Ridicarea la putere a Ridicarea la putere a matricelormatricelor

“… “…construim,invatam,dezvoltam…”construim,invatam,dezvoltam…”

CuprinsCuprins

- definitia ridicarii la putere a - definitia ridicarii la putere a matricelormatricelor

- proprietati - proprietati

- metodele pentru a ridica la exponent - metodele pentru a ridica la exponent natural a unei matrice de ordinul 2natural a unei matrice de ordinul 2

Definitie:Definitie:• Fie matricea pătratică A Fie matricea pătratică A €€ Mn Mn(C) , A≠On.(C) , A≠On.

• Prin definiţie A0= In si An = A*A*A*...*A,Prin definiţie A0= In si An = A*A*A*...*A,Vn Vn €€ N* N*

• Se observă că An+1 Se observă că An+1 = An= An A nA n

Proprietati:Proprietati:• Cu ajutorul proprietatii de asociativitate a inmultirii Cu ajutorul proprietatii de asociativitate a inmultirii

matrcelor se poate demonstra ca au loc urmatoarele matrcelor se poate demonstra ca au loc urmatoarele reguli de calcul :reguli de calcul :

a)a) AA k * k * AAp = p = A A k+p,k+p, k,p k,p € N*€ N*

b) b) ( A( Ak k ))p = p = A A kp , kp , k,p € N*k,p € N*

Daca A,B € MDaca A,B € Mn n (C) si AB = BA, atunci :(C) si AB = BA, atunci :

c) c) AAk * k * BBp p = B= Bp * p * AAk ,k , k,p € N* k,p € N*

d) d) (A+B)(A+B)K K = C= CkkA + CA + CkkAAk-1k-1B + …+CB + …+CkkA BA Bk-1 k-1 + C+ CkkBBk k (binomul lui (binomul lui Newton)Newton)

• Pentru ridicarea la exponent natural nPentru ridicarea la exponent natural nℕ, nℕ, n a unei a unei matrice de ordinul 2 vom pune în evidenţă câteva matrice de ordinul 2 vom pune în evidenţă câteva metode :metode :

• Metoda 1Metoda 1

FieFie

ttℝ prin ridicarea la exponentul nℝ prin ridicarea la exponentul nℕ* va avea ℕ* va avea formaforma

nnℕ*,rezultat ce se verifică prin inducţie. Folosind ℕ*,rezultat ce se verifică prin inducţie. Folosind acest rezultat vom deduce forma puterii a-n-a pentru acest rezultat vom deduce forma puterii a-n-a pentru matricelematricele

0baR,ba,cu 22

ab

baBşi

ab

baA

,cossin

sincos

tt

ttA

ntnt

ntntAn

cossin

sincos

1;1 ;sin;cosNotând

22222222 ba

b

ba

a

ba

bt

ba

at

tt

ttbaB

tt

ttbaABA

cossin

sincosrespectiv

cossin

sincosforma laaducse, 2222

ntnt

ntntbaB

ntnt

ntntbaA

nn

nn

cossin

sincos

cossin

sincosRezultă 2222

ExempleExemple

1,, 22

baRbacu

ab

baA Sa se arate ca puterile An,n≥1 sunt de formaSa se arate ca puterile An,n≥1 sunt de forma

nn

nnn

ab

baA .unde (an)n≥1, (bn)n≥1 sunt siruri convergente la .unde (an)n≥1, (bn)n≥1 sunt siruri convergente la

zero.zero.

Solutie :Solutie :Dacă a2+b2=0Dacă a2+b2=0aabb

zero.laeconvergentirurisuntdeci ,0 ,0 ,1 ,00

00 la conduce

00

00şbanAA nn

n

deducemsin ,cosnotând,10Dacă22222222

babtbaatba

0lim,0limasigurăsemajorariicriteriulPrin

.sin,cos 2222

nn

nn

n

n

n

n

ba

ntbabntbaa

Metoda 2Metoda 2

Orice matriceOrice matrice verifică o ecuaţie de forma verifică o ecuaţie de forma

222 det OIAATrAA

RMdc

baA 2

(Numita ecuatie caracteristica asociata (Numita ecuatie caracteristica asociata matricei A)matricei A)

unde TrA = a+d(urma matricei A), det A = ad-bcunde TrA = a+d(urma matricei A), det A = ad-bc

Se demonstrează prin inducţie că există două şiruri realeSe demonstrează prin inducţie că există două şiruri reale

,1,, , ,211 nNnIyAxAîncâtastfelyx nnn

nnnn

unde X1 = 1, Y1 = 0, X2 = TrA,y2 = - det A.Pentru a evidentia relatia de recurenta unde X1 = 1, Y1 = 0, X2 = TrA,y2 = - det A.Pentru a evidentia relatia de recurenta

constatamconstatam

AyAxAIyAxAAA nnnnnn 2

21

IxyAyxxAyIyAxx nnnn 222222 deci:deci:

Nnxyysiyxxx nnnn , 1 21221

Solutie :Solutie :

Ecuaţia caracteristică asociată relaţiei de recurenţă de ordinul 2 esteEcuaţia caracteristică asociată relaţiei de recurenţă de ordinul 2 este::

21212 deci 1,12 nccxrrcurr n

.2

,,2:1,2

0,1,1det,2,det

11

11,2

1122222

nnn

nnnnnnnn

xxx

sauxyyxxcuconformdecinIyAxA

yxyATrAxOIAATrAA

1 şi rezultă 0,1

unde de 22 obţbţin 2

1 obţbţin 1

12

212

211

nynxcc

ccxn

ccxnPentru

nn

10

1

10

011

10

11 nnnAn

• Au participat la realizarea acestui Au participat la realizarea acestui proiect urmatorii elevii ai grupei 4 din proiect urmatorii elevii ai grupei 4 din clasa a XI-a B: clasa a XI-a B:

- LUNG FLORIN- LUNG FLORIN

- POP CLAUDIU- POP CLAUDIU

- BORSAN PETRUTA- BORSAN PETRUTA

SFARSITSFARSIT