Rezolvari 2008 - Bac 2008 - 2

Matematică

Cărţile noastre au un caracter informativ, nu pot fi considerate manuale şi nici nu înlocuiesc manualele şcolare.

Vă recomandăm folosirea acestora ca materiale auxiliare alături de manuale.

www.fituici-bacalaureat.ro

Cuprins

1 Operaţii cu numere reale 51.1 Radicali,Puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Identitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Inegalitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Funcţii 72.1 Notiunea de functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Functii injective, surjective,bijective . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Compunerea functiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Functia inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi 93.1 Ecuatii de gradul ıntai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Modul unui numar real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Numere Complexe 114.1 Forma algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2 Puterile numarului i: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.3 Conjugatul lui z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.4 Modul unui numar complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.5 Forma trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.6 Formula lui Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.7 Forma exponentiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.8 Ecuatia binoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Progresii 155.1 Progresiile aritmetice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.2 Progresiile geometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1 1


6 Logaritmi 156.1 Ecuatii si inecuatii logaritmice fundamentale . . . . . . . . 17

6.2 Ecuatii si inecuatii exponentiale fundamentale . . . . . . . . 17

7 Geometrie 187.1 Puncte ın plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.2 Distanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.3 Geometrie ın spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.3.1 Punctul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.3.2 Planul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.3.3 Dreapta ın spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.3.4 Formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

8 Metoda inducţiei matematice 238.1 Axioma de recurenta a lui Peano . . . . . . . . . . . . . . . 23

8.2 Metoda inductiei matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

8.3 Varianta a metodei inductiei matematice . . . . . . . . . . . 23

9 Analiza combinatorie 249.1 Permutari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

9.2 Aranjamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

9.3 Combinari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

9.4 Binomul lui Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

9.5 Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale . 26

10 Polinoame 2610.1 Forma algebrica a unui polinom . . . . . . . . . . . . . . . . 26

10.2 Divizibilitatea polinoamelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

10.3 Radacinile polinoamelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

10.4 Ecuatii algebrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

10.5 Polinoame cu coeficienti din R, Q, Z . . . . . . . . . . . . . 29

11 Permutari, matrici, determinanţi 2911.1 Permutari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

11.2 Matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

22


11.3 Determinanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

11.4 Inversa unei matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

11.4.1 Tr(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

11.4.2 Determinantul si rangul . . . . . . . . . . . . . . . . 34

12 Sisteme liniare 3512.1 Notatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

12.2 Compatibilitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

12.3 Sisteme omogene (bi = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

13 Trigonometrie 3613.1 Formule Trigonometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

14 Analiza Matematica 3814.1 Recurente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

14.1.1 Recurente de ordin 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

14.1.2 Recurente de ordin al doilea . . . . . . . . . . . . . . 39

14.2 Limita de siruri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

14.2.1 Limite generale, Criterii de convergenta . . . . . . . 40

14.3 Limite de functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

14.4 Continuitatea functiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

14.4.1 Teoreme pentru continuitatea

functiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

14.5 Functii derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

14.5.1 Definitia derivatei ıntr-un punct . . . . . . . . . . . 47

14.5.2 Reguli de derivare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

14.5.3 Derivatele funtiilor elementare . . . . . . . . . . . . 48

14.5.4 Derivatele funtiilor compuse . . . . . . . . . . . . . . 49

14.5.5 Derivatele de ordin superior ale unor functii elementare 50

14.5.6 Proprietati ale functiilor derivabile . . . . . . . . . . 51

14.6 Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

14.6.1 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3 3


15 Primitivele funcţiilor 5115.1 Reguli pentru integrarea generala a functiilor . . . . . . . . 51

15.2 Primitivele functiilor rationale . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

15.3 Integrale cu r =√x2 + a2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

15.4 Integrale cu s =√x2 − a2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

15.5 Integrale cu t =√a2 − x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

15.6 Integrale cu R1/2 =√ax2 + bx+ c . . . . . . . . . . . . . . 56

15.7 Integrale cu R1/2 =√ax+ b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

15.8 Integrale de functii trigonometrice ce contin numai sin . . . 57

15.9 Integrale de functii trigonometrice ce contin numai cos . . . 58

15.10Integrale de functii trigonometrice ce contin numai tan . . . 58

15.11Integrale functii trigonometrice ce contin atat sin cat si cos 59

15.12Functii loagritmice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

15.12.1 Proprietati ale integralei definite . . . . . . . . . . . 61

15.12.2 Teorema Fundamentala . . . . . . . . . . . . . . . . 62

15.12.3 Inegalitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

15.13Alte Teoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

15.13.1 Functii primitivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

15.13.2 Functii integrabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

16 Structuri algebrice 6516.1 Grupul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

16.1.1 Proprietati si teoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

16.2 Monoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

16.3 Inel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

16.4 Corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

17 Spaţii vectoriale 70

44


Comandă versiunea completă, tipărită de

www.fituici-bacalaureat.ro www.fituici-bacalaureat.ro

4.) Înmulţirea matricelor:Fie A ∈ Mm,n(C) şi B ∈ Mn,p(C) atunci C = A · B ∈ Mm,p(C), unde

cij =

n∑k=1

aikbkj ,∀(i, j) ∈MxN este produsul lor.

Proprietaţi:a.) (AB)C = A(BC);

b.) AIn = In(element neutru matricea unitate) In =

1 0 · · · 0

0 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

∈Mm,n(C);c.) (A+B)C = AC +BC;d.) A(B + C) = AB +AC.

11.3 Determinanti

Fie Mn(C) mulţimea matricilor patrate de ordin n cu elemente din C:

A =

a11 · · · a1n

a21 · · · a2n

.... . .

...an1 · · · ann

∈Mn(C);

Definitia 11.7. Se neste determinantul matricii A numarul detA =∑σ∈Sn

ε(σ)a1σ(a)a2σ(2)...anσ(n)

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 · · · a1n

a21 · · · a2n

.... . .

...

an1 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ... + ainAin, unde Aij este complementul

algebric al elementului aij .

3232


Daca C = AB, atunci detC = detA · detB(A,B,C ∈Mn(C)).Determinantul de ordin 2:∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

Determinantul de ordin 3:∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣ =

a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31−−a31a22a13 − a11a32a23 − a21a12a33.

11.4 Inversa unei matrici

Fie A ∈ Mn(C), daca detA 6= 0 exista A−1 ∈ Mn(C) a.î. AA−1 = In, Inmatricea unitate.

A−1 =1

detA

A11 · · · An1

A12 · · · An2

.... . .

...A1n · · · Ann

11.4.1 Tr(A)

1) Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B);

2) Tr(AB) = Tr(BA);

3) (A+B)t = At +Bt;

4) (AB)t = BtAt;

5) B2 = B atunci B este idempotent;

6) X2 − (TrX)X + (detX)I2 = 02;

7) detAt = detA;

8) det(At + In) = det(A+ In);

9) AA∗ = A∗A = (detA)In.

33 33


11.4.2 Determinantul si rangul

1) Daca schimbam doaa rânduri în matricea A atunci semnul determinan-tului se schimba;

2) Daca înmulţim un rând a matricii cu numarul real α atunci şi determi-nantul se înmulţeşte cu α;

3) Daa o matrice are doua rânduri ecale sau proporţionale atunci determi-nantul este 0;

4) A−1 = 1detAA

∗;

5) A+At = 0n ⇐ detA = 0(matrice antisimetrica);

6) det(a−1) = (detA)−1;

7) detA∗ = (detA)n−1;

8) rangAB ≤ rangA rangB;

9) AB = In ⇔ BA = In;

10) Daca P (λ) = det(A− λIn) şi λiradacinile polinomului, atuncia.)gradP = n;b.)P (0) = detA;c.)∑λi = TrA;

d.)∏λi = detA;

11) Daca A ∈ M3(C) atunci det(A − xI3) = −x3 + (TrA)x2 + (TrA∗)x +

detA;

12) rangXY ≥ rangX+rangY − n;

13) Daca ZX = XZ ori ZY = Y Z atunci det(Z +XY ) = det(Z + Y X);

14) det(AB + In) = det(BA+ In);

15) Daca A2 = 02 şi AB = BA rezulta det(A+B) = detB;

16) det(AB −BA) = Tr(AB−BA)3

3 ;

17) det(I2 +A2) = (1− detA)2 + (TrA)2;

3434


m ecuaţii şi n necunoscute. A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

şi A =

a11 a12 · · · a1n b1

a21 a22 · · · a2n b2...

.... . .

......

am1 am2 · · · amn bm

.

r este rangul matricii A.

12.2 Compatibilitatea

Sistemul (S) este compatibil determinat daca:1.) r = m = n (sistem de tip Cramer) şi detA = ∆ 6= 0, atunci xi = ∆i

∆ ,

unde ∆i =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · b1 · · · a1n

a21 a22 · · · b2 · · · a2n

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · bn · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, bj-urile în coloana i.

2.) r = n < m şi rang A = r. Sistemul (S) este compatibil nedeterminatdaca:a.) r = m < n;b.) r < min(m,n) şi rangA = rangA = r.Sistemul (S) este incompatibil daca r ≤ min(m,n) şi rangA = r + 1.

12.3 Sisteme omogene (bi = 0)

1.) Sunt compatibile determinate(x1 = x2 = ... = xn = 0) daca r = n

2.)Sunt compatibile nedeterminate daca r < n.

13 Trigonometrie

13.1 Formule Trigonometrice

1) sin2 x+ cos2 x = 1;

3636


2) 1 + tan2 x = 1cos2 x ;

3) 1 + cot2 x = 1sin2 x

;

4) sinx = cos(π2 − x

);

5) cosx = sin(π2 − x

);

6) tanx = cot(π2 − x

);

7) cotx = tan(π2 − x

);

8) tanx > x > sinx,∀x ∈(0, π2

);

9) cos(x+ y) = cos(x) cos(y)−− sin(x) sin(y);

10) sin(x+ y) = sin(x) cos(y)+

+ sin(y) cos(x);

11) tan(x+ y) = tan(x)+tan(y)1−tan(x) tan(y) ;

12) cot(x+ y) = cot(x) cot(y)−1cot(x)+cot(y) ;

13) sin(x− y) = sin(x) cos(y)−− sin(y) cos(x);

14) cos(x− y) = cos(x) · cos(y) + sin(x) · sin(y);

15) tan(x− y) = tan(x)−tan(y)1+tan(x) tan(y) ;

16) cot(x− y) = cot(x) cot(y)+1cot(y)−cot(y) ;

17) sin(2x) = 2 sin(x) cos(x);

18) cos(2x) = cos2 x− sin2 x = 1− 2 sin2 x = 2 cos2 x− 1;

19) sin 3x = 3 sinx− 4 sin3 x;

20) cos(3x) = 4 cos3(x)− 3 cos(x);

21) cos(x2

)=√

1+cos(x)2 ;

22) sin(x2

)=√

1−cos(x)2 ;

37 37


14.5.6 Proprietati ale functiilor derivabile

Teorema 14.23. (Fermat) Fie f : I → R derivabila pe I. In orice punct

de extrem local din interiorul lui I, f ′ este nula.

Teorema 14.24. (Rolle) Daca functia f : [a, b] → R este continua, este

derivabila pe (a, b) si f(a) = f(b), atunci exista c ∈ (a, b) a. ı. f ′(c) = 0.

Teorema 14.25. (Lagrange)

Daca functia continua f : [a, b]→ R este derivabila pe (a, b) atunci exista

c ∈ (a, b) astfel ıncat f(b)−f(a)b−a = f ′(c);

Teorema 14.26. (Darboux) Fie f : I → R derivabila pe I. Atunci f ′ are

proprietatea lui Darboux.

14.6 Integrale

14.6.1 Primitive

În analiza matematica, o primitia sau integrala nedefinitaa unei f este ofuncţie F a carei derivata este egala cu f , adica, F ′ = f . Procesul decalcul al primitivelor se numeşte primitivare (sau integrare nedefinita).Deci se noteaza: ∫

f(x)dx = F (x) + C.

Teorema 14.27. Avem

1)∫

(f1(x) + f2(x))dx =∫f1(x)dx+

∫f2(x)dx;

2)∫

(af(x))dx = a∫f(x)dx;

3)∫f ′(x)g(x) = f(x)g(x)−

∫f(x)g′(x)dx.

Exemplu: Functia F (x) = x3/3 este o primitiva pentru f(x) = x2.

15 Primitivele functiilor

15.1 Reguli pentru integrarea generala a functiilor

Pentru a real nenul:

51 51


1.∫af(x) dx = a

∫f(x) dx

2.∫

[f(x) + g(x)] dx =∫f(x) dx+

∫g(x) dx

3.∫f(x)g(x) dx = f(x)

∫g(x) dx−

∫ (∫g(x) dx

)d(f(x))

15.2 Primitivele functiilor rationale

1.∫

(ax+ b)ndx = (ax+b)n+1

a(n+1) (pentru n 6= −1)

2.∫

dxax+b = 1

a ln |ax+ b|

3.∫x(ax+ b)ndx = a(n+1)x−b

a2(n+1)(n+2) (ax+ b)n+1 (pentru n 6∈ {1, 2})

4.∫

xdxax+b = x

a −ba2 ln |ax+ b|

5.∫

xdx(ax+b)2 = b

a2(ax+b) + 1a2 ln |ax+ b|

6.∫

xdx(ax+b)n = a(1−n)x−b

a2(n−1)(n−2)(ax+b)n−1 (pentru n 6∈ {1, 2})

7.∫x2dxax+b = 1

a3

((ax+b)2

2 − 2b(ax+ b) + b2 ln |ax+ b|)

8.∫

x2dx(ax+b)2 = 1

a3

(ax+ b− 2b ln |ax+ b| − b2

ax+b

)9.∫

x2dx(ax+b)3 = 1

a3

(ln |ax+ b|+ 2b

ax+b −b2

2(ax+b)2

)10.

∫x2dx

(ax+b)n = 1a3

(− (ax+b)3−n

(n−3) + 2b(a+b)2−n

(n−2) − b2(ax+b)1−n

(n−1)

)(pentru n 6∈ {1, 2, 3})

11.∫

dxx(ax+b) = −1

b ln∣∣ax+b

x

∣∣12.

∫dx

x2(ax+b) = − 1bx + a

b2 ln∣∣ax+b

x

∣∣13.

∫dx

x2(ax+b)2 = −a(

1b2(ax+b) + 1

ab2x −2b3 ln

∣∣ax+bx

∣∣)14.

∫dx

x2+a2 = 1a arctan x

a

15.∫

dxx2−a2 = − 1

a arctanhxa = 12a ln a−x

a+x (pentru |x| < |a|)− 1a arccothxa

= 12a ln x−a

x+a (pentru |x| > |a|)

5252


o primitiva a lui f pe [a, b]. Mai mult,∫ baf(t) dt = F (b)− F (a).

15.12.3 Inegalitati

Sunt valabile mai multe inegalitaţi generale pentru funcţii integrabile Rie-mann, definite pe un interval închis şi marginit [a, b].

1)Limita superioara şi inferioara.O funcţie integrabila f pe [a, b], este în mod necesar funcţie marginita peacel interval. De aceea exista numere realem şiM astfel încâtm ≤ f(x) ≤M pentru orice x din [a, b]. Deoarece suma inferioara şi cea superioara alelui f peste [a, b] sunt marginite, respectiv, de m(b−a) şi M(b−a), rezultaca m(b− a) ≤

∫ baf(x) dx ≤M(b− a)

2)Inegalitaţile între funcţii.Daca f(x) ≤ g(x) pentru orice x din [a, b] atunci limita superioara şi ceainferioara ale lui f sunt marginite superior de suma superioara, respectivinferioara ale lui g. Deci

∫ baf(x) dx ≤

∫ bag(x) dx. Aceasta este o gener-

alizare a inegalitaţilor de mai sus, când M(b − a) este integrala funcţieiconstante cu valoarea M pe [a, b].

3)Subintervale Daca [c, d] este un subinterval al lui [a, b] şi f(x) este neneg-ativa pentru orice x, atunci

∫ dcf(x) dx ≤

∫ baf(x) dx.

4)Produsul şi modulul funcţiilor. Daca f şi g sunt doua funcţii atunci sepot considera functia produs a celor doua funcţii, funcţia putere a uneifuncţii şi valoarea absoluta(fg)(x) = f(x)g(x),f2(x) = (f(x))2,|f |(x) = |f(x)|.

5)Daca f este integrabila Riemann pe [a, b] atunci aceasta este adevaratşi pentru |f |, şi

∣∣∣∫ ba f(x) dx∣∣∣ ≤ ∫ ba |f(x)| dx.

6)Mai mult, dacš f şi g sunt ambele integrabile Riemann, atunci f2, g2, şi

fg sunt şi ele integrabile Riemann, şi(∫ b

a(fg)(x) dx

)2

≤(∫ baf(x)2 dx

)(∫ bag(x)2 dx

). Aceasta inegalitate, cunoscuta sub numele

de inegalitatea Cauchy-Schwarz.

7)Inegalitatea lui Hölder. Se presupune ca p şi q sunt doua numere reale,

63 63


cu 1/p + 1/q, şi f şi g sunt doua funcţii integrabile Riemann. Atuncifuncţiile |f |p şi |g|p sunt integrabile şi este valabila urmatoarea inegalitatea lui Hölder:∣∣∫ f(x)g(x) dx

∣∣ ≤(∫|f(x)|p dx

)1/p (∫ |g(x)|q dx)1/q

. Pentru p = q = 2, inegalitatea luiHölder devine inegalitatea Cauchy-Schwarz.

8)Inegalitatea Minkowski. Se presupune ca p ≥ 1 este un numar real şif şi g sunt funcţii integrabile Riemann. Atunci |f |p, |g|p şi |f + g|p suntde asemenea integrabile Riemann şi este valabila urmatoarea inegalitateMinkowski:(∫|f(x) + g(x)|p dx

)1/p ≤(∫|f(x)|p dx

)1/p+(∫|g(x)|p dx

)1/p.

15.13 Alte Teoreme

1)(Teorema lui Banach punctului fix)Daca f : A → A contracţie (adica∃c ∈ (0, 1) : ∀x, y ∈ A : |x − y| ≤c|f(x)−f(y)|) unde A ⊆ R atunci ∃!x∗ ∈ A : f(x∗) = x∗ şi ∀xn+1 = f(xn)

serie are ca limita pe x∗.

2) Daca f : [a, b]→ [a, b] derivabila şi |f ′(x)| < 1,∀x ∈ [a, b] atunci ecuaţiaf(x) = x are o unica spouţie x∗ şi ∀xn+1 = f(xn) serie are ca limita pex∗.

3) f : R→ R konvexa ⇒ f continua.

4) f : R → R konvexa şi a1 < a2 < x < a < a3 rezulta ca f(a2)−f(a1)a2−a1 ≤

f(a)−f(x)a−x ≤ f(a3)−f(a)

a3−a ;

15.13.1 Functii primitivabile

1)Daca funcţia f : R∗ → R admite primitive şi g : R→ R continua atuncifg admite primitive.

2) Daca f : [a, b] → R(a < c < b) admite primitive pe [a, c] şi [c, b] atunci

6464


Rezolvari 2008 - Bac 2008 - 2

Documents

Transcript of Rezolvari 2008 - Bac 2008 - 2