... X X, X .... X Xn n nn n nn nn n0 2 2 1 120 2 2 22 1 2110 1 2 12 1 11 + + ++ + ++ + +(12.75)Exemplul 12.17Se cere s se traseze diagrama momentelor ncovoietoare la bara cotit dinfigura 12.23, a.RezolvareSenlocuiesclegturileprinreaciuni.Sistemulestedublustaticnedeterminat. Se aleg reaciunile 1Hi 1Vca necunoscute static nedeterminate. Seconstruietes.s.d.echivalent(fig.12.23,b),transformndarticulaia1ncaptliber, deci anulnd legturile corespunztoare reaciunilor static nedeterminate, caredevin forele exterioare 1Xi 2X .Fig. 12.23 REZISTENA MATERIALELOR42Seconstruietesistemul0(fig.12.23,c)idiagramamomentelorncovoietoare 0M (fig.12.23,d),apoisistemul1(fig.12.23,e)idiagramamomentelorncovoietoare 1m (fig.12.23,f),isistemul2(fig.12.23,g)idiagrama 2m(fig. 12.23, h).Se calculeaz coeficienii (12.74), utiliznd regula lui Vereceaghin( )I EFFI E 2 21 1310"" " " ,( )I EFFI E 65265 21 1320"" " " ,I E I E 37 322121311"" " " " " "(,\,(j + ,I E I E 382322 221 1322"" " " ,I E I E321 12221 "" " " .Dupnlocuirenecuaiile(12.75)sau(12.69)isimplificri,seobinesistemul algebric liniar22372 1FX X+ ,653822 1FX X+ ,cu soluiile4061FX , i40172FX.Semnulminusaratcfora 1X aresenscontrarceluiindicatnfigura12.23, b. Rezult c sistemul static determinat echivalent are configuraia din figura12.23, i iar diagrama momentelor ncovoietoare este cea redat n figura 12.23, j.Exemplul 12.18Seceressetrasezediagramamomentelorncovoietoarelabaradubluncastrat, de seciune constant, din figura 12.24, a.RezolvareSe nlocuiesc ncastrrile cu reaciuni. Forele orizontale sunt nule. Rmnpatrureaciuninecunoscuteinumaidouecuaiideechilibru,decisistemulestedublu static nedeterminat.12. METODE ENERGETICE43Se aleg momentele 1Mi 2Mdrept necunoscute static nedeterminate. Seconstruiete s.s.d. echivalent (fig. 12.24, b), transformnd ncastrrile n reazemesimple, deci anulnd legturile corespunztoare reaciunilor static nedeterminate,care devin momentele exterioare 1Xi 2X .Fig. 12.24Seconstruietesistemul0(fig.12.24,c)idiagramamomentelorncovoietoare 0M (fig.12.24,d),apoisistemul1(fig.12.24,e)idiagramamomentelorncovoietoare 1m (fig.12.24,f),isistemul2(fig.12.24,g)idiagrama 2m(fig. 12.24, h).Se calculeaz coeficienii (12.74), utiliznd regula lui Vereceaghin( )I Eb b a F b b a FI E """"""6 3 21 110+ ((,\,,(j + ,( )I Ea b a F a b a FI E """"""6 3 21 120+ ((,\,,(j + ,( ) ( )I E I E 31 -32121 111"" , REZISTENA MATERIALELOR44I E 322" ,( )I E I E 6 31- 1 -21 121 12""(,\,(j .Dup nlocuire n ecuaiile (12.75), se obine sistemul algebric liniar( )"" " "6 6 32 1b b a FX X+ + ,( )"" " "6 3 62 1a b a FX X+ + ,cu soluiile221"b a FXi222"b a FX.Aplicnd aceste momente n sistemul static determinat echivalent se obinediagrama momentelor ncovoietoare din figura 12.24, i.Exemplul 12.19Seceressecalculezereaciunileisseconstruiascdiagramamomentelorncovoietoarelabaradinfigura12.25,aconsiderndsistemulstaticnedeterminat interior.RezolvareAplicnd principiul suprapunerii efectelor, bara din figura 12.25, a poate fidescompus ndousistemesimplustaticnedeterminate,unulncrcatsimetricialtul ncrcat antisimetric, ca n fig. 12.25, b i c, care se rezolv casistemestaticnedeterminate interior, prin secionare n planul central. Forele axiale sunt nule.Labaradinfigura12.25,b,geometricsimetricincrcatsimetric,nplanuldesimetrieforatietoareestenul,deciacioneazdoarunmomentncovoietor care se alege ca necunoscut static nedeterminat (fig. 12.25, d).La bara din figura 12.25, c, geometric simetric i ncrcat antisimetric, nplanuldesimetriemomentulncovoietorestenul,deciacioneazdoarofortietoare care se alege ca necunoscut static nedeterminat (fig. 12.25, e).Pentru fiecare jumtate de bar se construiesc sistemele 0 i 1, diagramele0M i 1m (fig.12.25,f,...m),secalculeazcoeficieniiecuaieicanoniceisedetermin necunoscuta static nedeterminat care se nlocuiete n s.s.d. echivalent.i se construiete diagrama momentelor ncovoietoare.12. METODE ENERGETICE45Fig. 12.25 REZISTENA MATERIALELOR46Pentru bara din figura 12.25, d se obineI EF FI E 3616 3 21 1210" " " (,\,(j ,I E I E 21 12111" " ,1811101" FX ,decis.s.d.echivalentarencrcareadinfigura12.25,nidiagramamomentelorncovoietoare din figura 12.25, p.Pentru bara din figura 12.25, e se obineI EF FI E 6487187 6 3 21 1310" " " " (,\,(j ,I E I E 24 2 32 2 2 21 1311" " " " ,27711101FX ,decis.s.d.echivalentarencrcareadinfigura12.25,oidiagramamomentelorncovoietoare din figura 12.25, r.Sensumeazreaciunile(fig.12.25,s)iceledoudiagramepariale,rezultnd diagrama momentelor ncovoietoare pentru s.s.n. dat (fig. 12.25, t).Exemplul 12.20Sseconstruiascdiagramamomentelorncovoietoarelabaradinfigura12.26, a considernd sistemul static nedeterminat exterior, prin descompunere ntr-un sistem ncrcat simetric i unul ncrcat antisimetric.RezolvareAplicnd principiul suprapunerii efectelor, bara din figura 12.26, a poate fidescompus ndousistemesimplustaticnedeterminate,unulncrcatsimetricialtul ncrcat antisimetric, ca n fig. 12.26, b i c, la care forele axiale sunt nule.Labarancrcatsimetricdinfigura12.26,b,nncastrrimomentelencovoietoare sunt egale i de sens contrar, deci reaciunile verticale se pot calcula.Se construiete s.s.d. echivalent n care ncastrrile se transform n reazeme simpleiarmomenteledinncastrrisealegdreptnecunoscutestaticnedeterminate(fig.12.25, d).Labarancrcatantisimetric din figura 12.26,c,nncastrrimomentelencovoietoare sunt egale i de acelai sens. Se construiete s.s.d. echivalent n carencastrrilesetransformnreazemesimpleiarmomenteledinncastrrisealegdrept necunoscute static nedeterminate (fig. 12.26, e).Se construiesc sitemele 0 i 1, diagramele 0Mi 1m(fig. 12.26, f,...m), secalculeazcoeficieniiecuaieicanoniceisedeterminnecunoscutastatic12. METODE ENERGETICE47nedeterminatcaresenlocuietens.s.d.echivalent.iseconstruietediagramamomentelor ncovoietoare pentru fiecare din cele dou subsisteme.Fig. 12.26 REZISTENA MATERIALELOR48Pentru bara din figura 12.26, d se obine( )I EF FI E 916 3 21 1210" " "" (,\,(j+ ,( ) ( )I E I E"" 1 1111 ,911101" FX ,decis.s.d.echivalentarencrcareadinfigura12.26,nidiagramamomentelorncovoietoare din figura 12.26, p.Pentru bara din figura 12.26, e se obineI EF FI E 81294 18 2 21 1210" " " (,\,(j , ( ) ( )I E I E 31321 -2 21 111" " ,2711101" FX ,decis.s.d.echivalentarencrcareadinfigura12.26,oidiagramamomentelorncovoietoare din figura 12.26, r.Dacsensumeazceledoudiagrameparialeseobinediagramamomentelor ncovoietoare a sistemului dat (fig. 12.26, s).Exemplul 12.21Sseconstruiascdiagramamomentelorncovoietoarelabarainelardinfigura12.27,aissecalculezedeformaiadiametralpedireciadeaciuneaforelor.Oastfeldebarconstituieelementuldeformabillauneledispozitiveutilizate la etalonarea mainilor pentru ncercri la traciune.RezolvareBaraesteuns.s.n.interior.Secionndbaranpunctele1i2,nfiecareseciuneseintroductreieforturi(fig.12.27,b),deciaparentsistemulestetriplustaticnedeterminat.Datoritsimetrieifadediametrulvertical,foreletietoaresunt2 F . Datorit simetriei fa de diametrul orizontal, forele axiale ar trebui sfie egale i de acelai semn, dar neexistnd fore exterioare orizontale acestea suntnule, iar momentele 1Mi 2Msunt egale i de sens contrar, deci ambele se aleg canecunoscutestaticnedeterminate.Fiindegale,sistemulestesimplustaticnedeterminat.Jumtateadindreaptaas.s.d.echivalentesteliberlacapeteiacionat de forele2 Fi momentele 1X(fig. 12.27, c).nsistemul0,acionatdoardeforele2 F ,momentulncovoietoreste sin 5 00FR , M ,iarnsistemul1,acionatdecupluriegalecu1aplicatenlocul momentelor 1X , momentul ncovoietor este11m .12. METODE ENERGETICE49RezultI ER FRR FI ER m MI Ed 1 sin2 1d120 01010 (,\,(j ,I ERR mI Ed1021 11 , FRX 11101.Fig. 12.27ntr-o seciune oarecare, momentul ncovoietor estesin2FR FRM . REZISTENA MATERIALELOR50Diagrama momentelor ncovoietoare este prezentat n figura 12.27, d.Calcululdeformaiilors.s.n.sefaceutiliznds.s.d.echivalent.Pentrucalcululdeplasriirelativeapunctelor1i2,seconsidersemi-ineluldinfig.12.27,e,liberlacapetecais.s.d.echivalentisolicitatdeforeegalecu1pedirecia deformaiei. n acest sistem, momentul ncovoietor este sin R m , deci(,\,(j(,\,(j 24d sin sin21 1d1303012I ER FI ER FR m MI E,I ER F, 149 0312 .n figura 12.27, f se prezint deformata static a inelului.Exemplul 12.22S se construiasc diagrama momentelor ncovoietoare la bara cotit dubluarticulat din figura 12.28, a.Rezolvarenceledouarticulaiiacioneazpatrureaciuni.Sistemulestesimplustaticnedeterminat.Reaciunile 1V i 2V potfideterminatedinecuaiiledeechilibru,decinupot fialesecanecunoscutestaticnedeterminate.Dinecuaiademomentefadereazemul1seobineF V 2,apoidinecuaiadeproieciiaforelorpeverticalseobineF V1.RmneecuaiadeproieciiaforelorpeorizontalF H H+2 1, n care apar dou necunoscute.Sealegereaciuneaorizontal 2H dreptnecunoscutstaticnedeterminatisenoteaz 1X .Seconstruietes.s.d.echivalent(fig.12.28,b),nlocuindarticulaiadin2cuunreazemsimplu,decianulndlegturacorespunztoarelui1X , care devine for exterioar.Seconstruietesistemul0(fig.12.28,c)idiagramamomentelorncovoietoare 0M (fig.12.28,d),apoisistemul1(fig.12.28,e)idiagramamomentelor ncovoietoare 1m(fig. 12.28, f).Se calculeaz coeficienii (12.74), utiliznd regula lui Vereceaghin( ) ( )I EFF FI E 65 21 32 21 1310"" " " " " " ]]],, + ,12. METODE ENERGETICE51( ) ( ) ( )( )I E I E 35 32 2121311"" " " " " " ]]],, + ,apoi, din ecuaia canonic,necunoscuta static nedeterminat211101FX .Se nlocuiete aceast valoare n sistemul static determinat echivalent (fig.12.28, g) i se construiete diagrama momentelor ncovoietoare (fig. 12.28, h).Fig. 12.28Daceronats-aralege 2V canecunoscutstaticnedeterminat,atuncisistemul 0 nu ar fi static determinat, ci mecanism. REZISTENA MATERIALELOR52Exemplul 12.23Sseconstruiascdiagramamomentelorncovoietoarelacadruldubluncastrat din figura 12.29, a.RezolvareSistemul este triplu static nedeterminat. Se aleg reaciunile 2V , 2Hi 2Mdrept necunoscute static nedeterminate. Se construiete s.s.d. echivalent (fig. 12.29,b),transformndncastrarea2ncaptliber,decianulndlegturilecorespunztoarereaciunilorstaticnedeterminate,caredevinsarcinileexterioare1X , 2Xi 3X .Fig. 12.29Seconstruietesistemul0(fig.12.29,c)idiagramamomentelorncovoietoare 0M (fig.12.29,d),apoisistemul1(fig.12.29,e)idiagramamomentelor ncovoietoare 1m(fig. 12.29, f), sistemul 2 (fig. 12.29, g) i diagrama2m(fig. 12.29, h) i sistemul 3 (fig. 12.29, i) i diagrama 3m(fig. 12.29, j).Se calculeaz coeficienii (12.74), utiliznd regula lui Vereceaghin( ) ( )I EFFI E310221 1 "" " " ,12. METODE ENERGETICE53( )I EFFI E 6 62 21 1320" "" " ,( )I EFFI E 2121 1230"" " ,( ) ( ) ( )( )I E I E 3322 - 2 2 2 -322 221 1311"" " " " " " ]]],, + ,I E I E 3402 2 2 232 2 22121322"" " " " " "(,\,(j + ,( )I E I E"" "61 1 2 1 1 2 2133 + ,( ) ( )I E I E31282 2 2212 21 "" " " " " " ]]],, + ,( ) ( )I E I E21361 2 2211 2 21 "" " " " ]]],, + ,I E I E22381 2 2 1 2 22121 "" " " "(,\,(j + .Dup nlocuire n ecuaiile (12.75) , se obine sistemul algebric liniar33223136 8332" " " " F X X X ,6834083322313"" " "FX X X+ + ,26 8 623 2212"" " "FX X X+ + ,cu soluiile2831FX ,1632FX i168193" FX.Senlocuiescacestevalorins.s.d.echivalentiseconstruietediagramamomentelor ncovoietoare (fig. 12.29, k).Exemplul 12.24Sseconstruiascdiagramamomentelorncovoietoarelacadruldubluncastratdinfigura12.30,aprindescompunerentr-unsistemsimetriciunulantisimetric.Rezolvare REZISTENA MATERIALELOR54Aplicndprincipiulsuprapuneriiefectelor,cadruldinfigura12.30,aestenlocuit prin cele dou cadre din figurile 12.30, b i c, unul nccat simetric i altulncrcatantisimetric,careserezolvcasistemestaticnedeterminateinteriorprinsecionare n planul de simetrie geometric.Fig. 12.3012. METODE ENERGETICE55La cadrul din figura 12.30, d, ncrcat simetric, n planul de simetrie foratietoareestenul,deciacioneazdoaroforaxialiunmomentncovoietorcaresealegcanecunoscutestaticnedeterminate 1X i 2X .Pentrujumtatedincadruseconstruiescsistemele0,1i2,diagramele 0M , 1m i 2m (fig.12.30,f,...k). Se calculeaz coeficienii ecuaiilor canoniceI EF125310" , I EF4220" , I E 38311" , I E" 322 , I E221 122" se scrie sistemul ecuaiilor canonice12523832213"" "FX X+ ,43 222 12"" "FX X+ ,i se determin necunoscutele static nedeterminate1631FXi242" FX .Lacadruldinfigura12.30,e,ncrcatantisimetric,nplanuldesimetrieacioneaz doar o for tietoare care se alege ca necunoscut static nedeterminat.Pentrujumtatedincadruseconstruiescsistemele0,i1,diagramele 0M i 1m(fig. 12.30, l,...o). Se calculeaz coeficienii ecuaiei canoniceI EF4310" , I E 37311" i se determin necunoscuta static nedeterminat 2831FX.Valorilenecunoscutelorstaticnedeterminatesenlocuiescns.s.d.echivalente(fig.12.30,p,r).iseconstruiescdiagramelemomentelorncovoietoare(fig.12.30,s,t).Sensumeazceledoudiagramerezultnddiagramamomentelorncovoietoareasistemuluistaticnedeterminatdat(fig.12.30, u).12.11.4Sisteme static nedeterminate solicitate de fore axialencazulsistemelorsolicitatelantindere-compresiune,ecuaiilecanoniceale metodei eforturilor au tot forma (12.75), coeficienii respectivi determinndu-secu relaii de forma (12.64). REZISTENA MATERIALELOR56

" "xA En N, xA En njjj iji ijdd00 . (12.76)n cazul nclzirii uniforme a barelor cu o diferen de temperaturt ((,\,,(j + "x n tA ENj jd00 , (12.77)unde este coeficientul de dilatare termic liniar al materialului barei.Exemplul 12.25Lasistemuldinfigura12.31,a,formatdinobarrigid,articulatlauncapt, suspendat de dou elemente elastice i solicitat de fora F, se cer eforturilen barele verticale articulate la capete.Fig. 12.31Rezolvarenlocuindlegturilecureaciuni,sepunnevidenpatrureaciuniH,V,1R i 2R ,decisistemulestesimplustaticnedeterminat.Sealege 1 1X R dreptnecunoscutstaticnedeterminat.Seconstruietes.s.d.echivalent(fig.12.31,b),12. METODE ENERGETICE57sistemul0(fig.12.31,c)idiagrama 0N (fig.12.31,d),apoisistemul1(fig.12.31, e) i diagrama 1n(fig. 12.31, f).Utiliznd regula lui Vereceaghin, rezultA EF FA E 43 21 23 110"" (,\,(j ,A E A E 45 21-211 1111"" " ]]],,(,\,(j (,\,(j + ,deci5311101FX .nsistemulstaticdeterminatechivalent(fig.12.31,g)sepoatecalculareaciunea 562FR.Exemplul 12.26Grinda cu zbrele din figura 12.32, a are articulaii fixe n punctele 1 i 2.Se cer reaciunile i eforturile axiale din bare. Barele au acelai modul de rigiditateEA (v. par. 5.3.3.4).RezolvareSistemulare5b bare,4r reaciunii4a articulaii.Graduldenedeterminare este1 2 +a r b n .Seconsidersistemulstaticnedeterminatinteriorisealegecanecunoscut static nedeterminat fora axial din bara 5.Seconstruietes.s.d.echivalent(fig.12.32,b)secionndbara5,decitransformndefortulaxialdinbarnforeleexterioare 1X ,egaleidesenscontrar, aplicate barei 5 i articulaiei 1, pe direcia barei 5.Seconstruietesistemul0(fig.12.32,c)careseobinedins.s.n.dat,practic prin eliminarea barei 5.Seizoleazfiecarearticulaieisescriuecuaiiledeproieciialeforelorcare acioneaz asupra "nodului" respectiv. Rezult un sistem de 8 ecuaii din carese calculeaz 4 reaciuni i 4 eforturi interioare.Pentru nodul 4 (fig. 12.32, e) se obine REZISTENA MATERIALELOR580 20 21 1 4 / T F , / T T .Pentru nodul 3 (fig. 12,32, f)0 2 2 0, 2 / 2 /3 1 1 3 2 / T / T T T T .Pentru nodul 1 (fig. 12.32, g). V T H 0,1 2 1 Pentru nodul 2 (fig. 12.32, h). / T V H T T 0 20, 2 /3 2 2 3 4 +RezultF T 21,F T 4,F T 23,F T 22,F H 21,01V ,F H 22,F V 2.Forele axiale din bare, cu semnul din Rezistena materialelor, suntF T N 2101,F T N 2202,F T N 2303,F T N404.Se construiete sistemul 1 (fig. 12.32, d) n care acioneaz doar fore egalecu 1 n locul lui 1Xi n care5 1 sin i5 2 cos .Ecuaiile de echilibru ale nodurilor (fig. 12.32, i, j, k, l) se scriu0 5 1 1 20 2 5 2 11 1 4 ++ + / / T , / T T ,0 2 20, 2 / 2 /3 1 1 3 2 / T / T T T T ,0 5 1 0, 5 2 11 1 2 + + V / H T ,0 20, 2 /3 2 3 4 2 + / T V T T H .Rezult10 21T ,5 14T ,10 23T ,5 22T ,01H ,5 11V ,02H ,5 12V .Forele axiale din bare, cu semnul din Rezistena meterialelor, sunt10 21 1T n ,5 22 2T n ,10 23 3T n ,5 14 4T n ,15n .12. METODE ENERGETICE59a bc de f g hi j k lFig. 12.32Se calculeaz coeficienii ecuaiei canoniceA EFA En Nii i i" "

102 2 8 51010+

,A E A Enii i" "

56 5 5 2 4 51211+ +

, REZISTENA MATERIALELOR60apoi necunoscuta static nedeterminat( )F , F X 75 06 5 5 2 410 2 411101 + ++ .Forele axiale din barele s.s.n. dat se calculeaz cu relaiai i in X N N + 10.RezultF , N 94 01,F , N 3294 12,F , N N 94 01 3 ,F , N 3353 14,F , X N 7497 01 5 .Reaciunile suntF H 21,F H 22,F , V 3353 01,F , V F V 6647 01 2 .Rezolvareaaceleiaiproblemeprinmetodadeplasrilors-afcutncapitolul 5, par. 5.3.3.4.Exemplul 12.27Ssecalculezereaciunileieforturileaxialedinbarelesistemuluidinfigura 12.32, a considernd sistemul static nedeterminat exterior.RezolvareSe alege ca necunoscut static nedeterminat reaciunea 1V . Se construietes.s.d.echivalenttransformndarticulaia1 n reazemsimpluiaplicndn 1foraexterioar 1X .Seconstruietesistemul0(fig.12.33,a).Dinecuaiiledeechilibrusedetermin forele care acioneaz asupra nodurilor (fig. 12.33, c, d, e, f) innd contc5 1 sin i5 2 cos .Forele axiale din bare suntF N 201,F N 202,F N 203 ,F N 04,005 N .Se construiete sistemul 1 (fig. 12.33, b) n care acioneaz o for egal cu1nlocullui 1X isedeterminforelecareacioneazasupranodurilor(fig.12.33, g, h, i, j).Forele axiale din bare sunt21n ,22n ,23n ,14n ,55n .12. METODE ENERGETICE61a bc d e fg h i jFig. 12.33Se calculeaz coeficienii ecuaiei canonice( )A EFA En Nii i i" " 2 4 251010+

,( )A E A Enii i" " 6 5 5 2 451211+ +

,apoi necunoscuta static nedeterminatF , F X 3353 06 5 5 2 42 4 211101

+ ++ .Forele axiale din barele s.s.n. se calculeaz cu relaiai i in X N N + 10.RezultF , N 94 01,F , N 3294 12, REZISTENA MATERIALELOR62F , N 94 03,F , N 3353 14,F , N 7497 05.Reaciunile suntF H 21,F H 22,F , V 3353 01,F , V 6647 02.Exemplul 12.28Lasistemuldinfigura12.34,a,formatdinobarrigid,articulatisuspendat de dou elemente elastice i nclzit uniform cut , se cer tensiunile nbarele verticale articulate la capete, dacGPa 210Ei 1 6grd 10 12 .RezolvareSealege 1 1X R dreptnecunoscutstaticnedeterminat.Seconstruietes.s.d. echivalent (fig. 12.34, b), apoi sistemul 1 (fig. 12.34, c) n care se calculeazeforturile axiale11ni2 12n .a b cFig. 12.34Din relaiile (12.77) i (12.76) se obine( ) t n n t " "21 2 1 10 +, ( )A En nA E 45 2221 11" " + ,deci t EA X 5211101.Forele axiale n barele verticale suntt EA N 521, t EA N 512.Rezult tensiunile n barele verticale21mm N 32 4052/ , t E , 22mm N 16 2051/ , t E .13.FLAMBAJUL BARELOR DREPTELabarelezveltesolicitatelacompresiune,nceputulpierderiiintegritiistructuralepoateaparelatensiuniinferioarelimiteidecurgeresauderupere.Aceastasedatoreteinstabilitiielasticecareconducelaflambaj.Cttimpsarcinileexterioaresuntinferioareunorvalorilimit,bareleauoconfiguraiestabil. Pentru fore care depesc "sarcina critic", sistemul devine nestabil, avnddeformaii care fie depesc limitele admise curent n practica inginereasc, fie duclarupere.Decisarcinacriticdefineteolimitdeflambajcareesteolimitdestabilitate i care, pentru asigurarea integritii structurale, nu trebuie atins.nacestcapitolsedefinescconcepteledestabilitateelasticisarcincritic de flambaj. ntruct limita de flambaj corespunde echilibrului indiferent, iarsarcinacriticmeninebarantr-oconfiguraieuordeformat,eforturiledinbardepindidedeformaiileacesteiaiarechilibrulsescriepentruformadeformat,spre deosebire de problemele studiate pn acum n care echilibrul era scris pentruforma nedeformat, deformaiile elastice fiind neglijabil de mici.Teoria stabilitii liniare definete doar valoarea sarcinii critice de flambajideformatacorespunztoare,porninddelaecuaialiniarizatalinieielasticeabarei,considerndforeconservative,careipstreazdireciadeaciune.mprindforacriticlauncoeficientde siguranlaflambaj,sedeterminforacapabil de compresiune. Comportarea postcritic se caracterizeaz prin deformaiimari, descrise de o teorie neliniar, deci de un calcul de ordinul trei, care depetecadrul acestui curs.13.1Instabilitatea elasticUncorprigidestenechilibrustabildac,deplasatdinpoziiadeechilibru,tindesrevinsingurnpoziiainiial.Estecazuluneibilentr-oconcavitate(fig. 13.1,a).Oriceperturbaieexterioarfacecabilassedeplasezentr-o poziie vecin, creia i corespunde o energie potenial mai mare, ea tinzndapoi s revin n poziia de potenial minim.REZISTENA MATERIALELOR64Un corp este n echilibru nestabil dac, deplasat din poziia de echilibru,tinde s continue singur micarea. Este cazul unei bile n echilibru pe o convexitate(fig.13.1,b).Ceamaimicperturbaiedeplaseazbilantr-opoziiecreiaicorespunde o energie potenial mai mic. Ea prsete poziia de echilibru nestabilfr s mai revin.nfine,corpulestenechilibruindiferentdacrmnenechilibrunorice poziie vecin n care este deplasat. Este cazul bilei pe un plan orizontal (fig.13.1,c). Testarea stabilitiiechilibrului seface totprintr-operturbaieexterioar,caredeplaseazcorpulntr-opoziiedeaceeaienergiepotenial,constituindonou posibilitate de echilibru.Fig. 13.1Dac se noteaz cuenergia potenial a corpului n starea iniial, prindeplasarealuidinaceastpoziie,energiapotenialcaptovariaie .Dac0 > , echilibrul este stabil, dac0 < , echilibrul este nestabil i dac0 ,echilibrul este indiferent.Sistemeleelasticeauocomportareasemntoare,cudeosebireacnloculstabilitiipoziieideechilibrusestudiazstabilitatea(formeisau)configuraiei de echilibru sub aciunea sarcinilor exterioare.Dac prin deformarea structurii i trecerea ei ntr-o configuraie adiacentinfinitvecin,caresatisfacecondiiilegeometricederezemare,energiapotenialtotalcrete0 > ,decidacvariaiaenergieidedeformaieestemaimarecalucrulmecanicalforelorexterioare eL U > ,atunciconfiguraiainiialestestabil.Dacprindeformareastructurii eL U < ,configuraiainiialestenestabil.Lalimitacelordoudomenii,cnd0 ,decicnd eL U ,sistemulestenechilibruindiferent.ncondiiiideale,arelocobifurcareaechilibrului, sistemul putnd fie s-i pstreze configuraia iniial, fiestreac naltconfiguraieapropiat.Stareasistemuluilaatingereaechilibruluiindiferenteste considerat critic, sarcinile corespunztoare fiind denumite sarcini critice.Astfel,ncazuluneibaredrepte,simplurezematelacapete,solicitateaxial (fig. 13.2), se rentlnesc cazurile de echilibru din figura 13.1.13. FLAMBAJUL BARELOR DREPTE65DacforaFestemaimicdectsarcinacritic crF ,formarectiliniereprezintoconfiguraiestabil.AcionndasuprabareicuoforQ ,barasedeformeaz.LandeprtareaforeiQ ,bararevinelaformarectilinieiniial(deechilibru stabil).Dac crF F > ,teoreticformarectiliniereprezintoconfiguraiedeechilibru.AplicareaforeitransversaleQ facecabarasprseascformarectilinie, s se deformeze foarte mult, ceea ce, n general, duce la rupere, sau la onouconfiguraiedeechilibrucurbilinie.Formarectilinieiniialreprezintoconfiguraie de echilibru nestabil.Dac crF F,barapoatefideformatprinaplicareaforeiQ ,ioriceform deformat apropiat de forma iniial reprezint o configuraie de echilibru,cci fora critic crFcorespunde echilibrului indiferent.Fig. 13.2Dac fora F este aplicat static, deci dac valoarea ei crete monoton dela zero la valoarea nominal, fora critic crFse atinge atunci cnd este posibil oconfiguraie de echilibru curbilinie, deci cnd se pierde stabilitatea formei rectilinii.ngeneral, pierderea stabilitii unei anumiteconfiguraiideechilibruaunuisistemdeformabil,subaciuneaforeloraplicate,senumeteflambaj.Deoarecedupflambajseproducdeformaiimari,nsoitedetensiunimari,flambajulducengenerallapierdereaintegritiistructuralesaulapierdereacapacitii portante a structurilor deformabile.Fenomenuldeflambajpur(cubifurcareaechilibrului)descrismaisusestepracticirealizabil.Barelenusuntperfectrectilinii,avnddeformaiiiniiale,iarforelenusepotaplicaperfectaxial.Practic,seobservoncovoierecucompresiune, care duce la flambajul prin divergen.n acest caz, imperfeciunile geometrice i sarcinile transversale produc oconfiguraieiniialuordeformat.Foraaxialproduceunmomentncovoietorcareaccentueazacestedeformaii.Cretereadeformaiilorducelacretereamomentului ncovoietor, care la rndul lui mrete deformaiile. Cnd F tinde sprecrF , fenomenul este divergent, deformaiile crescnd teoretic nelimitat.REZISTENA MATERIALELOR6613.2Calculul sarcinii critice prin metoda energeticSe consider bara dreapt, comprimat axial, din figura 13.3. Fora criticdeflambaj crF sedetermindincondiiadeechilibruindiferent,egalndlucrulmecanic al forei exterioare crF :u F Lcr e cu energia de deformaie la ncovoiere acumulat de bar n configuraia curbilinie( ) x w I EI Ex MUyyyd212d 22 " ". (13.1)Deplasarea u a punctului de aplicaie al forei crFeste egal cu diferenantre lungimeabarei" iproiecia fibreimediideformatepedirecia deaciune aforei crF .Fig. 13.3Pentru un element de bar de lungime ds, se poate scrie :( ) ( ) (,\,(j+ ]]]],,,(,\,(j+ (,\,(j++ 22 22 2211 ddd211 ddd1 d d d d xxwxxwx w x sunde s-a utilizat ipoteza micilor deformaii, tgddxw.Deplasarea elementar estex x s u d21d d d2,deci deplasarea punctului de aplicaie al forei critice de flambaj este13. FLAMBAJUL BARELOR DREPTE67( ) x w u u d21d020 " "iar lucrul mecanic al acesteia este( ) x wFLcred202 ". (13.2)Egalndexpresiile(13.1)i(13.2),seobinerelaiadecalculaforeicritice de flambaj prin metoda lui Rayleigh:( )( ) x wx w EIFycrdd0202

"". (13.3)Dac( ) x weste forma deformat exact a barei, atunci din relaia (13.3)seobinevaloareaexactaforeicriticedeflambaj.Dacseutilizeazoformdeformataproximativ,caresatisfacecondiiilelalimitgeometrice,dinrelaia(13.3)rezultovaloareaproximativaforei crF ,ntotdeaunamaimarecaceaexact,aproximaiafiindcuattmaibuncuct( ) x w seapropiemaimultdeforma exact.Astfel, dac se alege deformata exact (v. par. 13.3)( )"xw x wsino ,atunci( )"""""" "2 2d cos d2 2o22 2o0222 2o02 w wxx wx w ,( )34 2o44 2o0244 2o0222d sin d"""""" " w wxx wx w ,iar fora critic de flambaj este2 22869 9" "I E , I EFcr . (13.4)Dac se alege deformata aproximativ( ) ( ) x x x a x w3 3 42 " " + ,REZISTENA MATERIALELOR68corespunzndbareisimplurezemate,ncrcatecuosarcintransversaluniformdistribuit (8.66), atunci( ) ( )7 2023 2 3 2023517d 6 4 d " " "" "a x x x a x w+ ,( ) ( )5 2022 202524d 144 d " "" "a x x x a x w .Fora critic de flambaj este 882 9351752427 25 2"""I E ,aI E aFcr,fiind cu 0,2% mai mare dect valoarea exact (13.4).Metodaesteutilpentrucalcululsarciniicriticelabaredeseciunevariabil sau ncrcate cu sarcini axiale distribuite n lungul barei.13.3Calculul sarcinii critice prin metoda diferenialPentruobarcomprimataxial,sarcinacriticpoatefiobinutstudiindcomportareauneibareideale,consideratafiiniialperfectrectilinieicomprimatdeoforperfectcentrat.Foracriticsedefinetecaforaaxialnecesar s menin bara n echilibru indiferent, ntr-o configuraie uor ncovoiat.Calculul sepoateface fieutilizndecuaia diferenial liniarizatdeordinuldoialinieielasticeabarei(metodaluiEuler),fieecuaiadiferenialdeordinulpatru,caz n care se descriu mai uor condiii de rezemare diferite.13.3.1Metoda lui EulerFiebaradreapt,articulatlacapete,comprimataxial(fig.13.4).Seconsiderbaranstareadeformatdedupflambajisepuneproblemadeterminriicondiiilorncareaceastareprezintoconfiguraiedeechilibruabarei, sub aciunea forelor de compresiune.n seciunea x, momentul ncovoietor este( ) w F x M,deci ecuaia diferenial a fibrei medii deformate (8.57) se scrie13. FLAMBAJUL BARELOR DREPTE69w FxwI E 22dd, (13.5)sau0dd222 + wxw , (13.6)unde s-a notatI EF

2 . (13.7)Fig. 13.4Soluia general a ecuaiei de tip Euler (13.6) este( ) x C x C x w cos sin2 1+. (13.8)Constantele de integrare 1Ci 2Cse determin din condiiile la limit0x ,0wi"x ,0w .Rezult02Ci0 sin1 " C .Deoarece01 C(altfel bara nu ar fi deformat) i0 (cci0 F ), seobine0 sin" , n" ( ) ,... , n 2 1, deci ecuaia (13.6) are soluii dac"n . (13.9)nlocuindexpresia(13.9)nformula(13.7),seobineexpresiaforeidecompresiune la care forma deformat este configuraie de echilibru222"I En Ff , (13.10)iar din relaia (13.8) rezult deformata corespunztoareREZISTENA MATERIALELOR70( )"x nC x wnsin1 . (13.11)Constanta 1Cnu poate fi determinat, deci poate fi aleas arbitrar, ceea cecorespunde condiiei de echilibru indiferent la limita de stabilitate. Aceast condiiesepoaterealizanumaipentruunirdiscretdevalorialeforeidecompresiune(13.10): 221"I EF , 2224"I EF , 1 39F F,..., 12F n Fn,croralecorespunddeformatele( )"xC x wsin1 1 ,( )"xC x w 2sin1 2 ,...,( )"x nC x wnsin1 , unde n este numrul de "semiunde".Valoarea minim22"I EFcr , (13.12)senumeteforacriticdeflambaj,deoarecelaaplicareastaticasarcinilorflambajul se produce la aceast valoare a forei de compresiune.Dacbaraarereazemeintermediaresuplimentare,caredefaptmodificcondiiilelalimitipermitdeformareanumainunadinformele( ) x w2,( ) x w3etc.,atunciforacriticarevalorilemaimari 1 24F F, 1 39F Fetc.carecorespundacestordeformate.Reazemeleintermediaremrescvaloareaforeicritice de flambaj.Fig. 13.5Dacseciuneatransversalabareiaremomentedeinerieaxialediferitefa de dou axe perpendiculare ntre ele, flambajul are loc n planul perpendicularpe axa fa de care momentul de inerie este minim, deci relaia (13.12) se scrie22"mincrI EF . (13.13)13. FLAMBAJUL BARELOR DREPTE71n figura 13.5 se prezint patru cazuri de bare comprimate axialprinforeaplicate la capete, indicnd i forma deformat dup flambaj. Calculul forei criticedeflambajpentrucazurileII,IIIiIVsefacecapentrubaraarticulatlacapete(cazul I), utiliznd condiiile la limit corespunztoare.Expresiileforeicriticedeflambajpentrutoatecelepatrucazurisepotscrie sub forma formulei lui Euler22fmincrI EF" , (13.14)undelungimeadeflambaj f" ,egalculungimeauneisemiunde(distanantredoupunctedeinflexiuneconsecutive)este" " f(cazulI)," " 2 f(cazulII),2 /f" "(cazulIII)," " 699 0,f (cazulIV).Relaia(13.14),afoststabilitdeLeonhardEulern1744,iarcelepatrubaredinfigura13.5senumesccelepatrucazuri de flambaj ale lui Euler.n condiii ideale, dup depirea valorii critice a foreide flambaj, relaiafor-deformaiesebifurc.Existdouconfiguraiideechilibruianume,configuraia rectilinie de echilibru nestabil, posibil n absena oricrei perturbaii,iconfiguraiancovoiatdeechilibrustabil,cnddeformaiiletindscreascnelimitat. Acestea nu mai sunt descrise de teoria liniar, bazat peipotezamicilordeformaii.13.3.2Ecuaia de ordinul patruDerivnd ecuaia (13.5) de dou ori, se obine0dddd dd222222 +((,\,,(jxwFxwI Ex. (13.15)Pentru bare de seciune constant, ecuaia (13.15) devine0dddd22244 +xwxw , (13.16)a crei soluie este( )4 3 2 1cos sin C x C x C x C x w + + + , (13.17)unde este dat de relaia (13.7).Cele patru constante de integrare se obin din condiiile la limit, cte doucondiii la fiecare capt al barei. Dac bara nu se poate deplasa lateral, sgeata estenul,0w . Dac rotirea este blocat, atunci0 w , unde "prim" denot derivarenraportcux.Launcaptarticulat,momentulncovoietorestenul,deci0 w .REZISTENA MATERIALELOR72La un capt liber, n afara momentului ncovoietor, i fora tietoare este nul, deci0 w .Peunreazemelastic,reaciuneaesteproporionalcusgeata,deciforatietoareesteproporionalcudeplasarealateral(seinecontdeconveniadesemnepentruforatietoare,decisemnediferitelacaptuldinstngaiceldindreapta). ntr-o ncastrare elastic, momentul reaciune este proporional cu rotirea,deci momentul ncovoietor este proporional cu panta liniei elastice (innd cont deconvenia de semne pentru momente).PentrucazulIVdinfigura13.5,bara ncastratlauncaptiarticulatlacellalt, considernd originea axelor n ncastrare, condiiile la limit se scriu() 0 0 w , 04 2 + C C ,() 0 0 w , 03 1 + C C ,( ) 0" w , 0 cos sin4 3 2 1 + + + C C C C " " " ,( ) 0 " w , 0 cos sin2 1 + " " C C .Cele patru relaii de mai sus constituie un sistem algebric liniar omogen ncele patru constante de integrare. Pentru a avea soluii diferite de soluia banal estenecesar ca determinantul sistemului s fie nul00 0 cos sin1 cos sin0 1 01 0 1 0

" "" " " Rezult" " tg .Soluia de valoare minim este4934 41," deci sarcina critic este( )2222221699 0046 2 19 20" " " ,I E I E,I E, I E Fcr iar forma deformat are expresia( ) ( ) " " + x x x C x w cos sin1sau( )((,\,,(j+ 1 cossin " "xxxC x w .13. FLAMBAJUL BARELOR DREPTE73De notat c ecuaia (13.15) este valabil pentru bare comprimate prin foreaplicatelacapete,frsarcinitransversaledistribuitenlungulbarei.ncazulbarelorcomprimatesolicitatedeosarcintransversal( ) x p ,ecuaia(13.15)devinepxwFxwI E+2244dddd. (13.18)Fora tietoare T i momentul ncovoietor M sunt date de relaiileTxwFxwI E +dddd 33, MxwI E 22dd. (13.19)Aceasta deoarece, din ecuaiile de echilibru pentru un element infinitezimaldebar,delimitatdedouseciuninormalelaaxanedeformatabarei,seobinurmtoarele ecuaii difereniale ntre eforturi i sarcinixwFxMTdddd,xTpdd.Exemplul 13.1Se cere s se calculeze fora critic de flambaj pentru bara ncastrat la uncapt i liber la cellalt (cazul II din figura 13.5).RezolvareAlegnd originea axelor n ncastrare, condiiile la limit se scriu() 0 0 w , 04 2 + C C ,() 0 0 w , 03 1 + C C .La captul liber, momentul ncovoietor i fora tietoare sunt nule( ) 0 " w , 0 cos sin2 1 + " " C C ,( ) ( ) 02 + " " w w , 03C .Rezult 0 cos" , ( )21 2

n" .Soluia de valoare minim este 21" .Fora critic de flambaj are expresia224"I EFcr . (13.20)REZISTENA MATERIALELOR7413.4Diagrama tensiunii critice de flambajTensiunea critic de flambaj, f , se definete ca raportul ntre fora criticde flambaj i aria seciunii transversale a barei22222minf fmin crfiEAI EAF" " , (13.21)undeAIiminmin(13.22)este raza de inerie minim a seciunii transversale.Fig. 13.6Se introduce mrimea adimensionalminfi" (13.23)numit coeficient de zveltee.Cu aceast notaie, relaia (13.21) devine22Ef , (13.24)fiind reprezentat grafic n coordonate f n figura 13.6.13. FLAMBAJUL BARELOR DREPTE75Curba respectiv este o hiperbol cubic, numit hiperbola lui Euler.Deoarece formula lui Euler (13.14) s-a stabilit pe baza ecuaiei diferenialeliniarizateafibreimediideformate(8.57),iarladeducereaacesteias-autilizatipotezaelasticitiiliniare,decilegealuiHooke,rezultcrelaia(13.24)estevalabilpentruvalori f maimicisauegale culimitadeproporionalitate p amaterialului.Se noteaz 0abscisa punctului de ordonat p f . Rezult c formulaluiEulerestevalabilnumaipentruvalori 0 > pentrucarefenomenulsenumete flambaj elastic.nzonapentrucare 0 < ,tensiuneacriticdeflambajestemaimaredect limita de proporionalitate, p f > , fenomenul numindu-se flambaj plastic.ndomeniulflambajuluiplastic,pebazaexperienelorcondusedeF.S.Iainski(1895) i L. Tetmajer (1903), diagrama tensiunii critice de flambaj se aproximeazcu o linie dreapt, de ecuaie b af, (13.25)unde constantele a i b au fost determinate experimental.Lamaterialeductile, f selimiteazsuperiorlalimitadecurgereamaterialului c .Senoteaz 1 abscisapunctuluideordonat c f .Pentru1 ,]]]],,,((,\,,(j 1811 12 2cr crFFFF" . (13.32)DacsereprezintgraficvariaiaforeiFcusgeata (fig.13.10,c),pentru0e , se obine o curb de form parabolic (desenat punctat), tangent laorizontala crF F.Labaracomprimatexcentric,curbelefor-deformaie(desenateculiniicontinue)auaceeaialurcanfigura13.10,bpentru crF F < ,apoi, n jurul valorii forei critice de flambaj deformaiile cresc foarte mult, tinzndasimptotic spre curba de ecuaie (13.32). Acesta este flambajul prin divergen.ForaFsepoatereducenaxabareilaoforFiuncuplue F .Darncazuldefa,datoritdependeneineliniarentreforideformaii,nusepoateaplicaprincipiulsuprapuneriiefectelor,adunndsgeataprodusdeFcusgeataprodusdecuplulFe.ForaFnuproducedoarcompresiuneciioncovoieresuplimentar,carenusedatoretecupluluie F ,conducndlarelaianeliniar(13.31).REZISTENA MATERIALELOR8613.8ncovoierea barelor comprimate axialncontinuaresevaprezentaometodpentrucalcululaproximativaldeformaiilor la ncovoiere ale barelor comprimate.Se consider o bar articulat la capete (fig. 13.11, a), ncrcat cu o forde compresiune axial F i o sarcin transversal Q.a bFig. 13.11Momentul ncovoietor ntr-o seciune oarecare a barei estew F M MQ +,unde QMeste momentul produs de fora transversal.Sgeata se poate scrie ca sum a dou sgeiw w wQ +,unde Qweste sgeata produs de fora transversal n absena forei F, iarw estesgeata suplimentar produs de fora F.Ecuaia diferenial a liniei elastice a barei estew F Mx wI ExwI ExwI EQQ + 222222dd dd dd .ntructQQMxwI E 22dd.rezult cw Fx wI E 22dd . (13.33)13. FLAMBAJUL BARELOR DREPTE87Sealegeoformaproximativpentrudeformatabareisubaciuneaforeide compresiune F, de exemplu"xw w sino .Se calculeaz expresiawxwxw 22o2222sindd""" care, nlocuit n ecuaia (13.33), conduce la( )I Ew Fw wQ 22".Rezult sgeata bareicrQ QFFwI EFww

1122"(13.34)unde crFeste fora critic de flambaj.Se observ c atunci cnd crF F , deci pe msur ce fora se apropie devaloarea forei critice de flambaj, numitorul expresiei (13.34) tinde spre zero, decisgeata w .RelaiantreforaFisgeatawesteneliniar,darpentruoricevaloare a forei F sgeata are o valoare bine precizat, fr a conine o amplitudinenedeterminat, ca n cazul ideal al echilibrului indiferent.Daclabarasupuslacompresiuneexcentricsarcinatransversalsenlocuiete cu momentele concentratee Faplicate la capetele barei (fig. 13.11, b),momentule F MQesteconstantnlungulbarei.Sgeataprodusdeacestmoment are expresia( ) x xI Ee FwQ"2avnd valoarea maxim la mijlocul bareiI Ee F82" .Rezult deplasarea n dreptul mijlocului bareicrFFI Ee Fw f (,\,(j

118 22" ". (13.35)REZISTENA MATERIALELOR88Relaia (13.35) se mai scrie sub forma((,\,,(j+e fF Ffcr812. (13.36)n figura 13.12 s-a reprezentat grafic raportul Ff n funcie de sgeata f.Fig. 13.12Rezultoliniedreaptcareintersecteazaxaorizontalnpunctuldeabscis ((,\,,(j e82iarepantaegalcuinversulforeicriticedeflambaj.ConstruciagraficestecunoscutsubnumeledediagramaluiSouthwell(1932),fiind utilizat la determinarea experimental a sarcinii critice de flambaj.14.CILINDRI CU PEREI GROII DISCURI N ROTAIECalculul tensiunilor i deformaiilorlatuburicu pereigroiareaplicaiipractice la recipientele cu presiune interioar mare din instalaiile petro-chimice, lacilindriipreselorhidrauliceieviletunurilor,laeviledercirealereactoarelornucleare, la evile pereilor membran ai generatoarelor de abur, la discuri i arborin rotaie cu turaii relativ mari.ncazulcilindrilorcircularincrcaii/saunclziiaxialsimetric,tensiunilenormaleideformaiileradialentr-unpunctdepinddeosingurvariabil-razanpunctulrespectiv.Latuburinchiselacapetesaunclziteneuniformpegrosime,tensiuneanormallongitudinalesteconstant.Seciuniletransversaleplanermnplaneidupaplicareasolicitrii,fiindexclusncovoiereasaursucireatubului.Tensiunilemaximeapartotdeaunanpereteleinterioraltubului,ndireciecircumferenial.Situaiaestesimilarcuceadelabare curbe, cu diferena c n cazul tuburilor i discurilor nu se neglijeaz tensiunileradiale.14.1Tuburi cu presiune interioar i exterioarUncilindrucirculardegrosimeconstant,supusaciuniipresiuniiinterioare i exterioare uniform distribuite, se deformeaz simetric n raport cu axa.ntr-un tub liber la capete, tensiunile normale longitudinale sunt nule. Uninelizolatdintub,prindouplanerelativapropiate,perpendicularepeax,estesolicitat la o stare plan de tensiuni (cu excepia zonelor din vecintatea capetelor).ntr-untubnchislacapete,princapace,aparitensiunilongitudinale.Dacpresiunile sunt constante n lungul tubului, atunci tensiunile axiale sunt constante iuordecalculat.Sepoateconsideracuninelizolatlaooarecaredistandecapetele tubului este solicitat la o stare plandedeformaiispecifice sau celpuinare deformaii specifice longitudinale constante. REZISTENA MATERIALELOR90Calculultensiunilorideformaiilorntubulcupereigroiesteoproblem staticnedeterminat, la rezolvareacreia trebuieutilizatepatru tipuriderelaii: ecuaii de echilibru, relaii ntre deformaii specifice i deplasri, relaii ntretensiuni i deformaii specifice i condiii la limit. Problema a fost rezolvat de G.Lam n 1852.Fig. 14.1Ecuaia de echilibruDin inelul de grosime egal cu unitatea se detaeaz un element prin douplaneaxialeidousuprafeecilindriceconcentriceinfinitvecine(fig.14.1,a).Datoritsimetriei,pefeele acestuielementnuacioneaztensiunitangeniale(deforfecare).Fie t tensiuneanormalcircumfereniali r tensiuneanormalradial.Aceastadinurmvariazcurazaripesuprafaaexterioarester r d + . Ecuaia de proiecii a forelor pe bisectoarea unghiului d(fig. 14.1, a)se scrie, aproximnd( ) 2 d 2 d sin ,( ) 0 d d ddd2dd 2 d+ (,\,(j+ + r r rrr rrr t r,rrrr tdd +,sau( )t rrr dd. (14.1)Relaii ntre deformaii specifice i deplasriDacuestedeplasarearadialaunuipunctdepesuprafaacilindruluideraz r (fig. 14.1, b), atunci deplasarea unui punct de pe suprafaa cilindrului de razr r d +este( ) r r u u d d d + .14. CILINDRI CU PEREI GROI91Alungirea radial este egal cu diferena deplasrilor capetelor segmentuluidr,decidu.Alungireaspecificradialseobinemprindalungirearadiallalungimea iniial drrurdd . (14.2)Cerculderazrdevinecerculderazu r + ,decialungireapedireciecircumferenialeste( ) u r u r 2 2 2 + .Prinmprirelar 2 seobinealungirea specific circumferenialrut . (14.3)Eliminnddeplasareauntrerelaiile(14.2)i(14.3)seobineecuaiadecompatibilitate (continuitate)( )r trr dd. (14.4)Relaii ntre tensiuni i deformaii specificeConsidernd0 z ,legealuiHookepentrustareaplandetensiunisescrie( )t r rE 1, ( )r t tE 1. (14.5)nlocuindexpresiile(14.5)nrelaia(14.4)iinndcontde(14.1)seobine a doua relaie ntre tensiuni( )r trr dd. (14.6)Eliminnd t ntrerelaiile(14.1)i(14.6),seobineecuaiadiferenialde tip Euler0dd 3dd22 +r rrr r . (14.7)Soluia ecuaiei (14.7) are forma2rBAr , (14.8)unde A i B sunt constante de integrare.nlocuind expresia (14.8) n (14.1) rezult tensiunile circumfereniale2rBAt+ . (14.9) REZISTENA MATERIALELOR92Dac0 z , deformaia specific longitudinal este constant( ) . constEt r z + ,deci seciunile plane rmn plane i dup deformarea cilindrului.Daccilindrulestenchislacapete,foraaxialeste2 2b p a p Ne i , deci tensiunile longitudinale au valoarea constant( )2 22 22 2a bb p a pa bNe iz

. (14.10)Deplasarea radial a unui punct situat la raza r este, conform (14.3),( ) [ ]z r t tErr u + , (14.11)sau, innd cont de relaiile (14.8) i (14.9),rE r EB rEA uz 1 1 1 ++ . (14.12)Condiiile la limitConstanteleAiBseobindincondiiacapesuprafaainterioariceaexterioaracilindrului,tensiunearadial r sfieegalidesemncontrarpresiunilor ipi respectiv ep : laa r, i rp , iar lab r, e rp .Rezult2 22 2a bb p a pAe i ,( )2 22 2a bb a p pBe i , (14.13)care nlocuite n (14.8) i (14.9) conduc la expresiile tensiunilor( )2 22 22 2 22 21a bb a p pr a bb p a p,e i e ir t . (14.14)Se observ c. const At r+ 2 , Az .Deplasarea radial este( )Err Ea bb a p prEa bb p a puz e i e i ++

1 1 1 2 22 22 22 2. (14.15)14. CILINDRI CU PEREI GROI93Relaiile (14.14) i (14.15) se numesc formulele lui Lam, fiind valabile iatunci cnd presiunile ipi epvariaz liniar n lungul tubului.14.1.1 Tub cu presiune interioarSe consider un tub cu perei groi, supus numai la presiune interioar ip ,la care tensiunile longitudinale0 z .nlocuind0 epn relaiile (14.14), se obin expresiile tensiunilor din tub((,\,,(j

222 221rba bap ,i r t . (14.16)Pe suprafaa interioar, pentrua r, tensiunile au valorile2 22 21a ba bpi t+ ,i rp 1 . (14.17)Pe suprafaa exterioar, pentrub r, se obine2 2222a bapi t , 02

r . (14.18) Fig. 14.2 Fig. 14.3nfigura 14.2seprezintdiagrameledevariaiealetensiunilor t i rn lungul razei. Tensiunile maxime apar pe suprafaa interioar a tubului. REZISTENA MATERIALELOR94Tensiuneaechivalentlainterior,conformteorieiaIIIaderezisten(10.3), este2 2221 1 1a bbpi r t ech . (14.19)Dincondiiacatensiuneaechivalentsfiemaimicsauegalcurezistena admisibil a , rezult relaia de dimensionarei aap ab2 . (14.20)Pentru2a ip ,raportulrazelor a b ,tensiuneaechivalente