Poveste cu paini

Judecatorul, dupa ce i-a ascultat pe cei 2 sateni le-a spus:– Daca ati fost 3 oameni la masa si ati taiat fiecare din cele 5 paini in parti egale, inseamna ca ati avut 15 bucati. Fiecare a luat deci cate 5 bucati de paine. Ale cui erau insa bucatile mancate de calator? Cel cu 2 paini, impartindu-le, a avut 6 bucati, din care el a mancat 5 iar calatorul una. Cel cu trei paini, dupa ce le-a taiat, a avut 9 bucati, din care si el a mancat 5 calatorului ramanandu-i 4. Deci, se cuvine ca sateanul cu 2 paini sa ia un leu, celalalt 4 lei. [Problema]

Deduceti ora exacta

Trebuie sa porniti tocmai de la ideea ca un cadran de ceas are pe margini 60 de liniute care indica minutele. In consecinta pentru ca limba aratatoare a orelor sa parcurga unul dintrele cele 5 intervale ora 12 de ora 13, sa spunem, are nevoie de 12 minute. Ce distanta va separa atunci cele 2 limbi? Limba indicatoare de ore se va afla la 12 si un minut, iar minutarul la 12 si 12 minute, deci minutarul va fi cu 11 minute inaintea celeilalte limbi.Pornind de aici logica isi urmeaza cursul destul de lesne de aflat. In consecinta, fata de limba care indica orele, minutarul se afla cu 18 minute inainte la ora 15:36 si cu 18 minute inapoia acestei limbi la ora 20:24. Alte situatii nu mai exista, cu toate ca din 12 in 12 minute cele 2 limbi se vor gasi exact in dreptul unei linii care marcheaza minutele; ca sa luam un exemplu, la ora 17:12 minutarul va fi parcurs 12 intervale de cate un minut - incepand din dreptul orei 12 -, iar cealalta limba va fi parcurs un interval. Distanta intre ele va fi de 14 intervale, minutarul aflandu-se inapoia limbii ce indica orele. [Problema]

Sfatul înteleptilor

Nu întâmplător Hasen Said a fst nevoit să pună de mai multe ori întrebarea. De câte ori? Dacă între prima si ultima intrebare s-a scurs un ceas, iar el s-a adresat Sfatului la fiecare 10 minute, înseamnă ca a rostit intrebarea de 7 ori. Si tot asa nu intâmplator acestia au asteptat sa puna el cele 7 intrebari pana s-au hotarat sa-si duca fiecare cutia. Acum, sa vedem, cum au judecat cei 12 intelepti. Pe parcurs au fost mai multe variante: 1. Daca ar fi fost un singur smarald? Problema s-ar rezolva daca cei in cauza stiau

ca exista cel putin un smarald. Atunci cel careia i se nimerea piatra, ar sti ca toti ceilalti au numai rubine si ar lua cutia spre a o duce sultanului.

2. Dar daca printre cele 12 pietre pretioase erau 2 smaralde? In acest caz, inteleptii judecau astfel: "Eu stiu ca in cutia unuia se afla un smarald. Deci au fost puse unul, cel mult doua. Daca ar fi fost doar un smarald, cel ce il are ar pasi inainte. Dar la prima intrebare n-a iesit. De ce? Pentru ca a vazut ca la

mine - deci, ca si la mine! - se afla o asemenea piatra si considera ca eu trebuia sa dau curs primei intrebari. Inseamna ca avem amandoi cate un smarald." La a doua intrebare, ambii intelepti s-ar indrepta catre sultan

3. Sa presupunem ca au fost 4 smaralde. Atunci fiecare dintre respectivii intelepti stia ca au fost celputin 3 smaralde si de aceea asteapte a treia intrebare. Daca nu s-au ridicat cei trei, inseamna ca a mai fost si un al patrulea smarald si dupa a treia intrebare s-ar ridica 4 intelepti.

Si asa mai departe. Stim insa ca posesorii smaraldelor s-au ridicat dupa a saptea intrebare. Deci, in cutiile inteleptilor Hasen Said pusese 7 smaralde. [Problema]

Plimbare printr-un cartier nou

Sunt 2 raspunsuri posibile:1. Exista 3 familii din care una are 1 baiat, alta are 1 baiat si 2 fete iar ultima 3

baieti si 2 fete; 2. Exista 4 familii din care una are 1 baiat, a doua are 2 baieti, a treia are 2 fete si

un baiat, iar ultima familie are 4 fete si 3 baieti. [Problema]

Un sultan indragostit de logica

O1 vede fesurile lui O2 si O3. Daca acestia ar fi avut amandoi fesuri negre (ati retinut ca nu erau decat 2!), el ar fi putut afirma cu certitudine ca are un fes rosu. Rezulta deci ca cei din fata lui aveau fie un fes rosu si unul negru, fie amandoi fesuri rosii si deci el putea avea fes rosu sau negru si in consecinta nu se putea pronunta.O2 stie deci ca cel putin unul dintre el si O1 are un fes rosu. Daca O1 ar fi avut un fes negru, inseamna ca cu siguranta el, O2, are un fes rosu. Daca O1 avea in schimb un fes rosu, O2 nu si-ar putea da seama de culoarea fesului sau. Cum acesta nu si-a putut determina culoarea fesului, O1 si-a dat seama ca are un fes rosu si i-a spus imparatului, salvand astfel 3 vieti omenesti. [Problema]

Dus si intors

Viteza medie se defineste ca raportul intre distanta totala parcursa si timpul total necesar strabaterii acestei distante. Distanta intr-un sens, sa o notam cu x, este egala cu distanta in sensul opus si deci Marinescu strabate zilnic 2x km. In cat timp? Ei bine, la dus ii ia x / 40(km/h) ore, in timp ce la intors ii ia x / 60(km/h) ore. Timpul total este suma celor 2 timpi si deci este x /

40(km/h) + x / 60(km/h) ore = 3x / 120(km/h) + 2x / 120(km/h) ore = 5x / 120(km/h) ore. Facand raportul de care va spuneam la inceput obtinem viteza medie de 48 km/ora. [Problema]

Mostenirea unui arab

Feciorii s-au adresat unui judecator. Acesta a venit calare pe camila sa. A adaugat camila sa la celelalte 17, facand astfel 18 camile. Apoi a dat 1/2 din 18, adica 9 camile, primului fiu; 1/3 din 18, adica 2 camile, celui de-al doilea; in sfarsit 1/9 din 18, adica 2 camile, celui de-al treilea. Rezultatul: 9+6+2=17. Judecatorul a incalecat apoi pe camila sa si a plecat. [Problema]

Sucită si învârtită

Popescu era contra zgomotului. [Problema]

Turma

301 oi. [Problema]

Revederea

Lisandru a ghicit foarte simplu. Pe fetită o chema Elena, ca si pe mama ei, cu care statea de vorbă! Dar probabil ca dvs ... n-ati ghicit ca Lisandru su s-a întâlnit cu un bărbăt, ci cu o femeie! [Problema]

Nu credeti?

Provenind dintr-o înmultire, numărul 9 443 823 poate fi descompus în numere prime care reprezintă de fapt factorii înmultirii. Astfel găsim ca 9 443 823 = 3 x 17 x 23 x 83 x 97. Imnultind acum numărul 23 cu 83 obtinem 1909, care poate fi considerat anul nasterii amicului; oricare din celelate încercări duce la rezultate neverosimile. Rămân numerele 3, 17 si 97. Mama amicului nu poate avea nici 3 si nici 17 ani; singurul număr de ani care i s-ar potrivi este 97. De asemenea, blocul nu poate avea înăltimea de 3m; înseamnă deci că are 17m. Rămâne, asadar, ca vecinul are 3 copii. [Problema]

In fotografie

Nepotul său [Problema]

In 24 de ore

Pe parcursul unei zile întregi acele ceasornicului formează un unghi drept de 44 de ori. [Problema]

Patru puncte

Cele patru puncte pot fi unite prin linii drepte, în felul urmator :

[Problema]

Inteleptul si Impăratul.

Cuvintele salvatoare au fost: "Voi muri spânzurat!" Potrivit întelegerii, împăratul a fost pus în imposibilitate să-l omoare pe întelept si iată de ce:Invoiala era ca, în cazul când spune un adevăr, înteleptul sa fie decapitat, iar dacă spune un neadevăr, să fie spânzurat. Există două alternative:

1. Impăratul să considere drept adevăr spusele condamnatului. Ar urma deci să-l decapiteze. Decapitându-l însă, afirmatia "Voi muri spânzurat" devine un neadevăr.

2. Impăratul să considere drept adevăr spusele condamnatului drept un neadevăr. In acest caz, potrivit învoielii, înteleptul trebuia spânzurat, spusele sale se adeveresc si, în aceasta alternativă, urmează să fie ucis prin tăierea capului! [Problema]

Să nu vă ardeti

Intâi trebuie aprins ... chibritul! [Problema]

Smecherul păcălit

Am ales acest bilet! - a spus tânărul luând una dintre hârtii si rupând-o imediat, fără s-o despăturească. Celălalt a fost silit să desfacă hârtia pe care scria, fireste, "necâstigător". Singur, a trebuit să înghită păcăleala, fiindcă altfel ar fi recunoscut că a încercat să triseze. [Problema]

Ritmul scriitorului

Scriitorul a scris în medie cu 15 pagini pe zi. [Problema]

Un furt înscenat

Fiindcă în biroul caseriei era cald, iar afară frig, geamul nu se putea în nici un caz abuzuri pe dinafară. Relatând amănuntul cu stersul geamului, casierul a mintit, trădându-se [Problema]

Drumul pădurarului

La plecare, după cum am văzut, pădurarul a întors ceasul potrivindu-l la o oră oarecare. Ajuns la sătean a privit ceasul, a aflat cât este ora, lucru pe care l-a făcut si la plecare. Deci el a stiut cât timp a zăbovit în sat. Sosit acasă s-a uitat la ceasul său si a făcut socoteala cât timp a lipsit de-acasă. Din acest timp l-a scăzut pe cel cât a zăbovit în sat si a aflat astfel durata drumului. Întrucât distanta dintre sat si casa lui o parcurgea atât la dus cât si la întoarcere în acelasi timp, a împărtit durata totală a drumului la 2, aflând astfel durata unui drum. Acum, nu i-a mai rămas decât să adauge acest timp la ora arătată de ceas la plecarea sa din sat. Suma aflată era ora exactă, la care si-a potrivit apoi ceasul. [Problema]

Ghici ciupercă

V-ati gândit imediat probabil la numărul 25. Nu-i gresit, dar e mult prea incomplet, deoarece toate numerele sunt în aceeasi situatie! Orice număr împărtit la cincimea lui, dă ca rezultat cinci. [Problema]

Da si ... ba!

Bancherul nu si-a retractat promisiunea de a suporta consecintele lipsei sale de atentie si de a-i restitui comerciantului partea ce i se cuvenea. Cu toate acestea, nu i-a achitat suma, spunându-i:– Conform consemnului, nu pot face plata decât dacă sunteti amândoi depunătorii de fată. Vă rog deci să poftiti împreună cu asociatul dvs! [Problema]

Numerotarea paginilor

Volumul a avut 1 024 de pagini. [Problemă]

Simplu!

Intr-adevăr, al doilea magaziner avea dreptate. El a numerotat cele 6 lăzi existente în depozit de la 1 la 6. Apoi a procedat în felul următor: a luat din prima ladă un rulment, din cea de-a doua doi rulmenti, din cea de-a treia trei, si asa mai departe ... din lada cu numărul 6 a scos sase rulmenti. Apoi a asezat cei 21 de rulmenti pe cântar. Dacă acestia ar fi fost corespunzători, adică câte un kilogram fiecare, ei ar fi trebuit să cântărească 21 kilograme. In cazul când cântarul arată 20,950 kg înseamnă că lada nr. 1 este cea cu rulmentii defecti, deoarece lipsesc 50 g până la un kilogram, adică un singur rulment e mai usor. Dacă lipsa este de 100 g atunci este vorba de lada 2, deoarecede aici s-au luat 2 rulmenti0 s.a.m.d. [Problemă]

Coincidentă

Cele patru terenuri aveau următoarele dimensiuni: 28 x 28, 25 x 31, 22 x 34, 19 x 37 m. Deci, desi suprafetele lor erau diferite, perimetrul este acelasi (112). S-au folosit deci câte 112 arbusti pentru fiecare teren. [Problemă]

La ce oră se trezea

Din moment ce ceasul trebuia întors de 20 ori seara si de 10 ori dimineata, însemna că cele 30 de rotatii pe zi ale cheitei asigurau mersul ceasului timp de 24 ore. Asadar, fiecărei ore îi corespundea o rotatie si un sfert. Stiind că dimineata cheita trebuia răsucită de 10 ori - rotatii echivalente cu opt ore -

rezultă că posesorul ceasului, care îl întorcea seara la ora 22, se scula la ora sase. [Problemă]

Chenarele ceramicii

Din cele 40 de vase, 28 aveau incrustat chenarul de jos. Înseamnă că 12 nu aveau gata acest chenar. Ele se numără, asadar, printre cele care aveau incrustat chenarul de jos, rămân 24 de vase cărora li se incrustează ambele chenare si deci erau gata pentru a fi introduse în cuptor. [Problemă]

Păcală păcălit

Denumirile vechi ale lunilor au fost date cu intentia de a vă abate putin atentia, îndemnându-vă astfel să socotiti folosindu-vă de acesti termeni mai putin uzuali. Acum, să vedem cum stau în realitate lucrurile. Dacă ar fi plătit câte un bănut de argint pe lună, boierul ar fi trebuit ca, după un an, sa-i dea 12 bănuti. Dându-i câte 6 bănuti pentru câte două luni consecutive de 31 de zile, el s-a crezut în câstig, întrucât a socotit că în 14 luni consecutive ar fi avut această situatie de două ori, adică pentru lunile cuptor si gustar (iulie si august) din acel an si din anul viitor, deoarece vărul lui Păcală se tocmise în luna lui cuptor. Dar cel care a râs la urmă a fost argatul, deoarece boierul a scăpat din vedere că trecerea dintr-un an calendaristic în altul, adică ningău si gerar (decembrie si ianuarie). [Problemă]

Câte săgeţi valorează un arc?

După cum s-a arătat, un arc valorează cât un cutit de os plus o săgeată. Dacă adăugăm de fiecare parte câte o săgeată, înseamnă că un arc si o săgeată sunt egale cu un cutit si două săgeti. De asemenea, stiind că o lance este echivalentă cu un arc si o săgeată, înseamnă că lancea poate fi schimbată totodată pe un cutit si două săgeti. Asadar, să punem de o parte, de exemplu, în partea stângă - pentru început - un arc si o săgeată, iar de cealaltă parte, în dreapta, un cutit si două săgeti. Mai adăugăm în stânga două lănci, iar în dreapta un echivalent al acestora, respectiv două cutite si patru săgeti (stim că o lance valorează un cutit si două săgeti). Deoarece două lănci sunt cu trei cutite, luăm din partea stângă două lănci, iar din dreapta sase săgeti. Eliminând câte o săgeată din fiecare parte, vedem că un arc este echivalent cu cinci săgeti. [Problemă]

La un concurs

După cum s-a arătat, este exact numai un singur răspuns din cele două date de fiecare tânăr. Pornind de la această premisă, să presupunem că este exactă afirmatia primului tânăr, potrivit căreia Buzdugan a sosit primul. Asta înseamnă că este inexactă afirmatia celui de al cincilea tânăr care sustinea că primul a sosit Anastasescu; dacă se consideră această afirmatie inexactă, suntem nevoiti să luăm drept bună afirmatia a doua a celui de al cincilea tânăr, care afirmase că Buzdugan a sosit al cincilea. Ajungem astfel la o imposibilitate: Buzdugan a sosit primul si al cincilea! Această imposibilitate demonstrează că am pornit gresit la drum, considerând drept exactă afirmatia primului tânăr si anume aceea că Buzdugan a sosit primul. Dacă această afirmatie este inexactă, atunci este exactă cea de a doua: Anastasescu a sosit pe locul doi. Citind mai departe afirmatiile, vedem că al cincilea tânăr se înselase când a spus că Anastasescu a sosit primul. Asadar, luăm ca bun celălalt răspuns al său, respectiv Buzdugan a sosit pe locul cinci. Dacă Buzdugan a sosit al cincilea, atunci nu este bun răspunsul celui de-al treilea tânăr, care sustine că pe locul cinci s-a clasat Ene. În consecintă, este bun celălalt răspuns al său: Dragomir a sosit pe locul întâi; primul fiind Dragomir, excludem atunci si afirmatia celui de-al patrulea tânăr, conform căruia Dragomir a venit al treilea, precum si a celui de al doilea tânăr, care spunea că Dragomir a fost al patrulea; rămân exacte celelalte afirmatii ale lor si anume că Ene s-a clasat pe locul trei, iar Cristescu pe locul patru. [Problemă]

Dilemă

Atunci când în casă, băiatul a intratÎn semiobscuritate… de tatăl său a dat [Problemă]

Câini de vânătoare

Să notăm cu a numărul câinilor cu botul alb si coada pătată, cu b cel a căror coadă era albă si botul pătat si cu c numărul celor complet albi. Înseamnă că:

a+b=30;a+c=34;b+c=36.

Cu alte cuvinte, 2a+2b+2c=100,

iara+b+c=50.

Deci haita avea 50 de câini. Cunoscând că numărul celor pătati pe bot sau pe coadă era de 30, rămâne că cei albi sunt în număr de 20. Pentru a afla numărul câinilor pătati pe bot, nu avem altceva de făcut decât să scădem 34 din totalul de 50. Asadar, 16 câini erau pătati pe bot, iar 14 aveau pata neagră pe coadă [Problemă]

Un duel ciudat

Toată judecata se întemeiază pe faptul că cei trei îsi cunosteau reciproc calitătile de ochitori. În cazul când sortii ar fi decis ca primul să tragă marchizul, ar fi fost doi supravietuitori si nu unul! Iată de ce: Stiindu-se ochitor mediocru si cunoscând reputatia celorlalti doi ca ochitori desăvârsiti, marchizul ar fi tras în aer. Altfel , în cazul în care l-ar fi nimerit pe conte sau pe viconte, glontul celui rămas în viată ar fi fost destinat marchizului si l-ar fi ucis. Trăgând în aer însă, ar fi scăpat cu viată. Indiferent cine urma la rând, să zicem de exemplu contele, acesta ar fi tras asupra vicontelui, doborându-l. În nici un caz el n-ar fi tras asupra marchizului, deoarece acesta căzând, vicontele, singurul care nu-si consumase cartusul, l-ar fi împuscat pe conte. Asadar, în alternativa că sortii ar fi hotărât ca primul cartus să-l tragă marchizul rămâneau doi supravietuitori. Deoarece a supravietuit doar unul singur, ei, înseamnă că primul care a tras a fost contele sau vicontele. Dacă a tras, de exemplu , contele, el l-a ochit pe viconte; în nici un caz n-ar fi tras asupra marchizului, pentru că doborându-l, s-ar fi expus sigur pieirii; urma la tras vicontele, care - după cum s-a precizat - era un trăgător desăvârsit. Al doilea foc a fost tras de marchiz, care a izbutit sa-si lovească totusi adversarul, cu toate că era un tintas mediocru. Prin urmare cel rămas în viată a fost marchizul. [Problemă]

Numărul "elastic"

Este vorba de numărul 61. Dacă scădem 6, rămâne 55, care împărtit la 5 dă 11; în al doilea caz, dacă la numărul 61 adăugăm 5, obtinem 66, număr care împărtit la 6 dă tot 11.. [Problemă]

De ce nu se topeste cositorul?

Multi scapă din vedere un "mic" amănunt. Anume că atunci când prăjim un aliment, temperatura untdelemnului este departe de punctul său de fierbere. Dacă am prăji peste în untdelemn la temperatura de 320° el s-ar face repede scrum. De obicei, când prăjim alimente temperatura untdelemnului nu

depăseste 150°-160°, fiind astfel cu mult sub cea de topire a cositorului. [Problemă]

Lectură într-un compartiment de tren

După cum s-a spus, poetul Bogdan citea un volum stiintific. Ce putea citi prozatorul? Romanul nu, deoarece era scris de el; cartea stiintifică, de asemenea nu, fiindcă această lucrare era la poet; nici volumul de istorie nu putea fi citit de el, întrucât singur afirmase că nu dorea să i se ofere această lucrare. Ajungem deci la o singură solutie, aceea că prozatorul a citit versuri. La rândul său, dintre cărtile rămase, roman si istorie, Andrei Alexandrescu nu putea citi decât romanul, iar inginerul Drăgan - lucrarea istorică. [Problemă]

Palatul lui Darius

Întrucât lătimea sălii, potrivit afirmatiei, era de 8 pasi plus jumătate din lungime, iar despre lungime se spune că era egală cu înăltimea plus lătimea, înseamnă că lungimea era de opt pasi, plus opt pasi plus jumătate din lungime; deci jumătate din lungime are 16 pasi. Asadar, lungimea sălii totalizează 32 de pasi, iar lătimea 24 de pasi (jumătate din lungime plus înăltimea de 8 pasi). [Problemă]

Încărcarea vagonului

După cum s-a arătat, fiecare din cele patru instalatii pneumatice pot încărca un vagon de cale ferată în 2, 3, 4 si respectiv 6 minute. Cu alte cuvinte, intr-un minut prima instalatie va asigura încărcarea unei jumătăti de vagon, a doua - o treime, a treia - o pătrime, iar a patra o sesime de vagon. Adunând aceste parti, vedem că toate cele patru instalatii vor încărca într-un minut 5/4 vagoane, adică un vagon si un sfert. Rezultă, asadar, că pentru un sfert de vagon sunt necesare 12 secunde, iar încărcarea unui vagon necesită 48 de secunde [Problemă]

Papirusul indescifrabil

Dacă numărul ?679? este divizibil cu 72, înseamnă că el e divizibil cu 8 si 9. dacă e divizibil cu 8, numărul 79? trebuie să se dividă si el cu 8 deoarece miile, reprezentate prin primele două cifre (?6) se divid cu 8. Înseamnă că 79? nu poate fi decât 792. dacă numărul ?6792 este divizibil cu 9 (după cum

am stabilit la început), potrivit unei cunoscute reguli matematice, si suma cifrelor trebuie să fie multiplu de 9. Asadar, numărul este 36792, iar fiecare formatie avea câte 511 ostasi. [Problemă]

În tunelul Saint-Gothard

Socoteala este foarte usoară, cu conditia să nu alegem calea de a calcula toate drumurile rândunicii! Lucrurile se prezintă foarte simplu: zburând cu o viteză de trei ori mai mare decât viteza de deplasare a automobilului, rândunica va parcurge, în timpul cât automobilul se află în tunel, o distantă de trei ori mai mare, respectiv 45 kilometri. [Problemă]

Cuiburile de strut

Presupunând că toate cele 36 de cuiburi de strut ar fi avut fiecare câte 7 ouă, numărul ouălor ar fi fost egal cu 252. Stiind că în unele cuiburi au existat si câte 13 ouă, adică cu 6 mai multe decât celelalte, nu rămâne altceva de făcut decât să împărtim diferenta de la 252 până la 324 (numărul total de ouă) la 6, aflând numărul cuiburilor de câte 13 ouă. Astfel, împărtind pe 72 la 6, găsim că au fost 12 cuiburi de câte 13 ouă. Restul de cuiburi până la 36, respectiv 24, contineau câte 7 ouă. [Problemă]

Bătrânelul

20 de ani [Problemă]

Etichetele încurcate

Tânărul a scos o piatră pretioasă din cutia cu eticheta "safir si rubin". Dacă a scos un safir , atunci cutia continea două safire (nu putea contine un safir si un rubin, fiindcă - s-a precizat - eticheta nu indica adevăratul continut al cutiei). Deci, dacă această cutie continea cele două safire, cea cu eticheta "două rubine" ar fi continut un safir si un rubin, iar cea cu eticheta "două safire" urma să contină două rubine. Dacă ar fi extras un rubin determinarea continutului cutiilor s-ar fi făcut potrivit aceluiasi rationament. [Problemă]

Kilometreajul masinii

Automobilul mergea cu 55 km pe oră, după două ore kilometrajul indicând 16061 km. [Problemă]

Cu operativitate

Din cele 26 de mingi, responsabilul cu materialele sportive a format trei grupe: două de câte nouă si una de opt. Fără să folosească greutătile, el a asezat apoi pe un taler al balantei o grupă de nouă mingi, iar pe celălalt, cealaltă grupă de nouă. Deci balanta a indicat egalitate, atunci mingea defectă se afla în grupa de opt. Dacă nu, a oprit cele nouă mingi care atârnau mai greu si le-a dat jos pe celelalte de pe taler. Apoi a asezat pe cele două talere câte trei mingi din grupa de nouă care cântăreau mai mult. În cazul în care balanta indica egalitate, înseamnă că mingea defectă se află în grupa de trei mingi necântărită. O dată determinată grupa în care se găsea mingea cu pricina, nu i-a rămas decât ca, la cea de-a treia cântărire, să aseze câte o minge pe fiecare taler. Dacă la această ultimă probă cântarul a indicat egalitate, mingea defectă este cea care n-a fost cântărită, iar dacă nu sunt egale, atunci mingea defectă este cea mai grea de pe talere. În alternativa când la prima cântărire cele două grupe de nouă mingi au fost găsite egale în greutate, mingea defectă se afla în grupa de opt, iar determinarea se face în acelasi mod. [Problemă]

Pungile cu galbeni

Pentru ca nici o pungă să nu trebuiască a fi deschisă la orice plată între 1 si 300 de galbeni, acestia trebuie repartizati în felul următor: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 128, 45. [Problemă]

Alternarea zilelor

Nici unul nu avea dreptate. Dacă facem un calcul nu pentru sapte ci doar pentru două zile, repetarea sigură a unei anumite situatii ar putea surveni cel mai devreme în cea de-a cincea zi, deoarece am avea următoarele patru situatii: senină-senină, senină-înnorată, înnorată-senină, înnorată-înnorată, iar în a cincea zi una dintre situatii se va repeta în mod obligatoriu. Dacă avem în vedere trei zile, sunt opt situatii diferite, iar când considerăm patru zile, saptesprezece. În decurs de o săptămână există 128 de situatii diferite. Asadar, pentru a putea fi siguri că se va repeta aceeasi alternare a zilelor frumoase cu cele înnorate pe care am întâlnit-o în excursia amintită trebuie să treacă 128 de săptămâni. Cu alte cuvinte, abia în a 896-a zi, adică după aproape doi ani si jumătate, alternarea zilelor va fi identică. Fireste,

întâmplarea va face, probabil, ca repetarea să survină mai devreme, poate chiar după o săptămână, dar siguranta repetării situatiei o putem avea numai după intervalul de timp arătat. [Problemă]

Temnita din turn

Prizonierii au procedat în felul următor: Întâi au pus bolovanul în cos si l-au trimis jos. În cosul gol, care s-a ridicat, s-a urcat fiul. El a coborât, ridicând bolovanul. Acesta a fost apoi scos si în locul lui s-a asezat sotia, care a coborât, urcând cosul cu fiul. A fost pus în cos din nou bolovanul care a fost lăsat să cadă. Sotia, aflată jos, s-a urcat în acelasi cos cu bolovanul, iar în cosul rămas sus a luat loc castelanul; în acest fel sotia si bolovanul au urcat, iar castelanul a coborât. Bolovanul a fost din nou lăsat jos, apoi în cosul de sus s-a asezat acum fiul, care, coborând, a urcat bolovanul. Locul acestuia a fost apoi luat de sotia care, coborând, a ridicat cosul cu copilul. Copilul a lăsat din nou bolovanul jos, apoi în cosul de sus s-a urcat el si a coborât urcând bolovanul. Astfel au evadat toti trei prizonierii. [Problemă]

Oralogiul din Brasov

Ati fost îndemnati să credeti că, din moment ce 5 bătăi durează 5 secunde, 9 bătăi se vor efectua si ele în 9 secunde! Socoteala nu este bună. Între prima si ultima dintre cele cinci bătăi există patru pauze egale, care totalizează cinci secunde. Pauza este, asadar, de o secundă si un sfert. În consecintă, cele opt pauze care despart cele 9 bătăi vor totaliza 10 secunde. [Problemă]

Un triunghi

Iată cum se poate împărti un triunghi obtuzunghi pentru a obtine triunghiuri cu toate unghiurile ascutite

[Problemă]

Istetimea haiducului

Haiducul a mai trimis un răvas unui alt boier din târgul vecin, pe care, sub amenintare, l-a obligat să vină pe furis, când se înnoptează, la han, să ia o pungă, chipurile, cu galbeni, pe care să-i dăruiască săracilor, iar dacă va fi văzut, s-o ia la goană. Ceva mai înainte însă, haiducul s-a ascuns în hanul părăsit si, când a fost adusă punga cu galbeni, a luat-o înlocuind-o cu alta umplut-ă cu bucătele de fier. Apoi, când potera a plecat în urmărirea boierului (presupus haiduc), care fugea cu punga lipsită de valoare, haiducul a iesit linistit din han si pe-aci ti-e drumul! [Problemă]

Incendiu pe insulă

Naufragiatul s-a salvat în modul următor: A rupt un mănunchi de mărăcini, l-a aprins de la incendiu si a fugit o bucată de loc, unde a aprins iarba. Focul pus de el a continuat să se propage pe directia vântului, arzând iarba. Naufragiatul s-a refugiat pe acest loc ars, unde flăcările incendiului nu-l puteau ajunge, deoarece nu mai aveau ce arde [Problemă]

Garniturile de metrou

Mecanicul primeste semnalul de plecare înainte de a porni efectiv. Deci, prima garnitură pe care o va întâlni va fi cea care intră în statie în momentul pornirii garniturii sale în statia terminus. În total deci, fiecare garnitură de metrou întâlneste, de la un capăt la celălalt al traseului, 49 de garnituri. [Problemă]

Halterofilul

Chiar dacă ar fi putut ridica de jos o greutate, să spunem de 200 kg, nu se poate urca cu ajutorul scripetului o greutate superioară celeia a corpului, întrucât la capătul frânghiei de care se trage trebuie să existe o greutate cu ceva mai mare decât aceea ce se ridică. Or, halterofilul avea doar 72 kg. [Problemă]

Greutătile potrivite

Greutătile trebuie să aibă 1, 3, 9 si 27 kilograme [Problemă]

Ogarul si vulpea

Ogarul va ajunge vulpea după 72 de sărituri. [Problemă]

Întrebare cu tâlc

Făt-Frumos a pus primului întâlnit următoarea întrebare: "Dacă ti-as cere să-mi arăti drumul spre apa vie, încotro m-ai îndrepta?" În cazul când cel întrebat spune adevărul, el arată, firesc, drumul cel bun. Dar să vedem ce se întâmplă dacă fiinta întâlnită este din acela care dau răspunsul tocmai pe dos. Dacă Făt-Frumos ar întreba simplu: "Care este drumul spre apa vie?" - acesta l-ar îndruma gresit. În cazul când spre apa vie drumul ar porni-o, bunăoară, spre dreapta, fiinta i-ar spune, dimpotrivă, că trebuie să-o ia la stânga. Însă Făt-Frumos nu întreabă asa, ci spune "Dacă ti-as cere să-mi arati drumul spre apa vie, încotro m-ai îndruma?" La această întrebare fiinta care răspunde tocmai pe dos nu poate indica drumul spre stânga, deoarece ar însemna să recunoască că l-ar fi trimis spre stânga în cazul întrebării simple "Care-i drumul spre apa vie?" Iar această recunoastere ar însemna un adevăr. Deci ea va răstălmăci acest adevăr si va spune "spre dreapta", adică tocmai drumul bun! [Problemă]

În raftul bibliotecii

Între prima filă a volumului I si ultima filă a volumului III se găsesc 200 de file, adică cuprinsul volumului II. Orânduind trei cărti, vă veti convinge că asa stau lucrurile [Problemă]

Nufărul

Dacă nufărul îsi dublează zilnic suprafata, înseamnă că jumătate de lac va fi acoperită cu o zi înainte de a fi acoperit întreg lacul, respectiv în 19 zile. [Problemă]

Către vale si spre deal

Ion si Nae nu stăteau spate în spate, ci unul cu fata la celălalt. [Problemă]

Misiune în munti

Pentru ca cel putin unul să poată ajunge la destinatie, trebuie să pornească la drum trei ostasi. Ei pot lua maximum 12 ratii zilnice. După ce-au parcurs o zi de drum, le-au mai rămas 9 ratii. Unul din ostasi se înapoiază la bivuac, luând cu el ratia de mâncare necesară zilei de întoarcere. Ceilalti doi îsi continuă drumul încă o zi, timp în care au mai consumat două ratii. În acest moment au mai rămas sase ratii. Două din acestea la ia unul din ostasi, care se întoarce si el la unitate, hrana ajungându-i pentru cele două zile de drum. Restul de patru ratii îi vor ajunge celui de-al treilea ostas pentru cele patru zile de drum cât mai are până la capătul misiunii. [Problemă]

Revelion

Priviti masa. Pentru a sta la aceeasi distantă de logodnicele lor (fără a le avea drept în fată), Costică nu poate fi logodit decât cu Maria, iar Dan cu Irina. În continuare se arată că Gică dansează cu logodnica lui Alexandru. Deoarece ea nu stă pe aceeasi parte a mesei cu logodnicul, înseamnă că se numeste Anisoara sau Sanda. Să fie Anisoara? Acest lucru nu este posibil, si iată de ce: Mai departe se spune că Petre dansează cu propria sa logodnică, ceea ce ar însemna să danseze cu Sanda. Dar Sanda este în fata sa, fapt care contravine datelor precizate. Asadar, este sigur că logodnica lui Alexandru este Sanda, iar ea dansează cu Gică. Costică dansează cu Irina, logodnica lui Dan. Alexandru cu Maria, logodnica lui Costică. Deoarece la masă, în fata lui Gică, în afară de Irina si Maria nu mai este altă fată decât Ioana, ultima este logodnica lui Gică, deci Dan dansează cu Ioana. În sfârsit, rămâne de precizat o ultimă pereche de dansatori, Petre si Anisoara.

[Problemă]

Columbofili

Primul columbofil avea 50 de porumbei, al doilea tot 50, iar al treilea doar 30. [Problemă]

O escrocherie fără păgubasi

Problema cecului fals a fost rezolvată în felul următor: Primii nouă negustori au dat câte 10000 de lire, celui de al zecelea, care rămăsese cu cecul neacoperit. Deoarece fiecare dintre cei zece negustori obtinuse un câstig de 25 la sută, respectiv de 25000 de lire, din care a restituit doar 10000 de lire, a mai rămas cu un câstig de 15000 lire. Si ultimul negustor a rămas cu acelasi câstig, întrucât el a obtinut 90000 de lire pentru obiecte care îl costaseră numai 75000 de lire. [Problemă]

Împăcati rândurile

Literele care trebuie încercuite pentru ca rândurile să se "împace" sunt: A, D, G, L, M, O, P, T, U, V. Există si alte solutii [Problemă]

Nestematele lui Ali-Baba

Punga continea 3121 de nestemate. [Problemă]

Trei familii

Sotii au cheltuit: Ion 529 de lei, Alexandru 81 si Vasile 49 lei; în ordinea sotiilor, sotiile au cumpărat obiecte în valoare de: Maria de 484 lei, Elena de 36 lei si Olga de 4 lei. Ion a cumpărat 23 obiecte, Maria, sotia sa, 22 obiecte, Alexandru 9, Elena 7, iar Olga 2 obiecte. [Problemă]

Tombola

Aruncând cu trei zaruri deodată, 7, 11 si 13 pot fi obtinute dintr-un număr variabil de combinatii. Astfel numărul 7 se obtine î 15 combinatii, numărul 11 în 27, iar numărul 13 în 25 de combinatii. Deci cele mai multe sanse de câstig la are 11, deoarece el poate fi obtinut din cel mai mare număr de cobinatii. [Problemă]

La meci

În grupul care a intrat în stadion erau 10 adulti, 2 studenti si 88 copii. [Problemă]

Între 2000 si 3000

Numărul 2520 se împarte exact la toate numerele de la 1 la 10. [Problemă]

Fumătorii

Fumatul unei tigări durează sase minute, deci în 48 de minute un fumător poate fuma opt tigări. Pentru a fuma 80 de tigări sunt necesari, asadar, zece fumători. [Problemă]

O teime si jumătate

1/3 + 1/3/2 = 1/2 adică 50. [Problemă]

Epitaf

Când a murit, bătrânul avea 84 de ani. [Problemă]

Ghicitoarea

În nici o carte nu poate fi pusă o foaie între paginile 57 si 58, pentru că ele sunt fetele aceleiasi file. [Problemă]

Rechizitele

Fiecare obiect a costat : penarul 13,50 lei, echerul 6 lei, iar rigla 4,50 lei. [Problemă]

Ore anapoda

La prima vedere s-ar părea că rămânerea în urmă a pendulului cu 2 minute pe oră este compensată de faptul că ceasul de voiaj o ia înainte tot cu 2 minute, după cum si rămânerea în urmă a desteptătorului este si ea compensată de avansul ceasului de mână. Într-un cuvânt, la ora 19 ceasul de mână ar trebui să arate ora exactă. Lucrurile nu stau însă asa, si iată de ce: Într-o oră, pendula marchează doar 58 de minute. După pendulă, în 60 de minute, ceasul de voiaj marchează 62 de minute. Prin urmare, pentru fiecare minut al pendulei ceasul de voiaj marchează 62/60 minute, iar în 58 de minute după pendulă (respectiv o oră exactă) ceasul de voiaj marchează

minute. Mai departe, vedem că în 60 de minute ale ceasului de voiaj desteptătorul marchează 58 de minute. Asadar, pentru fiecare minut al ceasului de voiaj desteptătorul va marca 58/60 minute, iar pentru cele

ale ceasului de voiaj desteptătorul marchează minute. În mod asemănător se rationează si în cazul ceasului de mână; într-o oră exactă

el va marca . Tinând seama că între orele 12 si 19 este un interval de 7 ore, ceasul de mână va indica la ora 19, ora 18 si 59 de minute. [Problemă]

În excursie

La excursie au participat 17 femei, 10 bărbati, 33 de fete si 29 de băieti. [Problemă]

Turnul zarurilor

Se stie că punctele aflate pe fetele opuse ale fiecărui zar însumează 7 (1 cu 6, 2 cu 5, 3 cu 4). Pentru 13 zaruri, cel 26 de fete aflate în plan orizontal totalizează deci 91 de puncte. Din această sumă se scade 4, cât arată fata de sus a zarului de deasupra; mai rămân asadar, 87 de puncte. [Problemă]

Automobilistul adormit

Nu conduceam eu! [Problemă]

Operatie "simplă"

Cele două numere cu care se efectuează operatia sunt 987654321 si 123456789. restul este 864197532. "Coincidenta" constă în aceea că fiecare din cele trei numere este alcătuit din cifrele de la 1 la 9, luate o singură dată. [Problemă]

Patru operatii

Cele două numere sunt 24 si 8. [Problemă]

Bibanul si Linul

În momentul când s-au întâlnit prima dată, vaporasele parcurseseră împreună o lătime din lac. Din această distantă Bibanul a parcurs 800 m. La a doua întâlnire, parcursul total al ambelor vaporase însumează trei lătimi de lac, deoarece fiecare a făcut câte o cursă întreagă plus o portiune până la locul de întâlnire. Înseamnă că Bibanul a parcurs o distantă de trei ori mai mare decât cea parcursă până la prima întâlnire (care a avut loc la 800 m de Snagov-Sat), adică 2400m. Dar, după cum s-a arătat, a doua întâlnire a avut loc la 500 m de debarcaderul Parc, de unde s-a întors Bibanul, după ce a traversat prima dată lacul. Căzând acesti 500 m din drumul total parcurs de vaporasul Bibanul, obtinem lătime lacului între cele două debarcadere, care este de 1900 m. [Problemă]

Purta ochelari?

Petrescu nu purta ochelari. [Problemă]

Cele tei repere

În prima zi forjorul a confectionat 4 piese din primul reper, 18 piese din al doilea si 78 din al treilea. A doua zi 8, 11 si respectiv 81, iar a treia zi - 12, 4, 84 de piese. [Problemă]

Din goana tenului

Probabil că unii cititori s-au lăsat păgubasi de a mai rezolva această problemă, socotind că autorul a omis ceva. Dar autorul n-a omis nimic. Este interesant că, în ciuda putinelor date ce le contine, problema este rezolvabilă. Astfel dacă notăm cu x numărul de stâlpi ce defilau într-un minut prin fata ferestrei vagonului, într-o oră pot fi văzuti 60x stâlpi. Pe de o parte, stim că numărul de stâlpi este de trei ori mai mic decât viteza trenului exprimată în kilometri pe oră. Prin urmare, viteza trenului va fi egală cu trei x. Deci pe parcursul a 3x kilometri trenul va trece pe lângă 60x stâlpi. Asadar, pe distanta de un kilometru, trenul va trece pe lângă 60x : 3x = 20 stâlpi. Iar dacă pe distanta de un kilometru sunt 20 de stâlpi înseamnă că distanta dintre ei este de 50 m, depărtare la care, de fapt, se plantează stâlpii de telegraf. [Problemă]

Vasele

Rezolvarea trebuie începută de la … coadă. Înainte de ultima operatie, adică înainte ca cele trei vase să contină fiecare câte 16 litri, vasul al treilea trebuia să contină 32 de litri, iar celelalte două, iar celelalte câte 8 litri. La operatia anterioară, vasul al doilea avea 16 litri, primul vas, 4 litri, iar al treilea vas, 28 de litri. Înainte de prima operatie, adică la început, primul vas avea 8 litri, al doilea, 14 litri, iar al treilea, 26 litri de lapte. [Problemă]

Întrecerea forestierilor

Au iesit la egalitate, veti spune, deoarece 20 ´ 5 = tot 100 de secunde. Dar nu este asa pentru că un bustean sau oricare alt obiect se taie în 20 de părti, făcând 19 tăieturi. Ca atare, cel de-al doilea muncitor si-a îndeplinit sarcina în 19 ´ 5 = 95 de secunde si a câstigat întrecerea. [Problema]

Fiul pescarului

Să luăm cele patru cifre cunoscute , cu care se termină numerele ce reprezintă pestii prinsi de fiecare. Dacă respectivele numere se termină în 2, 3, 3, 4, nu este imposibil ca aceste cifre să reprezinte chiar numărul de pesti la care ne referim. Le adunăm: 2+3+3+4=12. Dar 12 nu este pătratul unui număr întreg. Să mai privim o dată datele problemei: atât numărul pestilor prinsi de fiul lui Vasile, cât si cel al pestilor prinsi de Gheorghe se termină cu 3. Se poate să fie si asa, dar se mai poate ca fiul lui Vasile si Gheorghe să fie una si aceeasi persoană. Dacă a doua variantă este cea adevărată, avem 2+3+4=9 pesti. Si 9 este pătratul unui număr întreg. Deci, pe fiul lui Vasile îl cheamă Gheorghe.

Atentie! În ceea ce priveste numărul pestilor prinsi, mai pot fi si alte variante. De pildă, 12+23+14=49, iar 49 este pătratul lui 7. [Problema]

Farfurii

Doar de 11 farfurii, deoarece , în realitate, la ziua mătusii veniseră: un sot cu sotia lui, fiul si cele trei fiice ale lor, fiul fiului, doi fii ai două dintre fiice si fata celei de-a treia fiice - în total 10 persoane. Deci 10 farfurii, la care se adaugă si farfuria gazdei. [Problema]

Intrusul

Toate numerele, afară de unul, sunt formate astfel: suma primelor două cifre este egală cu produsul celorlalte două

1+9 = 2 x 5 = 10;4+8 = 6 x 2 = 12;8+1 = 3 x 3 = 9;2+6 = 8 x 1 = 8;5+1 = 3 x 2 = 6;9+7 = 8 x 2 = 16;3+5 = 2 x 4 = 8;7+7 = 2 x 7 = 14;

dar6+1 = 7 si 4 x 8 = 32;

Singurul care nu se supune acestei reguli este 6148. Deci, el este "intrusul". [Problema]

Un fotbalist in minus

Vă reamintim că vârsta medie a persoanelor dintr-un colectiv se calculează adunând vârstele lor si împărtind suma obtinută la numărul lor. Când echipa era completă si vârsta medie era de 22 de ani, vârstele tuturor membrilor echipei totalizau 22´11= 242. După ce respectivul fotbalist a părăsit terenul vârsta medie a celor rămasi era de 21´10 = 210. Diferenta este dată de vârsta celui plecat: 242 - 210 = 32 de ani. [Problema]

Fursecuri si bomboane

Dacă mama lui Ionel ar fi pus în fiecare farfurie fursecuri si bomboane în aceeasi proportie în care se aflau pe cele două platouri (adică 1 la 3), în

fiecare farfurie ar fi fost 3 fursecuri si 9 bomboane si ar fi rămas 20 de fursecuri si 60 de bomboane. Dar punând câte 8 bomboane, au rămas 75. Diferenta de 15 (75- 60) ne dă numărul farfuriilor deci al comesenilor. Si cum printre ei se afla si Ionel, însemna că el a avut 14 oaspeti [Problema]

An de an

Dacă ati fost atenti, ati observat că răspunsul este continut în însusi enuntul problemei: acum trei ani, băiatul era de sapte ori mai mare ca sora lui. Încât atunci raportul era de 7 la 1, el putea avea, 7, 14, 21, 28 de ani, iar ea - 1, 2, 3, 4 ani. Deoarece este vorba de numere întregi, oricare variante în afară de prima duce la neconcordante fată de restul conditiilor. Deci, în urmă cu trei ani, Bogdan avea 7 ani, iar sora lui - 1 an; acum doi ani el avea 8 ani si Rodica 2 ani; acum un an vârstele lor erau 9 si respectiv - 3 ani, iar în prezent - 10 si 4 ani. Se mai poate verifica aceasta si pe cale matematică. Notăm cu B vârsta actuală a lui Bogdan si cu R - vârsta de astăzi a Rodicăi. Transcriem în limbaj matematic datele problemei I. B = 2,5 R

II. B - 1 = 3(R - 1) III. B - 2 = 4(R - 2) IV. B - 3 = 7(R - 3)

Având de aflat valorile a două necunoscute, putem lua oricare două dintre aceste două ecuatii. Deoarece ecuatiile II si III par mai simple, să lucrăm cu ele. Începem prin a efectua calculele: I. B - 1 = 3(R - 1)

B - 2 = 3R - 3B = 3R - 2 

II. B - 2 = 4(R - 2)B - 2 = 4R - BB = 4R - 6 

Întrucât avem, în ambele cazuri, valorile lui B, putem scrie astfel: 4R - 6 = 3R - 2

R = 4Înlocuind pe R = 4 în I, aflăm că B = 2,5 ´ 4 = 10. Deci, acum Bogdan are 10 ani si Rodica 4 ani. Ca să aflăm vârstele lor an de an este nevoie de foarte putină aritmetică: anul trecut el avea 9 ani si ea 3 ani; acum doi ani vârstele lor erau 8 si 2, iar în urmă cu trei ani - 7 si 1. [Problema]

Bara de otel

Este clar că prima bucată va avea 1 kg . Dar cealaltă? Desigur, nu 2kg, ci 3kg, pentru că, având o bucată de 1 kg si una de 3 kg, putem cântări 2kg prin diferenta lor. Prin însumare, obtinem si 4 kg, deci nu avem nevoie de o asemenea bucată. Următoarea bucată trebuie să ne dea prin diferentă, 5 kg. Ea este de 9 kg. Cu aceste 3 bucăti se pot cântări (prin însumare sau diferentă) orice greutăti între 1 kg si 13 kg. A patra, va fi cea de 27 de kg. Si acum 27 + 9 + 3 + 1 = 40 kg, vedem că având aceste 4 bucăti, putem obtine orice greutate, număr întreg, între 1 - 40 kg. Exemple: 5 kg = 9 - (3 + 1) kg; 16 kg = (27 + 1) - (9 + 3) kg; 25 kg = (27 + 1) - 3 kg; 32 kg = (27 + 9) - (1 + 3) kg; 38 kg = (27 + 9 +3) - 1 kg etc. [Problema]

Într-o poiană

Răspunsul poate fi găsit fie pe cale intuitivă, fie pe cale algebrică. Să începem cu prima. Să ne închipuim că toate veveritele au găsit câte o alună. Luându-si hrana cu lăbutele, au început să le rontăie, ridicându-se pe piciorusele dinapoi. Se aflau acolo tot 100 de capete, dar pe jos rămăseseră doar 100 de perechi de picioruse. Cele 20 de perechi "lipsă" erau tocmai lăbutele care tineau alunele, deci ele apartineau la 20 de veverite. Restul de 80 (capete sau perechi de picioruse) erau ale păsărelelor. Pe cale algebrică. Notăm cu V numărul veveritelor si cu P cel al păsărelelor. Astfel putem obtine două ecuatii cu două necunoscute. În ceea ce priveste cifrele introduse, vom tine seama că veveritele au 4 picioare, păsările doar 2, iar în total au 120 perechi = 240 picioare. Deci se obtine sistemul: V + P = 100 (capete)4V + 2P = 240 (picioare) Efectuând calculele rezultă V = 20 si P = 80. [Problema]

Robinetul deschis

În 7 minute se evacuează, prin orificiu, o cantitate de apă egală cu volumul căzii. Dacă las si robinetul deschis, după 7 minute cada nu va rămâne goală, ci va contine atâta apă, cât curge în 2 minute (7 - 5 = 2). În aceste 2 minute vine în cadă o cantitate egală cu 2/5 din volumul ei. Si acum, să vedem ce s-a întâmplat când am vorbit la telefon. Dacă în 7 minute se umple 2/5 din cadă, 1/5 se umple în jumătate din acest timp, adică în 7/2 minute. Pentru ca să găsesc cada plină-ochi, a fost deci nevoie de un timp de 5 ori mai mare,

adică de minute. Cu alte cuvinte, am lipsit din baie 35/2 minute, adică

17 minute si 30 de secunde. Cum drumul până la telefon a durat 15 ´ 2 = 30 de secunde, înseamnă că am vorbit exact 17 minute. [Problema]

Un vapor

Să pornim logic la rezolvarea problemei. Stim că vârsta căpitanului reprezintă un număr, care un cub perfect. În sirul numerelor naturale, ce cuburi avem? 1, 8, 27, 64, 125… Ne oprim aici. Este imposibil ca un căpitan de vas să aibă… 1 an sau 8 ani si chiar 125 de ani. E putin probabil să aibă si 27 de ani, de aceea să luăm în consideratie numărul 64, care este posibil să fie vârsta lui. Rădăcina cubică a lui 64 este 4. Deci, produsul celorlalte sase necunoscute trebuie să fie 4752862 - 4 = 4752858. deoarece este produsul mai multor numere, să extragem factorii primi din el:

4752858|2

2376429|3

792143|11

72013|23

3131|31

101|101

Prin urmare 4752858 = 2 ´ 3 ´ 11 ´ 23 ´ 31 ´ 101. Si acum să vedem căreia dinte celelalte necunoscute (vârsta căpitanului o stim) i-ar putea corespunde fiecare număr. Câte cosuri avea nava? Fireste numai 2 sau 3. Dar elice? Aici răspunsul e clar: un vapor are, de obicei un număr par de elice, deci acesta poate fi doar 2, iar numărul cosurilor - 3. Câti oameni a luat la bord? Cel mai probabil 101, căci e mai logic si acest număr nu poate fi ziua, luna sau anul (deoarece am avea, în acest din urmă caz, 1900 + 101 = 2001!). Au rămas 11, 23, 31. Fireste, 11 nu poate fi decât luna, deci e vorba de noiembrie. Ziua nu poate fi 31, pentru că noiembrie are 30 de zile. Deci, X = 3, Y = 2, T = 101, N = 23, P = 11, Z = 31. Sau, altfel spus: vaporul avea 3 cosuri, 2 elice, 101 pasageri, a ridicat ancora la 23 noiembrie 1931, iar căpitanul avea 64 de ani. Dar nu s-ar putea să fi avut 27 de ani? În acest caz rădăcina cubică e 3 si 4752862 - 3 = 4752859. acest număr nu se împarte la 2, nici la 3, nici la 4, nici la 6; factorii lui primi sunt numere prea mari pentru a fi luate în consideratie, în cazul nostru concret. [Problema]

Opt găini ouătoare

Facem un tabel unde rezervăm câte un rând pentru fiecare zi a săptămânii (inclusiv duminica) si câte o coloană numerotată de la 1 la 8, pentru găini.

  1 2 3 4 5 6 7 8L X X X X X X X X

M X X         X  

M X X X X     X X

J X X     X X X  

V X X X X     X X

S X X         X  

D 0 0 0 0 0 0 0 0

Acum vom pune câte un semn (X) la fiecare găină care a ouat. Luni, e clar, toate au făcut câte un ou. Deci avem 8 ouă. Să presupunem că prima găină este din categoria cea mai productivă. Punem câte un semn în dreptul ei în toate zilele (nu si duminică - despre această categorie vom discuta ulterior). La cele 8 ouă s-au mai adăugat 5, deci, în total, 13. Să considerăm că si a doua găină făcea zilnic câte un ou. Vom avea acum încă 5, deci 18 ouă. Să zicem că găinile de la numerele 3 si 4 se ouau o zi da si una nu. S-au mai adăugat 2+2= 4 ouă si cu celelalte - s-au adunat 22. Pe găinile de la numerele 5 si 6 le considerăm cele mai putin productive, deci ele au mai dat încă două ouă (în total), ceea ce, adunate cu celelalte, fac 24. Până la 31 ne mai lipsesc 7 ouă. Dacă zicem că găina nr. 7 făcea zilnic câte un ou, iar cea cu nr. 8 - o zi da, una nu, obtinem exact cele 7 ouă lipsă. Ce s-a întâmplat duminică? Desigur, găinile cu numerele 1, 2, si 7, au ouat (punem în dreptul lor, la D, un alt semn, un 0); celor de la numerele 3, 4 si 8 le-a venit si lor rândul în această zi; la fel si "leneselor" de la numerele 5 si 6. Răspunsul este, deci, următorul: trei găini ouau zilnic, trei ouau o zi da si una nu, iar două găini făceau ouă după un interval de două zile. Situatia de luni, când gospodarul a găsit 8 ouă în cuibar s-a repetat duminica, adică în a saptea zi de la primul caz. [Problema]

La dans

Primul a dansat cu 7 fete, număr pe care l-am putea nota si 1 + 6. Al doilea a avut 8 partenere de dans, sau 2 + 6. Al treilea a invitat 9 fete, adică 3 + 6. Dacă asezăm toate aceste date în ordine, obtinem:

dansatorul nr. 1: 1+6 fetedansatorul nr. 2: 2+6 fetedansatorul nr. 3: 3+6 fetedansatorul nr. 4: 4+6 fete

………………………………………..dansatorul nr. N: N+6 fete

Rezultă că fiecare dansator a dansat cu 6 fete mai mult decât numărul său de ordine. Aceasta înseamnă că, în grupul acela, numărul fetelor depăsea cu 6 pe cel al băietilor, sau, altfel spus: dacă erau mai putin 6 fete, numărul tinerilor si al tinerelor ar fi fost egal. Deci: 30 - 6 = 24; 24 : 2 = 12 băieti si 12 + 6 = 18 fete [Problema]

În cercul de filatelie

Din cei 67 de băieti care au în colectiile lor si mărci românesti, scădem pe cei care strâng numai mărci din tara noastră si pe cel ce strânge toate felurile de mărci: 67 - 11 - 1 = 55. Acestia, deci, pe lângă mărci românesti, mai strâng mărci fie din Africa, fie din America. Procedăm după acelasi sistem în continuare si aflăm că 48 - 7 - 1 = 40 de elevi au în colectiilor mărci africane, dar si românesti sau americane, iar 34 - 2 - 1 = 31 strâng pe lângă mărci din America si piese filatelice din România sau Africa. Asa stând lucrurile, dacă fiecare din acestia ar colectiona numai mărci din România, sau numai din africa ori din america, ar însemna că în liceu ar fi 55 + 40 + 31 = 126 de băieti. Stim însă că multi membri ai cercului filatelic strâng fie mărci românesti si dintr-un continent, fie din cele două continente. Avem atunci 126 : 2 = 63. Prin urmare, în liceu sunt 63 (care strâng mărci de două feluri) + 11 (care colectionează numai mărci românesti) + 7 (numai cu mărci africane) + 2 (doar mărci din America) + 1 (cel cu mărcile din toate trei zonele) = 84 de băieti. Iar numărul fetelor este: 150 - 84 = 66. [Problema]

De la un mal la altul

Iată cum au procedat: 1) Au trecut dincolo cei doi copii. 2) Băiatul s-a întors cu barca. 3) A trecut mama. 4) Fetita a revenit cu barca la locul initial. 5) Fratele s-a urcat alături de sora lui în barcă si, împreună, au traversat din nou râul. 6) S-a întors băiatul pe primul mal. 7) El a luat cosul si l-a dus pe malul opus. 8) A lăsat acolo cosul si a revenit la locul unde astepta tatăl. 9) Acesta a luat barca si a trecut râul. 10) Fata a revenit cu barca pe malul de unde porniseră initial. 11) Amândoi copiii au traversat apa spre locul unde îi asteptau părintii. [Problema]

Cu trenul

Folosim binecunoscuta formulă S = v t, din care t = S/v. Deci, într-o primă perioadă, omul nostru a străbătut o distantă anumită (cât de mare, nu ne interesează) mai întâi cu viteza de 66 km/h, apoi cu 6 km/h. În ceea ce

priveste timpul, nici valoarea lui exactă nu ne interesează, ci doar faptul că în ambele directii a durat

Efectuăm adunarea si reducerile respective:

De când merge cu bicicleta, viteza este alta decât în cazurile anterioare, dar timpul si distanta au rămas aceleasi. Deci, dacă notăm cu v viteza lui ca ciclist, vom avea:

Timpul fiind egal si într-un caz si în altul, putem spune că

Întrucât cele două fractii au numărătorul (2S) identic, mai este nevoie să demonstrăm că v = 11? Deci viteza medie pe bicicletă este 11 km/h. [Problema]

Din fier si bronz

Se poate judeca astfel: 18 perechi de piese (câte una de bronz si una de fier) durează 324 de minute. Adică o pereche se poate strunji în 324 : 18 = 18 minute. Dacă ar face 20 de perechi de asemenea piese, ar lucra 20 ´ 18 = 360 minute. În acest caz există unele diferente fată de ceea ce a făcut în prima zi. Diferenta de timp este de 360 - 320 = 40 minute. În ceea ce priveste piesele executate, diferenta se referă la cele de fier: 20 - 15 = 5. Deci, în cele 40 minute face 5 piese de fier, sau 40 : 5 = 8 minute pentru o asemenea piesă. Dacă o pereche (bronz + fier) durează 18 minute si una de fier, 8 minute, înseamnă că face o piesă de bronz în 10 minute. Dar există si o rezolvare matematică. Dacă notăm cu B timpul de executare a unei piese de bronz si cu F - durata de strunjire a unei piese de fier se obtine sistemul:

20 B + 15F = 320 (minute)18 B + 18F = 324 (minute)

Rezolvând se obtine F = 8 minute si B = 10 minute. [Problema]

Lăntisorul

La început, lucrătorul s-a gândit că trebuie să desfacă inelele marginale, să zicem ale fragmentului de sus si să le reunească cu cele laterale (2 operatii de desfacere si 2 de lipire, în total 4 operatii), apoi se procedează la fel cu fragmentul de jos (alte 4 operatii). Ar fi avut astfel 8 operatii ´ 3 lei = 24 lei.

Solutia sugerată de clientă e mai economică: desface toate inelele unui fragment (deci 3 operatii) si cu ele reuneste celelalte 3 fragmente (încă 3 operatii). Rezultă: 3+3 = 6 operatii, care costă 6 ´ 3 = 18 lei. [Problema]

Înotătorii

Notăm cu I si II cele două întâlniri din bazin, cu b - lungimea bazinului si cu P si M distantele străbătute de Paul si Mircea până în momentele întâlnirilor. Vom scrie: I. P= b + 5

M= b - 5

II.

Eliminând pe b din I si II se obtine sistemul: M - P + 10 = 0 11M - 9 P = 0 care rezolvat are solutia P = 55, M = 45. deci b = P - 5 (din I) si rezultă că lungimea bazinului este b=50m. [Problema]

O scrisoare despre cătei

Desigur, pentru a găsi răspunsul, trebuie să stim care parte a fiecărui punct din scrisoare este adevărată. Înainte însă de a ne lansa în presupuneri si deductii, să ne facem un tabel ajutător, în care să scriem numele căteilor (orizontal) si culoarea lor (vertical), iar într-o coloană anexă vom nota (după ce vom afla) numele posesorului.

  Roscat Alb Cenusiu Negru Posesorul

Dog - DA - - Mircea

Lãbus - - DA - Sandu

Azor - - - DA Dinu

Grivei DA - - - Fãnel

Să pornim de la ipoteza că prima afirmatie de la punctul 1 este adevărată si Azor nu are blana roscată. Atunci Lăbus va fi cenusiu si notăm cu DA în respectiva căsută de pe tabel (avem, totodată, grijă să anulăm celelalte căsute referitoare la Lăbus si coloana "cenusiu", pentru că acest cătel nu mai poate avea si altă culoare, după cum alt semen al său nu va mai fi cenusiu). Dacă asa stau lucrurile cu Lăbus, putem considera că, într-adevăr, Grivei nu

este cenusiu (punctul 2), dar Dog este alb (notăm în tabel). De aici rezultă că prima afirmatie de la punctul 5 este adevărată, iar a doua - nu, deci Dinu este posesorul lui Azor (scriem si acest lucru la rubrica respectivă din tabel). La punctul 4 se spune că Dinu a luat cătelul alb; acum stim că nu e adevărat, deci Fănel l-a luat pe Grivei (introducem acest detaliu în tabel). Întrucât prima afirmatie de la punctul 1 este adevărată, Azor nu are blana roscată, dar nici albă sau cenusie, ci neagră. Cu ajutorul tabelului vedem că cel cu blana roscată este Grivei. Acum stim că prima afirmatie de la punctul 4 este neadevărată. Deducem însă (din partea a doua a acestui punct) că Sandu l-a ales pe Lăbus si, ca atare, lui Mircea i-a rămas Dog. Orice alte variante duc la combinatii ce contravin conditiilor problemei. Si acum să recapitulăm: cătelul lui Mircea se numeste Dog si are blana albă; Sandu îl are pe Lăbus, care e cenusiu; Fănel l-a ales pe Grivei cel roscovan; Dinu - pe Azor, care este negru. [Problema]

Paza bună...

Clădirea fiind triunghiulară, Nastratin Hogea a plasat opt oameni în dreptul unghiului unde se întâlneau cei doi pereti lungi. De acolo supravegheau ambele ziduri. Ceilalti cinci păzeau al treilea perete. [Problema]

Plata

Iată cele trei răspunsuri cu care Nastratin Hogea si-a plătit masa: I. Dacă se află unul cu capul spre nord si celălalt cu capul spre sud, s-ar

părea că berbecii trebuie să stea unul cu coada spre celălalt. Ei bine, pot sta cu capul zisesi, totusi să fie fată în fată, cap la cap. Atunci se pot privi în ochi, fără să întoarcă de loc capul.

II. La început te gândesti că cei patru călători au venit pe acelasi mal. Dar dacă au venit doi pe un mal si doi pe malul opus? Atunci cei de pe malul unde era barca au trecut pe râul, ceilalti doi au preluat-o, au traversat apa si au lăsat-o la locul de unde fusese luată.

III. S-ar părea că nu se pot împărti patru cătei la trei copii. Totusi… Un copil a luat un cătel, altul - de asemenea un cătel, iar al treilea - doi cătei. Să nu pretinzi că nu se respectă conditia! Ai zis că nici unul să nu aibă mai multi cătei ca ceilalti. Chiar cel ce a luat doi cătei, nu are mai multi ca ceilalti doi… la un loc!

[Problema]

În doi timpi si trei miscări

Pentru a putea indica cifra aleasă initial este necesar ca din rezultatul ce vi s-a comunicat să scădeti cifra 6. Veti obtine un număr format din două cifre: prima reprezintă cifra aleasă initial, iar a doua, cea aleasă ulterior. Să presupunem, de pildă, că initial a fost aleasă cifra 7 : 7 X 5 = 35; 35 + 3 = 38; 38 X 2 = 76; a doua cifră aleasă a fost, să zicem, 3. 76 + 3 = 79. Comunicându-vi-se acest număr si scăzând din el 6, obtineti 73, în care 7 nu este altceva decât cifra aleasă initial, iar 3 cifra aleasă ulterior. [Problema]

Vopsitorul ingenios...

… a reusit ca numai din două cântăriri să obtină 2350 g. La prima cântărire el a pus pe un talger greutatea de 500 g, iar pe celălalt, greutatea de 100 g. Apoi a echilibrat talgerele adăugând cantitătile de vopsea necesare, astfel că pe unul erau 4800 g, iar pe al doilea, 5200 g de vopsea. La a doua cântărire, folosind doar greutatea de 100 g, el a reprezentat cantitatea de 4800 g vopsea astfel încât balanta să se echilibreze din nou. În acest scop a fost necesar ca pe talgerul liber să pună 2450 g de vopsea, iar pe cel pe care se afla greutatea de 100 g, restul de vopsea, adică 2350 g. [Problema]

O îmultire usoară

Prima cifră ce se poate deduce este aceea pe care o substitue litera (B) si care nu poate fi alta decât 5, pentru că numai asa poate fi obtinută cifra 5 din (H)45. Litera (A) trebuie înlocuită neapărat cu 1 pentru a putea obtine cifra 4 din rezultatul partial (H)45, apoi firesc, 9 va înlocui litera (H). Locul literei (D) trebuie să-l ia o cifră cu sot, pentru a putea fi justificat 0, ultima cifră a rezultatului total. Aceasta nu este alta decât cifra 6, cu ajutorul căreia îl obtinem pe 9 din primul rezultat partial. În continuare, făcând înmultirea, constatăm că literele (E) si (F) trebuie înlocuite cu 1 si respectiv cu 8. Sigur, locul literei (C) va fi luat de cifra 6 din ultimul rezultat partial. Asadar, înmultirea reconstituită va arăta astfel:

                    3         1        5   X                                                                              4                   3               6

                 1             8          9        0  

                 9              4          5    

                          1                           2                               6                       0                                                                              

            1             3               7             3          4          0  

[Problema]

Din autobuz

Există o singură posibilitate ca, mergând cu viteză constantă, să putem observa pe pietrele kilometrice aceleasi cifre asezate în felul amintit: primul număr a fost 16, al doilea 61, iar al treilea 106. Tinând seama că distanta între primul si al treilea indicator a fost parcursă în două ore, rezultă că autobuzul se deplasa cu viteza de 45 km pe oră. [Problema]

Două greseli

Prima greseală: pentru a trece de la pagina 18 la următoare nu trebuie să întorci nici o filă, întrucât toate cărtile si brosurile, oriunde le-ai deschide, au pagina din stânga numerotată cu sot, iar cea din dreapta, fără sot. A doua greseală: după 72 de ore de la noaptea în care s-a asternut zăpada nu se putea ca soarele să ardă, deoarece era… tot noapte. [Problema]

"Test numeric"

Răspunsurile sunt următoarele: a. 3, pentru că numerele din prima coloană reprezintă diferenta dintre

numerele din celelalte două coloane, împărtită la 2. b. 35, pentru că seria creste în felul următor: +1, +2, +4, +8, +16. c. În paranteză va fi numărul 154, deoarece acesta reprezintă suma celor

două numere din margine, multiplicată cu 2. d. 37, deoarece numerele cresc succesiv cu +1, +2, +4, +8, +16 e. Numărul din paranteză va fi 14, deoarece acesta este egal cu suma

celorlalte două, împărtită la 50. f. 33, fiindcă seria de numere descreste cu -16, -8, -4, -2, -1. g. 6. Sunt două serii de numere intercalate. Prima serie, 15… 12… 9,

descreste cu 3, iar cea de-a doua serie, 13… 11… 9, descreste cu 2. h. Toate numerele de pe un rând însumează 14. i. 18. este o serie ale cărui numere cresc cu +1, +2, +4, +8, +16. j. 26, deoarece si în celelalte rânduri fiecare număr, de la stânga spre

dreapta, scade cu 4. k. Lipseste numărul 10, dublul cifrei 5, regulă valabilă pentru toate

sectoarele de cerc opuse. l. 232. Numărul din paranteze este egal cu diferenta dintre celelalte două

numere, multiplicată cu 2. m. 19. Sunt două serii de numere intercalate: numerele primei serii cresc

cu +3, +4, +5…, iar numerele celei de-a doua descresc cu -2, -3, … n. 480. Numărul din paranteze reprezintă produsul celorlalte două

numere din aceleasi rând, multiplicat cu 2.

o. 7. Fiecare număr reprezintă jumătatea celui precedent, din care se scade 2.

p. 5. Numărul de pe cap reprezintă suma numerelor de pe picioare împărtită la 2.

q. Lipsesc numerele 50 si 100. Numerele din coloana a treia reprezintă produsul înmultirii prin ele însele a numerelor din prima coloană, iar cele din coloana din mijloc sunt egale cu jumătătile acestor produse.

r. 6. Numărul din interiorul cercului reprezintă suma numerelor înscrise în interiorul triunghiului, din care s-a scăzut numărul din afara triunghiului.

[Problema]

"Ghiciti"

A doua cifră a rezultatului, cea din mijloc, va fi întotdeauna 9, iar suma celorlalte două cifre va fi, de asemenea, 9. [Problema]

Submarinele

Da, serviciul de spionaj a putut deduce si numărul submarinelor de care dispunea baza. Cunoastem că proportia dintre cele două tipuri de torpile aflate în depozit era de 4:1. Dacă si echiparea la echiparea submarinelor s-ar fi păstrat acelasi raport, fiecare din ele ar fi primit câte douăsprezece torpile din primul tip si trei din tipul al doilea, păstrându-se o proportie identică în depozitul de munitii, adică 160 de torpile din tipul al doilea fată de 40 torpile din primul tip. Dar, în realitate, pentru fiecare trei torpile din tipul doi, submarinele au primit doar câte unsprezece torpile din primul tip, adică cu una mai putin de fiecare submarin. Asadar, se poate deduce că au fost 10 submarine, întrucât aceasta este diferenta între cele 170 de torpile rămase în depozit si cele 160 care ar fi trebuit să mai rămână, dacă s-ar fi respectat proportia de 1:4. [Problema]

Numere

Iată cum vor arăta adunările: a.

111+ 100+ 111+ 100+

333 330 003 000

500 505 000 005

077 077 007 007

090 099 990 999

1111 1111 1111 1111

b. 1 + 2 + 34 + 56 + 7 = 100;9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 43 + 21 = 99 sau9 + 8 + 7 + 65 + 4 + 3 + 2 + 1 = 99.

c. 53/70 + 148/296 = 1/2 + 1/2 = 1;

sau

[Problema]

Repede!

1. Din moment ce trăieste, evident că nu poate fi înmormântat. 2. Fiecare om are doar o singură zi de nastere. 3. O singură oră, pentru că la ora 9 seara ceasul va începe să sune. 4. La toate popoarele, întrucât există în calendar. 5. Nu, pentru că ar fi trebuit să fie mort ca să aibă o văduvă.

[Problema]

Dintr-un zar

Pentru a ghici suma rezultată este suficient să cunoasteti că numărul punctelor de pe fetele opuse ale unui zar este egal cu 7 (1 + 6, 2 + 5, 3 + 4). Ce cunoasteti si ce nu cunoasteti despre cele trei zaruri aflate pe masă? Cunoasteti: suma punctelor de pe cele trei fete de sus ale zarurilor aflate în pozitie finală. Să presupunem că acestea ar fi 4+3+6=13 puncte. Nu cunoasteti: numărul initial al punctelor de pe fata de sus a zarului care a fost apoi aruncat din nou si nici numărul punctelor de pe fata de jos a aceluiasi zar. Dar nici n-aveti nevoie să le cunoasteti, întrucât stiti de la bun început că suma lor nu poate fi decât 7. Într-un cuvânt, nu aveti altceva de făcut decât să adăugati cifra 7 la suma 13 pe care o totalizează fetele de sus ale zarurilor. Asta-i tot. Să revenim la exemplul de mai sus, în care zarurile totalizau în final 4+3+6=13 puncte si să considerăm că a fost aruncat din nou zarul care are acum 4 puncte pe fata de sus. Putem presupune în continuare că initial zarurile ar fi totalizat 2+3+6=11 puncte. Prin urmare, pe fata de jos a zarului

cu 2 puncte, erau 5 puncte, suma totală fiind în acest caz 11+5=16 puncte. Adăugând la această sumă încă 4 puncte de pe fata de sus a zarului aruncat pentru a doua oară, vom obtine 20 de puncte. La acelasi rezultat ajungeti si dv. dacă adăugati 7 la suma pe care o totalizează fetele de sus ale zarurilor.